高中数学第三章不等式2.1一元二次不等式的解法课件北师大版必修5
高中数学 3223 一元二次不等式的解法(1)课件 新人教版必修5
解析：转化为二次项系数为正数，求出对应方程的根，画出对 应二次函数图像，数形结合写出解集．由－x2＋2x－3>0得x2－2x＋ 3<0.∴Δ＝4－4×3＝－8<0，∴原不等式解集为∅.
答案：∅
第二十页，共30页。
8．设集合A＝{x|(x－1)2<3x－7，x∈R}，则集合A∩Z中有 ________个元素．
第十五页，共30页。
解析：对应的图像只能是开口向上的抛物线，且最多与x轴有一 个交点，∴a>0，Δ≤0.
答案：C
第十六页，共30页。
6．已知函数f(x)＝
x＋2，x≤0， －x＋2，x>0，
则不等式f(x)≥x2的解集为
() A．[－1,2]
B．[－2,2]
C．[－2,1]
D．[－1,1]
第十七页，共30页。
1．了解一元二次不等式的概念和实际背景． 2．理解一元二次不等式、二次函数、二次方程之间的关系及一 元二次不等式的解法． 3．掌握一元二次不等式的解法．
第六页，共30页。
作基业础训设练计
第七页，共30页。
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．设集合M＝{x|x>1}，P＝{x|x2>1}，则下列关系式正确的是
第二十五页，共30页。
(3)原不等式可化为6x2＋x－2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0， ∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，分别是－23，12， ∴原不等式的解集为x－23≤x≤12. (4)∵原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0， ∴原不等式的解集是xx＝12.
第二十一页，共30页。
解析：∵(x－1)2<3x＋7的解集为∅，∴A∩Z有0个元素． 答案：0
高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式的解法课件北师大版必修5
(2)对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对 其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等 式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个 系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不 等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根 的大小进行分类讨论．
集
(x1，x2) ∅
∅
1．一元二次不等式的求解步骤 (1)①通过对不等式的变形，使不等式右边为零，左边二次项 系数大于零；②计算出相应一元二次方程的判别式；③求出相应 一元二次方程的根(或判断相应方程没有实根)；④根据③画出相 应二次函数的图像写出解集． (2)会用程序框图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0) 的求解的算法过程．
4．若1ax2＋bx＋a>0 的解集是{x|2<x<8}，则 a＝ ________________________________________________________ ________________.
b＝________.
解析： 由题意知 a<0，且方程1ax2＋bx＋a＝0 的两根分别为
[思路点拨] 根据已知解集和一元二次不等式解的结构，逆 向推出 a、b、c 应满足的关系，进而求解不等式．一元二次不等 式解集的两个端点值是一元二次方程的两根．
解析： ∵ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－3<x<4}． ∴a<0，且－3,4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
由韦达定理得－－33×＋44＝＝ac－，ba，
答案： ＞ 两 －5,1 (－∞，－5)∪(1，＋∞) (－5,1)
4．解下列不等式： (1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2.
高中数学第三章不等式3.2第一课时一元二次不等式的解法高一5数学
12/13/2021
简单的分式不等式在求解时多化为
fx gx
解得pq＝＝－16，16 .
所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－
1 6
x2＋1Biblioteka 6x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
12/13/2021
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值 是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c 与x轴交点的横坐标．
图象知不等式的解集为xx<－12或x>1
.
12/13/2021
法二：在不等式两边同乘－1，可得2x2－x
－1>0，
方程2x2－x－1＝0的解为x1＝－
1 2
，x2＝1；
画出函数y＝2x2－x－1的图象如图所示．
观察图象，可得原不等式的解集为xx<－12或x>1
.
12/13/2021
一元二次不等式的2种方法 (1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋ bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： ①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； ②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象； ③由图象得出不等式的解集． 对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求 解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解， 当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x< q.有口决如下“大于取两边，小于取中间”．
北师大版高中数学必修5第三章《不等式》一元二次不等式的解法(一)
3或 x 2
时，原函数的值是正数。 3
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得： ，即，当 {x | 2 3 x 2 3}
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
13
课堂练习3. 是什么实数时,
x x 12
2
有意义?
