2018届高三一轮复习课件第五章第2讲等差数列及其前n项和
[解析] 因为 S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列， 所以 2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， 所以 40＝10＋S30－30，所以 S30＝60.
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第五章
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等差数列的判定与证明 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1 1 ＝0(n≥2，n∈N )，a1＝ . 2
第五章
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3． (2016· 高考江苏卷)已知{an}是等差数列， Sn 是其前 n 项和． 若
20 a1＋a2 2＝－3，S5＝10，则 a9 的值是________．
[解析] 设等差数列{an}的公差为 d，
2 则 a1＋a2 ＝ a ＋ ( a ＋ d ) ＝－3， S5＝5a1＋10d＝10， 解得 a1＝－4， 2 1 1
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第五章
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等差数列的性质及应用(高频考点) (1)若等差数列{an}前 3 项的和为 34， 最后 3 项的和为 146，
13 ． 且所有项的和为 390，则这个数列的项数为______
(2)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意自 19 Sn 2n－3 a9 a3 41 然数 n 都有T ＝ ，则 ＋ 的值为________ ． 4 n － 3 b ＋ b b ＋ b n 5 7 8 4
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第五章
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1．已知等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn，S10＝10，S30＝70，则
120 ． S40 等于_____
10×9 10a1＋ 2 d＝10， 2 2 [解析] 由题意： 得 a1＝ ，d＝ . 5 15 30a ＋30×29d＝70， 1 2 代入得 S40 40×39 ＝40a1＋ d＝120. 2
[解析] 由定义知{ an}是以 3为首项，以 3为公差的等差数列， 故 an＝ 3n，即 an＝3n2.
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3．已知数列{an}是等差数列，且 a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则
234 ． a3＋a15＝________
[解析] 由等差中项公式可得 2a9＝a5＋a13， 又 1＋17＝5＋13， 所以 a1＋a17＝a5＋a13.由题设易知 a9＝117. 所以 a3＋a15＝2a9＝234.
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1.设数列{an}是等差数列， 若 a3＋a4＋a5＝12， 28 则 a1＋a2＋„＋a7＝________．
[解析] 因为 a3＋a4＋a5＝3a4＝12，所以 a4＝4， 所以 a1＋a2＋„＋a7＝7a4＝28.
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2．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝10，S20＝30，
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2．必会的 3 种方法思想 (1)函数思想：在等差数列{an}中 an＝dn＋c(d，c 为常数)，是关 于 n 的一次函数(或常数函数)，Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)是关 于 n 的二次函数(或一次函数)． (2)方程思想：准确分析 a1，d，an，Sn，n 之间的关系，通过列 方程(组)可做到“知三求二”． (3)整体思想：在应用等差数列{an}的性质“若 m＋n＝p＋q(m， n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq”时，要会用整体思想进行代 换．
此题易误将等差数列中 Sm, S2m －Sm, S3m －S2m 成等差数列误解 为 Sm, S2m, S3m 成等差数列．从而导致错解 S30＝S10＋2d. 所以 d＝30，所以 S40＝S30＋d＝100.
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2．等差数列{an}满足 a3＝3，a6＝－3，则数列{an}的前 n 项和
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4．等差数列{an}的前 n 项和公式 n(n－1) n(a1＋an) Sn＝na1＋ d＝ . 2 2 5．等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m＋n＝p＋q， 则 am＋an＝ap＋aq， 特别地： 若 m＋n＝2p， 则 am＋an＝2ap. (2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，„，仍是等差数列，公差为 kd. (3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„，也是等差数列．
[解析]
由{an}为等差数列，
则 S3，S6－S3，S9－S6 也成等差数列， 故 2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 即 a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
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1．必明辨的 2 个易错点 (1)判断等差数列忽视首项． (2)等差数列一些重要性质能为解题带来方便，但做题时不能想 当然，运用性质公式要有理有据，不能混淆一些性质．
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已知数列{an}满足 a1＝4，an＝4－ 1 记 bn＝ . an－2 (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式．
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在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值．
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[解] (1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3，可得 1＋2d＝－3，解得 d＝－2. 从而 an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n， n[1＋(3－2n)] 所以 Sn＝ ＝2n－n2. 2 由 Sk＝－35，可得 2k－k2＝－35， 即 k2－2k－35＝0，解得 k＝7 或 k＝－5. 又 k∈N*，故 k＝7.
16 Sn 的最大值为________ ．
a1＋2d＝3， 得， a1＋5d＝－3，
[解析] 由 a3＝3，a6＝－3
a1＝7， 解得 d＝－2.
n(n－1) 所以 Sn＝na1＋ d＝－n2＋8n＝－(n－4)2＋16. 2 所以当 n＝4 时 Sn 有最大值 16.
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第五章
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(1)判断证明一个数列是否是等差数列的解答题，常用定义法和 等差中项法，而通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于填空 题中的简单判断． (2)用定义证明等差数列时，常采用两个式子 an＋1－an＝d 和 an －an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”，否则 n＝1 时，a0 无定义.
*
1 (1)求证：S 是等差数列； n
(2)求 an 的表达式．
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【解】
(1)证明：Sn－Sn－1＋2Sn·Sn－1＝0，
两边同除以 Sn·Sn－1， 1 1 1 得 － ＋2＝0，即S － ＝2(n≥2)， Sn－1 Sn S n n－ 1
1 所以S 是以 n
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54 ． 4．设{an}是等差数列，若 a5＝6，则数列{an}前 9 项的和为___
9(a1＋a9) [解析] 等差数列{an}前 9 项的和 S9＝ ＝9a5＝54. 2
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第五章
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5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7
45 ． ＋a8＋a9＝________
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2．等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则其通项公式为 an＝a1 ＋(n－1)d.亦可以用数列中的第 m 项 am 与公差 d 表示为 an＝am ＋(n－m)d. 3．等差中项 若三个数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项， a＋b 且有 A＝ . 2
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第五章
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应用等差数列的性质应注意的两点 (1)在等差数列{an}中， 若 m＋n＝p＋q＝2k(m、 n、 p、 q、 k∈N*)， 则 am＋an＝ap＋aq＝2ak 是常用的性质． (2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用 方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破 口．
d＝3，则 a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
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第五章
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4．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2＋n＋1.问数列{an}是否是 等差数列？说明你的理由．
[解] 当 n＝1 时，a1＝S1＝3.当 n≥2 时， an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n. 所以
3，n＝1， an＝ 2n，n≥2.
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第五章
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【解析】
(1)因为 a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，
a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180， 又因为 a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2， 所以 3(a1＋an)＝180，从而 a1＋an＝60， n(a1＋an) n·60 所以 Sn＝ ＝ ＝390，即 n＝13. 2 2
8 公差 d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则 n＝________.
