数学模型_第01章(第五版)
数学模型(第五版)
2018年高等教育出版社出版的图书
01 成书过程
03 教材特色 05 作者简介
目录
02 内容简介 04 教学资源
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写，高等教育出版社出版的 “十二五”普通高等教育 本科国家级规划教材，适合作为高等学校各专业学生学习数学建模课程的教材和参加数学建模竞赛的辅导材第五版）习题参考解答》是为配合《数学模型（第五版）》而编写的学习指导书，书号为9787-04--4，2018年5月23日由高等教育出版社出版，170千字、128页。
《数学模型（第五版）》开通有数字课程、MOOC课程的资源。
作者简介
《数学模型（第五版）》是由姜启源、谢金星、叶俊编写。 姜启源：同济大学应用数学系教授。 谢金星：清华大学数学科学系教授。 叶俊：清华大学数学科学系教授。
内容简介
《数学模型（第五版）》共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方 程模型、差分方程与代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
教材特色
教材参考中国国内外数学建模教材和教学单元，第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行补充与 修订：增加了一些实用性较强、生活气息浓烈、数学推导简化的案例，改写、合并、调整了若干案例和章节，删 除了个别案例，并对习题作了相应的修订。
全书共11章，包括建立数学模型、初等模型、简单的优化模型、微分方程模型、微分方程模型、差分方程与 代数方程模型、离散模型、概率模型、统计模型、博弈模型。
成书过程
第五版在保持前四版基本结构和风格的基础上，进行增删与修订，新增和改编的案例接近案例总数的一半， 新版本于2018年5月由高等教育出版社出版（《即数学模型（第五版）》）。
感谢观看
数学模型第五版课程设计
数学模型第五版课程设计一、前言数学模型课程是数学学科体系中的一门应用性课程，主要涉及数学知识在现实生活中的应用，帮助学生了解数学如何应用于实际问题中，提高学生的数学建模能力。
本次课程设计旨在通过实例，详细介绍数学模型的建立过程，并帮助学生熟悉数学模型的应用。
二、课程内容1. 前期准备在开始课程设计前，需要学生具备大学线性代数和微积分等基础数学知识，并具有一定的编程能力。
2. 数学模型的定义和建立过程2.1 数学模型的定义数学模型是指利用数学方法对实际问题进行抽象化和形式化处理，以得到问题的数学表示式和解法的方法。
2.2 数学模型的建立过程•确定问题：首先要确定需要解决的实际问题。
•收集数据：通过实验或调查等方式收集与问题相关的数据。
•建立方程或模型：根据数据和问题的特征，建立数学模型或方程。
•解决问题：利用已经建立的数学模型或方程，解决实际问题。
3. 数学模型在实际问题中的应用3.1 核电站事故模拟分析假设某核电站有2个反应堆，采用钴60俘获模型，模拟事故情况下反应堆的输出功率，进而分析事故对反应堆的影响。
假设第一个反应堆关闭，第二个反应堆失去控制，建立以下方程：$$\\frac{dP}{dt}=k_1(P_0-P)-k_2(cN_2-P)$$其中，P表示反应堆的输出功率，P0表示反应堆的初始功率，c表示钴60的俘获截面积，k1和k2代表两个反应的系数，N2代表第二个反应堆的中子数。
通过求解上述方程，可以得到反应堆的输出功率随时间变化的情况。
3.2 股票价格预测根据股票的历史价格数据，建立股票价格变化的数学模型，预测未来的股票价格走势。
假设已知若干个时刻的股票价格，建立以下方程：$$y_t = \\beta_0+\\beta_1x_1+\\beta_2x_2+…+\\beta_nx_n+e_t$$其中，y t表示第t个时刻的股票价格，x1、x2、…x n为若干个自变量（如前几个时刻的股票价格），$\\beta_i$为关于自变量的系数，e t为误差项。
数学建模 司守奎01第1章 线性规划
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数学 建模
（2）求解的 Matlab 程序如下 f=[-2; -3; 5]; a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12]; aeq=[1,1,1]; beq=7; [x,y]=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1)); x, y=-y
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数学 建模
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数学 建模
1.1.2 线性规划问题的解的概念
一般线性规划问题的（数学）标准型为
n
max
(1.3）
z=
å
cj xj ，
j= 1
n ì ï ï aij x j = bi i = 1, 2,L , m , å ï ï s.t. í j= 1 ï ï ï ï î x j ? 0 j 1, 2,L , n. 其中 bi ³ 0， i = 1, 2,L , m 。
数学建模算法与应用
第1章 线性规划
基础部数学教研室
数学 建模
1.1 线性规划问题
在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源 来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成 了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记 LP)则是数学规划的一个重要分支。 自 从 1947 年 G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法 以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与 深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策 变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛 了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。
i= 1
min
å
n
( ui + vi ) ，
i= 1
s. t.