2 解：要想原式有意义，即要使 x x 12 0 ， 解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
2
准备知识
1、一元一次函数y=ax+b(a≠0） 函数图像是一条直线 2、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时图象开口 向上 ； 当a<0时图象开口 向下 ； b 4ac b ( 其顶点坐标为 2a , 4a ) ； 对称轴为直线 x= -b/2a 。 2.不等式|x|<a的解集是 {x|-a<x<a} ； |x|>a的解集是 {x|x<-a或x>a}。
2
3
探析新课
一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数 的关系
x y 2 -3 2.5 -2 3 -1 3.5 0 4 1 4.5 2 5 3 y y=2x-7
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表 与图 像如下：
由对应值表与图像可以知道：
当x=3.5时，y__0， = 即2x-7__0； = > 即2x-7__0； > 当x<3.5时，y__0， < 即2x-7__0； < 当x>3.5时，y__0， 不等式2x-7>0的解即为 ﹛x|x>3.5﹜ 不等式2x-7<0的解即为 ﹛x|x<3.5﹜
高中数学 第三章 不等式 3.2.2 一元二次不等式的应用学案(含解析)北师大版必修5-北师大版高二
2．2 一元二次不等式的应用知识点一 简单的分式不等式的解法[填一填][答一答]1．请写出分式不等式ax ＋b cx ＋d ≥0，ax ＋bcx ＋d≤0的同解不等式．提示：⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≥0，cx ＋d ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧(ax ＋b )(cx ＋d )≤0，cx ＋d ≠0.知识点二用穿针引线法解简单的一元高次不等式f(x)>0的步骤[填一填](1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；(3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．[答一答]2．“穿针引线法”解不等式所用的数学思想是什么？提示：数形结合的思想方法．解一般分式不等式的方法解分式不等式的关键是先把不等式的右边化为零，再通分把它化成f(x)g(x)>0(或≥0或<0或≤0)的形式，最后通过符号的运算法则，把它转化成整式不等式求解，其中：f(x) g(x)>0⇔f(x)·g(x)>0，f(x)g(x)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)>0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)<0g(x)<0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x)≥0g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)＝0，f(x) g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≥0g(x)>0或⎩⎪⎨⎪⎧f(x)≤0g(x)<0.一般地，解分式不等式的过程，体现了分式不等式与整式不等式之间的转化，这种转化必须保证不等式前后的等价性．类型一 根的分布问题【例1】 已知关于x 的方程8x 2－(m －1)x ＋m －7＝0有两实根． (1)如果两实根都大于1，求实数m 的取值范围； (2)如果两实根都在区间(1,3)内，求实数m 的取值范围； (3)如果一个根大于2，另一个根小于2，求实数m 的取值范围．【思路探究】 本题属于一元二次方程根的分布问题，一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，即二次函数与x 轴交点的横坐标．根据方程根的分布情况可知二次函数图像的大致情况，从而转化成不等式(组)的形式，求解即可．【解】 (1)方法一：设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7，作其草图，如右图． 若两实根均大于1，则⎩⎨⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，f (1)＝2>0，m －116>1，即⎩⎨⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m >17.所以m ≥25.方法二：设方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m －18，x 1x 2＝m －78，因为两根均大于1，所以x 1－1>0，x 2－1>0，故有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧[－(m －1)]2－32(m －7)≥0，m －18－2>0，m －78－m －18＋1>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m >17，m ∈R .所以m ≥25.(2)设函数f (x )＝8x 2－(m －1)x ＋m －7.若方程的两根x 1，x 2∈(1,3)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，f (1)>0，f (3)>0，1<m －116<3，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥25或m ≤9，m ∈R ，m <34，17<m <49.所以25≤m <34.(3)若一根大于2，另一根小于2，则f (2)<0， 即27－m <0，解得m >27.规律方法 一元二次方程根的分布问题的处理方法1．若可转化为根的不等关系，则可直接运用根与系数的关系求解． 2．借助相应的二次函数图像，运用数形结合的思想求解，步骤如下： (1)根据题意画出符合条件的二次函数图像，标清交点所在区间； (2)运用判别式、对称轴及区间端点处的函数值的符号来确定图像的位置；(3)解不等式组，即得变量的取值范围．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0.(1)若方程的一个根大于2、一个根小于2，求实数m 的取值范围； (2)若方程的两个根都在(0,2)内，求实数m 的取值范围．解：(1)令f (x )＝x 2＋(m －3)x ＋m ，因为关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的一个根大于2、一个根小于2，所以f (2)＝4＋(m －3)·2＋m <0，解得m <23.(2)若关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0的两个根都在(0,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －3)2－4m ≥0，0<3－m2<2，f (0)＝m >0，f (2)＝3m －2>0，解得23<m ≤1.类型二 高次不等式的解法【例2】 解下列不等式． (1)x 3－2x 2＋3<0； (2)(x ＋1)(1－x )(x －2)>0； (3)x (x －1)2(x ＋1)3(x ＋2)≥0.【思路探究】 通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积问题，然后再依据相关性质解答．【解】 (1)原不等式可化为(x ＋1)(x 2－3x ＋3)<0，而对任意实数x ，恒有x 2－3x ＋3>0(∵Δ＝(－3)2－12<0)．∴原不等式等价于x ＋1<0， ∴原不等式的解集为{x |x <－1}．(2)原不等式等价于(x －1)(x －2)(x ＋1)<0，令y ＝(x －1)(x －2)(x ＋1)，当y ＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如图所示．可得不等式的解集为{x|x<－1或1<x<2}．(3)∵方程x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)＝0的根依次为0,1，－1，－2，其中1为双重根，－1为三重根(即1为偶次根，－1为奇次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得不等式的解集为{x|－2≤x≤－1或x≥0}．规律方法解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”．解不等式(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0.解：原不等式等价于(x＋4)(x＋5)2(x－2)3>0.在数轴上标出－5，－4,2表示的点，如图所示，由图可知原不等式的解集为{x|x<－5或－5<x<－4或x>2}．类型三分式不等式的解法【例3】解不等式x2－4x＋13x2－7x＋2<1.【思路探究】解分式不等式一般首先要化为f(x)g(x)>0(或<0)的标准形式，再等价转化为整式不等式或化为一次因式积的形式来用“穿针引线法”，借助于数轴得解．