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第五章
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【解析】
(1)因为公差为 1，
8×(8－1) 所以 S8＝8a1＋ ×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. 2 1 因为 S8＝4S4，所以 8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得 a1＝ ， 2 1 19 所以 a10＝a1＋9d＝ ＋9＝ . 2 2
2018年高三数学(文)一轮复习课件 等差数列及其前n项和
(4)等差数列的前 n 项和公式:Sn=
������(������1 +������������ ) ������(������-1) =na d. 1+ 2 2
第六章
知识梳理 双基自测 自测点评
6.2
等差数列及其前n项和
知识梳理 核心考点 学科素养
-3-
1
2
3
4
2.等差数列及其前n项和的性质 am+an=ap+aq (1)若m+n=p+q,则 (m,n,p,q∈N*);m+n=2p,则 am+an=2ap(m,n,p∈N*). (2)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差 为 md 的等差数列. (3)若{an},{bn}是等差数列,p,q∈R,则{pan+qbn}也是等差数列. (4)设Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列 Sm,������2 ������ -Sm,S3m-������2 ������ ,… 也是 等差 数列. (5)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数,则 S 偶-S 奇=������������ ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).
A
21(������1 +������21 ) S21= =21a11=42. 2
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解析
答案
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6.2
等差数列及其前n项和
知识梳理 核心考点 学科素养
-9-
1
2
3
4
5
4.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则 S6= .
2018高考一轮数学(课件)第5章 第2节 等差数列及其前n项和
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第十六页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
[变式训练 2] (1)若{an}是公差为 1 的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是( ) A．公差为 3 的等差数列 B．公差为 4 的等差数列 C．公差为 6 的等差数列 D．公差为 9 的等差数列
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＋an＋2.(
)
(3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的．( )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
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第四页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S3＝6，a3＝0，则公差 d 等于( )
法二：由于每行每列都成等差数列，不妨取特殊情况，即这 9 个数均相同， 显然满足题意，所以有 63÷9＝7，即 a52＝7，故选 C.]
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第二十一页，编辑于星期六：二十二点 三十三 分。
高三一轮总复习 (2)法一：由 S3＝S11，可得 3a1＋3×2 2d＝11a1＋11×2 10d，4 分
a12＝a1＋11d＝－8， 由已知，得S9＝9a1＋9d× 2 8＝－9，
解得da＝1＝－3，1.
∴S16＝16×3＋16×2 15×(－1)＝－72.]
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第十三页，编辑于星期六：二十二点 三十三分。
高三一轮总复习
等差数列的判定与证明
已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－an1－1(n≥2，n∈N*)，数列
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：6.2 等差数列及其前n项和(专题拔高配套PPT课件)
-8-
3.已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( A.100 B.99 C.98 D.97
)
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设等差数列{an }的公差为 d, 则由题意得 9×8 9������1 + 2 ������ = 27, ������ = -1, 解得 1 ������ = 1, ������1 + 9������ = 8, 故 C a100 =a1 +99d=-1+99=98.
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答案
第六章
知识梳理 双击自测
6.2 等差数列及其前n项和
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-9-
4.(教材改编)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8= .
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由等差数列的性质,得 a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180. 180
=88.
关闭
B
解析 答案
第六章
知识梳理 双击自测
6.2 等差数列及其前n项和
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
-7-
2.(2017浙江高考)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则 “d>0”是“S4+S6>2S5”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2
第六章
知识梳理 双击自测
6.2 等差数列及其前n项和
考情概览 知识梳理 核心考点 学科素养
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3.等差数列及其前n项和的性质 (1)若{an}为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq (m,n,p,q∈N*). 特别地,当m+n=2p,则am+an=2ap . (2)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是等差 数列. (3)若Sn是等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也 是等差 数列. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差 数列.
2018届高三数学文一轮复习课件：5-2 等差数列及其前n
(3)等差数列{an}的单调性是由公差 d 决定的。( √)
解析：正确。当 d＞0 时为递增数列；d＝0 时为常数列；d＜0 时为递减 数列。 (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函数。 ( ×) 解析： 错误。 根据等差数列的通项公式， an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)， 只有当 d≠0 时，等差数列的通项公式才是 n 的一次函数，否则不是。
第五章 数 列
第二节
等差数列及其前n项和
微知识
微考点 微考场
小题练
大课堂 新提升
微知识
小题练
教材回扣 基础自测
一、知识清单 微知识❶ 等差数列的定义 如果一个数列从第 二 项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 ， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差，通常用字母
d 表示。
(5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数。(×)
nn－1 d 解析：错误。根据等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na1＋ 2 d＝2n2
d ＋a1－2n，显然只有公差 d≠0 时才是关于 n 的常数项为 0 的二次函数，
否则不是(甚至也不是 n 的一次函数，即 a1＝d＝0 时)。
解析：由 an＋1＝an＋2 知{an}为等差数列其公差为 2。 故 an＝1＋(n－1)×2＝2n－1。 答案：2n－1
