2017年长郡中学高二数学分班考试试题及参考答案
湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(含精品解析)
长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（文科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.1. 设集合，，则集合为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：化简集合，再由交集的定义，即可得到所求集合.详解：集合，，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集的运算，其中正确求解集合的解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 若复数是纯虚数，则实数等于（）A. 2B. -2C. -1D. 1【答案】A【解析】分析：复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．详解：因为，是纯虚数，所以a=2．故选：A．点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，且是上的增函数，故选D.4. 已知：命题：若函数是偶函数，则；命题：，关于的方程有解.在①；②；③；④中真命题的是（）A. ②③B. ②④C. ③④D. ①④【答案】D【解析】分析：先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．详解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p 为真；当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．综上可得真确命题为①④．故选：D．点睛：本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p，q的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题．（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q 至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p 且q”为真命题转化为交集的运算．5. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：用已知函数值的角表示要求的角，再由两角和差公式得到结果.详解：=因为， ,,故代入得到结果为：.故答案为：A.6. 已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是（）A. B. 最小 C. D.【答案】B【解析】由题设可得，即，所以答案D正确；由等差数列的性质可得，则，所以答案A正确；又，故答案C正确。
长郡中学高二数学分班考试试题及参考答案
（1）求 f ( π) ； 6
（2）求 f (x) 在 [ π , π ] 上的取值范围． 22
23．（本小题满分 8 分）如图，在体积为 2 的圆锥 PO 中，已知圆 O 的直径 AB 2 , 3
动点 P 在直线 2x 4 y 3 0 上，
…………5 分
由已知 PM 的最小值就是 PO 的最小值，
而 PO 的最小值为 O 到直线 2x 4 y 3 0 的距离 d 3
5
，
…………6 分
10
x12
y12
9 20
2x1 4 y1 3 0
累加之，得 an a1 n 2 1，
…………2 分
∴ a n n2 ，而 a1 1 12 ，即 a1 也满足上式, ∴ a n n2 （ n N * ）．
…………4 分
（2）当 n 1 时， T1
1 a1
1，∴1T1
211；
…………5 分
当 n 2 时，
由已知易得
AOD A 1 90 45 .
……………4 分
2
（2）在 ABC 中 OD BC ，故 PDO 为异面直线 PD, BC 所成的角。 ………5 分
在圆锥 PO 中可求 PO 2 ， DO 2 ， 2
………7 分
故在 RtPDO 中， tan PDO PO 2 .即所求的正切值为 2 ．………8 分 DO
21．（本小题满分 6 分）已知函数 f (x) 2x 1, g(x) x 2 2x 1 （1）设集合 A {x | f (x) 7}，集合 B {x | g(x) 4}，求 A B ； （2）设集合 C {x | f (x) a} ，集合 D {x | g(x) x2} ，若 D C ，求 a 的取值范围．
湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（理科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】因，故复数对应的点在第二象限，应选答案B。
2. 设、为非空集合，定义集合为如图非阴影部分的集合，若| ，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．详解：依据定义，A B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义：A*B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选：D．点睛：本小题考查函数的定义域和值域，考查集合交并运算的知识，考查运算能力，属于中档题．3. 阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C4. 使不等式成立的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B.5. 已知集合，，则从到的映射满足，则这样的映射共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f（3）=3，可得f（1）和f（2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案详解：：若f（3）=3，则f（1）=3或f（1）=4；f（2）=3或f（2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个，故选：B．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题6. 在直角坐标系中，若角的终边经过点，在（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意角的终边经过点，即点，利用三角函数的定义及诱导公式，即可求解结果.详解：由题意，角的终边经过点，即点，则，由三角函数的定义和诱导公式得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的定义和三角函数诱导公式的应用，其中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7. 定义运算，，例如，则函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．8. 若在区间上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．详解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）故选：A．点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.9. 已知，，分别为内角，，的对边，且，，成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为成等比数列，所以,利用正弦定理化简得：,又，所以原式=所以选C.点睛：此题考察正弦定理的应用，要注意求角度问题时尽量将边的条件转化为角的等式，然后根据三角函数间的关系及三角形内角和的关系进行解题.10. 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）=0，则||的最大值是（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】分析：由向量垂直的条件可得•=0，运用向量的平方即为模的平方，可得|+|=，再化简运用向量的数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可得到所求最大值．详解：由题意可得•=0，可得|+|==，（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜（+，＞=0，即为||=cos＜+，＞，当cos＜+，＞=1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．点睛：本题考查向量的模的最值的求法，注意运用向量数量积的定义和性质，考查余弦函数的值域的运用，属于中档题．11. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于（）A. 1B.C. 3D. 0【答案】C【解析】由导数的几何意义得所以=，故选C.12. 设，则使得的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，对函数f（x）求导分析可得函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x ﹣3|，解可得x的取值范围，即可得答案．详解：根据题意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（e x﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1与函数y=2（e x﹣1+e1﹣x）都关于直线x=1对称，则函数f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x）的图象关于直线x=1对称，f（x）=﹣x2+2x﹣2（e x﹣1+e1﹣x），当x≥1时，f′（x）=﹣2x+2﹣（e x﹣1﹣）=﹣2（x+1+e x﹣1﹣），又由x≥1，则有e x﹣1≥，即e x﹣1﹣≥0，则有f′（x）＜0，即函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，f（x+1）＜f（2x﹣2）⇒f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）⇒f（|x|）＜f（|2x﹣3|）⇒|x|＞|2x﹣3|，变形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）；故选：B．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若为偶函数，则，若函数是奇函数，则．13. 已知函数，其中为函数的导数，则（）A. 2B. 2019C. 2018D. 0【答案】A【解析】由题意易得：∴函数的图象关于点中心对称，∴由可得∴为奇函数，∴的导函数为偶函数，即为偶函数，其图象关于y轴对称，∴∴故选：A14. 中，角、、的对边分别为，，，若，三角形面积为，，则( )A. 7B. 8C. 5D. 6【答案】A【解析】分析：由已知及三角形的面积公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．