27探索勾股定理2
探索勾股定理2
补 充 ： 如 图 ， 已 知 长 方 形 ABCD 中 AB=8 cm,BC=10 cm, 在 边 CD 上 取 一 点 E ， 将 △ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F， 求CE的长.
（3）如图在△ABC中，∠ACB=90º，
CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.
求① △ABC的面积； ②斜边AB的长；
c a
=2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2
c a
b
c a
b
c a
b
b
∴a2+b2=c2
自学课本P9例1
自学检测
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男 孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这 个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？
C
B
4000
4000
A
你认为利用勾股定理可以解决什么数 学问题？
探索勾股定理（2）
ac b
a2+b2=c2
利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角 形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正 方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
C、 80/13厘米；
3、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个
三角形的面积
A
解：设这个三角形为ABC，
高为AD，设AB为X，则BC
为（32-2X），BD是（16－x)
8
由勾股定理得： X2=(16-X)2 +82
B
C D
16-X
《探索勾股定理第2课时》示范公开课教学设计【北师大版八年级数学上册】
第一章勾股定理1. 1 探索勾股定理第 2 课时教学设计1.学会应用勾股定理，并领会“数与行”相结合的应用思想.2.经历勾股定理应用的过程，掌握勾股定理的使用方法.3.培养良好的合作、交流意识，发展数学观念，体会勾股定理的实际应用.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.四个全等的直角三角形纸片.一、创设情境，引入新知如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程二、合作交流，探究新知勾股定理的初步认识问题1：观察下面地板砖示意图：你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？问题2：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.方法一：割分割为四个直角三角形和一个小正方形.方法二：补补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.方法三：拼将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你发现了什么？结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.想一想（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b 和斜边长 c 来表示图中正方形的面积吗？根据前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？（2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.（1）中的规律对这个三角形仍成立吗？勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a，b和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边那么a2+b2=c2名字的由来我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.在西方又称毕达哥拉斯定理三、运用新知求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：已知直角三角形两边，求第三边.利用勾股定理进行计算：例求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.四、巩固新知1. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .2. 判断题①△Rt ABC 的两直角边AB=5, AC=12,则斜边BC=13 ( )②△ABC 的两边a = 6 , b = 8, 则c = 10 ( )3. 填空题在△ABC中, ∠C=90°, AC = 6, CB = 8,则△ABC 的面积为_____,斜边上的高CD 为______.4. 一高为 2.5 米的木梯,架在高为 2.4 米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?五、归纳小结◆教学反思略.。
探索勾股定理(二)演示文稿
验证方法二 验证方法二
c
1 2 2 Q ab × 4 + (b a ) = c 2
∴ a+b =c
图2
追溯历史
国内调查组报告
用图2验证勾股定理的方法 ， 用图 验证勾股定理的方法， 据 验证勾股定理的方法 载最早是 三国时期数学家赵爽在为 周髀算经》作注时给出的， 《周髀算经》作注时给出的，我国 历史上将图2弦上的正方形称为弦 历史上将图 弦上的正方形称为弦 图。 2002 年 的 数 学 家 大 会 （ ICM2002） 在北京召开 ， 这届大会会标 ） 在北京召开， 的中央图案正是经过艺术处理的弦 图 ， 这既标志着中国古代的数学成 又像一只转动的风车， 就 ，又像一只转动的风车，欢迎来 自世界各地的数学家们！ 自世界各地的数学家们！
国际调查组报告
勾股定理与第一次数学危机
约 公 元 前 500 年 ， 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 弟 子 希 帕 索 斯 (Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度 发现了一个惊人的事实， 发现了一个惊人的事实 是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理 勾股定理)， 按照毕达哥拉斯定理(勾股定理 是不可公度的 按照毕达哥拉斯定理 勾股定理 ，若正方形边长是 1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比， ，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比， 这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭， 这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何 线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁， 线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危 机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、 机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、 恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。 恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。 不能表示成两个整数之比的数， 世纪意大利著名画家达 世纪意大利著名画家达. 不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达 芬奇称之为“无理的数” 无理数的英文“ 芬奇称之为“ 无理的数”， 无理数的英文 “irrational”原义就是 原义就是 不可比” 第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立 “不可比”。第一次数学危机一直持续到 世纪实数的基础建立 以后才圆满解决。 以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识 。
鲁教版(五四制)七年级数学上册 《探索勾股定理(2)》参考课件2优秀课件PPT
如图，梯形由三个直角三角形组合而
成，利用面积公式，列出代数关系式,
得 1(ab)(ba)21ab1c2.