微考点
大课堂
考点例析 对点微练
微考点
等差数列的基本运算
【典例 1】 (1)等差数列{an}中， a1＋a5＝10， a4＝7， 则数列{an}的公差为( B ) A．1 C．3 A．－6 C．－2 ＝( C ) A．3 B．4 C．5 D．6
2018届高三数学文一轮复习课件：5-2 等差数列及其前n项和 精品
解析：(1)方法一：设等差数列{an}的公差为 d，则aa11＋ ＋a31d＋＝47d，＝10， 即 2aa1＋1＋34d＝d＝71，0，
解得 d＝2。 方法二：由等差中项的性质知，a3＝a1＋2 a5＝5， 又∵a4＝7，∴公差 d＝a4－a3＝7－5＝2。
解析：(2)由等差数列前 n 项和公式知 S8＝8a12＋a8＝4(a1＋a8)＝4(a7＋a2)， 又 S8＝4a3， ∴4(a7＋a2)＝4a3。 ∴－2＋a2＝a3。 ∴公差 d＝－2。 ∴a9＝a7＋2d＝－6。
(3)关于等差数列奇数项与偶数项的性质：
①若项数为 2n，则 S 偶－S 奇＝
nd ，S奇＝ an 。 S偶 an＋1
n
②若项数为 2n－1，则 S 偶＝(n－1)an，S 奇＝n
an，S 奇－S 偶＝an
，S奇＝ S偶
n－1
。
S2n－1
(4)两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和 Sn，Tn 之间的关系为abnn＝ T2n－1 。
微考点
等差数列的判定与证明
【典例 2】已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1 ＝12。
(1)求证：{S1n}是等差数列； 解析：(1)证明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 又 an＝－2Sn·Sn－1， ∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0， ∴S1n－Sn1－1＝2(n≥2)。 由等差数列的定义知{S1n}是以S11＝a11＝2 为首项，以 2 为公差的等差数列。
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由。 解析：(2)由(1)知，bn＝n－72， 则 an＝1＋b1n＝1＋2n2－7， 设函数 f(x)＝1＋2x2－7，
2018-2019年高三一轮：5.2《等差数列及其前n项和》课件
(2)Sm，S2m，S3m 分别为{an}的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，Sm，S2m－Sm，
□ S3m－S2m 成 17 _等__差___数列。
(3)关于等差数列奇数项与偶数项的性质：
□ □ ①若项数为
2n，则
S
偶－S
奇＝
18
___n_d______，SS奇偶＝
4．等差数列的常用性质
□ (1)通项公式的推广：an＝am＋ 7 __(_n_－__m_)_d_____，(n，m∈N*)。
□ (2) 若 {an} 为 等 差 数 列 ， 且 k ＋ l ＝ m ＋ n ， (k ， l ， m ， n ∈ N*) ， 则 8
______a_k_＋__a_l＝__a_m_＋__a_n______。
□ 在等差数列{an}中，若 a1＞0，d＜0，则 Sn 存在最 14 __大____值；若 a1＜0，d＞0，
□ 则 Sn 存在最 15 __小____值。
8．等差数列与等差数列各项的和有关的性质 (1)若{an}是等差数列，则{Snn}也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}
□1
□ (3)若{an}是等差数列，公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 9 _2_d____。
□ (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}是 10 _等__差__数__列_____。
□ (5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 11
答案：C
2．在等差数列{an}中，a2＋a6＝32π，则 sin2a4－π3＝(
)
3
1
A. 2
浙江版2018年高考数学一轮复习专题6.2等差数列及其前n项和讲201711283100
第02节等差数列及其前n项和【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测2013浙江文19；理18；1.理解等差数列的概念，掌2014浙江文19；1.利用方程思想进行基本量等差数列的概握等差数列的通项公式；2015浙江文10,17；理3；的计算.念与运算2.了解等差数列与一次函数. 2016浙江文8；,理6；2等差、等比数列的综合问题.2017浙江6. 3.特别关注:2013浙江文19；理18；(1)方程思想在数列计算中的 1.掌握等差数列前n 项和2014浙江文19；应用;等差数列的公式及其应用；2015浙江理3；(2)等差数列的通项公式、前前n项和 2.会用数列的等差关系解决2016浙江文8；,理6；n项和公式的综合应用.实际问题.2017浙江6.【知识清单】一．等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.用递推公式表示为a a 1 d(n2) 或n n a 1 a d(n1).n n2.等差数列的通项公式：a a 1 (n 1)d；n说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d 0 为递增数列，d 0 为常数列，d0 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项,其中Aa ba，A，b成等差数列A .2n(a a) n(n 1) 4.等差数列的前n和的求和公式：S 1 na d.nn 12 2 a b. 25.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．1对点练习：【2017届浙江省温州市二模】在等差数列{푎푛}中，若푎22 + 2푎2푎8 + 푎6푎10 = 16，则푎4푎6 = _______. 【答案】4二、等差数列的前 n 项和n (aa )n (n 1) 等差数列的前 n 和的求和公式： S1nnad .n122对点练习：【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知等差数列a 的前 n 项和为nS ，若nS14， 9 S，则 a__________，kkka 的最大值为__________．1【答案】 5 4.【解析】aSS15 ，因为 Skkkkk a159 ，又 k 的最小值为 2，可知2a 的最大值 1为 4.三、等差数列的相关性质 1.等差数列的性质：（1）在等差数列a 中，从第 2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；n（2）在等差数列a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如： a ， a ， a ，n135a ，……； a ， 73a ， a ， a ，……；81318a an m d ， d a n a m(m n ) ；（3）在等差数列a中，对任意m ， n N ，( )nnmn m（4）在等差数列a中，若m，n，p，q N且m n p q，则a a a a,特n m n p q殊地，2m p q时，则2a a a，a是a、a的等差中项.m p q m p q（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即S,S S,S S成等n2n n3n2n差数列.2（6）两个等差数列{a }与{b }的和差的数列{ab }仍为等差数列．nnnn（7）若数列{a }是等差数列,则{ka }仍为等差数列．nn2．设数列{a }是等差数列，且公差为 d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有 2n 项，则n① S -Snd奇偶； ②Sa 奇nSa偶 n 1；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则① SS 偶奇aa中(中间项)；②nS n 奇Sn 1偶.3.,a,a q a p pq ,则pqp qS S Smnd .m nmn4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等 差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．aS 5.若{ }b 为等差数列，且前 n 项和分别为 S n 与 S n '，则21.a 与{ }mmnnbS 'm2m16．等差数列的增减性： d 0 时为递增数列，且当a 1 0 时前 n 项和 S 有最小值． d0 时n为递减数列，且当a 10 时前 n 项和S 有最大值．n对点练习： 1.在等差数列a 中，已知 a 3a 810 ，则3aa = （）n57A ．10B ．18C ．20D ．28【答案】C2.已知等差数列{a}的前n项和为n S，满足nS5 S，且0a1 ，则S中最大的是（）9 nA．S B．S C．S D．S6 7 8 15【答案】B【解析】由 5 S 6 7 8 9 2 7 8 0S,得a a a a a a,由a1 0知,a7 0,a0 ,所以S9 8 7最大，故B正确.3【考点深度剖析】等差数列的性质、通项公式和前n项和公式构成等差数列的重要内容，在历届高考中必考，既有独立考查的情况，也有与等比数列等其它知识内容综合考查的情况．选择题、填空题、解答题多种题型加以考查．【重点难点突破】考点1 等差数列的定义、通项公式、基本运算S为等差数列a的前n项和．