北京理工大学2010-2011线性代数A试题A卷第一学期期末试题
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
理工大学线性代数考试试卷及参考答案(A)
考试时间：年月日
课程名称：线性代数适用专业年级：
考生学号：考生姓名：
………………………………………………………………………………………………………
一、单项选择（20分＝4分 5）：来自1．（ ） ,( ) ,
( ) , ( ) ．
2．设 为同阶方阵，则（）成立
（ ） ,( ) ,
５．二次型 ，当满足（）时，是正定二次型．
( ) ； （ ） ； （ ） ； （ ） ．
二、填空题（20分＝4分 ）：
6． ，则 _______．
7．设 为四阶方阵，若 ＝ ，则其伴随矩阵 的行列式 =_______．
8．若 ，当 _______时， 2．
9．设 ，其中 ，则 ________．
10．设 为正定矩阵，则 _______．
( ) , ( ) ．
3．设 为 矩阵，齐次线性方程组 仅有零解的充分必要条件是 的（）．
( )列向量组线性无关，（ ）列向量组线性相关，
（ ）行向量组线性无关，（ ）行向量组线性相关．
4．向量 线性无关，而 线性相关，则（）。
( ) 必可由 线性表出，（ ） 必不可由 线性表出，
（ ） 必可由 线性表出，（ ） 必不可由 线性表出．
七、解答题(6分)：
16．解：设 则有
， 的特征值为 2’
对应于 的特征向量可以计算得： 单位化得 1’
对应于 的特征向量可以计算得： 单位化得 1’
作正交变化 得到 ，由正交变化得刚性知面积为 。2’
七、解答题(6分)：
16．求曲线 所围成的图形的面积。
2005级线性代数期末考试参考答案（A卷）
一、单项选择（20分＝4分 5）：
2010-2011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷
20102011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷20102011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷1一20分考虑线性方程组axb其中a111t1222123312b4321341
2010-2011 学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷 1 一（20 分）考虑线性方程组 Ax=b，其中 A= 1 1 1
π 2 0
1−
3 cos x 4
2
dx，
用数值积分的方法求其近似值（要求计算结果具有四位有效数字） 。 2 四（15 分）用迭代法求 x +10x-18=0 在[1,2]内的根，取初值为 1.5 1. 构造一个收敛的迭算 2 步，然后采用 Aitken 加速算法再计算一步是否能得 到更精确的近似值？计算过程中小数点后保留 4 位。 五（10 分）求函数 ex 在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。 y ′ + y = 0, xϵ[0,1] 六（20 分）对初值问题 y 0 =1 1. 求此微分方程的精确解。 2. 证明：用格式yn+1 = yn + 2 (−yn − yn+1 )所求得的近似解在步长 h0 时收敛 于精确解。 3. 写出上述格式的 Matlab 程序源代码， 要求： 输出近似解曲线图和误差曲线图。
T
1 2 2 2
1 2 3 3
1 2 ，b=（4，3，2，1） 3 4
1. 用平方根法解线性方程组。 2. 对上述方程组构造收敛的迭代格式，说明其收敛原因，取初始值 X（0）=（0,0,0,0）T 用所给的迭代格式计算迭代序列的前两项（用分数表示） 。 二（15 分）已知sin （0.32）=0.314567，sin （0.34）=0.333487 均具有 6 位有效 数字。 1. 请用线性插值求sin （0.33）的近似值。 2. 证明在区间[0.32,0.34]上用线性插值求sin x的近似值时至少有 4 位有效数字。 三（20 分）长半轴为 2，短半轴为 1 的椭圆的周长 s 为 s=8
2012-2013年理工线性代数考试A卷答案
2012-2013年理工线性代数考试A卷答案《线性代数》考试A 卷答案及评分标准一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）1．已知,A B 均为三阶矩阵，且(,,),(,,)A B αβγαβδ==，及 2,3A B ==，则 272.A B +=2．设,A B 均为三阶矩阵，且 4,2A B ==-，*A 为矩阵A 的伴随矩阵，则行列式18(3)27B A -*=-. 3．设矩阵2112A ??= ?-??，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则矩阵1111B -??=.4. 设矩阵A 满足240A A E +-=，则 11()(2)2A E A E --=+.5．齐次线性方程组1231232302030x kx x x x x kx x ++=??++=??+=?只有0解，则k 应满足的条件是35k ≠.6．设向量组(1,0,1),(2,,1),T T k αβ==-(1,1,4)Ty =--线性相关，则 1k =. 7．设3阶矩阵A 的特征值互不相同，若行列式0A =, 则矩阵A 的秩为 2 . 8．设3阶矩阵A 的特征值1，2，2，则行列式 143AE --=.9．二次型221231123(,,)22f x x x x x x x =++的规范形是 222123y y y +-.10．当t 满足 01t <<时，二次型22212312312(,,)2f x x x x x tx tx x =+++为正定二次型。
二、选择题（共10小题，每小题2分，共20分）1. 若15423214j k a a a a a 是五阶行列式A 的一项(除去符号)，则有( B ) （A ） 3,5j k ==，此项为正（B ） 3,5j k ==，此项为负（C ） 5,3j k ==，此项为正（D ）以上全不对2．若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为2、3、4，则行列式D =（ C ）（A ） -8 （B ） -20 （C ） 8 （D ） 20 3．已知向量组123,,ααα线性相关，234,,ααα线性无关，则：（A ）（A ）1α必能由234,,ααα线性表示。
线性代数A试卷答案(无框版)
−1
B、 A + B
C、 ( A + B ) − 1
D、 A( A + B) B
−1
)5 设 α1 ,α 2 ,… ,α m 是 n 维向量组, 下列命题中正确的是( B )
A、如 α m 不能由 α1 ,α 2 ,… ,α m −1 线性表示 , 则 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性相关; B、如 α1 ,… ,α m 线性相关 , α m 不能由 α 1 ,… , α m −1 线性表示 , 则 α1 ,α 2 ,… ,α m −1 线性相关 ; C、如 α 1 ,α 2 ,… ,α m 中, 任意 m − 1 个向量都线性无关 , 则 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性无关; D、零向量不能由 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性表示 .
