《导数及其应用》复习课
解析 由 f(x)的图象易知 f(x)有两个极值 点 x1、 x2， 且 x＝x1 时有极小值， 因此 f′(x) ＝3ax2＋2bx＋1 的图象如图所示，
因此 a<0.
2b ∴x1＋x2<0，即 x1＋x2＝－ <0，∴b<0. 3a
又|x1|>|x2|，∴－x1>x2，
1.当 a 取下列哪个值时，函数 f(x)＝2x3－9x2＋12x－a 恰好 有两个不同的零点 A.8 B.6 C.4 D.2 ( C )
题型一
分类讨论思想在导数中的应用
例 1 设函数 f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中 a≥1. (1)求 f(x)的单调区间； (2)讨论 f(x)的极值．
分析 根据求单调区间及极值的步骤求解．
解 (1)由已知得 f′(x)＝6x[x－(a－1)]，
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝a－1.
解析 f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，知可能的极值 点为 x＝1，x＝2，且 f(1)＝5－a，f(2)＝4－a，可见当 a＝4 时，函数 f(x)恰好有两个零点.
2.设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c∈R)，若 x＝－1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，则下列图象不可能为 y＝f(x)的图象 的是 ( D )
分类讨论思想在本章中主要体现在问题中含有参数或问题 是分类给出的题型中．例如，单调性的判断、求极值、求最 大(小)值等问题往往要用到分类讨论．
跟踪训练 1
设函数 f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，
当 x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax(a 为实数)． (1)当 x∈(0,1]时，求 f(x)的解析式； (2)若 a>3，试判断 f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在 a，使得 x∈(0,1]时，f(x)有最大值 1?
小结
通过学习利用导数研究函数的极值与最值，结合以前
所掌握的研究函数的奇偶性与单调性的方法，给定一个函 数，其图象的大致轮廓就能清晰地呈现在我们面前．一些数 学问题便能顺利解决．
方程根的个数或者说函数零点的个数问题即是数形结合思 想在导数中的一个具体的应用．
跟踪训练 3 已知 f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、 b∈R 且 ab≠0)的图象如图所示，若 |x1|>|x2|，则有 A．a>0，b>0 C．a<0，b>0 ( B ) B．a<0，b<0 D．a>0，b<0
当 a＝1 时，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
当 a>1 时，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表： x f′(x) f(x) (－∞，0) ＋ ↗ 0 0 极大 值 (0，a－1) a－1 (a－1，＋∞) － ↘ 0 极小 值 ＋ ↗
从上表可知，函数 f(x)在(－∞，0)，(a－1，＋∞)上单调递 增，在(0，a－1)上单调递减．
2
(2)当 k＝0 时，函数 f(x)不存在极小值；
当 k>0 时，依题意 f
2 8 12 k ＝k2－ k2Байду номын сангаас＋1>0，
即 k2>4，由条件 k>0，得 k 的取值范围为(2，＋∞).
f′(x) f(x)
＋ ↗
0 极大值
－ ↘
0 极小值
＋ ↗
3 1 所以，x1＝ 是极小值点，x2＝ 是极大值点． 2 2
(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f′(x)在 R 上不变号，结合 ①与条件 a>0，知 ax2－2ax＋1≥0 在 R 上恒成立，
因此 Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0， 由此并结合 a>0， 知 0<a≤1.
4.设函数 f(x)＝kx3－3x2＋1(k≥0). (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)的极小值大于 0，求 k 的取值范围.
解 (1)当 k＝0 时，f(x)＝－3x2＋1，
∴f(x)的单调增区间为(－∞，0]，单调减区间为[0，＋∞).
