列一元二次方程解应用题之面积问题.doc
列一元二次方程解有关面积问题
２ １．上 述 方 法 为 矩 形 面 积 的直 ４８ 接 表 示 方 法 ． 外 ， 图 还 可 将 三 另 此 条 小 路 进 行平 移 。将 阴影 部 分 的 矩 形 进 行平 移 得 如 下 几 何 图 形 ：
解
设道 路修 建 ｍ宽 ．
依题 意 ， （０ ）６ — ｘ ＝ ４ ８ 得 ４ （４ ２ ） ２ １ ．
・ ．
．
ｘ２
－
７ｘ ２ ＋７１ ＝Ｏ，
・
． ．
１ｌｘ＝ １ 舍 ） ＝ ，２７ （ ．
显然 空 白部 分 的长 和宽 分 别 为 （４ ） ６ 一 以及 （０ ）这 样 空 白 ４咄 ，
部 分 的 面 积 为 （４ ） （ ０ ｘ ， ６ 一 ・４ － ）
答 ： 路应 修建 １ 道 ｍ宽 ．
故 得方 程 （４ ２ ）４ － ）２ １． ６ —ｘ （０ ｘ＝ ４ ８
点缀 所 建 的 仓 库 只 有 三
如图所 示 ， 建一 个 面积为 １０ｍ 的仓 库 ， 库 的一边 要 ３ 仓
所 以 ６块
６ ２ ４－ ｘ
×
—
—
条边长为 二 ｍ 丝
．
３
三条 道路 ， 两条 纵 向 ，一条 横 向，并 且互相 垂直 ，把广 场 分成 大
－
—
面 积 总 和 为 ６×— ｘ ４ ０
２
：
３
小相等 的６ ，用来 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ草坪 ，如 图所 示． 草坪 的面积 ￣２ １ ｍ ， 块 要使 ４８
Ｕ 册
一
元二 次方 程
有 面积 问题
。
露
利用面积求线段的长度是一元二次方程的常见题型， 这
列一元二次方程解应用题
列一元二次方程解应用题解应用题的关键是：能够理解题目中所给条件的关系，找出题目中的等量关系，列出方程。
1.面积问题[提示：面积问题一定要画图分析]例1：穗园小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为875m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10m，那么绿地的长和宽各为多少？例2如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.解：设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得(60－2x)（）＝800解得：x1= , x2= 答：截去正方形的边长为。
例3、有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18m），另三边用竹篱笆围成。
如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少？解：(1) 如果鸡场的靠墙一边为长，则设鸡场的宽为xm ，长为（35-2x）m，根据题意得：x( )=150整理得：2x2-35x+150=0解得：x1=________, x2=________________因为__________________________________,所以x=_________符合题意。
因为______________________=20>18，不符题意，所以舍去。
答：鸡场的长与宽各为15m,10m 。
（2）如果鸡场的靠墙一边为宽，则设鸡场的长为ym ，宽为（35-2y）m，根据题意得：y( )=150整理得：____________________________________-解得：y1= , y2=35-2y1= __________________________________,35-2y2=__________________________课堂练习1：学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半.已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径.解：设_______________________ 列得方程_________________________________________2．根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好.已知学校礼堂舞台宽20米，求举行文娱会演时主持人应站在何处？解：设_______________________ 列得方程_________________________________________3.要做一个容积是750cm2,高是6cm，底面的长比宽多5cm的长方形匣子，底面的长和宽应该是多少？4.要给一幅长30cm，宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，•且镜框所占面积为照片面积的四分之一，求镜框边的宽度。
列一元二次方程解面积类应用题教案
成共识6、（CAI动态演示）各图形中路的平行移动过程，师概括点明做此类题目的方法并板书过程。
7、观察图形⑸，能否用上述方法，又如何理解呢？同学们讨论得出将图⑹的路平行向四周移动可得图⑸（CAI动态演示）。
8、学生独立完成此题。
（CAI课件展示）例2、要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.1、讨论：此题与上题的图⑸有什么不同？又如何解答？2、师讲解：如何由封面及正中的长宽比例相同为9:7，得出上、下边衬宽与左、右边衬宽的比也是9：7.。
3、学生讨论得出直接设中央的长与宽的比9X:7X，从而列方程求解。
4、一人演板。
5、集体订正，强调结果验证。
1、如图，某中学为方便师生活动，准备在长30 m，宽20 m的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？论形成的结果，易记熟且能灵活运用。
设疑，激发学生积极思考用题目之间的联系培养学生灵活处理问题的能力。
此方法不易理解，但可以借助图⑸，拓宽了学生的知识面。
设元的灵活性。
触类旁通，你有哪些心得体会。
拓展延伸总结反思2、有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡场的长和宽各多少米？归纳小结：系统地总结此类应用题的解法。
布置作业：（略）板书设计：12.6 一元二次方程的应用（二）例1．略例2．略解：设………解：………………………………课后反思，本节课的收获，还有没有需要老师帮助解决的问题。
18米2米。
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
12.解一元二次方程的实际应用——面积问题
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试
x
35－2x 当x=7.5时，35-2x=20＞18，因此不合题意，舍去；
当x=10时，35-2x=15. 答：鸡场的长、宽分别为15米、10米.