详解：由题意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=7．故选：A．点睛：本题综合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，解题的关键是灵活利用公式．考查计算能力．15. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求cosC=0 即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设则，，由=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12而，利用基本不等式求解最小值．详解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90°∵，S△ABC=6∴bccosA=9，∴，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15∴c=5，b=3，a=4以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4）P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1）设，则，∴=（x，0）+（0，y）=（x，y）∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12=故所求的最小值为故选：C．点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的是一个单位向量，从而可用x，y表示，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分.16. 《左传.僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?"”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的__________条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件②必要条件③充要条件④既不充分也不必要条件【答案】①【解析】分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．故答案为：①．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．17. 对于，，规定，集合，则中的元素的个数为__________．【答案】41【解析】分析：由⊕的定义，a b=36分两类进行考虑：a和b一奇一偶，则ab=36；a和b同奇偶，则a+b=36．由a、b∈N*列出满足条件的所有可能情况，再考虑点（a，b）的个数即可详解：a b=36，a、b∈N*，若a和b一奇一偶，则ab=36，满足此条件的有1×36=3×12=4×9，故点（a，b）有6个；若a和b同奇偶，则a+b=36，满足此条件的有1+35=2+34=3+33=4+32=…=18+18共18组，故点（a，b）有35个，所以满足条件的个数为41个．故答案为：41．点睛：本题考查的知识要点：列举法在排列组合中的应用，正确理解新定义的含义是解决本题的关键．18. 已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是__________．【答案】【解析】分析：根据向量的模求出•=1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2•=3，解得•=1，∴在方向上的投影是=，故答案为：点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．19. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】因为，所以函数为单调递增奇函数，因此由，得因此，当且仅当时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.20. 已知集合，且下列三个关系：，，中有且只有一个正确，则函数的值域是__________．【答案】【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，每小题8份，共40分.21. 以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线的参数方程为（为参数），设点，直线与曲线相交于，两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程，巧解韦达定理表示，解得其值.试题解析：（1）由曲线C的原极坐标方程可得，化成直角方程为．（2）联立直线线l的参数方程与曲线C方程可得，整理得，∵，于是点P在AB之间，∴．点睛：过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为 (t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即t＝|PP0|时为距离．使用该式时直线上任意两点P1，P对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为 (t1＋t2)222. 如图，在中，角，，所对的边分别为，，，若.（1）求角的大小；（2）若点在边上，且是的平分线，，，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出，从而得出的大小；（2）利用余弦定理求出，根据是的平分线，可得，故而可求得结果.试题解析：(1)在中，∵,∴由正弦定理得，∵，∴，∵，∴.(2)在中，由余弦定理得，即,解得,或（负值，舍去）∵是的平分线，，∴,∴.23. 已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是；单调递减区间是.（2）【解析】试题分析：(1)，根据题意，由于函数当t=-e时，即导数为,,函数的单调递增区间是；单调递减区间是（2) 根据题意由于对于任意，不等式恒成立，则在第一问的基础上，由于函数,只要求解函数的最小值大于零即可，由于当t>0,函数子啊R递增，没有最小值，当t<0，那么可知，那么在给定的区间上可知当x=ln（-t）时取得最小值为2，那么可知t的取值范围是．考点：导数的运用点评：主要是考查了导数的运用，以及函数最值的运用，属于中档题。
湖南省长郡中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)答案
一# 选择题$ 本大题共" 每小题$分% 共% #个小题% #分 ! " & '! ( & ) $ & *! % & +! # & ) , & +! & '! . & *! / & ) " 0 & + ! ! ! " ( & ) " $ & *! " % & '! " # & + " " & *! ! 二# 填空题$ 本大题共#小题% 每小题$分% 共" #分 ! (% $ " $ % $槡 ( ! % " " , ! ( 0 " ! 0 " " . ! " / ! ! ( 0 ! !$槡 ! ! ! ! " , ( ( ( ( 说明# 证明过程或演算步骤! & 解 析' ! 由! ( " ! "" 0 ! 0 0 (10 ! 0 0 /#10 ! 0 " "10 ! 0 " (#1"10 ! 0 0 #1 " % 0 ! 0 0 (# 2 ( 0 3 "得 $ "3 0 ! 0 0 -# 所以直方图中" 的值是0 ! 0 0 -# ! (分" ( 0 1 ( % 0 ! " 月平均用电量的众数为( % ( 3 ( $ 0 ( " % 4! 0 ! 0 0 ( 1 0 ! 0 0 /# 1 0 ! 0 " " 2 ( 0 3 0 ! % # 0 ! # # % " 内% 设中位数为 #% 由! 5月平均用电量的中位数在 ( ( ( 0 ( % 0 0 ! 0 0 (1 " " % 得#3 0 ! 0 0 /# 1 0 ! 0 " " 2 ( 0 1 0 ! 0 " ( # 2! #! ( ( 0 3 0 ! # ( ( % ! 即月平均用电量的中位数为( ( % ! ! #分" ! " 月平均用电量为( % " 的用户有 0 月 $ ( ( 0 ( % 0 ! 0 " (# 2 ( 0 2 " 0 0 3 ( # 户% 平均用电量为( % " 的用户有 0 月平均 ( % 0 ( , 0 ! 0 0 -#2( 02" 0 03" # 户% % " 的用户有0 月平均用电量 用电量为( ( , 0 ( . 0 ! 0 0 #2( 02" 0 03" 0 户% 为( % 的用户有0 抽取比例为 ( . 0 $ 0 0" ! 0 0 (#2( 02" 0 03# 户% " " " 3 % ( # 1 " # 1 " 0 1 # # % " 的用户中应抽取( 5月平均用电量为( ( ( 0 ( % 0 # 2 " 3 #户! #
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二(下)开学数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）开学数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{1，2，3}D．{1，2}2．（5分）已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别为（）A．2，B．4，3C．4，D．2，13．（5分）若复数z＝（a+i）2（a∈R）在复平面内对应的点在y轴上，则|z|＝（）A．1B．3C．2D．44．（5分）在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，则x≤1的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线（m＞0）渐近线方程为y＝±x，则m的值为（）A．1B．2C．3D．46．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B．C．D．27．（5分）若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）A．4B．9C．10D．128．（5分）已知函数f（x）＝若数列{a n}满足a n＝f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，2]C．（2，3）D．[，3）9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．2B．﹣1C．1D．010．（5分）设p：f（x）＝x3﹣2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增；，则p 是q的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．以上都不对11．（5分）在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A等于（）A．B．C．﹣D．﹣12．（5分）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•＝2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.）13．