2 当 k>0 时，f′(x)＝3kx －6x＝3kxx－ ， k 2 ∴f(x)的单调增区间为(－∞，0]， ，＋∞ ，单调减区间为 k 2 0 ， . k
a ∴f(x)在0， 上单调递增． 3 a x∈ ，1时，f′(x)<0， 3 a ∴f(x)在 ，1上单调递减． 3
3 27 解得 a＝ ， 4
a 又函数 f(x)在 x＝ 处连续， 3 a a 3 ∴f(x)max＝f ＝－ ＋a 3 3
∴f(x)在(0,1]上单调递增． (3)当 a>3 时，f(x)在(0,1]上单调递增， ∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1. ∴a＝2 与 a>3 矛盾． 当 0≤a≤3 时，令 f′(x)＝a－3x2＝0，
得 x＝
x∈0，
a 或 x＝－ 3
a (舍去)． 3
a 时，f′(x)>0， 3
解 (1)设 x∈(0,1]，则－x∈[－1,0)．
∵f(x)为偶函数， ∴f(x)＝f(－x)＝－x3＋ax，
即 x∈(0,1]时，f(x)＝－x3＋ax. (2)f(x)在(0,1]上单调递增，证明如下： f′(x)＝－3x2＋a，x∈(0,1]，
∴－3x2∈[－3,0)．
又 a>3，∴a－3x2>0，即 f′(x)>0.
小结 转化与化归思想就是在处理繁杂问题时通过转化，归 结为易解决的问题，本题中将函数性质的讨论归结到二次不 等式的解．
跟踪训练 2 如果函数 f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子 区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数 k 的取值范围
3 1≤k< 2 ． 是________
解析 显然函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1 4x2－1 y′＝4x－ ＝ . x x 1 由 y′>0，得函数 f(x)的单调递增区间为2，＋∞ ；
3.函数 f(x)的定义域为 R， f(－1)＝2， 对任意 x∈R， f′(x)>2， 则 f(x)>2x＋4 的解集为 A.(－1,1) C.(－∞，－1) B.(－1，＋∞) D.(－∞，＋∞) ( B )
解析 设 m(x)＝f(x)－(2x＋4)， 则 m′(x)＝f′(x)－2>0， ∴m(x) 在 R 上是增函数.∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0 的解集为{x|x>－1}，即 f(x)>2x＋4 的解集为(－1，＋∞).
a ＝1. 3
当 a<0 时，f′(x)＝a－3x2<0， ∴f(x)在(0,1]上单调递减，f(x)在(0,1]上无最大值． 3 27 综上，存在 a＝ ，使 f(x)在(0,1]上有最大值 1. 4
题型二
转化与化归思想在导数中的应用 ex 例 2 设 f(x)＝ ，其中 a 为正实数． 1＋ax2 4 (1)当 a＝ 时，求 f(x)的极值点； 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围． 2 1 ＋ ax －2ax x 解 (1)对 f(x)求导得 f′(x)＝e . ① 1＋ax22 4 当 a＝ ，若 f′(x)＝0，则 4x2－8x＋3＝0， 3 3 1 解得 x1＝ ，x2＝ . 2 2 综合①，可知 1 1 1 3 3 3 (－∞， ) ( ，) ( ， ＋∞) x 2 2 2 2 2 2
由
1 y′<0，得函数 f(x)的单调递减区间为0，2 ，由于函数在
区间(k－1，k＋1)上不是单调函数， 1 k－1< <k＋1 3 2 所以 解得 1≤k< . 2 k－1≥0
题型三
数形结合思想在导数中的应用
例 3 求函数 f(x)＝x3－3ax＋2 的极值， 并说明方程 x3－3ax ＋2＝0 何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根(其中 a>0)?
解 函数的定义域为 R，其导函数为 f′(x)＝3x2－3a.
由 f′(x)＝0 可得 x＝± a，列表讨论如下： x f′(x) f(x) (－∞， － a) ＋ ↗ － a 0 极大值 (－ a， a) － ↘ a 0 极小 值 ( a， ＋∞) ＋ ↗
3 由此可得， 函数在 x＝－ a处取得极大值 f(－ a)＝2＋2a 2 ； 3 在 x＝ a处取得极小值 f( a)＝2－2a 2 .
根据列表讨论，可作函数的草图(如图)．
3 因为极大值 f(－ a)＝2＋2a 2 >0，故当极小 3 值 f( a)＝2－2a 2 <0，即 a>1 时，方程 x3－3ax＋2＝0 有三 3 个不同的实根；当极小值 f( a)＝2－2a 2 >0，
即 0<a<1 时，方程 x3－3ax＋2＝0 有唯一的实根．
(2)由(1)知，当 a＝1 时，函数 f(x)没有极值；
当 a>1 时，函数 f(x)在 x＝0 处取得极大值 1， 在 x＝a－1 处取得极小值 1－(a－1)3.
