旋转体的表面积
旋转体侧面积公式三个
旋转体侧面积公式三个
旋转体侧面积公式是：2π∫（1，t）（t-x）/x^2dx+2π∫（t，2）（x-t）/x^2dx。
1、根据定积分公式可得：2π∫(1,t)(t-x)/x^2dx+2π∫
(t,2)(x-t)/x^2dx。
2、一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。
3、表面积是指所有立体图形的所能触摸到的面积之和。
球体表面积计算公式为：S=4πR^2。
4、定积分就是求函数f（X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形
5、定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。
习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距Δx是相等的。
但是必须指出，即使Δx不相等，积分值仍然相同。
我们假设这些“矩形面积和”S=f(x1）Δx1+f(x2）Δx2+……f[x(n-1)]Δx(n-1），那么当n→+∞时，Δx的最大值趋于0，所以所有的Δx 趋于0，所以S仍然趋于积分值。
简单旋转体的表面积和体积关系教学案
简单旋转体的表面积和体积关系教学案一、引言旋转体是数学中的一种非常重要的几何体，在现实生活中也有很多应用。
比如我们日常生活中听到的“圆柱形”、“圆锥形”、“球形”等，这些都属于旋转体。
旋转体的表面积和体积关系是数学中一个基础又实用的概念，而且对于那些想深入研究数学的人来说，这是必学的一部分。
二、旋转体的概念旋转体是由一个基本形状，绕某一条轴线旋转而生成的几何体，比如圆形绕着轴线旋转，就可以生成一个圆柱形；三角形绕着轴线旋转，可以生成一个圆锥形。
旋转体有许多种类，比如圆柱体、圆锥体、球体，甚至我们平时看到的各种像眼镜、奖杯、水瓶等等，都可以看成是由某一基本形状旋转而成的。
三、旋转体的表面积和体积旋转体的表面积和体积是我们最为关心的问题，因为在很多实际问题中，我们需要通过表面积和体积来计算物体的质量、重量、密度等等一系列问题。
1、旋转体的表面积旋转体的表面积就是它的侧面积与底面积的和。
比如一个圆柱体，它的表面积等于其侧面积与两个底面积之和，即：S=2πrh+2πr²其中r为圆柱体的半径，h为圆柱体的高度。
对于其他类型的旋转体，我们也可以采用类似的方法来计算它的表面积。
2、旋转体的体积旋转体的体积就是其所包含的空间体积。
对于圆柱体、圆锥体、球体等等，它们的体积计算公式分别为：圆柱体的体积：V=πr²h圆锥体的体积：V=13πr²h球体的体积：V=43πr³其中r为基本形状的半径，h为由基本形状绕轴线旋转得到的旋转体的高度。
四、旋转体的表面积和体积关系一个简单的旋转体，它的表面积和体积之间并没有什么直接关系。
但是在实际应用中，我们通常会遇到一些需要计算其表面积和体积之比的问题。
比如我们需要制作一个密度为1克/立方厘米的铁球体，在保证铁球体积不变的条件下，如果我们要增加铁球体的质量，我们应该怎样做？答案是，这时我们需要将铁球表面加厚，因为铁球的密度不变，增加表面积就等于增加了总质量。
柱体、锥体、台体的表面积与体积(附答案)
柱体、锥体、台体的表面积与体积[学习目标] 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.知识点一 多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 知识点二 旋转体的表面积思考 求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？答 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径. 知识点三 体积公式1.柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .2.锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3.台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V 3思考 简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？ 答 表面积变大了，体积不变.题型一 空间几何体的表面积例1 圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解 如图所示的是圆台的轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin 60°＝43(cm)， AH ＝A 1A ·cos 60°＝4(cm)， 即r 2－r 1＝AH ＝4.① 设A 1B 与AB 1的交点为M ， 则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1，∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1. 同理OM ＝OA ＝r 2.∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1).∴S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π(cm 2).跟踪训练1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体SABC (即正四面体SABC )，求其表面积.解 由于四面体SABC 的四个面是全等的等边三角形， 所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍. 先求△SBC 的面积，过点S 作SD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图所示.