(完整版)函数图像过定点问题
初中二次函数过定点问题
初中二次函数过定点问题一、问题的重要性在初中的数学课程中，二次函数是重要的内容之一，它不仅在数学领域有广泛的应用，还在物理、经济和其他科学领域中有所涉及。
而二次函数过定点的问题，是二次函数中的一个经典问题，它能帮助我们深入理解函数的性质，提高我们的数学思维能力。
二、问题概述二次函数过定点的问题，是指在二次函数图像中，无论自变量取何值，函数值恒为定值的点的位置问题。
这种定值可以是常数，也可以是与自变量有关的表达式。
这种问题的解决需要我们对二次函数的性质有深入的理解，以及对函数图像的准确描绘。
三、解决步骤和方法1. 确定二次函数的形式：首先我们需要根据题目给出的条件，确定二次函数的形式。
通常，二次函数的形式为y=ax²+bx+c。
2. 计算定点坐标：在确定了二次函数的形式后，我们需要通过解方程来找到定点的坐标。
例如，如果定点是(m, n)，那么我们需要找到使am²+bm+c=n成立的m和n的值。
3. 描绘函数图像：根据确定的二次函数形式和定点坐标，我们可以描绘出函数的图像。
4. 验证答案：最后，我们需要验证我们的答案是否正确。
这可以通过将自变量的值代入二次函数中，看是否得到与定点相同的函数值来完成。
四、实例分析例如，若二次函数y=x²-2x-3过定点(m, n)，且无论m取何值，n总为常数，求这个定点坐标。
首先，我们可以通过整理函数的形式来找到定点的坐标：y=x²-2x-3=(x-1)²-4，这个函数的图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为(1, -4)。
因此，这个二次函数过定点(1, -4)。
五、结论与展望解决二次函数过定点的问题需要我们对二次函数的性质有深入的理解和掌握，同时还需要我们具备灵活的思维能力和良好的代数运算技巧。
在解决这类问题的过程中，我们不仅可以提高我们的数学思维能力，还可以提升我们的数学素养。
在未来的学习和研究中，我们将会遇到更多与二次函数过定点类似的问题。
中考数学复习指导：图象过定点问题和“思维模式”
图象过定点问题和“思维模式”关于函数图象过定点的问题，很多同学感到棘手．本文将应用“模式化”思维求解与按照常规思维求解进行比较，表明数学问题“模式化”的优越性，供同学们在学习中参考．一、“模式化”思维例析例1 若m是不为零的任意实数，求证：一次函数y＝mx－3m＋1的图象必通过一定点，并求出此定点坐标．证明由于y＝mx－3m＋1＝m（x－3）＋1，而m是不为零的任意实数，要使该函数图象通过一个定点，则此时y的值一定与m值无关，显然，当且仅当x－3＝0时，y的值与m的值无关，此时，x＝3．y＝m(x－3)＋1＝1．所以一次函数y＝mx－3m，＋1的图象必通过一定点(3，1)．注常规方法为特殊值法，即取m1＝1，m2＝－1，然后构建方程组求解并检验．求解时往往容易出错．例2 求证抛物线y＝x2－（k＋4）x－（2k＋12）（k为参数，且k≠0）恒过一定点，并求出此定点．证明要使抛物线恒过一定点，则该定点坐标必与k值无关．所以．y＝x2－(k＋4)x－(2k＋12)＝k(x＋2)＋x2－4x－12中，与k相关的因式值必为零(k≠0)，即：k＋2＝0．∴x＝－2．将x＝－2代入，函数y＝0，则该抛物线恒过定点（－2，0）．注常规法用参数法，令k的值分别为k1、k2，且k1≠k2，得方程组求之，但由于该方法有别于取特殊值法，不需验证交点是否满足原函数解析式，初学者不易掌握．例3 已知二次函数y＝ax2＋（6－a）x－6a－1（a≠0），证明无论a为何值，抛物线恒过定点，并求定点坐标．证明要使抛物线恒过定点，则定点处的x，y值必与a的值无关，即y ＝ax 2＋（6－a ）x －6a －1＝a(x 2－x －6)＋6x －1（a ≠0），必有x 2－x －6＝0，解得x 1＝3，x 2＝－2，∴y 1＝17，y 2＝－13．所以不论a 为何值(a ≠0)，抛物线恒过定点(3，17)与点（－2，－13）．注 常规法用主元法，以a 为主元，得a(x 2－x －6)＝－6x ＋y ＋1．根据一元一次方程的解的性质，a 为任意非零实数，即说明关于a 的方程有无穷解，由0·a ＝0的模式可得260610x x x y ⎧--=⎨-++=⎩解之即得． 若应用上述模式求证另辟蹊径，较为方便．例4 若a ＝b －2求证函数f(x)＝ax 2＋bx ＋2的图象过两定点．证明 因为a ＝b －2，所以f(x ）＝b （x 2＋x ）－2x 2＋2．若函数f(x ）的图象过两定点，则定点处的x 、y 值必与b 的值无关，此时必有x 2＋x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－1．故不论a ，b 为何值但只需满足a ＝b －2时，函数f(x)的图象必过两定点（－1，0）与点(0，2)．注 常规法用观察法，因为a ＝b －2，所以a －b ＋2＝0，则f(－1）＝0，f(0）＝2，即得所求．但初学者往往不易把握，例5 已知二次函数y ＝x 2－(m 2＋6)x ＋2m 2＋8，求证不论m 为何值，抛物线与x 轴正方向都有两交点，且其中一个交点为定点．证明 因为无论m 为何值，要使抛物线与x 轴正方向恒有两交点，且其中一个交点为定点，于是抛物线y ＝m 2（2－x ）＋x 2－6x ＋8在定点处的函数值与m 值无关，此时2－x ＝0，x ＝2，求得y ＝0．若抛物线与x 轴正方向恒有两交点，则y＝0时有x2－(m2＋6)x＋2m2＋8＝0，分解因式得（x－2）（x－m2－4）＝0，∴x1＝2>0，x2＝m2＋4>0．所以不论m为何值，抛物线与x轴的正方向恒有两交点(2，0)，(m2＋4，0)，且恒交定点(2，0)．注常规法用直接求根法，因为交点在x轴上，所以令y＝0，直接求元．由于该问题存在一个非定点，所以用常规法较方便．