小结
分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想，其实
质是“化整为零， 各个击破， 再积零为整”． 通过分类讨论， 可以把一个变幻不定的问题分解成若干个相对确定的问题， 从而使问题变得条理清晰，层次分明，易于解决．
解析 设 h(x)＝f(x)ex，则 h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝ (ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由 x＝－1 为函数 f(x)ex 的一个极值点， 得当 x＝－1 时，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a. ∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程 ax2＋bx＋a＝0 有两根 x1，x2，则 a x1x2＝ ＝1，D 中图象一定不满足该条件. a
导数及其应用--复习课
复习课: 导数及其应用教学目标重点：函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值，最值等问题． 难点：导数在解决实际问题中的作用．能力点：运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力． 教育点：培养学生观察、分析、归纳能力． 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻．易错点：利用求导数讨论函数的单调性，要注意'()f x ＞0是()f x 递增的充分条件而非必要条件． 学法与教具1．学法：讲授法、讨论法． 2．教具：多媒体、投影仪． 一、【知识结构】⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩极值问题含参数的讨论恒成立问题导数及其应用方程根的讨论证明不等式实际应用题二、【知识梳理】1．利用导数的几何意义，求切线方程，解决与切线方程有关的问题． 2．f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是f (x )在某个区间上递增(或递减)的充分条件．在区间(a ，b )内可导的函数f (x )在(a ，b )上递增(或递减)的充要条件应是____________(或____________)，x ∈(a ，b )恒成立，且f ′(x )在(a ，b )的任意子区间内都不恒等于0．这就是说，函数f (x )在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x 0处有f ′(x 0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f ′(x 0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f (x )是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f ′(x )不恒为0，则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立解出的参数的取值范围确定．3．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件，但并不充分 【范例导航】例1已知函数f (x )＝3ax 4－2(3a ＋1)x 2＋4x ． (1)当a ＝16时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在(－1，1)上是增函数，求a 的取值范围．【解答】(1)f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)．当a ＝16时，f ′(x )＝2(x ＋2)(x －1)2，∴f (x )在(－∞，－2]内单调递减，在[－2，＋∞)内单调递增，当x ＝－2时，f (x )有极小值．∴f (－2)＝－12是f (x )的极小值．(2)在(－1，1)上f (x )是增函数，由此可得在(－1，1)上， f ′(x )＝4(x －1)(3ax 2＋3ax －1)≥0， ∴3ax 2＋3ax －1≤0．①令g (x )＝3ax 2＋3ax －1 (－1<x <1)， ①当a ＝0时，①恒成立；②当a >0时，若①成立，根据二次函数g (x )＝3ax 2＋3ax －1 (－1<x <1)的图象，只需满足g (1)＝3a ×12＋3a ×1－1≤0， 即a ≤16，∴0<a ≤16；③当a <0时，若①成立，根据二次函数g (x )＝3ax 2＋3ax －1 (－1<x <1)的图象，只需满足g ⎝⎛⎭⎫－12＝3a ×⎝⎛⎭⎫－122＋3a ×⎝⎛⎭⎫－12－1≤0，即a ≥－43，∴－43≤a <0． 综上所述，f (x )在(－1，1)上是增函数时，a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－43，16． 【点评】(1)根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决．(2)在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在导数的单调性的讨论中是经常遇到的，值得考生特别注意． 