北师版高数必修一第4讲：函数的表示方法
推荐-高一数学北师大版必修一课件2.2.2 函数的表示法
再见
2019/11/23
自主学习
知识点一 函数的三种表示方法
表示法
定义
解析法
用 数学表达式 表示两个变量之间的对应关系
图像法
用 图像 表示两个变量之间的对应关系
列表法
列出 表格 来表示两个变量之间的对应关系
答案
思考 (1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？ 答 三种表示方法的优、缺点比较：
优点
缺点
①简明、全面地概括了变量间的关系；
反思与感 悟
解析答案
跟踪训练 5 (1)若 f(x)＝x－2，x，x≥x<00，， 则 f(f(－2))等于( C )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析 因为－2<0，所以f(－2)＝－(－2)＝2，
所以f(f(－2))＝f(2)＝22＝4.
解析答案
(2)已知函数 f(x)＝3－x＋x，1， x>x1≤，1，
c＝1，
故 f(x)＝x2＋1.
解析答案
题型四 换元法(或配凑法)求函数解析式 例 4 求下列函数的解析式： (1)已知 f 1＋x x＝1＋x2x2＋1x，求 f(x)；
解析答案
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x). 解 方法一 (换元法)令 x＋1＝t(t≥1)， 则x＝(t－1)2， ∴f(t)＝(t－1)2＋2 t－12＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二 (配凑法)∵x＋2 x＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1. 又∵ x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1).
12345
解析 由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.故填1.
北师大版高一数学必修第一册函数的概念及其表示课件
第一课时
整体概览
问题1 请同学们阅读课本第60页，回答下列问题：
（1）本章将要研究哪类问题？ 本章将要研究函数的概念、性质及其应用．
（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？ 函数是高中数学的核心内容，也是学习其他学科的重要基础．
（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？ 起点是函数的概念，目标是通过研究函数的性质把握客观世 界中各种各样的运动变化规律．
新知探究
追问 值域和集合B相等吗？它们的关系是什么？
值域与集合B不一定相等， 值域是集合B的子集， 具体例子见问题6．
新知探究
问题8 你能用新的定义描述一次函数y＝ax＋b（a≠0）、二次 函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）和反比例函数y＝ k（k≠0）吗？从哪
x 几个角度描述？
函数 对应关系
一次函数 y ax b(a 0)
其中，d的变化范围是数集A ＝{1，2，3，4，5，6}， 集合A，B与对应关系f如图所示：
2 例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数y＝kx（k≠0）
可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．
新知探究
问题4 阅读材料，回答问题： 某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如 果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资． （1）你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单 位：元）是他工作天数d的函数吗？ 解答：（1）w＝350d，w是工作天数d的函数．
新知探究
表1 我国某居民恩格尔系数变化情况
北师大版高中数学必修一数学必修第一册：2.2.2《函数的表示法》教案
函数的表示法【教材分析】根据函数的定义，函数有三种最常用的表示法：解析法、列表法、图象法，这三种表示法在体现函数性质方面各有优势，根据不同情况采用适当的函数表示形式，有助于深入理解相关函数的性质，养成运用函数知识解决实际问题的习惯。
掌握函数三种形式的相互转换，为进今后学习新的函数（指数函数、对数函数等）的性质做好知识和方法准备。
【教学目标与核心素养】1．知识目标：掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；灵活运用函数的三种表示法研究函数的性质；熟练作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；掌握函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。
2．核心素养目标：熟练掌握函数的三种表示法，利用函数图象研究函数性质，提高学生的数学运算能力和直观想象能力。
【教学重难点】1．函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；2．准确作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；3．函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。
【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、知识引入提到“函数”，同学们立刻想到的是什么？可能是初中学过的形如“y kx=+、2=、y ax b=++”，这些正比例函数、一y ax bx c次函数、二次函数⋯等等。
这些都是解析式形式的函数。
思考讨论：如图，是我国最大的水库——三峡水库上游某个地区年降雨量的统计图，图中表示了年号与降雨量之间的对应关系，那么它们是不是函数关系呢？能不能用精确的解析式表示呢？提示：是函数关系，但没有精确的函数解析式。
二、新知识函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；用表格给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的列表法；用图形给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的图象法。
