高二数学下学期中段考试试题
2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州市长河高级中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知两个向量()()1,2,1,2,,2a b m ==，若a b ⊥，则m 的值为（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．8【答案】B【分析】直接利用空间向量垂直的坐标运算计算即可.【详解】因为a b ⊥，所以0a b ⋅=，即2220m ++=，解得2m =-. 故选：B2．已知直线l 过点()2,4P ，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的两倍，则直线l 的方程为（ ） A ．20x y -=B ．280x y +-=C ．20x y -=或2100x y +-=D ．20x y -=或280x y +-=【答案】D【分析】对直线l 是否经过原点分类，结合条件，求出l 的方程．【详解】解：若直线l 经过原点，满足条件，可得直线l 的方程为2y x =，即20x y -=； 若直线l 不经过原点，可设直线l 的方程为12x ya a+=()0a ≠， 把点()2,4P 代入可得2412a a+=，解得4a =， ∴直线l 的方程为148x y+=，即280x y +-=， 综上可得直线l 的方程为20x y -=或280x y +-=； 故选：D ．3．如图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，则()()55limx f x f x x∆→+∆--∆=∆（ ）A ．12-B ．2C ．1-D ．2-【答案】D【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到()51f '=-，利用导数的概念解出即可. 【详解】依题意可知切点()5,3P ，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+，∴ ()51f '=-，即()()55lim 1x f x f x∆→+∆-=-∆∴()()()()5555lim2lim2x x f x f x f x f x x x∆→∆→+∆--∆+∆--∆=∆∆又()()()()5555limlim12x x f x f x f x f x x ∆→∆→+∆--∆+∆-==-∆∆ ∴()()()()5555lim2lim22x x f x f x f x f x xx∆→∆→+∆--∆+∆--∆==-∆∆即()()55lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆故选：D.4．已知动圆圆心在抛物线24x y =上，且动圆恒与直线1y =-相切，则此动圆必过定点（ ） A ．()2,0 B ．()1,0 C ．()0,1 D ．()0,1-【答案】C【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，根据抛物线的定义判断即可.【详解】解：抛物线24x y =的焦点坐标为()0,1F ，准线方程为1y =-，依题意根据抛物线的定义可知动圆必过点()0,1F ； 故选：C5．“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烩鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（ ） A ．480 B ．240 C ．384 D ．1440【答案】A【分析】利用插空法求解，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空即可.【详解】根据题意，先排列“糟烩鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”这4道菜，共有44A 24=种方法，4道菜排列后，有5个空，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空，有25A 20=种方法，所以由分步计数原理可知共有2420480⨯=种不同的上菜顺序， 故选：A6．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且4813S S =，则816SS 等于（ ）A ．18B ．19C ．13D ．310【答案】D【分析】由题设及等差数列前n 项和公式可得114618283a d a d +=+，求1,a d 的数量关系，进而求816S S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题设，41814618283S a d S a d +==+，可得152a d =， ∴8116182831612010S a d S a d +==+. 故选：D.7．某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为()0p p ≠，考试次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值可能是（ ） A ．12 B ．512C ．712 D ．34【答案】B【分析】根据独立重复实验的概率计算方法求出随机变量X 的分布列，根据数学期望的公式即可计算p 的范围.【详解】考试次数X 的所有可能取值为1，2，3，()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()231P X p ==-，∴()()()22131 1.75E X p p p p =+-+->， 即241250p p -+>，解得2p 1<或52p >， 又01p <<，故102p <<． 故选：B.8．已知双曲线22221x y a b -=，过左焦点F 作一条渐近线的垂线，记垂足为P ，点Q 在双曲线上，且满足FQ QP =，则双曲线的离心率为（ ） A1 BCD ．2【答案】C【分析】设P 在渐近线b y x a=-上，直线FP 的方程为()ay x c b =+，联立求得2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由FQ QP =，求得2,222a c ab Q c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程化简即可得出答案.【详解】设P 在渐近线b y x a=-上，直线FP 的方程为()ay x c b =+，由()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得2,a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由FQ QP =，得Q 为FP 的中点，又因为(),0F c -所以2,222a c ab Q c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为Q 在双曲线上，所以2222222()1,44c a a a c c+-=化简得：222,c a =ce a=故选：C二、多选题9．某同学投篮1次，投中的概率是0.8，他连续投篮4次，且他每次投篮互不影响，则下列四个选项中，正确的（ ） A ．他第3次投中的概率是0.8 B ．他恰投中3次的概率是30.80.2⨯C ．他至少投中1次的概率是410.2-D ．他恰好有连续2次投中的概率为330.80.2⨯⨯ 【答案】AC【分析】利用相互独立事件的概率和独立重复试验的概率公式判断即可.【详解】A 选项：投篮1次，投中的概率为0.8，所以第3次投中的概率为0.8，故A 正确；B 选项：恰投中3次的概率为33340.80.240.80.2⨯⨯=⨯⨯C ，故B 错；C 选项：至少投中1次对立事件为都没有投中，所以至少投中1次的概率为044410.210.2-⨯=-C ，故C 正确；D 选项：恰好有连续2次投中的概率为22220.80.20.80.2⨯⨯+⨯，故D 错. 故选：AC.10．已知直线():12330l m x my m -+-+=，m R ∈和圆()()22:214C x y -+-=，下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点()3,0B ．圆C 被x 轴截得的弦长为C ．直线被圆截得的弦长存在最大值，且最大值为D ．直线被圆截得的弦长存在最小值，且最小值为【答案】ABD【分析】利用直线系方程求得直线所过定点的坐标判断A ；求出圆C 被x 轴截得的弦长判断B ；当直线过圆心时可判断C ，当直线l PC ⊥时算出弦长可判断D. 【详解】对于A ，由()12330m x my m -+-+=，得()2330m x y x +--+=，联立23030x y x +-=⎧⎨-+=⎩，得30x y =⎧⎨=⎩，无论m 为何值，直线l 恒过定点()3,0，故A 正确；对于B ，在22(2)(1)4x y -+-=中，令0y =，得2=x C 被x 轴截得的弦长为2(2=B 正确；对于C ，当直线l 过圆心C (2,1)时，直线被圆截得的弦长最大，最大值为圆C 直径4，故C 错误；对于D ，由于直线l 恒过的定点()3,0，易知此点在圆内，设此定点为P ，当直线l 与直径垂直时，直线l 被圆截得的弦长最小，且最小值为=D正确. 故选：ABD11．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，且11a >，565612a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项中不正确的是（ ） A ．01q << B ．61a > C ．101T > D ．111T >【答案】BD【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，565612a a a a +>+>，可得56(1)(1)0a a --<，因此51a >，61a <，01q <<．进而判断出结论．【详解】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，565612a a a a +>+>，56(1)(1)0a a ∴--<，11a >，若51a <，则一定有61a <，不符合不等式，故51a >，61a <，01q ∴<<．5612a a +>，561a a ∴>，0565101231()1T a a a a a a =⋯=>，111161T a =<，综上可知，AC 正确，BD 错误． 故选：BD ．12．若三次函数()32127f x ax x cx =+++有三个相异且成等差的零点，则a 的可能取值为（ ） A ．3 B ．1C ．13D ．19-【答案】CD【分析】利用三次函数有三个相异的零点，得到()232f x ax x c '=++有两个相异的根，由根的判别式求出13ac <，根据三次函数的三个零点，利用加减消元法得到213x a =-，利用()2103f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭求出()()1,00,1a ∈-⋃，得到正确答案.