高中数学第一章数列2.2等差数列的前n项和(二)课件北师大版必修5
跟踪训练2
在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列
前n项和Sn的最小值. 解答
类型三
求等差数列前n项的绝对值之和
例3
若等差数列{an}的首项a1＝13，d＝－4，记Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，
解答
求Tn.
反思与感悟
求等差数列{an}前n项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清 这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的 绝对值之和.
注意n∈N＋，结合二次函数图像的对称性来确定n的值，更加直观.
an≥0， (2)通项法：当 a1>0，d<0， 时，Sn 取得最大值；当 a1<0， an＋1≤0 an≤0， d>0， 时，Sn 取得最小值. an＋1≥0
2 －n ＋10n，n≤5，n∈N＋， 即Tn＝ 2 n －10n＋50，n>5，n∈N＋.
当堂训练
1.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an等于 答案
A.4n－2 B.n2 C.2n＋1
解析
√
D.2n
当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n， 又因为a1＝2符合an＝2n， 所以an＝2n.
跟踪训练3
已知数列{an}中，Sn＝－n2＋10n，数列{bn}的每一项都有
bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn的表达式. 解答 由Sn＝－n2＋10n得an＝Sn－Sn－1＝11－2n(n≥2，n∈N＋). 验证a1＝9也符合上式.∴an＝11－2n，n∈N＋. ∴当n≤5时，an>0，此时Tn＝Sn＝－n2＋10n； 当n>5时，an<0，此时Tn＝2S5－Sn＝n2－10n＋50.
由二次函数的性质可以得出：当a1＜0，d>0时，Sn先减后增， 有最小值；当a1>0，d<0时，Sn先增后减，有最大值；且n取 最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值.
梳理
等差数列前n项和的最值与{Sn}的单调性有关. (1)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加 即得{Sn}的最大值. (2)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加 即得{Sn}的最小值. (3)若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0， 则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
1 2 3 4
解析
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an. 当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5. 当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1， 又Sn＝3＋2n， ∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1. 又当n＝1时，a1＝5≠21－1＝1，
5，n＝1， ∴an＝ n－1 2 ，n≥2，n∈N＋.
解答
1
2
3
4
规律与方法
1.因为an＝Sn －Sn－1只有n≥2 时才有意义，所以由Sn求通项公式 an＝f(n)
时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一
解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.
2.求等差数列前n项和最值的方法：
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前 n项和的最值，但要
当n＝1时，代入an＝2· 3n－1得a1＝2≠3.
3 ， ∴an＝ n－1 3 ， 2·
n＝1， n≥2，n∈N＋.
类型二
等差数列前n项和的最值
例2
的值. 解答
2 4 已知等差数列5,4 ，3 7，…的前n项和为Sn，求当Sn取得最大值时n 7
反思与感悟
在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它 前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项 起到该项的各项的和为最大 (小).由于 Sn为关于 n的二次函数，也可借助 二次函数的图像或性质求解.
已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时， an＝Sn－Sn－1求得an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解 析式表示.
跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an. 解答
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2· 3n－1.
1
2
3
4
2.已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ
的值是 答案
解析
A.－2
√
B.－1
C.0
D.1
等差数列的前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴λ＝－1.
1
2
3
4
5或6 时， 3.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝______ Sn取到最大值. 答案 ∵S3＝S8， ∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0， ∴a6＝0.∵a1＞0， ∴a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＝0， a7＜0. 故当n＝5或6时，Sn最大.
第一章 数列
§2.2 等差数列的前n项和(二)
学习目标
1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.会解等差数列前n项和的最值问题. 3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一
数列中an与Sn的关系
思考
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，怎样求a1，an? a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又n＝1时也适合上式，所以an＝2n－1，n∈N＋.
题型探究
类型一 已知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ列{an}的前n项和Sn求an
1 例 1 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ＝ n2 ＋2 n ，求这个数列的通项公 式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解答
引申探究
例1中前n项和改为Sn＝n2＋ 2
1
n＋1，求通项公式.
解答
反思与感悟
答案
梳理
对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为
an＝
S1 (n＝1)，
Sn－Sn－1 (n≥2，n∈N＋).
