2021届浙江省宁波市余姚中学高三下学期6月高考适应性考试数学试题

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2025届浙江省宁波市九校(余姚中学高三下学期联合考试数学试题含解析

2025届浙江省宁波市九校（余姚中学高三下学期联合考试数学试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是( ) A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ B ．//αβ，m β⊥ C ．αβ⊥，//m βD ．n ⊂α，m n ⊥2．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（） A ．19B ．29C ．13D ．493．若集合{|A x N x =∈=，a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉4．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --5．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αD ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥6．设全集U =R ，集合2{|340}A x x x =-->，则UA =（）A ．{x |-1 <x <4}B ．{x |-4<x <1}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |-4≤x ≤1}7．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．858．为计算23991223242...100(2)S =-⨯+⨯-⨯++⨯-，设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（）A ．100i <B ．100i >C ．100i ≤D ．100i ≥9．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（）A ．B ．2C ．D ．10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()2711．设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（）①数列{}n a 的任意一项都是正整数； ②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误12．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）A ．-1B ．1C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年浙江省新高考测评卷数学(第六模拟)

2021年浙江省新高考测评卷数学（第六模拟）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，{}3C x x =<，则A B C ⋂⋂=（）A ．{}24x x -<< B ．{}24x x ≤<C ．{}23x x -<<D ．{}23x x ≤<2．复数z =）A ．1B ．79C ．59D ．133．若实数x ，y 满足约束条件1,31,1,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则2020z x y =-的最大值为（）A ．2020-B ．2020C ．4039D ．40404．5x ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数是（）A ．60B ．80C ．90D ．1205．已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞-C ．[)1,+∞D ．()1,+∞6．若12ln 2a =，b =，4log 3c =，则（） A ．c b a >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．a b c >>7．设1x ，2x ，{}31,0,1,2x ∈-，那么满足32212308x x x ≤++≤的所有有序数组()123,,x x x 的组数为（）A ．45B ．46C ．47D ．488．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 是坐标原点，12123F PF FOP π∠=∠=，则椭圆的离心率是（）A．32- BC．2D．29．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22b a bc -=，则sin sin 2A B +=（）A ．0B ．12C．2D ．13-10．已知函数()()()()22673,log 113,x x x f x x x ⎧-+-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩若关于x 的方程()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦有6个根，则m 的取值范围为（）A．(,2-∞- B．(2,2--C ．()2,-+∞D．2,2--⎡⎣二、填空题11．已知三倍角公式()()sin34sin sin 60sin 60αααα=+-°°，则sin 20sin60sin100sin140=°°°°______．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．13．已知向量a ，b 满足23a b a b +≥-，则ba在a 方向上的投影的最小值是______．三、双空题14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．若17102S =，1112a =，则d =______，20S =______．15．已知随机变量X 的分布列为()()()12aP X n n n ==++（1,2,3n =），其中a 为16．已知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，且C 经过点(A ，则双曲线C 的标准方程为______；若直线AF 与y 轴交于点B ，点(),P x y 是C 右支上一动点，且(y ∈-，直线AP 与以AB 为直径的圆相交于另一点D ，则PA PD ⋅的最大值是______．17．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，13AA =，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的平面记为α，则平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的面积为______，平面α与平面11BB C C 所成角的余弦值为______．四、解答题18．已知函数()227cos 24cos 32πx f ωx ωx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为6π．（1）求()0f ；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，二面角P AD C --的余弦值为13，M 是棱PC 的中点，2PA PD AD ===，1BC =，CD =．（1）求证：AD PB ⊥；（2）求直线MA 与平面PAD 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 满足113a =，11113n n na a +++=．（1）证明：数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 21．设O 为坐标原点，M 是x 轴上一点，过点M 的直线交抛物线C ：24y x =于点A ，B ，且4OA OB ⋅=-．（1）求点M 的坐标；（2）求232BM AM-的最大值．22．已知函数()e 1xx a f x =-+（a ∈R ）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，令()()ln g x f x =，若函数()g x 的图象与直线y kx m =+相交于不同的两点A ，B ，设1x ，2x （12x x <）分别为点A ，B 的横坐标，求证：21111k x x <+<．参考答案1．D 【分析】根据交集的概念运算可得结果. 【详解】{}24A B x x ⋂=≤<，{}23A B C x x ⋂⋂=≤<，故选：D ． 2．A 【分析】利用复数的四则运算以及复数的概念即可求解. 【详解】3i 11i3z +===，所以z 的虚部为13，实部为3-，故z 的虚部和实部的平方和是221133⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：A 3．B 【分析】作出可行域，将目标函数进行变形，根据目标函数的几何意义并数形结合可得最优解，得到目标函数的最值．【详解】根据题意作出可行域如图中阴影部分所示，由2020z x y =-得1120202020y x z =-，数形结合可知当直线2020z x y =-经过点()0,1-时，z 取得最大值，为2020．故选：B 4．C 【分析】利用通项公式35215C 3r rr r T x-+=⋅，得2r，可得系数【详解】5x⎛+ ⎝的展开式的通项公式为3552155C C 3rr r r r r r T x x --+==⋅，令3522r -=，得2r ，则2x 的系数为225C 390⨯=．故选：C 【点睛】求二项式展开式指定项的系数，利用通项公式1C r n r rr n T a b -+=和x 的幂指数相等可求．5．A 【分析】首先求出p ，记为A ，再求出q ，记为B ，依题意可得A B ，即可得到不等式，解得即可；【详解】解：因为p ：2x a +<，所以:22p a x a --<<-+，记为{}|22A x a x a =--<<-+；:q x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB所以2a a ≤--，解得1a ≤-．故选：A 6．B 【分析】由已知可得2log e 2a =，ln 22b =，2log 32c =，利用对数式的单调性可得答案. 【详解】2log e 12ln 22a ==，ln 22b ==，24log 3log 32c ==，由于22log 3log e 1>>，0ln 21<<，∴c a b >>．故选：B. 7．C 【分析】对1x 的取值进行分类讨论，结合已知分析2x 和3x 的取值情况，然后利用排列组合知识求解即可．【详解】①当12x =时，22230x x +=，则230x x ==，共1组；②当11x =时，222317x x -≤+≤，则2x ，3x 不同时为2，共1124414115C C ⋅-=-=组； ③当10x =时，222308x x ≤+≤，则2x ，3x 为1,0,1,2中任一元素，共11244416C C ⋅==组；④当11x =-时，222319x x ≤+≤，则2x ，3x 不同时为0，共1124414115C C ⋅-=-=组．故满足题意的有序数组共有47组．故选：C. 8．D 【分析】利用12123F PF FOP π∠=∠=，得到121PFO F F P ∽△△，利用11121PF F O F F PF =，求得1PF =，利用定义得到22PF a =，再利用余弦定理得解. 【详解】根据12123F PF FOP π∠=∠=以及121PF F OF P ∠=∠，得121PFO F F P ∽△△，于是11121PF F O F F PF =，所以1PF =，又122PF PF a +=，所以22PF a =．在21F F P △中，由余弦定理，得)()()22214222()2c a a =+-⨯-，即2220c a -=，所以220e -=，因为01e <<，所以椭圆的离心率e = 故选D 【点睛】本题以椭圆为载体，考查三角形相似、余弦定理以及椭圆的定义与性质．利用三角形相似、椭圆定义得到焦半径是解题关键. 9．A 【分析】由余弦定理得2cos b A b c =+，再由正弦定理得2sin cos B Asin sin cos sin cos B A B B A =++，化简可得()sin sin B B A =-，结合三角函数的性质得2B πA =+可得答案.