得分
评阅人
三、计算题（每题 9 分, 共 45 分. ）
⋯ 0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ ⋯ x ⋯ a2 0 0 ⋮ 的值. −1 a1 + x
10
x −1 0 0 x −1 计算 n 阶行列式 D = ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 an an−1 an−2
解：采用按最后一行展开计算，可得结果 D = a n ( − 1) n + 1 ( − 1) n − 1 + a n − 1 ( − 1) n + 2 ( − 1) n − 2 x + ⋯
四、证明题（每题 10 分, 共 20 分）
n-1
15
设 A 为 n(n ≥ 2) 阶方阵, 证明 : A* = A
n
.
证：因为 AA* = A E. ，所以 A A* = A . 分两种情况证明
(1) A ≠ 0. 由上式可知 A* = A
北京理工大学2012级线性代数(A)A卷及答案
课程编号：A073122 北京理工大学2012-2013学年第一学期线性代数A 试题 A 卷班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________一、（10分）已知3阶方阵123035002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式*123A I+。
二、（10分） 设423110, 2123A AX A X ⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求X 。
三、（10分）已知线性空间4][x F 的自然基为231,,,x x x 。
(1) 证明：2231,12,123,1234x x x x x x ++++++为4][x F 的一个基；(2) 求自然基231,,,x x x 到基2231,12,123,1234x x x x x x ++++++的过渡矩阵，以及23()1h x x x x =--+在后一个基下的坐标。
四、（10分）已知123(1,0,1), (2,2,0), (0,1,1)TTTααα=-==。
(1) 求向量组123,,ααα的一个极大无关组；(2) 求生成子空间123(,,)L ααα的一个标准正交基。
五、（10分）设A 是5阶方阵，且已知存在5阶可逆矩阵P ，使得111112P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭试写出A 的初等因子，同时判断P 的哪几列是A 的特征向量。
六、（10分）在多项式空间4[]R x 中定义变换σ：233012330201()()a a x a x a x a a a x a a x σ+++=-+++（1）证明：σ是4[]R x 上的线性变换；（2）求σ在4[]R x 的自然基231,,,x x x 下的矩阵，并判断σ是否可逆。
七、（10分）假设A 是m n ⨯的实矩阵，证明：()()TA A A =秩秩八 (10分）已知(1,1,1)T ξ=-是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量， （1）确定参数a , b 及特征向量ξ所对应的特征值； （2）判断A 是否可以相似对角化，说明理由。
北京理工大学理论力学2010-2011-1-a卷试题及答案
生虚转角 δ 1 ，点 P1、P2 分别为杆 AB 、AD 的虚速 度瞬心。（1分）
杆 OA ：δrAOA δ1
δrA
A
M
δ 2
C 30° δ 3
δrD
2l
Fq
3l
一 学
4lδ1
期 理
杆 AB ：δrAP1Aδ2
论 力
2lδ2
B P1 δ 1
δrB
MO
4 3l 3
3l
O
学 A
δ22δ1 （2分）
r
2 0
（方向如图）
（2分）
A
考 试
则
a e n a e t a r a C a D n O 1 a D t a （B n 6分 a ） B t D
题 大小 3rO2A 3rOA ? ?