【详解】()32127f x ax x cx =+++定义域为R ，且0a ≠， ()232f x ax x c '=++，因为三次函数有三个相异的零点，所以()232f x ax x c '=++有两个相异的根，所以4120ac ∆=->，解得：13ac <，设三次函数三个相异的零点分别为()123123,,x x x x x x <<，则1322x x x += 则321111027ax x cx +++=①，322221027ax x cx +++=②，323331027ax x cx +++=③，①－②得：()()()33221212120a x x x x c x x -+-+-=，即()()()()()221211221212120a x x x x x x x x x x c x x -+++-++-=，因为120x x -≠，所以()()221122120a x x x x x x c +++++=④，同理②－③得：()()223322320a x x x x x x c +++++=⑤，④-⑤得：()()()()1313132130a x x x x x x x x x ⎡-++-⎤+-=⎣⎦， 因为130x x -≠，所以()13210a x x x ⎡++⎤+=⎣⎦， 因为1322x x x +=，所以2310x a +=， 解得：213x a=-， 则()322111110333327f x f a c a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：229a c a+=，代入13ac <得：22193a a a +⋅<， 解得：21a <，又0a ≠， 所以()()1,00,1a ∈-⋃，从而a 的可能取值为13，19-故选：CD【点睛】处理三次函数零点问题，可通过消元法将三次问题转化为一次问题，再结合题目特征求出参数的取值范围.三、填空题13．北京冬奥会期间，小苏抢购了3个冰墩墩和4个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物送给一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有________种.（用数字作答） 【答案】30【分析】分选1个冰墩墩和2个雪容融与选2个冰墩墩和1个雪容融两种情况讨论，按照分类加法与分步乘法计数原理计算可得；【详解】若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有1234C C =18种； 若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有2134C C =12种； 综上可得一共有181230+=种； 故答案为：3014．已知()62601262x a a x a x a x -=++++，则0126a a a a ++++=________（用数字作答） 【答案】729【分析】由二项式定理确定各项的符号，则原式可化为()6012345621a a a a a a a ⎡⎤-+-+-+=--⎣⎦，即可求值【详解】由二项式定理可知，0246a a a a 、、、均为正数，135a a a 、、均为负数， 可得()6601260123456213729a a a a a a a a a a a ⎡⎤++++=-+-+-+=--==⎣⎦.故答案为：72915．若对1x ∀，()2,∈+∞x m ，且12x x <，都有1212ln ln 1x x x x -<-，则m 的最小值是________.【答案】1【分析】根据题意整理可得：1122ln ln x x x x ->-，理解可得：()ln f x x x =-在(),m +∞上单调递减，即()0f x '≤在(),m +∞上恒成立，结合参变分离运算求解. 【详解】∵12x x <，则120x x -<由题意可得：1212ln ln x x x x ->-，即1122ln ln x x x x ->- ∴()ln f x x x =-在(),m +∞上单调递减，则()110f x x'=-≤在(),m +∞上恒成立 即1≥x 在(),m +∞上恒成立，则m 1≥，即m 的最小值是1 故答案为：1.16．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4. 若M 是平面11BCC B 内的动点，且AM MC ⊥，则1A M 与平面11BCC B 所成角的正切值的最大值为________.【答案】512+ 【分析】先由AM MC ⊥判断出M 点轨迹，再求出1A M 与平面11BCC B 所成角为11A MB ，要使11tan A MB ∠最大，则1B M 最小，结合M 点轨迹求出1B M 最小值即可. 【详解】连接1,BM B M ，如图，易知AB ⊥平面11BCC B ，CM ⊂平面11BCC B ，所以AB CM ⊥，又AM MC ⊥，AB AM A =，故CM ⊥平面ABM ，BM ⊂平面ABM ，所以⊥CM BM ，即M 点在平面11BCC B 内的轨迹为以BC 为直径的圆（除去点C ）， 又11A B ⊥平面11BCC B ，故1A M 与平面11BCC B 所成角即为11A MB ， 又1111114tan A B A MB B M B M∠==，故要使11tan A MB ∠最大，则1B M 最小，将平面11BCC B 及M 点轨迹画出如下图：设O 为BC 中点，连接1OB ，则2212425OB +=1B M 最小为52， 此时1151tan 252A MB +∠=-51+.四、解答题17．已知函数()ln f x x =，()tan g x x =. (1)求曲线()y g x =在ππ,44g ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处切线的方程；(2)若直线l 过坐标原点且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程. 【答案】(1)2102x y(2)e 0x y -=【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可； （2）根据()ln f x x =设切点坐标()00,ln x x ，然后利用导数的几何意义得到斜率01k x =，再利用点斜式写切线方程，将()0,0代入切线方程得到0e x =即可得到切线方程.【详解】(1)()sin tan cos x g x x x ==，所以()2222cos sin 1cos cos x x g x x x+'==，所以24g π⎛⎫'= ⎪⎝⎭，14g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以切线方程为：124y x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，整理得2102x y .(2)()ln f x x =，所以()1f x x'=，设切点坐标为()00,ln x x ，所以切线斜率为01k x =，则切线方程为：()0001ln y x x x x -=-，又因为切线过原点，所以将()0,0代入切线方程得()0001ln x x x -=⋅-，解得0e x =，所以切线方程为：()11e ey x -=-，整理得e 0x y -=. 18．甲、乙两班进行多场趣味比赛，若每场比赛相互独立，且均能分出胜负.已知每场比赛甲、乙两班胜出的概率相同，都是12.(1)若比赛采用五局三胜制（在不超过五场的比赛中，先赢得三场者胜），设比赛的局数为X ，写出X 的分布列；(2)若比赛规定某班率先赢得四场比赛则为胜出，假定比赛已进行了5场，请问此时甲胜出的概率.【答案】(1)见解析；(2)18.【分析】（1）分别求出3,4,5X =时的概率，然后写分布列即可； （2）此时甲胜出意味着乙只在前4场胜出1场，然后表示概率即可. 【详解】(1)由题意知X 可取3，4，5，()31211324P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭C ，()4112313428P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭C C ，()5122413528P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭C C ， 所以X 的分布列为：(2)设此时甲胜出为事件B ，则()5141128P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭C ，所以此时甲胜出的概率为18. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*16n n S a n +=∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令n n b a n =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)412-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n a(2)427,19,241,322n n n T n n n n -⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪++⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【分析】（1）当1n =时，可得1a ；2n ≥时，由2n n S a +=，可得112n n S a --+=，两式作差可得数列{}n a 是等比数列，进而可得通项公式； （2）利用分类讨论求解即可．【详解】(1)由题意知，当1n =时，1116S a +=，即18a =，2n ≥时，由1116,16n n n n S a S a --+=+=得110n n n n S S a a ---+-=即12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为8，公比为12的等比数列.所以1411822n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由题意知，441,1221,32n n n n n n b a n n n --⎧⎛⎫-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=-=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 所以127,2b b ==，所以112127,729T b T b b ===+=+=， 当3n ≥时，20144135119[3][4][5]112222n n n T T b b b b n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=+++++=+-+-+-++ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11411119345[]2222n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++212[1]329(2)1212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+⨯---221214422n n n -++⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭424122n n n -++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以427,19,241,322n n n T n n n n -⎧⎪=⎪⎪==⎨⎪++⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. 20．