高中数学函数图象高考题

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高中数学-对数函数图像和性质及经典例题

高中数学-对数函数图像和性质及经典例题

对数函数的概念: 函数y 对数函数的图象和性质高中数学-对数函数图像和性质及经典例题第一部分:回顾基础知识点log a x(a 0,且a 1)叫做对数函数其中x是自变量,函数的定义域是(o, +3).在同一坐标系中画岀下列对数函数的图象;(1) y log 2 x (2)y log! x2(3)y log3x(4)y log i x3 ■0 5 -・图象特征函数性质a 10 a 1 a 10 a 1函数图象都在y轴右侧函数的定义域为(0,+x)图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点(1 , 1) 1 1自左向右看,图象逐渐上升自左向右看,图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0x 1, log a x 00 x 1, log a x 0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于00 x 1, log a x 0x 1, log a x 0 -1 --底数a是如何影响函数log a x 的.规律:在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大第二部分:对数函数图像及性质应用例1 •如图,A , B , C 为函数y log i x 的图象上的三点,它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t 1).2⑴设 ABC 的面积为S 。

求S=f (t ); ⑵判断函数S=f (t )的单调性;解:(1 )过A,B,C,分别作AAi,BB i ,CC i 垂直于x 轴,垂足为 Ai,B i ,C i ,则 S =S 梯形 AA i B i B +S 梯形 BB 1C 1C — S上是减函数,且 1<u“ 2 (x 23) 3 解:(1 )••• f(x -3)=lg2,(x 3) 3••• f(x)=lg x —3l t24t汽6log 3(1 J )t 2 4t2(2)因为v= t4t 在[1,)上是增函数,且v 5,梯形 AA i C i C.S log 3 u 在上是增函数,所以复合函数 S=f (t )Iog 3(1t 2上是减函数(3)由(2)知t =1 时,S 有最大值, 最大值是f (1) log 39 52 log3 59例2 .已知函数f(x -3)=lg2x x 26(1)f(x)的定义域;⑵判断f(x)的奇偶性;⑶求f(x)的反函数;⑷若f[ (x)]=lgx,求(3)的值。

高中数学 2.3.1幂函数的图像、性质与应用练习 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题

高中数学 2.3.1幂函数的图像、性质与应用练习 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题

【金版学案】2015-2016高中数学 幂函数的图像、性质与应用练习 新人教A 版必修1基础梳理1.形如y =x α(α∈R)的函数叫做________,其中α为常数,只研究α为有理数的情形.例如:函数y =x 2,y =x 4的幂函数,而函数y =2x 2不是幂函数.2.幂函数y =x ,y =x 12,y =x 2,y =x -1,y =x 3的图象,如下图所示.3.幂函数的性质.(1)过定点:y =x α恒过定点______.当α>0时,所有幂函数都过定点____________.(2)单调性:当α>0时,y =x α在(0,+∞)上单调____;当α<0时,y =x α在(0,+∞)上单调____.(3)奇偶性:当α为整数且为奇数时,y =x α为______;当α为整数且为偶数时,y =x α为______;当x 为分数时可将y =x α化为根式再判断. 基础梳理1.幂函数 3.(1)(1,1) (0,0)和(1,1) (2)递增 递减 (3)奇函数 偶函数,思考应用1.我们知道,形如y =x α(其中幂指数α是常数)的函数叫幂函数,而形如y =a x(其中a 是大于0且不为1的常数)的函数叫指数函数,那么指数函数与幂函数的区别在哪里?解析:这两个函数都具有幂指数m n 的形式,但幂函数y =x α中,自变量在底数的位置,而指数函数y =a x中,自变量在幂指数的位置,这两个函数的自变量所在的位置不同.2.从幂函数的形式:y =x α来看,它的表达式中只含有一个常数字母,确定一个待定系数通常只要一个条件.若已知幂函数y =x α过某个定点,你能确定这个幂函数吗?解析:一般来说,由幂函数y =x α所经过的定点,可以确定这个幂函数.但若只告诉幂函数过原点,那我们只能判断幂指数α>0;若只告诉幂函数过点(1,1),那告诉的这个点没有任何作用,因为所有的幂函数都过点(1,1);若只告诉幂函数过点(-1,1), 那我们只能判断这个幂指数的图象关于y 轴对称,这个幂指数是偶函数.除这三个点之外,由幂函数所经过的定点,可以确定这个幂函数的表达式.3.如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小?解析:作直线x =t (t >1),它与各幂函数图象相交,交点在第一象限,按交点从下到上的顺序,幂指数按从小到大的顺序排列.自测自评1.下列函数中,定义域是R 的是( )A .y =x -2B .y =x 12C .y =x 2D .y =x -12.下列四类函数中,具有性质“对任意的x >0,y >0,函数f (x )满足f (x +y )=f (x )f (y )”的是( )A .幂函数B .对数函数C .指数函数D .正比例函数3.已知幂函数f (x )的图象经过点(2,2),则f (4)=____ 自测自评1.解析:函数y =x -2,y =x -1的定义域为{x |x ∈R,x ≠0},函数y =x 12的定义域为{x |x ≥0},函数y =x 2的定义域为R.故选C.答案:C2.解析:本题考查幂的运算性质f (x )f (y )=a x a y =a x +y=f (x +y ). 答案:C3.解析:设f (x )=x n ,则2=2n,解得n =12.∴f (x )=x 12,f (4)=2.答案:2►基础达标1.下列所给出的函数中,属于幂函数的是( )A .y =-x 3B .y =x -3C .y =2x 3D .y =x 3-1 1.解析:由幂函数定义知选B. 答案:B2.已知函数:①y =x x ,②y =-x 2,③y =x 0,④y =2x ,⑤y =x 2+1,⑥y =x ,其中幂函数的个数是( )A .2个B .3个C .4个D .5个2.解析:由幂函数定义知③⑥是幂函数.故选A. 答案:A3.函数y =x -2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的最大值是( )3.解析:∵y =x -2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上是单调递减函数,∴当x =12时,y 有最大值4.答案:C A.14 B .-14C .4D .-44.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个值的大小:①2.334____2.434; ②0.3165____0.3565;③(2)-32____(3)-32; ④1.1-12____0.9-12.4.①< ②< ③> ④<5.下图是幂函数y =x m 和y =x n在第一象限内的图象,则( )A .-1<n <0<m <1B .n <-1,0<m <1C .-1<n <0,m >1D .n <-1,m >15.解析:利用幂函数图象的性质及图象的关系知n <-1,0<m <1.故选B. 答案:B6.(2013·某某卷)函数f (x )=x -12的大致图象是( )6.解析:∵y =x -12定义域为(0,+∞),故选A.答案:A7.求下列幂函数的定义域:(1)y =x 3;(2)y =x 13;(3)y =x 12;(4)y =x -2;(5)y =x -12.7.分析:含分数指数幂的要化归为根式的形式.解析:(1)y =x 3,定义域是R.(2)y =x 13=3x ,定义域是R.(3)y =x 12=x ,定义域是[0,+∞).(4)y =x -2=1x2,定义域是{x |x ∈R,且x ≠0}.(5)y =x -12=1x,定义域是(0,+∞).点评:考查函数的定义域要全面,如分母不为零,零次幂的底数不为零,偶次根号下不小于零,等等►巩固提高8.给出两个结论:(1)当α=0时,幂函数y =x α的图象是一条直线;(2)幂函数y =x α的图象都经过(0,0)和(1,1)点,则正确的判断是( ) A .(1)对(2)错 B .(1)错(2)对 C .(1)(2)都错 D .(1)(2)都对 8.C 9.C 4,C 2,C 3,C 19.如图所示的曲线是幂函数y =x α在第一象限内的图象,已知α分别取-1,1,12,2四个值,则相应图象依次为:____________.10.设f (x )=(a -3)x (a +1)(a -2),当a 为何值时,(1)f (x )为常数函数? (2)f (x )为幂函数? (3)f (x )为正比例函数?10.(1){3,-1,2} (2){4} (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1-132,1+1321.注意幂函数与指数函数的区别,幂函数中底数是自变量,指数函数中指数是自变量.2.将幂指式x nm 写成m x n可以看出x 的取值X 围.3.比较幂值的大小常利用相关函数的单调性.。

