函数值域求法(换元法,判别式法和万能K法)
函数值域讲解高中数学知识点
函数值域讲解高中数学知识点函数值域讲解高中数学知识点(1)配方法:若函数为一元二次函数，则可以用这种方法求值域，关键在于正确化成完全平方式。
(2)换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。
(3)判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知数x，则常用此法。
通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式△0，确定y 的范围，即原函数的值域(4)不等式法：借助于重要不等式a+bab(a0)求函数的值域。
用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正，二定，三相等。
”(5)反函数法：若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。
(6)单调性法：首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p0)的.单调性：增区间为(-,-p)的左开右闭区间和(p,+)的左闭右开区间，减区间为(-p,0)和(0,p)(7)数形结合法：分析函数解析式表达的集合意义，根据其图像特点确定值域。
注意：(1)用换元法求值域时，认真分析换元后变量的范围变化；用判别式法求函数值域时，一定要注意自变量x是否属于R。
(2)用不等式法求函数值域时，需要认真分析其等号能否成立；利用单调性求函数值域时，准确找出其单调区间是关键。
分段函数的值域应分段分析，再取并集。
(3)不管用哪种方法求函数值域，都一定要先确定其定义域，这是求函数的重要环节。
高中数学复习专题-函数值域的求法
学习必备 欢迎下载专题四、函数及其性质（二）函数值域的求法1.求函数值域的数学思想：（ 1）利用函数单调性求函数值域：（ 2）利用函数图像求函数值域；注意： 求函数值域时要先关注函数定义域，时刻体现“定义域优先” 原则。
2.求函数值域的方法： 观察法、判别式法、双勾函数法、换元法、平方法、分离常数法、数形结合法、单调性法、构造法。
（ 1）观察法：适合于常见的基本函数。
例 1.已知函数 f (x)e x1，g( x)x 24x3 ，若 a 、bR ，且存在有f (a)g(b) ，则b 的取值范围为（）A. [22, 22]B. (22, 22)C.[1,3]D.(1,3)kx bdx 2exf的分式函数， 适用条件须函（ 2）判别式法：适合于形如y或 yax2bx cax 2 bx c数的定义域应为 R ，即 ax 2bx c0 ，所以b 2 4ac0 。
例 2. 求函数 y2x 2 x3x 2的值域。
x 1（ 3）双勾函数法：适合于高中阶段所有的分式函数，比判别式法具有更广泛的应用。
2例 3. 求函数 y2x11x7(0 x 1) 的值域。
x 3（ 4）换元法：适合于含有根式的函数。
例 4.求函数 y2x 4 1 x 的值域。
（ 5）平方法：适合于平方变形后具有简化效果的函数。
例 5.求函数 yx 3 5 x 的值域。
学习必备欢迎下载（ 6）数形结合法：利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域。
例 6.（2014 湖北 ）已知函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f(x)＝ 1(|x － a 2|＋ |x － 2a 2|－ 3a 2)，若对于任意 x ∈ R ， f( x －1)≤ f(x)恒成立，2则实数 a 的取值范围为（ ） A. －1，1 B.－ 6， 6 C. －1，1 D.－3， 36 6 6 6 3 3 3 3（ 7）单调性法：确定函数在定义域上的单调性，求出函数的值域。
函数值域的常见求法8大题型(解析版)
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
函数值域求法大全
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。
换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。
代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。
因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
函数值域12种求法
函数值域的12种求法在函数的三要素中，定义域和对应法则起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。
研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。
本文就函数值域求法归纳如下，供参考。
一、函数值域的12种求法1. 观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过直接观察即可得到。
例1. 求函数 x 1y =的值域。
解：∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数 x 3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 函数单调性法：根据函数单调性及定义域求函数值域例9. 求函数 )10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。
