3-8.曲率及其应用
高等数学第三章 第7节 曲率
3 2 2
6 (4 sin2 t 9 cos2 t )
3 2
(4 5 cos2 t )
3 2
3 2
要使 k 最大， 必有 (4 5 cos 2 t ) 最小，
3 t , 2 2
此时 k 最大，
18
练习题
一、填空题： 1 、曲率处处为零的曲线为________ ；曲率处处相等 的曲线为__________. 2 、抛 物 线 y x 2 4 x 3 在 (2,-1) 处 的 曲 率 为 ________；曲率半径为_________. 3 、曲 线 y ln( x 1 x 2 ) 在 (0,0) 处 的 曲 率 为 ___________. 二、求曲线 y ln(sec x ) 在点 ( x , y ) 处的曲率及曲率半 径. x a cos3 t t t 0 处的曲率 . 三、求曲线 在 3 y a sin t y2 x 四、证明曲线 y a cosh 在任何一点处曲率半径为 . a a
s
ds
存在的条件下, K
ds
.
6
注意(1)直线的曲率处处为零。
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的 倒数,且半径越小曲率越大.
如图所示 , 有
s R 1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
抛物线在顶点处的曲率 最大.
11
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f ( x ) 在点
y
D 1 k
M
y f ( x)
M ( x , y ) 处的曲率为k ( k 0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM
《物理光学》§3-8用牛顿环测量透镜的曲率半径
分振幅干涉的基本内容回顾
由于两相干光束会聚角为2 由于两相干光束会聚角为2α， α楔形板的楔角。 λ 则，等厚条纹的间距为 则，等厚条纹的间距为 e = 2nα 由 Δ=2nhcosθ2(+λ/2)=m λ可知 =2nhcosθ (+λ 随着θ 随着θ2的增大，条纹将会发生弯曲，其规 律是朝向楔棱方向凸出。 薄膜的干涉与此原理相同，也是等厚条纹。 薄膜的干涉与此原理相同，也是等厚条纹。
D2 N= ∆C 4λ
§3－9 平面干涉仪
§3－9 平面干涉仪
是利用两个表面（一个是标准平面，一个是被检 平面）之间的楔形空气层产生的等厚干涉条纹检 L G G 验平面零件的仪器。 M 一、 原理： S 如图：
1 2
O ①标准平板G1； ①标准平板G1； 通常有很小的楔角，目的是使上表面和下表面的 反射光束分开一定角度，使上表面反射光束移出 视场之外。 ②被检测平板和标准平板之间的楔角和方向可以 通过它所在的调节盘进行调节，因而条纹间距和 方向可以随之变化。
分振幅干涉的基本内容回顾
一、平行平板——等倾条纹 平行平板——等倾条纹 由于光程差Δ=2nhcosθ (+λ 由于光程差Δ=2nhcosθ2(+λ/2)=m λ 故：若nh是均匀的，则条纹 故：若nh是均匀的，则条纹是θ2的函数； 即， θ2相同，则Δ相同、 m相同； 相同，则Δ 此时在观察屏上将形成环形条纹； 条纹是入射光对平行平板倾角相同的点的 条纹是入射光对平行平板倾角相同的点的 轨迹，且其定域面在无穷远处，须用望远 系统或在透镜焦平面上来观察其干涉图。
分振幅干涉的基本内容回顾
两类分振幅干涉装置产生的定域干涉图 （条纹）分别对应于： 平行平板——等倾条纹 平行平板——等倾条纹 楔形平板——等厚条纹 楔形平板——等厚条纹 其共同特点在于： 其共同特点在于： 光程相差Δ=2nhcosθ (+λ/2)的两束相干 光程相差Δ=2nhcosθ2(+λ/2)的两束相干 光分别由同一入射光在平板的上下两表面 产生。 其不同点在于： 其不同点在于：
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
弧微分公式 曲率的概念与曲率的计算 曲率圆与曲率半径
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
一、弧微分公式
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 1 y2 dx
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
2
(2) 曲线弧由参数方程给出:
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
6
2.曲率的计算公式 K d .
ds
设y f ( x)二阶可导,
有 arctan y,
tan y,
d
y 1 y2
dx,
ds 1 y2dx. k
y 3.
