数学模型-第07章(第五版)
数学模型(第五版)
2018年高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材特色 05 作者简介
目录
02 内容简介 04 教学资源
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写，高等教育出版社出版的 “十二五”普通高等教育 本科国家级规划教材，适合作为高等学校各专业学生学习数学建模课程的教材和参加数学建模竞赛的辅导材第五版）习题参考解答》是为配合《数学模型（第五版）》而编写的学习指导书，书号为9787-04--4，2018年5月23日由高等教育出版社出版，170千字、128页。
《数学模型（第五版）》开通有数字课程、MOOC课程的资源。
作者简介
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写。 姜启源：同济大学应用数学系教授。 谢金星：清华大学数学科学系教授。 叶俊：清华大学数学科学系教授。
内容简介
《数学模型（第五版）》共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方 程模型、差分方程与代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
教材特色
教材参考中国国内外数学建模教材和教学单元，第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行补充与 修订：增加了一些实用性较强、生活气息浓烈、数学推导简化的案例，改写、合并、调整了若干案例和章节，删 除了个别案例，并对习题作了相应的修订。
全书共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方程模型、差分方程与 代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
成书过程
第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行增删与修订，新增和改编的案例接近案例总数的一半， 新版本于2018年5月由高等教育出版社出版（《即数学模型（第五版）》）。
感谢观看
07第七章BLUP
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23
固定项
X X Z X
固定*随机项
X Z
Z Z
A
1
k
bˆ uˆ
n1和n2：分别为由个体x和y到它们的共同祖先A的 世代数；
fA：为A的近交系数； ∑：表示当x和y有多个共同祖先时要对所有连接x和 y的通径求和
个体间的加性遗传相关
|对于一个群体，如果我们将所有个体相互间的加性遗 传相关用一个矩阵表示出来，设群体中的个体为1，
2，…，n，则这个矩阵为
a11 a12 a1n
转换为线性模 型的形式表示
y = Zu + e （育种值作为固定效应）
uˆ ZZ A1( y y)
其 中 ， VE
VP
19
用线性模型来估计育种值
出生年份
系谱
2009
动物编号：1♂
2♀
体重：354
数学建模课后作业第七章
数学建模课后作业第七章(总45页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第七章.多元分析实验基本实验1.线性回归；解：由题可以得出如下的R程序：> X1<-c, , , , , , , , , , 239)> X2<-c, , , , , , , , , ,> X3<-c, , , , , , , , , ,> Y<-c, , 19, , , , , ,, ,>> <-lm(Y ~ X1+X2+X3)> summary运行后可以得知；Call:lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3)Residuals:Min 1Q Median 3Q MaxCoefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) ***X1X2 ***X3 *---S ignif. codes: 0 ‘***’ ‘**’ ‘*’ ‘.’ ‘ ’ 1Residual standard error: on 7 degrees of freedomMultiple R-squared: , Adjusted R-squared:F-statistic: on 3 and 7 DF, p-value:则可以得出Y关于X1、X2、X3的线性回归方程；Y= X2+由上述的结果可以得知方程的常量与X2显著性为***表示十分的显著，X3显著性为*表示显著，而X2为不显著。