若 6 8a a，4 5 24 S ，【1-1】【2017全国卷1（理）】记n n则{a}的公n差为（）.A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C【1-2】【2017全国卷2（理））】等差数列a的前n项和为n S，a，3 3nS ，则4 10n1kS k1．【答案】2n n1【解析】设a首项为n a，公差为d．则a 3 a 1 2d 3 ，1S a d ，求得a ，d 1，则a n，4 4 1 6 10 1 1n Snn n1，22 1 1 1 1 1 1 1 1 n1 2 2 22kS kn nn n12 23112 2 3n 1 nn n 1 112n 2 1n 1n1. 【1-3】【2017届天津市耀华中学二模】已知等差数列a 的前项和为 S ，且 nnS，若记2142b2，则数列2aa ab （ ）11913nnA. 是等差数列但不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列4C. 既是等差数列又是等比数列D. 既不是等差数列又不是等比数列【答案】C【领悟技法】1．等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列1 n N(常数)，则数列a，若a a d a是等差数列；nn n n(2) 等差中项：对于数列a，若n 2 n a aa n N ，则数列a是等差数列;1 n n2 n(3)通项公式：a pn q( p,q为常数,n N )⇔a是等差数列;n n(4)前n项和公式： 2 a是等差数列;S An Bn(A, B为常数, n N )⇔n nS(5)a是等差数列⇔nnn是等差数列.2．活用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．即1n(a a) n(n 1)1 ( 1)等差数列的通项公式a a n d及前n项和公式 1 n，共S nad n n 12 2涉及五个量a1,d,n,a n,S n，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a、d，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通1过“设而不求，整体代入”来简化运算．3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为a d,a,a d；四个数成等差数列，一般设为a3d,a d,a d,a3d.这对已知和,求数列各项,运算很方便.54．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用a a a 验证即可．1, 2 , 35.等差数列的前 n 项和公式n (aa )若已知首项a 和末项 a ，则 S1n，或等差数列{an }的首项是 a 1 ，公差是 d ，则其1n n2n (n 1)前 n 项和公式为 Snad .n12【触类旁通】【变式一】【2018届甘肃省兰州市西北师范大学附属中学高三一调】在《张丘建算经》有一道 题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日， 问共织布几何？” （ ） A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】Ca【变式二】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列 a 满足 a 1,an 10【变式二】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】数列n1n2a1n 1.1（Ⅰ）求证：数列an是等差数列； b 2a（Ⅱ）若数列2, nn2, nnb 满足b1n1ba 1nn，求b 的前 n 项和 S .nn【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） Sn23 2n 16 n【解析】a试题分析：（1）先依据题设条件将 a1nn2a1n 1变形为112 ，进而借助等差数aan 1n1列的定义证明数列an是等差数列；（2）借助（1）的结论可求得 1anba1 2 n 1 2n 1,进而依据12 a b从而求得求得2 2n 1 2nnnn nbann 1b2n 12n ，然后与运用错位相减法求得S 2n32n16 ： nn6解：（Ⅰ）若a10，则 a0，这与 a 1 1矛盾，nn∴a10 ，n由已知得2 0a aaa，n n 1nn 1∴ 112 ， a an 1n故数列a 是以 n1 a 11为首项，2为公差的等差数列. 1（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，12 n 12n 1，a1ba 由12 1 12nn可知a 1b12a b .又 a bnnn nbann 1∴ a b22n12n ∴b2n 12 ，nn nn∴ S123n，1 2 3 2 5 2212nn则21 2 3 2 5 2 2 1 2nS234n1 ，n∴2311S2 2 2 2222n2n 1 2n3 2n 2n6，n∴1S2n 32n6n考点2 等差数列的性质【2-1】【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）】数列a满足n2a a a n 2，且a aa ，n n 1 n 11 3 5 9 a a a ，则a aa2 4 6 123 4 5（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D7【2-2】【云南省昆明一中 2018届高三第二次月考】在数列a 中， na 28 ，a ，且522nN ），则a aa （*n 1n 2naaa 的值是（）1210A. -10B. 10C. 50D. 70【答案】C 【解析】由2aaa 得 2a 是等差数列，由aaa，即数列n 1n 2nn 1n 2nna，a ，可得 an ，，当1n6时， a0，当28 5 2 a 11 0，d2 ，，所以2 12nnn 7 时， a0，所以naa a SS，选 C ．1210261050【2-3】 【2017届宁夏石嘴山市第三中学高三三模】已知函数 f x在1,上单调,且函数 yf x 2的图象关于 x1对称,若数列a 是公差不为 0的等差数列,且nf afa ,则a 的前 100项的和为( )5051nA.200B.100 C. 0D.50【答案】B【领悟技法】1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．83.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.【触类旁通】【变式一】【2017届湖南省衡阳市高三下第二次联考】设等差数列a的前n项和为n S，已n知a 8 1 3a 8 2 ，则下列选项正确的是（）a 3 a ，35 1 3 5 4A.S 1212 ，a a B.5 8S 1224 ，a aC.5 8S 1212 ，a aD.5 8S 12 24 ，a a5 8【答案】A【解析】由a3 a ，5 1 3 5 4 aa 可得：38 1 3 82aaaa，构造函数f(x ) x 3 x，显然函数是奇函3 35 1 3( 5 1) 1, 8 1 3( 8 1) 1数且为增函数，所以f(a 1) 11f(a 1) a1a 1，5 8 5 8a a，又5 8f af a所以(a1) (a 1) 所以 5 8 2( 1) ( 1) 0 a a ，故5 8 5 812(a a)S 6(a a ) 121 1212 5 82【变式二】【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列,a b满足n na ab，且对任意的正整数m, n, p,q ，当m n p q时，都有1 1,2 2, 1 112018a b a b，则a b 的值是__________． mn p q ii2018i 1【答案】 2019 【解析】由题意可得ab ab ，21 12b， 2 2ab ab 得 a ，又3122,33abab，n 1 nnn 1a1b 1 aba 1b 10，即 ab ,ab 2a ，原nnnnnnnnn式可化为当 m+n=p+q 时aaaa ，即 a 为等差列， mnpq n12018a n ，ab=nii 2018i 1i 11 201820182a=2019，填2019.ii 1考点 3 等差数列的前 n 项和公式的综合应用【3-1】【2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）模拟一】若数列a 满足 na且11593 3 2aa ，则使a a 1 0 的k的值为( )n 1 n k kA. 21B. 22C. 23D. 24 【答案】C【3-2】【2017届浙江嘉兴市高三上基础测试】设等差数列{a}的前n项和为n S，已知na，3 16a，则公差d；S为最大值时的n．6 10n【答案】d2 n 10 或116 3 (6 3) , 10 16 3 , 2 a 3 a 1 (31)d，【解析】a add d，因为16 a 2(2)，1a ， 2 211 20 S nn，当n1 20 S n n，当n n212(1)，由n 得n 10 或11时，S为最大值．n【3-3】【2017届安徽省池州市东至县高三12月联考】已知S 是等差数列a的前n项和，n n且S S S，给出下列五个命题：①d 0 ；②S ；③S ；④数列S中的最6 7 5 n11 0 12 0大项为S；⑤11 a a，其中正确命题的个数为（）6 7A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B10【领悟技法】求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当a 10 ， d时，S 有最大值； na 1 0 ， d0 时，S 有最小值；若已知 a ，则 nnS 最值时 n 的值n（ n N ）则当a， d 0 ，满足10 a0 na的项数 n 使得n 1S 取最大值，(2)当 1 0a，nd0 时，满足an的项数 n 使得an 1S 取最小值.n2.