因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫a 22＝32a ，所以S △SBC ＝12BC ·SD ＝12a ×32a ＝34a 2.因此，四面体SABC 的表面积为S ＝4×34a 2＝3a 2.题型二 空间几何体的体积例2 在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解 如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ， 且BD ＝AB ·BC AC ＝125，两个圆锥的高分别为AD 和DC ， 所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋13πBD 2·CD＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝13πBD 2·AC ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π. 故所形成的几何体的体积是485π. 跟踪训练2 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ， A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵11--=，A ABD A A BD V V∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为33a . 题型三 与三视图有关的表面积、体积问题例3 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( ) A.8π cm 2 B.7π cm 2 C.(5＋3)π cm 2D.6π cm 2(2)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.答案 (1)B (2)6＋π解析 (1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S 表＝S 圆柱侧＋S 圆锥侧＋S 底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π. (2)由三视图可知该几何体是组合体.下面是长方体，长、宽、高分别为3,2,1；上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×12×3＝(6＋π) m 3.跟踪训练3 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.答案 16π－16解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为16π－16.分割转化求体积例4 如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积.分析 本题若直接求解较为困难，这里利用“割”的思想，将四棱锥的体积转化为两个等底的三棱锥的体积之和，从而简化求解步骤. 解 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝ a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22＝52a ，D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是菱形. 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等， 故111122---==.A EBFD A EFB F EBA V V V 又因为1∆EBA S ＝12EA 1·AB ＝14a 2，则1-F EBA V ＝112a 3，所以111122---==A EBFD A EFB F EBA V V V ＝16a 3.圆柱体积的求解例5 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积. 分析 利用底面的周长，求得底面半径，利用圆柱的体积公式求解. 解 设圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，高为h .如图①所示，当2πr ＝4，l ＝2时，r ＝2π，h ＝l ＝2，所以V 圆柱＝πr 2h ＝8π；如图②所示，当2πr ＝2，l ＝4时，r ＝1π，h ＝l ＝4；所以，此时V 圆柱＝πr 2h ＝4π.1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π2.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A.5πB.6πC.20πD.10π3.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.12πB.18πC.24πD.36π4.一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________.5.如图，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱CC 1的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分，这两部分的体积之比为________.一、选择题1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( ) A.4π B.3π C.2π D.π2.已知高为3的直棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B 1－ABC 的体积为( ) A.14 B.12C.36D.343.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的表面积是( ) A.3π B.33π C.2π D.9π4.