【解】 解法一：原不等式可化为2x 2－3x ＋13x 2－7x ＋2>0⇔(2x 2－3x ＋1)(3x 2－7x ＋2)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－3x ＋1>0，3x 2－7x ＋2>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ＋1<0，3x 2－7x ＋2<0.解得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．解法二：原不等式移项，并因式分解得(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0⇔(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)>0，在数轴上标出(2x －1)(x －1)(3x －1)(x －2)＝0的根，并画出示意图，如图所示．可得原不等式的解集为{x |x <13或12<x <1或x >2}．规律方法 解分式不等式的思路方法是等价转化为整式不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则，故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再行解决．解不等式x 2－6x ＋512＋4x －x 2<0.解：原不等式化为(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)>0.画数轴，找因式根，分区间，定符号． 在各个区间内，(x －1)(x －5)(x ＋2)(x －6)的符号如下：∴原不等式解集是{x |x <－2或1<x <5或x >6}．类型四 一元二次不等式的应用【例4】 当a 为何值时，不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解是全体实数．【思路探究】 利用函数与不等式之间的关系，问题可转化为函数y ＝(a 2－1)x 2－(a －1)x －1的图像恒在x 轴下方．【解】 ①当a 2－1≠0，即a ≠±1时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝[－(a －1)]2＋4(a 2－1)<0， 解得－35<a <1.②当a 2－1＝0，即a ＝±1时，若a ＝1，则原不等式为－1<0，恒成立． 若a ＝－1，则原不等式为2x －1<0， 即x <12，不符合题目要求，舍去．综上所述，当－35<a ≤1时，原不等式的解为全体实数．规律方法 此类问题主要考查二次函数与二次不等式之间关系的应用，可以借助二次函数图像的开口方向以及与x 轴的交点情况解决，一般地有如下结论：(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0Δ<0；不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b＝0，c <0；当a ≠0时，⎩⎨⎧a <0Δ<0.类似地，还有f (x )≤a 恒成立⇔[f (x )]max ≤a .f (x )≥a 恒成立⇔[f (x )]min ≥a .(2)讨论形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式恒成立问题必须对a ＝0或a ≠0分类讨论，否则会造成漏解，切记！已知关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，求a 的取值范围． 解：关于x 的一元二次不等式ax 2＋ax ＋a －1<0的解集为R ，所以有⎩⎨⎧a <0a 2－4a (a －1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0a >43或a <0，所以a <0.【例5】 有纯农药液一桶，倒出8 L 后用水补满，然后又倒出4 L 后再用水补满，此时桶中农药液的浓度不超过28%，则桶的容积最大为多少？【思路探究】 如果桶的容积为x L ，那么第一次倒出8 L 纯农药液，桶内还有(x －8) L 纯农药液，用水补满后，桶中农药液的浓度为x －8x ×100%.第二次又倒出4 L 农药液，则倒出的纯农药液为4(x －8)x L ，此时桶内有纯农药液⎣⎡⎦⎤(x －8)－4(x －8)x L.【解】 设桶的容积为x L. 依题意，得(x －8)－4(x －8)x≤28%·x .∵x >0，∴原不等式可化简为9x 2－150x ＋400≤0， 即(3x －10)(3x －40)≤0，∴103≤x ≤403，又x >8，∴8<x ≤403，∴桶的最大容积为403L.规律方法 对于一元二次不等式的实际应用问题，先要读懂题意，找出与实际问题对应的数学模型，转化为数学问题解决．同时，必须注意其定义域要有实际意义．某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，如图，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m，根据题意，得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理，得x2－700x＋60 000≥0，解得x≥600(舍去)或x≤100，由题意知x>0，所以0<x≤100.即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时，草坪的面积不小于总面积的一半.——易错警示系列——解不等式时同解变形出错解不等式的关键是利用不等式的性质进行同解变形，需要注意两个方面：一是注意不等式中所含式子有意义的条件，如解分式不等式、无理不等式、对数不等式时应该注意分母不为零、开偶次方根时被开方数非负、对数的真数大于零，这是转化为整式不等式的过程中进行同解变形容易忽视的问题；二是在解一次不等式的过程中要准确利用不等式的性质进行同解变形，主要是系数化为1的过程中，不等式两边要同时乘以或同时除以同一个数，要注意该数的符号对不等式符号的影响，如果是正数，不等号的方向不变，如果是负数，不等号的方向要改变．【例6】解不等式3x－5x2＋2x－3≥2.【错解】 原不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，∴2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12. 【错解分析】 错用不等式性质，直接将不等式化为3x －5≥2(x 2＋2x －3)，没有等价转化导致错误．【正解】 原不等式化为3x －5x 2＋2x －3－2≥0， 即－2x 2－x ＋1x 2＋2x －3≥0. 整理得(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0， 不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(x ＋1)(x －1)(x ＋3)≤0，(x －1)(x ＋3)≠0， 解得－3<x ≤－1或12≤x <1. 所以原不等式的解集为{x |－3<x ≤－1或12≤x <1}．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是{x |－12≤x ≤3，且x ≠1}．一、选择题1．不等式x x －1<2的解集是( D ) A ．{x |x >1}B ．{x |x <2}C ．{x |1<x <2}D ．{x |x <1或x >2}解析：原不等式可化为x x －1－2<0，即x －2x －1>0，等价于(x －1)(x －2)>0，∴x >2或x <1. 2．不等式1x ＋1(x －1)(x －2)2(x －3)<0的解集是( B ) A ．(－1,1)∪(2,3)B ．(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)C ．(－∞，－1)∪(1,3)D ．R解析：利用“穿针引线法”，如图所示．∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)．二、填空题3．方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，则实数m 的取值范围是－12<m <1. 解析：因为方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，所以判别式大于零，同时两根之积小于零， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋1≠0，4m 2－4(2m ＋1)(m －1)>0，m －12m ＋1<0，解得－12<m <1. 4．不等式2－x x ＋4>0的解集是(－4,2)． 解析：不等式2－x x ＋4>0等价于(x －2)(x ＋4)<0， ∴－4<x <2.5．不等式(x －1)(x ＋2)(x ＋3)<0的解集是{x |x <－3或－2<x <1}．解析：画出数轴，如图，其解集为{x |x <－3或－2<x <1}．。
高中数学《一元二次不等式及其解法习题课》课件
(1)求矩形 ABCD 的面积 S 关于 x 的函数解析式；
(2)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米，则
AB 的长度应在什么范围内？
30
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课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解
(1)根据题意，得△NDC
与△NAM
相似，所以DC＝ AM
ND，即 x ＝20－AD，解得 NA 30 20
∵x∈[－2,2]，x－212＋34max＝7，
∴x2－6x＋1min＝67，∴m<67.