如图，把以AC 为底边的等腰ACD △绕着它的一条腰AD 旋转到ABD △的位置，使得BCD △为正三角形，且30ACD ∠=︒，2BC =，E 、F 为线段AB 、CD 上的点，且3AE EB =，3CF FD =.(1)求证：EF ⊥平面ACD ； (2)求二面角A CD B --的正弦值. 【答案】(1)证明如下(2)223【分析】（1）通过作辅助线，构造平面BCM ，使得AD ⊥平面BCM ，再在平面BCM 内作直线E F ''与EF 平行，即AM E F ''⊥，并通过勾股定理求证E F MC ''⊥，从而证明出EF ⊥平面ACD ；（2）因为BCD △为等边三角形，所以BN CD ⊥，并在平面ACD 作辅助线QN CD ⊥，构造出二面角A CD B --所对应的平面角，通过求出各边长，从而求出二面角A CDB --的正弦值【详解】(1)过点C 作CM AD ⊥，连接BM 过点E 作//EE AC '交BC 于点E '过点F 作//FF AC '交CM 于点F '，连接E F ''//EE AC '，3AE EB =，∴14EE AC '=CM AD ⊥，ACD △为等腰三角形，且30ACD ∠=︒∴ 30DCM ∠=︒，且2222cos 12AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，∴3AC =∴3EE '=//FF AC '，30ACD ∠=︒，∴30CFF '∠=︒∴CFF '△为等腰三角形又3CF FD =，2CD =，∴32CF =∴22232cos 4F F CF F C CF F C DCM '''=+-⋅⋅∠=，即3FF CF ''==∴//FF EE ''且FF EE ''=∴四边形FF E E ''为平行四边形，∴//EF E F ''CM AD ⊥，ACD △全等于ABD △∴3CF BM ==BM AD ⊥，∴3cos MCB ∠= 32CE '=∴22232cos 2EE CF E C CF E C BCM '''''=+-⋅⋅∠=∴222E F F C E C ''''+=∴E F MC ''⊥BM AD ⊥，CM AD ⊥，BM CM M ⋂=，BM ⊂平面BCM ，CM ⊂平面BCM∴AM ⊥平面BCME F ''⊂平面BCM ，∴AM E F ''⊥E F MC ''⊥，AM CM M ⋂=，AM ⊂平面ACD ，CM ⊂平面ACD∴E F ''⊥平面ACD//EF E F ''∴EF ⊥平面ACD(2)过点A 作AP CD ⊥，取CD 的中点N ，连接BN 过点N 作//QN AP 交AC 于点Q ，连接BQBCD △为等边三角形，N 为CD 的中点，∴BN CD ⊥AP CD ⊥，//QN AP ，∴QN CD ⊥∴二面角A CD B --的平面角为BNQ ∠2CD =，BN CD ⊥∴3BN =1CN =由（1）得3AC =又ACD △为等腰三角形，且30ACD ∠=︒，AP CD ⊥∴3AP =1DP =，∴13CN CP = 又//QN AP ，∴13CQ QN AC AP == ∴3QN =，23CQ =3cosACB ∠=∴2222cos 4BQ BC CQ BC CQ ACB =+-⋅∠=，即2BQ =∴在BNQ 中，2221cos 23BN QN BQ BNQ BN BQ +-∠==-⋅∴二面角A CD B --2221．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()22,2P ，A 、B 为左右顶点，且8AB =.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点A 作椭圆内的圆()222:0O x y r r +=>的两条切线，交椭圆于C 、D 两点，若直线CD 与圆O 相切，求圆O 的方程；(3)过点P 作（2）中圆O 的两条切线，分别交椭圆于两点Q 、R ，求证：直线QR 与圆O 相切.【答案】(1)221164x y += (2)22169x y +=(3)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的基本量可得4a =，代入()22,2P 即可得椭圆的方程； （2）根据对称性可得直线CD 与x 轴垂直，再根据相切的性质，结合三角函数的关系列式求解半径r 即可；（3）设圆O 的切线方程为()222y k x -=-，根据切线到圆心的距离可得k 的二次方程，进而得到,PQ PR 的斜率12,k k ，再联立,PQ PR 的方程与椭圆方程可得,Q R 的横坐标，进而表达出QR 的方程，求解圆心到QR 的距离表达式，代入数据求解得43d =即可证明. 【详解】(1)依题意，8AB =则4a =，代入()22,2P 可得282116b+=，解得24b =，故椭圆方程为221164x y += (2)由椭圆与圆的对称性可得，直线,AC AD 关于x 轴对称，故直线CD 与x 轴垂直. 代入x r =到221164x y +=，不妨设21,162C r r ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设E 为AC 与圆O 的切点，F 为CD 与圆O 的切点.则由切线的性质，21162CE CF r ==-OE OF r ==，故22216AE AO OE r =--故AC AE EC =+=故1sin 34CF OE r CAF AC OA ∠====，故43r =. 故圆O 的方程为22169x y +=. (3)设圆O的切线方程为(y k x =-，即0kx y -=.43=，故()2212819k k -=+，化简得2283610k k -+=. 则该方程两根分别为,PQ PR 的斜率12,k k，则1k =，2k =联立(221164y k x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，则()()()222141284410k x k x k k ++-+--=.设()()1122,,,Q x y R x y ，则()211121844114k k k--=+，即)21112144114k k x k--==+，同理)22222244114k k x k --==+故11k x =，22k x =((121122y y k x k x -=---)112212k x k x k k =---=又1212QR y y k x x -=-，故直线QR 的方程为()121112y y y y x x x x --=--，即 ()()121212210y y x x x y x y x y ---+-=，故O 到直线QR 的距离d=代入数据可得43d =，故直线QR 与圆O 相切.【点睛】本题主要考查了根据直线与圆和直线与椭圆的位置关系问题，需要根据题意设直线方程，联立椭圆方程得出对应的点坐标，从而得出直线方程，根据点到直线的距离公式化简求解.计算量较大，属于难题.22．已知()e cos xf x x =⋅.(1)求()f x 的极大值点；(2)若0a >，当2x ≥-时，()()()2e 2cos 242xf x x x a x x ≤⋅++-++恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)π2π,Z 4k k +∈；(2)2e ,1-⎡⎤⎣⎦.【分析】（1）由题可得()πcos 4xf x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，根据函数的导数与函数的极值点的关系即得；（2）由题可得()()2e 22420x x a x x ⋅+-++≥恒成立，构造函数()()()2e 2242x h x x a x x =⋅+-++，利用导数求函数的最值即得.【详解】(1)因为()e cos xf x x =⋅，所以()()πe cos sin cos 4x xf x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，由()0f x '>可得，πππ2π2π,Z 242k x k k -<+<+∈，即3ππ2π2π,Z 44k x k k -<<+∈， 由()0f x '<可得，ππ3π2π2π,Z 242k x k k +<+<+∈，即π5π2π2π,Z 44k x k k +<<+∈，所以()f x 的极大值点为π2π,Z 4k k +∈；(2)由()()()2e 2cos 242xf x x x a x x ≤⋅++-++，可得()()2e 22420x x a x x ⋅+-++≥，当2x ≥-时，()()2e 22420x x a x x ⋅+-++≥恒成立，令()()()2e 2242x h x x a x x =⋅+-++，则()()()24e xh x x a '=+-，由()()()24e 0xh x x a '=+-=，可得2x =-或ln x a =，因为2x ≥-，240x +≥，所以当ln 2a ≤-，即20e a -<≤时，()0h x '≥，()h x 在[)2,-+∞上单调递增， ∴()()2222e h x h a -≥-=-，则222e 0a --≥，即2e a -≥，所以2e -=a ；当ln 2>-a ，即2e a ->时，当()2,ln x a ∈-时，()()0,h x h x '<单调递减， 当()ln ,x a ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增，所以()()()()2ln 2ln 2ln 4ln 2h x h a a a a a a ≥=+-++，则()()22ln 2ln 4ln 20a a a a a +-++≥，∴2ln 0a -≤≤，即2e 1a -≤≤， 所以2e 1a -<≤；综上，a 的取值范围为2e ,1-⎡⎤⎣⎦.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.。
重庆市巴蜀中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
1 2
B．1
e
C．
D． e
2．
æ çè
x
+
2 x
ö5 ÷ø
的二项展开式中
x
的系数为（
）
A． -40
B．40
C． -80
D．80
3．已知公比为正数的等比数列{an} 前 n 项和为 Sn ，且 S2 = 1 ， S4 = 5 ，则 a1 = （ ）
A． -1 或 1 3
B． -1
C． 1 3
D．
-
1 3
所以当
-
3 2
<
x
<
-1或1 <
x
<Байду номын сангаас
3 2
时
f
¢( x)
<
0
，
当 -1 < x < 1时 f ¢(x) > 0 ，
所以
f
(
x)
在
æ çè
-
3 2
,
-1ö÷ø
， æçè1,
3 2
ö ÷ø
上单调递减，在
( -1,1)
上单调递增，
所以
f
(
x)
在
x=-
1
处取得极小值，又
f
( -1)
=
-1 ，
f
æ çè
3 2
ì
( ) ï
a1
1- q2
( ) 所以
ï í ï
a1
1- q 1- q4
ï î
1- q
=1
ìïía1
=
1 3
，解得 ïî q = 2 ，
=5
所以
北京市第一六六中学高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】D
二､填空题（本大题共5小题，每小题5分）
【11题答案】
【答案】-5
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】0（答案不唯一， 即可）
【14题答案】
【答案】36
【15题答案】
【答案】②③④
三､解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
【16题答案】
【答案】（1）平均分为69；
（2）分布列略，数学期望为 .