3r02 6 vD 2 (Rr) 0
r
2 0
0
A
卷 方向 BO OB //OB OB DO1
BD 4
A
考 试
mA (2 u)mC (2 u) I
题
A 卷
uA(2)
uC(2)
I （2分） 2m
15
BRY 系统在碰撞结束瞬时的动能为
T 1 1 2 m u A (1 )2 1 2 m u C (1 )2 1 2 (1 1m 2 2 )lA (1 )2 B
10 -
1 m (1I)2 1 m (1I1 )2 1 (1 m 2 )1 l (I2 )2
10 OA 的直槽内，以带动杆 OA 绕
- 轴 O 作定轴转动。图示瞬时：
11 学
圆盘位于最高位置，D 、B 两
60° O
年 点连线与水平线夹角为 30°，
2010-2011学年北京理工大学硕士研究生数值分析期末试卷
T
1 2 Байду номын сангаас 2
1 2 3 3
1 2 ，b=（4，3，2，1） 3 4
1. 用平方根法解线性方程组。 2. 对上述方程组构造收敛的迭代格式，说明其收敛原因，取初始值 X（0）=（0,0,0,0）T 用所给的迭代格式计算迭代序列的前两项（用分数表示） 。 二（15 分）已知sin （0.32）=0.314567，sin （0.34）=0.333487 均具有 6 位有效 数字。 1. 请用线性插值求sin （0.33）的近似值。 2. 证明在区间[0.32,0.34]上用线性插值求sin x的近似值时至少有 4 位有效数字。 三（20 分）长半轴为 2，短半轴为 1 的椭圆的周长 s 为 s=8
h
π 2 0
1−
3 cos x 4
2
dx，
用数值积分的方法求其近似值（要求计算结果具有四位有效数字） 。 2 四（15 分）用迭代法求 x +10x-18=0 在[1,2]内的根，取初值为 1.5 1. 构造一个收敛的迭代格式，并证明此格式的收敛性。 2. 先用上述迭代格式计算 2 步，然后采用 Aitken 加速算法再计算一步是否能得 到更精确的近似值？计算过程中小数点后保留 4 位。 五（10 分）求函数 ex 在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式。 y ′ + y = 0, xϵ[0,1] 六（20 分）对初值问题 y 0 =1 1. 求此微分方程的精确解。 2. 证明：用格式yn+1 = yn + 2 (−yn − yn+1 )所求得的近似解在步长 h0 时收敛 于精确解。 3. 写出上述格式的 Matlab 程序源代码， 要求： 输出近似解曲线图和误差曲线图。
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1
二、 （10 分）已知方程组
x1 x2 x3 1 2 x1 x2 3 x3 p qx 2 x 6 x 3 2 3 1
有解，且其导出组基础解系有一个向量。 （1）求 p, q 的值； （2）求方程组的一般解。 （用导出组的基础解系表示通解）
课程编号：A073122
北京理工大学 2010-2011 学年第一学期
线性代数 A 试题 A 卷
班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________
题 号 得 分 签 名
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
0 0 1 一、 （10 分）已知矩阵 X 满足 X A X A A ，其中 A 0 2 0 ，求矩阵 X 。 1 0 1
6
(1) 证明 1 , 2 , 3 , 4 为 R 22 的一个基； (2) 求自然基 1 , 2 , 3 , 4 到基 1 , 2 , 3 , 4 的过渡矩阵；
1 2 (3) 求 在基 1 , 2 , 3 , 4 下的坐标。 3 4
1 0 0 1 0 0 0 0 三、 （10 分）在 R 22 中，令 1 , 2 , 3 , 4 , 0 0 0 0 1 0 0 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 , 2 , 3 , 4 . 1 1 1 1 1 1 1 1
十、 （ 10 分 ） 已 知 A 是 3 阶 矩 阵 ， 1 , 2 , 3 是 线 性 无 关 的 3 元 列 向 量 组 ， 满 足
A1 1 3 2 3 3 ， A 2 41 4 2 3 , A 3 2 1 3 3 。
(1) 求矩阵 A 的特征值；(2) 求矩阵 A 的特征向量。
2 2 2 y2 八、 （10 分）已知实二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) X T AX 经过正交变换 X QY 化为 y1 ，
其中 X ( x1 , x 2 , x 3 )T ,Y ( y1 , y2 , y3 )T 。 (1) 判断二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) 是否正定; (2) 求行列式 A 的值；
2
四、 （10 分）已知 1 ( 1,0,1), 2 ( 2,2,0), 3 (0,1,1) 。 (1) 求向量组 1 , 2 , 3 的一个极大无关组； (2) 求生成子空间 L( 1 , 2 , 3 ) 的一个标准正交基。
3
五、 （10 分）设 5 阶方阵 A 的初等因子为 1, ( 2) 2 , 2 。 (1) 试写出 A 的 Jordan 标准形；(2) 求 A 的特征值。
0 1 1 (3) 若 Q2 1 2
5
九、 （10 分）设 A aij 是 3 阶非零矩阵，且满足 aij Aij 代数余子式。证明： A 为正交矩阵。
( i, j 1,2,3) ，其中 Aij 为 aij 的
六 、（ 10 分 ） 在 F [ x ]4 中 定 义 线 性 变 换 ： [ f ( x )] f ( x ) 。 求 在 基
1,1 x,1 x x 2 ,1 x x 2 x 3 下的矩阵。
4
七、 （10 分）证明： n 阶方阵 A 可相似对角化的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特 征向量。