利用等差数列的前 n 项和： SAn 2 Bn (A , B 为常数, n N)为二次函数，通过配方n或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性 （ d0 ,递增； d 0 ，递减）；aa n n 13. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设a 为最大项，则有na an n 1；aa n n 1求最小项的方法：设a 为最小项，则有na an n 1.只需将等差数列的前 n 项和 n 1, 2,3,依次看成数列S，利用数列中最大项和最小项的求法即可.n4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.【触类旁通】【变式一】【2017浙江卷6】已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S4+ S6>2S5”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C11【变式二】【2018届湖北省武汉市部分学校新高三起点调研】设等差数列a满足na 3 a 736，a4a 6 275，且a a 有最小值，则这个最小值为__________．n n 1【答案】-12【解析】因为数列a是等差数列，且a 3 a 7 36，所以a 4 a 6 36 ，na4a 6 275,a4 ,a6 是一元二次方程t 2 36t 275 0 的二根，由t 2 36t 275 0 得t 25t110，t 或a a时，1 25 t2 11，当4 25, 6 11da a6 4 11 2576 4 2，a a时，，当a a4 n 4 d7n53 0, 0n n n 17n 53a a 取得最小值，由{n n n17 1 53 0解得46 53，n 7时，n7 7a a 取得最小n n 1值，此时aaa a，当7 4, 8 3, 1 min 12 aa时，n n4 11, 6 25da a6 4 25 1176 4 2，a a n d n，当n4 4 7 17a0,a 0 时，a n a n 1取n n 17n 17 0得最小值，由{10 17解得，n 2时，a a 取得最小值，此时n n 17 n 1 17n7 7aaa a，故答案为12.2 3,3 4, 1 min 12n n【易错试题常警惕】易错典例：在等差数列a中，已知a1＝20，前n项和为n S，且S10＝S15，求当n取何值n时，S有最大值，并求出它的最大值．n10 × 9 15 × 14 5 【错解一】设公差为d，∵S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋ d.得d＝－，2 2 35a n＝20－(n－1)· .35 12 × 11 5 当a n＞0时，20－(n－1)·＞0，∴n＜13.∴n＝12时，S n最大，S12＝12×20＋ 2 ×(－3 )3＝130.当n＝12时，S n有最大值S12＝130.125【错解二】由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－，令3520＋（n－1）(－3 )＞0，①{ 3 )≤0，②)520＋n(－由①得n＜13，由②得n≥12，∴n＝12时，S n有最大值S12＝130.易错分析：错解一中仅解不等式an＞0不能保证Sn最大，也可能an＋1＞0，应有an≥0且an＋1≤0.错解二中仅解an＋1≤0也不能保证Sn最大，也可能an≤0，应保证an≥0才行．10×915×14 正确解析：解法一：∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋d＝15×20＋ d.∴d＝－225.35 565∴a n＝20＋(n－1)×(－3 )＝－n＋.∴a13＝0.即当n≤12时，a n＞0，n≥14时，a n＜0.3312 × 11 5 ∴当n＝12或13时，S n取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.2 (－3 )5 n（n－1） 5 5 125解法二：同解法一，求得d＝－，∴S n＝20n＋·＝－n2＋n2 (－3 )3 6 65 25 2 3 125＝－6(n－＋.∵n∈N*，∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12＝S13＝2)24130.5解法三：同解法一，求得d＝－，又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，3∴5a13＝0，即a13＝0.又a1＞0，∴a1，a2，…，a12均为正数．而a14及以后各项均为负数，∴当n＝12或13时，S n有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.温馨提醒：1.解决等差数列前n项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当a1＞0，d＜an0时，S n最大⇔aa 0n；②当a1＜0，d＞0时，S n最小⇔.a0 n 10 n 12.在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．13【学科素养提升之思想方法篇】----函数思想在数列求最值问题中的应用数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1．等差数列的前n项和与函数的关系n(n 1)d d d等差数列的前n项和公式为S nad可变形为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a12 (a1－2)n 12 2d－，则S n＝An2＋Bn.2当A≠0，即d≠0时，S n是关于n的二次函数，(n，S n)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和S n的最值问题．2．等差数列前n项和的最值(1)若等差数列的首项a1>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足Error!(2)若等差数列的首项a1<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足Error!3．求等差数列前n项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使S n取得最值．(3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足Error!的项数n，使S n取最大值；当a1<0，d>0时，满足Error!的项数n，使S n取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n取最值的n有两个．【典例】【2018届吉林省吉林市五十五中开学考试】已知数列{a}是一个等差数列，且na ， 5 52 1a.（Ⅰ）求{a}的通项n a；n（Ⅱ）求{a}前n项和n S的最大值．n【答案】（1）a 2n 5 ；（2）n S的最大值为4. n【解析】14方得2Sn 24，根据二次函数图象及性质可知，当 n 2 时，前 n 项和取得最大值，n最大值为 4.等差数列前 n 项和 SAn 2Bn 2 ，因此可以看出二次函数或一次函数（ dn时）来求最值，考查数列与函数.a a5 1试题解析：（1） d5 225252，所以a a 2n 2 d1n222n 5；n（2）a ，S3n2n 4nn n 11322当 n 2 时，前 n 项和取得最大值，最大值为 415。
2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：5.2等差数列及其前n项和
【解析】选A.a1+a3+a5=3a3=3⇒a3=1,S5= =5a3=5.
4.(2016·北京高考)已知{an}为等差数列,Sn为其前n 项和,若a1=6,a3+a5=0,则S6=________. 【解析】a3+a5=(6+2d)+(6+4d)=0,所以公差d=-2, S6=6×6+ 6 5 ×(-2)=6.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求 结果都用a1,d表示,寻求两者联系,整体代换即可求解. (3)利用性质:运用等差数列性质,可以化繁为简、优化 解题过程.
易错提醒:要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),只有当序号之和相等、项 数相同时才成立.
【解析】选C.等差数列中,S15=15 a8=15(a1+7d), a2+a13=2a1+13d,a2a13=(a1+d)(a1+12d),a1+a8+a15= 3(a1+7d),a1a8a15=a1(a1+7d)(a1+14d),其中只有
是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项
和,若S8=4S4,则a10=
17 A. 2 19 B. 2
(
) C.10 D.12
(2)(2017·沧州模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn,已 知a5=8,S3=6,则S10-S7的值是 ( A.24 B.48 C.60 ) D.72
【解题导引】(1)由S8=4S4求出首项,再由a10=a1+(101)d求出a10的值. (2)列出关于a1,d的方程组求解.