（5分）幂函数y＝x a在其图象上点（2，16）处的切线方程为．14．（5分）函数f（x）＝cos2x+6cos（﹣x）的最大值是．15．（5分）已知非零向量，满足||＝4||，且⊥（2+），则与的夹角为．16．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE 的外接球的体积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}中，a2＝4，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA＝DB＝DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，F为AB的中点．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF；（Ⅱ）若AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝45°，求四面体F﹣DBC的体积．19．（12分）某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（第x周）和市场占有率（y%）的几组相关数据如下表：（Ⅰ）根据表中的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x；（Ⅱ）根据上述线性回归方程，预测在第几周，该款旗舰机型市场占有率将首次超过0.40%（最后结果精确到整数）．参考公式：＝，＝﹣．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为．设过点F 2的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，周长为8．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点T（4，0），证明：当直线l变化时，总有TA与TB的斜率之和为定值．21．（12分）已知f（x）＝（a≠0，且a为常数）．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a＝，在区间（1，+∞）内，存在x1，x2，且x1≠x2时，使不等式|f（x1）﹣f （x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|成立，求k的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ＝8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣3|，g（x）＝|x+1|+|x﹣a|．（l）求f（x）≥1的解集；（2）若对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t）．求a的取值范围．2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}＝{x|﹣3＜x＜3}，∴A∩B＝{1，2}．故选：D．2．【解答】解：∵x1，x2，…，x5的平均数是2，则x1+x2+…+x5＝2×5＝10．∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数是：′＝[（3x1﹣2）+（3x2﹣2）+（3x3﹣2）+（3x4﹣2）+（3x5﹣2）]＝[3×（x1+x2+…+x5）﹣10]＝4，S′2＝×[（3x1﹣2﹣4）2+（3x2﹣2﹣4）2+…+（3x5﹣2﹣4）2]，＝×[（3x1﹣6）2+…+（3x5﹣6）2]＝9×[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x5﹣2）2]＝3．故选：B．3．【解答】解：复数z＝（a+i）2＝a2﹣1+2ai（a∈R），由复数z＝（a+i）2（a∈R）在复平面内的对应点在y轴上，可得a2﹣1＝0，2a≠0，解得a＝±1．则|z|＝2．故选：C．4．【解答】解：∵在区间[﹣1，4]上随机选取一个数x，∴x≤1的概率P＝＝，故选：A．5．【解答】解：双曲线（m＞0）的渐近线方程为y＝±x，由渐近线方程为y＝±x，可得＝，可得m＝3，故选：C．6．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB＝1，AB＝1，AD＝1，∴BD＝，PD＝＝．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．7．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵A（0，﹣3），C（0，2），∴|OA|＞|OC|，联立，解得B（3，﹣1）．∵，∴x2+y2的最大值是10．故选：C．8．【解答】解：∵数列{a n}是递增数列，又∵f（x）＝，a n＝f（n）（n∈N*），∴3﹣a＞0，且a＞1且f（10）＜f（11）∴10（3﹣a）﹣6＜a2解得a＜﹣12，或a＞2故实数a的取值范围是（2，3），故选：C．9．【解答】解：当i＝1时，满足进行循环的条件，故S＝0，i＝2；当i＝2时，满足进行循环的条件，故S＝1，i＝3；当i＝3时，满足进行循环的条件，故S＝0，i＝4；…当i＝2n﹣1（n∈Z）时，满足进行循环的条件，故S＝0，i＝2n；当i＝2n（n∈Z）时，满足进行循环的条件，故S＝1，i＝2n+1；…当i＝2018时，满足进行循环的条件，故S＝1，i＝2019；当i＝2019时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为1，故选：C．10．【解答】解：因为f（x）＝x3﹣2x2+mx+1，所以f′（x）＝3x2﹣4x+m，由f（x）＝x3﹣2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，即f′（x）＝3x2﹣4x+m≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，即△＝16﹣12m≤0，解得：m，即p：m，则p是q的必要不充分条件，故选：C．11．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，∵在△ABC中，B＝，BC边上的高AD＝h＝BC＝a，∴BD＝AD＝a，CD＝a，在Rt△ADC中，cosθ＝＝＝，故sinθ＝，∴cos A＝cos（+θ）＝cos cosθ﹣sin sinθ＝×﹣×＝﹣．故选：C．12．【解答】解：设直线AB的方程为：x＝ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），由⇒y2﹣ty﹣m＝0，根据韦达定理有y1•y2＝﹣m，∵•＝2，∴x1•x2+y1•y2＝2，结合及，得，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2＝﹣2，故m＝2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO═×2×（y1﹣y2）+×y1，＝．当且仅当，即时，取“＝”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.）13．【解答】解：把点（2，16）代入幂函数y＝x a中，得2a＝16，解得a＝4，∴幂函数为y＝x4；求函数的导数为y′＝4x3，令x＝2，得切线斜率为k＝4×23＝32，所以过函数图象上点（2，16）处的切线方程为y﹣16＝32（x﹣2），即为y＝32x﹣48．故答案为：y＝32x﹣48．14．【解答】解：f（x）＝cos2x+6cos（﹣x）＝1﹣2sin2x+6sin x＝﹣2sin2x+6sin x+1．令t＝sin x，t∈[﹣1，1]，则原函数化为y＝，∴当t＝1时，y有最大值为．故答案为：5．15．【解答】解：∵非零向量，满足||＝4||，且⊥（2+），设与的夹角为θ，则•（2+）＝2+＝2+||•4||•cosθ＝0，∴cosθ＝﹣，∴θ＝，故答案为：．16．【解答】解：∵∠DAB＝60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为1∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD＝OE＝OC＝在直角△POD中：OP2＝PD2﹣OD2＝OP＝∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P＝O'D设O'P＝O'D＝R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2＝O'D2（OP﹣O'P）2+OD2＝O'D2（﹣R）2+（）2＝R2，R＝∴体积为πR3＝故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）公差d不为零的等差数列{a n}中，a2＝4，且a1，a3，a9成等比数列，可得a32＝a1a9，即（a1+2d）2＝a1（a1+8d），化为a1＝d，又a1+d＝4，可得a1＝d＝2，则a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）＝2n+4n，则前n项和T n＝（2+4+…+2n）+（4+16+…+4n）＝•n（2+2n）+＝n2+n+．18．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又F为AB的中点，DA＝DB，∴AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF＝D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA＝DB＝DC，E为AC上的一点，DE⊥平面ABC，∴线段DA、DB、DC在平面ABC的投影EA，EB，EC满足EA＝EB＝EC∴△ABC为直角三角形，即AB⊥BC由AD⊥DC，AC＝4，∠BAC＝45°，∴AB＝BC＝2，DE＝2，∴S△FBC＝＝2，∴四面体F﹣DBC的体积V F﹣DBC＝V D﹣FBC＝＝．19．【解答】解：（Ⅰ）由题中的数据可知：＝（1+2+3+4+5）＝3，＝（0.03+0.06+0.1+0.14+0.17）＝0.1则＝＝0.036＝﹣＝﹣0.008所以y关于x的线性回归方程：＝0.036x﹣0.008（Ⅱ）由（Ⅰ）知，＝0.036x﹣0.008＞0.40，解得x＞11.3，所以自上市起经过12个周，该款旗舰机型市场占有率能超过0.40%20．【解答】解：（I）由题意知，4a＝8，所以a＝2．因为e＝，所以c＝1，则b＝．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：当直线l垂直与x轴时，显然直线TS与TR的斜率之和为0，当直线l不垂直与x轴时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2x+4k2﹣12＝0，△＝64k4﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝k2+1＞0恒成立，x1+x2＝，x1x2＝，由k TA+k TB＝+＝＝，TA，TB的斜率存在，由A，B两点的直线y＝k（x﹣1），故y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），由2x1x2﹣5（x1+x2）+8＝＝0，∴k TA+k TB＝0，∴直线TA与TB的斜率之和为0，综上所述，直线TA与TB的斜率之和为定值，定值为0．21．