(1 y2 )2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
7
设曲线方程为
x (t),
y
(t
),
(t)， (t)二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
y
a1
cost
一拱的弧长。
0 t 2
解 由公式得
l 2 [a(1 cost)]2 (a sin t)2 dt 0
o
2a
2
2a
1 costdt 2a 2 sin t dt
几种常用类型滚动轴承的性能特点及运用场合
几种常用类型滚动轴承的性能特点及运用场合01.深沟球轴承旧——0 新——6沟道的曲率长大于球周长的1/3，他是生产量最大，应用最广泛的一种滚动轴承。
占整个滚动轴承的60%—70%。
性能：主要承受径向载荷，也可承受一定量的轴向载荷。
当增大径向游隙时，也可替代角接触球轴承。
在转速较高工作场合还不能使用推力球轴承时它也可作为推力球轴承使用。
在不同的游隙组别中，它的内外圈可以相对倾斜不同角度仍可正常工作。
（倾斜角度）C0组8分，C3组12分，C4组16分。
带有球面滚到内外圈可倾斜3-10度。
应用该类轴承时，两个支点距离不宜超过轴径的十倍。
特点：与同尺寸的其他轴承相比，摩擦损失最少振动和噪音最低。
转速较高阻力较小旋转灵活。
摩擦系数0.0015-0.0022缺点：这种轴承不耐冲击，不宜承受较重负荷。
适用场合：汽车，机床，柴油机、电机，水泵、农用机械，家电，减速箱、纺织机械，拖拉机等。
其他：游隙检测采用百分表或千分表。
沟道曲率Ra=0.525 Rw=0.53502.调心球轴承旧——1 新——1外圈滚道为球面型，内圈滚道分单双列滚道可自动调心。
性能：主要承受径向载荷，同时还可承受少量的轴向负荷，但不能承受纯的轴向负荷。
特点：内外圈可在倾斜1-3度的情况下正常工作，旋转精度正常。
该轴承为了安装拆卸方便，内孔有时做成圆锥形。
锥形内孔的目的（1）拆卸方便特别是长轴。
（2）可微量调整轴承的游隙。
适用场合：农用机械，纺织机械。
鼓风机，造纸机，木工机械，吊车，印染机械、小型机床等。
03.圆柱滚子轴承旧——2 新——N或NN性能：主要承受径向负荷，套圈有挡边的可承受极少量的轴向负荷，否则不能承受轴向负荷外圈双挡边的极限转速高于内圈双挡边。
特点:滚动体和滚道之间是修正线的接触，滚子通常由一个套圈的两个挡边引导。
保持架，滚子和引导套圈组成一组组合件，可与另一套圈分离，属于可分离型轴承。
此种轴承安装拆卸比较方便尤其是当要求内外圈与轴，壳体都是过盈配合时，更显示出优点。
材料力学填空与判断题解
实用文档第1 章 绪论一、是非判断题1-1 材料力学是研究构件承载能力的一门学科。
（ √ ） 1-2 材料力学的任务是尽可能使构件安全地工作。
（ × ） 1-3 材料力学主要研究弹性范围内的小变形情况。
（ √ ）1-4 因为构件是变形固体，在研究构件的平衡时，应按变形后的尺寸进行计算。
（×） 1-5 外力就是构件所承受的载荷。
（ × ）1-6 材料力学研究的内力是构件各部分间的相互作用力。
（ × ）1-7 用截面法求内力时，可以保留截开后构件的任一部分进行平衡计算。
（ √ ） 1-8 压强是构件表面的正应力。
（ × ） 1-9 应力是横截面上的平均内力。
（ × ）1-10 材料力学只研究因构件变形引起的位移。
（ √ ） 1-11 线应变是构件中单位长度的变形量。
（ × ） 1-12 构件内一点处各方向线应变均相等。
（ × ）1-13 切应变是变形后构件中任意两根微线段夹角的变化量。
（ × ） 1-14 材料力学只限于研究等截面直杆。
（ × ）1-15 杆件的基本变形只是拉（压）、剪、扭和弯四种。
如果还有另一种变形，必定是这四种变形的某种组合。
（ √ ）第 2 章 轴向拉伸与压缩 一、是非判断题2-1 使杆件产生轴向拉压变形的外力必须是一对沿杆轴线的集中力。
（×） 2-2 拉杆伸长后，横向会缩短，这是因为杆有横向应力存在。
（×） 2-3 虎克定律适用于弹性变形范围内。
