高一数学函数的图象
§2.7函数的图象1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数的解析式．(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)．(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )．②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )．③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )．④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换①y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )．(4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？提示f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．2．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(x)，g(x)的关系是g(x)＝2b－f(2a －x)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(×)(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)(3)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(×)(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(√)题组二教材改编2．函数f(x)＝x＋1x的图象关于()A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称答案C解析函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选C.3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________．(填序号)答案③解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是__________．答案(－1,1]解析在同一坐标系内作出y＝f(x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三易错自纠5．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()答案A解析依题意，得函数定义域为R，且f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A. 6．(多选)若函数y＝a x＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有()A．a>1B．0<a<1C．b>0D．b<0答案AD解析因为函数y＝a x＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，所以其大致图象如图所示．由图象可知函数为增函数，所以a>1，当x＝0时，y＝1＋b－1＝b<0，故选AD.7．将函数f(x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图象的函数解析式为________．答案y＝(2x＋3)2作函数的图象分别作出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解(1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．函数图象的辨识例1(1)(2019·武汉质检)函数f (x )＝(2x ＋2－x )ln|x |的图象大致为()答案B 解析∵f (x )定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝(2－x ＋2x )ln|－x |＝(2x ＋2－x )ln|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当x ∈(0,1)时，2x ＋2－x >0，ln|x |<0，可知f (x )<0，排除A ，C.(2)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝－|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)答案C 解析题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．跟踪训练1(1)函数f (x )＝21＋e x －1·sin x 的图象的大致形状为()答案A 解析∵f (x )＝21＋e x －1x ，∴f (－x )21＋e －x －1·sin(－x )＝－2e x 1＋e x －1x 21＋e x －1·sin x ＝f (x )，且f (x )的定义域为R ，∴函数f (x )为偶函数，故排除C ，D ；当x ＝2时，f (2)21＋e 2－1·sin 2<0，故排除B ，只有A 符合．(2)(2019·贵州七校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e x xC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x 答案A 解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.函数图象的应用命题点1研究函数的性质例2(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是()A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案C解析将函数f (x )＝x |x |－2x去掉绝对值，得f (x )2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图所示，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设y ＝max{2x ,2x －3,6－x }，则y 的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．