【解答】解：（1）∵f（x）＝（a≠0，且a为常数），∴f′（x）＝＝﹣．∴①若a＞0时，当0＜x＜1，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．即a＞0时，函数f（x）单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．②若a＜0时，当0＜x＜1，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．即a＜0时，函数f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．（2）由（1）知，f（x）＝在区间（1，+∞）上单调递减，不妨设x2＞x1＞1，则f（x1）＞f（x2），∴不等式|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|可化为f（x1）﹣f（x2）≥k（lnx2﹣lnx1）．即f（x1）+klnx1≥f（x2）+klnx2，令F（x）＝f（x）+klnx，则F（x）在区间（1，+∞）上存在单调递减区间，∴F′（x）＝f′（x）+＝+＝＜0有解，即kx＜lnx（x＞1），∴k＜有解，令G（x）＝，则G′（x）＝，由G′（x）＝0得x＝e，当x∈（1，e）时，G′（x）＞0，G（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减．∴G（x）max＝G（e）＝，故k＜．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）由得：，∴ρ2＝16，即ρ＝±4．∴A、B两点的极坐标为：或．（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ＝8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8，得到普通方程为x2﹣y2＝8．将直线代入x2﹣y2＝8，整理得．∴|MN|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣3|，故f（x）≥1，等价于|2x+1|﹣|2x﹣3|≥1，令2x+1＝0，解得x＝﹣，令2x﹣3＝0，解得x＝，则：不等式等价于：，或，或．解①求得x∈∅，解②求得，解③求得x．综上可得，不等式的解集为{x|}．（2）若对任意的t∈R，s∈R，都有g（s）≥f（t），可得g（x）min≥f（x）max，∵函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣3|≤|2x+1﹣2x+3|＝4，∴f（x）max＝4．∵g（x）＝|x+1|+|x﹣a|≥|x+1﹣x+a|＝|a+1|，故g（x）min＝|a+1|，∴|a+1|≥4，∴a+1≥4或a+1≤﹣4，求得a≥3或a≤﹣5．故所求的a的范围为{a|a≥3或a≤﹣5}．。
湖南省长郡中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(解析版)
长郡中学2017-2018学年度高二第二学期期末考试数学（文科）一、选择题：本大题共15个小题,每小题3分,共45分.1. 设集合，，则集合为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：化简集合，再由交集的定义，即可得到所求集合.详解：集合，，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集的运算，其中正确求解集合的解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2. 若复数是纯虚数，则实数等于（）A. 2B. -2C. -1D. 1【答案】A【解析】分析：复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．详解：因为，是纯虚数，所以a=2．故选：A．点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3. 下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，但不是上的增函数，排除；为奇函数，且是上的增函数，故选D.4. 已知：命题：若函数是偶函数，则；命题：，关于的方程有解.在①；②；③；④中真命题的是（）A. ②③B. ②④C. ③④D. ①④【答案】D【解析】分析：先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．详解：若函数f（x）=x2+|x﹣a|为偶函数，则（﹣x）2+|﹣x﹣a|=x2+|x﹣a|，即有|x+a|=|x﹣a|，易得a=0，故命题p为真；当m＞0时，方程的判别式△=4﹣4m不恒大于等于零，当m＞1时，△＜0，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题p∨q为真，p∧q为假，（￢p）∧q为假，（￢p）∨（￢q）为真．综上可得真确命题为①④．故选：D．点睛：本题考查复合命题的真假的判断．解题关键真确判断命题p，q的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解．属于基础题．（1）由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．5. 若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：用已知函数值的角表示要求的角，再由两角和差公式得到结果.详解：=因为，,,故代入得到结果为：.故答案为：A.6. 已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是（）A. B. 最小 C. D.【答案】B【解析】由题设可得，即，所以答案D正确；由等差数列的性质可得，则，所以答案A正确；又，故答案C正确。
2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期第一次模块检测数学(文)试卷(带解析)
绝密★启用前2016-2017学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期第一次模块检测数学（文）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．要完成下列两项调查:（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A. (1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B. (1)用分层抽样法,(2)用系统袖样法C. (1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D. (1)(2)都用分层抽样法2．某校共有1200名学生，现采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行健康状况调查，若抽到男生比女生多10人，则该校男生共有（）A. 700名B. 600名C. 630名D. 610名3．利用系统抽样从含有45个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中每个个体被抽到的可能性是（）A. 145B. 29C. 14D. 与第几次被抽取有关4．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别A. 23与26B. 31与26C. 24与30D. 26与305．从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为（）A. 480B. 481C. 482D. 483将该班所有同学的考试分数分为七组：[100,104),[104,108),[108,112),[112,116),[116,120),[120,124),[124,128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112 分的有18人，则分数不低于120分的人数为（）A. 10B. 12C. 20D. 407．与第6题条件相同，家委会决定对班上的中位数以上的同学进行奖励，请问，如图所示的频率分布直方图中，理论上的中位数是（）A. 108.8B. 114C. 112D. 1168．数据5，7，7，8，10，11的标准差是（）A. 8B. 4C. 2D. 19．给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”；④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”.其中属于互斥但不对立的亊件的有（）A. 0对B. 1对C. 2 对D. 3对10．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A. 25B. 925C. 825D. 1511．命题“∃x∈R,sin x>1”的否定是（）A. ∃x∈R,sin x≤1B. ∀x∈R,sin x>1C. ∃x∈R,sin x=1D. ∀x∈R,sin x≤112．下列命题中正确命题的个数是（）①对于命题p:∃x∈R，使得x2+x−1<0，则¬p:∀x∈R，均有x2+x−1>0；②若p是q的必要不充分条件，则¬p是¬q的充分不必要条件；③命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题；④“m=−1”是“直线l1:m x+(2m−1)y+1=0与直线l2:3x+m y+3=0垂直”的充要条件.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13．已知椭圆x28+y24=1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF2|=2，则cos∠F1PF2=（）A. 34B. 23C. 12D. 1314．已知A(2,1),B(1,−2),C(35,−15)，动点P(a,b)满足0≤O P⋅O A≤2,且0≤O P⋅O B≤2，1A. 1−5π64B. 5π64C. 1−π16D. π1615．已知直线y=k x+1，当k变化时，此直线被椭圆x24+y2=1截得的最大弦长是（）A. 4B. 2C. 433D. 5第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 16．已知命题“若直线l 与平面α垂直，则直线l 与平面α内的任意一条直线垂直”，则其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是__________．17．已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1 ⊥PF 2 .若ΔPF 1F 2的面积为9，则b =__________． 18．椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距为2c .若直线y = 3(x +c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠M F 1F 2=2∠M F 2F 1，则该椭圆的离心率等于__________．19．椭圆x 24+y 2=1中，以点M (1,12)为中点的弦所在直线方程是__________．20．