2
22
化简,得 a2 b2 c2.
a
bc c
a b
第一种类型：
方法三 据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的证明。
将4个全等的直角三角形拼成边长 为 (a ＋ b) 的 正 方 形 ABCD ， 使 中 间 留 下 边长c的一个正方形洞．画出正方形 ABCD．移动三角形至图2所示的位置中，
第三种类型：
A
方法三:意大利文 艺复兴时代的著名
a
画家达·芬奇对勾
股定理进行了研究。 B
F
c
O
b
C
E
D
A
a
B
F
O
Cb D E
A′ F′
B′
E′ C′
D′
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
例 我方侦察兵小王在距离东西向公路400m处侦查，发现
一辆敌方汽车在公路上疾驶。他赶紧拿出红外测距仪，测得
汽车与他相距400m。10s后，汽车与他相距500m。你能帮
小结反思
我最大的收获； 我表现较好的方面； 我学会了哪些知识； 我还有哪些疑惑……
课后作业
1.课本随堂练习 2.阅读课本“读一读 ” 3.习题 3.2
知识拓展
(1) 勾股定理是联系数学中数与形的第一定理。
(2) 勾股定理反映了自然界基本规律,有文明的宇宙“人”都 应该认识它，因而勾股定理图被建议作为与“外星人”联系 的信号。
(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。
(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解 题程序树立了一个范式。
浙教版数学八年级上册《2.7 探索勾股定理》教案2
浙教版数学八年级上册《2.7 探索勾股定理》教案2一. 教材分析《探索勾股定理》是浙教版数学八年级上册第二章第七节的内容。
本节课的主要目的是让学生通过探索、发现、验证勾股定理，培养学生的探究能力和合作交流能力，体会数学的探究过程，感受数学的美。
教材通过丰富的背景材料，引出勾股定理的探究，并通过数学活动，让学生体验勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了相似多边形的性质，会画直角三角形，对三角形有了一定的认识，但对于证明勾股定理可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，适时给予引导和帮助。
三. 教学目标1.了解勾股定理的背景，感受数学与实际生活的联系。
2.通过探索、发现、验证勾股定理，培养学生的探究能力和合作交流能力。
3.理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理解决实际问题。
四. 教学重难点1.教学重点：理解并掌握勾股定理。
2.教学难点：证明勾股定理。
五. 教学方法采用探究式教学法，以学生为主体，教师为指导，引导学生通过观察、操作、思考、讨论、验证等探究活动，发现并证明勾股定理。
六. 教学准备1.教学课件。
2.直角三角形模型。
3.勾股定理相关背景资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示直角三角形的三条边长，引导学生思考：如何计算直角三角形的面积？从而引出勾股定理的探究。
2.呈现（10分钟）展示勾股定理的背景资料，让学生了解勾股定理的起源和发展，感受数学与实际生活的联系。
3.操练（10分钟）学生分组进行实验，用直角三角形模型测量三边长，计算面积，观察并记录实验结果。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）学生汇报实验结果，分享发现。
教师引导学生总结勾股定理的表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
5.拓展（10分钟）学生分组讨论，探索如何证明勾股定理。
教师引导学生运用相似三角形的性质进行证明。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固勾股定理的理解和记忆。
《探索勾股定理》(第2课时)++示范教学方案
第一章勾股定理1.2探索勾股定理第2课时一、教学目标1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.在实际问题的情景中，能熟练运用勾股定理解决问题.3.通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.二、教学重点及难点重点：经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题．难点：用拼图法验证勾股定理．三、教学准备四个全等的直角三角形纸片，一个以斜边为边长的正方形纸片、课件四、相关资源五、教学过程【复习后顾】复习回顾，引出新课1．直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角；（2）直角三角形斜边上的中线等于；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于．2．勾股定理的内容：_________________________________________________．3.在直角三角形中，两直角边长分别为5、12，求斜边长.师生活动：学生口述勾股定理，师总结勾股定理是由形到数的转变．强调勾股定理的应用，引出新课．这是我们上节课应用测量和数格子法发现的定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!板书：探索勾股定理（2）【新知讲解】合作探究：面积法验证勾股定理教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）此图片是动画缩略图，本动画资源提供拼图场景，充分调动学生的积极性，渗透利用图形之间的关系证明勾股定理的思路。