（2）由（1）中的数据可以得知新的分析函数anovaR程序如下：X1<-c, , , , , , , , , , 239)X2<-c, , , , , , , , , ,X3<-c, , , , , , , , , ,Y<-c, , 19, , , , , ,, ,<-lm(Y ~ X1+X2+X3, data=blood)summaryanova运行后可以得出：Min 1Q Median 3Q MaxCoefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) ***X1X2 ***X3 *---Signif. codes: 0 ‘***’ ‘**’ ‘*’ ‘.’ ‘ ’ 1Residual standard error: on 7 degrees of freedomMultiple R-squared: , Adjusted R-squared:F-statistic: on 3 and 7 DF, p-value:>> anovaAnalysis of Variance TableResponse: YDf Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)X1 1 ***X2 1 ***X3 1 *Residuals 7---Signif. codes: 0 ‘***’ ‘**’ ‘*’ ‘.’由此结果可以看出X1、X2、X3均能通过显著性检验，所以选择全部变量作回归方程是十分合理的。
数学模型第五版课程设计
数学模型第五版课程设计一、前言数学模型课程是数学学科体系中的一门应用性课程，主要涉及数学知识在现实生活中的应用，帮助学生了解数学如何应用于实际问题中，提高学生的数学建模能力。
本次课程设计旨在通过实例，详细介绍数学模型的建立过程，并帮助学生熟悉数学模型的应用。
二、课程内容1. 前期准备在开始课程设计前，需要学生具备大学线性代数和微积分等基础数学知识，并具有一定的编程能力。
2. 数学模型的定义和建立过程2.1 数学模型的定义数学模型是指利用数学方法对实际问题进行抽象化和形式化处理，以得到问题的数学表示式和解法的方法。
2.2 数学模型的建立过程•确定问题：首先要确定需要解决的实际问题。
•收集数据：通过实验或调查等方式收集与问题相关的数据。
•建立方程或模型：根据数据和问题的特征，建立数学模型或方程。
•解决问题：利用已经建立的数学模型或方程，解决实际问题。
3. 数学模型在实际问题中的应用3.1 核电站事故模拟分析假设某核电站有2个反应堆，采用钴60俘获模型，模拟事故情况下反应堆的输出功率，进而分析事故对反应堆的影响。
假设第一个反应堆关闭，第二个反应堆失去控制，建立以下方程：$$\\frac{dP}{dt}=k_1(P_0-P)-k_2(cN_2-P)$$其中，P表示反应堆的输出功率，P0表示反应堆的初始功率，c表示钴60的俘获截面积，k1和k2代表两个反应的系数，N2代表第二个反应堆的中子数。
通过求解上述方程，可以得到反应堆的输出功率随时间变化的情况。
3.2 股票价格预测根据股票的历史价格数据，建立股票价格变化的数学模型，预测未来的股票价格走势。
假设已知若干个时刻的股票价格，建立以下方程：$$y_t = \\beta_0+\\beta_1x_1+\\beta_2x_2+…+\\beta_nx_n+e_t$$其中，y t表示第t个时刻的股票价格，x1、x2、…x n为若干个自变量（如前几个时刻的股票价格），$\\beta_i$为关于自变量的系数，e t为误差项。
数学模型第五版教学大纲
数学模型第五版教学大纲
一、课程简介
本课程是数学专业和相关专业的必修课程之一，旨在帮助学生掌握数学模型的基本概念、建模过程和解题方法，培养学生的创新思维和实际问题解决能力。
二、教学目标
1.理解数学模型的基本概念和建模的思路；
2.掌握常用的数学模型和求解方法；
3.能够独立分析和解决实际问题；
4.培养学生的科学思维、创新精神和团队合作精神。
三、教学内容
第一章数学模型的概念和基本要素
1.数学模型的概念和基本要素；
2.数学模型的分类和应用；
3.数学建模的基本流程和方法。
第二章常用数学模型
1.线性规划模型；
2.非线性规划模型；
3.最优化模型；
4.动态规划模型；。
同济第五版高数下第七章课件
z
（3）同理在xOz面上的投影
也为线段.
1 z 2, y 0 | x | 3 2 ;
O
y
x
例4 求抛物面 y z x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面 上的投影曲线方程. z
2 2
解
截线方程为
y z x x 2y z 0
z: b 0 b 0 b ,
令 2 ,
h 2b
( t , b
z
x a cos t y a sin t z vt v
)
则上升的高度: 称为螺距.
h
x
o
z
y
三、空间曲线在坐标面上的投影
F ( x, y, z) 0 设空间曲线C的一般方程： G ( x , y , z ) 0
2 2
例6 求上半球面 和锥面 所围的立体在 xoy 面上的投影. 解 所求投影是二曲面交线在xoy 面上的 投影曲线所围之域 . 二曲面交线
x o
z
C
1
y
在xoy 面上的投影曲线 所围区域为圆域:
x y 1, z 0.