【17题答案】
【答案】（1）
（2）答案略（3）证明略
【18题答案】
【答案】（1）
（2）分布列略，期望
（3）青年人
老年人
中年人
青年人
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
酸奶
鲜奶
满意
100
10
不满意
50
30
30
50
50
80
（1）从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
（2）从该地区青年人中随机选取3人，以频率估计概率，记这3人中对酸奶满意的人数为 ，求 的分布列与期望；
（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果）
6.已知直线 与圆 相交于 两点，且 （其中 为原点），那么 的值是
A. B. C. D.
河北省唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法种数为（ ）A. 4B. 6C. 12D. 162. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 4幅不同的国画和2幅不同的油画排成一列，2幅油画不相邻，则不同的排法种数为（ ）A. 240B. 360C. 480D. 7204. 若曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）A B. C. 0 D. 15. 在的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则正整数（ ）A. 7B. 8C. 9D. 106. 从4名医生，3名护士中选出3人组成一个医疗队，要求医生和护士都有，则不同的选法种数为（ ）A. 12B. 18C. 30D. 607. 已知函数，则（ ）A. B. C. D. 8. 如图，已知正方形，边长为2，点，分别在线段，上，，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，则五棱锥体积的最大值为（ ）.ππ(sin )cos 33'=(2)2ln 2x x '=1[ln()]x x '-=-(cos )sin x x'=()sin ln(1)f x a x x =++(0,0)21y x =-=a 2-1-()1n x +n =22()e (2)1x f x f x -'=++(3)f '=e 2-e 2+e 5+e 10+ABCD E F AB BC //EF AC BEF △EF B P PEF ⊥ADCFE P ADCFE -A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知为函数导数，的图象如图所示，则（ ）A. 是的极大值点B. 当时，取得最小值C. 在区间上单调递减D. 在区间上单调递增10. 已知，是正整数，且，则下列等式正确的是（ ）A. B. C D. 11. 已知函数有两个极值点，，且，则（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知为函数的导数，则______.13. 从黄瓜、白菜、豆角、韭菜、青椒5种蔬菜种子中选出3种分别种在，，三块不同土地上，每块土地只种1种，其中黄瓜不种在土地上，则不同的种法共有__________种.14. 展开式中的的系数为__________.的.的()f x '()f x ()y f x ='0x =()f x 1x =()f x ()f x ()0,1()f x ()1,∞+m n m n ≤461010A A =3441C C C n n n ++=()111A A m m n n n +++=123C C C C 2n n n n n n ++++= ()32f x x kx =-+a b a b <0k ≥0a b +=()2f a >()2f b <()f x '21()f x x x=+()1f '=A B C A ()52x y y -+25x y四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名.（1）将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？（2）从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？16. 已知曲线上一点.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为9，求实数的值.17. 已知函数.（1）求极值；（2）若方程有两个不相等的实数根，求的值.18. 已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.19. 已知，为的导数.（1）证明：当时，；（2）讨论在上的零点个数，并证明的()31f x x mx =--()()1,1P f 2m =()y f x =P ()f x P m ()2e xf x x =()f x ()()f x a a =∈R a ()()523456012345621x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++5a 0246a a a a +++12345623456a a a a a a +++++()2cos e x f x x x =+-()f x '()f x 0x ≥()1f x '≤()f x R ()f x <唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BC【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1【13题答案】【答案】48【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）120（2）14【16题答案】【答案】（1）；（2）或.【17题答案】【答案】（1）极大值为，极小值为0 （2）【18题答案】【答案】（1）3（2）16 （3）0【19题答案】【答案】（1）证明略（2）有2个零点，证明略30-3y x =-527224e 24e a =。
福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
福建省永春第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某市为了研究该市空气中的 2.5PM 浓度和2SO 浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的 2.5PM 浓度和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得到如下所示的22´列联表：四、双空题16．定义：在等式()()2021212222122nn n n n nn n n n n x x D x D xD x D x D n N ---++-=+++++ÎL 中，把nD ，1n D ，2n D ，…，2n n D 叫做三项式()22n x x +-的n 次系数列(如三项式的1次系数列是1，1，-2).则（1）三项式()22nx x+-的2次系数列各项之和等于______；（2）34D=______.【分析】（1）根据n 次系数列的定义，令1x =即可得系数之和．（2）根据定义得34D 为5x 的系数，然后进行计算即可．【详解】解：（1）三项式2(2)n x x +-的2次系数列为22(2)x x +-，则令1x =得三项式2(2)n x x +-的2次系数列各项之和等于2(112)0+-=，（2）当4n =时，三项式为24(2)x x +-，则34D 为5x 的系数，244444(2)(1)(2)(1)(2)x x x x x x +-=-+=-+Q ，4(1)x \-的通项公式为4()k k C x -，4(2)x \+的通项公式为42r C 4rr x -，5x \的系数为41442C C g 3322231444444422329648420C C C C C C -+-=-+-=-g g g ．即3420D =-故答案为：0；20-；【点睛】本题主要考查二项式定理的综合应用，结合新定义，利用展开式的通项公式是解决本题的关键．考查学生的理解应用能力，属于中档题．17．(1)n a n=(2)n nP Q <【分析】（1）根据n S 与n a 的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据裂项相消法，结合等比数列前n 项和、二项式定理进行求解即可.【详解】（1）当1n =时，211112a S a a =-=，所以11a =或10a =（舍去），当2n ³时，有221112,2,n n n n n n a S a a S a ---ì=-í=-î。
山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.展开式中 的系数为（ ）A. B. C. 30D. 902. 若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. 或 D.3. 2020年是脱贫攻坚年，为顺利完成“两不愁，三保障”，即农村贫困人口不愁吃、不愁穿，农村贫困人口义务教育、基本医疗、住房安全有保障，某市拟派出6人组成三个帮扶队，每队两人，对脱贫任务较重的甲、乙、丙三县进行帮扶，则不同的派出方法种数共有A. 15 B. 60 C. 90 D. 5404. 若，则（ ）A. B. C. D. 5. 在5个大小相同的球中有2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率是（ ）A.B.C.D.6. 随机变量ξ的分布列如下：其中，则等于（ ）A.B.()()6231x x --3x 90-30-()32112132f x x x x =-+++()1,4m m -+m 5m ≤-3m ≥5m ≤-3m ≥53m -≤≤2022220220122022(32)x a a x a x a x -=++++ 2022a a =2022220221()220222(320223()2110142512ξ1-01Pabc2b a c =+(1)P ξ=1314C.D.7. 蜂房绝大部分是一个正六棱柱的侧面，但它的底部却是由三个菱形构成的三面角. 18世纪初，法国学者马拉尔奇曾经专门测量过大量蜂巢的尺寸. 令人惊讶的是，这些蜂巢组成底盘的菱形的所有钝角都是，所有的锐角都是. 后来经过法国数学家克尼格和苏格兰数学家马克洛林从理论上的计算，如果要消耗最少的材料，制成最大的菱形容器正是这个角度. 从这个意义上说，蜜蜂称得上是“天才的数学家兼设计师”. 如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面. 图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．现在有一只蜜蜂从入口向下（只能向下，不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的．蜜蜂到达第层（有条竖直线段）第通道（从左向右计）的不同路径数为. 例如：，. 则不等式的解集为（）A. B. C. D. 8. 已知函数，若恰有四个不同的零点，则a 取值范围为（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知A ，B ，C 为随机事件，则下列表述中不正确的是（ ）A B. C. D. 10. 对于函数，下列说法中正确是（ ）A. 存在有极大值也有最大值.的122310928'︒7032'︒n n m (),A n m ()3,11A =()4,23A =()10,81A m ≤{}1,2,3,7,8,9{}1,2,3,8,9,10{}1,2,3,9,10,11{}4,5,6,7,8()xf x x e =()()()21g x fx af x =-+()2,∞+1,e e⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭12,e e ⎛⎫+⎪⎝⎭1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()()()P AB P A P B =()()()P B C A P B A P C A ⋃=+()1P A A =()()P A B P AB ≥()222272exx x f x +-=()f xB. 有三个零点C. 当时，恒成立D. 当时，有3个不相等的实数根11. 在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）A. 若输入信号，则输出信号只有两个的概率为B.C.D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若，则实数a 取值范围为________13. 