高中数学必修4三角函数常考题型正切函数的性质与图像

高中数学必修4三角函数常考题型正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像【知识梳理】1.正切函数的性质函数 y =tan x定义域 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π+π2,k ∈Z函数 y =tan x 值域 (-∞,+∞)周期 T =π 奇偶性 奇函数单调性在每个开区间⎝⎛⎭⎫k π-π2,k π+π2(k ∈Z )上都是增函数 2.(1)正切函数的图像:(2)正切函数的图像叫做正切曲线. (3)正切函数的图像特征:正切曲线是被相互平行的直线x =π2+k π,k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的.【常考题型】题型一、正切函数的定义域、值域问题【例1】 求下列函数的定义域和值域: (1)y =tan ⎝⎛⎭⎫x +π4;(2)y =3-tan x .[解] (1)由x +π4≠k π+π2(k ∈Z )得,x ≠k π+π4,k ∈Z ,所以函数y =tan ⎝⎛⎭⎫x +π4的定义域为xx ≠k π+π4,k ∈Z ,其值域为(-∞,+∞). (2)由3-tan x ≥0得,tan x ≤ 3.结合y =tan x 的图像可知,在⎝⎛⎭⎫-π2,π2上, 满足tan x ≤3的角x 应满足-π2<x ≤π3,所以函数y =3-tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π-π2<x ≤k π+π3,k ∈Z ,其值域为[0,+∞).【类题通法】求正切函数定义域的方法及求值域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y =tan x 有意义,即x ≠π2+k π,k ∈Z .而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图像求解.解形如tan x >a 的不等式的步骤:【对点训练】 求函数y =11+tan x的定义域.解:要使函数有意义,则有1+tan x ≠0, ∴tan x ≠-1,∴x ≠k π-π4且x ≠k π+π2,k ∈Z .因此,函数y =11+tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π-π4且x ≠k π+π2,k ∈Z .题型二、正切函数的单调性及应用【例2】 (1)求函数y =tan ⎝⎛⎭⎫12x -π4的单调区间; (2)比较tan ⎝⎛⎭⎫-13π4与tan ⎝⎛⎭⎫-12π5的大小. [解] (1)由k π-π2<12x -π4<k π+π2(k ∈Z )得,2k π-π2<x <2k π+3π2,k ∈Z ,所以函数y =tan ⎝⎛⎭⎫12x -π4的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π-π2,2k π+3π2(k ∈Z ). (2)由于tan ⎝⎛⎭⎫-13π4=tan ⎝⎛⎭⎫-4π+3π4=tan 3π4=-tan π4,tan ⎝⎛⎭⎫-12π5=-tan ⎝⎛⎭⎫2π+2π5=-tan 2π5, 又0<π4<2π5<π2,而y =tan x 在⎝⎛⎭⎫0,π2上单调递增, 所以tan π4<tan 2π5,-tan π4>-tan 2π5,即tan ⎝⎛⎭⎫-13π4>tan ⎝⎛⎭⎫-12π5. 【类题通法】1.求函数y =A tan(ωx +φ)(A ,ω,φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0,由于y =tan x 在每一个单调区间上都是增函数,故可用“整体代换”的思想,令k π-π2<ωx +φ<k π+π2,求得x 的范围即可.(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y =A tan(ωx +φ)转化为y =A tan [-(-ωx -φ)]=-A tan(-ωx -φ),即把x 的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x 的范围即可.2.运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 【对点训练】1.比较tan 1,tan 2,tan 3的大小.解:因为tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π).又因为π2<2<π,所以-π2<2-π<0.因为π2<3<π,所以-π2<3-π<0.显然-π2<2-π<3-π<1<π2,又y =tan x 在⎝⎛⎭⎫-π2,π2内是增函数, 所以tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1, 即tan 2<tan 3<tan 1.2.求函数y =3tan ⎝⎛⎭⎫π4-2x 的单调区间. 解:y =3tan ⎝⎛⎭⎫π4-2x =-3tan ⎝⎛⎭⎫2x -π4, 由-π2+k π<2x -π4<π2+k π得,-π8+k 2π<x <3π8+k2π(k ∈Z ), 所以y =3tan ⎝⎛⎭⎫π4-2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫-π8+k 2π,3π8+k 2π(k ∈Z ).题型三、与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【例3】 (1)求f (x )=tan ⎝⎛⎭⎫2x +π3的周期; (2)判断y =sin x +tan x 的奇偶性. [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x +π3+π=tan ⎝⎛⎭⎫2x +π3, 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π2+π3=tan ⎝⎛⎭⎫2x +π3, ∴f (x )=tan ⎝⎛⎭⎫2x +π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π+π2,k ∈Z ,关于原点对称, ∵f (-x )=sin(-x )+tan(-x )=-sin x -tan x =-f (x ), ∴它是奇函数.【类题通法】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略(1)一般地,函数y =A tan(ωx +φ)的最小正周期为T =π|ω|,常常利用此公式来求周期.(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f (-x )与f (x )的关系.【对点训练】关于x 的函数f (x )=tan(x +φ)有以下几种说法:①对任意的φ,f (x )都是非奇非偶函数;②f (x )的图像关于⎝⎛⎭⎫π2-φ,0对称;③f (x )的图像关于(π-φ,0)对称;④f (x )是以π为最小正周期的周期函数.其中不正确的说法的序号是________.解析:①若取φ=k π(k ∈Z ),则f (x )=tan x ,此时,f (x )为奇函数,所以①错;观察正切函数y =tan x 的图像,可知y =tan x 关于⎝⎛⎭⎫k π2,0(k ∈Z )对称,令x +φ=k π2得x =k π2-φ,分别令k =1,2知②、③正确,④显然正确.答案:①【练习反馈】1.函数y =tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠k π+π2,k ∈Z 的单调性为( ) A .在整个定义域上为增函数 B .在整个定义域上为减函数C .在每一个开区间⎝⎛⎭⎫-π2+k π,π2+k π(k ∈Z )上为增函数 D .在每一个开区间⎝⎛⎭⎫-π2+2k π,π2+2k π(k ∈Z )上为增函数 解析:选C 由正切函数的图像可知选项C 正确. 2.函数y =tan(cos x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤-π4,π4 B.⎣⎡⎦⎤-22,22 C .[-tan 1,tan 1]D .以上均不对解析:选C ∵-1≤cos x ≤1,且函数y =tan x 在[-1,1]上为增函数,∴tan(-1)≤tan x ≤tan 1.即-tan 1≤tan x ≤tan 1.3.函数y =5tan ⎝⎛⎭⎫-x2的最小正周期是________. 解析:T =π⎪⎪⎪⎪-12=2π.答案:2π4.函数y =3tan(π+x ),-π4<x ≤π6的值域为________.解析:函数y =3tan(π+x )=3tan x ,因为正切函数在⎝⎛⎭⎫-π2,π2上是增函数,所以-3<y ≤3,所以值域为(-3,3].答案:(-3, 3 ]5.求函数y =tan ⎝⎛⎭⎫12x -π6的定义域、周期及单调区间. 解:由12x -π6≠π2+k π,k ∈Z ,得x ≠4π3+2k π,k ∈Z ,所以函数y =tan ⎝⎛⎭⎫12x -π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3+2k π,k ∈Z .T =π12=2π,所以函数y =tan ⎝⎛⎭⎫12x -π6的周期为2π. 由-π2+k π<12x -π6<π2+k π,k ∈Z ,得-2π3+2k π<x <4π3+2k π,k ∈Z . 所以函数y =tan ⎝⎛⎭⎫12x -π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫-2π3+2k π,4π3+2k π(k ∈Z ).。