【详解】由22b a bc -=得2222b c a bc c +-=+，由余弦定理得2cos b A b c =+，再由正弦定理得()2sin cos sin sin sin sin B A B C B A B =+=++sin sin cos sin cos B A B B A =++，即sin cos sin sin cos B A B A B =+，得()sin sin B B A =-，由于()0,B π∈，(),B A ππ-∈-，所以B A B -=（舍去）或B A B π-+=，故2B πA =+，于是()sin 2sin sin B πA A =+=-，所以sin sin 20A B +=．故选：A. 10．B 【分析】作出函数()f x 的图象,令()t f x =，则原方程可化为220t mt m +++=在()0,2上有2个不相等的实根，再数形结合得解. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示．令()t f x =，则()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦可化为220t mt m +++=，要使关于x 的方程()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦有6个根，数形结合知需方程220t mt m +++=在()0,2上有2个不相等的实根1t ，2t ，不妨设1220t t <<<，()22t m t m g t =+++，则()()()2420,02,2020,24220m m m g m g m m ⎧-+>⎪⎪<-<⎪⎨⎪=+>⎪=+++>⎪⎩解得22m -<<-，故m 的取值范围为(2,2--，故选B ．【点睛】形如()y g f x =⎡⎤⎣⎦的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出()f x ，()g x 的图象．若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令()t f x =，先估计关于t 的方程()0g t =的解的个数，再根据()f x 的图象特点，观察直线y t =与()y f x =图象的交点个数，进而确定参数的范围．11．316【分析】根据三倍角公式，诱导公式及40α=︒，代入求值即可．【详解】因为sin 20sin100sin140sin 20sin100sin 40=°°°°°°()()sin 40sin 6040sin 6040+-=°°°°°1sin1204==°，所以3sin 20sin 60sin100sin14016==°°°°．故答案为：31612．133【分析】根据三视图确定空间几何体的形状，运用体积公式进行求解即可. 【详解】由该几何体的三视图可知，该几何体为一个长方体与一个三棱锥的组合体，24=，三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=，故该几何体的体积为113433+=．故答案为：13313．12【分析】对已知不等式两边平方并化简，利用平面向量数量积的定义和投影的概念，可得最小值．【详解】由23a b a b +≥-得2223a b a b +≥-，得22224496a a b b a a b b +⋅+≥-⋅+，所以22a b a ⋅≥．设a ，b 的夹角为θ，则22cos a b θa ⋅≥，所以cos 12b θa≥，即b a 在a方向上的投影的最小值是12．故答案为：1214．3 210 【分析】利用等差数列的通项公式与前n 项和公式求出1a ，d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出20S . 【详解】由已知及等差数列的通项公式与求和公式可得1111012a a d =+=①，1711716171022S a d ⨯=+=②，由①②得118a =-，3d =， ∴()202019201832102S ⨯=⨯-+⨯=．故答案为:3；210 15．103296【分析】利用分布列的性质求得103a =，进而求得()1P X =，()2P X =，()3P X =，得到()E X ，最后利用数学期望的相关公式求解即可．【详解】()()()1212P X aa a n n n n n ==-+=+++，由()()()1231P X P X P X =+=+==，即125a a -=，得103a =，则()519P X ==，()5218P X ==，()136P X ==，∴()55129123918618E X =⨯+⨯+⨯=，即()()2929338316E X E X =⨯==．故答案为：103，296. 16．2213y x -=48【分析】设双曲线C 的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，利用待定系数法可求得双曲线C 的标准方程，利用平面向量数量积的运算法则可得出249PA PD PF ⋅=-，求出PF 的最小值，即可得解. 【详解】由题意可设双曲线C 的标准方程是()222210,0x y a b a b-=>>，则22222416451a b c a b⎧+==⎪⎨-=⎪⎩，解得2213a b ⎧=⎨=⎩，所以，双曲线C 的标准方程为2213y x -=.直线AF的斜率为422AF k ==-，直线AF的方程为)22y x =-，在直线AF 的方程中，令0x =，可得y =-，即点(0,B -，因为2A B F x x x +=，2A BF y y y +=，所以，点F 为线段AB 的中点，故以AB 为直径的圆的圆心为F ，且半径为7AF =，如图，连接PB 、PF 、BD ，由于点D 是以AB 为直径的圆上异于A 、B 的一点，则BD AD ⊥，由双曲线的几何性质可知min 1PF c a =-=，PA PF FA =+，PB PF FB PF FA =+=-，()PA PD PA PD PA PB BD PA PB BD PA PA PB ⋅=-⋅=-⋅+=-⋅-⋅=-⋅ ()()222224949148PF FA PF FA AF PF AF PF PF =-+⋅-=-=-=-≤-=.故答案为：2213y x -=；48.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是会转化，会根据向量数量积的几何意义把PA PD ⋅转化为PA PB -⋅，再根据平面向量的知识求解.173【分析】设直线EF 分别与DA ，DC 的延长线交于点P ，Q ，连接1D P ，交1AA 于点M ，连接1D Q ，交1CC 于点N ，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积；取FN 的中点G ，连接QG ，CG ，结合平面与平面所成角的定义得到QGC ∠为平面α与平面11BB C C 所成的角或其补角，最后利用余弦定理求解即可．【详解】设直线EF 分别与DA ，DC 的延长线交于点P ，Q ，连接1D P ，交1AA 于点M ，连接1D Q ，交1CC 于点N ，连接ME ，FN ，∴平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -的截面为五边形1D MEFN ．由平行线分线段成比例知：1AP BF ==，故13DP DD ==，故△1DD P 为等腰直角三角形，∴1AM AP ==，故12A M =，则11D M D N ==ME EF FN ==MN ，易知MN =∴五边形1D MEFN 可以分成等边三角形1D MN 和等腰梯形MEFN 两部分，等腰梯形MEFN 的高h ==MEFN 的面积为=．又(12D MNS ==∴五边形1D MEFN 的面积为=．易知1CF CQ CN ===，则由勾股定理得FN NQ FQ ===取FN 的中点G ，连接CG ，QG ，则CG FN ⊥，QG FN ⊥，且CG =，QG =，故QGC ∠为平面α与平面11BB C C 所成角或其补角．在△QGC中，由余弦定理得222131cos 23CG QG QC QGC CG QG +-+-∠===⋅，∴平面α与平面11BB C C，3. 【点睛】关键点点睛：根据直棱柱的性质，应用平面的延展性补全截面，得到面α截1111ABCD A B C D -的截面为五边形1D MEFN ，求各边长度，进而求面积；根据二面角定义，找到其对应的平面角并求其余弦值. 18．（1）0；（2）单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）将0x =代入函数()f x 的解析式，直接求值即可；（2）先由三角恒等变换得到()3232πx x f ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f x =，解出方程的根，结合()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为6π，求出1ω=，即可得到()f x 的解析式，然后利用正弦函数的图象与性质求解即可．【详解】（1）()22717cos 4cos 04003222f π⎛⎫=-+-=-+-= ⎪⎝⎭．（2）()11cos 272cos 24222ωx ωx ωx f x +=-+⨯-332cos 222ωx ωx =+- 3232πωx ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．令()0f x =，则sin 232πωx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2233ππωx k π+=+或22233ππωx k π+=+，k ∈Z ，故k x πω=或6πk πx ωω=+，k ∈Z ，所以()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为66ππω=，故1ω=，()3232πf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．当[]0,x π∈时，72,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当2,332πππx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即[0,]12x π∈或372,323πππx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7[,]12x ππ∈时，()f x 单调递增，故()f x 的单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角恒等变换公式以及三角函数的图象和性质是解题关键.19．（1）证明见解析；（2）51．【分析】（1）取AD 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，可知AD ⊥平面PBQ ，从而可证明.（2）先证明平面PBQ ⊥平面ABCD ，过点P 作PG BQ ⊥于点G ，则PG ⊥平面ABCD ，故以G 为原点，以GB ，GP 所在直线分别为y ，z 轴，过点G 且与AD 平行的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】（1）、证明：取AD 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，因为PA PD =，所以PQ AD ⊥．由题意知//BC AD ，12BC AD =，又12DQ AD =，所以//BC DQ ，BC DQ =，所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以//DC BQ ，因为90ADC ∠=︒，所以DC AD ⊥，所以BQ AD ⊥．又PQ ，BQ ⊂平面PBQ ，PQ BQ Q =，所以AD ⊥平面PBQ ，又PB ⊂平面PBQ ，所以AD PB ⊥．（2）由AD ⊥平面PBQ ，AD ⊂平面ABCD ，得平面PBQ ⊥平面ABCD ，过点P 作PG BQ ⊥于点G ，则PG ⊥平面ABCD ，故以G 为原点，以GB ，GP 所在直线分别为y ，z 轴，过点G 且与AD 平行的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．易知PQB ∠为二面角P AD C --的平面角，所以1cos 3PQB ∠=．在Rt PQG △中，PQ =1cos 3PQG ∠=，得QG =PG =，则13QG BQ =，1,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,3D ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3P ⎛ ⎝⎭，1,,233M ⎛- ⎝⎭，所以1,,33PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,33PD ⎛=--- ⎝⎭，3,233AM ⎛=- ⎝⎭．设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则0,0n PA n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则0x =，令y =1z =-，故()0,22,1n =-为平面PAD 的一个法向量．