数学模型第五版教学大纲
数学模型第五版教学大纲
一、课程简介
本课程是数学专业和相关专业的必修课程之一，旨在帮助学生掌握数学模型的基本概念、建模过程和解题方法，培养学生的创新思维和实际问题解决能力。
二、教学目标
1.理解数学模型的基本概念和建模的思路；
2.掌握常用的数学模型和求解方法；
3.能够独立分析和解决实际问题；
4.培养学生的科学思维、创新精神和团队合作精神。
三、教学内容
第一章数学模型的概念和基本要素
1.数学模型的概念和基本要素；
2.数学模型的分类和应用；
3.数学建模的基本流程和方法。
第二章常用数学模型
1.线性规划模型；
2.非线性规划模型；
3.最优化模型；
4.动态规划模型；。
姜启源 数学模型第五版-第1章
1.3
问题
建模示例之一 包饺子中的数学
通常，1kg馅, 1kg面, 包100个饺子. 今天，馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完.
应多包几个(每个小些), 还是少包几个(每个大些)？
分析
直观认识——“大饺子包的馅多”! 但是：“用的面皮也多”!
需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.
C
C´ B´ B A´
O
A
x
D´
D
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f() B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
正方形ABCD 绕O点旋转
模型建立
地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 椅子旋转900, 对 角线AC和BD互换 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0 g(0)=0，f(0) > 0， f(/2)=0, g(/2)>0.
不平的地面上的椅子， 通常三只脚着地—— 放不稳！ 挪动几下，使四只脚着地——椅子放稳！
讨论椅子能放稳的条件.
椅子能在不平的地面上放稳吗
模型假设
四腿一样长,椅脚与地面点接触,四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化,可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦,椅子在任意位置至少三只脚着地.
模型建立
椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性. 用表示椅子位置. 四只脚着地 椅脚与地面距离为零 距离是的函数. 四个距离 (四只脚) 对称性 两个距离
模 型 构 成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤 模型 求解 模型 分析 模型 检验 各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析. 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性.
数学模型第五版教学设计
数学模型第五版教学设计一、引言随着信息时代的到来，人们的思维方式也发生了改变。
人们面对的问题越来越复杂，过去简单的解决方法已经无法满足实际需要。
因此，数学模型的构建与求解成为了解决实际问题的一种重要方式。
数学模型是把实际问题抽象化、描述化、符号化、数学化以及综合化的过程，可以将人们遇到的实际问题转化为数学问题，进而得到数学解，并为实际问题提供更有效、更经济、更合理的解决方案。
《数学模型》是我国高校数学专业的一门重要的基础课程，它教授的是建立和分析实际问题的数学模型的方法和技术。
本教学设计参照《数学模型》第五版，从教学目标、教学内容、教学方法、教学评价、教学资源等方面探讨如何有效开展数学模型的教学。
二、教学目标本课程旨在培养学生掌握建立数学模型的方法、技巧和分析实际问题的能力，使学生能够1.掌握建立数学模型的基本方法和技巧；2.熟练掌握数学模型求解的基本方法和技巧；3.能够分析和评价数学模型的适用性和可靠性；4.能够应用所学知识发现和解决现实中的问题；5.培养学生的数学建模思维和创新意识。
三、教学内容1.数学模型的基本概念和基本方法。
2.常用数学模型的建立与求解。
3.数学模型的适用性和可靠性分析。
4.数学模型在实际中的应用。
四、教学方法1.讲授法：教师对理论知识进行讲解。
2.研究法：学生通过阅读教材和相关专业书籍，自主研究所学内容。
3.课堂案例分析：教师选取实际问题，引导学生进行建模思考和分析。
4.讨论法：教师通过提供案例，引导学生探讨数学模型的适用性和可靠性。
5.项目式教学：学生通过小组合作完成数学模型相关课程设计、研究报告等项目任务。
五、教学评价1.课堂表现：学生出勤情况、发言表现、思考和解答问题能力等。
