2022届高考数学二轮复习：数列求和与综合应用(小题速做,大题细做)
数列中的奇偶项问题 教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
数列中的奇偶项问题
一、新高考Ⅰ卷、全国Ⅰ卷数列考点分布
新高考Ⅰ卷考点分布与考查概况
全国Ⅰ卷理科考点分布与考查概况
年份 题号 分数 涉及知识点 题号 分数 涉及知识点
2020
14
5 两等差数列的公共项问题、
等差数列的前n项和公式；
核心素养：逻辑推理、数学运算
17
12 等差中项、
等比数列的通项公式、
错位相减法求数列的前n项和；
核心素养：逻辑推理、数学运算
18
12 等比数列的通项公式、
数列求和；
核心素养：逻辑推理、数学运算
2021
16
5 构建数列模型，归纳通项公式错位相减法求数列的前n项和；
逻辑推理、数学运算、数学建模
19
12
等差数列的通项公式、
数列的通项与前n项和、积之间的关系；
核心素养：逻辑推理、数学运算
17
10 数列的递推公式、
等差数列的定义、
等差数列的前n项和；
核心素养：逻辑推理、数学运算
二、真题回眸
1．(2020·高考数学课标Ⅰ卷)数列{}na满足2(1)31nnnaan，前16项和为540，
则1a ______________．
2．（2021·全国高考）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
三、例题分析
例1：已知数列)12()1(nann，求数列na的前n项和nS.
变式1：已知数列12sin)12()1(nnann，求数列na的前n项和100S .
na11a11,,2,.nnnanaan为奇数为偶数2nnba1b2bnbna 变式2：已知数列12sin)12()1(nnann，求数列na的前n项和102S .
例2：已知数列{}na的前n项和为2*4().nSnnnN
（1）求数列{}na的通项公式;
（2）若数列{}nc满足,11c，1nnncca，求数列{cn}的通项公式及前n项和．
2022高考数学(文)二轮复习高考小题标准练(二) Word版含答案
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高考小题标准练(二)
满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若集合A={x∈Z|2<2x+2≤8}，B={x∈R|x2-2x>0}，则A∩(RB)所含的元素个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解题提示】求出A中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A，求出B中不等式的解集，确定出B，求出B的补集，找出A与B补集的交集，即可确定出元素个数.
【解析】选C.由集合A中的不等式变形得：21<2x+2≤23，得到1
解得：-10，解得：x>2或x<0，即B=(-∞，0)∪(2，+∞)，所以RB=[0，2]，所以A∩(RB)={0，1}，即元素有2个.
2.设i是虚数单位，a为实数，复数z=1+aii为纯虚数，则z的共轭复数为( )
A.-i B.i C.2i D.-2i
【解析】选B.由于z=1+aii=(1+ai)ii2=−a+i−1=a-i，
由于z为纯虚数，故a=0，所以z=-i，
则z̅=i. 3.甲乙两人在一次赛跑中，从同一地点动身，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先动身
B.乙比甲跑的路程多
C.甲，乙两人的速度相同
D.甲比乙先到达终点
【解析】选D.由图形可知甲，乙两人从同一时间动身，且路程相同，甲用的时间短，故甲比乙先到达终点.
4.某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参与笔试，再按笔试成果择优选出100人参与面试.现随机调查了24名笔试者的成果，如表所示：
分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90)
2022届高三一轮复习“8+4+4”小题强化训练(29)(等差数列及其前n项和)解析版
2022届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(29)
（等差数列及其前n项和）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知等差数列{}na的前n项和为nS，若422S，616a，则3a（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【解析】因为414622Sad，61516aad，
所以11a，3d，3127aad， 故选：D.
2.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由a3=6，S3=12，得：, 解得：a1=2，d=2． 故选：C。
3.等差数列na中，若28515aaa，则5a等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为，等差数列na中，28515aaa，所以，由等差数列的性质，得，555215,5aaa，故选：C。
4.“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
【答案】A
【解析】设只能堆放n层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n，于是11002nn，且110012nnn，解得13n，剩余的根数为131410092．故选：A。
5.已知等差数列na的前n项和为nS，2121aa，2a与4a的等差中项为2，则4S的值为（ ）
高考数学(文)(新课标版)考前冲刺复习讲义：第2部分专题三第2讲 数列求和及其综合应用 Word版含答案
第2讲数列求和及其综合应用
错位相减法求和[学生用书P34]共研典例类题通法
错位相减法适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积构成的数列的求和，其依据是：cn＝anbn，其中{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，则qcn＝qanbn＝anbn＋1，此时cn＋1－qcn＝(an＋1－an)·bn＋1＝dbn＋1，这样就把对应相减的项变成了一个等比数列，从而达到求和的目的．
(2016·高考山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝（an＋1）n＋1（bn＋2）n.求数列{cn}的前n项和Tn.
【解】(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d，
由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，得11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，
可解得b1＝4，d＝3.