已知F 1是椭圆x 225+y 216=1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (−1,3)是一定点，则|P A |+|PF 1|的最大值是__________．三、解答题21．设:实数满足4a x +3a 2<0，q :实数x 满足|x −3|<1.（1）若a =1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若其中a >0且¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.22．某电脑公司备6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表:（1）求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；（2）若第6名产品推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额.参考公式：{b = (x i −x)(y i −y )n i =1 (x i −x )2n i =1= x i y i −nx⋅y n i =1 x i 2−n (x )2n i =1a =y−bx 23．已知圆M 过两点C (1,−1),D (−1,1),且圆心M 在x +y −2=0上.（1）求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x +4y +8=0上的动点，P A ,P B 是圆M 的两条切线，A ,B 为切点，求四边形P A M B 面积的最小值.24．已知椭圆C :x 2a +y 2b =1(a >b >0)经过点A (1, 32)，且离心率e = 32. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点B (−1,0)能否作出直线l ，使l 与椭圆C 交于M 、N 两点，且以M N 为直径的圆经过坐标原点O？若存在,求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 25．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S N=−a N−(12)N−1+2(n∈N∗).(1)求数列{a n}的通项公式，并写出推理过程；(2)令c n=n+1n a N，T N=c1+c2+⋯+c N，试比较T N与5n2n+1的大小，并给出你的证明.参考答案1．C【解析】试题分析：（1）由于家庭收入差异较大，故（1）应该使用分层抽样（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，由于人数较少，故使用简单随机抽样，考点：抽样方法2．C【解析】试题分析：设样本中男生、女生各为x 、y 人，则{x +y =200x −y =10⇒{x =105y =95⇒该校男生共有105200×1200=630人，故选C.考点：分层抽样.3．B【解析】由题设就是求概率是多少.事实上从45个个体中抽取10个的概率是P =1045=29，故应选B.4．B【解析】试题分析：众数是出现次数最多的数，中位数是按大小顺序排列后位于中间的一个或两个的平均数考点：众数与中位数5．C【解析】试题分析：∵样本中编号最小的两个编号分别为007，032，∴样本数据组距为32−07=25，则样本容量为50025＝20，则对应的号码数x =7+25（n −1），当n =20时，x 取得最大值为x =7+25×19=482，故选C .考点：系统抽样，样本容量、组距.6．A【解析】由频率分布直方图得分数低于112分的频率为：(0.01+0.03+0.05)×4=0.36，∵分数低于112分的有18人，∴高三（1)班总人教为：n =180.36=50，∵分数不低于120分的频率为：(0.03+0.02)×4=0.2，∴分数不低于120分的人数为：50×0.2=10人.故选A.7．C【解析】因为前三组的频率和为（0.01+0.03+0.05）×4=0.36<0.5 ，前四组的频率和为（0.01+0.03+0.05+0.07）×4=0.64>0.5，所以中位数在第四组的中间位置，所以理论上的中位数是114.点晴：本题考查的是根据频率分布直方图求理论上的中位数.解决这类问题的关键是弄清各小矩形的面积和为1，各小矩形的面积表示的是这个范围内的数据的频率.先判断出频率为0.5所在的范围，再根据比例求出理论上的中位数.8．C【解析】试题分析：因为这组数据的平均数x=5+7+7+8+10+116=8,所以这组数据的方差为(5−5)2+(5−8)2+(5−7)2+(5−7)2+(5−10)2+(5−11)26=4，标准差是2，故选C.考点：1、样本数据的平均数；2、样本数据的方差与标准差.9．C【解析】①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件，但还可以“射中6环”，故不是对立事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，不可能同时发生，故它们是互斥事件，但还有可能“没有红球”，故不是对立事件.故答案为C.10．A【解析】试题分析：从甲乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数为n =C 52=10，甲被选中包含的基本事件的个数m =C 11C 41=4,所以甲被选中的概率为p =m n =25，故选A ． 考点：古典概型及其概率的计算．11．D【解析】试题分析：原命题的否定为∀x ∈R ,sin x ≤1，故选D ．考点：命题的否定．12．B【解析】试题分析：①中¬P :∀x ∈R ，均有x 2+x −1≤0，④中两直线垂直的充要条件是3m +m (2m −1)=0⇔m =0或-1，故①、④错误，②、③正确，因此选B.考点：真假命题.13．D【解析】∵椭圆x 28+y 24=1，∴a =2 2，b =2=c ，∵|PF 2|= 2，|PF 1|+|PF 2|=4 2，∴|PF 1|=3 2，∴cos ∠F 1PF 2= 2)2 2)22=13.故选D. 14．A【解析】试题分析：依题意有{0≤2a +b ≤20≤a −2b ≤2，目标函数 (a −35)2+(b +15)2>14，即以C (35,−15)为圆心，半径为14的圆外.画出可行域如下图所示，圆外面积为45−π16，故概率为45−π1645=1−5π64.考点：几何概型．15．C【解析】法一：直线y =k x +1必过点(0,1)，以改点为圆心，R 为半径作圆：x 2+(y −1)2=R 2，与椭圆x 24+y 2=1联立得3y 2+2y +R 2−5=0，若只有一交点，则对应的为最大的弦长，故即Δ=0，得4−12(R 2−5)=0，得R 2=163，R =4 33，即最大的弦长=4 33.法二：直线y =k x +1必过点A (0,1)，设椭圆上一点P (2cos α,sin α)，则弦A P = (2cos α)2+(sin α−1)2= −3(sin α+13)2+163≤4 33. 法三：联立y =k x +1与x 24+y 2=1得：(1+4k 2)x 2+8k x =0.∴x 1+x 2=−8k (1+4k 2)，x 1+x 2=0，k 2>0.弦长2=(1+k 2)[64k 2(1+4k )2]=4[(1+4k 2)2+2(1+4k 2)−3](1+4k )2=4+81+4k 2−12(1+4k 2)2=163−12[1(1+4k 2)−13]2 当1(1+4k 2)=13，即k 2=12时，弦长最大，最大值为4 33.16．3【解析】逆命题: 若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，直线l 与平面α垂直，为真命题; 否命题: 直线l 与平面α不垂直，若直线l 不与平面α内的任意一条直线垂直，为真命题 逆否命题: 若直线l 与平面α内的任意一条直线不垂直，直线l 与平面α不垂直，为真命题. 17．3【解析】试题分析：由PF 1 ⊥PF 2 知∠F 1PF 2=900，根据椭圆中焦点三角形的面积公式S Δ=b 2⋅tan θ2，得S Δ=b 2⋅tan θ2=b 2⋅tan 450=9，所以b =3.考点：1、椭圆的性质；2、焦点三角形．18．【解析】试题分析：如下图所示，则可知直线的倾斜角为π3，且过点F 1，∴∠M F 1F 2=2∠M F 2F 1=π3，∴|M F 1|=c ，|M F 2|= 3c ，∴，故填： 3−1.考点：椭圆的标准方程及其性质．19．x +2y −2=0【解析】由题：x 24+y 2=1，可设过中点的弦与椭圆的两个交点坐标分别为：(x 1,y 1),(x 2,y 2)，代入椭圆得：x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，两式相减得：14(x 1+x 2)(x 1−x 2)=(y 1+y 2)(y 2−y 1)，k =y 1−y2x 1−x 2=−14(x 1+x2y 1+y 2)，另由中点坐标公式：x 1+x 2=2,y 1+y 2=1，则：k =−12，中点弦的直线方程为：y −12=−12(x −1)，x +2y −2=0. 点晴：本题考查的是椭圆中的中点弦方程.求直线方程需要具备一点一斜或者是两点，求斜率时可以设直线方程与椭圆联立，用待定系数法确定斜率，求直线方程，也可以设过中点的弦与椭圆的两个交点坐标分别为：(x 1,y 1),(x 2,y 2)，代入椭圆得：x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，两式相减得：14(x 1+x 2)(x 1−x 2)=(y 1+y 2)(y 2−y 1)，确定k =y 1−y 2x 1−x 2=−14(x 1+x2y 1+y 2)的值. 20．15【解析】由题可知：F 1(−3,0),F 2(3,0)利用椭圆的定义可得：|PF 1|+|PF 2|=2a =10.利用三角形三边的大小关系可得|P A |+|PF 1|=|P A |+10−|PF 2|≤10+|AF 2|=15.21．（Ⅰ）2<x <3（Ⅱ）43≤a ≤2【解析】试题分析：（１）a =1时得p :1<x <3；q ：2<x <4，由p ∧q 为真,得x 的取值范围；（2）由a >0得可得¬p ,¬q 由¬p 是¬q 的充分不必要条件,得实数a 的取值范围．试题解析： （1）由x 2−4a x +3a 2<0得(x −3a )(x −a )<0,当a =1时,1<x <3, 即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由|x −3|<1,得−1<x −3<1,得2<x <4,即q 为真时实数x 的取值范围是2<x <4, 若p ∧q 为真, 则p 真且q 真,∴实数x 的取值范围是2<x <3.（2）由x 2−4a x +3a 2<0得(x −3a )(x −a )<0,若¬p 是¬q 的充分不必要条件,则¬p ⇒¬q ,且¬q ⇒¬p ,设A ={x |¬p },B ={x |¬q },则A ⊆B ,又A ={x |¬p }={x |x ≤a 或x ≥3a },B ={x |¬q }={x |x ≥4或x ≤2},则0<a ≤2,且3a ≥4, ∴实数a 的取值范围是43≤a ≤2.考点：充分条件；必要条件；逻辑联结词．【易错点睛】判断充分、必要条件时应注意的问题：（1）要弄清先后顺序：“Α的充分不必要条件是Β”是指Β能推出Α，且Α不能推出Β；而“Α是Β的充分不必要条件”则是指Α能推出Β，且Β不能推出Α；（2）要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以通过举出恰当的反例来说明．