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数学 ·必修5
拓展提升
有关不等式恒成立问题的等价转化方式
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)
的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
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数学 ·必修5
(2)将 f(x)<－m＋5 变换成关于 m 的不等式：m(x2－x＋ 1)－6<0.则命题等价于：m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1) －6<0 恒成立．
∵x2－x＋1>0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增． ∴只要 g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，即 x2－x－2<0， ∴－1<x<2.∴x 的取值范围为－1<x<2.
①式的解集为 x≤－2 或 0≤x≤3.由②式知 x≠3， ∴原不等式的解集为{x|x≤－2 或 0≤x<3}．
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高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修5
B．a＝2，b＝－1
C．a＝－2，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：因为不等式 ax2＋3x－2>0 的解集为{x|1<x<b}，所以 a<0，且
方程 ax2＋3x－2＝0 的两个根分别为 1 和 b.根据根与系数的关系，得
1＋b＝－3a，b＝－2a，所以 a＝－1，b＝2.
答案：C
[随堂训练]
1．已知不等式
ax2－5x＋b>0
的解集为x
x<－13或x>12，则不等式
bx2－5x＋a>0 的解集为( )
A.x
－13<x<12
C．{x|－3<x<2}
B.x
x<－13或x>12
D．{x|x<－3 或 x>2}
综上所述： 当 a<0 或 a>1 时，原不等式的解集为{x|x<a 或 x>a2}； 当 0<a<1 时，原不等式的解集为{x|x<a2 或 x>a}； 当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≠0}； 当 a＝1 时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
解含参数的一元二次不等式应注意事项 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小于 0 进行 讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论； (4)若 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)可分解为 a(x－x1)(x－x2)＞0.讨论时只需比 较 x1，x2 大小即可．
3．若不等式 ax2＋5x－2>0 的解集是x
1
3.2.1一元二次不等式的解法课件ppt(北师大版必修五)
(3)m＜0
3 1 时，原不等式变为x＋ x－ ＜0， m m
1 3 解得 ＜x＜－ .综上，m＝0 时，解集为 R； m m m＞0 m＜0
3 1 时，解集为x－ ＜x＜ m m 1 3 x ＜x＜－ 时，解集为 m m ； .
解 原不等式可变形为(x－a)(x－a2)＞0， 则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2， (1)当a＜0时，有a＜a2，∴x＜a或x＞a2， 此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}； (2)当0＜a＜1时，有a＞a2，即x＜a2或x＞a， 此时原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}； (3)当a＞1时，有a2＞a，即x＜a或x＞a2， 此时原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
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【训练3】 已知关于x的不等式ax2＋bx＋a2－1≤0的解集是 (－∞，－1]∪[2，＋∞)，求a，b的值．
解 由题意可知，a＜0，且－1,2 是方程 ax2＋bx＋a2－1＝0
的根， a＜0， －1＋2＝－b， a 所以 a2－1 －1×2＝ ， a
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自学导引
一元二次不等式的有关概念 1． ax2＋bx＋c＞0(≥0) ax2＋bx (1)一元二次不等式：形如__________________或________ ____________________的不等式叫做一元二次不等式． ＋c＜0(≤0)(其中a≠0) (2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式 x的值 成立的______叫这个一元二次不等式的解． 所有解 (3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的_______组 成的集合，叫做一元二次不等式的解集．
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式3.2.1.1一元二次不等式及其解集课件北师大版必修5
1 3
函数 y=3x +5x-2 的图像如图所示 , 与 x 轴有两个交点(-2,0)和
1 3
2
,0 .
1 3
观察图像可得,不等式的解集为 ������ ������ < -2 或������ > 方程-2x2+x+1=0 的解为 x1=− , ������2 = 1.
2.一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集如下表:
判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
Δ>0
Δ=0
Δ<0
两个相异实根 x1,x 2(x1<x2) {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}
§2 一元二次不等式
2.1 一元二次不等式的解法
第1课时 一元二次不等式及其解集
1.了解一元二次不等式的定义. 2.能借助二次函数图像解一元二次不等式. 3.能求解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a≠0)的一元 二次不等式.