所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知cn＝（6n＋6）n＋1（3n＋3）n＝3(n＋1)·2n＋1.
又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，
所以Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×4＋4（1－2n）1－2－（n＋1）×2n＋2＝－3n·2n＋2，
所以Tn＝3n·2n＋2.
应用错位相减法求和需注意的问题
(1)错位相减法适用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列．
(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．
2022年高考数学二轮复习强化训练 7等差数列与等比数列
强化训练7 等差数列与等比数列——小题备考
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)
1．[2021·河北保定二模]在等比数列{}an 中，若a2019＝4，a2021＝9，则a2020＝( )
A．6 B．－6
C．±6 D．132
2．已知等差数列{}an 的前n项和为Sn，若a3＝1，S9＝18，则a7＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．各项均为正数的等比数列{}an 的前n项和为Sn，且a1a7＝3a4，a2与a3的等差中项为18，则S5＝( )
A．108 B．117
C．120 D．121
4．[2021·湖南长沙模拟]一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108.则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为( )
一百零八塔全景
A．第5行，呈葫芦状 B．第6行，呈葫芦状
C．第7行，呈宝瓶状 D．第8行，呈宝瓶状
5．已知数列{}an 是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，若S4＝5，S2＝32 ，则公差d＝( )
A．14 B．1
C．34 D．12
6．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a2·a6·a10＝33 ，b1＋b6＋b11＝7π，则tan b2＋b101－a3·a9 的值是( )
A．1 B．22
C．－22 D．－3
7. [2021·山东淄博一模]若等差数列{an}的前n项和为Sn，则“S2020＞0，S2021＜0”是“a1010a1011＜0”的( )
安徽省高考数学第二轮复习 专题四 数列第2讲 数列的求和及其综合应用 文
专题四 数列第2讲 数列的求和及其综合应用
真题试做
1．(2012·大纲全国高考，文6)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝( )．
A．2n－1 B.32n－1 C.23n－1 D.12n－1
2．(2012·江西高考，文13)等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝__________.
3．(2012·课标全国高考，文14)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝__________.
4．(2012·天津高考，文18)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，证明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n＞2)．
5．(2012·安徽高考，文21)设函数f(x)＝x2＋sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{xn}．
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)设{xn}的前n项和为Sn，求sin Sn.
考向分析
高考中对数列求和及其综合应用的考查题型，主、客观题均会出现，主观题较多．一般以等差、等比数列的定义以及通项公式、前n项和公式的运用设计试题．考查的热点主要有四个方面：(1)考查数列的求和方法；(2)以等差、等比数列的知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式的交会处命题，主要考查利用函数观点解决数列问题以及用不等式的方法研究数列的性质，多为中档题；(3)数列与解析几何交会的命题，往往会遇到递推数列，通常以解析几何作为试题的背景，从解析几何的内容入手，导出相关的数列关系，再进一步地解答相关的问题，试题难度大都在中等偏上，有时会以压轴题的形式出现；(4)数列应用题主要以等差、等比数列为工具，在数列与生产、生活实际问题的联系上设计问题，考查阅读理解能力、数学建模能力和数学应用的意识与能力，主要以解答题的形式出现，多为中高档题．
专题10 数列 10.4数列求和 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
高中数学一轮复习讲义
专题十《数列》讲义
10.4数列求和知识梳理.数列求和
1．公式法
(1)等差数列{a
n}的前n项和S
n＝na
1＋a
n
2＝na1＋nn－1d
2.
推导方法：倒序相加法．
(2)等比数列{a
n}的前n项和S
n＝na
1，q＝1，
a
11－qn
1－q，q≠1.