6答案C 解析画出y ＝max{2x ,2x －3,6－x }的示意图，如图所示．由图可知，y 的最小值为22＝6－2＝4，故选C.命题点2确定零点个数、解不等式例3已知f (x )x |，x >0，|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案5解析方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.对本例中函数f (x )，不等式f (x )≤1的解集为________．答案x |x ＝0或110≤x ≤10解析由图象可知f (0)＝1，当110≤x ≤10时，f (x )≤1.∴不等式f (x )≤1x |x ＝0或110≤x ≤10命题点3求参数的取值范围例4(2020·唐山月考)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是__________．答案12，1解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为12，1若f (x )>g (x )恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案－1，12解析如图作出函数f (x )的图象，当－1≤k <12时，直线y＝kx的图象恒在函数y＝f(x)的下方．思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值答案C解析画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．(2)使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是______．答案(－1,0)解析在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．(3)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．1．(2019·山东师范大学附属中学月考)函数y ＝log 2|x |的图象大致是()答案C 解析函数y ＝log 2|x |为偶函数，作出x >0时y ＝log 2x 的图象，再作其关于y 轴对称的图象即得，故选C.2．已知函数f (x )3x ，x ≤1，13log x，x >1，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是()答案D解析方法一先画出函数f (x )3x ，x ≤1，13log x，x >1的草图，令函数f (x )的图象关于y 轴对称，得函数f (－x )的图象，再把所得的函数f (－x )的图象，向右平移1个单位，得到函数y ＝f (1－x )的图象(图略)，故选D.方法二由已知函数f (x )的解析式，得y ＝f (1－x )31－x ，x ≥0，13log (1)x ，x <0，故该函数过点(0,3)，排除A ；过点(1,1)，排除B ；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.3．将函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )等于()A ．e x＋1B ．e x －1C ．e－x ＋1D ．e －x －1答案D 解析与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x ，将函数y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图象，∴y ＝f (x )＝e－(x ＋1)＝e －x －1.4．(2019·衡水中学调研卷)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案C 解析∵y ＝lg x ＋310lg(x ＋3)－1.∴选C.5．(2020·佛山质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是()A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案A 解析当x >0时，f (x )＝1－2－x >0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )<－12的解集和f (x )>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1，即x >1，则f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.6．函数f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A ．a >0，b >0，c >0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0答案C 解析由f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2及图象可知，x ≠－c ，－c >0，则c <0.当x ＝0时，f (0)＝b c2>0，所以b >0，当y ＝0时，ax ＋b ＝0⇒x ＝－b a>0.7．(多选)关于函数f (x )＝|ln|2－x ||，下列描述正确的有()A ．函数f (x )在区间(1,2)上单调递增B ．函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2＝4D ．函数f (x )有且仅有两个零点答案ABD 解析函数f (x )＝|ln|2－x ||的图象如图所示，由图可得，函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，B 正确；若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2的值不一定等于4，C 错误；函数f (x )有且仅有两个零点，D 正确．8．(多选)(2019·河南浉河区校级月考)将函数f (x )的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得到奇函数g (x )的图象，则下列函数f (x )不能满足条件的是()A ．f (x )＝1x ＋1B ．f (x )＝e x －1－e 1－x C ．f (x )＝x ＋2xD ．