上图分别是用列表法、图象法表示的列车时刻表和成绩变化图。
注意：①函数的三种表示法各有优势．解析法：变量之间的关系明确，便于精确计算，但不够直观，某些函数无法用解析式表示；列表法：变量之间的对应关系直观、明了，不需计算，但数据量有限；图象法：直观地显示出变量的关系、变化规律和函数的性质，使抽象的函数具体化，但无法进行精确运算，如求函数定义域、求精确的函数值等。
高中数学 函数的表示法教案 北师大版必修1
§2.2 函数的表示法教学目标：1.使学生掌握函数的常用的三种表示法；2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点；3.使学生理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题；4.培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法，激发学生的学习热情。
教学重点：函数的三种表示法及其相互转化，分段函数及其表示法教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数及其表示法。
教学过程：一、新课引入复习提问：函数的定义及其三要素是什么？函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。
请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？答：列表法是、图像法、解析法二、新课讲解请同学们阅读课本P28-P29例2以上部分内容，思考下列问题：1. 列表法是、图像法、解析法的分别是怎样定义的？2. 这三种表示法各有什么优、缺点？在学生回答的基础上师生共同总结:(多媒体课件显示) 列表法 图像法 解析法定 义 用表格的形式把两个变量间的函数关系表示出来的方法 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来的方法优 点 不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观 可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势能叫便利地通过计算等手段研究函数性质缺 点 只能表示有限个元素的函数关系 有些函数的图像难以精确作出 一些实际问题难以找到它的解析式函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。
下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。
例1、 请画出下列函数的图像。
,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-≤⎩解：图像为第一和第二象限的角平分线， y如图2-5所示0 x图2-5本题体现的是由数到形的变化，是数形结合的数学思想方法。
新教材北师大版必修第一册 第二章2.2函数的表示法1函数的表示法 课件(49张)
所以f(x)=- 1.
x
=-
x
,
3
xx
【补偿训练】
已知f(x)满足f(x)=2f ( 1 )+x,则f(x)的解析式为________.
x
【解析】因为f(x)=2f ( 1+) x,用
x
替1 换x得f
x
=( 12)f(x)+
x
,1
x
代入上式得f(x)= 2[2f x 1 ] x,
x
解得f(x)= 2 . x
【补偿训练】 某公共汽车,行进的站数与票价关系如表:
行进的 站数
票价
123456789 111222333
此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?
类型二 函数的图象及其应用(直观想象) 【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y= x2 的图象的大致形状是( )
x
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图. (2)根据图象写出f(x)的值域. 【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断. 2.先作出图象,再根据图象写值域.
【跟踪训练】 作出下列函数的图象并写出其值域. (1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}. (2)y= 2 ,x∈[2,+∞).
x
【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些? 提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称. (4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象 沿y轴对折而成. (5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉 x轴下方的图象而成.
高中数学 2.2.2 函数的表示法课件 北师大版必修1
f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1， ∴2aa＋＋bb＝＝1b＋1 ⇒ab＝ ＝1212， . ∴f(x)＝12x2＋12x.
第三十三页，共50页。
函数(hánshù)的图像及应用
作出下列函数图像并求其值域． (1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)； (3)y＝1x 0<x<1，
[思路分析] 由对应关系表确定变量 x，y 关系，作出图像， 并判断函数类型求出解析式．
第二十页，共50页。
[规范解答] 作出点(35,57)，(40,42)，(45,27)，(50,12)，
并用直线将其连接起来，如下图，则可知其为一次函数，不妨
设 y ＝ kx ＋ b(k≠0) ， 将 点 (35,57) ， (40,42) 代 入 其 中 ， 即
C不能表示(biǎoshì)函数y＝f(x)的图像，因为x＝0时，y有 两个值±1与之对应．
D能表示(biǎoshì)函数y＝f(x)的图像．
第十三页，共50页。
3．设函数 f(x)＝1，x－x<11，，x≥1， 则 f(f(2))＝(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
[答案(dáàn)] A
[解析] f(2)＝ 2－1＝1，f(f(2))＝ 1－1＝0.