高考数学一轮复习第五章数列推理与证明第2讲等差数列课件理
考点(kǎo di等ǎn)差1数列的基本(jīběn)运算 例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)记 Sn为等差数列(děnɡ chā shù liè){an}的前n项 和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
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解析：方法一，设公差为 d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1 ＋7d＝列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
第2讲 等差数列(děnɡ chā shù liè)
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1.理解(lǐjiě)等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
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1.等差数列的定义
7.等差数列的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
a1<0，d>0，则Sn存在(cúnzài)最_小_____值.
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1.(2015 年重庆(zhònɡ qìnɡ))在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6 ＝( B )
A.－1
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考点(kǎo diǎ等n) 差2 数列的基本性质(xìngzhì)及应用 例2：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40 ＝( ) A. 思路点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据 (gēnjù)题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n项和公式求S40； 思路2，设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A， B，从而得Sn，进而得S40；
2018高考数学文科一轮复习讲义 10.2 第二节 等差数列及其前n项和
第二节 等差数列及其前n 项和【考点点知】知己知彼，百战不殆新课标要求：“①通过实例，理解等差数列的概念；②探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；④体会等差数列与一次函数的关系．”由此，新课标的高考重点考查等差数列的定义、通项公式、性质及前n 项和，既有客观题，又有解答题．客观题突出“小而巧”，考查性质的灵活应用；主观题“大而全”，考查数列、函数、导数、不等式等知识的综合，常考常新．考点一: 等差数列的概念1.等差数列的定义.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示.2.等差中项.在两个数a 与b 间插入一个常数A,使a ,A,b 成等差数列,则把A 叫做a 与b 的等差中项.2a bA +=,即2a b A +=. 3.等差数列通项公式=n a 1(1)a n d +- (n ≥1). 考点二: 等差数列前n 项和公式 1.等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=d n n na 2)1(1-+=2.等差数列的前n 项和n S 与函数的关系. 21()22n d dS n a n =+-，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.考点三: 等差数列的性质1.等差数列单调性:若{n a a }是公差为d 的等差数列,则d>0时,{n a a }是递增数列;d<0时,{n a a }是递减数列;d=0时,{n a a }是常数列.2.通项特征:(1)等差数列通项公式=n a 1(1)a n d +- (n ≥1)可推广为数列通项公式=n a ()m a n m d +-.(2)若*(,,,)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+.(3)若{n a a }是有穷数列,则与首末两项等距离的两项之和相加,等于首末两项之和. (4)项数成等差数列,则相应的项也成等差数列,即也成等差数列2,,,k k m k m a a a ++⋅⋅⋅a*(,)k m N ∈成等差数列..3.前n 项和性质:设n S 是等差数列{n a a }的前n 项和,则 (1)232,,,k k k k k S S S S S --⋅⋅⋅a a a 构成的数列是等差数列;(2){}nS n也是一个等差数列; (3)12232()()()222n n n nn a a n a a n a a S --+++====⋅⋅⋅a a a a ; (4)1(1)(1)22n nn n d n n d S na na --==-a a ; (5)若{n a a }共有2n 项则21()n n n S n a a +=+a a ;S S nd -=偶奇;1n n S a S a +=偶奇a a . 若{n a a }共有21n -项则21(21)n n S n a -=-a ;n S S a -=-偶奇a ;1S n S n-=偶奇. 其中,S S 偶奇分别为数列的所有偶数项和所有奇数项的和. 4.其他性质:(1)设,n m a a a 是一等差数列中的任意两项,则 ()n ma a d n m n m-=≠-a a ;(2)数列{}n c a ⋅a 、{}n c a +a 、{}n n pa qb +a a 等数列都是等差数列,其中,,c p q 为常数,{}n b a 为等差数列.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007宁夏卷理科4)已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =（ ）Ａ．23-Ｂ．13-Ｃ．13 Ｄ．23 思路透析:由已知条件可得11010110110()5()5(10)702a a S a a a +==+=+=, ∴14a =, ∴101104210193a a d --===-, 故应选D. 点评:部分考生舍近求远,通过列首项与公式的方程组来求基本量,在解方程组中出现错误.实际上这样的解题方法是等差数列问题求解的通法.本题所给的解法是对等差数列的各种公式的灵活理解下的选择与应用.例 2.(基础·2007宁夏卷文科16)已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ．思路透析:由已知条件可得46151286,54510,2a a a d S a d +=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩即1143,22,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解之得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩点评:通过列首项与公式的方程组来求基本量,在解方程组中出现了不少错误.实际上这样的解题方法是等差数列问题求解的通法,细心的运算及整体性的观察化简可以提高运算的正确性.例3.(综合·2007广东卷理科5文科13)已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，则其通项n a = ；若它的第k 项满足58k a <<，则k = ．思路透析:由29n S n n =-可得等差数列{}n a a 的通项公式1210n n n a S S n -=-=-a ,∴210n a n =-a .由58k a <<a 可得52108k <-<且k Z ∈, 解之得1592k <<且k Z ∈, ∴8k =. 点评:部分考生将数列的通项公式求解错误,解数列不等式时忽视了k 的值为正整数的前提条件.在数列前n 项和公式条件下求数列的通项公式可以应用通法,也可以应用特殊化的思想方法求解,其对于解填空题较为实用,且正确率也较高.例4.(综合·2006·广东)设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知a ３=12,S １２＞0,S １３＜0． (1)求公差d 的取值范围．(2)指出S １，Ｓ２，…，Ｓ１２ 中哪一个值最大，并说明理由．思路透析:(1)依题意有121111311211120,2110,2131260.130,2S a d a d a d S a d ⨯⎧=+>⎪+>⎧⎪⇒⎨⎨⨯+<⎩⎪=+<⎪⎩由a ３=12,得a １=12-2d, 2470,14 3.30,7d d d +>⎧∴⇒-<<-⎨+<⎩(2)解法一：由d ＜0可知a １＞a ２＞a ３＞…＞a １２＞ａ１３．