函数图像过定点问题
(完整版)函数图像过定点问题
函数图像过定点的研究题1：求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）巩固练习：1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．A．1个B．2个C．3个D．4个3.（2012•鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________ ．4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________ ．5．（2009•宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________ ．6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点_________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________ ．8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标9.（南京2011年24题7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+12（1﹣m）上（其中m、n为正数）．（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：求证拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1＝3x2－2x－1－kx2＋kx＋2k＝3x2－2x－1－k(x2 －x－2)(k≠3)，上式中令x2－x－2＝0，得x1＝－1，x2＝2.将它们分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，解得y1＝4，y2＝7，把点(－1，4)、(2，7)分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，无论k取何值，等式总成立，即点(－1，4)、(2，7)总在抛物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，即拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、(2，7)．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。
直线或曲线恒过定点问题
直线或曲线恒过定点问题凰在人生的道路上灵活多变,另辟蹊径,岂不快哉!尾声:人们追求理想的道路就如同这三只蚂蚁,既要勇往直前,矢志不移;又要独辟蹊径,灵活变通.不管怎样,奋斗的人生总是美好的.请记住高尔基的名言吧:在停止努力之前,你永远不会是个失败者!简评这篇习作由材料整体人手,从三个不同的角度,生动地阐释了生活哲理.作者采用三幕剧的形式,新颖别致,条理清晰,令人耳目一年糠j新.每一幕(一个画面)之后再配以"画外音",简短的议论起到了画龙点睛的作用.文末以"尾声"作结,总述全文,高度概括,文章主旨显得更加深刻,集中.作者简介韩延明,高级教师,执教于陕西省商南高级中学,陕西省学科带头人,陕西省商洛市骨干教师,发表论文多篇.责任编辑刘静直线或曲线僵过定点问题口童其林例已知函数—log(一2)+1(a>0,a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx4- 1"+l一0上,其中>0,则旦+的最大IfL}L值为——.分析我们知道对数函数===log图像恒过点(1,O),由此可知—log(z一2)+1(以>0,.≠1)恒过定点(3,1),到此问题便不难求解.解析容易求得定点A的坐标是(3,1),代入直线方程得3+"+1—0,所以3.1—3(--3m—--n)——J—一一10—3(n+)≤一lO一6√旦一mmm7"/一\/,/ 一16,当且仅当m一.时等号成立.故+的最大值为一16.定点问题近年来频频出现在各地的高考试题中,定点问题理论依据是什么?究竞有哪些类型呢?举例说明如下.～,直线或曲线恒过定点的证明或应用例1求证:直线(2m4-1)z+(+1)一7m+4(m∈R)恒过某一定点P,并求该定点的坐标.解法一特殊引路法分析因直线(2+1)+(Ⅲ+1)一7m+4随取不同的值而变化,但是由题意分析可知应该是嗣绕某一定点在旋转,而这一定点l....高考_ll斌～题设…计版0凰我们只需两条相交直线即可求得,但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上,这样就使得解法更为完备.证明直线(2m+1)x+(+1)一7m+4,取2+1一O===一÷.此时直线方程为=7X(一丢)+4一1①取m+1—0一一1,此时z一3②由①②得点P(3,1).将点P(3,1)代入直线方程得(2m+1)-z+(+1)y===(2m+1)×3+(+1)一7优+4,即方程对任意TnER恒成立.故直线(2m+1)x+(m+1)一7+4恒过定点P(3,1).解法二换元法分析众所周知,直线方程中的点斜式—k(x--xo)可以表明直线过点P(xo,yo),因此我们可以将直线(2m-~1)x+(+1)一7m+4的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式,从而证明该直线恒过定点,并且可直接求得该定点. 证明m--F-1=/=0~",===～2m+1z+.令一一km一高垒.由此可得—7m+T4一一3k~1.即原直线方程可化为—kx一3k+1一1一是(一3).由直线的点斜式方程可知该直线过点P(3,1).当m+1—0即m一一1时,原直线可化为一一7×(一1)+4一3,此时点P(3,1)仍然在直线上.综上,直线(2m+1)x+(仇+1)一7m4-4恒过定点P(3,1).解法三参数分离法分析对于直线方程(2m+1)z+(m+1)一7m+4来说,如果我们将其中的m看作参数,并将其分离得(2z+一7)+z+一4一O,此时我们令2z+一7===0,z+一4=0,则这两条直线的交点P(x.,Y.)一定满足直线方程(2+一7)+'z+一4—0,即P(0,y.)在直线(2+1)lz+(+1)一7m+4上,这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了.证明(2m+1)z+(+1)一7m+4(2x+～7)+z+一4一O.令2z+一7—0,z+一4一O,解方程组f2+一7=0,lz+一4一o,得x=3,一1,因点P(3,1)满足2z+一7一O,z+一4一o.所以也满足(2z+一7)十Lz+一4—0.进一步得点P(3,1)满足(2m+1)z+(m+1)一7m4-4.故直线(2m+1)z+(m+1)一7m+4恒过定点P(3,1).解法四利用方程船一b有无穷多解的充要条件"关于z的方程ax—b有无穷多解的充要条件是:a—b:0".其实我们高中所学的含参数的多项式函数,含参数的分式函数,以及含参数的二次曲线图像过定点问题均可仿照该种方法求定点坐标.把方程化为(2x+一7)一一—+4.令2z+一7一O且一—+4—0,得x=3,Y一1,因此定点坐标为(3,1).例2函数Y一+2kx一3k+1图像过定点,则定点坐标为——.厨锻分析可将二次函数变形为以k为未知数的一次函数ak—b的形式,或利用方程理论求解.解将函数Y—kx.+2kx一3k+1化为fr+2z3—0(+2z3一Y一,令{v一.1一ofx一]fz一一3解此方程组得或,所以函数lVl【V=lY—+2kx一3k+1图像过定点(1,1)和(一3,1).例3函数Y—ax~2ax+2图像过定点,则定点坐标为——.分析这是含参数的指数函数图像过定点的问题,可利用指数函数Y一图像恒过点(0,1)这一性质来解决.解设函数Y—aXz-2图像过定点(1z.,Y.),则Y.~--axO一"o一,利用指数函数Y一图像恒过点(0,1)这一性质知:方程组z.一2axoq-2a--1=0(1)关于口恒成立,将<lll十r日h,,,(Y o—l(1)化为2z.口一【Y.一1f2z.一2一O再令z..