高考数学一轮复习 第五章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和课件 文
2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章 数列 第3讲等比数列及其前n项和 Word版含答案
第3讲 等比数列及其前n项和
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1．等比数列的有关概念
(1)定义
假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
假如a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇒G2＝ab．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r；
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
1．辨明三个易误点
(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．
(2)由an＋1＝qan，q≠0，并不能马上断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(3)在运用等比数列的前n项和公式时，必需留意对q＝1与q≠1分类争辩，防止因忽视q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
2．等比数列的三种判定方法
(1)定义法：an＋1an＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(2)通项公式法：an＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
(3)等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列． 3．求解等比数列的基本量常用的思想方法
(1)方程的思想：等比数列的通项公式、前n项和公式中联系着五个量：a1，q，n，an，Sn，已知其中三个量，可以通过解方程(组)求出另外两个量；其中基本量是a1与q，在解题中依据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组，是解题的关键．
2013高考数学(理)一轮复习教案：第六篇_数列第2讲_等差数列及其前n项和
第2讲 等差数列及其前n项和
泊头一中韩俊华
【2013年高考会这样考】
1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．
2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．
【复习指导】
1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．
2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．
基础梳理
1．等差数列的定义
（1）文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做 等差数列的 ，通常用字母d表示
（2）符号定义： ①．
②
2．等差数列的通项公式：
na= ，
变式：d 1n
或na= ，
变式：d nm（其中*,mnN）
或na= 。（函数的一次式）
3．等差中项如果A＝a＋b2，那么A叫做a与b的等差中项．
4 等差数列的判定方法
①定义法：
②等差中项法：
③通项公式法：
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则
(m，n，p，q∈N*)．
特别的若：m＋n＝2p，则
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)是公差为 的等差数列
(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即：
2022届高考数学一轮复习第五章数列第三节等比数列及其前n项和课时规范练含解析文北师大版202107
第五章 数列
第三节 等比数列及其前n项和
课时规范练
A组——基础对点练
1．(2020·合肥模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝( )
A．4 B．52
C．2 D.12
解析：由题意，得a1·a1q4＝16，a1q＝2，解得a1＝1，q＝2或a1＝－1，q＝－2(舍去)，故选C.
答案：C
2．(2020·重庆模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝14，a3＝8，则a6＝( )
A．16 B．32
C．64 D．128
解析：由题意得，等比数列的公比为q，由S3＝14，a3＝8，则a1（1＋q＋q2）＝14，a3＝a1q2＝8，解得a1＝2，q＝2，所以a6＝a1q5＝2×25＝64，故选C.
答案：C
3．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42
C．63 D．84
解析：设数列{an}的公比为q，则a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.
答案：B
4．(2020·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则log2a7＋log2a11的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意得a4a14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.
答案：C
5．在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝( )
A．1 B．±1 C．2 D．±2
解析：因为数列{an}是等比数列，所以a2a3a4＝a33＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，则a1＝a3q2＝1，故选A.
2021高考数学一轮复习第五章数列第2节等差数列及其前n项和练习
- 1 - 第2节 等差数列及其前n项和
[A级 基础巩固]
1．(一题多解)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：法一 设等差数列{an}的公差为d，
依题意a1＋3d＋a1＋4d＝24，6a1＋6×52d＝48，解得d＝4.
法二 等差数列{an}中，S6＝（a1＋a6）×62＝48，
则a1＋a6＝16＝a2＋a5，
又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，
所以d＝4，故选C.
答案：C
2．(2020·安阳联考)在等差数列{an}中，若a2＋a8＝8，则(a3＋a7)2－a5＝( )
A．60 B．56
C．12 D．4
解析：因为在等差数列{an}中，a2＋a8＝8，所以a2＋a8＝2a5＝8，解得a5＝4，(a3＋a7)2－a5＝(2a5)2－a5＝64－4＝60.
答案：A
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S2＝3，S3＝6，则S2n＋1＝( )
A．(2n＋1)(n＋1) B．(2n＋1)(n－1)
C．(2n－1)(n＋1) D．(2n＋1)(n＋2)
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则2a1＋d＝3，3a1＋3d＝6，
所以a1＝d＝1，则an＝1＋(n－1)×1＝n.
因此S2n＋1＝（2n＋1）（1＋2n＋1）2＝(2n＋1)(n＋1)．
答案：A
4．(2020·宜昌一模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，则( )
A．a7＝0 B．|a7|＝|a8|
C．|a7|>|a8| D．|a7|<|a8| - 2 - 解析：因为公差d>0，(S8－S5)(S9－S5)<0，
所以S9>S8，所以S8
所以a6＋a7＋a8<0，a6＋a7＋a8＋a9>0，
2019年最新高考数学(文)大一轮复习 人教版 第六章 数列 第2节 等差数列及其前n项和
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.... 第2节 等差数列及其前n项和
最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.
知 识 梳 理
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝a＋b2.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*).