变式训练:设函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ． (1)当a ＝－103时，讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围；(3)若对于任意的a ∈[－2，2]，不等式f (x )≤1在[－1，0]上恒成立，求b 的取值范围． 解析 (1)f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫12，2上是减函数 (2)⎣⎡⎦⎤－83，83 (3)(－∞，－4]例2已知函数f (x )＝x 2－a ln x 在(1，2]是增函数，g (x )＝x －a x 在(0，1)为减函数． (1)求f (x )、g (x )的解析式；(2)求证：当x >0时，方程f (x )＝g (x )＋2有唯一解． 【解答】 (1)解 f ′(x )＝2x －a x，依题意f ′(x )≥0，x ∈(1，2]， 即a ≤2x 2，x ∈(1，2]．∵上式恒成立，∴a ≤2． ①又g ′(x )＝1－a2x ，依题意g ′(x )≤0，x ∈(0，1)，即a ≥2x ，x ∈(0，1)． ∵上式恒成立，∴a ≥2．②由①②得a ＝2．∴f (x )＝x 2－2ln x ，g (x )＝x －2x ． (2)证明 由(1)可知，方程f (x )＝g (x )＋2， 即x 2－2ln x －x ＋2x －2＝0． 设h (x )＝x 2－2ln x －x ＋2x －2， 则h ′(x )＝2x －2x －1＋1x，当h ′(x )＝0时，(x －1)(2x x ＋2x ＋x ＋2)＝0，解得x ＝1． 令h ′(x )>0，并由x >0，解得x >1． 令h ′(x )<0，由x >0，解得0<x <1． 列表分析：可知h (x )在x ＝1∴h (x )＝0在(0，＋∞)上只有一个解．即当x >0时，方程f (x )＝g (x )＋2有唯一解．【点评】研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用．将方程、不等式等有关知识和导数结合的综合性问题主要考查综合运用有关知识分析问题、解决问题的能力． 变式训练:已知f (x )＝ax 2 (a ∈R )，g (x )＝2ln x ． (1)讨论函数F (x )＝f (x )－g (x )的单调性；(2)若方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不等解，求a 的取值范围． 解 (1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －2x ＝2(ax 2－1)x(x >0)．①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >1a． 由ax 2－1<0，得0<x <1a． 故当a >0时，F (x )的递增区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ．②当a ≤0时，F ′(x )<0 (x >0)恒成立． 故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减． (2)ln 22≤a <1e例3设函数f (x )＝x 2＋b ln(x ＋1)，其中b ≠0． (1)当b >12时，判断函数f (x )在定义域上的单调性；(2)求函数f (x )的极值点；(3)当b ＝－1时，试证明对任意的正整数n ，不等式ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1>1n 2－1n 3都成立． 【解答】(1)解 函数f (x )＝x 2＋b ln(x ＋1)的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋bx ＋1＝2x 2＋2x ＋b x ＋1，[1分]令g (x )＝2x 2＋2x ＋b ，则g (x )在⎣⎡⎭⎫－12，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎦⎤－1，－12上单调递减， 所以g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋b ，[3分]当b >12时，g (x )min ＝－12＋b >0，即g (x )＝2x 2＋2x ＋b >0在(－1，＋∞)上恒成立， 所以f ′(x )>0．即当b >12时，函数f (x )在定义域(－1，＋∞)上单调递增．[4分] (2)解 ①由(1)，知当b >12时函数无极值点，[5分]②当b ＝12时，f ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫x ＋122x ＋1≥0，∴b ＝12时，函数在(－1，＋∞)上无极值点．[7分]③当b <12时，解f ′(x )＝0得两个不同解，x 1＝－1－1－2b 2，x 2＝－1＋1－2b 2．当b <0时，x 1＝－1－1－2b 2<－1，x 2＝－1＋1－2b2>0，∴x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，＋∞)， 此时f (x )在(－1，＋∞)上有唯一的极小值点 x 2＝－1＋1－2b2，当0<b <12时，x 1，x 2∈(－1，＋∞)，f ′(x )在(－1，x 1)，(x 2，＋∞)上都大于0， f ′(x )在(x 1，x 2)上小于0， 此时f (x )有一个极大值点x 1＝－1－1－2b 2和一个极小值点x 2＝－1＋1－2b2． [9分]综上可知，当b <0时，f (x )在(－1，＋∞)上有唯一的极小值点x 2＝－1＋1－2b2；当0<b <12时，f (x )有一个极大值点x 1＝－1－1－2b 2和一个极小值点x 2＝－1＋1－2b2；当b ≥12时，函数在(－1，＋∞)上无极值点．