高中数学函数图象专题例题+练习

高中数学函数图象专题例题+练习

高中数学函数图象例1.作图:(1)y =a |x -1|,(2)y =log |(x -1)|a ,(3)y =|log a (x -1)|(a >1).例2.函数y =ln 1|2x -3|的图象为( )例3.函数f (x )=11+|x |的图象是( )例4.若函数y =(12)|1-x |+m 的图像与x 轴有公共点,则m 的取值范围是________.例5.已知函数f (x )=|x 2-4x +3|(1)求函数f (x )的单调区间,并指出其增减性;(2)若关于x 的方程f (x )-a =x 至少有三个不相等的实数根,求实数a 的取值范围.1、设10<<a ,在同一直角坐标系中,函数xa y -=与)(log x y a -=的图象是( )2、函数||log 2x y =的图象大致是 ( )3、当1>a 时,在同一坐标系中函数xa y -=与xy a log =的图像( )4、 .函数y =1-11-x 的图象是( )5、已知下图①的图象对应的函数为y =f(x),则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中,只可能是( )A .y =f(|x|)B .y =|f(x)|C .y =f(-|x|)D .y =-f(|x|)6、二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为( )7、下列函数图象中,函数y a a a x =>≠()01且,与函数y a x =-()1的图象只能是( )y y y yO x O x O x O xA B C D11118、当a ≠0时,函数y a x b=+和y b a x=的图象只可能是 ( )9.函数y=2x+1的图象是( )10、函数lg ||x y x=的图象大致是 ( )。