二、发散思维例析例6 设a、b为任意实数，且2a＋b＝1，关于x，y的方程ax＋by＝3有一个解恒定不变，求方程的这个解．解∵2a＋b＝1，则b＝1－2a，∴原方程变形为ax＋y－2ay－3＝0，即a(x－2y)＋(y－3）＝0．由于a、b为任意实数，且方程ax＋by＝3有一个解恒定不变，则说明方程的解不因a、b的变化而变化．只有当x－2y＝0时，原方程的解才与a、b的值无关，所以x＝2y，解得y＝3，x＝6，即为方程的定解．例7 已知m为一切非零实数，代数式my＋(m2－4m，)x2－2m2x－3的值恒为一个常数，求这个常数，并求此时x，y的值．解原式变形为m(y－4x2)＋m2(x2－2x)－3．由上述思维模式，得224020y x x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 解得00x y =⎧⎨=⎩或216x y =⎧⎨=⎩ 所以当x ＝0，y ＝0或x ＝2y ＝16时，原代数式的值恒为－3．例8 已知a ＝－3x 2－2xy ＋3x ＋1，b ＝2x 2＋xy －1，且2a ＋3b 的值与x 无关，求y 的值．解 由上述思维模式，求得2a ＋3b＝－6x 2－4xy ＋6x ＋2＋6x 2－3xy －3＝x （6－y ）－1．由于2a ＋3b 的值与x 无关，所以得6－y ＝0，y ＝6．三、小结(1)解决函数图象过定点问题时，我们可以抓住定点的不变性与参数的可变性，将函数解析式转化为以参数字母为主元的形式，从而可知与参数字母相乘的另一因式的值必为零．如上面例析，利用此“思维模式”能找到捷径，也可将此“模式”引申到方程与代数式的定解、定值问题中．(2)当函数图象除过定点外还过另一不定点，或问题中待定字母较多时，则需全面考 虑，另辟蹊径，如上面例5所述，又如已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，（a ≠0）当a ＋b ＋c ＝2时，图像过一定点，求谈定点的坐标时，则须用观察法，由a ＋b ＋c ＝2可知x ＝1，得y ＝2．所以对具体问题要具体分析，切记不要被思维定势所局限．。
完整版函数图像过定点问题
函数图像过定点的研究题1：2＋(k－2)x＋2k(3求证：拋物线y＝－k)x－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x，y)；000第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总）过的点是（）0，1 31 C. 01B. ），（ A. 13 （，）（－，）（－D.巩固练习：2）﹣m）x+m的图象总是过定点为何实数，二次函数1．无论my=x（﹣（2 ）（﹣D． 1，0，10） C．（﹣1，3） 3 A．（1，） B．（2）1（a≠0），下列说法正确的有（ 2．对于关于x的二次函数y=ax）﹣（2a﹣1x﹣取何值，图象必过两定②无论取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；a①无论a的增大而减小；④当1时，y随x点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜ x轴所得的线段长度必大于2．a＜0时，函数图象截 4个．．3 个 D A ．1个 B． 2个C2（m≠0）的图象发现，随﹣2mx+33.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两着m ．个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________2的变化，这个二次函（m≠0）的图象发现，随着4．某数学小组研究二次函救y=mxm﹣3mx+2数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个．定点的坐标：_________2，则这个函数的图象一定经过某一个﹣c=2+bx+c满足by=x5．（2009?宜宾县一模）二次函数．定点，这个定点是 _________2．的图象总是过定点 _________ y=x）﹣（2﹣mx+mm6．无论为何实数，二次函数）在函数的图象12，1）图象不经过三、四象限；（2）点（．已知一个二次函数具有性质（7的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函x时，函数值y随自变量03上；（）当x＞ _________ ．数解析式：8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标2．（m是常数）－6x＋1y.9（南京2011年24题7分）已知函数=mx轴上的一个定点；m为何值，该函数的图象都经过y⑴求证：不论的值．轴只有一个交点，求m⑵若该函数的图象与x，﹣），与y轴的交点为（0．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，n﹣m），其顶点恰101（好在直线1y=x+﹣m）上（其中m、n为正数）．2（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：2＋(k－2)x＋－k)x2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．求证拋物线y＝(3审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得2＋(k－2)x＋2k－1 y＝(3－k)x2－2x－1－kx2＋＝3xkx＋2k2－2x－1－k(x2 －＝3xx－2)(k≠3)，2－x－2＝0，得x＝－1，x＝上式中令x2. 