知识点二
等差数列前n项和的最值
思考
我们已经知道，当公差 d≠0 时，等差数列前 n 项和是关于 d 2 d n 的二次函数 Sn＝2n ＋(a1－2)n， 类比二次函数的最值情况， 等差数列的 Sn 何时有最大值？何时有最小值？ 答案
2021_2022学年高中数学第一章数列2.2.1等差数列的前n项和课时素养评价含解析北师大版必修5
五等差数列的前n项和(20分钟35分)1.设数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,若a6=2且S5=30,则S8等于( )A.31B.32C.33D.34【解析】选B.由已知解得所以S8=8a1+d=32.2.在等差数列{a n}和{b n}中,a1=25,b1=15,a100+b100=139,则数列{a n+b n}的前100项的和为( )A.0B.4475C.8950D.10000【解析】选C.设=a n+b n,则c1=a1+b1=40,c100=a100+b100=139,{}是等差数列,所以前100项和S100===8 950.3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )A.63B.45C.36D.27【解析】选B.因为a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列, 所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.4.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则等于( )A. B.C.D.【解析】选A.设S3=m,因为=,所以S6=3m,所以S6-S3=2m.由等差数列依次每k项之和仍为等差数列,得S3=m,S6-S3=2m,S9-S6=3m,S12-S9=4m,所以S12=10m.所以=.5.(2019·高考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n的最小值为. 【解析】设公差为d,a2=a1+d=-3,S5=5a1+d=-10,即a1+2d=-2,解得a1=-4,d=1,所以a5=a1+4d=0,S n=na1+d=,当n=4或5时,S n最小,为-10.答案:0 -106.在等差数列{a n}中,a1=25,S17=S9,求S n的最大值.【解析】方法一:设等差数列{a n}的公差为d.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.所以S n=25n+×(n-1)×(-2)=-(n-13)2+169.由二次函数的性质,知当n=13时,S n有最大值169.方法二:设等差数列{a n}的公差为d.由S17=S9,得25×17+×(17-1)d=25×9+×(9-1)d,解得d=-2.因为a1=25>0,由解得≤n≤,所以当n=13时,S n有最大值,S13=25×13+=169.【补偿训练】设数列{a n}是公差不为零的等差数列,S n是数列{a n}的前n项和,且=9S2,S4=4S2,求数列{a n}的通项公式.【解析】设等差数列{a n}的公差为d,由S n=na1+d及已知条件得(3a1+3d)2=9(2a1+d),①4a1+6d=4(2a1+d).②由②得d=2a1,代入①,有=a1,解得a1=0或a1=.当a1=0时,d=0(舍去),因此a1=,d=.故数列{a n}的通项公式为a n=+(n-1)×=(2n-1).(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5=7,S10=21,则S15等于( )A.35B.42C.49D.63【解析】选B.在等差数列{a n}中,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即7,14,S15-21成等差数列,所以7+(S15-21)=2×14,解得S15=42.2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n为等差数列的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )A.-12B.-10C.10D.12【解析】选 B.3=2a1+d+4a1+×d⇒9a1+9d=6a1+7d⇒3a1+2d=0⇒6+2d=0⇒d=-3,所以a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.3.(2020·某某高一检测)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每个人所得成等差数列,最大的三份之和的是最小的两份之和,则最小的一份的量是( )A. B. C.D.【解题指南】由题意可得中间部分的为20个面包,设最小的一份为a1,公差为d,可得到a1和d 的方程,即可求解.【解析】选D.由题意可得中间的那份为20个面包,设最小的一份为a1,公差为d,由题意可得[20+(a1+3d)+(a1+4d)]×=a1+(a1+d),解得a1=.4.(2020·仙游高一检测)记S n为等差数列的前n项和.已知S4=0,a5=5,则( )A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=n2-2n【解析】选A.由题知,解得,所以a n=2n-5.所以S n==n2-4n.【光速解题】选 A.本题还可用排除法,对B,a5=5,S4==-10≠0,排除B;对C,S4=0,a5=S5-S4=2×52-8×5-0=10≠5,排除C;对D,S4=0,a5=S5-S4=×52-2×5-0=≠5,排除D.5.