本资源适用于勾股定理的证明的教学，供教师备课和授课使用。
请插入动画【数学活动】拼图设计意图：利用交互动画可以让学生动手操作，不断探究，直到拼出来为止。
增加学习兴趣。
活动1：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2在此基础上教师提问：(1)你能用两种方法表示图1中大正方形的面积吗？(学生先独立思考，再4人小组交流)图1(2)你能由此得出勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a +b )2=4×21ab +c 2．并得到222c b a=+从而利用图1验证了勾股定理. ）（3）利用图2验证勾股定理.学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证勾股定理，在验证过程中，大家注意数形结合思想和类比思想的应用.设计意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想和类比思想在数学中的应用，体会成功的快乐.本图片是微课的首页截图，本资源是动画视频，通过探究四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，并利用面积的等量关系证明了勾股定理，本资源适合于勾股定理的教学使用，有利于学生更好的学习本节知识点.若需使用，请插入微课【知识点解析】面积法设计意图：利用视频可以辅助面积法的教学，过程清晰易学活动二：分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用下图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.师：出示教材P5图1-5和图1-6,小明对这个大正方形适当割补后得到图1-5和图1-6.想一想:小明是怎样进行验证的？图1-5 图1-6学生先独立探究，再小组交流教师总结:图1-5是在大正方形的四周补上四个边长为a、b、c的直角三角形；图1-6是把大正方形分割成四个边长为a、b、c的直角三角形和一个小正方形.图1-5采用的是“补”的方法,而图1-6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a、b、c的关系式表示出来.归纳总结：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．活动三：欣赏勾股定理的证明方法1、毕达哥拉斯证明勾股定理此图片是动画缩略图，本动画资源给出传说中毕达哥拉斯证明勾股定理的思路，通过对图形的适当改变，开拓学生的思路。
2.7探索勾股定理(2)
∴△ABC是直角三角形
反馈练习：
三角形ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、
c,且 c＋a=2b, c–a= 1 b,试问三角形ABC的
形状.
2
如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC=4,CD=12,
AD=13, ∠B=90°，求四边形ABCD的面积.
D
解：连结AC，在Rt△ABC中
例2、 已知△ABC三条边长分别为a, b, c,且a＝m2－
n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m, n是正整数)。 △ABC是直角三角形吗？请说明理由.
问：哪边是最长边？你有办法判断吗？ 取特殊值法
解：∵ a=m2－n2，b=2mn，c＝m2＋n2 ∴a2+b2=(m2－n2)2+(2mn)2 ＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2 ＝m4＋2m2n2＋n4
AB 3, BC 4
A
AC 5
AC2 CD2 52 122
132 AD2
┐
B
C
ACD 90
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
1 34 2
1 512 36 2
合作探究：
如下图中分别以ΔABC 三边a,b,c为边向外作正方形，
正三角形，为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则
《几何原本》记载了古埃及人得到直角的方法： 古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12
段，一个工匠同时握住绳子的第一个结和第13个结， 两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就 会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。
为什么会 是直角呢？
合作学习：
要求每组画一个三角形,使其三边长分别为: （1）3cm, 4cm, 5cm； （2）5cm, 12cm,13cm； （3）6cm, 8cm, 10cm； （4）8cm，15cm，17cm.