解：令1x l o g y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2，10]上都是增函数所以21y y y +=在[2，10]上是增函数当x=2时，8112l o g 2y 33m i n =-+=-当x=10时，339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数 1x 1x y --+=的值域。
解：原函数可化为：1x 1x 2y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=，显然 21y ,y 在 ],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =，2y 在 ],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时，21y y y +=有最小值 2，原函数有最大值 222=显然 0y >，故原函数的值域为 ]2,0(3. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
2022年高考数学判断函数值域的方法_函数值域的判断
2022年高考数学判断函数值域的方法_函数值域的判断高中数学知识点：常见函数值域y=kx+b(k≠0)的值域为Ry=k/x的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)y=√x的值域为x≥0y=ax?+bx+c当a>0时，值域为[4ac-b?/4a,+∞);当a<0时，值域为(-∞，4ac-b?/4a]高中数学知识点：判断函数值域的方法1、配方法:利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。
2、换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_√cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。
3、判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知数x?，则常用此法。
通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式△≥0，确定y的范围，即原函数的值域4、不等式法：利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。
5、反函数法：若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a≠0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。
6、单调性法：首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p>0)的单调性：增区间为(-∞,-√p)的左开右闭区间和(√p,+∞)的左闭右开区间，减区间为(-√p,0)和(0,√p)7、数形结合法：分析函数解析式表达的集合意义，根据其图像特点确定值域。
高中数学知识点：求函数值域的12种方法一、观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2-3x)的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2-3x)≥0，故3+√(2-3x)≥3。
【高中数学讲义】函数求值域的十种方法
前言：总有人求助如何学好数学，这个问题很宽泛，并非寥寥数语能够厘清。
有一点很明确，学好数学的必要条件是了解数学。
高中数学可以归结为两个“三位一体”：教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。
知识结构的三位一体：数学思想，数学方法，典型习题。
三要素之间的关系：典型习题归纳数学思想，数学思想指导数学方法，数学方法解决典型习题。
数学思想举例：数形结合的思想等。
数学方法举例：配方法、反证法、倍差法等。
典型习题举例：恒成立问题、是否存在问题等。
教学体系的三位一体：教、学、练。
老师教什么：数学思想和数学方法。
熟练掌握各种方法的是优秀学生，深入理解各种思想的是顶尖学生。
学生怎么学：课堂紧跟老师，课下善于提问。
如何做练习：01，选题：中学数学最大的误区就是题海战术，有的老师不学无术只会告诉你多做题。
多做题没用，多做类型才有用。
典型习题，做一顶百。
02，做题：一题多解。
对于选定的习题，运用尽量多的方法去解决，然后比较各个方法的优劣，归纳出某类型题对应的最佳方法。
03，总结：针对错题。
大量统计表明，我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。
通过总结，避免两次踏入同一条水沟。
由上可知，我讲数学的特点是方法论、重总结。
工欲善其事，必先利其器：各种数学方法就是我们解决难题的利器。
总喊看题就没思路的童鞋，回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。
说不出？有思路才怪！言归正传，今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法”（高中数学最重要就是函数，函数之于高中数学好比力学之于高中物理。
高中数学函数的要点无非：三要素，四变换，五常见，六性质。
三要素中的求值域就是本讲的主题）方法一：配方法用于解决二次函数值域问题，考试中几乎不会单独考察配方法（太简单），但常与其他方法综合使用。
y=ax2+bx+c（a≠0）经过配方得到 y=a（x-m）2 +n 的形式，可直接观察出值域。