设直线MA 与平面PAD 所成的角为θ，则sin cos ,θn AM ===，即直线MA 与平面PAD ．【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.20．（1）证明见解析；()14331nn n a -=⎡⎤+-⎣⎦；（2）证明见解析．【分析】（1）由题得211131344n n n n a a +++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即得数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，再求数列{}n a 的通项公式；（2）对n 分类讨论利用放缩法求证. 【详解】（1）因为11113n n na a +++=，所以2211111313131334444n n n n n n n n n a a a a ++++++⎛⎫-=--=-+=-- ⎪⎝⎭，又119933444a -=-=，所以数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，1-为公比的等比数列，所以()11133144n n n a +--=⋅-，即()113314n n n a -⎡⎤=+-⎣⎦，故()14331nn n a -=⎡⎤+-⎣⎦．（2）由113a =，216a =，得121325a a +=<，当4n ≥且n 为偶数时，11111141143341133131333231333n nn n n n n n n n n a a ------+⎛⎫⎛⎫+=+=⋅<+ ⎪⎪+-⋅+⋅-⎝⎭⎝⎭，所以1234111411113633333n n n a a a -⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⨯++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭114123132712322754513+⨯=+=<<-；当3n ≥且n 为奇数时，1n +为偶数，则12135n n a a a a +++⋅⋅⋅++<，由于0n a >，则1235n a a a ++⋅⋅⋅+<．综上，1235n a a a ++⋅⋅⋅+<．【点睛】方法点睛：方法技巧若数列的通项公式中含有()1n-，则在求数列的前n 项和时，常需要对n 分奇偶分别求解．21．（1）()2,0；（2）2．【分析】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0M m ，由4OA OB ⋅=-得到128y y =-，设直线:AB x ty m =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系得到2m =，即可得到点M 的坐标；（2）由题意及弦长公式得到AM ，BM ，利用根与系数的关系得到221114AM BM +=，进而得232BM AM-的表达式，然后构造函数，利用函数的单调性求函数的最大值，即可得到232BM AM -的最大值．【详解】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0M m ，则222212121212,,44416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得128y y =-，设直线:AB x ty m =+，联立方程，得2,4,x ty m y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=，由根与系数的关系知，1248m y y -==-，所以2m =，故点M 的坐标为()2,0．（2）由（1）知，124y y t +=，128y y =-．易知1AM y =，2M B =，所以()()22222212111111t y t y AM BM +=+++()()222122222121616141641y y t t y y t ++===++，则222321132||3284BM BM BM AM BM BM ⎛⎫-= -⎪-=-- ⎪⎝⎭．令()2328u f u u =--，2u >，则()3641f u u='-，所以()f u 在()2,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，所以()()min 42f u f ==，即232BM AM -的最大值是2，当且仅当4BM =时取等号．【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：一是几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解． 22．（1）当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减．；（2）证明见解析．【分析】（1）求导后，分类讨论a ，利用导数的符号可得函数()f x 的单调性；（2）求出()g x 的解析式，利用斜率公式求出2121ln ln 1x x k x x -+=-，将所证不等式化为11ln 1t t t-<<-（1t >），再构造两个函数，利用导数可证结论成立. 【详解】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，且()1e xf x a ='-．当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增．当0a >时，若(),ln x a ∈-∞-，则()0f x '>，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增；若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '<，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减．（2）当1a =时，()e 1xx x f =-+，所以()()ln ln 1g x f x x x =-+=，所以()()21221121212121ln ln ln ln 1g x g x x x x x x x k x x x x x x ---+-===----，所以2121ln ln 1x x k x x -+=-．要证21111k x x <+<，即证212211ln 1ln 1x x x x x x -<<-．因为210x x >>，所以210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<．令21x t x =，则1t >，即证11ln 1t t t-<<-（1t >）．令()ln 1t t φt =-+（1t >），则()1110φt t t t-=='-<，所以()t ϕ在()1,+∞上单调递减，所以()0t ϕ<，即ln 10t t -+<，ln 1t t <-（1t >）．①令()1ln 1h t t t =+-（1t >），则()221110t h t t t t'-=-=>，所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()0h t >，即1ln 1t t >-（1t >）．②综合①②得11ln 1t t t-<<-（1t >），所以21111k x x <+<. 【点睛】关键点点睛：将所证不等式化为11ln 1t t t-<<-（1t >），再构造两个函数，利用导数证明不等式成立是解题关键.。

2021届浙江省宁波中学高考数学适应性试卷(含答案解析)

2021届浙江省宁波中学高考数学适应性试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合M={a,b，c}，N={x|x⊆M}，则下列关系正确的是()A. M∈NB. N⊆MC. M⊆ND. M=N2.若椭圆C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)和椭圆C2：x2a22+y2b22=1(a2>b2>0)的焦点相同且a1>a2.给出如下四个结论：①椭圆C1与椭圆C2一定没有公共点②a1a2>b1b2③a12−a22=b12−b22④a1−a2=b1−b2其中所有正确结论的序号是()A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④3.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π4.设实数x、y满足约束条件{x−y+1≥0x+y−1≥0x−2y−1≤0，则目标函数z=2x+y的取值范围为()A. [−8,2]B. [−8,1]C. [2,+∞)D. [1,+∞)5.函数f(x)=2x sin(7π2+6x)4x−1的图象大致为()A. B. C. D.6.“x(x−3)<0”是“|x−1|<2”成立的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.随机变量X的概率分布为P(X=a)=an2+n(n=1,2,3)，其中a是常数，则D(aX)=()A. 3881B. 152243C. 608729D. 52278.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a m=a1+a2+⋯+a9，则m的值为()A. 37B. 36C. 20D. 199.设向量a⃗=(2,0)，b⃗ =(0,3)，若向量c⃗满足(2a⃗−c⃗ )⊥(b⃗ +c⃗ )，则|c⃗|的取值范围是()A. [0,5]B. [1,5]C. [1,6]D. [2,6]10.如图所示，已知正方体ABCD−A′B′C′D′，则直线C′D′与平面A′BC所成的角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、单空题（本大题共5小题，共24.0分）11.已知在△ABC中，a=√6，b=3√2，A=30°，则B=______．12.设(2+x)7=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+⋯+a7(1+x)7，则a1+a2+⋯+a6=______．13.设函数f(x)=x4+kx2+1x4+x2+1 (k>1)，若对任意三个实数a，b，c(可以相同)，存在一个三角形，其三边长为f(a)，f(b)，f(c)，则k的取值范围是______ ．14.定义：如果函数y=f(x)在区间[a,b]，可上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)=f(b)−f(a)b−a，则称x0是函数y=f(x)在区间[a,b]上的一个均值点．已知函数f(x)=4x−2x+1−m在区间[0,1]上存在均值点，则实数的取值范围是______15.一条抛物线把平面划分为二个区域，如果一个平面图形完全落在抛物线含有焦点的区域内，我们就称此平面图形被该抛物线覆盖.那么下列命题中，正确的是______ .(填写序号)(1)任意一个多边形所围区域总能被某一条抛物线覆盖；(2)与抛物线对称轴不平行、不共线的射线不能被该抛物线覆盖；(3)射线绕其端点转动一个锐角所扫过的角形区域可以被某二条抛物线覆盖；(4)任意有限多条抛物线都不能覆盖整个平面．三、多空题（本大题共2小题，共12.0分）(其中a∈R，i是虚数单位)的实部为−1，则a=，|z|=．16.已知复数z=i6+1a+i17.已知圆C的圆心坐标是(c,0)，半径是r.若直线x+2y+3=0与圆C相切于点P(1,−2)，则c=，r=．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.(本小题满分12分)设△的内角所对的边分别为，已知．(1)求△的面积；(2)求的值．19.如图，四边形ABCD为梯形，AB//CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2,DA=√3．(1)线段BC上是否存在一点E，使平面PBC⊥平面PDE？若存在，请给出BE的值，并进行证明；若CE不存在，请说明理由．(2)若PD=√3，线段PC上有一点F，且PC=3PF，求直线AF与平面PBC所成角的正弦值．20.已知函数y=f(x)的图象经过坐标原点，且f(x)=x2−x+b，数列{a n}的前n项和S n=f(n)(n∈N∗)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n+1og3n=log3b n，求数列{b n}的前n项和T n；(3)令d n=a n+22，若∁n=3d n−λ(−2)n(λ为非零整数，n∈N∗)，试确定λ的值，使得对任意n∈N∗，都有c n+1>∁n成立．21.