在一个长方体中，过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，它的体对角线长是214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.485.一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋3C.21D.186.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A.54B.54πC.58D.58π7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.16B.13C.23D.1二、填空题8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.10.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.11.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________. 三、解答题12.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .13.已知底面半径为 3 cm ，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积.当堂检测答案1.答案 A解析 设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π2π.2.答案 D解析 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π. 3.答案 C解析 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r ＝3，母线l ＝5，∴S 表＝πrl ＋πr 2＝24π.故选C. 4.答案 12解析 设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′.由题意，得13×6×12×2×2×32×h ＝23，∴h ＝1.∴斜高h ′＝12＋⎝⎛⎭⎫2×322＝2，∴S 侧＝6×12×2×2＝12.5.答案 3∶4(或4∶3)解析 设三棱台的上底面面积为S 0，则下底面面积为4S 0，111-A B C ABC V 三棱柱＝S 0h .111-ABC A B C V 三棱台＝73S 0h .设剩余的几何体的体积为V ， 则V ＝73S 0h －S 0h ＝43S 0h ，体积之比为3∶4或4∶3.课时精练答案一、选择题 1.答案 C解析 底面圆半径为1，高为1，侧面积S ＝2πrh ＝2π×1×1＝2π.故选C. 2.答案 D 解析 S 底＝12×1×1－⎝⎛⎭⎫122＝34，所以1B ABC V －三棱锥＝13S 底·h ＝13×34×3＝34.3.答案 A解析 设圆锥底面的半径为R ，则由12×2R ×3R ＝3，得R ＝1.所以S圆锥表＝πRl ＋πR 2＝π×1×2＋π＝3π. 4.答案 D解析 设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a ，那么a 2＋(2a )2＋(3a )2＝214.解得a ＝2，长方体的体积为V ＝2×4×6＝48. 5.答案 A解析 由三视图可知，该多面体为一个边长为2的正方体在左下角与右上角各切去一个三棱锥，因此该多面体的表面积为6×⎝⎛⎫4－12＋12×2×62×2＝21＋ 3. 6.答案 A解析 设上底面半径为r ，则由题意求得下底面半径为3r ，设圆台高为h 1，则52＝13πh 1(r 2＋9r 2＋3r ·r )，∴πr 2h 1＝12.令原圆锥的高为h ，由相似知识得r 3r ＝h －h 1h ，∴h ＝32h 1，∴V 原圆锥＝13π(3r )2×h ＝3πr 2×32h 1＝92×12＝54.7.答案 B解析 如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V ＝13×12×1×1×2＝13，故选B. 二、填空题 8.答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2， S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2， ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1. 9.答案7解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.10.答案 83π11 解析 由三视图可知原几何体是由两个圆锥和一个圆柱组成的，它们有共同的底面，且底面半径为1，圆柱的高为2，每个圆锥的高均为1，所以体积为2×13π×12×1＋π×12×2＝8π3(m 3). 11.答案 32解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2，即r 1h 1＝r 2h 2.∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 三、解答题12.解 由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥V -ABCD .(1)V ＝13×(8×6)×4＝64. (2)该四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝ 42＋⎝⎛⎭⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为h 2＝ 42＋⎝⎛⎭⎫622＝5.因此S 侧＝2⎝⎛⎭⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 13.解 作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则l ＝(6)2＋(3)2＝9＝3(cm).故几何体的表面积为S ＝πrl ＋πr 2＋2πr ·AD＝π×3×3＋π×(3)2＋2π×3× 6＝33π＋3π＋62π ＝(33＋3＋62)π(cm 2).几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·r 2·AD －13πr 2AD ＝π×3×6－13×π×3× 6 ＝26π(cm 3).。