2 2
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
( t为 参 数 )
当给定 t
( x 1 , y 1 , z 1 ),
t1
时,就得到曲线上的一个点
随着参数的变化可得到曲线上的
全部点.
例3 如果空间一点M在圆柱面 x y a 上以角速度 绕z轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z轴上升，那么点M构成的图形叫做 螺旋线. 试建立其参数方程. z 取时间t为参数， 动点从A点出发, 解 经过t 时间，运动到M点. M 在 xoy 面的投影 M ( x , y , 0 )
同济第五版高数下第七章课件24234
定义 一条平面曲线绕其平面上一条定直线 旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴 .
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面
的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f(y,z)0
在曲面上任取一点 M(x, y,z),
z
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
x2 a2
ay22
cz22
1
或
x2 y2 z2 a2 c2 1
x2 由看作椭圆a2
z2 c2
1绕 z轴旋转而成．
当a＝b＝c时为球面：
x2y2z2a2.
2. 抛物面
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z
2 p 2q
( p , q 同号)
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的
z
旋转抛物面.
o
x2 y2 z
• 柱面
f( x2y2 ,z)0
例如曲面 F(x, y)0
表示母线平行 z 轴的柱面.
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面: 椭圆抛物面 双曲抛物面
(p,q同号)
x2 y2 z
2 p 2q
• 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
平 面 y y 1 上 的 截 痕 为 双 曲 线 x o y 平 面 x x 1 上 的 截 痕 为 双 曲 线
平 面 z z 1 ( z 1 c ) 上 的 截 痕 为 椭 圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
单叶双曲面 x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
双叶双曲面 x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
数学模型-第07章(第五版)
1 / 25 9 7 D 1 / 18 7 7 1 / 12 5 5
对费用型的属性值dij作倒数变换 ——将全部属性统一为效益型.
1）决策矩阵及其标准化
dij
R (rij )mn , 0 rij 1
多属性决策的要素 要素：1.决策目标、备选方案与属性集合 2.决策矩阵 3.属性权重 4.综合方法. 1. 确定属性集合的一般原则： • 全面考虑, 选取影响力(或重要性) 强的. • 属性间尽量独立(至少相关性不太强) • 不选难以辨别方案优劣的(即使影响力很强). • 尽量选可量化的, 定性的也要能明确区分档次. • 若数量太多(如大于7个), 应将它们分层.
7.1 汽车选购
• • • • 考虑的因素：经济适用、性能良好、款式新颖. 对3个因素在汽车选购中的重要性有大致比较. 对待选汽车在每一因素中的优劣程度有基本判断. 对待选汽车作出综合评价, 为选购确定决策.
人们在日常生活中常常碰到类似的决策问题： 选择旅游目的地，选择学校上学，选择工作岗位. 从事各种职业的人在工作中经常面对决策： 购买哪种设备；选择研究课题；选拔秘书；对经 济、环境、交通、居住等方面的发展做出规划.
2. 区间尺度变换使用中的问题 区间尺度变换 ~对原始权重dij作伸缩与平移变换
F
j 1
j 1,2,, n
j
2）属性权重的确定
1 / 25 9 7 D 1 / 18 7 7 1 / 12 5 5 归 一 化
汽车选购
X1 0.2236 0.3106 0.4658 0.9594 0.0406 0.5330 X2 0.4286 0.3333 0.2381 0.9749 0.0251 0.3293 X3 0.3684 0.3684 0.2632 0.9895 0.0105 0.1377
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对费用型的属性值dij作倒数变换 ——将全部属性统一为效益型.
1）决策矩阵及其标准化
dij
R (rij )mn , 0 rij 1
dij A1 A2 A3 X1 25 18 12 X2 9 7 5 X3 7 7 5
1）决策矩阵及其标准化 m个备选方案 A1, A2,…,Am n个属性 X1, X2, …, Xn dij ~Ai对Xj的取值
25 9 7 汽车 D 18 7 7 选购 12 5 5
标准化第2步：对dij作比例尺度变换
rij
d
i 1
m
rij
ij
dij
i 1, 2 ,m
max dij
rij
dij
2 d ij i 1 m
R的列和为1 ~归一化
R的列最大值 为1~最大化
R的列模为1 ~模一化
R~标准化的决策矩阵 当且仅当dij=0时才有rij=0
比例变换假定: 属性的重要性随属性值线性变化.