已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为2√5，离心率为2√55；抛物线G：y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．(1)求椭圆E及抛物线G的方程；(2)证明：存在实数λ，使得2|AB|+λCD为常数，并求λ的值．22.已知函数f(x)=mlnx+(m−1)x(m∈R)．(Ⅰ)当m=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)讨论f(x)的单调性；(Ⅲ)若f(x)存在最大值M，且M>0，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：解：N={x|x⊆M}，则集合N是由集合M的子集为元素构成的集合，且M⊆M，满足集合N的元素特性，则M是N中的元素，M∈N，故选：A．N是用描述法表示的，先对集合N的代表字母尤其是元素特性做出分析，然后可做出判断．本题考察集合的表示方法中对集合描述的把握，属于基础题目，但较容易出错．2.答案：B解析：解：由a12−b12=a22−b22，从而③a12−a22=b12−b22成立，一方面：a1>a2，由上得b1>b2，从而①成立；若在a12−a22=b12−b22中，a1=2，a2=√2，b1=√3，b2=1，a1 a2=√2=√2，b1b2=√31=√3，有：a1a2<b1b2，故②不成立；另一方面：a12−b12=a22−b22，(a1+b1)(a1−b1)=(a2+b2)(a2−b2)由于a1+b1>a2+b2∴a1−b1<a2−b2，从而④成立；∴所有正确结论的序号是①③④．故选B．先由a12−b12=a22−b22，从而③a12−a22=b12−b22成立，下面从两个方面来看：一方面：a1>a2，由上得b1>b2，从而①成立；②不成立；另一方面：a12−b12=a22−b22⇒(a1+b1)(a1−b1)=(a2+ b2)(a2−b2)⇒a1−b1<a2−b2，从而④成立；从而得出正确答案．本题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的标准方程、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．3.答案：C解析：本题考查由三视图求表面积，空间立体几何三视图，属于基础题．。

浙江省宁波市2021届新高考第一次适应性考试数学试题含解析

浙江省宁波市2021届新高考第一次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；④tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（） A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③【答案】A 【解析】逐一考查所给的函数：cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22T ππ== ；将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为122ππ⨯= ；函数cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ== ；函数tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==；综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝Asin(ωx ＋φ)，y ＝Acos(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．2．已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3【答案】B 【解析】【分析】【详解】因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =.若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.若m =0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（）A ．36B ．26C ．5D ．53【答案】B 【解析】【分析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ，所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =，所以112C B PC =，即1PC PB ==所以11AP PC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯所以1sin 5APC ∠=所以S 四边形1APQC 1112sin 2AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B 【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.4．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA =E 为PC的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（） A．BC． D【答案】B 【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系，表示出各点坐标后，利用cos ,BE PD BE PD BE PD⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即可得解. 【详解】Q PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，∴如图建立空间直角坐标系，由题意：()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C，(P ，()0,2,0D ，Q E 为PC 的中点，∴E ⎛ ⎝⎭.∴BE ⎛=- ⎝⎭u u u r，(0,2,PD =u u u r ，∴1cos ,392BE PD BE PD BE PD-⋅===-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为cos ,BE PD u u u r u u u r即为1339.故选：B.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了空间想象能力，属于基础题.5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =?，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得34b a =，22225c a b =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169x y -=．考点：双曲线方程.6．在钝角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，B 为钝角，若cos sin a A b A =，则sin sin A C +的最大值为（） A 2 B ．98C ．1D ．78【答案】B 【解析】【分析】首先由正弦定理将边化角可得cos sin A B =，即可得到2A B π=-，再求出3,24B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，最后根据sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦求出sin sin A C +的最大值；【详解】解：因为cos sin a A b A =，所以sin cos sin sin A A B A = 因为sin 0A ≠ 所以cos sin A B =2B π>Q2A B π∴=-02202A B C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩Q ，即0222022B B B πππππππ⎧<-<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪⎛⎫<--< ⎪⎪⎝⎭⎩，3,24B ππ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，cos 2B ⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭sin sin sin sin 22A C B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+=-+--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos2B B =--22cos cos 1B B =--+2192cos 48B ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1cos ,042B ⎛⎫∴=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭时()max 9sin sin 8A C += 故选：B 【点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题. 7．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-= D ．()()22215x y +++=【答案】A 【解析】【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=.故选：A.本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.8．已知i 为虚数单位，则()2312ii i +=-（） A ．7455i + B ．7455i - C ．4755i + D ．4755i - 【答案】A 【解析】【分析】根据复数乘除运算法则，即可求解. 【详解】()()()()()2322323741222255i i i i i i i i i i +-++===+-++-.故选：A. 【点睛】本题考查复数代数运算，属于基础题题. 9．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】【分析】【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（）A ．1B ．1或12C D ．2±【答案】C【分析】由2474S S =可得()()123434a a a a +=+，故可求q 的值. 【详解】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+，故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以2q =，故选C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为nq .11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（）A ．1B ．12C．2D【答案】A 【解析】【分析】设200(,),(,)2y P y M x y p ，因为PM MF =，得到200,442y y p x y p =+=，利用直线的斜率公式，得到020002244OM y k y p y p y pp==++，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，抛物线24y x =的焦点坐标为(,0)2pF ，设200(,),(,)2y P y M x y p，因为PM MF =，即M 线段PF 的中点，所以220001(),222442y y y p p x y p p =+=+=，所以直线OM的斜率020022144OM y k y p y p y pp==≤=++，当且仅当00y p y p=，即0y p =时等号成立，所以直线OM 的斜率的最大值为1. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF V 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（） A ．12B．3C．2D．2【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质设出2BF ，AB ，2AF ，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得21BF a BF ==.再利用勾股定理建立,a c 的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知2BF ，AB ，2AF 成等差数列，设2BF x =，AB x d =+，22AF x d =+.由于290ABF ∠=︒，据勾股定理有22222BF AB AF +=，即()()2222x x d x d ++=+，化简得3x d =；由椭圆定义知2ABF V 的周长为233124x x d x d x d d a ++++=+==，有3a d =，所以x a =，所以21BF a BF ==；在直角21BF F V 中，由勾股定理，2224a c =，∴离心率2e =. 故选：C 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届浙江省宁波市效实中学高三下学期高考模拟测试数学试题(解析版)