（×） 2-4 材料的延伸率与试件尺寸有关。
（√）2-5 只有超静定结构才可能有装配应力和温度应力。
（√） 二、填空题2-6 承受轴向拉压的杆件，只有在（加力端一定距离外）长度范围内变形才是均匀的。
2-7 根据强度条件][σσ≤可以进行（强度校核、设计截面、确定许可载荷）三方面的强度计算。
2-8 低碳钢材料由于冷作硬化，会使（比例极限）提高，而使（塑性）降低。
上海师范大学-高等数学教学大纲
上海师范大学《高等数学》教学大纲高等数学第六版、同济大学数学系编、高等教育出版社适应专业：本科一．课程性质、任务和基本要求（一）课程的性质与任务高等教学课程是高等院校计划中的一门重要的基础理论课，它是为培养适应我国社会主义现代化建设需要的高质量专门人才服务的。
通过本门课的学习，使学生获得：1．函数、极限、连续；2．一元函数微积分学；3．常微分方程；4．向量代数与空间解析几何；5．多元函数微积分学；6．级数（包括傅氏级数）；等方面的知识、基本理论和基本运算技能。
为学习后继课程以及进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有比较教练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。
还要培养学生具有抽象概括问题的能力和综合运用知识来分析解决问题的能力。
（二）课程的基本要求（－）函数、极限、连续1．理解函数概念；Z．理解函数的单调性、周期性、奇偶性；3．了解反函数、复合函数的概念；4．熟练掌握基本初等函数图象；5．能将简单实际问题中的函数关系表达出来；6．能正确应用极限四则运算法则；7．理解两个重要极限，会用两个重要极限求极限；8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较；9．了解函数在一点的连续和间断的概念；10．知道初等函数的连续性；11．知道闭区间上连续函数的性质。
（二）一元函数微分学1．理解导数和微分的概念，能用导数描述一些物理量，了解函数可导与连续的关系；2．熟悉导数和微分的运算法则，导数的基本公式，能熟练计算初等函数的一、二阶导数；3．会求隐函数的导数，会求参数方程的导数和二阶导数；4．理解罗尔、拉格朗日定理，会应用拉格朗日定理证明一些简单问题；5．理解函数极值的概念；6．能用导数求函数的极值，判断函数的增减性、凹凸性，会求曲线的拐点；会解决应用问题中的最大、最小值问题。
7．能用罗必塔法则求极限。
（五）一元函数积分学1．理解不定积分与定积分的概念及性质；2．熟悉不定积分基本公式，熟练掌握不定积分、定积分的换元法，分部积分法；掌握简单的有理函数积分；3．理解变上限定积分作为上限的函数及其求导方法，熟悉牛顿—莱布尼兹公式；4．了解广义积分概念；5．熟练掌握用定积分表达一些物理量（如面积、体积、弧长、压力、功、引力等）的方法。
基于曲率属性的复杂断层精细解释技术及其应用
基于曲率属性的复杂断层精细解释技术及其应用胡滨【摘要】海外某深水A油田开展复杂断层精细解释研究中,相干类地震属性等传统刻画断层的技术失效.针对研究区断层断距较小但断层两盘地层倾角变化较大的特点,利用沿层曲率属性刻画这种特征.介绍了曲率属性的概念、分类、地质意义和计算方法.通过引入层位优化方法,使用合适参数的网格化方法代替传统的层位插值方法,该技术可以更加清晰地刻画复杂断裂系统,有效指导断层组合解释工作.研究区1 00 km2范围内解释出的200多条断层,揭示了研究区的复杂断裂特征.最新评价井的钻探证实了解释成果的可靠性.【期刊名称】《海洋石油》【年(卷),期】2018(038)001【总页数】6页(P22-27)【关键词】曲率;复杂断层;精细解释;层位优化;深水;海外【作者】胡滨【作者单位】中海油研究总院,北京100028【正文语种】中文【中图分类】P631.5+41 问题的提出近年来，中国石油公司开始进军海外深水勘探项目。
这些项目具有投资高（每口探井超过1亿美元）、储量大、风险高的特点。
海外某深水A油田已钻探两口井，均有较好的油气发现，拟钻探一批评价井。