[10分](3)证明 当b ＝－1时，f (x )＝x 2－ln(x ＋1)， 令h (x )＝x 3－f (x )＝x 3－x 2＋ln(x ＋1)， 则h ′(x )＝3x 2－2x ＋1x ＋1＝3x 3＋(x －1)2x ＋1，显然h ′(x )在[0，＋∞)上恒为正， ∴h (x )在[0，＋∞)上单调递增，[12分]当x ∈(0，＋∞)时，恒有h (x )>h (0)＝0， 即当x ∈(0，＋∞)时，有x 3－x 2＋ln(x ＋1)>0， 即ln(x ＋1)>x 2－x 3， 所以对任意正整数n ，取x ＝1n ，可得ln ⎝⎛⎭⎫1n ＋1>1n 2－1n 3恒成立．【点评】第(1)问先求出函数的定义域，然后通过判断导函数的符号来确定函数的单调性；第(2)问需要对b 的取值进行分类讨论；第(3)问注意要证明的不等式的结构特征，可把1n 看做一个变量构造新函数g (x )＝x 3－x 2＋ln(x ＋1)，通过利用导数求解函数的最值来证明不等式． 该题的难点有两个，一个是第(2)问中求解函数的极值要根据b 的取值范围进行分类讨论；二是证明关于n 的不等式，解决此类问题的一般思路是将不等式直接转化为关于n 的函数的最值问题来解决． 变式训练:设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0，0)点相切．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当0＜x ＜2时，f (x )＜9xx ＋6．解：(1)由y ＝f (x )过(0，0)点，得b ＝－1．由y ＝f (x )在(0，0)点的切线斜率为32，又y ′⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＝0＝⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋12x ＋1＋a x ＝0＝32＋a ，得a ＝0．(2)(证法一)由均值不等式，当x ＞0时，2(x ＋1)·1＜x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1＜x2＋1．记h (x )＝f (x )－9xx ＋6，则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54(x ＋6)2＝2＋x ＋12(x ＋1)－54(x ＋6)2＜x ＋64(x ＋1)－54(x ＋6)2 ＝(x ＋6)3－216(x ＋1)4(x ＋1)(x ＋6)2．令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0＜x ＜2时， g ′(x )＝3(x ＋6)2－216＜0．因此g (x )在(0，2)内是递减函数，又由g (0)＝0，得 g (x )＜0，所以h ′(x )＜0．因此h (x )在(0，2)内是递减函数，又h (0)＝0，得h (x )＜0．于是当0＜x ＜2时，f (x )<9xx ＋6．(证法二)由(1)知f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1－1． 由均值不等式，当x ＞0时，2(x ＋1)·1＜x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1＜x2＋1．①令k (x )＝ln(x ＋1)－x ，则k (0)＝0，k ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1＜0，故k (x )＜0，即ln(x ＋1)＜x ．②由①②得，当x ＞0时，f (x )＜32x ．记h (x )＝(x ＋6)f (x )－9x ，则当0＜x ＜2时， h ′(x )＝f (x )＋(x ＋6)f ′(x )－9＜32x ＋(x ＋6)⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋12x ＋1－9 ＝12(x ＋1)[3x (x ＋1)＋(x ＋6)(2＋x ＋1)－18(x ＋1)] <12(x ＋1)[3x (x ＋1)＋(x ＋6)⎝⎛⎭⎫3＋x 2－18(x ＋1)] ＝x 4(x ＋1)(7x －18)＜0． 因此h (x )在(0，2)内单调递减，又h (0)＝0，所以h (x )＜0，即f (x )＜9xx ＋6．【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用。
导数及其应用阶段复习课(共107张PPT)
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所以当 x＝ 1a时，g(x)取得最大值，最大值为 g 1a＝－ a. 所以 b≥－ a.
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第 2 讲 │ 要点热点探究
当 0<a≤1 时， 1a≥1，此时 g′(x)≥0 在区间(0,1]上恒成 立，所以 g(x)＝－a2x－21x在区间(0,1]上单调递增，当 x＝1 时， g(x)最大，最大值为 g(1)＝－a＋2 1，所以 b≥－a＋2 1.
＋0－0 ＋
f(x) 0 增函数 4 减函数 0 增函数 4
所以函数 f(x)＝x3－6x2＋9x 在区间[0,4]上的最大值
是 4，最小值是 0.