编号为A 、B 、C 、D 、E 的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A 品种不能种在1，2试验田里，B 品种必须与A 种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为________14. 设为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱异面时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离，则数学期望=________.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．的的()f x x ⎫∈+∞⎪⎪⎭()0f x >450,2e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x a =,,M N P ()01αα<<12α-,,MMMM NNNN PPPP 123,,p p p 1231p p p ++=111,,M N P MMMM NNNN PPPP D MNPM MMMM M ()221αα-()22112P D M αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭()3112P D P αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭()()1112311p P M D p ααα=-+-e ln()x ax x ax -≥-+ξ0ξ=1ξ=ξE ξ15. 在二项式的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等．（1）求展开式中各项系数之和；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中的有理项．16. 学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．（1）求学生甲被录取的概率；（2）在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列．17. 已知函数在点处切线与直线垂直.（1）求的值；（2）求的单调区间和极值.18. 人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.①求选到的袋子为甲袋的概率，②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.19. 已知函数，．的1n⎫⎪⎭3423X X ()21ex x af x -+=()()1,1f 420240x y ++=a ()f x 12()23ln f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭R a ∈（1）若的定义域为，值域为，求的值；（2）若，且对任意的，当，时，总满足，求的取值范围．（附加题）20. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）已知在处的阶帕德近似为．（1）求实数a ，b 的值；（2）比较与的大小；（3）若在上存在极值，求的取值范围．()f x {|0,R}x x x ≠∈R a 0a >1,13c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x ∈()()12ln2f x f x -≤a ()f x 0x =[,]m n 011()1mm nn a a x a x R x b x b x+++=+++ (0)(0)f R =(0)(0)f R ''=(0)(0)f R ''''=()()(0)(0)m n m n f R ++=[]()()f x f x '='''[]()()f x f x ''''''=[](4)()()f x f x ''''=(5)(4)()()f x f x '⎡⎤=⎣⎦()()n f x (1)()n f x -()ln(1)f x x =+0x =[]1,1()1ax R x bx=+()f x ()R x ()1()()()2f x h x m f x R x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(0,)+∞m山东省实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AB【10题答案】【答案】CD【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】30【14题答案】四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）0（2）（3）有理项为，，【16题答案】【答案】（1）（2）分布列略【17题答案】【答案】（1）（2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为.【18题答案】【答案】（1） （2）①；②方案二中取到红球的概率更大.【19题答案】【答案】（1） （2）（附加题）【20题答案】【答案】（1），； (]0,e 4370x -228x -156x --1563a =-(),1-∞-()3,+∞()1,3-()f x ()263e f =()212e f -=-1120190a =45,7∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭1a =12b =（2）答案略；（3）．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。
山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若23a =，292S =，则公比q =（ ） A ．12B ．13C ．3D ．22．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()020.4P ξ<<=，则()0P ξ>=（ ）A ．0.9B ．0.8C ．0.4D ．0.13．函数()f x 的图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，记()()43a f f =-，()3b f ='，()4c f ='，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b4．若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ）A ．15B ．25C ．110D ．3105．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()121nn a n =--，则101S =（ ） A ．301B ．101C ．101-D ．301-6．函数()()322,f x x ax bx a a b =+++∈R 在0x =处取得极大值9，则a b +=（ ）A ．3B ．3-C ．3-或3D ．07．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '为其导函数．当0x >时，()()0xf x f x '->，()10f =，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()()1,00,1-UD ．()()1,01,-⋃+∞8．某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为45，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为35，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ） 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++A ．60B ．65C ．70D ．75二、多选题9．下列函数的导数运算正确的是（ ） A ．()e e e x x x x x '=+B ．'=C ．2sin 1cos cos x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()1lg 2ln10x x '=⎡⎤⎣⎦10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x 表示第一次取到的小球的标号，用y 表示第二次取到的小球的标号，记事件A ：x y +为偶数，B ：xy 为偶数，C ：2x >，则（ ）A ．()34P B =B ．A 与B 相互独立C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立11．黎曼函数（Riemann function ）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩N 为既约真分数和内的无理数，若数列2221n n n a R ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，*n ∈N ，则（ ）A ．121n n a =- B ．12n n a a ++>C ．()111112321nii i n i a a ++==--∑ D ．1211ni i a n =≤-+∑三、填空题12．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是．13．记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()15485k S a a a =++，则k =． 14．已知函数()ln x f x x=，设()()()2g x f x af x =-，若()g x 只有一个零点，则实数a 的取值范围是；若不等式()0g x >的解集中有且只有三个整数，则实数a 的取值范围是．四、解答题15．已知函数()2ln f x x x x =+-．(1)求()f x 的单调区间和极值；(2)求()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．16．某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立． (1)求比赛结束时恰好打了5局的概率；(2)若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望． 17．已知数列{}n a 满足123111n n a a a a a n -⋅⋅⋅=+． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令21n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不等式2122n n n S n λ⋅-≥+对*n ∀∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．18．近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：(1)已知y 与x 线性相关，求出y 关于x 的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；(2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为()01p p <<．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，（i ）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为()f p ．求()f p 的最大值点0p ； （ii ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i ）中确定的0p 作为p 的值．预计最多可以调多少人到其他部门？参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 19．已知函数()()220m f x mx m m x-=+->． (1)当1m =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若()2ln 2f x x ≥-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)证明：()()*11ln 122nk n n n kn =>++∈+∑N ．。
浙江省宁波市镇海2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷含答案