高中数学:指数函数的图像和性质练习及答案

高中数学:指数函数的图像和性质练习及答案

高中数学:指数函数的图像和性质练习及答案指数函数的图象与性质1.指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x在同一坐标系内的图象如图所示,则a、b、c、d的大小顺序是( )A.b<a<d<cB.a<b<d<cC.b<a<c<dD.b<c<a<d2.已知1>n>m>0,则指数函数①y=m x,②y=n x的图象为( )A.B.C.D.3.函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象可能是( )A.B.C.D.4.把函数y=f(x)的图象向左,向下分别平移2个单位,得到y=2x的图象,则f(x)的解析式是( ) A.f(x)=2x+2+2B.f(x)=2x+2-2C.f(x)=2x-2+2D.f(x)=2x-2-25.若关于x的方程|a x-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是( )A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,)6.已知函数f(x)=|2x-1-1|.(1)作出函数y=f(x)的图象;(2)若a<c,且f(a)>f(c),求证:2a+2c<4.指数函数的定义域7.已知函数f(x)的定义域是(1,2),则函数f(2x)的定义域是( ) A.(0,1)B.(2,4)C.(,1)D.(1,2)8.函数y=的定义域是________.指数函数的值域9.函数y=的值域为________.10.当x∈[0,1]时,函数f(x)=3x+2的值域为________.指数函数的性质11.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则( ) A.f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数12.关于指数函数,有下列几个命题:①指数函数的定义域为(0,+∞);②指数函数的值域是不包括1的;③指数函数f(x)=2x和f(x)=()x关于y轴对称;④指数函数都是单调函数.其中正确的命题有________(填写正确命题的序号).13.指数函数f(x)=a x(a>0,a≠1)对于任意的x1、x2∈R,都有f(x1)f(x2)________f(x1+x2).(填“>”,“<”或“=”)指数幂的大小比较14.a=与b=()5的大小关系是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.大小关系不定15.设<()b<()a<1,那么( )A.a a<a b<b aB.a a<b a<a bC.a b<a a<b aD.a b<b a<a a16.设函数f(x)定义在实数集上,且y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( ) A.f()<f()<f()B.f()<f()<f()C.f()<f()<f()D.f()<f()<f()指数方程的解法17.集合M={3,2a},N={a,b},若M∩N={2},则M∪N等于( )A.{0,1,2}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{1,2,3}18.方程2m·3n-3n+1+2m=13的非负整数解(m,n)=________.19.若方程()x+()x-1+a=0有正数解,则实数a的取值范围是________.指数不等式的解法20.已知不等式为≤3x<27,则x的取值范围( )A.-≤x<3B.≤x<3C.RD.≤x<21.已知f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是( ) A.a>0B.a>1C.a<1D.0<a<122.不等式<2-2x的解集是________.指数函数的单调性23.函数y=的递减区间为( )A.(-∞,-3]B.[-3,+∞)C.(-∞,3]D.[3,+∞)24.若函数y=(1-2a)x是实数集R上的增函数,则实数a的取值范围为( ) A.(,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,)D.(-,)25.已知函数f(n)=是增函数,则实数a的取值范围是( )A.(0,1)B.(7,8)C.[7,8)D.(4,8)26.函数y=的递增区间是________.27.已知函数f(x)=.(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值.指数函数的最值28.已知函数y=ax(a>1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为2,则实数a的值为( ) A.B.2C.3D.429.已知函数y=9x-2·3x-1,求该函数在区间x∈[-1,1]上的最大值和最小值.30.已知f(x)=9x-2·3x+4,x∈[-1,2].(1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值与最小值;(2)求f(x)的最大值与最小值.与指数函数相关的函数的奇偶性31.函数y=的图象( )A.关于原点对称B.关于直线y=-x对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)等于( )A.2B.C.D.a233.函数f(x)=k·a-x(k,a为常数,a>0且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8),(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=,试判断函数g(x)的奇偶性,并给出证明.答案1.指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x在同一坐标系内的图象如图所示,则a、b、c、d的大小顺序是( )A.b<a<d<cB.a<b<d<cC.b<a<c<dD.b<c<a<d【答案】A【解析】作直线x=1与各图象相交,交点的纵坐标即为底数,故从下到上依次增大.所以b<a<d<c.故选A.2.已知1>n>m>0,则指数函数①y=m x,②y=n x的图象为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】由1>n>m>0可知①②应为两条递减指数函数曲线,故只可能是选项C或D,进而再判断①②与n和m的对应关系,不妨选择特殊点,令x=1,则①②对应的函数值分别为m和n,由m<n知选C.故选C.3.函数y=a x-(a>0,且a≠1)的图象可能是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】当a>1时,y=a x-为增函数,且在y轴上的截距为0<1-<1,排除A,B.当0<a<1时,y=a x-为减函数,且在y轴上的截距为1-<0,故选D.4.把函数y=f(x)的图象向左,向下分别平移2个单位,得到y=2x的图象,则f(x)的解析式是( ) A.f(x)=2x+2+2B.f(x)=2x+2-2C.f(x)=2x-2+2D.f(x)=2x-2-2【答案】C【解析】y=2x向上,向右分别平移2个单位得f(x)的图象,所以f(x)=2x-2+2.5.若关于x的方程|a x-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是( )A.(0,1)∪(1,+∞)B.(0,1)C.(1,+∞)D.(0,)【答案】D【解析】方程|a x-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不相等的实数根转化为函数y=|a x-1|与y=2a有两个交点.①当0<a<1时,如图(1),∴0<2a<1,即0<a<.②当a>1时,如图(2),而y=2a>1不符合要求.综上,0<a<.6.已知函数f(x)=|2x-1-1|.(1)作出函数y=f(x)的图象;(2)若a<c,且f(a)>f(c),求证:2a+2c<4.【答案】(1)f(x)=其图象如图所示.(2)证明由图知,f(x)在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,故结合条件知必有a<1.若c≤1,则2a<2,2c≤2,所以2a+2c<4;若c>1,则由f(a)>f(c),得1-2a-1>2c-1-1,即2c-1+2a-1<2,所以2a+2c<4.综上知,总有2a+2c<4.7.已知函数f(x)的定义域是(1,2),则函数f(2x)的定义域是( )A.(0,1)B.(2,4)C.(,1)D.(1,2)【答案】A【解析】根据题意可知1<2x<2,则0<x<1,所以函数f(2x)的定义域是(0,1).8.函数y=的定义域是________.【答案】(-∞,]【解析】要使函数y=有意义,则必须()3x-1-≥0,即()3x-1≥()3,∴3x-1≤3,解得x≤.∴函数y=的定义域是(-∞,].故答案为(-∞,].9.函数y=的值域为________.【答案】[0,4)【解析】∵2x>0,∴0≤16-2x<16,则0≤<4,故函数y=的值域为[0,4).10.当x∈[0,1]时,函数f(x)=3x+2的值域为________.【答案】[3,5]【解析】因为指数函数y=3x在区间[0,1]上是增函数,所以30≤3x≤31,即1≤3x≤3,于是1+2≤3x+2≤3+2,即3≤f(x)≤5.11.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则( )A.f(x)与g(x)均为偶函数B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数C.f(x)与g(x)均为奇函数D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数【答案】B【解析】因为f(x),g(x)的定义域均为R,且f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x),所以f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,故选B.12.关于指数函数,有下列几个命题:①指数函数的定义域为(0,+∞);②指数函数的值域是不包括1的;③指数函数f(x)=2x和f(x)=()x关于y轴对称;④指数函数都是单调函数.其中正确的命题有________(填写正确命题的序号).【答案】③④【解析】①指数函数的定义域为R,故①错误;②指数函数的值域是(0,+∞),故②错误;③∵f(x)=()x=2-x,∴指数函数f(x)=2x和f(x)=()x关于y轴对称,故③正确;④当a>1时,y=ax是增函数;当0<a<1时,y=ax是减函数,所以指数函数都是单调函数,故④正确.故答案为③④.13.指数函数f(x)=a x(a>0,a≠1)对于任意的x1、x2∈R,都有f(x1)f(x2)________f(x1+x2).(填“>”,“<”或“=”)【答案】=【解析】∵对于指数函数f(x)=a x(a>0,a≠1),任意取x 1、x2∈R,有f(x1)f(x2)===f(x1+x2).故答案为=.14.a=与b=()5的大小关系是( )A.a>bB.a<bC.a=bD.大小关系不定【答案】A【解析】考察函数y=()x与y=()x知,前者是一个增函数,后者是一个减函数,∴>()0=1,()5<()0=1,∴>()5,即a>b,故选A.15.设<()b<()a<1,那么( )A.a a<a b<b aB.a a<b a<a bC.a b<a a<b aD.a b<b a<a a【答案】C【解析】∵<()b<()a<1,且y=()x在R上是减函数.∴0<a<b<1,∴指数函数y=a x在R上是减函数,∴a b<a a,∴幂函数y=x a在R上是增函数,∴a a<b a,∴a b<a a<b a,故选C.16.设函数f(x)定义在实数集上,且y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则有( ) A.f()<f()<f()B.f()<f()<f()C.f()<f()<f()D.f()<f()<f()【答案】B【解析】∵y=f(x+1)是偶函数,故函数的图象关于直线x=1对称,则f()=f(),f()=f(),又∵当x≥1时,f(x)=3x-1为增函数,且<<,故f()<f()<f(),即f()<f()<f(),故选B.17.集合M={3,2a},N={a,b},若M∩N={2},则M∪N等于( )A.{0,1,2}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{1,2,3}【答案】D【解析】因为2是它们的公共元素,所以2a=2,a=1,b=2,因此M∪N={1,2,3},选D.18.方程2m·3n-3n+1+2m=13的非负整数解(m,n)=________.【答案】(3,0),(2,2)【解析】方程2m·3n-3n+1+2m=13变形为3n(2m-3)+2m=13.(*)∵m,n为非负整数,∴当m=0,1时,经验证无解,应舍去.当m=2时,(*)化为3n+22=13,解得n=2.此时方程的非负整数解为(2,2).当m=3时,(*)化为5·3n+23=13,即3n=1,解得n=0.当m≥4时,2m-3≥13,左边>右边,(*)无非负整数解.综上可知:方程2m·3n-3n+1+2m=13的非负整数解(m,n)=(3,0),(2,2).故答案为(3,0),(2,2).19.若方程()x+()x-1+a=0有正数解,则实数a的取值范围是________.【答案】(-3,0)【解析】令()x=t,∵方程有正根,∴t∈(0,1).方程转化为t2+2t+a=0,∴a=1-(t+1)2.∵t∈(0,1),∴a∈(-3,0).20.已知不等式为≤3x<27,则x的取值范围( )A.-≤x<3B.≤x<3C.RD.≤x<【答案】A【解析】由题意可得≤3x≤33,再根据函数y=3x在R上是增函数,可得-≤x<3,故选A.21.已知f(x)=a-x(a>0,且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是( )A.a>0B.a>1C.a<1D.0<a<1【答案】D【解析】∵f(-2)=a2,f(-3)=a3.f(-2)>f(-3),即a2>a3,故0<a<1.选D.22.不等式<2-2x的解集是________.【答案】{x|x>3,或x<-1}【解析】原不等式化为<()2x,又y=()x为减函数,故x2-3>2x,解得{x|x>3,或x<-1}.23.函数y=的递减区间为( )A.(-∞,-3]B.[-3,+∞)C.(-∞,3]D.[3,+∞)【答案】B【解析】设u=(x+3)2,y=()u,∵u=(x+3)2在(-∞,-3]上递减,在[-3,+∞)上递增,而y=()u在R上递减,∴y=在[-3,+∞)上递减.24.若函数y=(1-2a)x是实数集R上的增函数,则实数a的取值范围为( )A.(,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,)D.(-,)【答案】B【解析】由题意知函数为指数函数,且为实数集R上的增函数,所以底数1-2a>1,解得a<0.25.已知函数f(n)=是增函数,则实数a的取值范围是( )A.(0,1)B.(7,8)C.[7,8)D.(4,8)【答案】D【解析】因为函数f(n)=是增函数,所以解得4<a<8.26.函数y=的递增区间是________.【答案】[2,+∞)【解析】函数y=的单调递增区间即为y=x2-4x+3的单调递增区间,∵y=x2-4x+3的单调递增区间为[2,+∞),故答案为[2,+∞).27.已知函数f(x)=.(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值.【答案】(1)a=1,得f(x)=,∵∈(0,1),∴f(x)的外层函数是一个递减的指数函数;令t=x2-4x+3,则其减区间为(-∞,2),增区间为(2,+∞).∴f(x)的增区间为(-∞,2),减区间为(2,+∞)(2)∵f(x)有最大值为3,∈(0,1),函数t=ax2-4x+3有最小值-1,∴函数t=ax2-4x+3在区间(-∞,)上是减函数,在区间(,+∞)上是增函数由此可得,a>0且f()==3,得-+3=-1,解之得a=1.综上所述,当f(x)有最大值3时,a的值为1.28.已知函数y=ax(a>1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之差为2,则实数a的值为( ) A.B.2C.3D.4【答案】B【解析】y=a x(a>1)在[1,2]上是增函数,最大值为a2,最小值为a1,所以a2-a1=2,解得a=2或a=-1(舍).29.已知函数y=9x-2·3x-1,求该函数在区间x∈[-1,1]上的最大值和最小值.【答案】令3x=t,∵-1≤x≤1,∴≤t≤3,∴y=t2-2t-1=(t-1)2-2(其中≤t≤3).∴当t=1时(即x=0时),y取得最小值-2,当t=3时(即x=1时),y取得最大值2. 30.已知f(x)=9x-2·3x+4,x∈[-1,2].(1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值与最小值;(2)求f(x)的最大值与最小值.【答案】(1)∵t=3x在[-1,2]是单调增函数,∴t max=32=9,t min=3-1=.(2)令t=3x,∵x∈[-1,2],∴t∈[,9],原方程变为:f(x)=t2-2t+4,∴f(x)=(t-1)2+3,t∈[,9],∴当t=1时,此时x=0,f(x)min=3,当t=9时,此时x=2,f(x)max=67.题组10 与指数函数相关的函数的奇偶性31.函数y=的图象( )A.关于原点对称B.关于直线y=-x对称C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称【答案】A【解析】设函数y=f(x)=,则此函数的定义域为R.f(-x)===-f(x),故函数是奇函数,故它的图象关于原点O对称,故选A.32.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a x-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)等于( )A.2B.C.D.a2【答案】B【解析】∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴由f(x)+g(x)=ax-a-x+2,①得f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,②①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-a-x.又g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x-2-x,∴f(2)=22-2-2=.33.函数f(x)=k·a-x(k,a为常数,a>0且a≠1)的图象过点A(0,1),B(3,8),(1)求函数f(x)的解析式;(2)若函数g(x)=,试判断函数g(x)的奇偶性,并给出证明.【答案】(1)由已知得∴k=1,a=,∴f(x)=2x.(2)函数g(x)为奇函数.证明:g(x)=,其定义域为R,又g(-x)===-=-g(x),∴函数g(x)为奇函数.。