一1=0(2),l一1llzn===l解(2)得.,所以函数—axZ2ax+2(yo—l图像过定点(1,1)如有含参数的对数函数图像过定点的问题,可利用对数函数Y—log.z图像恒过点(1, O)这一性质来解决.例4已知抛物线C:Y一去z与直线z:一走z一1没有公共点,设点P为直线上的案期动点,过P作抛物线C的两条切线,A,B为切点.(1)证明:直线AB恒过定点Q;(2)若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线c于M,N两点,证明:一.证明(1)设A(x1,Y1),则Y一去z.由一1z.得Y一z,所以Y『===z1.于是抛物线C在A点处的切线方程为—l—z1(z—z1),即—z1z—1.设P(z0,尼z0—1),贝Ⅱ有忌o～1一z.z ——Yl?设B(x2,2),同理有kxo一1一-z0Iz2--y2.所以AB的方程为kx.1一.z—Y,即lzo(z一是)(一1)一O,所以直线AB恒过定点Q(尼,1).(2)略.二,利用直线或曲线恒过定点解题有些问题并没有明确告诉你要求定点,但问题本身隐含着直线或曲线过定点,如果能够挖掘出这个隐蔽因素,问题便可迎刃而解或能够开辟解题的新天地.例5设点A和B为抛物线一4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA_LOB, (=lM上AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.t).一?._⑧_高～"试黟设许凰锻分析本题有很多解法,其中利用直线恒过定点求解是最快的一种.设OA的方程为一z,代入Y=4px得A(,),则oB的方程为一一1z,代入Y.=4px得B(4pk.,--4pk).'AB的方程为y—(一4户),过定点N(4P,0).由0M上AB,得M在以ON为直径的圆上(0点除外)故动点M的轨迹方程为.27.+一4z—O(1z≠O),它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.例6对任意实数志,直线—b.x+3k一2(k∈R)与椭圆+一1(以>oKn≠4)恒有公共点,则倪的取值范围是分析直线方程中含参数k,则该直线过定点,求出定点以后,再利用定点在椭圆内或在椭圆上即可解决.解将直线Y一/ca:q-3k一2(k∈R)整理得(z+3)k=Y+2,f+3—0令2—0f.z一一3解之得IY一一2故一如+3k一2(k∈R)过定点(--3,一2),欲使对任意实数k,直线Y—+3志一2(k∈R)与椭圆+一l(a>oft口≠4).专避媾Il_恒有公共点,必须定点在椭圆内或在椭圆上, 所以有+≤1(n>o且n≠4)解之得a≥2且口≠4.作者简介童其林,高级教师,福建省永定县城关中学教务处主任,发表文章多篇,主要从事教学管理研究与教育教学研究.责任编辑李婷婷上海世博会之吉祥物。
二次函数的最值问题与过定点类型问题
二次函数的最值与图像过定点问题对于二次函数:y=-x 2+4x-1/2(1)当x 取任意实数时,该函数有最 值,最 值是(2)当-1≤x≤1时,该函数的最大值是 ;最小值是(3)当3≤x≤4时,该函数的最大值是 ;最小值是(4)当0≤x≤3时,该函数的最大值是 ;最小值是求二次函数最值的一般方法： 1画出函数图像找对称轴； 2分清自变量范围找区间； 3数形结合找对应函数值例1、对于二次函数y=-x 2+2bx-0.5(1)若b<-1,当-1≤x≤1时,求该函数的最大或最小值(用含b 的式子表示)。
(2)若0﹤b ﹤1时,当-1≤x≤1,求该函数的最大或最小值。
1.如图,抛物线22y x x p =--与直线x y =交于点A(-1,m)、B(4,n),点M 是抛物线上的一个动点,连接OM(1)求m,n,p 。
(2)当M 为抛物线的顶点时,求M 坐标和⊿OMB 的面积；(3)当点M 在直线AB 的下方抛物线上,M 运动到何处时,⊿AMB 的面积最大。
2.抛物线y=ax 2和直线y=kx+b(k 为正常数)交于点A 和点B,其中点A 的坐标是(-2,1),过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点E,点D 是抛物线上B,E 之间的一个动点,设其横坐标为t,经过点D 作两坐标轴的平行线分别交直线AB 于点C,M,设CD=r,MD=m.(1)根据题意可求出a= ,点E 的坐标是 ；(2)当点D 可与B,E 重合时,若k=0.5,求t 的取值范围,并确定t 为何值时,r 的值最大；(3)当点D 不与B,E 重合时,若点D 运动过程中可以得到r 的最大值,求k 的取值范围,并判断当r 为最大值时m 的值是否最大,说明理由(下图供分析参考用).yxCME AO BD24．(12分) 如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC 在x 轴正半轴上滑动，点C 的坐标为(t ，0)，直角边AC=4，经过O ，C 两点做抛物线y 1=ax(x ﹣t)(a 为常数，a ＞0)，该抛物线与斜边AB 交于点E ，直线OA ：y 2=kx(k 为常数，k ＞0)(1)填空：用含t 的代数式表示点A 的坐标及k 的值：A_________，k=_________；(2)随着三角板的滑动，当a=14时：①请你验证：抛物线y 1=ax(x ﹣t)的顶点在函数y=﹣14x 2的图象上；②当三角板滑至点E 为AB 的中点时，求t 的值；(3)直线OA 与抛物线的另一个交点为点D ，当t≤x≤t+4，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而减小，当x≥t+4时，|y 2﹣y 1|的值随x 的增大而增大，求a 与t 的关系式及t 的取值范围．抛物线过定点的问题集锦解法步骤第一步：对含有变系数的项集中第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x 和常数的因式之积的形式 第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x 的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)第四步：解此方程，得到x 的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤1.某二次函数y ＝ax 2－(a ＋c)x ＋c 必过定点__________2.无论m 为任何实数，二次函数y ＝x 2＋(2－m)x ＋m 的图像总过的点是（ ）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）3.不论a 取何值，抛物线y ＝－12x 2＋5－a 2x ＋2a －2 经过x 轴上一定点Q ，则点Q 坐标为 4.抛物线y ＝ax 2＋ax －2过直线y ＝mx －2m ＋2上的定点A ，求抛物线的解析式。
对数函数恒过定点问题(解析版）
对数函数恒过定点问题解题策略：对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像恒过定点(1,0).利用整体代换法，在对数型函数log ()(01a y f x b a a =+>≠且）中令()1f x =，即可求得对数型函数的图像所过的定点。