2122－x－2)，－2x－1－将它们分别代入y＝3xk(x解得y＝4，y＝7，2122－x－2)1－k(x，3x(2，7)分别代入y＝－2x －4)把点(－1，、无论k取何值，等式总成立，2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，(3，7)总在抛物线y＝－k)x 4)即点(－1，、(22＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、－即拋物线y＝(3k)x(2，7)．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x，y)；000第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0））0，1（－D. ）3，1（－ C.解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。
函数定点问题及解析
函数定点问题及解析
函数的定点问题是指寻找一个函数的输入和输出相等的点，也
就是函数图像上的横坐标和纵坐标相等的点。
数学上，我们可以用
方程f(x) = x来表示函数的定点问题，其中f(x)表示函数的输出，x表示函数的输入。
要解定点问题，就是要找到方程f(x) = x的解。
这意味着我们需要找到函数图像上的横坐标和纵坐标相等的点的坐
标值。
从代数的角度来看，解定点问题就是要找到方程f(x) = x的根，也就是函数f(x)与直线y = x的交点的横坐标值。
这些交点就是函
数的定点。
解定点问题的方法包括代数方法和图像分析方法。
代数
方法通常涉及对方程f(x) = x进行变形和求解，而图像分析方法则
是通过观察函数的图像来找到定点。
另外，从几何的角度来看，函数的定点可以被解释为函数图像
上的特殊点，这些点的横坐标和纵坐标相等，也就是函数图像上的
对角线上的点。
这些点在函数图像上通常具有特殊的性质，比如在
对称性和变化率方面具有特殊的性质。
总之，函数的定点问题是函数分析中一个重要的问题，它涉及
到代数、几何和图像分析等多个方面。
解定点问题的方法也多种多样，需要根据具体的函数和问题来选择合适的方法进行求解。
函数图像过定点问题
函数图像过定点的研究题1：求证：拋物线 y＝ (3 －k)x 2＋(k － 2)x ＋2k－1(k ≠3) 过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程 (这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0， y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001 年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A.（1，3）B. （1，0）C.（－1，3）D. （－1，0）巩固练习：1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（ 2﹣ m） x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3） D．（﹣1，0）2①无论 a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0 时，函数在x＜1 时， y随x 的增大而减小；④当a＜ 0 时，函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个23. （2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着 m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________．4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣ 3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________．5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c 满足b﹣ c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________．_________．6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（ 2﹣ m） x+m的图象总是过定点7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（ 2）点（ 2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0 时，函数值y 随自变量x 的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________．y=mx-（4m-3) 图像过定点，求出该定点坐标8. 证明无论m为何值，函数9.（南京 2011 年 24 题 7 分）已知函数 y=mx2－6x＋1（m 是常数）．⑴求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线 y=x+ 1（1﹣m）上（其中 m、n 为正数）．2（1）求证：此二次函数的图象与x 轴有 2 个交点；（2）在 x 轴上是否存在这样的定点：不论 m、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：求证拋物线 y＝(3 －k)x 2＋ (k －2)x ＋ 2k－1(k ≠3) 过定点，并求出定点的坐标．