高中数学-函数图像习题与解析39

高中数学-函数图像习题与解析39

课时作业(三十九)1.过抛物线y 2=8x 的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为()A .8B .16C .32D .642.直线y =kx -k 与抛物线y 2=2px (p >0)的公共点个数是()A .1B .2C .1或2D .可能为03.过点(0,1)与抛物线y 2=mx (m >0)只有一个公共点的直线有()A .1条B .2条C .3条D .由m 的取值确定4.若动点M (x ,y )到点F (4,0)的距离比它到直线x +5=0的距离小1,则点M 的轨迹方程是()A .x +4=0B .x -4=0C .y 2=8xD .y 2=16x5.过点(0,-2)的直线与抛物线y 2=8x 交于A ,B 两点,若线段AB 中点的横坐标为2,则|AB |等于()A .217 B.17C .215 D.156.已知F 是抛物线C :y 2=4x 的焦点,A ,B 是抛物线C 上的两个点,线段AB 的中点为M (2,2),则△ABF 的面积为________.7.已知动圆M 与直线y =2相切,且与定圆C :x 2+(y +3)2=1外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为________.8.抛物线C :y 2=2x 的焦点F 的坐标是________;经过点P (4,1)的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点,且点P 恰为线段AB 的中点,则|AF |+|BF |=________.9.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ,对称轴为x 轴,焦点为F ,抛物线上一点A 的横坐标为2,且FA →·OA →=16.(1)求抛物线的方程;(2)过点M (8,0)作直线l 交抛物线于B ,C 两点,求证:OB ⊥OC .10.设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系Oxy内的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M P到x轴的距离大1 2 .(1)求点P的轨迹方程;(2)若直线l:y=kx+1与点P的轨迹相交于A,B两点,且|AB|=26,求实数k的值.11.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在12.已知抛物线y2=4x的焦点为F,A(-1,0),点P是抛物线上的动点,则当|PF||PA|的值最小时,|PF|=()A.1B.2C.22D.413.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为________.14.已知△ABC的三个顶点都在抛物线E:y2=2x上,其中A(2,2),△ABC的重心G是抛物线E的焦点,则BC边所在直线的方程为________.15.【多选题】已知点M(1,0),直线l:x=-2.若某直线上存在点P,使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1,则称该直线为“最远距离直线”,则下列结论正确的是() A.点P的轨迹曲线是一条线段B.点P的轨迹是与直线l′:x=-1没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C.y=2x+6不是“最远距离直线”D.y=12x+1是“最远距离直线”16.过抛物线y 2=4ax (a >0)的焦点F ,作互相垂直的两条焦点弦AB 和CD ,求|AB |+|CD |的最小值.1.设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点M (-1,0)的直线在第一象限交抛物线于A ,B ,且满足AF →·BF →=0,则直线AB 的斜率k =()A.2 B.22 C.3 D.332.【多选题】已知直线l :3x -y -3=0过抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点F ,且与抛物线C 交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为M ,N ,则下列说法错误的是()A .抛物线的方程为y 2=4xB .线段AB 的长度为183C .∠MFN =90°D .线段AB 的中点到y 轴的距离为833.抛物线y =2x 2上两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称,且x 1x 2=-12,则m 等于()A.32B .2 C.52D .34.已知抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,直线l :x -2y -1=0与C 交于P ,Q (P 在x 轴上方)两点,若PF →=λFQ →,则实数λ的值为________.5.抛物线y 2=2px (p >0)有一内接直角三角形,直角的顶点在原点,一直角边的方程是y =2x ,斜边长是53,此抛物线方程为________.6.已知M (a ,2)是抛物线y 2=2x 上一定点,直线MP ,MQ 的倾斜角之和为π,且分别与抛物线交于P ,Q 两点,则直线PQ 的斜率为________.7.已知抛物线y2=4x,其焦点为F.(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程;(2)若互相垂直的直线m,n都经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点和C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.。