22．（1）y =0.5x +0.4；（2）5.9【解析】试题分析：（1）首项求出x ,y 的平均数，利用最小二乘法求出b 的值，再利用样本中线点满足线性回归方程，即可求解a 的值，写出线性回归方程；（2）第6名推销员的工作年限为11年，即当x =11时，把自变量的值代入线性回归方程，得到y 的预报值，即估计出6名推销员的年推销金额.试题解析：（1）设所求的线性回归方程为y =b x +a ,x =6,y =3.4, 则b= x i y i −5xy 5i =1x i 2−5x25i =1=112−5×6×3.4200−5×62=0.5,a=y −b x =0.4. 所以年推销金额y 关于工作年限x 的的线性回归归方程为y=0.5x +0.4. （2）当x =11时，y=0.5x +0.4=0.5×11+0.4=5.9（万元） 所以估计他的年推销金额为5.9（万元） 考点：线性回归直线方程及其应用. 23．（1）(x −1)2+(y −1)2=4；（2）2 5． 【解析】试题分析：（1）设圆的方程为(x −a )2+(y −b )2=r 2(r >0)，将C ,D 的坐标代入圆的方程，将圆心代入直线x +y −2=0，列方程组，求得a =b =1,r =2；（2）将四边形变为两个三角形，即S =S ΔP A M +S ΔP B M =12|A M |·|P A |+12|B M |·|P B |=2|P A |，而|P A |= |P M |2−4，所以S =2 |P M |2−4，|P M |最小时，面积取得最小值，点到直线的距离最小为3，所以面积最小值为S =2 22−4=2 5.试题解析： （1）设圆M 的方程为(x −a )2+(y −b )2=r 2(r >0)， 根据题意得：{(1−a )2+(−1−b )2=r 2(−1−a )2+(1−b )2=r 2a +b −2=0，解得a =b =1,r =2，故所求圆M 的方程为(x −1)2+(y −1)2=4． （2）因为四边形P A M B 的面积，S =S ΔP A M +S ΔP B M =12|A M |·|P A |+12|B M |·|P B |，又|A M |=|B M |=2,|P A |=|P B |，所以S =2|P A |，而|P A |= ||−|A M |= |P M |−4，即S =2 |P M |−4， 因此要求S 的最小值，只需求|P M |的最小值即可， 即在直线3x +4y +8=0上找一点P ，使得|P M |的值最小， 所以|P M |min ==3，所以四边形P A M B 面积的最小值为S =2 ||min−4=2 32−4=2 5.考点：直线与圆的位置关系，最值问题.【方法点晴】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查方程的思想，考查最值问题.第一问已知条件有三个，有两个圆上的点C ,D 还有圆心在某条直线上，由此可假设圆的标准方程，代入已知条件，列出方程组，求得圆心和半径.第二问要求四面形面积的最小值，转化为两个三角形的面积的最小值，转化为点到直线的距离最小值来求.24．【解析】试题分析：（1）由已知e =ca ，b 2=a 2−c 2，点A (1, 32)在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，得到关于a 、b 、c 的方程组，解方程组得椭圆方程；（2）先验证当直线l 的斜率不存在时以M N 为直径的圆不经过坐标原点O ．当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：y =k (x +1)，两交点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1y =k (x +1)，得(1+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−4=0，x 1+x 2=−8k 21+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2−41+4k 2，因为以M N 为直径的圆经过坐标原点O ，所以，得到关于k 的方程，解得k ，求出l 的方程． 试题解析：（1）由已知e =c a =32，即c 2=34a 2,b 2=a 2−c 2=14a 2，所以，椭圆方程为x 2a+4y 2a =1，将A (1, 32)代入得：1a 2+124a 2=1，解得a 2=4，可知b 2=1，所以，椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）因为直线l 经过椭圆内的点B (−1,0)，所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M ,N ．当直线l 的斜率不存在时，其方程是：x =−1，代入x 24+y 2=1，得y =±32，可知M (−1, 32)，N (−1,− 32)，所以以M N 为直径的圆不经过坐标原点O ．当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：y =k (x +1)，两交点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2) 由{x 24+y 2=1y =k (x +1)，得(1+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−4=0，x 1+x 2=−8k 21+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2−41+4k 2， 因为以M N 为直径的圆经过坐标原点O ，所以．可得x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k (x 1+1)⋅k (x 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k 2(x 1+x 2)+k 2=0．即(1+k 2)4k 2−41+4k 2+k 2⋅−8k 21+4k 2+k 2=0，解得k =±2．综上所述，存在过点B (−1,0)的直线l ，使得以l 被椭圆C 截得的弦为直径的圆经过原点O ，l 的方程为y =2x +2或y =−2x −2．考点：1、椭圆的几何性质；2、直线与椭圆.【方法点睛】（1）由已知e =ca ，b 2=a 2−c 2，点A (1, 32)在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，得到关于a 、b 、c 的方程组，解方程组得椭圆方程．（2）先验证当直线l 的斜率不存在时以M N 为直径的圆不经过坐标原点O ．当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：y =k (x +1)，两交点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，联立直线与椭圆，得x 1+x 2=−8k 21+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2−41+4k 2，因为以M N 为直径的圆经过坐标原点O ，所以，得到关于k 的方程，解得k ，求出l 的方程．25．（Ⅰ）a n =n2n ；（Ⅱ）T n >5n2n +1，证明见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可根据数列通项a n 与前n 项和S n 之间的关系来进行求解，即当n =1时，a 1=S 1；当n ⩾2时，a n =S n −S n −1，这时可得到a n 与a n −1的关系式，根据关系式的特点2n a n =2n −1a n −1+1，可通过构造换元，令b n =2n a n ，从而得出数列{b n }是等差数列，先求出数列{b n }的通项，再求出数列{a n }的通项；（Ⅱ）根据数列{C n }的特点可利用错位相减法求出T n ，接着利用作差法进行比较，根据差式的特点这里可采用数学归纳法进行猜想证明，详见解析．试题解析：（Ⅰ）在S n =−a n −(12)n −1+2中，令n =1，可得S 1=a n −1+2=a 1，即a 1=12，当n ≥2时，S n −1=−a n −1−(12)n −2+2，∴a n =S n −S n −1=−a n +a n −1+(12)n −1，∴2a n =a n −1+(12)n −1，即2n a n =2n −1a n −1+1，设b n =2n a n ，则b n =b n −1+1，即当n ≥2时，b n −b n −1=1， 又b 1=2a 1=1，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 于是b n =1+(n −1)·1=n =2n a n ，∴a n =n2n（Ⅱ）由（Ⅰ）得c n =n +1n a n=(n +1)(12)n ，所以T n =2×12+3×(12)2+4×(12)3+K +(n +1)(12)n ，12T n =2×(12)2+3×(12)3+4×(12)4+K +(n +1)(12)n +1 由①-②， 得12T n =1+(12)2+(12)3+K +(12)n −(n +1)(12)n +1=1+14[1−(12)n −1]1−12−(n +1)(12)n +1=32−n +32n +1∴T n =3−n +32n，则T n −5n 2n +1=3−n +32n−5n2n +1=(n +3)(2n −2n −1)2n (2n +1)于是只要比较2n 与2n +1的大小即可，（1）当n =1,2时，2n <2n +1，此时T n −5n2n +1<0，即T n <5n2n +1，（2）猜想：当n ≥3时，2n >2n +1，下面用数学归纳法证明：①当n =3时，不等式2n >2n +1成立；②假设n =k ≥3时，不等式成立，即2k >2k +1； 则当n =k +1时，2k +1>2·2k >2(2k +1)=4k +2=2k +(2k +2)≥2k +8>2(k +1)+1，所以当n =k +1时，不等式2n >2n +1成立， 由①和②可知，当n ≥3时，2n >2n +1成立， 于是，当n ≥3时，T n −5n2n +1>0，即T n >5n2n +1．另证：要证2n >2n +1 (n ≥3)，只要证：2n −1>2n ，只要证：1+21+22+L +2n −1>2n ， 由均值不等式得：1+21+22+⋯+2n −1>n 1⋅21⋅22⋯⋯2n n=n ⋅2n −12≥n ⋅23−12=2n ，所以2n >2n +1，于是当n ≥3时，T n −5n2n +1>0，即T n >5n2n +1．考点：1．数列的通项及前n 项和；2．数列与不等式的证明；3．数学归纳法的应用．【方法点睛】此题主要考查数列、数学归纳法等方面的内容，属于中高档题．在求数列的通项公式中，常利用数列的通项与前n 项和之间的关系来进行求解，若得到的关系式相对复杂的可构造新的数列，使得到新的数列是等差数列或等比数列，再利用等差数列或等比数列的通项公式进行求解；求数列的前n 项和有很多种方法，本题解答过程中采用了错位相减法，错位相减法适用于数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列之积，亦是教材（人教A 版）中用于推导等比数列的前n 项和公式的方法．。
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二(下)期末数学试卷(文科)(J)