镇海2023学年第二学期期中考试试题高二年级数学学科（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{230}P x x x =+-<∣，集合3{1}Q x x =>-∣，则P Q = （）A.()3,1- B.()2,1- C.()1,1- D.()1,3-【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再结合交集的定义，即可求解．【详解】集合2{|230}{|31}P x x x x x =+-<=-<<，集合{}{}311Q x x x x =-=-，故(1,1)P Q ⋂=-．故选：C ．2.已知函数4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，则21()(log 3)4f f +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用指、对数的运算性质，即可求出结果.【详解】因为4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，所以411()log 144f ==-，又2log 31>，所以2log 32(log 3)23f ==，则21((log 3)1324f f +=-+=，故选：B.3.22cos 25sin 25sin110cos 70︒-︒=︒⋅︒（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．【详解】22cos 25sin 25cos50cos50sin 40211sin110cos 70sin 70cos 70sin140sin 4022︒-︒︒︒︒====︒⋅︒︒⋅︒︒︒．故选：D ．4.在ABC 中，“cos sin A B =”是“90C =︒”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先证明条件是必要的，再构造反例说明条件不是充分的.【详解】若90C =︒，则()()cos cos 180cos 90sin A C B B B =︒--=︒-=，故条件是必要的；当10A =︒，100B =︒，70C =︒时，有cos cos10sin100sin A B =︒=︒=，7090C =︒≠︒，故条件不是充分的.故选：B.5.函数}}:f →，}}:g →，如图所示，则()(){}x f g x g f x ⎡⎤⎡⎤<=⎣⎦⎣⎦∣（）A.{}ln2B.C.{}cos2 D.【答案】A 【解析】【分析】对x =，ln 2x =cos 2x =，分别计算可判断[()][()]f g x g f x <是否成立，可求{|[()][()]}x f g x g f x <.【详解】当x =时，[()](cos 2)ln 20f g x f ==>，[()]cos 20g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，当ln 2x =时，[()](ln 2)cos 20f g x f ==<，[()](cos 2)0g f x g ==>，满足[()][()]f g x g f x <，当cos 2x =时，[()]f g x f ==[()](ln 2)ln 21g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，综上所述：{|[()][()]}{ln 2}x f g x g f x <=.故选：A.6.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等.已知函数()()πtan 06h x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象中的两条相邻“平行曲线”与直线2024y =相交于A 、B 两点，且3AB =，则34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.B.C.2D.2+【答案】D 【解析】【分析】由“平行曲线”的性质和周期公式求出ω，再代入函数值结合两角和的正切展开式计算即可.【详解】由“平行曲线”的性质可得函数的最小正周期为3T AB ==，所以ππ3T ω==，所以()ππtan 36h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以ππtantan 13π3πππ463tan tan 2ππ43464631tan tan 463f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⨯故选：D.7.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，π2ABC ∠=，点E 是BC 上一点，π24,3CE BE AED ==∠=，ADE V的面积为AD 的长为（）A.B. C.8D.【答案】A 【解析】【分析】设,AB x CD y ==，求得24tan(π)124x y AED x y +-∠=-420x y ---=，再由ADE V的面积为2x y +=,x y 的值，即可求解.【详解】由题意，设,AB x CD y ==，则24tan(π)tan()124x y AED AED CED x y +-∠=∠+∠=-，可得2π24tan3124x y x y +==-420x y ---=，又由111()624222x y x y =+⨯-⋅-⋅，即2x y +=联立可得24xy =，联立方程组242xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ==所以AD ==.故选：A.8.已知0.5log x x =，0.5log yx y =，0.5log zx z =，则（）A.z x y <<B.y z x <<C.x y z<< D.y x z<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<；由0.5log 0yx y =>得01y <<，从而有0.50.5log log y x >，得到y x <，由0.5log zx z =得到log log x x z x <，得到z x >，从而求出结果.【详解】令()0.5log x f x x =-，易得()f x 单调递增，又0.50log 111112222f ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，()0.511110log f =-=>，所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一零点，因为0.5log x x =，所以112x <<，由0.5log 0y x y =>，知01y <<，所以0.50.5log log yx y x x =>=，又函数0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，所以y x <，由0.5log zx z =，知0z >，所以00.5log 1log zx x z x <=<=，所以z x >，综上，y x z <<.故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<，再利用指对数函数的单调性解决问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若2x a x ++-的最小值是1，则实数a 的值可以为（）A.1-B.2- C.3- D.4-【答案】AC 【解析】【分析】根据条件，利用绝对值三角不等式，即可求出结果.【详解】因为22x a x a ++-≥+，当且仅当(2)()0x a x +-≥取等号，又2x a x ++-的最小值是1，所以21a +=，解得1a =-或3a =-，故答案为：AC.10.已知函数()1e exxm f x m -⋅=+是定义域上的奇函数，则下列选项中错误．．的是（）A.1m = B.()1f x =有解C.()()210f f +-=D.()2y f x =+与()4y f x =-的图象关于3x =对称【答案】ABCD【解析】【分析】对于A ，验证1m =-符合题意即可说明选项错误；对于B ，假设()1f x =，再得出矛盾即可说明选项错误；对于C ，利用单调性和奇偶性可验证结论不成立，从而说明选项错误；对于D ，利用图象对称对应的恒等式，验证其不恒成立，即可说明选项错误.【详解】对于A ：若1m ≠-，则由0e 0m +≠知()f x 的定义域包含0x =，再由()f x 是奇函数有()00f =，代入得101mm -=+，故1m =，经检验符合题意.若1m =-，则()1e e 11e e 1x x xxf x ++==-+-，其定义域0x ≠关于原点对称，且()()e 11e e 1e 11e e 1x x x x xx f x f x --+++-===-=----，从而()f x 是奇函数.这表明m 的所有可能值是1m =或1m =-，故A 错误；对于B ：由上面的结论知()1e 1e x xf x -=+或()e 1e 1x x f x +=-.无论哪种情况，()1f x =都意味着e 1e 1xx+=-，两边同时平方得到22e 2e 1e 2e 1x x x x ++=-+，即4e 0x =，这是不可能的.所以()1f x =无解，故B 错误；对于C ：若()1e 1e x x f x -=+，则由()1e 211e 1e x x xf x -==-+++知()f x 单调递减；若()e 1e 1x x f x +=-，则由()e 121e 1e 1x x xf x +==+--知()f x 在()0,∞+上单调递减.无论怎样，都有()f x 在()0,∞+上单调递减，故()()21f f <.所以()()()()21210f f f f +-=-<，故C 错误；对于D ：该选项的描述即为()()()264f x f x +-=-（若等号两边都有意义）.即()()84f x f x -=-（若等号两边都有意义）.但根据上面的论证，知()f x 在()0,∞+上单调递减，故4x <时必有()()84f x f x -<-.故D 错误.故选：ABCD.11.若a ，b 为函数()()2sin 1f x x m x =++-的两个不同零点，令()h m a b =-，则下列命题正确的是（）A.π是函数()h m 的一个周期B.02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，是函数()h m 的一个单调递减区间C.函数()h m 的图象是轴对称图形 D.函数()h m 的图象是中心对称图形【答案】BC 【解析】【分析】由于此题的零点无法求解，因此联想到数形结合来做，即通过分析特殊值来确定选项A ，再通过24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪的解来分析选项BC ，利用反证法可判断D .【详解】对于A ，若π2m =时，()2cos 1f x x x =+-，此时()sin 2f x x x '=-+，设()sin 2s x x x =-+，则()cos 20s x x '=-+>，故()f x '为R 上的增函数，而()00f '=，故当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()00f =，故()f x 仅有一个零点，与题设矛盾，故π2m ≠.同理π2π,Z 2m k k ≠+∈，当3π2m =时，()2cos 1f x x x =-+-，此时()sin 2f x x x '=+，同理可得()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()020f =-<，()()223cos 20f f =-=->，故此时()f x 有两个不同的零点，故()h m 的周期不是π，故A 错误.对于B ，()()2sin 1f x x m x =++-的x m =-的零点差的绝对值,其中π2π,Z 2m k k ≠+∈.设()n 24g x x π⎛⎫- ⎪⎝=⎭=，其图像如图所示，根据对称性及A 中讨论，24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪在ππ,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的两个不同零点差的绝对值，其中02m π<<，设该方程较大的零点为b ，较小的零点为a ，则π02b <<，因为πππ222m m g ⎛⎫--=+>=- ⎪⎝⎭，故π2a >-.设1202m m π<<<，1x m =-的两个根为11,a b ，且11ππ22a b -<<<，11m a =-11b m =-11b a +=-.