例2 某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地四周修
筑等宽的道路,中间的矩形部分作草坪, 若草坪的面积为540米2，求图中道路 的宽是多少? x x 32－2x 20－2x x x 解：设草坪四周道路的宽为x米， 则草坪的长为(32－2x)米，宽为(20－2x)米.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分
英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出
一元二次方程应用 面积问题问题
实践收入 翻一翻，那么这两年中财政 收 入 的 平均年 增长率 应 是多少？翻二翻， 翻三翻呢？翻n翻呢？列 出方程即可
问题2： 某服装厂花1200元购进一批服 装，按40% 的利润定价，无人购买，决定 打折出售，但仍无人购买，结果又一次打 折才售完，经结算，这批服装共赢利280 元，若两次打折相同，每次打了几折？列 出方程即可
2.设体积为S，则S= (10-2x)2
3.折合成的长方体体积不随截去的正方 形的边长的增大而 增大，有最大值。
4.设体积为V，则V=x(10-2x)2
1、现有长方体塑料片一块，19cm, 宽15cm,给你锋利小刀一把，粘胶、 直尺、你能做一个底面积为77cm2 的无盖的长方体水槽吗？说说 你是 怎样做的？
D 1000(1+x)2=2500
2 某厂一月份的产值为10万元,第 一季度的总产值为70万元,设平均 每月的增长率为X,根据题意列出方 程是( C )
A 10(1-x) 2=70
B 10(1+x)+10(1+x)2=70
C 10+10(1+x)+10(1+x)2=70
D 10(1+x)2=70
例2、某药品经两次降价， 零售价为原来的一半。已知 两次降价的百分率一样，求 每次降价的百分率。（精确 到0.1℅）
C 1+2x=2
D (1+x)+2(1+x)2=4
例2，市场经济不仅让我们走上富裕之路， 而且让我们科学的经营方法，个体户张 某 原计划按600元每套销售一批西服，但 上市后销售不佳，为使资金正常运转， 减少库存积压，张某将这批西服连续两 次降价处理，调整价格到了384元，如两 次降价率相同，求每次降价率为多少？ 两次打折 标示多少折？
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
(32 2x)(20 2x) 570 化简得，x2 36x 35 0
(x 35)(x 1) 0 x1 35, x2 1
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
例3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面 利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔 有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米， 面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为（5－2x） m,得
8
x
x
x
（8－2x）
5
１８m2
x
例1. 镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的
例2：在一块长80米，宽60米的运动场 外围修筑了一条宽度相等的跑道，这 条跑道的面积是1500平方米，求这条 跑道的宽度。
列一元二次方程解应题
补充练习： 1、（98年北京市崇文区中考题）如图，有一面 积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 （墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边 （门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米．求鸡 场的长和宽各多少米？
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm, 点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点 B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC 边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出 发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
一元二次方程应用题-----面积类
Q A C P 图4
列一元二次方程解应题
小结：解决这类问题的关键是掌握常见 几何图形的面积体积公式，并能熟练计 算由基本图形构成的组合图形的面积．
达标检测：
1、一间会议室，它的地板长为20m，宽为15m，现在准备 在会议室地板的中间铺一块地毯，要求四周没铺地毯的部分宽 度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半，那么没铺 地毯的部分宽度应该是多少？
一元二次方程应用 ---面积类
例1：一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图， 它的长为8cm，宽为5cm．如果镜框中央长方形图案的 面积为18cm2 ，则花边多宽? 审 解：设镜框的宽为xcm ，则镜框中央长方形图案的长 为 cm,宽为 （5－2x）cm,得 （8－2x） 设
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18
【解析】(1)设宽AB为x米， 则BC为(24-3x)米，这时面积 S=x(24-3x)=-3x2+24x (2)由条件-3x2+24x=45 化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3 ∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8 ∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
练习2：
如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙 围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该怎 么设计? 解:设苗圃的一边长为xm, 则
（8－2x）
解得X1＝1，
X2＝5.5(不合题意) 答:镜框的宽为1m.
列 解
答
练习1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长
方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成 一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求 截去正方形的边长。
练习2学校要建一个面积为150平方米的长方形自行
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《列一元二次方程解应用题之面积问题》教学案
教学目标： 1.以面积的计算为载体，进一步培养学生运用方程的思想解决实际问题的意
识，提高学生建立方程模型的能力
2.体会变换在解决数学问题的作用，进一步强化学生问题转化的意识，进
而形成解决问题的能力
教学重点：构建方程模型
教学难点：应用恰当等积变换，探索问题中隐含的等量关系
教学过程：
一、解方程(引入)
（1）x2-52x+100=0 2
(2) x -36x+35=0
二、例题：某学校准备在一块长32 米，宽 20 米的草地上
修筑道路互相垂直的两条道路（道路的宽度相等），
使余下的草坪的面积为540 平方米，求这个方案的
道路的宽度。
变式 1 若改变道路的形状如下图（变式1），其他条件不变，那么应该怎么列方程？
变式 1
变式 2. 若改变道路的条数如下图，且设计草坪的总面积是570 平方米。
其他条件不变，那么应该怎么列方程？
变式 2
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变式 3.方案设计
问题：学校准备在一块长32 米，宽 20 米
的草地上修筑道路，决定在全校征集修改方案。
方案要求 :①两条竖道保存不变。
②横道不能是直道。
③所有道路入口要相等，注明图形名称。
④使余下的草坪的面积仍然为570 平方米。
变式 3 你能帮学校修改这个方案吗？并标出入口的宽度
三、小结（从数学思想的角度）
四、效果反馈
某小区中间有一块长方形的草地，长18 米，宽 10 米，中间有两条均匀的小路（小路的人口相等）。
已知要求草地的面积为128 平方米求，小路的入口的宽度。
五、课后作业
如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 米，下底长180 米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各
甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．
（1）用含的式子表示横向甬道的面积为___________ 平方米
（2）当三条甬道的面积是 1500 平方米时，求甬道的宽度。
（1552=24025； 1452=21025）。