1.一元二次不等式 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)的不等式(其中a≠0),叫 作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一 元二次不等式的解.一元二次不等式的所有解组成的集合,叫作这 个一元二次不等式的解集.
高中数学第三章不等式2、1一元二次不等式的解法2、2一元二次不等式的应用基础训练北师大版必修5
一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用基础过关练题组一一元二次不等式的解法1.(2019山东菏泽高二期末)不等式-x2-5x+6≥0的解集为()A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}2.函数y=√x2+x-12的定义域是()A.{x|x<-4或x>3}B.{x|-4<x<3}C.{x|x≤-4或x≥3}D.{x|-4≤x≤3}3.(2020山东菏泽二十三校高一上期末联考)已知集合M={x|-3≤x<4},N={x|x2-2x-8≤0},则()A.M∪N=RB.M∪N={x|-3≤x<4}C.M∩N={x|-2≤x≤4}D.M∩N={x|-2≤x<4}4.设集合A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则集合A∩Z中元素的个数是()A.4B.5C.6D.75.已知A={x|x2-x-6≤0},B={x|x-a>0},A∩B=⌀,则a的取值范围是()A.a=3B.a≥3C.a<3D.a≤36.解下列不等式:(1)x2-2x+3>0;(2)2+3x-2x2>0;(3)x(3-x)≤x(x+2)-1;(4)-1<x2+2x-1≤2.题组二含有参数的一元二次不等式7.若0<t<1,则不等式(x-t)(x-1x)<0的解集是()A.{x|1x <x<x} B.{x|x>1x或x<x}C.{x|x<1x 或x>x} D.{x|x<x<1x}8.若函数f(x)=√2xx的定义域为R,则常数k的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4]9.不等式x2-ax-12a2<0(其中a<0)的解集为()A.(3a,-4a)B.(4a,-3a)C.(-3a,a)D.(6a,2a)10.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a<0.题组三三个“二次”之间的关系11.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为()A.3B.1C.-3D.-112.如果ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>4},那么对于函数f(x)=ax2+bx+c,应有()A.f(5)<f(2)<f(-1)B.f(2)<f(5)<f(-1)C.f(-1)<f(2)<f(5)D.f(2)<f(-1)<f(5)13.若关于x的不等式x2-4x-m≥0对任意x∈(0,1]恒成立,则m的最大值为()A.1B.-1C.-3D.314.已知不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(a+b)x+b<0.题组四 简单的分式不等式或高次不等式 15.(2020山东潍坊诸城高二上期中)不等式x -2x +3<0的解集为 ( )A.{x |-2<x <3}B.{x |x <-3}C.{x |-3<x <2}D.{x |x >2} 16.不等式x +24x +1≥13的解集为 ( )A.{x |-14≤x ≤5} B.{x |x ≤-14或x >5}C.{x |x <-14或x >5}D.{x |-14<x ≤5}17.若集合A ={x |xx -1≤0},B ={x |x 2<2x },则A ∩B =( )A.{x |0<x <1}B.{x |0≤x <1}C.{x |0<x ≤1}D.{x |0≤x ≤1} 18.不等式-1<1x <1的解集为 ( )A.{x |x <-1或x >1}B.{x |-1<x <0或0<x <1}C.{x |x <0或x >1}D.{x |x >1}19.不等式x -1x 2-4>0的解集是 ( )A.(-2,1)B.(2,+∞)C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)20.不等式x2-2x-2x2+x+1<2的解集为()A.{x|x≠-2}B.RC.⌀D.{x|x<-2或x>2}题组五一元二次不等式的实际应用21.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,求x的最小值.22.一个小服装厂生产某种风衣,月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160-2x,生产x件的成本R=(500+30x)元.(1)当该厂的月产量为多少时,月获得的利润不少于1300元?(2)当该厂的月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?能力提升练一、选择题1.(2021山西运城高一上联考,)设集合A={x|x-1x-3<0},B={x|2x-3>0},则A∪B=()A.{x|-3<x<32} B.{x|x<-3或x>32}C.{x|1<x<32} D.{x|x>1}2.()在R 上定义运算☉:a ☉b =ab +2a +b ,则满足x ☉(x -2)<0的实数x 的取值范围为 ( )A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2) 3.()二次函数f (x )的图像如图所示,则f (x -1)>0的解集为 ( )A.(-2,1)B.(0,3)C.(1,2]D.(-∞,0)∪(3,+∞) 4.()若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对任意实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-2,2]B.[-2,2]C.(2,+∞)D.(-∞,2] 5.(2019山东菏泽高二期末,)已知关于x 的不等式ax +b >0的解集是(-∞,-1),则关于x 的不等式(ax -b )(x -2)>0的解集是 ( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(2,+∞) 6.()设函数g (x )=x 2-2(x ∈R),f (x )={x (x )+x +4,x <x (x ),x (x )-x ,x ≥x (x ),则f (x )的值域是( )A.[-94,0]∪(1,+∞) B.[0,+∞) C.[-94,+∞)D.[-94,0]∪(2,+∞) 二、填空题 7.()若关于x 的不等式x -xx +1>0的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),则实数a = . 8.()已知集合A ={x |3x -2-x 2<0},B ={x |x -a <0},且B ⊆A ,则a 的取值范围为 . 