（注：令对数型函数真数为1，切记log 10a =）典例精析：【例1】函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0【解析】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,. 故选：D.变式1：函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-【解析】对于函数()()log 310,1a y x a a =->≠，令311x -=，可得23x =，则log 10a y ==， 因此，函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.变式2：函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a >0且a ≠1)的图象过定点________． 【解析】令x ＋2＝1，所以x ＝－1，y ＝3.所以过定点(－1,3)．变式3：函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--．故选：B ．变式4：已知函数()2()2log 12f x x =--+的图象过定点(),a b ，则a b +=________.【解析】由题可知，函数()2()2log 12f x x =--+的图象过定点(),a b ， ∴令11x -=，得2x =，此时2(2)2log 122f =-+=， ∴函数()2()2log 12f x x =--+的图象过定点()2,2，2,2a b ∴==，则4a b +=. 故答案为：4.变式5：若函数log (7)2a y x =-+恒过点(,)A m n ，则12()nm-=__________.【解析】因为函数log (7)2a y x =-+恒过点()8,2，即8,2m n ==， 所以1112221()424n m --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故答案为：2.变式6：若函数()()3log 273xa f x =--（0a >，且1a ≠）的图象经过定点P ，则点P 的坐标为______.【解析】令271x -=，得3x =.又()33log 133a f =-=-，所以()f x 的图象经过定点()3,3P -. 故答案为：()3,3-变式7：函数()2log 35a y x =--恒过定点______．【解析】令231x -=，得2x =-或2，当2x =-或2时，log 155a y =-=-. 因此，函数()log 22a y x =++的图象过定点()2,5--，()2,5-． 故答案为：()2,5--，()2,5-．变式8：若2()1log (22)(0a f x x x a =+-->且1)a ≠的图象过定点M ，则M 点的坐标是（ ）A ．和)B ．2)和2)C ．(1,0)-和(3,0)D ．(1,1)-和(3,1)【解析】由题设，当2221x x --=时，()1log 11a f x =+=，此时3x =或1x =-， ∴定点M 为(1,1)-和(3,1).故选：D.变式9：已知函数()()3log 2(1,)01x a f x a x a a -=+-+>≠，则它的图象过定点（ ）A ．()1,1B ．()1,2C ．()3,2D ．()2,3【解析】由题意，函数()()3log 210(x a f x a x a -=+-+>且1)a ≠， 令3x =，可得()()333log 3211012a f a -=+-+=++=，所以函数()f x 的图象恒过定点(3,2). 故选：C.变式10：函数()()25log 20,13a x f x a a x +=+>≠+的图象经过定点（ ） A ．()1,0B ．()2,2-C ．()1,2-D ．()0,3【解析】由对数函数的图象与性质可得，()log 0,1a y x a a =>≠的图象必经过(1,0)， 故令2513x x +=+，解得2x =-，此时()25log 2log 1223aa x f x x +=+=+=+， 所以()f x 的图象必经过()2,2-. 故选：B变式11：【多选】已知函数()()1101x f x a a a -=+>≠,的图象恒过点A ，则下列函数图象也过点A 的是（ ）A ．2y =B ．21y x =-+C ．()2log 21y x =+D ．12x y -=【解析】由题意，函数()()1101x f x a a a -=+>≠,，令1x =，可得()0112f a =+=，即函数()f x 的图象恒过点(1,2)A ，A 中，函数2y =，令1x =时，可得2y =，此时函数过点(1,2)A ，满足题意；B 中，函数21y x =-+，令1x =时，可得2y =，此时函数过点(1,2)A ，满足题意；C 中，函数()2log 21y x =+，令1x =时，可得2y =，此时函数过点(1,2)C ，满足题意；D 中，函数12x y -=，令1x =时，可得1y =，此时函数不过点(1,2)，不满足题意. 故选：ABC.变式12：【多选】下列四个函数中过相同定点的函数有（ ） A ．2y ax a =+- B ．21a y x -=+C ．()310,1x y aa a -=+>≠D ．()()log 210,1a y x a a =-+>≠【解析】对于2y ax a =+-，当1x =时，2y =，则2y ax a =+-过定点()1,2； 对于21a y x -=+，当1x =时，2y =，则21a y x -=+过定点()1,2； 对于()310,1x y aa a -=+>≠，当3x =时，2y =，则()310,1x y a a a -=+>≠过定点()3,2；对于()()log 210,1a y x a a =-+>≠，当1x =时，1y =，则()()log 210,1a y x a a =-+>≠过定点()1,1,故A ，B 中的函数过相同的定点.故选：AB.【与指数函数的综合问题】【例2】函数13x y a +=-与()log ()a g x x m n =++（0a >且1a ≠）的图象经过同一个定点，则n m 的值是（ ） A ．4B ．-1C ．3D ．14【解析】因为函数13x y a +=-（0a >且1a ≠）经过定点()1,2--，函数()log ()a g x x m n=++（0a >且1a ≠）的图象经过定点()1,m n -，由题意知112m n -=-⎧⎨=-⎩，即22m n =⎧⎨=-⎩，故2124n m -==， 故选：D变式1：函数log (23)2a y x =-+(0a >且1)a ≠的图象恒过定点P ，P 在指数函数()f x 的图象上，则(1)f -的值为（ ）A B ．2C ．D ．【解析】由题意，令231x -=，可得2x =，故函数log (23)2a y x =-+(0a >且1)a ≠的图象恒过定点()2,2P ，则指数函数()x f x b =(0b >且1)b ≠的图象过点()2,2P ，即2(2)2f b ==，解得b =所以1(1)f --==故选：B.变式2：已知函数()()8log 30,19a y x a a =++>≠的图象恒过定点A ，若点A 也在函数()3x f x b =-的图象上，则b =_________．【解析】()88log 2399a -++=，82,9A ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，()2182399f b b -∴-=-=-=，解得：79b =-.故答案为：79-.【与幂函数的综合问题】【例3】若函数()(3)a f x m x =-是幂函数，则函数()log ()1a g x x m =++（其中0a >且1)a ≠的图象过定点( ) A ．(3,1)-B ．(2,1)C ．(3,0)-D ．(3,1)【解析】因为函数()(3)a f x m x =-是幂函数，所以31m -=，解得4m =，所以函数()log (4)1a g x x =++中，令41x +=，解得3x =-，所以(3)1g -=，所以()g x 的图象过定点(3,1)-．故选：A ．变式1：已知函数()(2)t f x t x =-是幂函数，则函数()log ()a g x x t t =++（0a >且1a ≠）恒过定点________．【解析】由()f x 是幂函数得21,3t t -=∴=，故()log (3)3a g x x =++，令31,2x x +=∴=-，所以log (23)33a y =-++=. 所以()g x 过定点(2,3)-． 故答案为：(2,3)-变式2：若幂函数()y f x =的图象经过函数1()log (3)(04a g x x a =++>且1)a ≠图象上的定点A ，则1()2f = ．【解析】由31x +=，解得：2x =-，此时1(2)4g -=，即1(2,)4A -，设()f x x α=，则1(2)4α-=，解得：2α=-，故2()f x x -=，故21()242f ==，故答案为：4．变式3：已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解析】函数()log 32a y a =-+中，令31x -=，解得4x =，此时log 122a y =+=；所以函数y 的图象恒过定点()4,2P ，又点P 在幂函数()my f x x ==的图象上，所以42m =，解得0.5m =；所以()0.5f x x =，所以()()()()lg 4lg 25lg 425lg101f f f f +=⋅==⎡⎤⎣⎦．