三次函数图像与性质(解析版)

三次函数图像与性质(解析版)

专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像,单调性,极值,最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式(1)一般式:()³²f x ax bx cx d =+++(a ≠0)(2)交点式:()123()()()f x a x x x x x x =---(a ≠0)1.若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====,则()3f =()A .38B .171C .460D .965【解析】待定系数法,求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++,则()232f x ax bx c '=++,由题意可得:()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+,解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩,则()3210123f x x x x =-+,所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容,其考点广泛且深入,主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。

以下是对三次函数常见考点的详细分析:1.三次函数的定义与形式∙定义:形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (其中a ≠=0)的函数称为三次函数。

∙形式:注意系数a ,b ,c ,d 的作用,特别是a 的正负决定了函数的开口方向(a >0开口向上,a <0开口向下)。

高中数学高考总复习三角函数的图像与性质习题及详解

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高中数学高考总复习三角函数的图像与性质习题及详解一、选择题1.(2010·枣庄模考)下列函数中,以π为最小正周期的偶函数,且在⎝⎛⎭⎫π2,π上为减函数的是( )A .y =sin2x +cos2xB .y =|sin x |C .y =cos 2xD .y =tan x[答案] B[解析] 由函数为偶函数,排除A 、D ;由⎝⎛⎭⎫π2,π上为减函数,排除C.2.(文)为了使函数y =sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值是( )A .98π B.1972π C.1992πD .100π[答案] B[解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期,∴4914·T =1974·2πω≤1,∴ω≥1972π,故选B.(理)有一种波,其波形为函数y =sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象,若在区间[0,t ](t >0)上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t 的最小值是( )A .3B .4C .5D .6 [答案] C[解析] ∵y =sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象在[0,t ]上至少有2个波峰,函数y =sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的周期T =4, ∴t ≥54T =5,故选C.3.(2010·深圳中学)函数y =lgsin ⎝⎛⎭⎫π6-2x 的单调递减区间是( ) A .[k π-π6,k π+π3](k ∈Z )B .[k π+π3,k π+5π6](k ∈Z )C .[k π-π6,k π+π12](k ∈Z )D .[k π+7π12,k π+5π6](k ∈Z )[答案] C[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π6-2x >0,∴sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6<0, ∴2k π-π<2x -π6<2k π,k ∈Z ,∴k π-5π12<x <k π+π12,k ∈Z ,又在(k π-5π12,k π-π6]上u =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6单减, 在[k π-π6,k π+π12)上,u =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6单增, ∴函数y =lg sin ⎝⎛⎭⎫π6-2x 的单调减区间为 [k π-π6,k π+π12),k ∈Z .4.(文)将函数y =sin x -3cos x 的图象沿x 轴向右平移a (a >0)个单位长度,所得函数的图象关于y 轴对称,则a 的最小值是( )A.7π6B.π2 C.π6D.π3[答案] C[解析] ∵y =sin x -3cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x -π3,经平移后函数图象所对应的函数解析式为y =2sin ⎝⎛⎭⎫x -a -π3,且其图象关于y 轴对称,∴-a -π3=π2+k π(k ∈Z ), ∴a min =π6.故选C.[点评] 考虑到偶函数的图象关于y 轴对称,又y =cos x 为偶函数,故可直接化y =sin x -3cos x =-2cos ⎝⎛⎭⎫x +π6,故只须向右平移π6个单位即可. (理)(2010·广东六校)已知函数y =A sin(ωx +φ)+m 的最大值是4,最小值是0,最小正周期是π2,直线x =π3是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( )A .y =4sin ⎝⎛⎭⎫4x +π6B .y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3+2 C .y =2sin ⎝⎛⎭⎫4x +π3+2 D .y =2sin ⎝⎛⎭⎫4x +π6+2 [答案] D[解析] 由函数最小正周期是π2,排除B 选项;由最大值为4,最小值为0可排除A 选项;由x =π3为其一条对称轴可知选D.5.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ),x ∈R (其中A >0,ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为π2,且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3,-2.则f (x )的解析式为( )A .f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6 B .f (x )=2cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6 C .f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3D .f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π3 [答案] A[解析] 由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3,-2得A =2. 由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得,T 2=π2,即T =π,∴ω=2πT =2ππ=2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3,-2在函数图象上得,2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3+φ=-2,即sin ⎝⎛⎭⎫4π3+φ=-1,故4π3+φ=2k π-π2,k ∈Z ,∴φ=2k π-11π6.又φ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴φ=π6, 故f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6. 6.(文)(2010·福建三明一中)函数f (x )=sin(ωx +φ)(x ∈R ,ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示,则( )A .ω=π2,φ=π4B .ω=π3,φ=π6C .ω=π4,φ=π4D .ω=π4,φ=5π4[答案] C[解析] 由图可知函数的最小正周期是8,根据最小正周期T =2πω可得ω=π4,排除A 、B ,再根据0≤φ≤2π且当x =1时y =1,可知φ=π4,故选C.(理)(2010·安徽马鞍山二中)函数f (x )=A sin(ωx +φ)+b 的图象如图所示,则f (1)+f (2)+…+f (2009)的值为( )A .2008 B.40172C .2009D.40192[答案] D[解析] 由f (x )的图象可以得到A =12,b =1,T =4,所以ω=π2,故f (x )=12sin(π2x +φ)+1,再由点⎝⎛⎭⎫1,32在f (x )的图象上,可得φ=2k π,k ∈Z , 所以f (x )=12sin πx2+1.所以f (1)=12+1,f (2)=0+1,f (3)=-12+1,f (4)=0+1,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=4,所以f (1)+f (2)+…+f (2009)=2008+f (2009)=2008+f (1)=40192.7.(2010·山东东营模考)函数f (x )=sin(ωx +φ)(|φ|<π2)的最小正周期为π,且其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数,则函数f (x )的图象( )A .关于点⎝⎛⎭⎫π12,0对称 B .关于直线x =5π12对称C .关于点⎝⎛⎭⎫5π12,0对称D .关于直线x =π12对称[答案] B[解析] ∵周期T =2πω=π,∴ω=2,将y =sin(2x +φ)的图象左移π6个单位后得到图象对应函数为y =sin[2(x +π6)+φ]=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3+φ为奇函数,∴φ=-π3,∴y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3,令2x -π3=k π+π2(k ∈Z )得,x =k π2+5π12,取k =0知x =5π12为其一条对称轴,故选B. 8.(2010·浙江金华十校)M 、N 是曲线y =πsin x 与曲线y =πcos x 的两个不同的交点,则|MN |的最小值为( )A .π B.2π C.3πD .2π [答案] C[解析] 其中与原点最近的两交点M ⎝⎛⎭⎫π4,2π2,N ⎝⎛⎭⎫5π4,-2π2,∴|MN |=3π.9.(文)已知函数f (x )=x ·sin x ,x ∈R .