9.()若不等式a ·4x -2x+1>0对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 .10.()若函数y =√xx 2-6xx +(x +8)(k 为常数)的定义域为R,则k 的取值范围是 . 11.()已知0<b <1+a ,若关于x 的不等式(x -b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个,则a 的取值范围为 . 三、解答题12.(2021湖南长沙一中高一上段考,)已知不等式mx 2+3x -2>0的解集为{x |n <x <2}.(1)求m ,n 的值,并求不等式nx 2+mx +2>0的解集; (2)解关于x 的不等式ax 2-(n +a )x -m >0(a ∈R,且a <1).13.(2019北京西城高二期末,)已知函数f(x)=x2-2ax,a∈R.(1)当a=1时,求满足f(x)<0的x的取值范围;(2)解关于x的不等式f(x)<3a2;(3)若对于任意的x∈(2,+∞),f(x)>0均成立,求a的取值范围.答案全解全析§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法2.2一元二次不等式的应用基础过关练1.A 不等式-x 2-5x +6≥0可化为x 2+5x -6≤0,即(x +6)(x -1)≤0, 解得-6≤x ≤1,∴不等式的解集为{x |-6≤x ≤1}. 故选A.2.C 由x 2+x -12≥0得(x +4)(x -3)≥0,解不等式得x ≤-4或x ≥3,所以函数的定义域是{x |x ≤-4或x ≥3},故选C .3.D ∵集合M ={x |-3≤x <4},N ={x |x 2-2x -8≤0}={x |-2≤x ≤4},∴M ∪N ={x |-3≤x ≤4},M ∩N ={x |-2≤x <4}. 4.C 由(x -1)2<3x +7,得x 2-5x -6<0,解不等式得-1<x <6,∴集合A ={x |-1<x <6}, ∴A ∩Z 中的元素有0,1,2,3,4,5,共6个.5.B 由x 2-x -6≤0得(x -3)(x +2)≤0,解不等式得-2≤x ≤3, 所以A ={x |-2≤x ≤3}. 由已知可得B ={x |x >a }, 因为A ∩B =⌀,所以a ≥3,故选B .6.解析 (1)因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0,所以原不等式的解集是R .(2)原不等式可化为2x 2-3x -2<0,即(2x +1)(x -2)<0,故原不等式的解集是{x |-12<x <2}.(3)原不等式可化为2x 2-x -1≥0,即(2x +1)(x -1)≥0,故原不等式的解集是{x |x ≤-12或x ≥1}.(4)原不等式等价于{x 2+2x -1>-1,x 2+2x -1≤2,即{x 2+2x >0①,x 2+2x -3≤0②.由①得x (x +2)>0,所以x <-2或x >0; 由②得(x +3)(x -1)≤0,所以-3≤x ≤1.所以原不等式的解集是{x |-3≤x <-2或0<x ≤1}. 7.D 方程(x -t )(x -1x )=0的两根为x 1=t ,x 2=1x .因为0<t <1,所以1x >1>t ,所以(x -t )(x -1x )<0的解集是{x |x <x <1x }. 8.C ∵函数f (x )=√2xx 的定义域为R,∴kx 2+kx +1>0对x ∈R 恒成立.当k >0时,Δ=k 2-4k <0,解得0<k <4;当k =0时,kx 2+kx +1=1>0恒成立;当k <0时,不符合条件.故0≤k <4.故选C .9.B ∵x 2-ax -12a 2=(x -4a )(x +3a ),其中a <0,∴-3a >4a ,∴不等式的解集为(4a ,-3a ).10.解析 方程x 2+(1-a )x -a =0的两根为x 1=-1,x 2=a. ∵函数y =x 2+(1-a )x -a 的图像是开口向上的抛物线, ∴当a <-1时,原不等式的解集为{x |a <x <-1}; 当a =-1时,原不等式的解集为⌀; 当a >-1时,原不等式的解集为{x |-1<x <a }.11.A 不等式(x -a )(x -b )<0可化为x 2-(a +b )x +ab <0,由其解集为{x |1<x <2},可得x 1=1,x 2=2是方程x 2-(a +b )x +ab =0的两根,所以x 1+x 2=3=a +b ,即a +b =3,故选A .12.D 由不等式的解集为{x |x <-2或x >4},得x 1=-2,x 2=4是函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像与x 轴交点的横坐标,故f (x )的图像的对称轴为直线x =-2+42=1,且其图像开口向上.结合图像(图略)可得f (2)<f (-1)<f (5).13.C 令f (x )=x 2-4x -m ,则f (x )在(0,1]上是减函数,所以f (x )min =f (1)=-3-m ,所以-3-m ≥0,即m ≤-3. 故m 的最大值为-3.14.解析 (1)由题意得x 1=1,x 2=b 是方程ax 2-3x +2=0的两根,且a >0,则{1+x =3x ,1·x =2x ,解得{x =1,x =2.(2)由a =1,b =2得所求不等式为x 2-3x +2<0,即(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2. 故所求不等式的解集为(1,2). 15.Cx -2x +3<0等价于(x -2)(x +3)<0,解得-3<x <2,故不等式的解集为{x |-3<x <2}.16.D 由x +24x +1≥13得x +24x +1-13≥0, 则-x +53(4x +1)≥0,即x -53(4x +1)≤0,可转化为{3(x -5)(4x +1)≤0,4x +1≠0,解得-14<x ≤5.所以原不等式的解集为{x |-14<x ≤5}.17.A 由集合A 可得{x (x -1)≤0,x -1≠0,解得0≤x <1,所以A ={x |0≤x <1}.由集合B 可得x 2-2x <0,解得0<x <2,所以B ={x |0<x <2}.所以A ∩B ={x |0<x <1}.18.A -1<1x <1⇔{1x >-1,1x <1⇔{x +1x>0,1-x x <0⇔{x (x +1)>0,x (x -1)>0,解得{x <-1或x >0,x <0或x >1,∴x <-1或x >1. 19.Cx -1x 2-4>0⇔(x -1)(x 2-4)>0⇔(x -1)(x -2)(x +2)>0,设f (x )=(x -1)(x -2)(x +2),则f (x )的三个零点是-2,1,2.结合图形(如图),可得原不等式的解集为{x |-2<x <1或x >2}.故选C . 20.A 易知x 2+x +1>0恒成立,∴原不等式⇔x 2-2x -2<2x 2+2x +2⇔x 2+4x +4>0⇔(x +2)2>0,解得x ≠-2,∴原不等式的解集为{x |x ≠-2}. 21.解析 由题意,得3860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x ≥20,故x 的最小值是20.22.