该油田处于尼日尔三角洲盆地重力滑动—逆冲—底辟构造带上，既受到北东向逆冲挤压应力作用，又受到泥拱底辟作用。
北东向逆冲挤压应力作用，自北向南形成一系列北西—南东向逆断层。
在挤压褶皱顶部由于拱张作用或泥岩底辟形成张性正断层、放射状正断层或顺应力方向发育逆断层，断裂体系异常复杂（图1）。
复杂性主要体现在断层的数量多（100 km2范围内分布200多条断层），断层的倾向走向各异且相互切割（图2）。
断裂系统解释关系到层位解释的是否准确，更关系到构造落实的程度，决定着勘探的成败。
同相轴错断，相干类地震属性切片上呈现明显的弱连续条带，因此相干等地震属性可以较好的描述这两类断层。
而研究区多发育断层断距较小的具有张扭性质的正断层（图4c），同相轴错断不明显或没有错断，相干等地震属性切片上呈现为高连续特征，因此相干等地震属性难以描述这类断层。
工程力学第六章答案 梁的变形-工程力学梁的弯曲答案
第五章梁的变形测试练习1.判断改错题5-1-1梁上弯矩最大的截面,挠度也最大,弯矩为零的截面,转角亦为零.（）5-1-2两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。
（）5-1-3悬臂梁受力如图所示，若A点上作用的集中力P在A B段上作等效平移，则A截面的转角及挠度都不变。
（）5-1-4图示均质等直杆（总重量为W），放置在水平刚性平面上，若A端有一集中力P作用，使A C部分被提起，C B部分仍与刚性平面贴和弯矩均为零。
（）5-1-5挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。
（）5-1-6等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
（）5-1-7两简支梁的抗刚度E I及跨长2a均相同，受力如图所示，则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的。
（）5-1-8简支梁在图示任意荷载作用下，截面C产生挠度和转角，若在跨中截面C又加上一个集中力偶M0作用，则梁的截面C的挠度要改变，而转角不变。
()题5-1-3图B题5-1-4图C5-1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。
（ ） 5-1-10 图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，则通常有6个积分常量。
（ ）2．填空题5-2-1 挠曲线近似微分方程EIx M x y )()("-= 的近似性表现在 和 。
5-2-2 已知图示二梁的抗弯度E I 相同，若使二者自由端的挠度相等，则21P P 。
5-2-3 应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是： 。
5-2-4 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是 。
5-2-5 用积分法求图示的外伸梁（B D 为拉杆）的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是 ，连续条件是 。
5-2-6 用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是，题5-1-9图题5-1-10图题5-2-2图连续条件是 。
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（1）图1中，12M M 与23M M 弧长相等，23M M 的切线转角β比12
M M 的切线转角α大，23M M 比12M M 弯曲程度大。
（2）图2中，12M M 与12N N 的切线转角相等，12N N 比12M M 弧长短，12N N 比12M M 弯曲程度大。
总结：曲线的弯曲程度与转角成正比与弧长成反比。
据此，我们给出曲率的定义。
当C 上的动点从M 移到M ′时，切线转过了角度Δα（称为转角），而所对应的弧增量Δs =
M M '.