等差数列{a n}的前四项和为124,后四项和为156,各项和为210,则此数列的项数为( )A.5B.6C.7D.8【解析】选B.由题意知a1+a2+a3+a4=124,a n+a n-1+a n-2+a n-3=156,所以4(a1+a n)=280,所以a1+a n=70.又S==×70=210,所以n=6.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·某某高考)已知数列{a n}(n∈N+)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.【解析】设等差数列的首项为a1,公差为d,由a2a5+a8=0,S9=27,得解得a1=-5,d=2,所以S8==4(2a1+7d)=16.答案:167.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1=-2018,-=6,则S2020=.【解析】由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为d,则-=6d=6,所以d=1.故=+2 019d=-2 018+2 019=1,所以S2 020=1×2 020=2 020.答案:2 0208.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等差数列的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.【解析】设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:a n=a1+d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:S n=na1+d,n∈N*,可得:S10=10×+=-20+45=25,所以S10=25. 答案:25三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等差数列{a n}中.(1)a1=105,a n=994,d=7,求S n;(2)d=2,a n=11,S n=35,求a1和n.【解析】(1)d====7,解得n=128.所以S n===70 336.(2)由得解方程组得或10.设等差数列的前n项和为S n,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列的通项公式及前n项和公式.(2)设数列{b n}的通项公式为b n=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设等差数列的公差为d,因为a5+a13=34,S3=9.所以整理得解得所以a n=1+(n-1)×2=2n-1,S n=n×1+×2=n2.(2)由(1)知b n=,所以b1=,b2=,b m=,若b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列,则2b2=b1+b m,所以=+,即6(1+t)(2m-1+t)=(3+t)(2m-1+t)+(2m-1)(1+t)(3+t),整理得(m-3)t2-(m+1)t=0,因为t是正整数,所以(m-3)t-(m+1)=0,m=3时显然不成立,所以t===1+.又因为m≥3,m∈N,所以m=4或5或7,当m=4时,t=5;当m=5时,t=3;当m=7时,t=2.所以存在正整数t,使得b1,b2,b m(m≥3,m∈N)成等差数列.即当t=5时,b1,b2,b4成等差数列;当t=3时,b1,b2,b5成等差数列;当t=2时,b1,b2,b7成等差数列.1.一个凸多边形的内角成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于( )A.12B.16C.9D.16或9【解析】选C.a n=120+5(n-1)=5n+115,由a n<180得n<13且n∈N+,由n边形内角和定理得,(n-2)×180=n×120+×5.解得n=16或n=9,因为n<13,所以n=9.2.某仓库有同一型号的圆钢600根,堆放成如图所示的形状,从第二层开始,每一层比下面一层少放一根,而第一层至少要比第二层少一根,要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少),则最下面一层放几根?共堆了多少层?【解析】设最下面一层放n根,则最多可堆n层,则1+2+3+…+n=≥600,所以n2+n-1 200≥0,记ƒ(n)=n2+n-1 200,因为当n∈N+时,f(n)单调递增,而f(35)=60>0,f(34)=-10<0,所以n≥35,因此最下面一层最少放35根.因为1+2+3+…+35=630,所以最多可堆放630根,必须去掉上面30根,去掉顶上7层,共1+2+3+…+7=28根,再去掉顶上第8层的2根,剩下的600根共堆了28层.故最下面一层放35根,共堆了28层.高考- 11 - / 11。
等差数列的前n项和+课件-2024-2025学年高二下学期北师大版(2019)选择性必修第二册
an )
பைடு நூலகம்
n1 2n
2
1
n2
典例分析
还有方 例2：在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古法代？皇 家建筑中包含许多与9相关的设计。例如北京天坛圆丘的地面由扇
圆形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈
有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共9圈。请问：
(1)第9圈共有多少块石板；(2)前9圈一共有多少块石板.