2.作业评估：布置适当数量和难度的作业，考察学生对知识的理解和应用能力。
3.个人报告：要求每个学生或小组对所学内容进行归纳和整理，并展示给全班同学。
4.项目评估：对学生完成的项目进行评估，考察学生对数学模型的建立和分析能力。
电路邱关源第五版01第一章bcm
1.6 电容元件 (capacitor)
q
电容器 在外电源作用下， 两极板上分别带上等量异号电荷，撤去 电源，板上电荷仍可长久地集聚下去， 是一种储存电能的部件。
+
_
q
1 定义
电容元件 储存电能的元件。其 特性可用u～q 平面 上的一条曲线来描述
u q
f ( u, q ) 0
2. 线性定常电容元件
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u～i 关系
满足欧姆定律 u i
伏安特 性为一 条过原 点的直 线
u Ri Ru i i u R Gu
u、i 取关联 参考方向
0 R
i
+
单位
u
－
R 称为电阻，单位： (欧姆) G 称为电导，单位：S (西门子)
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注意
欧姆定律
①只适用于线性电阻( R 为常数）； ②如电阻上的电压与电流参考方向非关 联，公式中应冠以负号； ③说明线性电阻是无记忆、双向性的元 件。 i R
1 t idξ 1 t idξ 1 t idξ u(t ) C C C t 1 t id ξ u(t ) t C
0 0 0 0
表明
电容元件VCR 的积分关系
电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件
注
（1）当 u，i为非关联方向时，上述微分和积分表达 式前要冠以负号 ;
则欧姆定律写为
u
+
i –G u
u –R i
公式和参考方向必须配套使用！
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3.功率和能量
功率
i
R
+
i
数学模型姜启源-(第五版)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
例2 奶制品旳生产销售计划 在例1基础上深加工
12h 1桶 牛奶 或
3kgA1 1kg 2h, 3元
获利24元/kg 0.8kgB1
获利44元/kg
8h
4kgA2
50桶牛奶, 480h
1kg 2h, 3元
获利16元/kg 0.75kgB2
获利32净利润最大
Objective value:
3460.800
Total solver iterations:
2
Variable
Value Reduced
Cost
X1 0.000000
1.680000
X2 168.0000
0.000000
X3 19.20230
0.000000
X4 0.000000
0.000000
O
c l5
l3 D x1
z=0 z=2400
在B(20,30)点得到最优解.
目的函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成旳凸多边形 目旳函数旳等值线为直线
最优解一定在凸多边 形旳某个顶点取得.
模型求解
软件实现
LINGO
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
决策 变量
目的 函数
8h
4kg A2
1kg
2h, 3元
出售x1 kg A1, x2 kg A2，
获利16元/kg
0.75kg B2
获利32元/kg
x3 kg B1, x4 kg B2
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1.4 建模示例之二 路障间距的设计
背景 校园、居民小区道路需要限制车速——设置路障 问题 限制车速≤40km/h, 相距多远设置一个路障？
分析 汽车过路障时速度接近零, 过路障后加速.
车速达到40km/h时让司机看到下一路障而 减速, 至路障处车速又接近零. 如此循环以达到限速的目的.
路障间距的设计
假设 相邻路障之间汽车作等加速运动和等减速运动.
加速度、减速度： 方法一 查阅资料 方法二 进行测试
加速行驶的测试数据
速度（km/h） 0
时间（s）
0
10 20 30 40 1.6 3.0 4.2 5.0
减速行驶的测试数据
速度（km/h） 40
30
20 10
0
时间（s）
0
2.2 4.0 5.5 6.8
路障间距的设计
建模 加速行驶：距离s1，时间t1, 加速度a1
减速行驶：距离s2，时间t2, 减速度a2
数学建模
计算机技术
知识经济
为教育改革注入强大活力
• 数学教育本质上是一种素质教育. • 数学教育应培养两种能力：算数学(计算、推导、
证明…)和用数学(分析、解决实际问题). 传统的数学教学体系和内容偏重前者，忽略后者. • 让学生参加将数学应用于实际的尝试, 参与发现 和创造的过程.
