第02讲 等差数列及其前n项和 (精讲)(学生版)

第02讲 等差数列及其前n 项和(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆 第二部分：课前自我评估测试 第三部分：典型例题剖析题型一：等差数列基本量的运算 题型二：等差数列的判断与证明 题型三：等差数列的性质及其应用角度1：等差数列的性质 角度2：等差数列前n 项和的性质 角度3：等差数列的最值问题第四部分：高考真题感悟1.等差数列的概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．数学语言表示为1n n a a d +-=(n N *∈)(或者1(2)n n a a d n --=≥），d 为常数．(2)等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 和b 的等差中项，且2a bA +=. 注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：1n n a a d +-=(n N *∈)(或者1(2)n n a a d n --=≥） ②等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ 2.等差数列的有关公式(1)若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则其通项公式为1(1)n a a n d =+-，可推广为()n m a a n m d =+-(,n m N *∈*)．(2)等差数列的前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n dS na +-==+(其中n N *∈)． 3.等差数列的常用性质已知{}n a 为等差数列，d 为公差，n S 为该数列的前n 项和．(1)等差数列{}n a 中，当m n p q +=+时， m n p q a a a a +=+(,,,m n p q N *∈)．特别地，若2m n p +=，则2m n p a a a +=(,,m n p N *∈)．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即k a ，k m a +，2k m a +，…仍是等差数列，公差为md (,k m N *∈)．(3){}n S n 也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差为12d . (4)n S ，2n n S S -，32n n S S -…也成等差数列，公差为2n d .（5）若数列{}n a ,{}n b 均为等差数列且其前n 项和分别为n S ,n T ,则2121n n n n a S b T --= 4.等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系1(1)n a a n d =+-可化为1n a dn a d =+-的形式．当0d ≠时，n a 是关于n 的一次函数；当0d >时，数列为递增数列；当0d <时，数列为递减数列． (2)等差数列前n 项和公式可变形为21()22n d dS n a n =+-.当0d ≠时，它是关于n 的二次函数，表示为2n S An Bn =+(A ，B 为常数)．1．（2022·四川成都·高一期中）已知数列{}n a 为等差数列，若15915a a a ++=，则28a a +的值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．102．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（文））下列数列不是．．等差数列的是（ ） A ．0，0，0，…，0，… B ．－2，－1，0，…，n －3，… C ．1，3，5，…，2n －1，…D ．0，1，3，…，22n n-，…3．（2022·江苏南京·模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（ ） A ．10秒B ．13秒C ．15秒D ．19秒4．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列{}n a 中2341,25a a a =-+=，则20222020a a -=_______． 5．（2022·全国·高二课时练习）数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是______．题型一：等差数列基本量的运算例题1．（2022·宁夏吴忠·高一期中）已知等差数列{}n a 中，22a =，156a a +=. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列的{}n a 前n 项和n S .例题2．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{}n a 中，2524a a +=，1766a =． (1)求2021a 的值；(2)2022是否为数列{}n a 中的项？若是，则为第几项？例题3．（2022·北京二中高二学业考试）已知数列{}n a 是等比数列，142,16a a ==， (1)求数列{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；(2)若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .例题4．（2022·辽宁·高二期中）已知等差数列{}n a 的公差2d =，且252a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若m S ，9a ，15a 成等比数列，求m 的值．题型归类练1．（2022·广西·高二学业考试）已知等差数列{}n a 中，前4项为1，3，5，7，则数列{}n a 前10项的和10S =（ ） A ．100B ．23C ．21D ．172．（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ） A ．10B ．14C ．23D ．263．（2022·北京·北师大实验中学高二阶段练习）在3和9之间插入两个正数后，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个正数之和为（ ） A ．1132B ．1114C ．1102D ．104．（2022·吉林松原·高二阶段练习）在数列{}n a 中，当2n ≥时，1(1)1n n n a na --=-，若21003,a a ==__________．5．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺6．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，28a =，且2124n n n S S S ++-+=． (1)求证：数列{}n a 是等差数列；(2)若m a ，m S ，114m a +成等比数列，求正整数m ．题型二：等差数列的判断与证明例题1．（2022·全国·高二课时练习）对于数列{}n a ，“n a kn b =+”是“数列{}n a 为等差数列”的（ ） A ．充分非必要条件； B ．必要非充分条件； C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件.例题2．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和公式为222n S n n =+，则数列{}n a （ ） A ．是公差为4的等差数列 B ．是公比为2的等比数列 C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列例题3．（2022·全国·高三专题练习）若数列{}n a 满足115a =，且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 值为（ ） A ．22 B ．21 C ．24D ．23例题4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足12n n a a --=（2n ≥且*n N ∈），n S 为数列{}n a 的前n 项和，且20214042S =，则1011a =______. 例题5．（2022·全国·高二课时练习）在数列{}n a 中，112a =，225a =，且当1n >时，有11112n n n a a a -++=，则n a =______．例题6．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 满足1133n n na a +=+，设13,8nnn b a b =⋅=-. (1)证明：数列{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；例题7．