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第 2 讲 │ 要点热点探究
► 探究点五 函数、导数及不等式的综合 例 6 已知函数 f(x)＝13ax3＋bx2＋x＋3，其中 a≠0. (1)当 a，b 满足什么条件时，f(x)取得极值？ (2)已知 a>0，且 f(x)在区间(0,1]上单调递增，试用 a 表示
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第 2 讲 │ 要点热点探究
【点评】 不等式恒成立问题往往转化为研究函数最值问 题．但要注意满足 f′(x0)＝0 的点 x＝x0(称为驻点)只是它为极 大(小)值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极 值点，往往容易导致失误．
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第 2 讲 │ 要点热点探究
2x为单调递减函在区间01上恒成立所以gxax2x在区间01上单调递增当x1gx最大最大值为g1a132点评本题为三次函数利用求导的方法研究函数的极值单调性和函数的最值函数在区间上为单调函数则导函数在该区间上的符号确定从而转化为不等式恒成立问题再转化为函数研究最值
《导数及其应用》课件(复习课
存在性：在闭区间[a，b]上连续函 数f(x)在[a，b]上必有最大值与最 小值．
求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求 法：
1. 求出f(x)在(a，b)内的极值； 2. 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，
较小的一个是最小值.
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x3 3x2 9x a . （Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 f x 在区间2, 2 上的最大值为 20,求它在该
（II）由（I）知，
f
(x)
3mx2
6(m
1) x
3m
6
= 3m( x
1)
x
1
2 m
当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表： m
x
,1
2 m
1 2 m
1
2 m
,1
1
1,
f (x)
0
0
f (x)
极小值
极大值
故由上表知,当
m
0 时,
f
解： f/(x)=3x2－ 1，
∴k= f/(1)=2
∴所求的切 线方程为：
y－2=2(x －1),
即 y=2x
例1．已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处 的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0)
又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，
知识讲解-《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理)
《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组. 要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤. （2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤） 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题（1）确定函数的定义域；（2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x )＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 要点五：定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =ξ，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n →∞=-=∑⎰ξ． 要点诠释： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bb baaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如12(1)xdx+⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同．要点六：定积分的几何意义要点诠释：从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图a 中的阴影部分)的面积.（1）当()0f x ≤时，由()y f x =、x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）．（2）当()f x 在区间[a ，b ]上有正有负时，积分()d baf x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）．在如图（c ）所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰．要点七：定积分的运算性质 性质1：()d ()bba ak f x x k f x kS ==⎰⎰；性质2：[()g()]d ()g()d bb baaaf x x x f x x x ±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。
人教A版高中数学选修1-1 第三章 导数及其应用复习课说课教学课件 (共32张PPT)
2.6【畅所欲言------说反思】
出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分 类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这 方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的 基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总
结。你体会到了吗？比如：
2.3【各抒己见------说解法】(1)
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。
（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
2.3【各抒己见------说解法】（2)
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。
(2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
f(-a)
f(-3)
-2 -3 -a
f(-2)
a2 (3) 3 a 解得a ？ 至多两个零点，不合题意
f(-a)
f(-3)
-2 -a -3
f(-2)
2.3【各抒己见------说解法】（3）
2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
导数及其应用 阶段复习课 课件
【拓展延伸】确定导函数符号的方法 确定函数单调性的关键是确定导函数的符号，导函数的符号确 定可以借助以下方法完成： (1)解关于导函数的不等式. (2)利用导函数的单调性，如果导函数较复杂，还可以利用导 数判定导函数的单调性. (3)数形结合，利用导函数图象找出其大于零和小于零的区间. (4)含有参数时，经常利用分类讨论思想，将参数取值分类后， 确定导函数值的符号.
(iii)当0＜a＜1时，由g′(x)=0得 x 1 a＞0.
2a
①若 1≥a 1，即0＜a≤ 时1，g(x)在［0，1］上单调递增，
2a
3
g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a，在x=1处取得最大值
g(1)=(1-a)e.
②若 1＜a 1，即 ＜1a＜1时，g(x)在x= 1处 a取得最大值
②设函数y=x3-x图象上切点的坐标为P(x0，x03-x0)，
则切线斜率为
k
y
|xx0
3x
2 0
1，
切线方程为y-(x03-x0)=(3x02-1)(x-x0)，
由于切线经过点(1，0)，
所以0-(x03-x0)=(3x02-1)(1-x0)， 整理，得2x03-3x02+1=0，即2(x03-1)-3(x02-1)=0， 所以2(x0-1)(x02+x0+1)-3(x0+1)(x0-1)=0， 所以(x0-1)2(2x0+1)=0，
由Δ=b2+8a>0，
得
x1
b
b2 4a
8a
，x 2
b
b2 8a ， 4a
显然，x1<0，x2>0.