数学建模引入教学符合教育改革的需要
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… ~ 物理模型
地图、电路图、分子结构图…
~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?
用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
(x y) 30 750
x=20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速为20km/h.
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数） • 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） • 求解得到数学解答（x=20, y=5）
R ~大皮半径 S k1R2 V k2R3 V kS3/2 (2)
r ~小皮半径 s k1r2 , v k2r3 v ks3/ 2 (3)
(1),(2),(3)
V n3/2v
消去S, s, k
解释
定性分析 V 比 nv 大 (n>1)——大饺子包得馅多. 定量结果
应用 若100个饺子包1kg馅, 50个饺子能包多少馅？
• 回答原问题（船速为20km/h）
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.
数学建模
建立数学模型的全过程
分析
建立馅、皮与数学概念的联系：
馅——体积，皮——表面积
体积V、面积S 一个大饺子
体积v、面积s
n个小饺子
S
s s…s
V
vv
v
V和 nv 哪个大? 定性分析 V比 nv大多少? 定量结果
假设 1.皮的厚度一样 2.饺子的形状一样
建模
Hale Waihona Puke S ns (1)两个 k1 (及k2) 一样
体积与面积的联系——半径（特征半径 ）
可以对“皮的厚度随着半径变大而增加”的数量 关系作出合理、简化的假设，重新建模.
包饺子建模过程的基本、关键步骤 • 用数学语言(体积和表面积)表示现实对象(馅和皮). • 作出简化、合理的假设(厚度一样，形状一样). • 利用问题蕴含的内在规律(体积和表面积与半径间
的几何关系). 日常生活中有哪些可用这个模型解释的现象？
第一章 建立数学模型
• 数学——各门科学的基础；社会进步的工具. • 用数学方法解决任何一个实际问题，都必须在 实际与数学之间架设一座桥梁. • 解决过程——实际问题转化为数学问题；数学 问题的求解；数学解答回归实际问题. • 这个全过程称为数学建模——为实际问题建立 数学模型.
第 1.1 从现实对象到数学模型
（包括表述、求解、解释、检验等）
1.2 数学建模的重要意义
数学建模历史悠久
欧几里德 《几何原本》 光反射定律
阿基米德 浮力定律
杠杆原理
伽利略 落体定律 牛顿 万有引力定律
惯性原理 微积分
直到20世纪后半叶数学建模才逐渐得到普遍重视 和广泛应用，并且进入大学的课堂.
科技进步与社会发展的推动
• 计算机技术的出现和迅速发展,为数学建模的应用 提供了强有力的工具.
1.3 建模示例之一 包饺子中的数学
问题 通常，1kg馅, 1kg面, 包100个饺子.
今天，馅比 1kg多, 1kg面不变, 要把馅包完. 应多包几个(每个小些), 还是少包几个(每个大些)？
分析
直观认识——“大饺子包的馅多”! 但是：“用的面皮也多”!
需要比较：饺子从小变大时馅和面增加的数量关系.
一 1.2 数学建模的重要意义
章 1.3 建模示例之一 包饺子中的数学
1.4 建模示例之二 路障间距的设计
建 立 数 学 模
1.5 建模示例之三 椅子能在不平的 地面上放稳吗
1.6 数学建模的基本方法和步骤 1.7 数学模型的特点和分类
型 1.8 怎样学习数学建模——学习课程
和参加竞赛
1.1 从现实对象到数学模型
• 高新技术中数学建模与科学计算是必不可少的手段 ——数学科学是关键的、普遍的、可应用的技术.
• 数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质等 领域，为数学建模开拓了许多新的处女地. 数学建模引入教学顺应时代发展的潮流
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
• 控制与优化
• 规划与管理
如虎添翼
n1=100, n2=50
n1v1=1(kg), n2v2=?
n2v2= n1 / n2 2 1.4 50个饺子能包1.4kg馅.
讨论
若100个饺子包1kg馅, 50个饺子能包1.4kg馅. 饺子数量减少一倍，真的就能多包40%的馅吗？
饺子越大，面皮 应该越厚.
“皮的厚度一样”的 假设值得探讨！