2021届浙江省宁波市效实中学高三下学期高考模拟测试数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}1A x x =≥-，{}23B x x =-≤<，则集合()UA B ⋂是（）A ．{}21x x -<<-B ．{}21x x -≤<- C ．21}x x -<≤- D ．{}21x x -≤≤-【答案】B【分析】先由集合A 先求出UA ，然后再求交集运算.【详解】由{}1A x x =≥-，则{}U|1A x x =<-又{}23B x x =-≤<，所以(){}U|21A B x x ⋂=-≤<-故选：B2．已知2 zi i =+（i 是虚数单位），则z =（） A ．12i -- B ． 12i -+ C ．12i - D ．12i +【答案】D【分析】先由条件可得2 iz i+=，由复数的除法运算化简求出复数z ，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】由2 zi i =+，可得()()22 2 2112i ii z i i i i++===--=- 多以12z i =+ 故选：D3．若实数x ，y 满足约束条件210x y x y ⎧≤⎨-+≥⎩，则1y z x +=的取值范围是（）A ．(][),42,-∞-+∞B ．(][),24,-∞-⋃+∞C ．(][),02,-∞+∞D ．[]4,2-【答案】A【分析】由目标式的几何意义：可行域上的点与(0,1)-所在直线的斜率，画出可行域，求出临界点与(0,1)-所成直线的斜率，即可得z 的范围. 【详解】由11y y z x x ++==-知：z 表示(,)x y 与(0,1)-的斜率，根据约束条件可得可行域如下图示：∴当(,)x y 为11(,)33-，(1,1)，z 存在临界值分别为4z =-，2z =， ∴由图知：z ∈(,4][2,)-∞-+∞. 故选：A4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足54a ≤，540S ≥，则该数列的公差d 可取的值是（） A ．3 B ．1C ．-1D ．-3【答案】D【分析】由540S ≥可得128a d +≥，然后将1a 化为5a ，即得582a d ≥+，结合54a ≤，所以得到824d +≤，从而得出答案. 【详解】由51545402S a d ⨯=+≥，即128a d +≥ 又514a a d =+，所以154a a d =-则15524228a d a d d a d +=-+=-≥，即582a d ≥+ 又54a ≤，则824d +≤，解得2d ≤- 选项中只有选项D 满足. 故选：D 5．“1ab>”是“()()ln 1ln 1a b ->-”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【分析】首先根据()10aa b b b>⇒->，根据()()ln 1ln 11a b a b ->-⇒>>，即可得到答案. 【详解】()11000a a a b a b b b b b->⇒->⇒>⇒->， ()()10ln 1ln 110111a a b b a b a b ->⎧⎪->-⇒->⇒>>⎨⎪->-⎩,因为()0a b b ->推不出()0a b b ->，1a b >>能推出()0a b b ->，所以“1ab>”是“()()ln 1ln 1a b ->-”成立的必要不充分条件. 故选：B 6．已知3cos 45απ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，0a π-<<，则cos α=（）A．10 B．10-C．10D．10-【答案】D【分析】利用角的变换44ππ⎛⎫α=+α- ⎪⎝⎭，再根据两角差的余弦公式即可求解.【详解】解：因为0a π-<<，所以3444ππαπ-<+<，又3cos 045απ⎛⎫+=-<⎪⎝⎭，所以3442ππαπ-<+<-，所以4sin 45απ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以cos cos cos cos sin sin 444444αααα⎡⎤ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3455⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭故选：D.7．函数1cos ()ln 1cos x f x x -⎛⎫=⎪+⎝⎭的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据定义域排除D ，根据奇偶性排除A ，根据02x π<<时()0f x <排除C.【详解】由1cos 01cos xx->+得1cos 1x -<<，所以函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，排除D ；显然()f x 是偶函数，其图像关于y 轴对称，排除A ；又当02x π<<时，1cos (0,1)1cos xx-∈+，所以()0f x <，排除C.故选：B.【点睛】方法点睛：解决函数图象的识别问题的技巧：一是活用性质，常利用函数的定义域、值域、单调性与奇偶性来排除不合适的选项；二是取特殊点，根据函数的解析式选择特殊点，即可排除不合适的选项，从而得出正确的选项．8．设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为30°，则双曲线的渐近线方程是（） A ．20x y ±= B ．20x y ±= C ．20x y ±=D ．20x y =【答案】C【分析】首先设点P 在双曲线的右支上，由题知：121262PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，从而得到1242PF aPF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，根据22a c <，即可得到12PF F ∠为12PF F △的最小内角，再利用余弦定理求解即可.【详解】设点P 在双曲线的右支上，由题知：1211226422PF PF a PF aPF PF a PF a ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩，又因为22a c <，所以212PF F F <，即12PF F ∠为12PF F △的最小内角. 所以222341642422a a c a c =+-⨯⨯⨯，化简得222330c ac a -+=，即()230c a-=，解得3c a =.所以22222223322bc a a b a b a a=⇒+=⇒=⇒=，所以渐近线方程为20x y ±=. 故选：C【点睛】方法点睛：求双曲线渐近线的方法：1.直接法：根据题意求出双曲线中的,a b ，从而得到双曲线的渐近线方程；（2）方程法：根据题意得到,,a b c 的齐次式，再解方程即可.9．已知棱长为3的正四面体A BCD -的底面BCD 确定的平面为α，P 是α内的动点，且满足2PA PD ≥，则动点P 的集合构成的图形的面积为（）A ．3B ．103π C ．4π D ．无穷大【答案】B【分析】构建空间直角坐标系，确定A 、D 的坐标，设(,,0)P x y ，利用两点距离公式得到2PA 、2PD ，根据2PA PD ≥可得223110()()623x y ++-≤，即可知P 的集合，进而可求面积.【详解】如下图，构建以D 为原点，分别以平面α内垂直于BD 的Dx 、BD 、垂直于面α的Dz 为x 、y 、z 轴的正方向的空间直角坐标系，由题意，由A 到α633(6)2A -，(0,0,0)D ，设(,,0)P x y ， ∴22233(()62PA x y =-+++，222PD x y =+，又2PA PD ≥， ∴222233(()64()22x y x y -+++≥+，整理得22333x x y y ++-≤， ∴223110(()623x y ++-≤，即P 103的圆(含圆内部)， ∴图形的面积为103π. 故选：B【点睛】关键点点睛：构建空间直角坐标系，确定相关点坐标，利用两点距离公式及已知条件列不等式，即可得P 集合的代数表达式.10．定义数列{}n a 如下：存在k *∈N ，满足1k k a a +<，且存在s N *∈，满足1s s a a +>，已知数列{}n a 共4项，若{}()1,2,3,,4,,i a t x y z i =∈且t x y z <<<，则数列{}n a 共有（） A ．190个 B ．214个C ．228个D ．252个【答案】A【分析】由题意，满足条件的数列{}n a 中的4项有四种情况：4项中每一项都不同；4项中有2项相同；4项中有3项相同；4项中两两相同，利用排列组合知识分别求出每种情况的个数即可求解.【详解】解：由题意，满足条件的数列{}n a 中的4项有四种情况：（1）4项中每一项都不同，共有44222A -=个；（2）4项中有2项相同（如x ,y ,z ,x ）,共有412443222120A C C A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭个；（3）4项中有3项相同（如x ,x ,y ,x ）,共有21142224C C C =个；（4）4项中两两相同（如x ,y ,x ,y ）,共有24C 442222224A A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭个；所以数列{}n a 共有221202424190+++=个. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键，弄清楚满足条件的数列{}n a 中的4项有四种情况：4项中每一项都不同；4项中有2项相同；4项中有3项相同；4项中两两相同.二、双空题 11．已知()212nx+的展开式中二项式系数的和为64，则n =______，二项展开式中含4x 的项为______．【答案】6 460x【分析】由题得出264n =，求得6n =，求出展开式通项，令x 的指数为4，即可求出. 【详解】展开式中二项式系数的和为64，即264n =，解得6n =，()6212x +的展开式的通项为()622166122rr r r r r r T C x C x -+=⋅⋅=，令24r =，则2r，故二项展开式中含4x 的项为22446260C x x =.故答案为：6；460x .12．三棱锥P ABC -中，1PA =，AB AC ==PA ，AB ，AC 两两垂直，M为PC 中点，则异面直线PB 与AM 所成角的余弦值是______；取BC 中点N ，则二面角M AN C --的大小是______．【答案】13 4π【分析】连接MN ，则//MN PB ，易知PB 与AM 所成角的平面角为AMN ∠，根据直三棱锥的性质及已知条件求AM 、MN 、AN ，在△AMN 中应用余弦定理求AMN ∠的余弦值即可；过M 作MD AC ⊥于D ，若E 为AN 的中点，连接DE 、ME ，易知D 是AC 的中点，易证AN ⊥面MED ，即MED ∠是二面角M AN C --的平面角，进而求其大小.【详解】由题设，连接中位线MN ，则//MN PB ，即异面直线PB 与AM 所成角的平面角为AMN ∠，∵1PA =，2AB AC ==PA ，AB ，AC 两两垂直，∴3PC PB =，则32AM MN ==，且1AN =， ∴在△AMN 中，2221cos 23AM MN AN AMN AM MN +-∠==⋅，过M 作MD AC ⊥于D ，易知D 是AC 的中点，若E 为AN 的中点，连接DE 、ME ， ∴DE AN ⊥，ME AN ⊥，而DEME E =，∴AN ⊥面MED ，故MED ∠是二面角M AN C --的平面角，∵PA ，AB ，AC 两两垂直，易知面PAC 、面PAB 、面ABC 两两垂直，又面PAC 面ABC AC =，MD ⊂面PAC∴MD ⊥面ABC ，ED ⊂面ABC ，即M D D E ⊥， ∴在Rt MED 中，122PA MD ==，1242NC BC DE ===，则tan 1MDMED DE∠==， ∴4MED π∠=.