则f ⎝⎛⎭⎫-π4,f (1)及f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系为( ) A .f ⎝⎛⎭⎫-π4>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π3 B .f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫-π4 C .f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫-π4 D .f ⎝⎛⎭⎫π3>f ⎝⎛⎭⎫-π4>f (1) [答案] C[解析] ∵f (x )为偶函数,且在⎣⎡⎦⎤0,π2上为增函数, ∴f ⎝⎛⎭⎫-π4=f ⎝⎛⎭⎫π4,由于π3>1>π4, ∴f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π4=f ⎝⎛⎭⎫-π4,故选C. (理)已知函数f (x )满足f (x )=f (π-x ),且当x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2时,f (x )=x +sin x ,则( ) A .f (1)<f (2)<f (3) B .f (2)<f (3)<f (1) C .f (3)<f (2)<f (1) D .f (3)<f (1)<f (2) [答案] D[解析] ∵f (x )=f (π-x ), ∴f (x )的图象关于直线x =π2对称,由条件知,f (x )在⎝⎛⎭⎫-π2,π2上单调递增, ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2,3π2上单调递减,∵π2<2<π-1<3<3π2,∴f (2)>f (π-1)>f (3), ∴f (3)<f (1)<f (2).故选D.10.(2010·山东肥城联考)函数f (x )=2sin(ωx +φ)(其中ω>0,-π2<φ<π2)的图象如图所示,若点A 是函数f (x )的图象与x 轴的交点,点B 、D 分别是函数f (x )的图象的最高点和最低点,点C ⎝⎛⎭⎫π12,0是点B 在x 轴上的射影,则AB →·BD →的值是( )A .8B .-8 C.π28-8D .-π28+8[答案] C[解析] 由图可知T 4=π3-π12=π4,∴T =π,∴ω=2,由2·π3+φ=π知,φ=π3,从而A ⎝⎛⎭⎫-π6,0,B ⎝⎛⎭⎫π12,2,D ⎝⎛⎭⎫7π12,-2,AB →=⎝⎛⎭⎫π4,2,BD →=⎝⎛⎭⎫π2,-4,∴AB →·BD →=π28-8.二、填空题11.(文)(2010·山师大附中模考)将函数y =sin2x 的图象向左平移π4个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是________.[答案] y =2cos 2x [解析] y =sin2x 错误!y =sin2⎝⎛⎭⎫x +π4――→向上平移1个单位y =sin2⎝⎛⎭⎫x +π4+1, 即y =cos2x +1=2cos 2x .答案不惟一,只要结果可化为y =2cos 2x 的都正确.(理)(2010·福建莆田市质检)某同学利用描点法画函数y =A sin(ωx +φ)(其中A >0,0<ω<2,-π2<φ<π2)的图象,列出的部分数据如下表:y =A sin(ωx +φ)的解析式应是________.[答案] y =2sin ⎝⎛⎭⎫π3x +π6[解析] ∵(0,1)和(2,1)关于直线x =1对称,故x =1与函数图象的交点应是最高点或最低点,故数据(1,0)错误,从而由(4,-2)在图象上知A =2,由过(0,1)点知2sin φ=1,∵-π2<φ<π2,∴φ=π6,∴y =2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6,再将点(2,1)代入得, 2sin ⎝⎛⎭⎫2ω+π6=1, ∴2ω+π6=π6+2k π或2ω+π6=5π6+2k π,k ∈Z ,∵0<ω<2,∴ω=π3,∴解析式为y =2sin ⎝⎛⎭⎫π3x +π6.12.已知f (x )=sin(ωx +π3)(ω>0),f (π6)=f (π3),且f (x )在区间(π6,π3)上有最小值,无最大值,则ω=________.[答案]143[解析] ∵f (π6)=f (π3),∴sin(π6ω+π3)=sin(π3ω+π3),∴π3ω+π3=π6ω+π3+2k π (k ∈Z )① 或π3ω+π3=π-(π6ω+π3)+2k π (k ∈Z )② 由①得ω=12k ,∵ω>0,k ∈Z , ∴取k =1,ω=12,周期T =2πω=π6,故在(π6,π3)上既有最大值也有最小值,舍去.由②得ω=4k +23,∵ω>0,k ∈Z ,∴取k =1,ω=143,周期T =2π=3π7,满足题设要求.13.(2010·山师大附中模考)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式为________.[答案] y =2sin ⎝⎛⎫2x +π6[解析] 由图象最高点⎝⎛⎭⎫π6,2知A =2, 又T 4=5π12-π6=π4,∴T =π,∴ω=2, ∴y =2sin(2x +φ),将⎝⎛⎭⎫π6,2代入得2=2sin ⎝⎛⎭⎫π3+φ,∵|φ|≤π2,∴φ=π6,∴y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6. 14.(2010·上海大同中学模考)函数y =tan ⎝⎛⎭⎫π4x -π2的部分图象如图所示,则(OA →+OB →)·AB →=________.[答案] 6[解析] y =tan ⎝⎛⎭⎫π4x -π2=-cot π4x ,其周期T =ππ4=4,∴A (2,0),由-cot π4x =1及0<x <4得,x =3,∴B (3,1),∴OA →=(2,0),OB →=(3,1),AB →=(1,1), ∴(OA →+OB →)·AB →=(5,1)·(1,1)=6. 三、解答题15.(文)已知函数f (x )=(3sin ωx +cos ωx )cos ωx -12(ω>0)的最小正周期为4π.(1)求ω的值;(2)求f (x )的单调递增区间.[解析] (1)f (x )=3sin ωx cos ωx +cos 2ωx -12=32sin2ωx +12cos2ωx +12-12=sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π6 ∵T =2π2ω=4π,∴ω=14.(2)∵f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫12x +π6∵-π2+2k π≤12x +π6≤π2+2k π,k ∈Z∴-43π+4k π≤x ≤23π+4k π,k ∈Z∴f (x )的单调递增区间为[-4π3+4k π,2π3+4k π](k ∈Z ). (理)(2010·湖北黄冈)已知函数f (x )=2a cos 2x +b sin x cos x (a >0,b >0),f (x )的最大值为1+a ,最小值为-12.(1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )的单调递增区间. [解析] (1)f (x )=a (1+cos2x )+b2sin2x=a 2+b 24sin(2x +φ)+a ,由题设知a 2+b 24=1,a -a 2+b 24=-12,所以a =12,b = 3所以f (x )=32sin2x +12cos2x +12=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+12, 所以f (x )的最小正周期为π. (2)由2k π-π2≤2x +π6≤2k π+π2得,k π-π3≤x ≤k π+π6,k ∈Z所以f (x )单调增区间为[k π-π3,k π+π6](k ∈Z ).16.(文)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,向量m =(b,2a -c ),n =(cos B ,cos C ),且m ∥n .(1)求角B 的大小;(2)设f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫ωx -B 2+sin ωx (ω>0),且f (x )的最小正周期为π,求f (x )在区间[0,π2]上的最大值和最小值.[解析] (1)由m ∥n 得,b cos C =(2a -c )cos B , ∴b cos C +c cos B =2a cos B .由正弦定理得,sin B cos C +sin C cos B =2sin A cos B , 即sin(B +C )=2sin A cos B .又B +C =π-A ,∴sin A =2sin A cos B . 又sin A ≠0,∴cos B =12.又B ∈(0,π),∴B =π3.(2)由题知f (x )=cos(ωx -π6)+sin ωx=32cos ωx +32sin ωx =3sin(ωx +π6), 由已知得2πω=π,∴ω=2,f (x )=3sin(2x +π6),当x ∈[0,π2]时,(2x +π6)∈[π6,7π6],sin(2x +π6)∈[-12,1].因此,当2x +π6=π2,即x =π6时,f (x )取得最大值 3.当2x +π6=7π6,即x =π2时,f (x )取得最小值-32.(理)(2010·广东佛山顺德区检测)已知电流I 与时间t 的关系式为I =A sin(ωt +φ). (1)如图是I =A sin(ωt +φ)(ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象,根据图中数据求I =A sin(ωt+φ)的解析式;(2)如果t 在任意一段1100秒的时间内,电流I =A sin(ωt +φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?[解析] (1)由图可知A =300,周期 T =2×[1180-(-1900)]=175∴ω=2πT=150π.又当t =1180时,I =0,即sin ⎝⎛⎭⎫150π·1180+φ=0 而|φ|<π2,∴φ=π6.故所求的解析式为I =300sin(150πt +π6).(2)依题意,周期T ≤1100,即2π≤1100,(ω>0),∴ω≥200π>628,又ω∈N *,∴ωmin =629.17.(2010·湖北黄冈)已知a =(3,cos x ),b =(cos 2x ,sin x ),函数f (x )=a ·b -32. (1)求函数f (x )的单调递增区间;(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤0,π4,求函数f (x )的取值范围; (3)函数f (x )的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数?[解析] (1)函数f (x )=3cos 2x +sin x cos x -32 =3⎝⎛⎭⎫1+cos2x 2+12sin2x -32 =32cos2x +12sin2x =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3 ∴由-π2+2k π≤2x +π3≤π2+2k π,k ∈Z 得 -5π12+k π≤x ≤π12+k π,k ∈Z 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-5π12+k π,π12+k π,(k ∈Z ) (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π4,∴2x +π3∈⎣⎡⎦⎤π3,5π6 ∴当2x +π3=π2即x =π12时f (x )max =1 当2x +π3=5π6即x =π4时,f (x )min =12,∴12≤f (x )≤1. (3)将f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到y =sin2x 的图象,则其对应的函数即为奇函数.(答案不唯一)。