审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线 y＝kx ＋b(k ≠0) ，当 b 确定时，无论 k 取不等于 0 的任何值，它总过定点 (0 ，b) ；物线线 y＝ax2＋bx＋ c(a ≠0) ，当 c 确定时，无论 a、b 取何值，它总过定点 (o ，c) ．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母 k 的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得y＝ (3 －k)x 2＋(k －2)x ＋ 2k－1＝3x2－2x－ 1－kx2＋ kx＋2k＝3x2－2x－ 1－k(x2 －x－2)(k ≠3) ，上式中令 x2－x－2＝0，得 x1＝－ 1， x2＝2.将它们分别代入y＝3x2－2x－ 1－ k(x 2－x－2) ，解得 y1＝4，y2＝7，把点 ( －1，4) 、 (2 ，7) 分别代入 y＝3x2－2x－1－k(x 2－x－2) ，无论 k 取何值，等式总成立，即点 ( －1，4) 、 (2 ，7) 总在抛物线 y＝ (3 －k)x 2＋(k －2)x ＋ 2k－1(k ≠3) 上，即拋物线 y＝(3 － k)x 2＋(k －2)x ＋2k－1(k ≠3) 过定点 ( －1，4) 、(2 ， 7) ．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程 (这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0， y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001 年北京市西城区中考题）无论 m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－ 1， 3）D. （－ 1，0）解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着 m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。
(完整word版)一次函数的定点问题
一次函数中的定点问题知识架构1. 判断点P （a,a+2）不在第几象限，并说明理由。
归纳：若点是以单参数表示的横、纵坐标，可“设元消参”来确定这点在哪条线上。
2. 如图，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，点A 的纵坐标、点B 的横坐标如图所示。
（1） 求直线AB 的解析式（2） 过原点O 的直线把ΔABO 分成面积相等的两部分，直接写出这条直线的解析式。
归纳：三角形中线所在直线平分三角形的面积。
变式1.已知平面上点O （0,0），A （3,2），B （4,0），直线y=mx-3m+2将ΔOAB 分成面积相等的两部分，求m 的值。
变式2.如图，在平面直角坐标系中，A （1,4），B （3,2），C （m,-4m+20）,若OC 恰好平分四边形OACB 的面积，求点C 的坐标。
归纳：若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点。
3. 如图，在平面直角坐标系中，ABCDA （0,0），C （10,4），直线y=ax-2a-1分成面积相等的两部分，求a 的值。
归纳：平分中心对称图形面积的直线必经过对称中心。
变式：如图，在平面直角坐标系中，多变形OABCDE 的顶点坐标分别是0（0,0），A （0,6），B （4,6），C （4,4），D （6,4），E （6,0）.若直线l 经过点M （2,3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，求直线l 的函数解析式。
例题分析1. 在平面直角坐标系中，点P 的坐标（0,2），点M 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛---4943,1m m （其中m 为实数）.当PM 的长最小时，求m 的值2. 已知在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点分别为O （0,0），A （5,0），B （m,2）,C(m-5,2).(1) 问：是否存在这样的m ，使得在BC 边上总存在点P ，使∠OPA=90°？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
函数图像恒过定点问题(2020年10月整理).pptx
函数图像恒过定点问题（2020年10月整理）.pptx
1、对于一次函数，解析式化成y-b=k(x-a)的形式，令x=a，
y=b，无论k取何不为0的实数，等式恒成立。
函数图像恒过定点(a，b)
2、对于二次函数，解析式化成y=a(x+b)²+c的形式，令x=-b，y=c，无论a取何不为0的实数，等式恒成立。
函数图像恒过定点(-b，c)
3、对于指数函数，令x=0，得y=1，无论底数a取何大于0且不等于1的实数，等式恒成立。
指数函数图像恒过定点(0，1)
4、对于对数函数y=loga(x)，令x=1，得y=0，无论底数a取何大于0且不等于1的实数，等式恒成立。
对数函数图像恒过定点(1，0)
函数在数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系：输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素。
其定义通常分为传统定义和近代定义，前者从运动变化的观点出发，而后者从集合、映射的观点出发。