同理()22sin 1y x m x =++-的两边不同的零点22,a b 也满足：22b a +-，其中1212ππ22a ab b <<<-<<，而ππ,22y x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭为减函数，<，<，故2211b a b a -<-即()()12h m h m >，故()h m 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 成立.对于C ，结合B 中()g x 的图像关于直线2x π=对称可知22h m h m ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()h m 的图象关于直线2m π=对称，即选项C 是正确的；对于D ，当R m ∈且π2π,Z 2m k k ≠+∈时，结合()g x 的图像可得()h m 的最小正周期为2π，且()h m 的图象有两类对称轴：π2π,Z 2m k k =+∈，3π2π,Z 2m k k =+∈，若()h m 图像有对称中心()00,m h ，根据()h m 的最小正周期为2π及对称性不妨设0π3π,22m ⎛⎤∈⎥⎝⎦，且()()0022h m m h m n -+=，而()()πh m h m -=，故()()002π2h m m h m n -+-=，故()()002π2h m m h m n -++=，所以()()00042π2π2h m m h m m n -++-+=，故()()042πh m m h m -+=，故()h m 的周期为042m π-，但(]04π,4πm π-∈，结合最小正周期为2π可得042π4πm -=即03π2m =，但直线03π2m =为对称轴，故()h m 的图像无对称中心.故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：复杂函数的零点问题，可利用变换转化为简单函数的图象的交点问题，而抽象函数的性质的讨论，可以依据定义来进行判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用列举法表示集合6{|}9x x∈∈-N N 的结果为_____________.【答案】{}1,2,3,6【解析】【分析】根据题意可9x -知为6的约数，求得x 的取值，用列举法表示集合即可.【详解】由6N 9x∈-可知9x -为6的约数，所以91,2,3,6x -=，因为N x ∈，所以8,7,6,3x =，此时，66,3,2,19x=-集合为{}1,2,3,6.故答案为：{}1,2,3,6.13.将函数()π3cos 2y x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π3个单位得到曲线C .若曲线C 的图象关于直线π4x =对称，则ϕ的值为_________.【答案】π6##1π6【解析】【分析】先求出曲线C 的解析式π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据图象的对称性即得πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最后利用余弦函数的性质及ϕ的范围可求得ϕ的值.【详解】将函数()3cos y x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到函数()3cos 2y x ϕ=+的图象；再将函数()3cos 2y x ϕ=+的图象向右平移π3个单位，得到曲线π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由条件知该曲线关于直线π4x =对称，故对应函数在π4x =处取得最大值或最小值，从而ππcos 2143ϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.从而()ππ6k k ϕ-=∈Z ，即()ππ6k k ϕ=+∈Z .再由π2ϕ<即ππ22ϕ-<<，就得到2133k -<<，从而0k =，故π6ϕ=.故答案为：π6.14.已知1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，则z 的最大值为_________.【答案】4310【解析】【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，所以111lg lg x y +=，111lg()lg xy z+=，所以2lg lg lg lg lg lg (2x y x y x y +⋅=+≤，当且仅当100x y ==时取等号，所以lg lg 4x y +≥，110lg lg 4x y <≤+，因为111lg()lg xy z+=，所以111311[,1)lg lg()lg lg 4z xy x y =-=-∈+，所以41lg 3z <≤，所以431010z <≤，故z 的最大值为4310．故答案为：4310．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知不等式603xx -≥-的解集为A ，函数()()2lg 2f x x x a =-+的定义域为B .（1）求A ；（2）若A B ⊆，求a 的范围.【答案】（1）(3,6]（2）[3,)-+∞【解析】【分析】（1）直接利用分式不等式的解法求出结果；（2）利用对数的定义域和集合间的关系求出参数a 的取值范围．【小问1详解】不等式603x x -≥-，整理得：603x x -≤-，即(3)(6)030x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得：36x <≤，故集合A 的解集为(3,6]．【小问2详解】由于(3A =,6]，由于A B ⊆，则2()lg(2)f x x x a =-+的定义域满足对(3A ∀=,6]，220x x a -+>恒成立，故满足2360a -+≥，整理得3a ≥-，故实数a 的取值范围[3,)-+∞．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()223f x f x x +-=+.（1）求()f x ；（2）若函数()()()33f x x g x t f t =+⋅-，[]1,1x ∈-，是否存在实数t 使得()g x 的最小值为3-？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()21f x x =+（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）将已知中的x 替换为x -，得出方程组，求解即可得到答案；（2）由（1）可得()21323x x g x t +=+⋅，利用换元法令3x u =，结合一元二次函数的单调性讨论即可.【小问1详解】由()()223f x f x x +-=+可得()()223f x f x x -+=-+，联立()()()()223223f x f x x f x f x x ⎧+-=+⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()21f x x =+.【小问2详解】由（1）可得()()21213231323x x x x g x t t t ++=+⋅⨯+-=+⋅，令3x u =，则当[]1,1x ∈-时，1,33u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()232g u u tu =+，所以()g u 在,3t ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在,3t ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，当133t -≤，即1t ≥-时，()2min111323333g u g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5t =-，与1t ≥-矛盾，当33t-≥，即9t ≤-时，()()2min 333233g u g t ==⨯+⨯=-，解得5t =-，与9t ≤-矛盾，当1333t <-<，即91t -<<-时，()2min323333t t t g u g t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1t =±，与91t -<<-矛盾，综上不存在实数t 使得()g x 的最小值为3-.17.已知函数()()2cos 2sin 10f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，求α的取值范围.【答案】（1）1ω=，πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦（2）5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得π()2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由周期公式及正弦函数的单调性求解即可；（2）首先根据区间形式得到π2α>，再利用整体法结合正弦函数性质得到不等式组，解出即可.【小问1详解】()2πcos 2sin 12cos 22sin 26f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，由题意可得：2π==π2T ω，则1ω=，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，则ππππ,Z 63k x k k -≤≤+∈∴函数()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦；【小问2详解】根据区间形式得παα>-，则π2α>，又因为[]π,x αα∈-，则11πππ222666x αα-≤-≤-，π5π266α->，若()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，则11ππ262α-≤-，解得7π6α≥；或者π3π26211ππ262αα⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得5π6α≥；综上两者取并集得5π6α≥.所以α的取值范围为5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin cos cos cos B c B b C B +=.（1）求B ；（2）若π2C =，且C 的角平分线交AB 于P ，Q 为边AC 的中点，CP 与BQ 交于点D .求cos PDQ ∠；（3）若5b =，求ABC 内切圆半径r 的取值范围.【答案】（1）π3B =（2）42214cos 14PDQ -∠=（3）ABC 内切圆半径r 的取值范围为(0,]6【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，利用三角恒等变换可得B ；（2）设2BC a =，可求得cos BQC ∠，sin BQC ∠，利用cos cos()PDQ PCQ BQC ∠=∠+∠，可求值；（3）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，可求得510a c <+≤，进而可得325acr a c =++，进而计算可求得ABC 内切圆半径r 的取值范围.【小问1详解】由sin (cos cos )cos B c B b C B +=,结合正弦定理得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，所以sin sin()cos B C B A B +=，所以sin sin(π)cos B A A B -=,所以sin sin cos B A A B =，因为sin 0A ≠，所以sin B B =，所以tan B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】当π2C =时，设2BC a =，由（1）可知π3B =，则AC =，因为Q是AC的中点，故QC=，所以BQ==，所以cosCQBQCBQ∠==sin BCBQCBQ∠==，所以πππcos cos()cos()cos cos sin sin444 PDQ PCQ BQC BQC BQC BQC ∠=∠+∠=+∠=∠-∠2214=-=；【小问3详解】由余弦定理可得2222cosb ac ac B=+-，所以222222125()3()3(()24a ca c ac a c ac a c a c+=+-=+-≥+-=+，当且仅当5a c==时取等号，所以10a c+≤，又5a c b+>=，所以510a c<+≤,因为1111sin2222ABCar br cr S ac B++==，由225()3a c ac=+-，可得21[()25]3ac a c=+-，所以213[()25]32(5)25256a cac acr a ca b c a c a c+-====+-++++++，所以06r<≤，所以ABC内切圆半径r的取值范围为(0,6.19.