f (x )＝log 2(x ＋1)＋1答案ACD 解析由题意知，f (x )必须满足两个条件：①f (1)＝0，②f (1＋x )＝－f (1－x )．对于选项A ，C ，D ，f (1)均不为0，不满足条件；对于选项B ，f (1)＝e 0－e 0＝0，f (1＋x )＝e x －e －x ，f (1－x )＝e －x －e x ＝－f (1＋x )．9．已知函数f (x )πx ，0≤x ≤1，2020x ，x >1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是__________．答案(2,2021)解析函数f (x )πx ，0≤x ≤1，2020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2020，所以2<a ＋b ＋c <2021.10．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是__________．答案－13，解析由题意作出f (x )在[－1,3]上的图象如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象在[－1,3]内有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.11．(2020·济南模拟)设a 为实数，且1<x <3，试讨论关于x 的方程x 2－5x ＋3＋a ＝0的实数解的个数．解原方程即a ＝－x 2＋5x －3.作出函数y ＝－x 2＋5x －3＋134(1<x <3)的图象，得当a >134或a ≤1时，原方程的实数解的个数为0；当a ＝134或1<a ≤3时，原方程的实数解的个数为1；当3<a <134时，原方程的实数解的个数为2.综上，a >134或a ≤1时有0个解；a ＝134或1<a ≤3时有1个解；3<a <134时有2个解．12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，即原方程有两个实数解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的图象可能是()答案B 解析函数f (x －1)的图象向左平移1个单位长度，即可得到函数f (x )的图象；∵函数f (x －1)是定义在R 上的奇函数，∴函数f (x －1)的图象关于原点对称，∴函数f (x )的图象关于点(－1,0)对称，排除A ，C ，D ，选B.14．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )－x －1，x ≤0，(x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则实数a 的取值范围为________．答案(－∞，1)解析当x ≤0时，f (x )＝2－x －1,0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x －1)＝2－(x －1)－1.故x >0时，f (x )是周期函数，如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．15．(2020·广州月考)函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，其图象上任一点P (x ，y )满足x 2－y 2＝1，则给出以下四个命题：①函数y ＝f (x )一定是偶函数；②函数y ＝f (x )可能是奇函数；③函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上单调递增；④若y ＝f (x )是偶函数，其值域为(0，＋∞)．其中正确的序号为________．答案②解析由题意可得，函数y ＝f (x )的图象是双曲线x 2－y 2＝1的一部分．由函数的定义可知，该函数的图象可能是如图所示的四种情况之一．其中，图(1)(4)表示的函数为偶函数，图(2)(3)表示的函数是奇函数，所以命题②正确，命题①错误；由图(2)(4)可知函数y ＝f (x )可以在区间(1，＋∞)上单调递减，故命题③错误；由图(4)可知，该函数的值域也可能为(－∞，0)，所以命题④错误．综上可知，填②.16．已知函数f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数k 的取值范围．解对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是－∞，74∪94，＋∞。
高一数学指数函数ppt课件
与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
4.11高一数学正弦函数的性质和图像
六、例 题 讲 解
例1：用五点法画出函数的简图 y=1+sinx, x∈[0，2π] ： ∈ ，
分析：利用五点法画正弦函数y=sinx的图像 分析：利用五点法画正弦函数 的图像 π π ) π ， 五个关键点是： 五个关键点是：(0,0) ( 2 ,1) (π,0) (32 ,−1 (2π,0)， π
二.正弦函数的图像 正弦函数的图像
在画正弦函数图像时,我们可以先画 在画正弦函数图像时,我们可以先画 上的正弦函数的图像,再利 出[ 0, 2π ] , 上的正弦函数的图像 再利 用周期性将其延拓到整个定义域上. 用周期性将其延拓到整个定义域上
正弦函数的图象
用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ 描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？
练习: 练习: 用单位圆中正弦线表示正弦的方法 π π 作出点 ( ， ) sin 3 3
y
P
( ,sin ) 3 3
A O
π
π
O1 M
π 6
π 2
π
X
仿上例可以作出 y=sinx , 2π]的图象 x∈[0, 2π]的图象
四、几何法作图
用正弦线作正弦函数 用正弦线作正弦函数 的图象
y = sin x( x ∈[0,2π ])
π
2
2
,1 )
最低点： 最低点： (3π ,−1 ) 轴的交点： 与x轴的交点： (0, 0) 轴的交点
(π , 0) (2π ,0)
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这 个点画出函数 在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 的简图，一般把这种画图方法叫“五点法画图” 的简图，一般把这种画图方法叫“五点法画图”。