故选：C ．【与基本不等式的综合问题】【例4】已知函数log (1)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图像恒过定点P ，又点P 坐标满足2(0,0)mx ny m n +=>>，则11m n+的最小值为_______； 【解析】由题意，令11x -=，即2x =时，log 111a y =+= 故函数log (1)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图像过定点(2,1) 故22m n +=，即12nm +=，又0,0m n >>则1111333()()22222n m n m m n m n n m +=++=++≥+=当且仅当2=m nn m，即22m n ==时等号成立即11m n+的最小值为32故答案为：32变式1：若函数()()ln 124k x f x -=-()k R ∈的图象恒经过的定点在直线10ax by --=（0a >，0b >）上，则1132a b+的最小值是（ ）A ．B ．C ．256D ．136【解析】由题意(2)3f =-，所以定点坐标为(2,3)-， 所以2310a b +-=，即231a b +=，因为0,0a b >>，1111131325(23)3232666b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即15a b ==时等号成立，故选：C ．变式2：已知函数()()()1log 20,1a f x x a a =+->≠的图象经过定点(),A m n ，若正数x ，y 满足1m nx y +=，则2x x y y++的最小值是（ ）A ．5B ．10C ．533D ．5+【解析】函数()1log (2)a f x x =+-令21x -=，可得3x =，代入函数可得1y =，∴定点A 的坐标(3,1)， 代入1m n x y +=可得311x y+=，那么3xx y =-，则31622223(22)()3521255xyxx y x y x y y x y x y ++=+-=++-=+++=+当且仅当31x y ==+ ∴2xx yy++的最小值5. 故选：D变式3：已知函数()log (1)1a f x x =-+，(0,1)a a >≠恒过定点A ，过定点A 的直线:1l mx ny +=与坐标轴的正半轴相交，则mn 的最大值为（ ）A ．12B ．14 C ．18D ．1【解析】令11x -=，即2x =，得(1)1f =，则()2,1A ， 则21m n +=且0m >，0n >，由1218m n mn +≥≥≤．当且仅当14m =，12n =时，等号成立， 故选：C变式4：【多选】已知函数()()log 12a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点(),s t ，正数m 、n 满足m n s t +=+，则（ ） A ．4m n += B ．228m n +≥ C ．4mn ≥D ．111m n+≥ 【解析】在函数()f x 的解析式中，令11x -=可得2x =，且()2log 122a f =+=， 所以，函数()f x 的图象过定点()2,2，2s t ==，所以4m n +=，所以A 正确；由重要不等式222m n mn +≥，可得()()222216m n m n +≥+=，故228m n +≥，当且仅当2m n ==时取等号，所以B 正确；由基本不等式可得，242m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当，2m n ==时取等号，故C 错误；又()1111111221444m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4m nn m m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即2m n ==时取等号，所以D 正确.故选：ABD.【与三角函数的综合问题】【例5】函数()log 32a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin cos αα+的值为（ ）A ．75B ．65C D【解析】由题意得P (4，2)，||OP =，由三角函数定义知sinαα===所以sin cos αα+= 故选：D变式1：函数()log 2a y x =+(0a >，且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在角θ的终边上，则cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．12-D ．12【解析】对于函数()log 2a y x =++(0a >，且1)a ≠，令21x +=，求得1x =-，y =(A -，且点A 在角θ的终边上，可得sin θ，则cos sin 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．故选：A ．变式2：若函数()()()log 220,1a f x x a a =+->≠的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则sin 4cos 5sin 2cos -=+θθθθ（ ）A ．16-B ．34-C ．37-D ．53-【解析】()1log 122a f -=-=-，()1,2P ∴--，tan 2θ∴=，sin 4cos tan 42415sin 2cos 5tan 21026θθθθθθ---∴===-+++.故选：A.变式3：函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则2sin 2θ=（ ） A ．1213-B ．1213C ．2413-D ．2413【解析】根据对数函数的性质得函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过()3,2A -，由三角函数的定义得：13r ==，sinθθ== 所以根据二倍角公式得：242sin 24sin cos 413θθθ⎛===- ⎝. 故选：C.【与反函数的综合问题】【例6】函数1()x f x a +=（0a >且1a ≠）的反函数1()y f x -=所过定点的坐标为（ ） A ．(0,1)-B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(0,1)【解析】1()x f x a +=过定点()1,1-，故反函数1()y f x -=所过定点的坐标为(1,1)-.故选：B.【与函数单调性的综合问题】【例7】已知函数()()log 13a f x x =++的图象恒过定点(),m n ，且函数()22g x mx bx n =-+在[)1,+∞上单调递减，则实数b 的取值范围是_______．【解析】在函数()()log 13a f x x =++的解析式中，令11x +=，可得0x =，()0log 133a f =+=. 所以，函数()()log 13a f x x =++的图象恒过定点()0,3，0m ∴=，3n =， 则()23g x bx =-+，由于函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，可得20b -<，解得0b >. 因此，实数b 的取值范围是()0,∞+. 故答案为：()0,∞+.巩固训练：1、函数()()log 43a f x x =-的图象过定点（ ） A ．()1,0B ．()1,1C ．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】令431x -=，求得1x =，()0f x =，可得()()log 43a f x x =-的图象所过定点()1,0， 故选：A ．2、函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0且a ≠1)的图象恒过点________．