第二十六页，共50页。
(3)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b＝4x＋3. ∴aa2b＝＋4b，＝3， 解得ab＝ ＝21， ， 或ab＝ ＝－ －23.， 故所求的函数为 f(x)＝2x＋1 或 f(x)＝－2x－3.
北师大版高中数学必修一函数的表示法教案北师(1)
例3若 ， ，则 ____， _______， _____， __．
解： ； ；
； ．
例4⑴已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域；
⑵已知函数 的中自变量 应满足 ，得 ，即其定义域为 ；
⑵由于函数 的定义域是 ，即其中 ，则 ，即函数 的定义域为 ．
课题
函数的表示方法
课时分配
本课(章节)需课时
本节课为第6课时
教
学
目
标
1.理解函数的表示；
2.根据条件求函数的解析式；
3.培养学生分析问题、解决问题的能力。
重点
求函数的解析式。
难点
熟练、灵活地解决问题。
教学
方法
自主学习、练讲结合
课型
习题课
教具
多媒体
教师活动
学生活动
一、复习回顾
1．函数的三种表示方法及它们的优缺点；
而抛物线 的对称轴为 ，所以当 时，区间 在对称轴的左侧，若满足题设条件的 存在，则
即 又 ．
所以 ，这时，定义域为 ，值域为 ．
由以上知满足条件的 存在， ．
五、小结
本节课学习的内容十分丰富，有的问题也比较难，请同学们要认真研究，积极思考，把问题弄懂、弄透．
作业
1．若 的定义域是 ，则函数 的定义域是．
2．函数三种表示方法的应用；
3．分段函数．
二、创设情境、引入新课
如何理解函数 和函数 之间的关系？请结合具体函数加以说明．
函数 是将函数 中的 换成 而得到的，因此这两个函数的对应法则、定义域可能是不相同的，但值域是相同的．它们的图象也可能是不相同的．
⑴ ， 与 的对应法则不同，图象不同，定义域、值域相同；
北师版高中数学必修第一册精品课件 第4章 对数运算与对数函数 2.2 换底公式
1.在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性
质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确
的相互转化.
2.对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,
再由换底公式就可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问
x
y
z
,且 + + =1,求
x,y,z
的值.
解:令 2x=3y=5z=k(k>0,且 k≠1),
则 x=log2k,y=log3k,z=log5k,
于是 =logk2, =logk3, =logk5,
由 + + =1,
得 logk2+logk3+logk5=logk30=1,∴k=30,
解:(1)原式= × =
×
= × = .
(2)原式=
+
+
= × ×
· = .
2.2
换底公式
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
对数的换底公式
【问题思考】
1.对数式log24·log39可化为2×2=4,那么以你现有的知识能化
简log23·log32吗?
提示:不能,因为两个对数的底数与真数都是最简的形式,难以
求出最后结果,因而需要引入对数的换底公式.