因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n 使得a n ＞0,a n +1＜0,则S n 就是S １，Ｓ２，…，Ｓ12中的最大值．由于S １２=6(a ６+a ７)＞0,S １３＝１３ａ７＜0,即a ６+a ７＞0, a ７＜0,由此得a ６＞—a ７＞0. 故在S １，Ｓ２，…，Ｓ１２中S ６的值最大．解法二：S n =na １+d n n d n d n n )1(21)212(2)1(-+-=- 22)]245(21[2)]245(21[2dd d n d ----= 21240,[(5)]2d n d∴<∴--最小时，S n 最大．y2y x 2x10374186*当241243,6(5) 6.572d d-<<-<-<时 ∴n =6时2245(21[dn --最 ∴S ６最大． 解法三：由d ＜0可知a １＞a 2＞a 3＞…＞a １２＞a １３．因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n +1＜0，则S n 就是S １，Ｓ２，…，Ｓ１２中的最大值．由已知16121137111211120,0,0,50,220,13120.60,130,2d a d a S a d S a a d a d ⨯⎧+>⎧⎪>>+>->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨<⨯<⎩⎩⎪⎪+<+<⎩⎪⎩ 故在S １，Ｓ２，…，Ｓ１２ 中S ６的值最大．点评:对等差数列前项和的最值问题有两种方法:①利用n a :当n a >0，d<0，前n 项和有最大值．可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值;当n a <0，d>0，前n 项和有最小值．可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值, ②利用n S ：n 2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值.例5.(创新探究·2007山东模)能够在如右表所示的55⨯正方 形的25个空格中填入正整数，使得每 一行，每一列都成等差数列，问必须填进标有*号的空格的数是 . 思路透析:设出通项ij a 为从上到下第i 行， 从左到右第j 列的格所填的数,根据其特征 规律及等差数列的性质,将未知数据关系式 列出,求得方程组的解.记ij a 为从上到下第i 行，从左到右第j 列的格所填的数，则5241,a x a y ==．由第3行得3321862y a +=，由第3列得3321032a x =⨯-，所以2113x y +=． 由第2行得232743a y =⨯-，由第3列得2333210331034a a x =-=⨯- 所以148331034y x -=⨯-，解得50,13x y ==． 所以1555218621864172a a x =⨯-=⨯-=，1315133353142112,1422a a a a a a +=-===．故标有*号的空格应填142. 点评:数据表数列问题均有一定的规律,破解数据表数列问题的关键就是要能够敏锐地捕捉数据表数列分组信息中的规则,合理巧妙地运用由特殊到一般及由一般到特殊的思想解决问题.例6.(创新探究·2007盐城模)编辑一个计算机自动执行程序：1々1 = 2 , m 々n = k , (m + 1)々n = k -1 , m 々(n + 1) = k + 2，则2 006々2 006的输出结果为 ( )A ． 2 004B ． 2 005C ． 2 006D ． 2 007思路透析: 可以固定其中一个字母,变化另一个字母求得该数列的通项,求得后再变化别一个变量得最后通项.也可以直接由特殊到一般去不完全归纳该数列通项公式,得基本关系式.解法一 (通法)∵[m 々(n + 1)-m 々n ]= k + 2-k =2, 取m =1,可得数列{1々n }是以1々1 = 2为首项,公差为2的等差数列 ,∴1々2 006 = 2 + (2 006-1)×2 = 4 012, 又∵[(m +1)々n - m 々n ] =k -1-k = -1,取n =2 006, 可得数列{m 々2 006 }是以1々2 006 = 4 012为首项,公差为-1的等差数列, ∴2 006々2 006 = 4 012+ (2 006-1)×(-1) = 2 007. 故应选C.解法二 由已知可得1々1 = 2 , 2々2 = 3 , 3々3 = 4,…,则可得2 006々2 006 =2 007. 故 应选D.点评:本题由历届的联考及高考试题演变而来,其主要应用了估测与递推两种方法求数列的通项公式, 这一解题方法也代表了数列问题求解的基本思想方法.考查了考生灵活答题的机智性与应答能力.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:（1）在等差数列的定义中，要强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；也要强调“ 同一个常数”，这五个字体现了等差数列的基本特征；还要强调公差是每一项（从第二项起）与它的前一项的差，防止减数与被减数弄颠倒.（2）将通项公式=n a 1(1)a n d +-变形得1()n a nd a d =+-a ，从函数角度来看它可以看作是关于n 的一次函数（0d ≠) 时或常数函数（0d =时），它的图象是一条射线上的横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率.（3）等差中项不仅描述了等差数列中相邻三项之间的数量关系：112n n na a a -++=a a a （2n ≥），还可推广为：等差数列中若项数*(,,,)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+.(4)倒序求和法.把所要求的和式的顺序倒过来与原来的和式相加,再将两边同除以2,即得所求的和.此方法适用于对应的项之和有公因式可提取或其和为定值.(5)数列{},n a 是等差数列，S n 是其前n 项和，,k k k k k S S S S S 232,,--也成等差数列.(6)公式变形为2n S An Bn =+，其中21,22d dA nB a ==-，可以把它看作是关于n 的二次函数（0d ≠），它的图象是过原点的抛物线上横坐标为正整数的一群孤立的点；当0d =时, n S Bn =,它的图象为射线y Bx =上横坐标为正整数的一群孤立的点.（7）1()22n S d dn a n =+-是关于n 的一次函数或常数函数，因而数列{}n a a 也是一个等差数列.(1)(8)等比数列的性质是等比数列定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题.(9)将等差数列问题化归为基本量的关系来解决是通性通法．一般的，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道任意三个元素，可建立方程组，求出另外两个元素，即“知三求二”.2.学以致用:(1)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差为 A.5 B.4 C. 3 D.2(2)设等差数列首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项的和为217,则这样的数列有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个(3)在等差数列{a n }中，满足3a 4=7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n =_____.(4)已知数列｛n a ｝的前n 项和为n S =2n a －3. (Ⅰ)求数列｛n a ｝的通项公式n a ； （Ⅱ）设n b =2n n na ，证明数列{nb }是等差数列，并求数列｛n b ｝前n 项和. 答案:(1)C 解法一:设等差数列的公差为d ,解方程组115(51)5a 2d 1525(51)5(a d)2d 302-⎧+⋅=⎪⎪⎨-⎪++⋅=⎪⎩得d 3=,故应选C.解法二:设等差数列的公差为d ,由已知可得135********15, (1)30, (2)a a a a a a a a a a ++++=⎧⎨++++=⎩(2)-(1)得53015153d d =-=⇒=, 故应选C.(2)C 解析:设此数列的首项为1a ,公差为d ,项数为n , 且110,0,,.a d a d N ≥≥∈于是21(1)172n n n S na d -=+=, 即21[(1)2]217n n d a -+=⨯. 当17n =时,得1817d a +=, 解之得1110,1,2,17,9, 1.d d d a a a ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或 当217n =时, 得21(171)22d a -+=,解之得10,1.d a =⎧⎨=⎩ 当2217217n n =⨯=⨯或时,方程无解, 故共符合条件的数列共有四个,应选C. (3)9 解法一：设公差为d ，由题设有3（a 1+3d ）=7（a 1+6d ）， 解得d =－334a 1<0，解不等式a n >0，即a 1+（n －1）（－334a 1）>0得n <437，则n ≤9.当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10时a n <0. 所以n =9时，S n 取得最大值. 