立体图形的基本知识与计算方法
立体图形的基本知识与计算方法一、立体图形的概念与分类1.立体图形的定义：立体图形是具有三维空间的图形，它包括长度、宽度和高度三个维度。
2.立体图形的分类：a)几何体：根据面的形状和结构，几何体可以分为以下几种类型：•单体几何体：如球体、立方体、圆柱体、圆锥体等；•复合几何体：如长方体、棱柱、棱锥等；•旋转体：如圆环、圆台等。
b)非几何体：如圆柱面、圆锥面、球面等。
二、立体图形的计算方法1.体积的计算：a)单体几何体的体积计算公式：•球体：V = (4/3)πr³；•立方体：V = a³；•圆柱体：V = πr²h；•圆锥体：V = (1/3)πr²h。
b)复合几何体的体积计算公式：•长方体：V = lwh；•棱柱：V = Bh；•棱锥：V = (1/3)Bh。
c)旋转体的体积计算公式：•圆柱面：V = πR²h；•圆锥面：V = (1/3)πR²h；•球面：V = (4/3)πR³。
2.表面积的计算：a)单体几何体的表面积计算公式：•球体：S = 4πr²；•立方体：S = 6a²；•圆柱体：S = 2πrh + 2πr²；•圆锥体：S = πrl + πr²。
b)复合几何体的表面积计算公式：•长方体：S = 2(lw + lh + wh)；•棱柱：S = 2(B + Ph)；•棱锥：S = 2(B + P)。
c)旋转体的表面积计算公式：•圆柱面：S = 2πRh + 2πR²；•圆锥面：S = πrl + πR²；•球面：S = 4πR²。
三、立体图形的性质与特点1.立方体：立方体有六个面，均为正方形，对角线相等，体积和表面积的计算公式如上所述。
2.球体：球体是一种对称的立体图形，体积和表面积的计算公式如上所述。
3.圆柱体：圆柱体由两个平行的圆形底面和一个侧面组成，体积和表面积的计算公式如上所述。
立体几何的旋转体特性 → 空间几何的旋转体特性
立体几何的旋转体特性→ 空间几何的旋转体特性立体几何的旋转体特性介绍在立体几何中，旋转体是一种常见的几何体，它通过绕一个轴线旋转而生成。
旋转体具有一些独特的特性，这使得它们在几何学中具有重要的地位。
旋转轴线旋转体的形成依赖于一个旋转轴线。
该轴线可以是直线或曲线。
当轴线是直线时，我们可以通过绕着轴线旋转一个平面图形来形成旋转体。
当轴线是曲线时，我们可以通过将一个曲线图形绕着轴线旋转来形成旋转体。
旋转面积旋转体的旋转面积是指旋转体的表面积。
对于已知的平面图形，我们可以通过旋转来计算旋转体的表面积。
通常，旋转面积与旋转体的高度和形状有关。
旋转体积旋转体的旋转体积是指旋转体所包含的空间体积。
通过旋转一个具有已知面积的平面图形，我们可以计算旋转体的体积。
与旋转面积类似，旋转体积也与旋转体的高度和形状有关。
旋转体的特性旋转体具有以下几个重要的特性：1. 对称性：旋转体具有旋转轴线对称性。
这意味着旋转体的两侧是相同的，并且对称于旋转轴。
2. 单位体积：对于某些旋转体，单位体积的体积和表面积是固定的。
这意味着无论旋转体的大小如何，它们的单位体积是相同的。
3. 稳定性：旋转体具有一定的稳定性。
由于旋转体的对称性和形状，它们在一些情况下更加稳定，比如堆叠和平衡。
应用领域旋转体的特性在许多领域中都有广泛的应用，包括工程、建筑、物理学和生物学等。
在工程和建筑中，旋转体的特性可以用于设计各种物体和结构。
在物理学和生物学中，旋转体的特性可以帮助我们理解物体的行为和性质。
结论立体几何中的旋转体具有独特的特性，包括对称性、单位体积、稳定性等。
它们在几何学中有着重要的地位，并在许多应用领域发挥着重要作用。
通过研究旋转体的特性，我们可以更好地理解和应用几何学的知识。
旋转体的表面积与体积
S圆柱侧面积 2r下l
S圆锥侧面积 r下l
S上 S下 V圆台 13（S上 S上S下 S下）h S上0
V圆柱 Sh
V圆锥
1 Sh 3
球的表面积和体积
S球表面积 4R 2
V球
1 R 3
3
思考：圆柱的底面直径与高都等于球的直径： ① 球的体积等于圆柱体积的2/3； ② 球的表面积等于圆柱的侧面积.
V圆台 13（S上 S上S下 S下）h
圆台的表面积和体积
S圆台表面积 r上2 r下2 (r上l r下l)
V圆台 13（S上 S上S下 S下）h
O’
O
思考：已知如图所示圆台的 三视图，求其表面积和体积。
圆柱、圆台、圆锥的侧面积和体积的内在联系
r上 r下 S圆台侧面积 (r上l r下l) r 上0
圆柱的表面积和体积
r O
圆柱的侧面展开图是矩形
O
S圆柱表面积 S上 S下 S侧
2r2 2rl 2r(r l)
V圆柱 Sh r 2h
思考：边长为1的正方形以其一边所在直线旋转 一周，所得几何体的表面积和体积？
圆锥的表面积和体积
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 S底 S侧
r 2 rl r(r l)
V圆锥
1 Sh 3
1 r 2h
3
O
思考：边长为2的正方形以其一对角线所在直 线旋转一周，所得几何体的表面积和体积？
圆台的表面积和体积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
圆台的侧面展开图是扇环
O’
S圆台表面积
S上 S下 S侧
Oห้องสมุดไป่ตู้
r上2 r下2 (r上l r下l)
旋转体体积和侧面积的计算公式
旋转体体积和侧面积的计算公式
一，旋转体体积
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
二，旋转体侧面积