【解析】依题意，11x +=，即x ＝0时，y ＝log a (0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点 (0，－2)．故答案为：(0，－2)3、函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--．故选：B ．4、已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数()log 34a y x =+-的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为______．【解析】因为log a y x =的图像必过(1,0)，即log 10a =，当31+=x ，即2x =-时，4y =-，从而()log 34a y x =+-图像必过定点(2,4)--. 故答案为：(2,4)--.5、已知0a >，1a ≠，则21()log 1a x f x x +=-的图象恒过点（ ） A ．(1,0) B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ．(1,4)【解析】令2111x x +=-，解得：2x =-，故(2)log 10a f -==恒成立， 即21()log 1a x f x x +=-的图象恒过点(2,0)-.故选：B6、函数1log 11ay x =++(0a >且1a ≠)的图象经过的定点坐标为___________.【解析】取111x =+，得到0x =，代入计算得到1y =，得到定点(0,1). 故答案为：（0，1）7、函数()()2log 11xa f x x =+-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为_________.【解析】当2x =时，()()222log 2114015a f =+-+=++=，∴定点A 的坐标为()2,5.故答案为：()2,5.8、已知函数()(21)()m f x m x m R =-∈是幂函数，则函数()log ()2a g x x m =++(0a >，且1a ≠)的图象所过定点P 的坐标是（ ） A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,2)D ．(1,2)-【解析】因为函数()(21)()m f x m x m R =-∈是幂函数， 所以211m -=，因此1m =，所以()log ()2log (1)2a a g x x m x =++=++， 由log (1)0a x +=可得0x =，(0)2g =，所以函数()log ()2a g x x m =++(0a >，且1a ≠)的图象所过定点P 的坐标是(0,2). 故选：A.9、已知0a >且1a ≠，函数log (23)a y x =-P ，若P 在幂函数()f x 图像上，则点P 坐标为________，(8)f =________.【解析】由题意，函数log (23)a y x =-P ，令231x -=，即2x =，可得log 1a y =P ，设幂函数()()f x x R αα=∈，将点P 代入幂函数，可得2α=12α=，即()12f x x =，所以12(8)8f ==故答案为：P ，10、函数()log (103)9a f x x =-+的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()g x 的图象上，则()8g =______.【解析】对于函数()log (103)9a f x x =-+，令1031x -=，求得3x =，()9f x =， 可得它的的图象恒过定点(3,9)A点A 在幂函数()g x x α= 的图象上，39α∴=，2α∴=，2()g x x =，则()24868g ==故答案为：6411、函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ， 则()2,1A --，又点A 在直线10mx ny ++=上， 可得21m n +=，所以()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当14m =，12n =时取等号， 故选：B12、已知函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图像恒过点M ，若直线()20,0x ya b a b+=>>经过点M ，则a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】由已知得到对数函数过定点(1,0)，得到函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图象恒过点()2,2M ，又直线()20,0x ya b a b+=>>经过点M ，所以111a b+=，所以11()()2224b a b aa b a b a b a b ++=+++=； 当且仅当a b =时等号成立； 故选：C ．13、函数()log 44a y x =++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则7cos 2πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35 B ．35C ．45-D ．45【解析】令41x +=，所以3x =-，所以函数()log 44a y x =++的图象过定点()3,4-．因为点A 在角θ的终边上，所以4sin 5θ==，即有74cos sin 25πθθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ．14、已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（ ）A ．2425-B ．35C ．2425 D ．35【解析】因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3)，因为角α的终边经过点P ， 所以34sin ,cos 55αα====， 所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，故选：C15、函数y ＝log a (x －3)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则cos2α＝( ) A ．45B ．35C ．15D ．35【解析】∵函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4,2)，且角α的终边过点P ，故cosα=，故223cos22cos1215αα=-=⨯-=⎝⎭.故选：B16、已知曲线()230,1yx a a a-=+>≠过定点M，且角α的终边经过点M，则tan24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．7-B．7C．17-D．17【解析】易知曲线()230,1yx a a a-=+>≠过定点()4,2M，则1tan2α=，所以2122tan42tan211tan314aαα⨯===--，所以41tan2tan34an27441tan2tan14t3aaπαππ++⎛⎫+===-⎪⎝⎭--.故选：A17、已知函数()log14ay x=-+（0a>且1a≠）的图象恒过点A，且点A在角α的终边上，则22sin2cos2sinααα=-（）A．74-B．2-C．47D．47-【解析】根据对数函数的性质，易知点()2,4A，故tan2α=，所以22222sin22sin cos2tan4cos2sin cos2sin12tan7ααααααααα===----．故选：D．18、函数log(23)4ay x=-+过定点(,)m n，则函数logny x=的反函数是________．【解析】因为log10a=，所以231x-=，得2x=，此时4y=，所以定点的坐标为(2)4，，所以n=4，所以4log logny x x==，所以4logy x=的反函数为4xy=，故答案为：4xy=19、已知函数f（x）＝[log a（x+2）]+3的图象恒过定点（m，n），且函数g（x）＝mx2﹣2bx+n在[1，+∞）上单调递减，则实数b的取值范围是________.【解析】因为函数f （x ）＝[log a （x +2）]+3的图象恒过定点(1,3)-， 所以m =-1,n =3，所以g （x ）＝-x 2﹣2bx +3， 因为g （x ）＝-x 2﹣2bx +3在[1，+∞）上单调递减， 所以对称轴1x b =-≤，解得1b ≥-，故答案为：[)1,-+∞。