当0<x<x2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
高考数学-导数-专题复习课件
)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3
导数及其应用(复习课)
导数及其应用复习课【本章知识回顾】一、导数的概念1．函数)(x f 在区间[]21,x x 上的平均变化率为_______（平均变化率反映了曲线的陡峭程度）2．设点Q 为曲线C 上不同于点P 的一点，则直线PQ 称为曲线的割线．当点Q 沿曲线C 向点P 无限逼近时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 就称为曲线在点P 处的切线．3．设物体的位移S 与时间t 满足)(t S S =，则物体在0t t =时刻的瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率，即______________________；物体在0t t =时刻的瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率，即____________________________．４．（１）导数—函数在某一点处的瞬时变化率，函数)(x f 在0x x =处的导数，记为_____， （２）导数)(0x f '的几何意义是_________________________________________________． （３）辨析下列符号：)(x f '，)(0x f '，[]')(0x f ，)3(0+'x f二、导数的运算１．常见函数的导数： )(x f)(x f ' 幂函数αx y =指数函数x a y =（0a >且1a ≠）对数函数x y a log =（0a >且1a ≠）x e y =x y ln =正弦函数x y sin =余弦函数x y cos =２．函数的和、差、积、商的导数（1）[]_________________________)()(='±x g x f ；（2）[]___________________________)()(='⋅x g x f ； （3）_______________________)()(='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ． ３．复合函数的导数：如何求复合函数()y f ax b =+的导数？①________________②___________________③__________________________．三、导数在研究函数中的应用１．单调性：①函数单调性与导数的关系：① 如何求函数)(x f y =的单调区间？______________________________________________________________________________；②若函数)(x f y =在区间D 上为增函数，则_______________________________________；若函数)(x f y =在区间D 上为减函数，则_________________________________________．２．极值：（１）利用导数求函数极值的步骤：______________________________________（２）“0)(0='x f ”是“函数)(x f y =在0x x =处有极值”的___________________条件．３．函数的最值：如何利用导数求函数)(x f y =的最值？______________________________________________________________________________；【知识形成训练】1．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线30x y -=，则点P 的坐标为 ．2．设P 为曲线2:1C y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[1,3]-，则点P 纵坐标的取值范围是______________． ３．函数1ln 1ln x y x-=+的导数为____________________． 4．设))(()(,),()(),()(,sin )('1'12'010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+ ，则=)(2012x f .5．函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则=a _______．6．函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是_________________．7．函数x x x f ln )(-=的单调减区间为_________________．8．已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f ，若)(x f 的单调减区间是[]0,4，则实数k 的值为 .9．已知函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_______．10.已知函数)(x f x y '=的图象如图所示,下面四个图象中)(x f y =的图象大致是_____11．设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3．（1）求)(x f 的极值；（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围；（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围．12．已知32()2f x ax bx x c =+-+在2x =-时有极大值6，在1x =时有极小值．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．13．已知函数2()ln f x a x x =+，a R ∈．（1）若2a =-，求证：函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 值；（3）若存在[]1,x e ∈，使得()(2)f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围．14．设函数d cx bx x a x f +++=43)(23的图象关于原点对称，)(x f 的图象在点p （1，m ）处的切线的斜率为—6，且当2=x 时)(x f 有极值。
导数及其应用复习完整版
《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1．在求平均变化率时，自变量的增量为（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆=D ． 0x ∆≠ 【答案】D2．函数f (x )＝2x 2－1在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 变式．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是__________.3． 下列求导正确的是 ( ) 【答案】BA.（x+x 1）′=1+21x B. (log2x)′=ln21x C. (3x)′=3xlog3xD. (x2cosx)′=－2xsinx4．下列说法正确的是（ ）A ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线；B ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线，则)(0x f '必存在；C ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在；D ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线。
【答案】C5．设,M m 分别是()f x 在区间[],a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，由上述估值定理，估计定积分2212x dx --⎰的取值范围是 ．【解析】：因为当12x -≤≤ 时，204x ≤≤ ，所以，212116x -≤≤所以由估值定理得：()()221121212116x dx --⨯--≤≤⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰， 即22132316x dx --≤≤⎰，所以答案应填：3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6．211dx x +=⎰⎰．【答案】ln 24π+ 题型二、导数的几何意义7．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 8．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．变式1．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.变式2．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6] 变式 3.已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16，则实数m 的值为 ．9．已知抛物线y ＝x 2，直线l ：x －y －2＝0，则抛物线上的点到直线l 的最短距离是 ． 变式.点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．题型三、导数的综合应用 类型1：导数的运算性质10.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-+∞ B ．(3,0)(0,3)- C ．(,3)(3,)-∞-+∞ D ．(,3)(0,3)-∞-变式1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0.