推导方法：乘公比，错位相减法．
(3)一些常见的数列的前n项和：
①1＋2＋3＋…＋n＝nn＋1
2；
②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
2．几种数列求和的常用方法
(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成
的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，
从而求得前n项和．
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积
构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{a
n}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常
数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．高中数学一轮复习讲义
题型一.裂项相消
1．数列{a
n}的通项公式a
n=1𝐨𝐫1)，已知它的前n项和Sn=99100，则项数n＝（）
A．98B．99C．100D．101
【解答】解：列{an}的通项公式a
n=1𝐨𝐫1)=1−1𝐫1，
所以
=1−12+12−13+⋯+1−1𝐫1=1−1𝐫1，
由于前n项和Sn=99100，
所以1−1𝐫1=99100，
解得n＝99．
故选：B．
2．已知等差数列{a
n}满足a
3＝10，a
1+a
4＝17．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn=3
𝐫1，求数列{bn}的前n项和S
n．
【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列，满足a
3＝10，a
1+a
4＝17．
所以
3=10
1+
4=17，解得
1=4
=3，
所以an＝4+3（n﹣1）＝3n+1．
压轴题07 数列的通项、求和及综合应用(原卷版)-2023年高考数学压轴题专项训练(江苏专用)
压轴题07数列的通项、求和及综合应用
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，
小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识
综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加
大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式
综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往
往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值
等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消
法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数
学归纳法的结合问题，也应适度关注．
考向一：数列通项、求和问题
考向二：数列性质的综合问题
考向三：实际应用中的数列问题
考向四：以数列为载体的情境题考向五：数列放缩
1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列
na满足
1nnaad
（常数）（2n≥，nN）不能判断数列
na为等差数列，需要补充证明
21aad；
2、数列
na满足
212
nnnaaa
*nN，则
na是等差数列；
3、数列
nb满足
1nnbqb
*nN，q为非零常数，且
10b，则
nb为等比数列；4、在处理含
nS，
na的式子时，一般情况下利用公式
na1
*
1,1
,2,
nnSn
SSnn
N≥且，
消去
nS，进而求出
na的通项公式；但是有些题目虽然要求
na的通项公式，但是并不
便于运用nS，这时可以考虑先消去
na，得到关于
nS的递推公式，求出
nS后再求解
na．
5、遇到形如
1()nnaafn
的递推关系式，可利用累加法求
na的通项公式，遇到形如1()n
nafn
a的递推关系式，可利用累乘法求
na的通项公式，注意在使用上述方法
求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．
2022高考数学小题狂刷26 数列的综合应用 (原卷)
四川天地人教育.2022高考数学小题狂刷
专题六 数列
狂刷26 数列的综合应用
1．已知公差0d的等差数列{}na满足11a，且2a，42a，6a成等比数列，若正整数m，n满足10mn，则mnaa
A．10 B．20
C．30 D．5或40
2．若等差数列na和等比数列nb满足11443,24abab，则22ab
A．1 B．1
C．4 D．4
3．已知首项为1的等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,且S2,S4,S8成等比数列,则 d=
A．0 B．1或2
C．0或2 D．2
4．已知等比数列na中，若12a，且1324,,2aaa成等差数列，则5a
A．2 B．2或32
C．2或-32 D．1
5．设{𝑎𝑛}是首项为𝑎1,公差为−2的等差数列,𝑆𝑛为其前𝑛项和,若𝑆1,𝑆2,𝑆4成等比数列,则𝑎1=
A．8 B．−8
C．1 D．−1
6．已知数列{an}是公比为2的等比数列，满足a6=a2·a10，设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b9=2a7，则S17=
A．34 B．39
C．51 D．68
7．已知数列na是等比数列，数列nb是等差数列，若261033aaa，16117πbbb，则四川天地人教育.2022高考数学小题狂刷
21039tan1bbaa的值是
A．1 B．22
C．22 D．3
8．已知数列{𝑎𝑛}是等差数列，{𝑏𝑛}是正项等比数列，且𝑏1=1，𝑏3=𝑏2+2，𝑏4=𝑎3+𝑎5，𝑏5=𝑎4+2𝑎6，则𝑎2019+𝑏9=
A．2025 B．2529
C．2026 D．2275
9．已知等差数列{an}的首项为1,a1+a3+a5=15,{an}的前n项和为Sn,若S10,a10+1,k(其中k∈R)成等比数列,则实数k的值是
一轮复习大题专练30—数列(讨论奇偶求和)-2022届高三数学一轮复习
一轮复习大题专练30—数列（讨论奇偶求和）
1．设{}
na是公差不为0的等差数列，
11a，
4a是
2a和
8a的等比中项，数列{}
nb的前n项
和为nS，且满足*322()
nnbSnN．
（1）求{}na和{}
nb的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设2,
,n
n
nan
c
bn
为奇数
为偶数，求数列{}nc的前21n项和．
解：（1）设等差数列{}na的公差为d，
因为11a，
4a是
2a和
8a的等比中项，所以2
428aaa，
即2(13)(1)(17)ddd，解得1d或0d．
又因为0d，所以1d．
所以1(1)1nann．
因为*322()
nnbSnN，
所以，当2n时，11322
nnbS
，
所以113()2()0
nnnnbbSS
，所以13()20
nnnbbb
，即
13(2)n
nbn
b
．
当1n时，11322bS，
又因为11Sb，所以
12b，
所以数列{}nb是以2为首项、3为公比的等比数列．
所以11
123nn
nbbq．
（2）因为
12
23nnnn
c
n为奇数
为偶数，
故数列{}nc的前21n项和为
2113521221(1)(323)6(19)93(35723)2(3333)4
21944nnnnnnTnnn
．
2．设等差数列{}
na的前n项和为
nS，且等比数列{}
nb的前n项和为
nT，满足
112ab，
26S，
312S，
123bb．
（1）求{}na，{}
nb的通项公式；
（2）求满足条件的最小正整数k，使得对*()nknN不等式1
nnTS恒成立；
（3）对任意的正整数n，设
2,
11
,n
nn
n
n
nbn
bb
c
an
b
为奇数
为偶数，求数列{}nc的前2n项和．
解：（1）设等差数列{}na的公差为d，等比数列{}