解析 (1)设该厂月获利为y 元,依题意得y =(160-2x )x -(500+30x )=-2x 2+130x -500, 由y ≥1300知-2x 2+130x -500≥1300, ∴x 2-65x +900≤0,解得20≤x ≤45.∴当月产量在20件至45件之间(含20件和45件)时,月获利不少于1300元. (2)由(1)知y =-2x 2+130x -500=-2·(x -652)2+1612.5. ∵x 为正整数,∴当x 的值为32或33时,y 取得最大值,最大值为1612,∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润,最大利润是1612元.能力提升练一、选择题1.D A ={x |x -1x -3<0}={x |1<x <3},B ={x |2x -3>0}={x |x >32},故A ∪B ={x |x >1}.2.B 由a ☉b =ab +2a +b ,得x ☉(x -2)=x (x -2)+2x +x -2=x 2+x -2=(x +2)(x -1)<0,所以-2<x <1.3.B 由题图知f (x )>0的解集为(-1,2).把f (x )的图像向右平移1个单位长度即得f (x -1)的图像,所以f (x -1)>0的解集为(0,3).4.A 当a -2=0,即a =2时,符合题意;当a -2≠0,即a ≠2时,需满足a -2<0且Δ=4(a -2)2+4·(a -2)·4<0,解得-2<a <2.综上可得,-2<a ≤2.故选A .5.A ∵关于x 的不等式ax +b >0的解集是(-∞,-1),∴{x <0,-x x=-1,∴b =a <0,∴关于x 的不等式(ax -b )(x -2)>0可化为(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2, ∴不等式的解集是(1,2).故选A .6.D 由x <g (x ),得x <x 2-2,解不等式得x <-1或x >2;同理,由x ≥g (x ),得-1≤x ≤2. 所以f (x )={x 2+x +2,x <-1或x >2,x 2-x -2,-1≤x ≤2,即f (x )={(x +12)2+74,x <-1或x >2,(x -12)2-94,-1≤x ≤2.因为当x <-1时,f (x )>2;当x >2时,f (x )>8,所以当x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数f (x )的值域为(2,+∞).又因为当-1≤x ≤2时,-94≤f (x )≤0,所以当x ∈[-1,2]时,函数f (x )的值域为[-94,0]. 综上可知,函数f (x )的值域是-94,0∪(2,+∞). 二、填空题 7.答案 4 解析 不等式x -xx +1>0等价于{x +1≠0,(x -x )(x +1)>0,又不等式的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞),所以当x =4时,(x -a )(x +1)=0,解得a =4. 8.答案 (-∞,1]解析 A ={x |3x -2-x 2<0}={x |x 2-3x +2>0}={x |x <1或x >2},B ={x |x -a <0}={x |x <a }.若B ⊆A ,则a ≤1. 9.答案 (14,+∞)解析 原不等式可变形为a >2x -14x=(12)x -(14)x ,设y =(12)x -(14)x ,令(12)x =t ,则t >0,所以y =(12)x -(14)x=t -t 2=-(x -12)2+14,因此当t =12时,y 取得最大值14,故实数a 的取值范围是(14,+∞). 10.答案 [0,1]解析 函数y =√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R,即kx 2-6kx +(k +8)≥0对一切x ∈R 恒成立.当k =0时,显然8>0恒成立;当k ≠0时,k 需满足{x >0,x =36x 2-4x (x +8)≤0,解得0<k ≤1.综上可得,k 的取值范围是[0,1]. 11.答案 (1,3)解析 原不等式可转化为[(1-a )x -b ]·[(1+a )x -b ]>0.①当a ≤1时,结合不等式解集形式知,不符合题意;②当a >1时,x 1-x <x <x x +1,由题意知0<x x +1<1,所以要使原不等式解集中的整数解恰有3个,则需-3≤x1-x <-2,整理得2a -2<b ≤3a -3.结合已知b <1+a ,可得2a -2<1+a ,所以a <3,从而有1<a <3.综上可得,a ∈(1,3). 三、解答题12.解析 (1)由题意知m <0,x 1=n ,x 2=2是方程mx 2+3x -2=0的实数根,11 故由根与系数的关系得{x +2=-3x ,2x =-2x ,解得{x =-1,x =1.则nx 2+mx +2=x 2-x +2=(x -12)2+74>0,即nx 2+mx +2>0的解集为R .(2)由(1)得ax 2-(1+a )x +1=(ax -1)(x -1)>0.当a <0时,原不等式等价于(-ax +1)(x -1)<0,解得1x <x <1;当a =0时,原不等式等价于-(x -1)>0,解得x <1;当0<a <1时,1x >1,解得x <1或x >1x .综上所述,当a <0时,不等式的解集为{x |1x <x <1};当a =0时,不等式的解集为{x |x <1};当0<a <1时,不等式的解集为{x |x <1或x >1x }.13.解析 (1)根据题意,当a =1时,f (x )=x 2-2x.由f (x )<0,得x 2-2x <0,解得0<x <2,所以f (x )<0的解集为(0,2).(2)由f (x )<3a 2,得x 2-2ax -3a 2<0,所以(x -3a )(x +a )<0.当a >0时,解集为(-a ,3a );当a =0时,解集为⌀;当a <0时,解集为(3a ,-a ).(3)由f (x )=x 2-2ax >0,可得2ax <x 2,又x ∈(2,+∞),∴a <x 2在x ∈(2,+∞)上恒成立.令g (x )=x 2(x >2),∵g (x )在(2,+∞)上单调递增,∴g (x )>1,∴a ≤1,即a 的取值范围是(-∞,1].。
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知识点二
“三个二次”的关系
思考
分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不 等式x2－1>0之间的关系. 答案
y>0 y＝0 2 2 x －1>0← ― ― y＝x －1― ― →x －1＝0.
2
梳理
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表. Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.
梳理
解一元二次方程的步骤 解形如 ax2 ＋ bx ＋ c>0(≥0) 或 ax2 ＋ bx ＋ c<0(≤0) 的一元二次不等式，一 般可分为三步： (1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解； (2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图； (3)由图像得出不等式的解集.