故答案为：13，4π【点睛】关键点点睛：根据异面直线所成角、二面角的定义，利用平移找到异面直线的平面角，由线面垂直确定二面角的平面角，进而求它们的大小.13．某商场迎新游园摸彩球赢积分活动规则如下：已知箱子中装有1个红球3个黄球，每位顾客有放回地依次取出3个球，则摸到一个红球两个黄球的概率为______；若摸到一个红球得2积分，则顾客获得积分的期望为______．【答案】2764 32【分析】根据题意一次摸到红球的概率为14，摸到黄球的概率为34，进而根据二项分布即可得摸到一个红球两个黄球的概率为2764，进而设每位顾客有放回地依次取出3个球，摸到红球的个数为X ，该顾客获得积分为Y ，则13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，2Y X =，再根据二项分布期望公式求解.【详解】根据题意，一次摸到红球的概率为14，摸到黄球的概率为34，所以每位顾客有放回地依次取出3个球，则摸到一个红球两个黄球的概率为21313274464P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，设每位顾客有放回地依次取出3个球，摸到红球的个数为X ，则13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，设该顾客获得积分为Y ，则2Y X =，所以()()()13222342E Y E X E X ===⨯⨯=. 所以顾客获得积分的期望为32. 故答案为：2764；32【点睛】本题考查二项分布及其期望，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得一次摸到红球的概率为14，摸到黄球的概率为34，进而设每位顾客有放回地依次取出3个球，摸到红球的个数为X ，该顾客获得积分为Y ，且2Y X =，再结合二项分布求解.14．已知点()()000,0M x y y >是抛物线C ：24y x =上一点，以M 为圆心，r 为半径的圆M 与抛物线C 的准线相切，且与x 轴的两个交点的横坐标之积为5，则圆M 的方程为______，若过抛物线C 的焦点F 作圆M 的切线交抛物线于A ，B 两点，则|AF BF ⋅=______．【答案】()()2232316x y -+-= 16【分析】首先设圆M 与抛物线的准线切于点D ，与x 轴交于,P Q 两点，根据抛物线的定义得到P 为抛物线的焦点F ，从而得到()5,0Q，又根据MP MQ r ==得到03x =，带入抛物线即可得到023y =，再计算半径即可得到圆M 的标准方程.设()11,A x y ，()22,B x y ，根据切线性质得到33AB k =-，从而得到()3:13AB l y x =--，再联立抛物线计算AF BF ⋅即可.【详解】设圆M 与抛物线的准线切于点D ，与x 轴交于,P Q 两点，如图所示：因为MP MD r ==，所以P 为抛物线的焦点F ，则()1,0P ，又因为5P Q x x ⋅=，所以()5,0Q .因为MP MQ r ==，所以05132x +==，04323y =⨯=，()3,23M ，()()22312304r =-+-=，所以圆M ：()()2232316x y -+-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，如图所示：233MF k ==3AB k =，)3:1AB l y x =-，联立)223114104y x x x y x ⎧=-⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，得1214x x +=，121=x x . 所以()()()()22222211221122111414AF BF x y x y x x x x ⋅=-+-+-+-+()()()()22121212*********x x x x x x x x =++=+⋅+=+++=.故答案为：()(2232316x y -+-=；16【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线交点问题，首先设出交点坐标，联立直线与抛物线，利用韦达定理求解即可.三、填空题15．已知点P 为ABC 所在平面内一点，满足3mPC PA PB =-+，()0m >，13PBCABCSS =，则m =______．【答案】7【分析】建立平面直角坐标系，设(),0B a ，()00,A x y ，(),P x y ，依题意可得03y y =±，根据3mPC PA PB =-+，即可得到y 与0y 的关系，即可求出参数的取值；【详解】解：如图建立平面直角坐标系，设(),0B a ，()00,A x y ，(),P x y ，由13PBCABC SS =，所以03y y =±，所以(),PC x y =--，()00,PA x x y y =--，(),PB a x y =--由3mPC PA PB =-+，所以003333mx x x a x my y y y -=-++-⎧⎨-=-+-⎩，所以003232x a x my y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又3y y =±所以00323y ym =±+，解得7m =或11m =-，因为0m >，所以7m = 故答案为：716．已知正数a ，b 满足112a b +=，则31a b -+的最大值为______． 523-【分析】由条件得21a b a =-，进而得3511[()]13313a ab a -=-+-+-，由基本不等式可得解.【详解】由112a b +=，得21a b a =-，由0,0a b >>，得12a >，所以333(21)131121a a a aa b a a --=-=-+-+-51155[()]331333a a -=-+-≤-=-，当且仅当11313a a =--，即a =、所以31a b -+.故答案为：53-. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用等量代换实现二元换一元3511[()]13313a ab a -=-+-+-，进而可利于基本不等式求最值. 17．已知当[]20,log 3x ∈时，函数1()2832xxx f x a +=--+⋅的最大值为8，则实数a 的取值为______．【答案】2或89- 【分析】令[]21,3xt =∈，则原问题等价于336868t t t a t t ----≤+≤，且在[]1,3t ∈上等号能取到，然后数形结合，借助导数知识可得结果.【详解】∵[]20,log 3x ∈，∴[]21,3xt =∈，∴3()6g t t a t t =--+，令386t a t t --+≤，即336868t t t a t t ----≤+≤，且在[]1,3t ∈上等号能取到，在同一坐标系下，分别作出函数()()3368,68,g x x x h x x x y x a =-+=--=-的图象，y x a =-经过点()3,1时，可得2a =令()368g x x x =-+，()236g x x '=-设()368,g x x x y x a =-+=-的切点为()38,6x x x -+，则2363618x x x x a +--==-，解得：73x =，142189a =-，∴实数a 的取值为2或142189-，故答案为：2或142189-【点睛】关键点点睛：含参绝对值函数的最值问题转化为图象位置关系问题，转化为切线问题，利用了数形结合的思想.四、解答题18．已知函数()222cos sin 2cos 4f x x x x π⎛⎫=--+⎪⎝⎭，[]0,x π∈．（Ⅰ）求函数()f x 的最小值及对应的x 的值；（Ⅱ）设ABC 的内角是A ，B ，C ，若()2f A =-，且2A π≠，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于D ，BD CD =，求:AD DC 的值．【答案】（Ⅰ）58x π=，()min 21f x =--；（Ⅱ）312AD DC -=. 【分析】（Ⅰ）由二倍角余弦公式、辅助角公式可得()2sin(2)14f x x π=+-，进而可求[]0,x π∈内()f x 的最小值及对应的x 的值；（Ⅱ）由题设有2sin(2)42A π+=-，结合0A π<<即可求A ，根据已知条件求角C ，利用正弦定理及角平分线的性质有sin sin AB AD CBC DC A==，即可求:AD DC 的值. 【详解】（Ⅰ）由题设，22cos sin cos 2x x x -=，22cos cos 2()11sin 244x x x ππ⎛⎫+=++=- ⎪⎝⎭，∴()cos 2sin 212sin(2)14f x x x x π=+-=+-，[]0,x π∈∴当58x π=时，min ()21f x =--. （Ⅱ）由2sin(2)24()1f A A π-==-+，得：2sin(2)42A π+=-，又0A π<<，∴92444A πππ<+<，则5244A ππ+=或7244A ππ+=，解得2A π=(舍)或34A π=. 由题设，26ABC C π∠=∠=，又sinsin 123sin sin 4AB AD C BC DC A ππ===， ∵1cos 23316sin122222ππ---===， ∴312AD DC -=.19．如图，正方形ABCD 和正方形CDEF 所在平面的二面角是60°，M 为BC 中点．（Ⅰ）求证：//EC 平面AMF ；（Ⅱ）求AF 与面EMC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）427. 【分析】(1)建系并设边长为2a 求出各点的坐标，求出(23)EC a a a =-，和面AMF 法向量=(2)m ，1，0，得出0EC m ⋅=即可.(2)求出面EMC 的法向量3=(03)2n ，，和(23)AF a a a =-，，，进而求出42cos =7AF n ，即可. 【详解】(1)由题意可知DC DA ⊥，过D 作z 轴垂直底面ABCD ，如图，则z 轴垂直DC 和DA ，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，设边长DA =2a . 因为四边形ABCD 和CDEF 都是正方形，所以DC DA ⊥，DC DE ⊥ 所以ADE ∠为正方形ABCD 和CDEF 所成的二面角，所以=60ADE ︒∠(000)D ，，，(020)C a ，，，(220)B a a ，，，(200)A a ，，，(23)F a a a ，，，(03)E a a ，，，(20)M a a ，，,则(23)EC a a a =-，，(20)AM a a =-，，(003)MF a =，，，设面AMF 的一个法向量为()m x y z ，，有020030{{AM m ay MF m az ⋅=+=⋅==⇒，所以=(2)m ，1，0，有0EC m ⋅=又EC ⊄面AMF ，所以EC //面AMF .(2)由(1)知，(023)EM a a =，，()CM a =，0，0，(23)AF a a a =-，，,设面EMC 的一个法向量为111()n x y z ，，，11123000{{ay az EM n ax CM n =⋅==⋅=⇒，所以3=(03)2n ，，642cos 721222AF n a AF n AF na ⋅===⨯，所以AF 与面EMC 所成角的正弦值为427.【点睛】(1)证明线面平行的常用方法 ①利用线面平行的定义(无公共点)．②利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)． ③利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)． ④利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)． (2)利用向量法求线面角的2种方法法一：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．法二：通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的角(夹角为钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，公比为2的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，并且满足()12log 12n n n a T S ++=．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）已知1121n n n n n a c T T -++=，规定00a =，若存在n *∈N 使不等式123...1n c c c c nλ++++<-成立，求实数λ的取值范围．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n n b -=；（Ⅱ）67λ<. 