回忆单位圆中正 弦函数的定义
5-4-1正弦函数、余弦函数的图象 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3
2
2
x -4
-3
-2
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
在函数 = ，
∈［0,2π］的图象上，以下五个点： 2
0,0 ， ，1 ， ，0
2
3
， − 1 ，（2，0）
2
y
1
o
2
3
2
2
x
1
在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数 = ， ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．因
y
1
O
-1
1
y
2
3 2
π
5 2π
2 3
0
，
3
x
5
，
2
3
例3
求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x 的定义域.
2
sin x>0，
解析：由题意，得 x 满足不等式组
2
16－x ≥0，
－4≤x≤4，
即
作出 y＝sin x 的图象，如图所示.
3.注意与诱导公式、三角函数定义等知识的联系；
4.巩固图象变换的规律：对自变量x“左加右减”，对函数值f(x) “上加下减”.
布置作业
课后习题1、2
余弦函数的“五点画图法”
x
cosx
y
0
2
1
0
-1
1
o
3
2
2
0
1
y=cosx，x[0, 2]
高一数学周期函数的图像与性质
WPS,a click to unlimited possibilities
汇报人：WPS
周期函数的定 义
周期函数的图 像
周期函数的性 质
周期函数的应 用
周期函数的扩 展知识
周期函数的定义
周期函数的定义
周期函数：在 一定区间内， 函数值按照一 定的周期重复
出现的函数
周期函数的性质
最小正周期
定义：周期函 数的最小正周 期是指函数图 像重复出现的 最小时间间隔
性质：周期函 数的最小正周 期是函数图像 重复出现的最
小时间间隔
计算方法：最 小正周期可以 通过函数表达 式中的系数和 常数项来确定
应用：最小正 周期在解决实 际问题中具有 重要意义，如 周期性运动、 周期性变化等
三角函数与矩阵的关系
三角函数与矩阵的关系：三角函数 可以通过矩阵来表示
矩阵性质：矩阵具有一些特殊的性 质，如对称性、正交性等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
矩阵表示：三角函数可以通过矩阵 乘法来实现
矩阵运算：三角函数可以通过矩阵 运算来实现，如加法、乘法、求逆 等
感谢观看
汇报人：WPS
周期函数的图像
正弦函数和余弦函数的图像
正弦函数：图像是一条正弦曲 线，周期为2π
余弦函数：图像是一条余弦曲 线，周期为2π
正弦函数和余弦函数的图像都 是周期函数，具有周期性
正弦函数和余弦函数的图像都 可以通过旋转得到其他周期函 数的图像
三角函数图像的变换
平移变换：改变函数图像的位 置
伸缩变换：改变函数图像的大 小
信号压缩：通过傅里叶变换进行信号压缩， 减少数据量
高一数学正切函数的图像和性质
4.10 正切函数的图像和性质
小结：
（1）y tan x 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得 ， 上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 2 2
（2） y tan x 性质: 定义域 值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性 对 称 中心 渐近线 方程
是它的一个周期． ∴ y tan x 是周期函数，
y tan x x 利用正切线画出函数 ， ， 的图像: 2 2
几何画板演示
4.10 正切函数的图像和性质
结合正切函数图像研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、 正切函数的性质： 奇偶性和单调性． ⑤单调性 : ②值域： ⑥渐近线： R 奇函数．正切曲线关于原点 O 对称． ④奇偶性： x x k ， k Z ①定义域： 2 tan x x k， k k (k Z ) 内都是增 k（x k Z x 小于 正切函数在每个开区间 当 ）且无限接近于 时， k 渐近线方程是： ， k Z 正切函数是周期函数，周期是 ． 2 Z )，都有 2 2 tan ( k x tan x ， k， k ∵任意 x 2 2 2 2 tan x 当 x 大于 k(k Z)且无限接近于 k 时， 函数． 2 2 ∴正切函数是奇函数．
且 0 ）相交的相邻两点间的距离是（ C ） 2 B C A． D．与 a 值有关 tan x 0是的 x 0 （2） （ D） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（3）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 x 集合 3 tan x 1 ① ② 1 tan x 0 3 x k x k ， k Z x k x k ， k Z 6 4 4 2
高一数学正切函数的图像与性质课件
90 167 173 180
0 0
0
tan167 tan173
说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。
例题分析
例 2. 求函数y tan( x
3 3
A
0
3
X
y tan x x 利用正切线画出函数 ， ， 的图像: 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。 作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线 ， ， ， ， ， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线
90 167 173 180
0 0 0
4
0
5
2 tan tan 4 5 11 13 tan( ) tan( ). 4 5
例题分析
例1、比较下列每组数的大小。
(1)tan167 与 tan173
解:
0 0 0
o
o
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
补充练习
1. 已知
a tan1, b tan 2, c tan 3, 则( c )
B.c<b<a C .b<c<a D. b<a<c
A.a<b<c