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()12n n S n a a =+． (1)求证：数列{}n a 为等差数列；题型三：等差数列的性质及其应用角度1：等差数列的性质例题1．（2022·四川省成都市新都一中高一期中（理））已知数列{}n a 满足()*122n n n a a a n ++=+∈N ，且38132πa a a ++=，则()79cos a a +=（ ）A．B ．12-C ．12D例题2．（2022·江西·二模（理））已知等差数列{}n a 中，1234a a a ++=，13141512++=a a a ，则789a a a ++等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9例题3．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项的和分别是n S 和n T ，且21n n na b n =+，则1111S T =（ ） A ．1221B ．1123C ．613D ．1223例题4．（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且214nnA n Bn +=+，则28357b b a a a +=++（ ）A ．43B ．3839C ．1319D ．2657例题5．（2022·全国·高三专题练习）两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a ab b ++等于（ ）A ．10724B ．724C ．14912D ．1493例题6．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二开学考试）等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别记为n S 与n T ，若2634n n S nT n =+，则3124a ab +=（ ） A ．725B ．1425C ．2125D ．4225角度2：等差数列前n 项和的性质例题1．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）已知数列{}n a 是等差数列，3613S S =，则612S S =（ ） A ．310B ．13C ．18D ．19例题2．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若310S =，660S =，则9S =（ ） A ．90B ．110C ．150D ．180例题3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{}n a 中，若12530a a a ++⋅⋅⋅+=，671080a a a ++⋅⋅⋅+=，则111215a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）. A ．110B ．120C ．130D ．140例题4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若57S =，1021S =，则15S =_____．例题5．（2022·全国·高三专题练习（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知315S =，999S =，则6S =___________.角度3：等差数列的最值问题例题1．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）已知等差数列的前n 项和为n S ，且13140,0S S ><，则使n S 取得最大值的n 为__________．例题2．（2022·广西·昭平中学高二阶段练习（理））已知等差数列{}n a 的通项公式为92n a n =-，则其前n 项和n S 的最大值为____________.例题3．（2022·山东潍坊·高二期中）在数列{}n a 中，若121a =，前n 项和22n S n bn =-+，则n S 的最大值为______．例题4．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且404540440,0S S ><，则当n ＝___时，n S 最小．例题5．（2022·辽宁·高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若170a >，且17180a a +<，则满足0n S >的最大正整数的n 的值为________．例题6．（2022·北京市第一六一中学高二期中）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足354,16a a == (1)若数列{n a }是等比数列，求1a 以及5S ：(2)若数列{n a }是等差数列，求n S 的最小值，并求n S 取得最小值时n 的值.例题7．（2022·安徽省六安中学高二期末（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 36246a a ==，. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)当n 为何值时，n S 最大，并求n S 的最大值.题型归类练1．（2022·山西运城·高二期末）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．4039B ．4040C ．4041D ．40422．（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数n ，都有481n n S n T n -=+，则3153111572a a a b b b b ++=++（ ） A ．3 B ．6 C ．327D ．80133．（2022·全国·高三专题练习（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，则下面结论错误的是（ ） A ．90a =B ．1514S S >C ．0d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值4．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则12151215,,,S S S a a a 中最大的项为（ ） A ．66S aB ．77S aC ．99S aD ． 88S a5．（2022·全国·高二课时练习）两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（ ） A ．14924B ．7914C ．165D ．51106．（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且()*71427n n S n n T n +=∈+N ，求1111a b 的值．7．（2022·陕西·西安市长安区第十二中学高一阶段练习）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且235S =，23439a a a ++=.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求当n 为何值时，n S 取最大值.8．（2022·广东珠海·高二期末）在①16100a a a ++=，②2132a a -=，③2357a a a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中.问题：等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，满足23715a a a ++=-，________? (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S 得到最小值时n 的值.1．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长12345,,,,a a a a a (单位:cm)成等差数列，对应的宽为12345,,,,b b b b b (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知1288a =，596=a ，1192b =，则3b = A ．64B ．96C ．128D ．1602．（2021·北京·高考真题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ） A ．9B ．10C ．11D ．123．（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值．。