浙教版数学八年级上册《2.7 探索勾股定理》教案
浙教版数学八年级上册《2.7 探索勾股定理》教案一. 教材分析《探索勾股定理》这一节的内容，主要让学生通过探究、实践、验证勾股定理，培养学生的探究能力和实践能力。
教材中给出了丰富的探究活动，让学生在活动中体验到数学的乐趣。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了相似多边形的性质，对图形的变换有了一定的了解。
同时，学生已经学习了锐角三角函数，对三角形的性质也有了一定的认识。
因此，学生具备了探索勾股定理的基本知识。
三. 教学目标1.让学生经历探索勾股定理的过程，理解并掌握勾股定理。
2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的合作交流能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：让学生探索并理解勾股定理。
2.难点：如何引导学生运用几何知识解决实际问题。
五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流，发现并证明勾股定理。
六. 教学准备1.准备相关的几何图形，如直角三角形、直角梯形等。
2.准备探究活动所需的工具，如直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如篮球架、房屋建筑等，引导学生关注勾股定理在生活中的应用。
2.呈现（10分钟）呈现探究活动，让学生分组进行讨论，每组选择一个几何图形，尝试运用已学的几何知识，探索并证明勾股定理。
3.操练（10分钟）学生在课堂上进行探究活动，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）学生展示自己的探究成果，其他学生进行评价，教师总结并讲解勾股定理的运用。
5.拓展（5分钟）引导学生运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的边长等。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固勾股定理的知识。
7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8.板书（5分钟）教师在黑板上板书勾股定理的证明过程，加深学生的记忆。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，共计40分钟。
教学情境分析在教学《探索勾股定理》这一课时，我创设了丰富的教学情境，以激发学生的学习兴趣和探究欲望。
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2
2
变式：若零件的形状及边长如图（2）所示,
你还能求面积吗?
C
12
D
A
3
54
B
13
图（2）
• 勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
B
a2 b2 c2
a
c
C
A
b
• 直角三角形的判定方法之一： (1)
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
有一块田地的形状和尺寸如图所示， ∠B=∠D=90°, ∠A=60°,AB=5米，AD＝4 米，试求它的面积。
5
4
3
勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方.
逆定理？
如果三角形中两边的平方和 等于第三边的平方，那么这个三 角形是直角三角形
若a2＋b2＝c2，则以a,b,c为边的 三角形是直角三角形且最大边 所对角是直角
如果三角形中较短两边的平方和等 于长边的平方，那么这个三角形是 直角三角形
解：∵ a=m2－n2，b=2mn，c＝m2＋n2
∴a2+b2=(m2－n2)2+(2mn)2
＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2 ＝m4＋2m2n2＋n4 ＝(m2＋n2)2＝c2
∴△ABC是直角三角形
反馈练习：
已知△ABC中,三条边长分别是 a、b、c,
a n 2 1,b 2 n,c n 2 1 ,( n＞1),那
么△ABC是直角三角形吗？请说明理由.
1、如图在△ABC中AB=4,BC=2,BD=1,CD= 3
判断下列结论是否正确，并说明理由
C
(1) CD ⊥AB; (2) AC⊥BC
32
解(1)∵BC2=BD2 +CD2=4 ∴∠CDB=90°
A
3 D1 B
(2)∵AC2=AD2+CD2=12 AC2+BC2=16=AB2
A 4Biblioteka 5D 6x
∟
B C 2x
E
• 例1 根据下列条件，分别判断以 a,b,c为边的三角形是不是直角三角 形
（1）a＝27，b＝24，c＝2 25 （2解）：a＝（31）∵7b2+＝2412，＝c23 ＝52，
∴以7,24,25为边三角形是直角三角形
2 3 223 228 9 1 2
以3 2， 3 2， 1为边三 不角 是 直 形 三 角角
∴CD⊥AB
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
2、如图，四边形ABCD中，AB＝3，
BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四边形
ABCD的面积.
D
解：连结AC，在Rt△ABC中
AB3,BC4
A
AC5
A C 2 C D 2 5 2 1 2 2
132 AD2
┐
B
C
A C D90
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD 134151236
练一练
1、根据下条件，判断下面以a,b,c为边三 角形是不是直角三角形 (1)a=20，b=21，c=2 (2)a=5，b=7，c=8
(3) a 7,b 3,c2
例2、已知△ABC三条边长分别为a,b,c,且a ＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m,n 是正整数)。△ABC是直角三角形吗？请说 明理由
2.7探（索二勾）股定理
1、若c为直角△ABC的斜边，b,a为直角边，
则a,b,c的关系为_a_2_＋__b_2_＝__c_2__
2、在直角△ABC中，c为斜边,若a=3，b=4则
c＝__5_____
3、在直角△ABC中，若a=3，b=4则c＝ _______
请同学们画边长分别为3，4，5和5， 12，13的三角形并测量它的最大角