属性权重取信息熵法结果:w=(0.5330,0.3293,0.1377)T
汽车选购
用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序
1. 简单加权和法 (SAW) R归一化
v Rw
v=(0.3110,0.3260,0.3629)T
v=(0.7228,0.7492,0.8143)T
v归一化
R最大化
v=(0.3162,0.3277,0.3562)T
F
j 1
j 1,2,, n
j
2）属性权重的确定
1 / 25 9 7 D 1 / 18 7 7 1 / 12 5 5 归 一 化
汽车选购
X1 0.2236 0.3106 0.4658 0.9594 0.0406 0.5330 X2 0.4286 0.3333 0.2381 0.9749 0.0251 0.3293 X3 0.3684 0.3684 0.2632 0.9895 0.0105 0.1377
比例尺度变换的理想模式和分配模式 • 两种模式计算的结果数值上一般不会相同. • 方案的优劣排序大体上一致(方案数量不多时). 在实际应用中究竟应该采用哪种模式?
理想模式~决策者关心每个方案相对于基准指标 的优劣; 从众多候选方案中只选一个最优者.
分配模式~决策者关心每个方案相对于其他方案 的占优程度; 需要对候选方案的优劣给出定量评 价;特别用于资源分配问题.
要素：1.决策目标、备选方案与属性集合 2.决策矩阵 3.属性权重 4.综合方法. 2.决策矩阵 表示方案对属性的优劣(或偏好)程度.
以方案为行、属性为列、每一方案对 每一属性的取值为元素构成的矩阵.
3.属性权重 对目标影响力(或重要性)的权重分配 可以定量的属性 只能定性的属性
4. 综合方法 将决策矩阵与属性权重加以综合, 得到最终决策的数学方法.
2. 加权积法(WP)
v=(0.4847,0.5316,0.5639)T
v归一化
vi
d j
1
n
wj ij
v=(0.3067,0.3364,0.3569)T
3. 理想解法 (TOPSIS） R模一化
0.1977 0.2381 0.0869 vij=rij wj V (vij ) 0.2746 0.1852 0.0869 0.4118 0.1323 0.0621
汽车选购等决策问题的共同特点 • 考虑的因素常涉及经济、社会等领域，对它们的 重要性、影响力作比较、评价时缺乏客观的标准. • 待选对象对于这些因素的优劣程度常难以量化. 多属性决策是处理这类决策问题的常用方法. 什么是多属性决策 为一特定目的在备选方案中确定一个最优的 (或 给出优劣排序、优劣数值), 而方案的优劣由若干 属性(准则、特征、性能)给以定量或定性的表述.
第七章
连续模型 微分方程 线性、非线性规划
离散模型
离散模型
差分方程 整数规划
科学、技术等领域
经济、社会等领域
• 案例主要取自决策、排序、分配等方面的问题. • 从应用角度只涉及代数、几何和图的一点知识.
第 七 章
离 散 模 型
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8
汽车选购 职员晋升 厂房新建还是改建 循环比赛的名次 公平的席位分配 存在公平的选举吗 价格指数 钢管的订购和运输
1. 确定决策目标、备选方案与属性集合； 2. 用量测、调查等手段确定决策矩阵和属性权重, 推荐用信息熵法由决策矩阵得出属性权重；
3. 将全部属性统一 (如效益型)，并采用归一化、 最大化或模一化对决策矩阵标准化；
4. 选用加权和、加权积、TOPSIS等综合方法 计算方案对目标的权重，作为决策的依据.