定义1：若将单位弧段上切线转角的大小称为M M '的平均曲率，记为k ，则
k =
s
α
∆∆. 将上述平均曲率当Δs →0（即M ′→M ）时的极限，即
k =0
lim
s ∆→s α∆∆=d d s
α
称为曲线C 在点M 处的曲率。
特别的，对于直线，倾角α始终不变，故Δα=0，从而k =0，即“直
线不弯曲”。
对于圆，设半径为R ，由图4知，任意两点M ，M '处圆之切线
所夹的角Δα等于中心角MDM '∠，而MDM '∠=s R ∆，于是s α∆∆=
s R
s
∆∆=1
R
，故 k =0
lim
s ∆→s α∆∆=1
R
. 图4
即圆上任一点处的曲率都相等且等于其半径的倒数。
若半径无限增大，则曲率就无限趋近于零。
从这个意义上看，直线是半径为无穷大的圆。
2、曲率的计算方法
（1）一般曲线方程曲率计算公式 设曲线方程为()y f x =，且()f x 具有二阶导数.由于tan y α'=，从而
2sec d y dx
αα
''=， 即
d d x α
=21tan y α''+=2
1y y '''+， 故d α=
2
1y y ''
'
+dx ，又ds =21y '+dx ，于是 k =d d s
α=
()
322
1y y ''
'+.
故得曲率
2csc 41)
2
cot 1(2csc 412
3
24
t a t t a k =+= 令,3
π
=
t 得
a
k 21=
向学生简单介绍曲率在工程技术上的一些应用
（四）曲率的一些简单应用
（1）曲率圆与曲率半径
设光滑曲线C 上点M 处的曲率为k （k≠0）.在C 上点M 作法线，
并在凹向一侧取点D ，使得R k
DM ==1
,以D 为圆心，R 为半径作
圆，⊙D 为曲线C 在点M 处的曲率圆,圆心D 称为C 在点M 处的曲率中心,R 称为C 在点M 处的曲率半径，如图5所示.
图5
故曲线y=f(x)在点M 的曲率圆有下列性质: (1)在点M 处的曲率与曲线的相同;
(2)在点M 处与曲线相切,且在切点附近有相同凹凸性.
由性质(2)还可知道,点M 处曲率圆的圆心位于曲线在该点的法线上.
小结：对于曲线)(x f y =在点0x 处，圆心为),(b a ，半径为R 的曲率圆的计算公式为
)
(}
)]([1{)()]([1)
(02
32002
000x f x f R x f x f x f x a '''+=
'''+'-=
（2）曲率的应用实例
(选讲)例3 用圆柱形铣刀加工一弧长不大的椭圆形工件，该段弧的中点为椭圆长轴的顶点，该椭圆的方程为（单位为mm ）
22
2214050
x y += 应选用多大直径的铣刀，可得较好的近似效果？（二级）
解 顶点坐标为)50,0(，将方程改写为
216004
5
x y -=
则 32
1,000=''='==x x y y 代入曲率半径公式可得32=R （mm ）
所以，应选用直径为64mm 的铣刀，可得较好的近似效果.
例4 某工件表面的型线为y=0.4x 2,现要用砂轮磨削表面,问应选多大直径的砂轮?（二级）
解 为使磨削时不会多磨掉不应磨去的部分,砂轮半径应不超过抛物线上各点处曲率半径的最小值，如图6所示.
)()]([1)(02
00x f x f x f b '''++
=。