2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高二（下）期末数学试卷（文科）(J)副标题一、选择题（本大题共15小题，共15.0分）1.设集合，0，1，2，，则集合为A. 0，1，B. 0，1，C. 0，1，2，D. 0，1，2，【答案】B【解析】解：集合0，1，0，1，2，，则集合0，1，．故选：B．化简集合A，再由交集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的交集的求法，注意运用化简变形和定义法，考查运算能力，属于基础题．2.若复数是纯虚数，则实数a等于A. 2B.C.D. 1【答案】A【解析】解：是纯虚数，，即．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数是奇函数且是增函数，对于A，函数是非奇非偶函数，对于B，函数在定义域上无单调性，对于C，函数的定义域上无单调性，对于D，函数是奇函数且是增函数，故选：D．根据函数奇偶性的定义以及函数的单调性判断即可．本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，是一道基础题．4.已知：命题p：若函数是偶函数，则．命题q：，关于x的方程有解．在；；￢；￢￢中为真命题的是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：若函数为偶函数，则，即有，易得，故命题p为真；当时，方程的判别式不恒大于等于零，当时，，此时方程无实根，故命题q为假，即p真q假，故命题为真，为假，￢为假，￢￢为真．综上可得真确命题为．故选：D．先分析命题p，q的真假，再根据复合命题的真值判断方法即可求解．本题考查复合命题的真假的判断解题关键真确判断命题p，q的真假，再根据复合命题真值的判断方法求解属于基础题．5.若，，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，可得：，，可得：，又，可得：，整理可得：，解得：，或舍去．故选：A．由已知利用两角和的余弦函数公式可求，结合同角三角函数基本关系式可求，进而解得的值．本题主要考查了两角和的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．6.已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是A. B. 最小 C. D.【答案】B【解析】解：等差数列的前n项和为，，，解得：．，故A正确；，不一定最小，故B错误；，，故C正确；，故D正确．错误的结论是B．故选：B．由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式求出首项和公差的关系，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，属中档题．7.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为，再由点C沿北偏东方向走10m到位置D，测得，则塔AB的高是单位：A.B.C.D. 10【答案】B【解析】解：设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，，在中，，，，由正弦定理可得，可得，则；所以塔AB的高是米；故选：B．设塔高为x米，根据题意可知在中，，，，从而有，在中，，，，，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高．本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．8.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为可排除B，D答案当时，，则可排除C答案故选：A．由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案．本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．9.设数列是首项为1，公比为的等比数列，若是等差数列，则A. 4026B. 4028C. 4030D. 4032【答案】B【解析】解：数列是首项为1，公比为的等比数列，可得，由是等差数列，即为常数，可得，即，，即有．故选：B．运用等比数列的通项公式和等差数列的定义，求得，进而得到所求和．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的定义，考查运算能力，属于中档题．10.将函数的图象向左平移个单位，再将所得函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的值不可能为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：将得图象横坐标缩短到原来的倍，得到，然后将函数图象向右平移个单位，得到，函数在上单调递增，，则，得，当时，，当时，，显然不可能取得，故选：C．根据三角函数的图象关系求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据三角函数的关系求出函数的解析式，以及利用三角函数的单调性的性质是解决本题的关键．11.已知函数，若函数在区间上有最值，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，由函数在区间上有最值在区间上单调且存在零点．，可得，解得．此时在区间上单调递减．实数a的取值范围是．故选：A．，由函数在区间上有最值在区间上存在零点利用函数零点存在定理即可得出．本题考查了利用对数研究函数的单调性极值与最值、函数零点存在定理、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，E，F分别为BC，CD的中点，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：四边形ABCD是边长为2的菱形，，可得，则，故选：D．运用向量的加减运算和数量积的定义以及性质，主要是向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义以及性质，考查运算能力，属于中档题．13.已知函数，的部分图象如图所示，且，则A. 6B. 4C.D.【答案】D【解析】解：，其中，，设函数的最小正周期为T，则，可得：，，可得：，即关于对称，而与的距离为半个周期，．故选：D．利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，其中，，由函数图象可求周期T，由，利用正弦函数的对称性可求，利用正弦函数的周期性进而可求的值．本题主要考查了三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想的灵活应用，属于中档题．14.已知为数列的前n项和，，，若关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数t的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，时，，，整理得，，．不等式，化为：，，，关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，可知，2．，故选：A．由，时，，则，即有，可得：不等式，化为：，，，关于正整数n的不等式的解集中的整数解有两个，即为1，2，即可得出正实数t的取值范围．本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.已知函数若方程有五个不同的实根，则实数a的取值范围A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，，显然是方程的一个根，当时，，当时，，显然，若为方程的解，则为方程为的解，方程有5个不同的根，方程在上有两解，做出和的函数图象，如图所示，设与相切，切点为，则，解得，，与在上有两个交点，，即，故选：D．求出的解析式，根据x的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出在上有解，根据函数图象和导数的几何意义得出a的范围本题主要考查了函数的解析式，以及函数与方程和根的存在性和根的个数的判断，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，共5.0分）16.______．【答案】【解析】解：，故答案为：．利用两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式，求得要求式子的值．本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．17.若复数满足，则的值为______．【答案】【解析】解：由且，得，即，，即，．．故答案为：．把代入，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y 的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．18.设是定义在R上的周期为3的函数，当时，，则______．【答案】【解析】解：是定义在R上的周期为3的函数，当时，，，．故答案为：．推导出，由此能求出．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．19.下列命题中：是的充分不必要条件；函数的最小正周期是；中，若，则为钝角三角形；若，则函数的图象的一条对称轴方程为；其中是真命题的为______．【答案】【解析】解：对于若“”成立则能推出“”成立，反之若“”成立，则有即推不出“”成立，所以是的充分不必要条件；故对对于函数的最小正周期是故错对于，若则则为锐角，则C为钝角，则为钝角三角形故对对于，是图象的一条对称轴故对故答案为根据题意，依次分析命题可得：利用充要条件的判断方法得到对；通过画图形求出函数的周期得到错；通过两角和的余弦公式及三角形的内角和判断出对；利用三角函数的公式及整体角处理的方法研究三角函数的性质判断出对，综合可得答案．本题考查如何判断条件问题、考查三角函数周期的求法、考查两角和的余弦公式及三角形的内角和公式、开始三角函数的重要公式、考查整体角处理的思想方法．20.若a，b是函数的两个不同的零点，且a，b，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于______．【答案】9【解析】解：由题意可得：，，，，可得，，又a，b，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得或解得：；解得：．，，则．故答案为：9．由一元二次方程根与系数的关系得到，，再由a，b，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）21.已知点和向量若向量与向量同向，且，求点B的坐标；若向量与向量的夹角是钝角，求实数k的取值范围．【答案】解：设，则，若向量与向量同向，则有，若，则，解可得或，当时，，与向量反向，不合题意，舍去；当时，，与向量同向，则B的坐标为；若向量与向量的夹角是钝角，则有且，解可得且，故k的取值范围是．【解析】根据题意，设，易得向量的坐标，分析可得且，解可得x、y的值，验证向量与向量是否同向，即可得答案；根据题意，由向量数量积的计算公式可得且，解可得k的取值范围，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式．22.在等比数列中，，且是与的等差中项．