设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是______ ．变式2．设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)变式3．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________． 变式4．定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，都有()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为（ ）A ．{}1x x ≠±B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-【解析】：当0x >时，由()()220f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得： ()()2220xf x x f x x -'-< 设：()()22g x x f x x =-，则()()()2220g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：∴()g x 在(0)+∞，单调递减，由()()2211x f x f x -<-∴()()2211x f x x f -<-，即()()1g x g <，即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-；综上可知：实数x 的取值范围为()()11-∞-⋃+∞，，，故选：B变式5．函数()f x 的定义域是R ，(0)3f =，对任意,()()1x R f x f x ∈+>/，则不等式()2x xe f x e ⋅>+的解集为（ ）A ．{|0}x x <B ．{|0}x x >C ．{|1,}x x x <->或1D ．{|1,1}x x x <-<<或0 【解析】∵()()1f x f x +>/，∴()()0xxxe f x e f x e +>>/，∴[()1]()0xxe f x e f x -+>/，即{[()1]}0x e f x '->，∴函数()[()1]x F x e f x =-在R 上单调递增，且0(0)[(0)1]2F e f =-=∴ ()2[()1]2x x x e f x e e f x ⋅>+⇔->，∴x>0，故选B类型2：单调性问题11．函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）DA ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 变式1．已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上不单调，实数a 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()()4,00,4- C ．()0,2 D ．()0,4【答案】D变式2．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()()sin cos f A fB > B ．()()sin cos f A f B <C ．()()sin sin f A f B >D ．()()cos cos f A f B < 12．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)变式1．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．变式2．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．变式3．函数32y x ax bx =++在(,1)-∞-上单调递增，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上递增，则,a b 的值为( ) AA 、3,62a b =-=-B 、36,2a b =-=- C 、3,2a b == D 、3,6a b =-=-变式4．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)13．已知f(x)=e x -ax-1.（1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】解 ： f ′(x)= e x -a.(1)若a ≤0，f ′(x)= e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x ＞0,∴a ≤0.[来源:Z §xx §] （3）由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立. ∵e x 在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤1，∴a=1.14．设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 【答案】解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.[所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得211a x a --<,或211a x a +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,)a a ---∞和211(,)a a +-+∞, 单调递减区间221111(,)a a a a--+-. ……………9分 ②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>得221111a a x a a +---<<； 由()0f x '<得211a x a +-<,或211a x a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)a a --+∞, 单调递增区间221111(,)a a a a+---. ……………12分 ④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.类型3：图像问题15．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ． D.【解析】：由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B 正确16．函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示， 则 ()f x 在(,)a b 内的极大值点有（ ）BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个变式1.如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能（ ）O thh t O h t O O t h变式2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )类型4：极值（最值）问题17．已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1，且曲线上一点02, 2p y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13. （1）曲线在P 点处的切线方程； （2）求函数()f x 的极大值和极小值【答案】解：（1）因为函数()313f x x ax b=-+在y 轴上的截距为1，所以1b = 又'2y x a =-，所以2211 236a a ⎛⎫-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭()311 136f x x x ∴=-+ 所以0212y f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故点2,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以切线方程为12132y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 即26620x y -+-=（2）由题意可得，令()'2106f x x =-=得66x =±列表如下：x6,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭66- 66,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭666,6⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+- 0 + ()f x增区间极大 减区间极小增区间所以函数的极大值为661f ⎛=+ ⎝⎭， 极小值为661f =⎝⎭18．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 经检验合题意；………4分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ，当0)(/<x f 时，10<<x ，)(x f 单调递减；当0)(/>x f 时，1>x ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ ……8分 （3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，列表略 依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c ………………12分 19.已知函数()()xf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在区间]2,1[上的最小值；（3）设)(')()(x f x f x g +=，当2523≤≤k 时，对任意]1,0[∈x ，都有λ≥)(x g 成立，求实数λ的范围。