(2)等差数列的前n项和公式
Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d(其中n∈N*).
3.等差数列的有关性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq.
(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(4)数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
4.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
[常用结论与微点提醒] ....
.... 1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.
2021届高考数学一轮知能训练第五章数列第2讲等差数列含解析
20212
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2021届高考数学一轮知能训练第五章数列第2讲等差数列含解析(可编辑) 2021届高考数学一轮知能训练第五章数列第2讲等差数列含解析
- 2 - 第2讲 等差数列
1．设等差数列{an｝的前n项和为Sn，若a2＋a5＋a8＝30，则下列一定为定值的是( ）
A．S6 B．S7 C．S8 D．S9
2．（2014年天津）设{an｝是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝( )
A．2 B．－2
C。12 D．－错误!
3．(2017年新课标Ⅲ)等差数列｛an}的首项为1，公差不为0。若a2,a3，a6成等比数列,则数列{an｝的前6项和为( ）
A．－24 B．－3 C．3 D．8
4．(2019年陕西西安八校联考）设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6,Sn是数列｛an}的前n项和,则( ）
A．S4
C．S4>S1 D．S4＝S1
5．(2019年河南洛阳统考)设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1〉0，a3＋a10>0,a6a7〈0，则满足Sn〉0的最大自然数n的值为( )
A．6 B．7 C．12 D．13
6．已知数列｛an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1｜＋|a2|＋…＋|a6｜＝( ）
A．9 B．15 C．18 D．30
7．（多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和,且S7S10，则下列结论正确的是（ ）
A．d〈0
B．a9＝0
C．S11>S7
D．S8、S9均为Sn的最大值
8．（多选)已知两个等差数列｛an｝和错误!的前n项和分别为Sn和Tn，且错误!＝错误!，则使得错误!为整数的正整数n的值为（ )
A．2 B．3 C．4 D．14
2019高考数学一轮复习 第6章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和分层演练 文
第3讲 等比数列及其前n项和
一、选择题
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选B.由题意知，q≠1，则3a1（1－q3）1－q＝a1q3－23a1（1－q2）1－q＝a1q2－2，两式相减可得－3（q3－q2）1－q＝q3－q2，即－31－q＝1，所以q＝4.
2．(2018·成都第二次诊断检测)在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，则a5＝( )
A．12 B．18
C．36 D．24
解析：选B.a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝6(1＋q2＋q4)＝78⇒1＋q2＋q4＝13⇒q2＝3，所以a5＝a3q2＝6×3＝18.故选B.
3．(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得a1（1－27）1－2＝381，解得a1＝3，选择B.
4．(2018·广州综合测试(一))已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，12a5，a4成等差数列，则a3＋a5a4＋a6的值是( )
A．5－12 B.5＋12
C．3－52 D.3＋52
解析：选A.设等比数列{an}的公比为q，由a3，12a5，a4成等差数列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝1＋52或q＝1－52(舍去)，由a3＋a5a4＋a6＝a3＋a3q2a4＋a4q2＝a3（1＋q2）a4（1＋q2）＝1q＝25＋1＝2（5－1）（5＋1）（5－1）＝5－12，故选A. 5．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于( )
等差数列前n项和最值问题
等差数列前n项和的最值问题
问题引入：已知数列,na的前n项和212nSnn,求这个数列的通项公式.数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么? 解:当n>1时:1122nnnassn 当n=1时:211131122as
综上:122nan,其中:132a,2d
探究1:一般地,如果一个数列{}na的前n项和为:2,nspnqnr0,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项和公差分别是什么?结论:当r=0时为等差,当r0时不是
一、 应用二次函数图象求解最值
例1：等差数列na中， 1490,aSS，则n的取值为多少时nS最大
分析：等差数列的前n项和nS是关于n的二次函数，因此可从二次函数的图象的角度来求解。
解析：由条件1490,aSS可知，d<0，且211(1)()222nnnddSnadnan，
其图象是开口向下的抛物线，所以在对称轴处取得最大值，且对称轴为496.52n，
而nN，且6.5介于6与7的中点，从而6n或7n时nS最大。
1. 已知等差数列{na}中1a=13且3S=11S,那么n取何值时,nS取最大值.
解析：设公差为d，由3S=11S得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, na=13-2(n-1), na=15-2n,
由0a0a1nn即0)1n(2150n215得：6.5≤n≤7.5,所以n=7时,nS取最大值.
2. 已知an是各项不为零的等差数列，其中a1＞0，公差d＜0，若S10=0，求数列an前 5 项和取得最大值．
结合二次函数的图象，得到二次函数图象的开口向下，根据图象关于对称轴对称的特点，得到函数在对称轴处取到最大值，，注意对称轴对应的自变量应该是整数或离对称轴最近的整数．an是各项不为零的等差数列，其中a1＞0，公差d＜0，S10=0，根据二次函数的图象特点得到图象开口向下，且在n==5时，数列an前5项和取得最大值．