其近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
函数图象过定点问题总结
函数图象过定点问题总结.doc函数图象过定点问题是高中数学中的一个重要知识点，常常在函数图象的绘制、函数性质的分析等问题中出现。
下面是对函数图象过定点问题的总结。
一、函数图象过定点的条件函数图象过定点的条件有两个，即函数图象过点(x_0, y_0)的条件为：1. 函数过定点(x_0, y_0)，即f(x_0) = y_0。
2. 函数图象在定点(x_0, y_0)处的切线斜率等于函数的导数值，即f'(x_0) = k。
二、函数图象过定点的求解方法1. 具体过定点(x_0, y_0)，求函数的表达式。
可以利用函数过定点的条件f(x_0) = y_0，将(x_0, y_0)带入函数的表达式，求解出函数的表达式。
2. 已知函数表达式，求定点(x_0, y_0)。
通过函数图象过定点的条件f(x_0) = y_0，将函数的表达式中的x替换为x_0，求解出y_0。
3. 已知函数表达式，求切线斜率。
首先求出函数的导函数，然后将导函数的表达式中的x替换为x_0，求解出f'(x_0)，即为切线的斜率。
4. 已知函数表达式和切线斜率，求定点(x_0, y_0)。
通过函数图象在定点(x_0, y_0)处的切线斜率等于函数的导数值的条件f'(x_0) = k，将函数的导函数的表达式中的x替换为x_0，求解出x_0，然后将x_0带入函数的表达式，求解出y_0。
三、实例分析下面通过一个实例来说明函数图象过定点问题的求解方法。
已知函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1。
1. 求函数过点(2, 15)的表达式。
将(2, 15)带入函数的表达式，得到2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) + 1 = 15，所以函数过点(2, 15)的表达式为f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1。
2. 求函数过点(3, 13)的表达式。
将(3, 13)带入函数的表达式，得到2(3)^3 - 5(3)^2 + 3(3) + 1 = 13，所以函数过点(3, 13)的表达式为f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x + 1。
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函数图像过定点的研究题1：求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）巩固练习：1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．A．1个B．2个C．3个D．4个3.（2012•鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________ ．4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________ ．5．（2009•宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________ ．6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点_________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________ ．8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标9.（南京2011年24题7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+12（1﹣m）上（其中m、n为正数）．（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：求证拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1＝3x2－2x－1－kx2＋kx＋2k＝3x2－2x－1－k(x2 －x－2)(k≠3)，上式中令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2.将它们分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，解得y1＝4，y2＝7，把点(－1，4)、(2，7)分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，无论k取何值，等式总成立，即点(－1，4)、(2，7)总在抛物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，即拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、(2，7)．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。
如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。
解：任意给m赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。
则函数解析式变为：。
联立方程组解得把中，无论m为何值，等式总成立。
所以，抛物线群中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。
故应选A。