若把次序颠倒是 Sn an an1 an2 an3 a1 (2) 由等差数列的性质 a1 an a2 an1 a3 an2
由(1)+(2)得 2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an )
即:
Sn
n(a1 2
an )
n个
等差数列的前n项和公式
项数 首项 第n项
答：底层有90盏彩灯，顶层有132盏彩灯。
小试牛刀
3.等差数列{an }中，a1 20, a5 12,求通项an 及前n项
和 Sn 的最大值.
解一：由 a1
20, d
a5 a1 5 1
2，得
an a1 (n 1)d 2n 22，
Sn
(a1
an )n 2
n2
21n，二次函数 y
x2
21x
(2)知三求二 建立方程或方程组求解
课后习题
1.求 sin2 10 sin2 20 sin2 30 sin2 80 2.何时可以使用倒序相加法？ 3.P17练习1.2.3
课后思考
已知数列{an}的通项公式an＝ 项和．
1 n(n
1)
，求数列{an}的前n
感谢指导
(完整版)北师大版高中数学课本目录
必修1 第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3.2 全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2.1 函数概念2.2 函数的表示法2.3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像4.2 二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数和的图像和性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数4.1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念5.2 y=log2x的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在1.2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平型关系的判定5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率1.2 直线的方程1.3 两条直线的位置关系1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1 简单随机抽样2.2 分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差4.2 标准差§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分布5.2 估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想 1.1 算法案例分析1.2 排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构2.2变量与赋值2.3 循环结构§3 几种基本语句3.1 条件语句3.2 循环语句第三章概率§1 随机事件的概率 1.1 频率与概率1.2 生活中的概率§2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型2.3 互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性4.3 单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像5.1 从单位圆看正弦函数的性质5.2 正弦函数的图像5.3正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像6.1正弦函数的图像6.2 正弦函数的性质§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与性质7.2 正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度、和力1.2 向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法2.2 向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4 平面向量的坐标 4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数2.3 两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列1.1 数列的概念1.2 数列的函数特征§2 等差数列2.1 等差数列2.2 等差数列的前n项和§3 等比数列3.1 等比数列3.2 等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理 1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 比较大小§2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1 基本不等式3.2 基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全。
北师大版高中数学必修5：等差数列的前n项和_课件2(2)
方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0， 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14， 故a13＋a14＝0. ∵d＝－2＜0，a1＞0，∴a13＞0，a14＜0， 故n＝13时，Sn有最大值169.
方法四：由 d＝－2，知 Sn 对应的二次函数图像开口向
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管．
这样，每层的钢管数都等于 4＋9，共有 6 层．从而原来 一堆钢管的总数为6×42＋9＝39.
一般地，如何求等差数列{an}的前 n 项和 Sn?
1．等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 (1)设数列{an}的首项 a1，公差 d.
则aa1200＝ ＝aa11＋ ＋91d9＝ d＝305， 0， ∴ad1＝＝212， . ∴通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝10＋2n.
(2)由 Sn＝na1＋nn－ 2 1d 以及 a1＝12，d＝2，Sn＝242， 得方程 242＝12n＋nn－ 2 1×2， 即 n2＋11n－242＝0，得 n＝11，或 n＝－22， ∵n∈N＋，∴n＝11.
方法二：∵S6＝S5＋a6＝15， ∴15＝6a12＋a6，即 3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝a6－5 a1＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一：a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝458， 所以 a1＋2d＝254. 所以 S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝5a1＋2×5d ＝5(a1＋2d)＝5×254＝24.
[时求题，a后n，a感1＝最悟后S]1，验已求证知得a1前a是1，n否项再符和由合Snna求≥n，2通时若项，符aan合n，＝则先Sn统－由一Snn＝用－11 一个解析式表示．若不符合，则通项公式应用分 段式表示．
第一章 数列§2 2.2 第1课时 等差数列的前n项和 北师大版 必修五.
2Sn (a1 an ) (a1 an ) (a1 an ) （共n个） n(a1 an ).
于是，首项为a1,末项为an,项数为n的等差数列的前n项和
n(a1 an ) Sn . 2
这种求和的方法叫作“倒序相加法”
③
这个公式表明：等差数列前n项的和等于首末两项的 和与项数乘积的一半，参见下图.