旋转体侧面积公式是：2π∫（1，t）（t-x）/x^2dx+2π∫（t，2）（x-t）/x^2dx。
1、根据定积分公式可得：2π∫(1,t)(t-x)/x^2dx+2π∫(t,2)(x-t)/x^2dx。
2、一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。
3、表面积是指所有立体图形的所能触摸到的面积之和。
球体表面积计算公式为：S=4πR^2。
4、定积分就是求函数f（X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
定积分求旋转体表面积
定积分求旋转体表面积一、引言定积分是高等数学中的一个重要分支，它被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将利用定积分的概念，求解一个关于旋转体表面积的问题。
二、问题描述考虑一个曲线 $y=f(x)$，它在 $[a,b]$ 区间内是连续的、非负的函数。
现在我们将该曲线绕着 $x$ 轴旋转一周，形成一个旋转体。
我们的目标是求出该旋转体的表面积。
三、解题思路为了求解该问题，我们可以将旋转体分割成许多薄片，将每个薄片视为一个小圆柱体，再将它们的表面积累加起来。
为了方便计算，我们可以选择将薄片沿着 $x$ 轴方向切割成许多小矩形。
如图所示，假设我们现在考虑的是一段$[x,x+\Delta x]$ 区间内的薄片。
我们将该区间上的函数值 $f(x)$ 视为该薄片的高度，宽度 $\Delta x$ 视为该薄片的厚度。
因此，该薄片的表面积可以表示为$$\Delta S=2\pi y\Delta s,$$其中 $y=f(x)$ 表示该薄片的高度，$\Delta s$ 表示该薄片的弧长，即$$\Delta s=\sqrt{(\Delta x)^2+(f(x+\Delta x)-f(x))^2}.$$现在，我们需要将所有薄片的表面积加总起来，即$$S=\lim_{\Delta x\to0}\sum_{i=1}^n2\pi f(x_i)\Delta s_i=\int_{a}^b2\pif(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\mathrm{d}x.$$这里，我们利用了微积分中的极限概念，将薄片的切分无限细化。
四、结论综上所述，我们可以将定积分的概念运用于求解旋转体的表面积问题。
根据公式 $S=\int_{a}^b2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\mathrm{d}x$，我们可以将该问题化为求解函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 区间上的定积分，从而得到旋转体的表面积。
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练习：1、已知圆锥的母线长为2，圆锥的表面积是底面 积
的3倍，则圆锥的底面半径是（ A.2 B.1 C.3
B
）
D.4
S表 r 2 r 2
S底 r 2
而S表 3S底
2
2
r 2r 3r
2
r
r 1 ，r 0舍去
练习2：
=扇形面积+底面面积
∴
S r rl r r l
2
点评：将空间图形问题转化为平面图形问题， 是解立体几何问题基本、常用的方法。
例1 已知圆锥的底面半径为2，母线 长为4. 求： （1）该圆锥的全面积； （2）侧面展开图的圆心角.
解:（1）该圆锥的全面积是侧面积与 它的底面积的和,因此 S=π×2×+π×22=12π （2）由弧长公式，有
1 2 2
A 边长为2，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是______
B. C. 1 2 D.
1 4 2
A.
S侧 4
r
2S全 1 2 S侧 22.圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥侧= rl
l
r
2r
圆锥的侧面展开图是 扇形，底面是圆
圆锥的表面积
§6.2.1旋转体的 表面积
侧面积： 把柱、锥、台的侧面沿着它们的一 条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的 面积. 表面积:
几何体表面的面积，它表示几何体表 面的大小。
1. 圆柱的侧面积
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱侧= 2rl
其中r为底面半径, l 为侧面母线长。
圆柱的侧面展开图是一个矩形，底面是圆
l
r
l
2r
圆柱的表面积=侧面矩形面积+一个底面面积×2
∴
S 2r 2 2rl 2r r l
练习： 1、若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，且正方形的
1 4 4 1 r 2r 2 2 1 2 S全 2 2 2 4
2
3.球的表面积：
Si
O
S 4r
2
例3 已知过球面上A，B，C三点 的截面和球心的距离为球半径的一半， 且AB=BC=CA=2，求球的表面积。 B
解： 设截面圆心为 O ， 则点O 是ABC的中心。 连结O A， 设球半径为R， 则 2 3 2 3 2 ， 3 2 3 2 3 2 1 2 在RtO OA中，R 2 （ ） R， 3 4 4 所以R ， 因此， 3 64 2 S 4R 9 O A
O O‘ C
A
圆 柱
圆 锥
球 O
Si
圆柱表面积： S 2r 2 2rl 2r r l 圆锥表面积： S r 2 rl r r l
球的表面积： S 4r 2
已知圆锥的表面积为am2,且它的侧面展 开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直 径。
解：因为圆锥的侧面展开图是半圆,
A 2πr s l O B'
1 2 1 所以, l 2 r l , l 2r . 2 2
1 由 r (2r ) 2 a得 2 2 3 a 直径： 2r 3