【分析】（Ⅰ）由递推式，令1n =求11b =，写出{}n b 的通项公式及n T ，结合已知条件求{}n a 通项公式.（Ⅱ）应用裂项求和求123...n c c c c ++++，即有21min21n n n λ+⎛⎫+< ⎪-⎝⎭，进而求λ的范围．【详解】（Ⅰ）由题设，2211log (1)2a T S +=，即2211log (1)2a b a +=，可得11b =，又等比数列{}n b 的公比为2， ∴12n n b -=，故21nn T =-，即12n n S na +=，当2n ≥时，112()2(1)n n n n n S S a na n a -+-==--，即()11n n na n a +=+，当1n =时，212a a =，∴n *∈N 上有()11n n na n a +=+，即101n n a a n n，而111a =， ∴{}na n 是常数列且1n a n=，即n a n =；（Ⅱ）由题意，()()()11121121212121n n n n nn n n n c ++-++==-----， ∴1231122311...1...11337212121n n n n n n n c c c c nλ++++++++=-+-++-=-<----，对n *∈N 有解，则21min21n n n λ+⎛⎫+< ⎪-⎝⎭，令2121n n n nd ++=-，故2211212121(1)(1)2(1)[(2)22](1)()21212121(21)(21)n n n n n n n n n n n n n n n n n d d n ++++++++++++++---=-=+-=------，∴当1n =时，21d d >；当2n ≥时，1n n d d +<，知：2d 为n d 的最小项， ∴267d λ<=．【点睛】关键点点睛：第二问，利用裂项求和求123...n c c c c ++++，将有解问题转化为21min21n n n λ+⎛⎫+< ⎪-⎝⎭，利用数列的性质求最小项，即可得参数范围.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ．过点()1,0G 的直线l 与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，其中10y >，20y <．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，GAM △，GBN △的面积分别为1S ，2S ．（i ）求12k k 的值；（ii ）若直线AM 斜率11,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求12S S ⋅的取值范围，【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（i ）1231k k =；（ii ）3636,18565⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（Ⅰ）根据条件可得1b =，再由离心率可得221314e a =-=，从而得出24a =，得到答案.（Ⅱ）（i ）令直线MN 为1x hy =+，代入2214x y +=，得出韦达定理，再分别表示出1k ，2k ，将韦达定理代入12k k 可得答案. （ii ）令直线AM 为12x h y =-，其中111h k =,与椭圆方程联立得出1y ，设直线BN 的方程为22x h y =+，同理得出2y ，表示出12S S ，，结合（i ）中1k ，2k 的关系，得到12,h h 的关系，然后把12S S ⋅表示成1h 的式子，再求范围. 【详解】（Ⅰ）由条件椭圆C2，则1b =，22222221314c a b e a a a -===-=，解得24a = 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()()2,0,2,0A B -（i ）令直线MN 为1x hy =+，代入2214x y +=，得()224230h y hy ++-=，则 1221222434h y y h y y h -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，1111123y y k x hy ==++，2222221y y k x hy ==--，11212122133k hy y y k hy y y -==+；（ii ）令直线AM 为12x h y =-，其中111h k =，由11,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]11,3h ∈ 代入221142x y x h y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()2211440h y h y +-=，所以112144h y h =+，设直线BN 的方程为22x h y =+，则221h k =，同理可得222244h y h -=+由（i ）有1122121113k h h k h h ===，则2113h h = 1111322S AG y y ==，2211122S BG y y == 所以()()1212121242221221112112363361444401694440h h h S S y y h h h h h h ====++⨯++++ 先求212114440h h ++的范围,设21t h =，则[]1,9t ∈，即14440y t t=++ 由21441y t '=-，令214410y t '=-<，解得012t << 所以14440y t t=++在[]1,9t ∈上单调递减. 所以[]1444065,185y t t =++∈，故2121363636,1441856540h h ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++ 所以12363618565S S ≤≤ 【点睛】关键点睛：本题考查由离心率求椭圆的方程考查直线与椭圆的位置关系和椭圆中三角形的面积问题，解答本题的关键是设直线AM 为12x h y =-与椭圆方程联立得出112144h y h =+，同理可得222244h y h -=+，结合（i ）中1231k k =，得到2113h h =，然后得出1111322S AG y y ==，2211122S BG y y ==，从而求解，属于难题. 22．设函数()21xf x ae x x =---，()()22ln ()g x x x x a R =-+∈（Ⅰ）若1a =，记函数()f x 的极值点个数和()g x 的零点个数分别为m ，n ，求m n +．（Ⅱ）若函数()()() F x g x f x =-有两个极值点，求实数a 的取值范围，【答案】（Ⅰ）3m n +=；（Ⅱ）20,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【分析】（Ⅰ）利用二阶导数研究fx 的单调性，结合零点存在性定理可知f x 在()ln 2,2上有一个零点，又()00f '=，可得m ，由题设得()()2221ln x x g x x--''=，构造()21ln h x x x =--，由导数研究单调性进而判断()g x '区间符号可确定()g x '的单调性，由()g x '区间符号得到()g x 单调性，结合零点存在性判断零点个数，进而可得n .（Ⅱ）由题设得()F x '，构造()()2ln xx x x axe ϕ=+-且定义域0,，则()()()12x x axe x xϕ+-'=，当0a ≤时()ϕx 单调递增，至多有一个极值点；当0a >时，令()2xm x axe =-利用导数求其零点0x ，进而判断()ϕx 的单调性且()()0x x ϕϕ≤，列不等式求参数范围.【详解】（Ⅰ）由题意，()21xf x e x '=--，()2xf x e ''=-，当(),ln 2x ∈-∞时，()0f x ''<，f x 为减函数，当()ln 2,x ∈+∞时，()0f x ''>，fx 为增函数，∴()()ln212ln2f x f ''≥=-，又12ln 20-<，()2250f e '=->． ∴存在唯一的()0ln 2,2x ∈，使()00fx '=，而()00f '=，∴()f x 存在两个极值点0和0x ，即2m =，又()2ln 21x g x x x '=-+，()()2221ln x x g x x--''=，且定义域为0,，记()21ln h x x x =--，则()12h x x x'=--，显然在0,上()0h x '<，()h x 单调递减，且()10h =，∴当()0,1∈x 时，()0h x >，即()0g x ''>，()g x '递增；当()1,∈+∞x 时，()0h x <，即()0g x ''<，()g x '递减； ∴()()11g x g ''≤=-，故()g x 在0,单调递减，又10g ，即1n =，∴3m n +=．（Ⅱ）由题意，()2(ln )21xa F x e x x =-++，则()()2ln x x x axe F x x+-'=，记()()2ln xx x x axe ϕ=+-，即()ϕx 有两个“变号”零点，而()()()12x x axe x xϕ+-'=，∴在0,上，当0a ≤时()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增，()ϕx 至多一个零点，不合题意；当0a >时，记()2xm x axe =-，()()10xm x a x e '=-+<，()m x 在0,单调递减，又()020m =>，22220a m e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，∴存在唯一的020,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00m x =，即002x ax e =， ∴()00,x x ∈时，()0m x >，此时()0ϕ'>x ，()ϕx 单调递增；()0,x x ∈+∞时，()0m x <，此时()0ϕ'<x ，()ϕx 单调递减；∴()()()()0000002ln 2ln 1xx x x x ax e x x ϕϕ≤=+-=+-，欲使()ϕx 有两个“变号”零点，必有()002ln 10x x +->，令()ln 1k x x x =+-，则在20,a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上1()10k x x'=+>，即()k x 单调递增，而(1)0k =，∴综上有01x >，则002(,)x x e e a =∈+∞，即20,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时0x →时，()x ϕ→-∞；x →+∞时，()x ϕ→-∞；故当20,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，满足条件．【点睛】关键点点睛：（Ⅰ）应用二阶导数研究导数的单调性及零点，进而判断原函数的极值点、零点的个数.（Ⅱ）由()()2ln x x x axe F x x+-'=，构造()()2ln xx x x axe ϕ=+-则问题转化为在0,上()ϕx 有两个“变号”零点，求参数范围.。

浙江省宁波市余姚市2021年初中学业水平考试适应性测试数学试题(含答案)

故选：C．
【点睛】
本题考查普查、抽查，三角形的内角和，方差和概率的意义，理解各个概念的内涵是正确判断的前提．
5．A
【分析】
根据题意分别画出各项三视图即可判断．
【详解】
各选项主视图、左视图、俯视图如下:
A． ,满足题意;
B． ,不满足题意;
C． ,不满足题意;
D． ,不满足题意;
故选A．
【点睛】
本题考查几何体的三视图,关键在于牢记三视图的画法．
【详解】
解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，故选项D计算正确，故符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了幂的运算公式、完全平方公式、合并同类项，准确分析判断是解题的关键．
3．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（）
A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
B．“任意画一个三角形，其内角和是 ”是必然事件
C．要调查某班同学最喜爱的文艺节目，应该关注的统计量是众数
D．小聪和小明最近5次数学测验成绩的平均分和方差分别为分，分，分，分，则小聪的数学成绩较为稳定
∵∠ARJ=30°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴△DEF的面积= ，
∴只要知道AP的长，可求△DEF的面积，

浙江省余姚市第四中学2025届高考适应性考试数学试卷含解析