100 (1 100) 1 2 3 99 100 5050. 2
等差数列的前n项和公式
…
…
… …
有200根相同的圆木料，要把它们堆成正三角形垛，并 使剩余的圆木料尽可能少，那么将剩余多少根圆木料？ 根据题意，各层圆木料数比上一层多一根，故其构成 等差数列： 1,2,3，…
抽象概括
设Sn是等差数列{an}的前n项和，即
Sn a1 a2 a3 an .
根据等差数列{an}的通项公式，上式可以写成
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) [a1 (n 1)d ],
再把项的次序反过来，Sn又可以写成
①
Sn an (an d ) )d ], ②
2.2 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和
1.知识目标：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路； 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的问题．
2.能力目标：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会 从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认 识问题，解决问题的思路和方法；通过公式推导的过程教 学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，提高学生的 思维水平. 3.情感目标：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美
高中数学北师大版必修5课件：第1章2.1.1《等差数列的概念》
2．求等差数列的通项公式除课本的归纳法外, 你还知道哪些方法？ 提示：除课本上用归纳法得到通项公式外，还 有以下几种方法推出等差数列的通项公式，这 些方法是解决问题的一些重要的常规方法，要 注意体会并逐步应用． ①累加法 因为{an}为等差数列，则有 a n － a n － 1＝ d ， an－1－an－2＝d，
2．等差数列的通项公式
若{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则 an＝a1＋(n－1)d {a }的通项公式为_________________.
n
问题探究 1．等差数列的定义中为什么要强调“从第2项 起”和“差是同一个常数”这两点？ 提示：通过列举反例来分析．我们知道一个数 列的第1项没有前一项，所以强调“从第2项 起”；“差是常数”和“差是同一个常数”的 意义不一样，如数列1,5,3,7中，a2－a1＝5－1 ＝4＝常数，a3－a2＝3－5＝－2＝常数，a4－ a3＝7－3＝4＝常数，差都是常数，但是很明 显该数列不是等差数列，所以强调“差是同一 个常数”，这是等差数列定义的核心．
数列{an}的通项公式．
2．从函数的观点看，数列的表示方法有 列表法 ， _______ 图像法 ， ___________ 通项公式法 ． _______
知新益能
1．等差数列的概念 第二项 起，每一项与它的前 如果一个数列从 _______
同一个常数 ，那么这个数列就 一项的差等于 ___________ 常数 叫做等差数列的公 叫做等差数列，这个 _____ d 表示． 差，通常用字母___
解了题意．
自我挑战
已知等差数列 {an}的首项为 a1，公
差为d且a5＝10，a12＝31，求数列的通项公式.
解：法一：∵a5＝a1＋4d，a12＝a1＋11d，
北师大版必修5高中数学第一章数列小结课件
一、教学目标：
1、知识与技能：⑴进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问
题的方案；⑵进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能 力；⑶加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练
程度；⑷在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题。
2、过程与方法：⑴通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析 的能力；⑵通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础
3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力。
三、教学难点 解题思路和解题方法的优化。
四、教学方法：探究归纳，讲练结合
五、教学过程
知识结构
数列的概念 递推公式 定义 等差数列 数列 等比数列 性质 前n项和公式 定义 性质 前n项和公式 通项公式 通项公式 通项公式 数 列
的
应
用
数列求和
知识归纳
知识的能力；⑶在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的
思想方法。 3、情感态度与价值观：⑴通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题
中的意义和作用，认识数列知识的重要性；⑵感受并认识数列知识的重要作
过程中形成和发展正确的价值观
二、教学重点 1.系统化本章的知识结构； 2.提高对几种常见类型的认识；
得：an 2 3 3 n1 an 3n 2
性质的应用 {an }中, 例5 在 等 差 数 列
10 (1)若a3 50, a5 30, 则a7 ______;
( 2)若a1 a4 a7 39, a 2 a5 a8 33, 则
27 a3 a6 a9 ______ 24 ( 3)若a15 8, a60 20, 则a75 _____;
2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.1.1 数列的概念
-14-
1.1 数列的概念
探究一
探究二
探究三
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(5)数列给出前 6 项,其中奇数项为 3,偶数项为 5,所以通项公式
所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0. 因为方程n2-21n-2=0不存在正整数解,所以1不是{an}中的项.