函数过定点问题的求法
函数过定点问题的求法函数过定点问题是数学中的一个重要问题，广泛应用于各个领域。
本文将详细介绍函数过定点问题的求解方法。
函数过定点问题是指在平面直角坐标系中，寻找函数图像上满足$f(x)=x$的点的问题。
其中，$f(x)$表示函数的表达式，$x$为自变量。
求解函数过定点问题的方法有多种，下面将逐一介绍。
一、图像法图像法是最直观的一种方法，通过绘制函数的图像，可以清楚地看出函数与$y=x$相交的点。
具体操作步骤如下：1. 根据给定的函数表达式$f(x)$，选择合适的自变量范围，在直角坐标系中绘制出函数的图像。
2. 绘制直线$y=x$，可以使用直尺或绘图软件辅助。
3. 在函数图像与直线$y=x$的交点处，即为函数过定点的解。
图像法的优点是直观易懂，适用于简单的函数。
但对于复杂函数来说，绘制图像可能会比较困难。
二、数值法数值法是一种近似求解函数过定点问题的方法，通过迭代计算，逐步逼近函数与$y=x$相交的点。
具体操作步骤如下：1. 首先，选择一个初始值$x_0$，可以根据函数的特点来选择。
2. 根据函数表达式$f(x)$，计算出$x_1=f(x_0)$。
3. 重复以上步骤，计算出$x_2=f(x_1)$，$x_3=f(x_2)$，依次类推，直到满足精度要求或达到迭代次数限制为止。
4. 最终得到的$x_n$即为函数过定点的近似解。
数值法的优点是适用于任意复杂的函数，但其精度受到迭代次数和初始值选择的影响。
为了提高精度，可以使用更高阶的数值算法，如牛顿法、二分法等。
三、解析法解析法是一种通过数学推导得到函数过定点解的方法，适用于特定类型的函数。
具体操作步骤如下：1. 根据函数表达式$f(x)$，将$f(x)=x$转化为等式$g(x)=0$的形式，其中$g(x)=f(x)-x$。
2. 根据等式$g(x)=0$，使用代数运算、方程求解等方法，求解出$g(x)$的根。
3. 根据求解得到的根，即可得到函数过定点的解。
二次函数图像过定点的研究
函数图像过定点的研究二、方法剖析与提炼例1.求证：拋物线y ＝(3－2定点，并求出定点的坐标．y ＝(3－k)x 2＋(k －2)x ＝3x 2－2x －1－kx 2＋kx ＋2k＝3x 2－2x －1－k( )(k≠3)，上式中令 ＝0，得x 1＝ ，x 2＝ . 将它们分别代入y ＝3x 2－2x －1－k(x 2－x －2)，解得y 1＝ ，y 2＝ ，把点(－1，4)、(2，7)分别代入y ＝3x 2－2x －1－k(x 2－x －2)，无论k 取何值，等式总成立，即点 、 总在抛物线y ＝(3－k)x 2＋(k －2)x ＋2k －1(k≠3)上，即拋物线y ＝(3－k)x 2＋(k －2)x ＋2k －1(k≠3)过定点(－1，4)、(2，7)．【解析】因为不论k 取何值，函数均过某定点，所以思考的方向是将k 前面的系数化为零，从而得到本题的解法。
另外，本题也可以任意取两个K 的值，然后列方程组，求解即可。
例2．（北京市西城区）无论m 为任何实数，二次函数的图像总过的点是（ ）A. （1，3）B. （1，0）C. （－1，3）D. （－1，0）m 妨设m=0和m=2。
则函数解析式变为：联立方程组解得把中，无论m 为何值，等式总成立。
所以，抛物线群中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。
故应选A 。
①令⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-+=-3102012y x y x x x 解得， 所以，无论m 为何值时， 恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。
故应选A 。
【解析】图像总过定点说明函数的取值与m 的取值无关，所以把m 看成元，其余看成常数进行重新化简整合，含m 项的系数为0得出关于x 、y 的方程（组）并求解。
另一种思考就是m 取不同的值得到不同的函数解析式求出公共点即可。
例3.已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y 轴的交点为（0，n ﹣m ），其顶点恰好在直线y=x+（1﹣m ）上（其中m 、n 为正数）．（1）求证：此二次函数的图象与x 轴有2个交点； （2）在x 轴上是否存在这样的定点：不论m 、n 如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：把（﹣，﹣）代入 得﹣+（1﹣m ）=﹣， 整理得m 2﹣mn+m ﹣n=0， ∵（m ﹣n ）（m+1）=0，∴m=n 或m=﹣1（舍去），∴二次函数的顶点坐标为 ，与y 轴的交点为 ，∵m 为 数，∴二次函数的顶点在第 象限，而抛物线过原点， ∴抛物线开口向上，∴此二次函数的图象与x 轴有2个交点；令y=0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标，△=b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数。
完整版函数图像过定点问题
函数图像过定点的研究题1：2＋(k－2)x＋2k(3求证：拋物线y＝－k)x－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x，y)；000第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总）过的点是（）0，1 31 C. 01B. ），（ A. 13 （，）（－，）（－D.巩固练习：2）﹣m）x+m的图象总是过定点为何实数，二次函数1．无论my=x（﹣（2 ）（﹣D． 1，0，10） C．（﹣1，3） 3 A．（1，） B．（2）1（a≠0），下列说法正确的有（ 2．对于关于x的二次函数y=ax）﹣（2a﹣1x﹣取何值，图象必过两定②无论取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；a①无论a的增大而减小；④当1时，y随x点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜ x轴所得的线段长度必大于2．a＜0时，函数图象截 4个．．3 个 D A ．1个 B． 2个C2（m≠0）的图象发现，随﹣2mx+33.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两着m ．个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________2的变化，这个二次函（m≠0）的图象发现，随着4．某数学小组研究二次函救y=mxm﹣3mx+2数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个．定点的坐标：_________2，则这个函数的图象一定经过某一个﹣c=2+bx+c满足by=x5．（2009?宜宾县一模）二次函数．定点，这个定点是 _________2．的图象总是过定点 _________ y=x）﹣（2﹣mx+mm6．无论为何实数，二次函数）在函数的图象12，1）图象不经过三、四象限；（2）点（．已知一个二次函数具有性质（7的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函x时，函数值y随自变量03上；（）当x＞ _________ ．数解析式：8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标2．（m是常数）－6x＋1y.9（南京2011年24题7分）已知函数=mx轴上的一个定点；m为何值，该函数的图象都经过y⑴求证：不论的值．轴只有一个交点，求m⑵若该函数的图象与x，﹣），与y轴的交点为（0．