已知函数()2241mx xf xx+=+，函数()22mg x x=+.（1）若0m=，求()f x的值域；（2）若(]0,4m∈：（ⅰ）解关于x的不等式：()()f xg x≤；（ⅱ）设,a b∈R，若实数t满足()()2f a f b t⋅=-，比较()()1g t m g--与18的大小，并证明你的结论.【答案】（1）[]22-,（2）（ⅰ）4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭（ⅱ）当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<，证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性和双勾函数的性质可求值域.（2）利用()()()()()221421x mx g x f x x -+-=+即可求出不等式的解集，然后证明2t ≤，再代入解析式证明()()118g t m g --≤，最后判断不等号两边相等的条件即可.【小问1详解】当0m =时，()241xf x x =+，其定义域为R ，而()()241xf x f x x -=-=-+，故()f x 为奇函数，当0x =时，()0f x =;当0x >时，()41f x x x=+，而1y x x=+在()0,+∞上的值域为[)2,+∞,故此时()(]0,2f x ∈，结合()f x 为奇函数可得()f x 的值域是[]22-,.【小问2详解】若(]0,4m ∈：（ⅰ）由于()()()()()()()2222224144412421212121x mx x mx m mx x mx x g x f x x mx x x x x +-+++⎛⎫-=+-=-=-+= ⎪++++⎝⎭，故不等式()()f x g x ≤等价于()()2140x mx -+≥，即40mx +≥或1x =.由4m -是负数，知原不等式的解集为4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（ⅱ）由于关于x 的方程()2241mx x f a x +=+有解x a =，故关于x 的方程()()()240f a m x x f a --+=有解.如果()0f a m -≠，则该方程是二次方程，所以其判别式非负，即()()()1640f a f a m --≥.从而()0f a m -=和()()()1640f a f a m --≥这两个结论中，至少有一个成立.但当()0f a m -=时，亦有()()()164160f a f a m --=≥.故()()()1640f a f a m --≥一定成立，所以()()()4f a f a m -≤.同理()()()4f b f b m -≤，所以()(),22m m f a f b ⎡-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦.故()()2422m m t f a f b +-=≥⋅=-，所以22t -≤≤.所以由0m >，2t ≤即可得到()()()()()211111221122228228m m m m g t m g t m t m m m ⎛⎫--=-+--=--≤-=--≤ ⎪⎝⎭.根据上面的证明过程显然能够得出，不等号两边相等当且仅当2t =且12m =.综上，比较的结果为：当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将函数的解析式与不等式结合，利用函数的性质即可更容易地解出与之相关的不等式.。
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高二数学下学期中段考试试题2008年4月28日参考公式：a y bx =- 121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑ ˆˆˆˆybx a =+ 一、选择题: 每小题4分，共40分1、曲线y =x 3在点P （2，8）处的切线方程为 ( )A.y =6x -12B.y =12x -16C.y =8x +10D.y =12x -32 2、复数（2321+3)i 的值是（ ） A. －i B.i C.－1 D.13、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ）A 81B 64C 12D 14 4、下面表可以作为离散型随机变量的分布列. ( )D.5、在十进制中01232004410010010210=⨯+⨯+⨯+⨯，那么在5进制中2004折合成十进制为（ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 20046、人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，第3次拨号才接通电话的概率（ ）A.110 B. 19 C. 18 D. 177、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据y 关于x 的线性回归方程是（ ）A. 0.60.3y x =+B. 0.650.35y x =+C. 0.70.35y x =+D. 0.750.4y x =+8、在310(1)(1)x x -+的展开中，5x 的系数是（ ） A. 297- B. 252- C. 297 D. 207 9、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明 )214121(2114131211nn n n +++++=-++-+-时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立10、曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是（ ） A.4 B.52C.3D.2二、填空题：每小题4分，共16分.11、已知1＋i 3=⋅z (1－i 3)，则复数z =12、在50件产品中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共有______________种（用数字作答）13、函数S =e t 2-sin3t ,那么t s '为14、甲、乙两名工人加工同一种零件，每人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ，，ξ与的分布列如下：甲 乙试对这两名工人的技术水平进行比较： 更稳定。
2007－2008下学期高二数学中段考试试题4分，共16分.、 12、、 14、 5个题，共44分 、（本题8分）复数z 满足(1+2i )z +(3－10i )z =4－34i ，求z 、（本题8分）高二年级数学课外小组40人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同3名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？17. （本题8分）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．18、（本题10分）（1）在n（1+x ）的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n 等于多少？ （2）n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项 19、（本题10分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中： （Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额ξ的分布列与期望．20、数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln nn n a x b =，求证:对任意实数(]e x ,1∈（e 是常数，e ＝2.71828⋅⋅⋅）和任意正整数n ，总有n T < 2；(3) 正数数列{}n c 中，())(,*11N n c a n n n ∈=++.求数列{}n c 中的最大项.2007－2008下学期高二数学中段考试试题答案B C B A B A C D B C 11、i 2321+-12、32414464464186C C C C += 13、222sin 33cos3t t e t e t ---+ 14、乙 15、解：设z =x +yi (x , y ∈R )，则(1+2i )(x +yi )+(3－10i )(x －yi ) =4－34i ，整理得(4x －12y )－(8x +2y )i =4－34i .∴ 41248234x y x y -=⎧⎨+=⎩, 解得41x y =⎧⎨=⎩, ∴ z =4+i .16、①是排列问题，共有2401560A =种选法；②是组合问题，共有3409880C =种选法17、解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3，所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．18、①由已知得257n n C C n =⇒=② 由已知得1351...128,2128,8n n n n C C C n -+++===，而展开式中二项式系数最大项是444418(70T C x +==19、解：设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，123k =，，．由题意知1A ，2A ，3A 独立，且11()9P A =，21()10P A =，31()11P A =． （Ⅰ）该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=．（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000．12312389108(0)()()()()9101111P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=，123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++ 19108110891910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2421199045==， 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++ 1110191811910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 273990110==， 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ=== 111191011990=⨯⨯=． 综上知，ξ的分布列为由ξ811310900018000270001145110990E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯ 299002718.1811=≈（元）． （1）解：由已知：对于*N n ∈，总有22n n n S a a =+ ①成立 ∴21112n n n S a a ---=+ （n ≥ 2）② ①--②得21122----+=n n n n n a a a a a ∴()()111----+=+n n n n n n a a a a a a∵1,-n n a a 均为正数，∴11=--n n a a （n ≥ 2） ∴数列{}n a 是公差为1的等差数列又n=1时，21112S a a =+， 解得1a =1 ∴n a n =.(*N n ∈)（2）证明：∵对任意实数(]e x ,1∈和任意正整数n ，总有2ln nn n a x b =≤21n. ∴()n n nT n 113212*********22-++⋅+⋅+<+++≤21211131212111<-=--++-+-+=nn n (3)解：由已知 221212=⇒==c c a ，54545434343232355,244,33=⇒====⇒===⇒==c c a c c a c c a易得 12234,...c c c c c <>>>猜想 n ≥2 时，{}n c 是递减数列.令()()22ln 1ln 1,ln x xx xx x x f x x x f -=-⋅='=则 ∵当().00ln 1,1ln 3<'<->≥x f x x x ，即则时， ∴在[)+∞,3内()x f 为单调递减函数.由()11ln ln 11++==++n n c c a n n n n 知.∴n ≥2 时, {}n c ln 是递减数列.即{}n c 是递减数列.又12c c < , ∴数列{}n c 中的最大项为323=c .。