汽车选购
用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序
1 / 25 9 7 D 1 / 18 7 7 1 / 12 5 5
统一为效益型的决策矩阵 R归一化 R最大化
R模一化
0.2236 0.4286 0.3684 0.4800 1.0000 1.0000 0.3709 0.7229 0.6312 , R 0.6667 0.7778 1.0000, R 0.5151 0.5623 0.6312 R 0 . 3106 0 . 3333 0 . 3684 0.4658 0.2381 0.2632 1.0000 0.5556 0.7143 0.7727 0.4016 0.4508
(vij v j )2
S i S i S i
相对接近度
C i
C+=(0.3368,0.3966,0.6633) 归一化 C+=( 0.2411,0.2840,0.4749)
汽车选购
方法 方案 A1 A2 A3
用3种综合方法确定3种汽车的优劣顺序
SAW (R归一化) 0.3110 0.3260 0.3629 SAW (R最大化) 0.3162 0.3277 0.3562 WP TOPSIS
多属性决策应用中的几个问题
1. 比例尺度变换的归一化和最大化 归一化 ~ 分配模式 (Distributive Mode) • 列和为1: 各方案分配总量固定(1单位)的资源.
• 某一方案属性值改变引起其他方案属性值随之改变.
最大化 ~ 理想模式 (Ideal Mode) • 列最大值为1:各方案与占资源1的最优方案比较. • 任一方案的属性值独立于最优方案外的其他方案.
7.1 汽车选购
• • • • 考虑的因素：经济适用、性能良好、款式新颖. 对3个因素在汽车选购中的重要性有大致比较. 对待选汽车在每一因素中的优劣程度有基本判断. 对待选汽车作出综合评价, 为选购确定决策.
人们在日常生活中常常碰到类似的决策问题： 选择旅游目的地，选择学校上学，选择工作岗位. 从事各种职业的人在工作中经常面对决策： 购买哪种设备；选择研究课题；选拔秘书；对经 济、环境、交通、居住等方面的发展做出规划.
D (dij )mn , dij 0 ~决策矩阵
决策矩阵的获取
• 调查、量测各方案对属性的取值(定量, 偏于客观). • 决策者打分评定或用层次分析法的成对比较得到 (定性, 偏于主观).
1）决策矩阵及其标准化 决策矩阵D的列~各方案对某属性的取值(属性值). 各属性物理意义(包括量纲)不同 决策矩阵标准化 标准化第1步：区分 费用型属性 价格X1 效益型属性 性能X2, 款式X3
2）属性权重的确定 方案关于属性Xj的熵
E j k rij ln rij , k 1 ln m
i 1 m
rij=1/m时Ej=1. Xj对于辨别方案优劣不起作用.
rij只有一个1其余为0时Ej=0 Xj最能辨别方案优劣.
Fj 1 E j , 0 Fj 1
rij (i=1,2,…,m)相差越大, Ej越小, Xj越能辨别优劣. 属性Xj对于方案的区分度 Xj的权重(归一化的区分度) w Fj , j n
2. 加权积法（WP, Weighted Product） 将SAW的算术加权平均改为几何加权平均：
vi d , i 1,2,, m
wj ij j 1
n
• 可直接用方案对属性的原始值dij, 不需要标准化. • 若效益型属性的权重取正值，则费用型属性的 权重应取负值 .
3. 接近理想解的偏好排序法 (TOPSIS , Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）
rij
Ej Fj wj
w1最大
w3最小
3种汽车价格X1取值相差最大,款式X3取值相差最小. • rij (i=1,2,…,m)的均方差可作为区分度Fj (m较大时).
3）主要的综合方法 决策矩阵 + 属性权重 方案对目标的权重 综合方法 （综合取值）
1. 简单加权和法 (SAW, Simple Additive Weighting)
2. 区间尺度变换使用中的问题 区间尺度变换 ~对原始权重dij作伸缩与平移变换
2）属性权重的确定 w1, w2, , wn~属性X1, X2, …, Xn的权重 • 根据决策目的和经验先验地给出. • 用层次分析法的成对比较得到.
，
w
j 1
n
j
1
偏于主观
• 信息熵法
偏于客观
熵 ~ 信息论中衡量不确定性的指标，信息量的 (概率)分布越一致，不确定性越大. R归一化的每一列 (r1 j , r2 j ,, rmj ) ~ 各方案对Xj信息量的(概率)分布.