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，n﹣m），其顶点恰101（好在直线1y=x+﹣m）上（其中m、n为正数）．2（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．函数图像过定点的研究题1：2＋(k－2)x＋－k)x2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．求证拋物线y＝(3审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．解：整理抛物线的解析式，得2＋(k－2)x＋2k－1 y＝(3－k)x2－2x－1－kx2＋＝3xkx＋2k2－2x－1－k(x2 －＝3xx－2)(k≠3)，2－x－2＝0，得x＝－1，x＝上式中令x2. 2122－x－2)，－2x－1－将它们分别代入y＝3xk(x解得y＝4，y＝7，2122－x－2)1－k(x，3x(2，7)分别代入y＝－2x －4)把点(－1，、无论k取何值，等式总成立，2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，(3，7)总在抛物线y＝－k)x 4)即点(－1，、(22＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、－即拋物线y＝(3k)x(2，7)．归纳：第一步：对含有变系数的项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y的值y(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x，y)；000第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）A. （1，3）B. （1，0））0，1（－D. ）3，1（－ C.解法一、特殊值法依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。
专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题(原卷版)
专题3-1 二次函数中的10类定值、定点问题二次函数背景下的定值与定点问题，解析法类似于高中，但并不超纲！因为解题方法比较特殊，同学们要专门学习和练习，才能在考场上应对自如，这些方法包括联立、转化等，对同学们的代数功底与几何功底都有较高的要求.知识点梳理一、定值问题二、定点问题题型一 面积定值2022·山东淄博·中考真题2023·福建厦门三模题型二 线段长为定值2024届湖北天门市九年级月考2024届福建龙岩市统考期中2020·西藏·中考真题题型二 线段和定值2023广州市二中月考2022·四川巴中·中考真题2024届湖北黄石市·九年级统考2023·四川乐山·统考二模2023·海口华侨中学考模2023·江苏徐州·4月模拟2022·湖南张家界·中考真题题型三 加权线段和定值2023·四川广元·中考真题2020·四川德阳·中考真题题型四 线段乘积为定值2023·四川南充·中考真题2024届·武汉市东湖高新区统考2024届福建省福州屏东中学月考2024届福州市晋安区统考2023·福建福州·校考三模题型五 比值为定值2023年广西钦州市一模2023福建厦门一中模拟2023年福州市屏东中学中考模拟武汉·中考真题题型六 横（纵）坐标定值2023·湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田·中考真题2024届湖北潜江市初12校联考题型七 角度为定值2023·成都武侯区西川中学三模四川乐山·统考中考真题题型八 其它定值问题2023·浙江湖州·统考一模2024届福建省南平市统考2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型九 结合韦达定理求定点2023年湖北省武汉市外国语学校中考模拟2024届武汉市青山区九年级统考2024届武汉市新洲区12月统考2024届·福建厦门市第九中学期中2023·武汉光谷实验中学中考模拟2023广东省梅州市九年级下期中2024届福州市九校联盟期中2023年湖北省武汉市新观察中考四调题型十 已知定值求定点2024届武汉市洪山区九年级统考2024届湖北省武汉市新洲区九年级上期中2023年广州市天河外国语学校中考三模知识点梳理一、定值问题一般来说，二次函数求解几何线段代数式定值问题属于定量问题，方法采用:1.参数计算法：即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)作为参数,将要求的定值用参数表示出，然后消去参数即得定值。
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函数图像过定点得研究题1:求证:拋物线y＝（3－k)x2+(k－2）x+2k－１（ｋ≠3）过定点,并求出定点得坐标。
归纳:第一步:对含有变系数得项集中;第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数与常数得因式与一个只含x与常数得因式之积得形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量ｘ得方程（这时系数如何变化，都“失效”了)；第四步：解此方程,得到x得值x0(定点得横坐标），将它代入原函数式(也可以就是其变式)，即得到一个y 得值y0(定点得纵坐标）,于就是，函数图象一定过定点(x０，y0）；第五步：反思回顾,查瞧关键点、易错点，完善解题步骤．题2：(２001年北京市西城区中考题)无论m为任何实数，二次函数得图像总过得点就是( ）A、 (1，3)B、（1,０）Ｃ、(－1，３)ﻩD、 (—1，0）巩固练习:1.无论m为何实数，二次函数y=x2﹣(2﹣m）x＋m得图象总就是过定点（）Ａ。
ﻩ（1,３）ﻩB．（１，0）ﻩC. (﹣1，3） D. (﹣1，0）2.对于关于ｘ得二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）ｘ﹣１(a≠0),下列说法正确得有( ）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间得距离为；③当a〉0时,函数在ｘ〈1时，ｙ随x得增大而减小；④当a〈0时，函数图象截x轴所得得线段长度必大于2.A. 1个B．2个C。
３个D。
４个３、（２01２•鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mｘ２﹣2mx+3(ｍ≠０）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数得图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点，请您写出这两个定点得坐标：＿__＿_＿＿＿＿。
4。
某数学小组研究二次函救y=mx2﹣３mx+２(m≠0）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数图象得形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点。
请您写出这两个定点得坐标：__＿_____＿.5。
（2009•宜宾县一模)二次函数ｙ=x2+bx+c满足b﹣c＝2，则这个函数得图象一定经过某一个定点,这个定点就是 _＿_______ .６．无论ｍ为何实数，二次函数ｙ=ｘ2﹣(２﹣m）x+ｍ得图象总就是过定点＿_＿_＿___＿. ７．已知一个二次函数具有性质(１）图象不经过三、四象限；（２)点（2，1)在函数得图象上；（3)当x＞0时，函数值y随自变量x得增大而增大。
试写出一个满足以上性质得二次函数解析式： _＿__＿＿___ 。
8、证明无论m为何值，函数y＝mx-（４m—３）图像过定点,求出该定点坐标9、（南京201１年２４题７分)已知函数y＝ｍx２-6x+1(m就是常数)．⑴求证：不论m为何值，该函数得图象都经过y轴上得一个定点;⑵若该函数得图象与x轴只有一个交点，求ｍ得值．10.已知二次函数得顶点坐标为（﹣，﹣),与y轴得交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+(1﹣ｍ)上（其中m、n为正数）。