浙江省余姚市第四中学2025届高考适应性考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z ＝213i i -+，则|z |＝（） A ．13 B ．23 C ．12 D ．22 2．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（） A ． B ． C ． D ．3．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（） A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}3 4．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（）A ．34B ．33C ．32D 35．若21i iz =-+，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i -6． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（）A ．56383B ．57171C ．59189D ．612427．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1- 8．若1tan 2α=，则cos2=α( ) A ．45- B ．35C ．45D ．35 9．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=10．已知i 是虚数单位，则(2)i i +=（）A ．12i +B ．12i -+C ．12i --D ．12i - 11．复数12i i--的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-．有以下6个论断：①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数；②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数；③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数；④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x ．那么正确论断的编号是（）A ．③④B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年浙江省宁波市余姚阳明中学高三数学理测试题含解析

2021年浙江省宁波市余姚阳明中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 是奇函数，则①一定是偶函数；②一定是偶函数；③；④其中错误命题的个数是（）A．1个 B．0个 C．4个 D．2个参考答案：D2. 将的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是( ).A. 左移个单位B. 右移个单位C. 左移π个单位D. 右移π个单位参考答案：C分析：将函数的对称中心平移至原点即可得函数为奇函数.详解：由，令.解得.即对称中心为.只需将左移个单位可得一个奇函数的图像，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的中心对称性和函数的左右平移，属于中档题，难度不大.3. 下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（）A. B. C.D.参考答案：C略4. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，若函数有极值点，则的最小值是（）A．0 B． C． D．-1参考答案：D5. 已知直线过双曲线右焦点，交双曲线于，两点，若的最小值为2，则其离心率为（）A．B．C．2 D．3参考答案：B6. 函数的图象大致为( )参考答案：D7. 已知P是双曲线上一点，F1、F2是左右焦点，⊿P F1F2的三边长成等差数列，且∠F1 P F2=120°，则双曲线的离心率等于（）A B C D参考答案：D8. 如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形．则该几何体表面积等于（）A．12+B．12+23πC．12+24πD．12+π参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，结合图中数据求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一半圆台中间被挖掉一半圆柱，其表面积为S=[×（2+8）×4﹣2×4]+[×π?（42﹣12）+×（4π×﹣π×）+×8π]=12+24π．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．9. （5分）已知O为坐标原点，A、B为曲线y=上的两个不同点，若?=6，则直线AB与圆x2+y2=的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切或相离参考答案：A【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：直线与圆．【分析】：根据点A，B在曲线y=上不同两点，从而设出A，B坐标：A（），，而由?=6可得到x1x2=4，能够写出直线AB的方程，从而求出圆心即原点到直线AB的距离和圆半径比较即可判断出直线和圆的位置关系．解：设A（），；∴由得：，设，则：t2+t﹣6=0，解得t=2，或t=﹣3（舍去）；∴x1x2=4；直线AB的斜率为k=；∴直线AB的方程为：；∴原点到该直线的距离为=；∴直线AB与圆的位置关系为相交．故选A．【点评】：考查根据曲线方程设出曲线上点的坐标的方法，数量积的坐标运算，解一元二次方程，以及由两点坐标写直线方程，点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系．10. 已知集合A={x|x=2n—l，n∈Z}，B={x|x2一4x<0}，则A∩B=（）A．{1} B．{x|1＜x＜4} C．{1,3} D．{1，2，3，4}参考答案：C先解不等式，集合.由题意知集合A表示奇数集，所以A∩B，故选C。

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数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
数字出现在第位时，同理也有个
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
故满足条件的不同的五位数的个数是个
故选：
【点睛】
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题．
9．D
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k的值，设出双曲线方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（ 1）p，利用双曲线的离心率公式求得e．
【详解】
直线F2A的直线方程为：y＝kx ，F1（0，），F2（0，），
代入抛物线C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，
22．已知数列满足 .
(1)证明：当时，；
(2)证明： ( )；
(3)证明：为自然常数.
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：化简集合
故选C．
考点：集合的运算．
2．D
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果
【详解】
故选
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题。
3．D
【解析】
A.若，则或，故A错误；
A． B． C． D．
二、填空题
11．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为________.
B.若，则或故B错误；
C.若，则或，或与相交；
D.若，则，正确.
故选D.
4．A
【解析】
【分析】
利用两条直线互相平行的条件进行判定
【详解】
当时，直线方程为与，可得两直线平行；
若直线与互相平行，则，解得，
，则“ ”是“直线与互相平行”的充分不必要条件，故选
【点睛】
本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题．
2018届浙江省宁波市余姚中学高三下学期6月高考适应性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合，，则 =（）
A． B． C． D．
2．已知i是虚数单位，则（）
A． B． C． D．
3．已知为一条直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（）
16．若随机变量的分布列如表所示，则 ______， ______．
-1
0
1
17．在中，内角所对的边分别为，
若，的面积为，
则 _______， _______．
四、解答题
18．已知函数 .
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求在上的最大值和最小值．
19．如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且．
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值.
20．已知函数．
（1）当时，试求曲线在点处的切线；
（2）试讨论函数的单调区间．
21．如图，直线与抛物线交于两点，直线与轴交于点，且直线恰好平分 .
（1）求的值；
（2）设是直线上一点，直线交抛物线于另一点，直线交直线于点，求的值.
【详解】
，，所以向左平移个单位长度，得到函数的图象.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查三角函数图象变换，考查诱导公式，属于基础题.
7．C
【解析】
该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选 .
Байду номын сангаас8．A
【分析】
对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论
【详解】
12．已知不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是；若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是___
13．如图，在平面四边形中，，则 _________
14．已知实数，且由的最大值是_________
三、双空题
15．若的展开式中所有项的系数之和为，则 ______，含项的系数是______（用数字作答）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．“ ”是“直线与互相平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
5．C
【分析】
根据函数奇偶性的性质即可得到结论．
【详解】
解：是奇函数，是偶函数，
，，
，故函数是奇函数，故错误，
为偶函数，故错误，
是奇函数，故正确．
为偶函数，故错误，
故选：．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．
6．A
【分析】
先将转化为，再利用三角函数图象变换的知识，得出正确选项.
6．为得到函数的图象，只需将的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）
A． B．1C． D．
8．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（）
A．48B．60C．72D．120
9．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
10．如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（）
∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，
∴A（p，），设双曲线方程为： 1，
丨AF1丨＝p，丨AF2丨 p，
2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（ 1）p，
2c＝p，
∴离心率e 1，
故选：D．
【点睛】
本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．