解法二、变换主元法依据：一元一次方程的解有三种情形：（1）当a≠0时，方程有惟一解：；（2）当a=b=0时，方程的解为全体实数；（3）当a=0，b≠0时，方程无解。
这里所求定点坐标与m的值无关，相当于关于m的一元一次方程am=b（a、b为含x、y 的代数式）中，a=b=0时的情形。
解：将其二次函数整理变形为：①令所以，无论m为何值时，（1，3）恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。
故应选A。
巩固练习：1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）2．对于关于x 的二次函数y=ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣1（a≠0），下列说法正确的有（ ） ①无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点； ②无论a 取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a ＞0时，函数在x ＜1时，y 随x 的增大而减小； ④当a ＜0时，函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个3.（2012•鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx 2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m 的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标： _________ ．4．某数学小组研究二次函救y=mx 2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m 的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标： _________ ．5．（2009•宜宾县一模）二次函数y=x 2+bx+c 满足b ﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是 _________ ．6．无论m 为何实数，二次函数y=x 2﹣（2﹣m ）x+m 的图象总是过定点 _________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式： _________ ．8.证明无论m 为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出 该定点坐标9. 已知函数y =mx 2－6x ＋1（m 是常数）．⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．解：⑴当x =0时，1y =．所以不论m 为何值，函数261y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点（0，1）．⑵①当0m =时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点；②当0m ≠时，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以2(6)40m --=，9m =．综上，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9．11．已知二次函数的10.顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+（1﹣m）上（其中m、n为正数）．（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．分析：（1）把二次函数顶点坐标代入代入y=x+（1﹣m）得﹣+（1﹣m）=﹣，整理后利用因式分解得到（m﹣n）（m+1）=0，则m=n或m=﹣1（舍去），于是二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，0），由m为正数可判断二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向上，由此得到此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）由（1）得到抛物线的对称轴为直线x=﹣，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）（1）证明：把（﹣，﹣）代入y=x+（1﹣m）得﹣+（1﹣m）=﹣，整理得m2﹣mn+m﹣n=0，∵（m﹣n）（m+1）=0，∴m=n或m=﹣1（舍去），∴二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，0），∵m为正数，∴二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，∴抛物线开口向上，∴此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）解：存在．∵抛物线的对称轴为直线x=﹣，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），即不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过点（﹣1，0）和（0，0）．反思：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．。