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函数的表示方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；
一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数yfxxA中，fx是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s=602t，A=2r，2Srl,2(2)yxx等等都是用解析式表示函数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。 二、函数图像： 1、判断一个图像是不是函数图像的方法： 要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x轴垂直的直线，当该直线保持与x
轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。 2、函数图像的作图方法大致分为两种： （1）描点作图法。步骤分三步：列表，描点，连线成图。 （2）图像变换法。利用我们熟知基本初等函数图像，将其进行平移、对成等变换，从而得到我们所求的函数图像的方法。 三、根据函数图像确定函数的定义域和值域： 1、由函数图像来确定函数的值域的方法是看函数图像在y轴上的正投影所覆盖的区域； 2、由函数图像来确定函数的定义域的方法是看函数图像在x轴上的正投影所覆盖的区域； 四、分段函数图像： 有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。
类型一 函数的表示方法 例1：某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试分别用列表法、图象法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与收款总额y(元)之间的函数关系． 解析：(1)该函数关系用列表法表示为： x/台 1 2 3 4 5
y/元 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x/台 6 7 8 9 10
y/元 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
（2）该函数关系用图象法表示，如图所示．
（3）该函数关系用解析法表示为y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}． 答案：见解析 练习1：某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对
不扣分，试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈ {0,1,2,3,4,5})之间的函数关系． 答案：(1)该函数关系用列表法表示为： x/道 0 1 2 3 4 5
y/分 50 40 30 20 10 0
（2）该函数关系用图象法表示，如图所示 （3）该函数关系用解析法表示为y＝50－10x(x∈ {0,1,2,3,4,5})． 练习2：(2014～2015学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试)已知f(x＋1)＝2x＋3，则f(x)
＝________. 答案：2x＋1 类型二 识画函数的图象 例2：作出函数y＝2x2－4x－3,0≤x<3的图象．
解析 ∵0≤x<3，∴这个函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的一段弧
答案：见解析 练习1：某种笔记本每个5元，买x(x∈{1,2,3,4})个笔记本的钱数记为y(元)，试写出以x为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图象．
答案： 练习2：画出函数3yx的图像
答案：
3
-1O
y
x 类型三 函数图象的应用 例3：若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数的较小者，求f(x)的最大值． 解析：在同一坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图，根据题意，坐标系中实线部分
即为函数f(x)的图象， ∴x＝1时，f(x)max＝1.
答案：1. 练习1：某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是( )
答案：D 练习2：如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中点A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f{f[f(2)]}＝________.
答案：2． 类型四 分段函数求值
例4：(2014～2015学年度广东珠海四中高一上学期月考)已知函数f(x)＝ 1－x2x≤1x2－x－3x>1，
则f[1f3]的值为( ) A．1516 B．－2716 C．89 D．18 解析：f(3)＝32－3－3＝3， f[1f3]＝f(13)＝1－19＝89.
答案：C． 练习1：(2014～2015学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)已知f(x)＝
2x－1 x≥2－x2－3xx<2，则f(4)的值为( )
A．7 B．3 C．－8 D．4 答案：A 练习2：(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)设函数f(x)＝
x2＋1x≤1
2xx>1
，则f[f(3)]＝______.
答案： 139 类型五 分段函数在实际问题中的应用 例5：如图(1)所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，沿着折线BCDA，由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求：y与x之间的函数关系式；
解析：当点P在BC上，即0≤x≤4时，S△ABP＝12×4x＝2x， 当点P在CD上，即4S△ABP＝12×4×4＝8，
当点P在DA上，即8
∴y＝ 2x 0≤x≤48 4
答案：y＝ 2x 0≤x≤48 4练习1：(2014～2015学年度宁夏育才中学高一上学期月考)已知A、B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地；在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，把汽车离开A地的距离S表示为时间t(h)的函数表达式为( ) A．S＝60t B．S＝60t＋50t C．S＝ 60t 0≤t≤2.5150－50t t>3.5
D．S＝ 60t 0≤t≤2.5150 2.5答案：D 练习2：某市区住宅电话通话费为前3 min 0.20元，以后每分钟0.10元(不足3 min按3 min计，以后不足1 min按1 min计)．在直角坐标系内，画出接通后通话在6 min内(不包括0 min，包括6 min)的通话费y(元)关于通话时间t(min)的函数图象，并写出函数解析式及函数的值域．
答案：这个函数的解析式为y＝ 0.2，t∈0，3]0.3，t∈3，4]0.4，t∈4，5]0.5，t∈5，6]， 函数的值域为{0.2,0.3,0.4,0.5}． 1. 下列图像中，那些可能是函数图像，把你认为正确图像的序号填写在横线上 。
① ② ③ ④ ⑤
答案：②④⑤ 2. 根据下列函数图像分别确定函数的定义域和值域
（1） （2） （3） 答案：（1）定义域为2,1,0,1,2；值域是2,1,2。
（2）定义域为R；值域是6,6;（3）定义域为R；值域是R. 3. 作出分段函数21xxy的图像
Oyx