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函数图象B1 .函数y = a| x | (a > 1)的图象是( )
1 1 1
B()
A B C D
B3.当a>1时,函数y=log a x和y=(1-a)x的图象只可能是()
A4.已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示
则函数F(x)=f(x)·g(x)的图象可以是(A)
B5.函数(1)
||
x
xa
y a
x
=>的图像大致形状是()
D6.已知函数



>

=1
1
2
)
(
2
1x
x
log
x
x
f
x
,则f(1-x)的图象是()
x
y
y
y
y
1 -1 1 -1
x x
x o
o
o
o
x
)
(x
f
y=
y
O
x
)
(x
g
y=
y
O
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
D
O
x
y
O x
y
O
y
x
O
C
y
x
O
D
y
y y y
y
o x
y y y
o o o
x x x
A B C D
A
B
C
D
D 7.函数x x y cos -=的部分图象是( )
A 8.若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限,则函数f /(x)的图象是 ( )
A 9.一给定函数)(x f y =的图象在下列图中,并且对任意)1,0(1∈a ,由关系式)
(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*
1N n a a n n ∈>+,则该函数的图象是 ( )
A B C D
C 10.函数y=kx+k 与y=x k
在同一坐标系是的大致图象是( )
A 11.设函数f (x )=1-2
1x -(-1≤x ≤0)的图像是( )
x
y
o
A x
y
o D
x
y
o C
x
y
o B
x y
O x y
O x y
O x y
O
A 12. 当a >1时,在同一坐标系中,函数y =a -
x 与y =log a x 的图像( )
B 13. 函数1
1
1--=x y 的图象是( )
D 14.函数b
x a x f -=)(的图象如图,其中a 、b 为常数,则下列结论正确的是
( )
A .0,1<>b a
B .0,1>>b a
C .0,10><<b a
D .0,10<<<b a
C 15.设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图象如图,
则导函数)('x f 的图象可能是( ) (A )
(B )
(C )
(D )
16.奇函数y =f (x )(x ≠0),当x ∈(0,+∞)时,f (x )=x -1,则函数f (x -1)的图象为( D )
17.函数f (x )=log 2|x |,g (x )=-x 2+2,则f (x )·g (x )的图象只可能是( C )
x
y
O 1
1
(A)
x
y
O
11
(B)x
y
O -1
1
(C)
x
y
O
-1
1
(D)
18. 已知函数y =f (x )是偶函数,y =g (x )是奇函数,它们的定义域为[-π,π],且它们在x ∈[0,π]上的图象如下图所示,则不等式
)
()
(x g x f >0的解集为( D ) A.(-
3π,0)∪(3π,π) B.(-π,-3π)∪(3π
,π) C.(-4π,0)∪(4π,π) D.(-π,-3π)∪(0,3
π)。

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