方法二：函数性质法高中阶段函数六性：奇偶性，单调性，周期性，对称性，凸凹性，有界性（前三为重点）。
怎样求函数值域
怎 样 求 函 数 值 域湖北省兴山一中 万忠国 （443700）函数的值域就是函数值的集合，与定义域一样都是非空数集，在研究函数值域时，既要重视对应法则的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用。
求函数值域在中学阶段既是重点又是难点。
掌握求值域的一些基本方法对于解决问题有帮助的。
求值域的常用方法有①配方法②换元法③单调性法④判别式法⑤逆求法⑥数形结合法。
下面结合一些例题讲解各种方法的具体应用。
一、配方法 主要用于二次函数求值域。
例1、求函数y=x 2-2x+3在下列区间上的值域⑴、［0，+∞］ ⑵、［2，+∞］ ⑶、[2，3] ⑷、[0，3] ⑸、（-∞，3] ⑹、[-1，2] 解：y=x 2-2x+3=(x-1)2+2在各区间上的值域分别为⑴、［1，+∞］ ⑵、［3，+∞］ ⑶、[3，6] ⑷、[1，6] ⑸、〔1，+∞) ⑹、[1，6] 例2、求函数y=245x x -+的值域解：y=245x x -+=9)2(2+--x ≤3 , 又 y≥0 ∴0≤y ≤3 故值域为[0，3]二、换元法 分为代数换元和三角换元。
主要用于含二次根式的函数，通过换元转化为二次函数求值域（注意：换元必须换范围）。
例3、求函数y=2x+4x -1的值域解：令t=x -1 则x=1-t 2 且t≥0 ∴函数y=2(1-t 2)+4t=-2(t-1)2+4 ∴y ≤4。
故值域为（-∞，4] 例4、求函数y=|x|21x -的值域解：方法一：∵y=|x|21x -的定义域是[-1，1]，且为偶函数。
∴只需在[0，1]上求y 的值域。
令x=cosθ, θ∈[0,2π] 。
则y= cosθsinθ=21sin2θ， ∴0≤y ≤21， 故值域为[0，21] 方法二：利用均值不等式有：0≤y=|x|21x -≤2)1(||222x x -+=21 即0≤y ≤21 。
故值域为[0，21] 例5、求函数y= cosxsinx+sinx+cosx 的值域解：令t=sinx+cosx 则t 2=1+2sinxcosx ∴sinxcosx=212-t ，由t 2=1+2sin2x ≤2 得 -2≤t ≤2 ∴原函数y=212-t +t=21(t+1)2-2 ∴-2≤y ≤21+2，故值域为[-2，21+2]三、单调性法：主要用于在定义域单调性一致的函数。
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四类换元法
1、一般换元；
2、双换元；
2、三角换元； 4、整体换元。
一、一般换元
例1、求函数
1--=x x y 的值域。
二、三角换元
两个重要公式 1cos sin 22=+x x
x x 22cos 1tan 1=
+（常出现在竞赛中） 例2、求函数
22x x y -+=
例3、（2011高中联赛）函数1
1)(2-+=x x x f 的值域为_____________
三、双换元
例4、求函数
31++-=x x y 的值域
例5、求函数
x x y -+-=363的值域。
四、整体换元
例6、求函数
5)4)(3)(2)(1(+++++=x x x x y 的值域。
判别式法/万能K 法原理：
方程有解：
一、分式型的值域
形如f
ex dx c bx ax y ++++=22（d a ,不同时为零）的二次分式函数，可转化成如0)()()(2=++y c x y B x y A 的形式，视为关于x 的一元二次方程，对y 使用判别式0≥∆，可得y 的取值范围。
例1、求函数12222
++-=x x x y 的值域。
例2、求函数122+++=x x x
x y 的值域
例3、求函数x
x x x y ++-=2222在)2,2(-上的值域/最大、最小值。
例4、若函数1
8log )(223+++=x n x mx x f 的定义域为R ，值域为]2,0[，求n m ,的值。
二、可化为分式型的值域 形如222
2fy
exy dx cy bxy ax M ++++=（d a ,不同时为零）的式子，分子分母同除2y 齐次化后得到f y
x e y x d c y x b y x a M ++++=)()()()(22，令t y x =，则化为一元的二次型分式f et dt c bt at M ++++=22。
例5、设+
∈R y x ,，则代数式y x y y x x 222+++的最大值为______________.
例6、若对任意非零实数
y x ,不等式xy x y x a 4)5(222+≤+恒成立，则a 的最大值为___________
（两种方法）
例7、若R y x ∈,，求
561045),(22++-+-=y x y xy x y x f 最小值。
例8、（2016清华自招）已知12=+
y x ，求22y x x ++的最小值。
三、换元之后设K 带入型
例9、已知123222=++y xy x
，求xy y x ++的最小值。
判别式法/万能K 法五种适用类型
1、分式型
2、可化为分式型
3、整式型
4、设K 带入型
5、换元设K 带入型
总之： 得到某个字母的一元二次方程，对别的字母都可以使用判别式。
课后作业：
1、对于任意实数x ，)(2
b a
c bx ax y <++=恒为负数，求a b c b a -++的最小值。
2、（杭州二模）设R y x ∈,，y x y xy x M
+-+-=2232，则求M 的最小值。
3、若
24ππ<<x ，则函数x x y 2tan 2tan •=的最大值为_____________
4、求函数
)5)(3)(1)(1(+++-=x x x x y 的最大值。