解法二：∵d =－334a 1 , ∴S n =na 1+)235(332)334(2)1(2)1(2111n n a a n n na d n n --=--+=- =])435()435[(332221---n a , ∵－3321a <0，∴（n －435）2最小时，S n 最大.又n ∈N ，∴n =9.(4)解析:（I ）当1=n 时，3211-=a a 即31=a .当2≥n 时，)(2)32()32(111----=---=-=n n n n n n n a a a a S S a 解得 12-=n n a a ， 于是21=-n na a ，因此对任何123,1-⋅=≥n n a n . （II ）n nab nn n 232==所以n b -1n b -a =32，由等差数列的定义可以知道，数列{n b }是等差数列.∴ {}n b 的前n 项和)21(2321n b b b n +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++2)1(23n n +⋅=4)1(3+=n n 3.易错分析:(1)容易把等差数列的项数搞错，导致解题错误； (2)不能灵活运用两个求和公式及其相应的性质解题.(3)等差数列可以看成一个特殊函数,要注意理解其图象是一群孤立点.等差数列图象是直线()y dx a d =+-上横坐标为正整数的孤立点.(4)对等差数列前项和的最值问题注意有两种方法:①利用n a :当n a >0，d<0，前n 项和有最大值．可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值, 当n a <0，d>0，前n 项和有最小值．可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值, ②利用n S ：n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值. (5)要注意不同性质适用的条件和注意事项.等差数列的性质适用与不同的数列结构，总结起来就是项数关系和数列的项之间的关系特征.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.等差数列{a n }中，a ,2700,20010052515021=+⋯++=+⋯++a a a a a 则公差为d 等于( )A ．-1 B.1 C.5 D.502.已知数列{}n a 中，3a =2，7a ＝1，若1{}1n a +为等差数列，则11a 等于 A. 0 B.12 C. 23D. 2 3.已知数列｛n a a ｝等差数列,且31150a a +=,413a =,则数列｛n a a ｝的公差等于 ( ) A. 1 B. 4 C. 5 D. 64.在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于 A. 40 B. 42 C. 43 D. 455.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315,a a a ++= 12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．756.已知两个等差数列{n a a }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且3457++=n n B A n n ，则使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题:7.在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内.8.若等差数列{a n }中，公差d =2，且a 1+a 2+a 3+……+a 100=200，则a 5+a 10+a 15+……+a 100的值是 .9.若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-= ，，，，则此数列的通项公式为；数列{}n na 中数值最小的项是第项．10.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，且这个数列的前21项和S 21的值为______________.三、解答题:11.已知{}n a 是等差数列，公差0d ≠，1a 、3a 、13a 且成等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和．（Ⅰ）求证：1S 、3S 、9S 成等比数列； （Ⅱ）若39,21,n S a ==求n.12.已知数列{n a a }的前n 项和为n S =32n-n 2(Ⅰ)求n a a 的通项公式;(Ⅱ)若n b =|n a a |，求{n b }的前n 项和T n ．13.已知函数f(x )=a 1x +a 2x 2+…+a n x n (n ∈N *)，且a 1，a 2，a 3，…，a n 构成数列{a n }，又f(1)=n 2． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）求证：1)31(<f ．14.在数列}{n a 中，122,411,111-=-==+n n n n a b a a a ，其中.*N n ∈（Ⅰ）求证：数列}{n b 是等差数列；（Ⅱ）求证：在数列}{n a 中对于任意的.*N n ∈都有n n a a <+1；（Ⅲ）设n bn c )2(=，试问数列}{n c 中是否存在三项它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由.【能力训练】参考答案 一、选择题:1. B2. B3. B4. B5. B6. D 二、填空题:7. 140；85 8. 120 9. 211 3n - 10. 3 52 三、解答题:11.解析:（1）证明：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则(a 1+2d )2=a 1(a 1+12d )， ∴8a 1d =4d 2，又d ≠0, ∴d =2a 1且a 1≠0． 由此S 1=a 1，311911329839,98122S a d a S a d a ⨯⨯=+==+=， ∵2319S S S =⋅， ∴S 1，S 3，S 9成等比数列．（2）解：由S 3=9a 1=9得a 1=1, 又d =2a 1，∴d =2.∴a n =2n −1．∴2n −1=21，解得n =11． 12.解析:31,111===s a n 时n ≥2时，n a a =n S -1n S -=(32n-n 2)-[32(n-1)-(n-1)2]=32-(2n-1)=-2n+33 ∴n a a =-2n+33(n ∈N*) 由a n =-2n+33>0得 n<233 ∵n ∈N*，∴n=1,2,…，16时n a a >0 同理n=17，18，…，时，n a a <0 ∴1≤n ≤16时n a a a +++ 21= 12a a ++…+n a a =32n-n 2n ≥17时n a a a +++ 21= 12a a ++…+a 16- a 17 -a 18-…-n a a=-（12a a ++…+n a a ）+2s 16=-（32-n 2）+2（32×16-162）=n 2-32n-512∴Tn=⎩⎨⎧---512323222n n n n *),17(*),161(N n n N n n ∈≥∈≤<13.解析:（Ⅰ）由题意：f(1)=a 1+a 2+…+a n =n 2，(n ∈N *)n =1时，a 1=1n ≥2时，a n =(a 1+a 2+…+a n )-(a 1+a 2+…+a n -1)=n 2-(n -1)2=2n -1 ∴对n ∈N *总有a n =2n -1,即数列{a n }的通项公式为a n =2n -1.(Ⅱ)n n f 31)12(313311)31(2-+++⋅= =)31(31f 1231)12(31)32(311+-+-++⋅n n n n 1311)31(,3223231)12(311311923131)12()313131(2311)31(32111132<+-=∴+-=----⋅+=--+++⋅=∴++-+n n n n n n n f n n n f 14.解析:(Ⅰ)因为12212211---=-++n n n n a a b b . =).(21221241221)411(22*N n a a a a a n n n n n∈=---=---- 所以，数列}{n b 是等差数列,（Ⅱ）因为11=a ，所以,212211=-=a b 所以.22)1(2n n b n =⨯-+= 由122-=n n a b 得，)(1212*N n n b a n n ∈==-，所以n n a n 21+=, 所以0)1(2121)1(221<+-=+-++=-+n n n n n n a a n n ， 所以在数列}{n a 中对于任意的*N n ∈都有n n a a <+1. （Ⅲ）n b n n c 2)2(==，设}{n c 中存在三项),,,(,,*N p n m p n m c c c p n m ∈<<成等差数列 则p m n 2222+=⋅，所以p m n 2221+=+，………9分 m p m n -+-+=2121, 因为*,,,N p n m p n m ∈<<，所以*,1N m p m n ∈-+-， 12+-m n 为偶数，m p -+21为奇数，所以12+-m n 与m p -+21不可能相等, 所以数列}{n c 中不存在可以构成等差数列的三项.。