（1）求证:此二次函数得图象与x轴有2个交点；(2）在x轴上就是否存在这样得定点:不论m、ｎ如何变化，二次函数得图象总通过此定点？若存在,求出所有这样得点；若不存在，请说明理由.ﻬ函数图像过定点得研究题1:求证拋物线ｙ=(3—k)x2＋(k－2）x+2k—1（ｋ≠3）过定点,并求出定点得坐标.审题视角有些函数得图象具有过定点得性质,这就是由函数式中得一些系数得取值特点所决定得,例如，直线y=kx＋b(k≠0），当b确定时,无论k取不等于0得任何值,它总过定点（０，ｂ)；物线线y=ax２＋bx＋ｃ(ａ≠0），当c确定时，无论ａ、ｂ取何值,它总过定点（o,c）．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k得项组合于一组，赋值为零，可以求得自变量得值,而后代入函数解析式，再求得相对应得函数值，即得定点得坐标.解:整理抛物线得解析式，得y=（3－k)ｘ２+(k—２）x＋2ｋ—1=3x２－2x－1-ｋx2+kｘ＋2ｋ=3x2－２x－１-k(x2 -x-2）(k≠3）,上式中令x２－x-2＝０，得x１=－1，x2＝2、将它们分别代入ｙ=3ｘ２－2x－1－k(x2－ｘ－2)，解得y1＝４，y2＝7，把点(-1,4)、(2，7）分别代入y＝３ｘ２-２x－1—k（x２－x－2）,无论k取何值，等式总成立,即点(－1，4）、(2，７）总在抛物线ｙ=(3－k）x2+(ｋ－2)ｘ＋２k－1（k≠3）上,即拋物线y=（3－k)x2＋（k—2)ｘ＋2ｋ－1（k≠3)过定点（—1,4)、（2，7)。
归纳：第一步：对含有变系数得项集中；第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数与常数得因式与一个只含x与常数得因式之积得形式；第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x得方程（这时系数如何变化，都“失效"了）；第四步：解此方程，得到x得值x０（定点得横坐标），将它代入原函数式(也可以就是其变式），即得到一个y得值y0（定点得纵坐标），于就是，函数图象一定过定点（x０,y０）；第五步：反思回顾，查瞧关键点、易错点，完善解题步骤。
题２：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数,二次函数得图像总过得点就是（ )A、（1，３）ﻩﻩＢ、 (１，0）C、 (－1，3）ﻩﻩD、（—1，0)解法一、特殊值法依据:二次函数得图像随着ｍ得取值不同，它得位置也随之变化，可见这就是一个抛物线群。
如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中得某两条特殊得抛物线也必过这一定点.解：任意给m赋予两个特殊值，不妨设ｍ=0与ｍ=2.则函数解析式变为：.联立方程组解得把中,无论m为何值,等式总成立。
所以，抛物线群中所有得抛物线恒经过定点（1，3）。
故应选A。
解法二、变换主元法依据：一元一次方程得解有三种情形:(1）当a≠０时，方程有惟一解:；（2)当a=ｂ＝0时,方程得解为全体实数；（3）当ａ=0,b≠0时,方程无解.这里所求定点坐标与m得值无关，相当于关于m得一元一次方程am＝b（ａ、b为含ｘ、y得代数式）中,a＝b＝0时得情形。
解:将其二次函数整理变形为:①令所以，无论m为何值时,(1，3)恒满足①式，故该二次函数得图像恒过定点（1,3）.故应选A.巩固练习:1。
无论ｍ为何实数,二次函数y＝x2﹣（２﹣ｍ）x+m得图象总就是过定点( )A．ﻩ（1，3）ﻩＢ.ﻩ(１,0)ﻩC。
（﹣1，3）Ｄ. （﹣１,0)2．对于关于ｘ得二次函数y=ax2﹣(２ａ﹣1)ｘ﹣１（ａ≠0），下列说法正确得有（ )①无论a取何值,此二次函数图象与x轴必有两个交点; ②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间得距离为;③当a>０时,函数在x＜1时,ｙ随x得增大而减小；④当a＜0时，函数图象截ｘ轴所得得线段长度必大于2.A．1个B。
2个C。
3个D。
4个3、（２0１2•鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mｘ+3（ｍ≠0）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数得图象形状与位置均发生变化,但这个二次函数得图象总经过两个定点，请您写出这两个定点得坐标：_________ ．４.某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx＋２(m≠0）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数图象得形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点。
请您写出这两个定点得坐标: _＿_______ ．５．（2０09•宜宾县一模)二次函数y=x2+ｂx+c满足b﹣c=2，则这个函数得图象一定经过某一个定点,这个定点就是＿__＿＿____ ．6。
无论m为何实数，二次函数y=x2﹣(2﹣m）ｘ+m得图象总就是过定点_＿___＿___ ．７。
已知一个二次函数具有性质(1）图象不经过三、四象限；（2）点（２，1）在函数得图象上;(３）当x>0时，函数值ｙ随自变量ｘ得增大而增大。
试写出一个满足以上性质得二次函数解析式： _______＿_ ．8、证明无论m为何值，函数y=mx—(4m—3）图像过定点,求出该定点坐标9、已知函数ｙ=mx2－6x+１（m就是常数)．⑴求证:不论ｍ为何值，该函数得图象都经过y轴上得一个定点；⑵若该函数得图象与x轴只有一个交点，求m得值．解:⑴当x=0时，.所以不论为何值，函数得图象经过轴上得一个定点(0,１)。
⑵①当时,函数得图象与轴只有一个交点；②当时，若函数得图象与轴只有一个交点,则方程有两个相等得实数根，所以,.综上，若函数得图象与轴只有一个交点,则得值为０或9。
1１.已知二次函数得10、顶点坐标为(﹣,﹣),与y轴得交点为（0,ｎ﹣ｍ),其顶点恰好在直线ｙ＝x+(1﹣ｍ）上（其中m、n为正数）．（1)求证：此二次函数得图象与x轴有2个交点;(2）在x轴上就是否存在这样得定点:不论ｍ、n如何变化,二次函数得图象总通过此定点？若存在,求出所有这样得点;若不存在,请说明理由。
分析:(1)把二次函数顶点坐标代入代入y=x＋(１﹣m）得﹣+（1﹣m)=﹣，整理后利用因式分解得到（ｍ﹣n）(m+1)＝0，则m=ｎ或m=﹣1（舍去)，于就是二次函数得顶点坐标为(﹣,﹣），与y轴得交点为（0,0），由m为正数可判断二次函数得顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向上,由此得到此二次函数得图象与ｘ轴有2个交点；（2）由(1）得到抛物线得对称轴为直线x=﹣,抛物线与x轴得一个交点坐标为（0，０）,利用对称性得到抛物线与ｘ轴得另一个交点坐标为（﹣1，0)（1)证明:把(﹣，﹣)代入y=x＋(１﹣m）得﹣＋(1﹣m）=﹣,整理得m2﹣mn+m﹣ｎ＝0,∵(m﹣n）（m+1）=０,∴ｍ＝ｎ或ｍ＝﹣1（舍去）,∴二次函数得顶点坐标为(﹣,﹣)，与y轴得交点为(０，0),∵m为正数，∴二次函数得顶点在第四象限，而抛物线过原点，∴抛物线开口向上,∴此二次函数得图象与x轴有2个交点;（2）解：存在.∵抛物线得对称轴为直线ｘ=﹣，抛物线与x轴得一个交点坐标为(０,0），∴抛物线与x轴得另一个交点坐标为(﹣1，０),即不论m、n如何变化，二次函数得图象总通过点（﹣１，0）与（0，０）．反思：本题考查了抛物线与x轴得交点:求二次函数y=ax２＋ｂｘ+c（ａ,b，c就是常数,a≠0）与ｘ轴得交点坐标，令y=0,即ａx2+bｘ+ｃ＝0，解关于x得一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数ｙ＝aｘ2+bx ＋ｃ(a，b,c就是常数，a≠0)得交点与一元二次方程ａx2+ｂx+ｃ=０根之间得关系，△=ｂ2﹣4ａc决定抛物线与x轴得交点个数:△=b２﹣4ａc＞0时，抛物线与x轴有２个交点;△=ｂ2﹣４aｃ=0时，抛物线与x轴有１个交点;△=b2﹣4ac〈０时,抛物线与x轴没有交点.。