②假设{an}中存在第m项与第(m+1)项相等,即am=am+1,则解得
m=10. 所以数列{an}中存在连续的两项,第10项与第11项相等.
-23-
1.1 数列的概念
探究一
探究二
答案:②④
-12-
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探究二 根据数列的前几项写数列的一个通项公式
【例2】 写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,3,7,15,…
(2)√23
,
4 √5
,
6 √7
,
√89,…
(3)-2,54,-190 , 1176,…
(4)0.9,0.99,0.999,0.999 9,…
探究三
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忽略了相邻正方形的公共边而致误 【典例】图中由火柴棒拼成的一列图形中,第n个图形由n个正方 形组成.
通过观察可以发现:第n个图形中,火柴棒的根数为 错解:第一个图形为正方形,火柴棒的根数为4;
高中数学课件-1-2-1-1等差数列的概念和通项公式 课件(北师大版必修5)
第一章 数列
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2.1 等差数列
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第1课时 等差数列的概念和通项公式
预习篇 课堂篇 提高篇
巩固篇 课时作业
第一章 数列
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学习目标
1.理解等差数列的特点与定义，掌握等差数列的判断 方法.
2.记住等差数列的概念、等差数列的通项公式，并能 运用通项公式解决一些简单问题.
第一章 数列
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【尝试解答】 数列5,8,11，…记为{an}，数列 3,7,11，…记为{bm}，则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，bm＝3＋ (m－1)·4＝4m－1.
令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)， 即n＝43m－1(n，m∈N＋)． 要使n为正整数，m必须是3的倍数，记m＝3k(k∈N＋)． ∴n＝43·3k－1＝4k－1.
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理解等差数列的定义需注意以下问题： (1)注意定义中“从第2项起”这一前提条件的两层含 义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一 项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且 必须从第2项起，以便保证数列中各项均与其前一项作差． (2)注意定义中“每一项与它的前一项的差”这一运算 要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后 面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．
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规律方法 求解时要紧紧抓住“同一个常数”这个条件，本例中 的第2小题是从第2项开始的等差数列，即1，2，3，…n构 成等差数列，但整个数列不是等差数列.
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根据下列数列的通项公式an，判断各数列是否为等差 数列：
(1)an＝3n＋5；(2)an＝n2.
新教材2023版高中数学北师大版选择性必修第二册：等差数列的前n项和二课件
题型二 利用Sn求an
例2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－8n＋10，求通项公式an，
并判断数列是否为等差数列；
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝
1 3
n
－1，求其通项公式an.
方法归纳
利用Sn求an的方法 已知数列{an}的前n项和求通项公式an，一般要使用公式an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)，但必须注意它成立的条件是n≥2，除此之外还要注意以下几 点：
解得n＝15或n＝－16(舍去)．故选C.
4．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟 走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m，则甲、乙开 始运动后_____7___分钟相遇．
解析：设n分钟后相遇，依题意，有2n＋n
n−1 2
＋5n＝70，整理得n2＋13n－140
S1 n = 1 ， − Sn−1 n ≥ 2
．
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和Sn＝－32n2＋n，求该数列的通项 公式．
解析：当n＝1时，a1＝－12； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－32n2＋n－[－32(n－1)2＋(n－1)]＝－3n＋52 又∵a1＝－12适合上式 ∴an＝－3n＋52.
两式相减得an＝an－an－1＋2n－1，即an－1＝2n－1，也即an＝2n＋1.又因为a1＝3 适合上式，所以{an}的通项公式为an＝2n＋1.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则其通项公式为( )
A．an＝2n
B．an＝2n－1
C．an＝2n＋1 D．an＝2n－1－1
答案：B
解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，当n＝1时，a1＝S1＝ 21－1＝1适合上式，故an＝2n－1(n∈N＋).