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图像
____________ 有两相异实根 有两相等实根 ____________ b ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 没有实数根 －2a x1＝x2＝ x1，x2(x1<x2) ____________ ____________
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0
是不等式的解，而不等式的每一个解均属于解集.
梳理
(1) 形如 ax2 ＋ bx ＋ c>0(≥0) 或 ax2 ＋ bx ＋ c<0(≤0) 的不等式 ( 其中 a≠0) ，
叫作一元二次不等式.
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解.
(3)一元二次不等式所有解组成的集，叫作一元二次不等式的解集.
命题角度2 二次项系数小于0 例2 解不等式－x2＋2x－3>0.
解答
不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图像开口向上，
所以原不等式的解集是∅.
反思与感悟
将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本
题关键之处.
{x|x<x1或x>x2} _____________
b {x≠－2a }
R
(a>0)的解集
{x|x1<x<x2} __________
∅
__ ∅
知识点三
一元二次不等式的解法
思考
根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x. 答案
先化为x2－3x＋2>0.
∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，
解答
方法一 由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.
1＋2＝b， a 由根与系数的关系，知 2 1×2＝a， a＝1， 解得 b＝3.
方法二 把x＝1,2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，
a－b＋2＝0， a＝1， 得 解得 4a－2b＋2＝0， b＝3.
当堂训练
1.不等式2x2－x－1>0的解集是 答案
∴bx2＋ax＋1>0
1 的解集为xx＜2或x＞1
.
反思与感悟
给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x
轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
跟踪训练4 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值.
第三章 不等式
§2.1 一元二次不等式的解法
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.掌握图像法解一元二次不等式. 3.体会数形结合、分类讨论思想.
内容索引
问题导学
题型探究
当堂训练
问题导学
知识点一
一元二次不等式的概念
思考
我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元 素均可使等式成立.那么你能写出不等式x2>1的解集吗？ 答案 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都
反思与感悟
当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体
求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次
方程的根的情况以及二次函数的图像.
跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集.
1 2 ∵2x －3x－2＝0的两解为x1＝－ ，x2＝2， 2
解答
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是 1 {x|x≤－ 2 或x≥2}.
类型二 例4
“三个二次”间对应关系的应用
已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x
解答
的不等式bx2＋ax＋1>0的解集. 由根与系数的关系，可得
－a＝1＋2， a＝－3， 即 b＝1×2， b＝2，
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0. 1 2 由 2x －3x＋1>0，解得 x<2或 x>1.
题型探究
类型一 一元二次不等式的解法
命题角度1 二次项系数大于0 例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集. 解答 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
1
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝2 ， 1 所以原不等式的解集为 xx≠ . 2
跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集. 解答 不等式可化为3x2－6x＋2<0， ∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
3 3 ∴x1＝1－ 3 ，x2＝1＋ 3 ，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是 3 3 {x|1－ 3 <x<1＋ 3 }.
命题角度3 含参数的二次不等式
例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0. 解答
反思与感悟
解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判
别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.
跟踪训练3 解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0. 解答 当a＜0或a＞1时，有a＜a2，此时，不等式的解集为{x|a＜x＜a2}； 当0＜a＜1时，有a2＜a，此时，不等式的解集为{x|a2＜x＜a}； 当a＝0或a＝1时，原不等式无解. 综上，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜a2}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|a2＜x＜a}； 当a＝0或a＝1时，解集为∅.