2.求y (tan x)2 4 tan x 1 的值域； -5,+
3. 已知 是三角形的一个内角，且有 tan 1, 则的取值范围是 ( c )
解: (1)
11 (2) tan( ) tan , tan( 13 ) tan 2 4 4 5 5 2 又y tan x在 0， 0 , 是增函数 2 4 5 2
高一数学备课课件正弦函数余弦函数的图象
CHAPTER 05
图形变换及应用
平移变换
平移变换定义
将函数的图象在直角坐标系中沿x轴或y轴方向移动一定的距离，得到新的函数图象。
正弦函数、余弦函数的平移变换规律
过程与方法
通过观察和实验，理解正 弦函数、余弦函数的图象 形状和变化规律，培养数 形结合的思想方法。
情感态度与价值观
感受数学与生活的联系， 体会数学的应用价值，培 养学习数学的兴趣和热情 。
教学内容
正弦函数、余弦函数 的定义域、值域、周 期性等基本性质。
利用正弦函数、余弦 函数的图象解决简单 的实际问题。
对称变换
对称变换定义
将函数的图象在直角坐标系中关于某条直线或某个点进行对称，得到新的函数图象。
正弦函数、余弦函数的对称变换规律
正弦函数、余弦函数的图象关于原点对称，也关于直线x=kπ+π/2（k∈Z）对称。即 函数y=sin(x)或y=cos(x)的图象关于原点对称，得到y=-sin(x)或y=-cos(x)的图象；关
求函数的解析式； 求函数的递增区间；
求使$y leqslant 0$的$x$的取值范围。
例题一：利用正弦、余弦函数图象求解析式
解析
由题意知，函数的周期为$T = 4 times (frac{pi}{3} - frac{pi}{12}) = pi$，从而得到$omega = frac{2pi}{T} = 2$。
例题一：利用正弦、余弦函数图象求解析式
又因为函数的最大值为5，所以振幅 $A = 5$。
所以函数的解析式为$y = 5sin(2x frac{pi}{6})$。
高一数学正弦余弦函数图像
2
-
4
-
6
-
x
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在……， 4 ,2 , 2 ,0, 0,2 , 2 ,4 , …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同
-
二、余弦函数y=cosx的图象
y
余弦曲线
1
2 , 0)
3 ( , 0) 2
与x轴的交点： (
-
； / 五莲红
bgk839utb
那个送莫艳艳回家的男士不是别人，正是司空阳宇，即使时隔十年，她再一次正面碰见那个男子，她还是一眼就将他认了出来。 敲门声响起的时候她正在洗脸，一边喊了几句“来了、来了”一边快快的去开门。 莫艳艳正倚在那位长相看起来十分清秀的男士的身上，整个人都是一副娇弱无力的样子，孤独晓寂从来不曾如那样一刻、那般 的讨厌起那个看起来总是轻而易举的就能卖弄风骚的莫艳艳。她怔怔的看着那位男士，可惜那个男子并不认识她，只是礼貌的 开口“你是她室友吗，那现在麻烦你把她扶回去吧！”。 孤独晓寂不知道自己是如何接手莫艳艳的，她只觉得那样的莫艳艳让她觉得很厌恶，她从来没有过的一种厌恶。她一瞬不瞬的 看着司空阳宇的背影消失在楼道之后，便将莫艳艳扶回了家门，似丢垃圾般将她直接推向了就近的沙发。然后，把自己锁进房 中，心疼到不知所以的流下泪来，这世上、果然所有的男士都是喜欢莫艳艳那类的娇媚女人么？ 莫艳艳不耐烦的敲她的门“孤独晓寂，你给我出来，你在闹什么别扭，怎么总是那么自以为是，你为何不问问我、那个男人是 谁？” 孤独晓寂嫌烦的捂住了耳朵，她现在不想听到莫艳艳的声音，更不想看到那样的一个人！ 莫艳艳不死心的一遍遍的拍打她的房门，她还不信了，孤独晓寂烦不甚烦的时候终于开了门，莫艳艳一把将她拽了出来，她费 了很大的劲才将孤独晓寂拽了出来，她堵在孤独晓寂的门口，不屑的看了孤独晓寂一眼“至于吗你，我是跟他做了什么了吗？ 至于反应那么大吗？你不过是暗恋他十年而已，况且他又不认识你，我们、我们是实实在在的认识了二十多年的姐妹，姐妹， 知道吗” 孤独晓寂听她讲出这样的话，心里还是因为司空阳宇而难过到忍不住落下泪来，却不曾开口说出一个字。
高一数学正切函数的图像和性质(教学课件201911)
高一数学对数函数的图像和性质
例3 比较下列各组中两个值的大小: ⑴ log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 . 提示 : log aa＝1 提示: log a1＝0 解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1 log76＜log77＝1
⑵ ∵
log3π＞log31＝0
log20.8＜log21＝0
例7 人们早就发现了放射性物质的衰减现象。 在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代， 已知放射性物质的衰减服从指数规律：C（t）=C0 e –r t ， 其中t表示衰减的时间， C0 放射性物质的原始质量， C（t）表示经衰减了t年后剩余的质量。为了计算衰减的年代， 通常给出该物质衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期， 14C的半衰期大约为5730年，由此可确定系数r。 人们又知道，放射性物质的衰减速度与质量成正比。 1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurbi 王朝字样的木炭， 当时测定，其14C分子衰减速度为4.09个（g/min）, 而新砍伐烧成的木炭中14C分子衰减速度为6.68个（g/min）, 请估算出Hammurbi 王朝所在年代。
思考交流 （1）根据下表的数据（精确到0.01）， 画出函数y=㏒2X y=㏒3X和y=㏒5X的图象并观察图象， 说明三个函数图象的相同与不同之处。
x
y=㏒2X y=㏒3X
y=㏒5X
… …
0.5
1
1.5
2
3
4
…
1000
-1
0
0.58 1
1.58 2 1.26
… …
…
9.73 6.29
4.29
… …
解
14C的半衰期
为5730年，所以建立方程
1/2=e-5730r 解得r=0.000121,由此可知14C的衰减服从指数型函数 C（t）=C0 e -0.000121 t 设发现Hammurbi 王朝木炭的时间（1950年）为t0年， 放射性物质的衰减速度是与质量成正比的，所以 C（t0）/C0= 4.09/6.68 于是 e -0.000121 t0 = 4.09/6.68 两边取自然对数，得-0.000121 t0 =㏑ 4.09- ㏑6.68, 解得 t0 ≈4050（年） 即Hammurbi 王朝大约存在于公元前2100年。