求数列的通项公式；若数列满足，求数列的前n项和．【答案】解：设等比数列的公比为q，，且是与的等差中项．即有，即为，解得舍去，即有；，数列的前n项和．【解析】设等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得q，进而得到所求通项公式；求出，运用数列的求和方法：分组求和，以及裂项相消求和，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列的中项的性质，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求角C；若，的面积为，M为AB的中点，求CM的长．【答案】解：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．．由正弦定理，得，即．又由余弦定理，得．，．，为等腰三角形，且顶角．故，解得．在中，由余弦定理，得：．解得．【解析】推导出，由正弦定理，得由余弦定理，得，由此能求出．由得到，求出，再由余弦定理，能求出CM．本题考查三角形的内角求法，考查三角形的边的求法，考查同角三角函数关系式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．24.已知函数，．讨论函数的单调性；证明：若，则对于任意，，，有．【答案】解：的定义域为．若即，则故在单调增．若，而，故，则当时，；当及时，故在单调减，在，单调增．若，即，同理可得在单调减，在，单调增．考虑函数则由于，故0'/>，即在单调增加，从而当时有，即，故，当时，有【解析】根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出讨论当时导函数大于0，函数单调递增；当时分类讨论函数的增减性；当时讨论函数的增减性．构造函数，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则为单调递增函数，则利用当时有即可得证．考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及基本不等式证明的能力．25.已知函数，如曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；若，，关于x的不等式的整数解有且只有一个，求a的取值范围．【答案】解：函数的定义域是R，，曲线在点处的切线方程为，，，解得：；当时，，，关于x的不等式的整数解有且只有一个，等价于关于x的不等式的整数解有且只有1个，构造函数，，故F，时，，，故，又，故F，故F在递增，，，在存在唯一整数，使得，即；当时，为满足题意，函数在上不存在整数使得，即在上不存在整数使得，，，当时，函数，在递减，；当时，--，不合题意，综上，a的范围是．【解析】由曲线在处的切线方程为，得，求出a，b的值即可；构造函数，通过对构造的函数求导并分类讨论，即可得出a的范围．本题考查导数的几何意义，导数的研究函数中的应用以及不等式问题，意在考查转化和化归思想，数形结合思想以及学生的运算能力．。
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3 5 ， …………6 分 10
9 3 2 2 x1 x1 y1 3 3 20 10 ， 所求点坐标为 P ( , ) . ………8 分 10 5 2 x1 4 y1 3 0 y 3 1 5
0 19． sin 50 1
3 tan 10 0 的值为
x a 2 , x 0 20．设函数 f x ，若 f 0 是 f x 的最小值， 1 x a , x 0 x
则实数 a 的取值范围是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 40 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21． （本小题满分 6 分）已知函数 f ( x ) 2 x 1, g ( x ) x 2 x 1 （1）设集合 A {x | f ( x) 7} ，集合 B {x | g ( x) 4} ，求 A B ； （2）设集合 C {x | f ( x) a} ，集合 D {x | g ( x ) x } ，若 D C ，求 a 的取值范围．
15．若函数 f ( x ) A sin( x ) 1 ( 0, ) 对任意实数 t ，都有
f (t
) f ( t ) ， 3 3
1 2 1 2
记 g ( x ) A cos( x ) 1 ，则 g ( )
A． B． C． 1
高二数学入学分班考试试题
一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 3 分，共 45 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
A．
1 B．
C． 2
1,2 D．
2. 过 点 (1 ， 0) 且 与 直 线 x － 2y － 2 ＝ 0 平 行 的 直 线 方 程 是 ( ) A． x 2 y 1 0 C． 2 x y 2 0 3． 已知向量 a A．1 B． x 2 y 1 0 D． x 2 y 1 0
2 2
π 22． （本小题满分 8 分）已知函数 f ( x) sin x sin( x ) ． 3 π （1）求 f ( ) ； 6 π π （2）求 f ( x ) 在 [ , ] 上的取值范围． 2 2
（本小题满分 8 分）如图，在体积为 23．
C 是弧 AB 的中点， D 是弦 AC 的中点. （1）指出二面角 D PO A 的平面角，并求出它的大小； （2）求异面直线 PD 与 BC 所成的角的正切值．
Tn
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 ... 2 ... a1 a 2 an 1 2 n 1 1 2 2 3 (n 1)n
…………6 分
1 1 1 1 1 1 1 1 ... 2 n， 2 2 3 n 1 n
B．②③④
C．①②④
D．①③④
B 1 ， 0 ， 14．如图，已知圆 C 直径的两个端点坐标分别为 A 9 , 0 、
BP 分别 B ）的任意一点，连接 AP 、 点 P 为圆 C 上（不同于 A 、
交 y 轴于 M、N 两点，以 MN 为直径的圆与 x 轴交于 D、F 两点， 则弦长 DF 为 A．7 C． 2 7 B．6 D．与 P 点的位置有关 ( )
( ) A．12 B．11 C．3 D．—1 ( )
, 是平面， 5.已知 m, l 是直线， 则下列命题正确的是
A．若 l 平行于 ，则 l 平行于 内的所有直线 B．若 m ， l ⊂ ，且 m // l ，则 //
C．若 m ， l ⊂ ，且 m ⊥ l ，则 ⊥ D．若 m
， m ⊥ ，则 ⊥
1 ,则 f ( 1) x C． 1
2
2 6.已知函数 f ( x ) 为奇函数,且当 x 0 时, f ( x ) x
（
D． 2
）
A． 2
2 2
B． 1
2
7.圆 C1 : ( x 2) ( y 2) 1 与圆 C2 : ( x 2) ( y 5) 16 的位置关系是 A．外离 B．相交 C．内切
…………2 分 ，即
累加之，得 a n a1 n 2 1 ， ∴ ∴
an n2 an n2
，而
a1 1 12
a1
也满足上式, …………4 分 …………5 分
（n N * ） ．
（2）当 n 1 时， T1 当 n 2 时，
1 1 ，∴ 1T1 2 1 1 ； a1
π 6
π π π π π π π π sin( ) sin sin( ) sin sin 2sin 1 ……4 分 6 6 3 6 6 6 6 6 1 2
（2） f ( x) sin x sin x 因为
3 1 3 cos x sin x cos x sin( x ) 3 2 2 2
…………5 分
π π π π 5π x ，所以 x 2 2 6 3 6 1 π 1 所以 sin( x ) 1 ，所以 f ( x ) 的取值范围是 [ ,1] 2 3 2
…………8 分
23． 解： （ 1 ） 圆 锥 PO 中 PO 平 面 AOD ， 故 二 面 角 D PO A 的 平 面 角 为 …………2 分 AOD . 由已知易得
（2）设 P ( x1 , y1 ) , 切线 PM 与半径 CM 垂直， PM
2
PC CM ,
2
2
( x1 1) 2 ( y1 2) 2 2 x12 y12 , 2 x1 4 y1 3 0, 动点 P 在直线 2 x 4 y 3 0 上，
（
）
B． 1 C．
A． 1 A． 2,2
12． 执行如图所示的程序框图， 如果输入的 t 2,2 ， 则输出的 S 属于
B． 5,1
C． 4,5
1 4
D．
1 4
D． 3,6
（
）
13．函数 f x x x bx c ，给出四个命题： ①当 c 0 时， y f x 是奇函数； 根； ③方程 f x 0 至多有两个实数根； ( 上 述 命 ) A．①②③ 题 中 ， 所 ④ y f x 的图象关于点 0, c 对称． 有 正 确 命 题 的 序 号 是 ②当 b 0, c 0 时方程 f x 0 只有一个实数
3
（
D． 1
）
二、填空题:本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.把答案填在答题卡相应位置上. 16．计算 2 log 6 3 log 6 4 的结果是 17．已知△ ABC 中 ， a 2 ， b ．
2 ， c 1 ，则 cos B
． ．
.
18．底面直径和高都是 4 的圆柱的侧面积为
Hale Waihona Puke 22（本小题满分 10 分） 设数列 a n 的前 n 项和为 S n ， S 2 5 , a n 1 a n 2n 1, n N ． 25． （1）求数列 a n 的通项公式； （2）设 Tn
1 1 1 ，求证： nTn 2n 1 ． a1 a 2 an
(
)
A． 1,
3
B． 1,
3
C．
1 , 2 6
D．
1 , 2 6
( )
10．某四面体三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是
A． 8
x
B． 6 2
C． 10
D． 8 2
11 ． 若 函 数 f ( x ) 2 mx 在 区 间 1， 0 内 有 一 个 零 点 ， 则 实 数 m 的 取 值 可 以 是
1 90 45 . ……………4 分 2 （2）在 ABC 中 OD BC ，故 PDO 为异面直线 PD , BC 所成的角。 ………5 分 AOD A
在圆锥 PO 中可求 PO
2 ， DO
PO 2 .即所求的正切值为 2 ．………8 分 DO 24．解： （1） 切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零， 设切线方程为 x y a ， （a 0）
∴
nTn 2n 1
．
…………8 分
n(n 1) U n 1 2 ... n 3 b na n n 2 ， （3） n ，
3 3 3
2
…………9 分
19 20 U 19 36100 2 ．
2
…………10 分
（
）
D．外切 ( )
8．设 a n 为等差数列，公差 d 2 ， S n 为其前 n 项和．若 S10 S11 ，则 a1
A． 18
B． 20
C． 22
D． 24
9． 若函数 f x sin x 0,
则 和 的取值是 的图象如图， 2
（1）由 25．解：
a 2 a1 3 ，得 a1 1 ， a a 5 2 1
, ∴
…………1 分
∵
an 1 a n 2n 1
an 1 a n 2n 1
于是，当 n 2 时，
a2 a1 3 ， a3 a 2 5 ， , an an 1 2n 1 ，