函数值域求法(换元法,判别式法和万能K法)

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函数值域讲解高中数学知识点

函数值域讲解高中数学知识点

函数值域讲解高中数学知识点函数值域讲解高中数学知识点(1)配方法:若函数为一元二次函数,则可以用这种方法求值域,关键在于正确化成完全平方式。

(2)换元法:常用代数或三角代换法,把所给函数代换成值域容易确定的另一函数,从而得到原函数值域,如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。

(3)判别式法:若函数为分式结构,且分母中含有未知数x,则常用此法。

通常去掉分母转化为一元二次方程,再由判别式△0,确定y 的范围,即原函数的值域(4)不等式法:借助于重要不等式a+bab(a0)求函数的值域。

用不等式法求值域时,要注意均值不等式的使用条件“一正,二定,三相等。

”(5)反函数法:若原函数的值域不易直接求解,则可以考虑其反函数的定义域,根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点,确定原函数的值域,如y=cx+d/ax+b(a0)型函数的值域,可采用反函数法,也可用分离常数法。

(6)单调性法:首先确定函数的定义域,然后在根据其单调性求函数值域,常用到函数y=x+p/x(p0)的.单调性:增区间为(-,-p)的左开右闭区间和(p,+)的左闭右开区间,减区间为(-p,0)和(0,p)(7)数形结合法:分析函数解析式表达的集合意义,根据其图像特点确定值域。

注意:(1)用换元法求值域时,认真分析换元后变量的范围变化;用判别式法求函数值域时,一定要注意自变量x是否属于R。

(2)用不等式法求函数值域时,需要认真分析其等号能否成立;利用单调性求函数值域时,准确找出其单调区间是关键。

分段函数的值域应分段分析,再取并集。

(3)不管用哪种方法求函数值域,都一定要先确定其定义域,这是求函数的重要环节。

高中数学复习专题-函数值域的求法

高中数学复习专题-函数值域的求法

学习必备 欢迎下载专题四、函数及其性质(二)函数值域的求法1.求函数值域的数学思想:( 1)利用函数单调性求函数值域:( 2)利用函数图像求函数值域;注意: 求函数值域时要先关注函数定义域,时刻体现“定义域优先” 原则。

2.求函数值域的方法: 观察法、判别式法、双勾函数法、换元法、平方法、分离常数法、数形结合法、单调性法、构造法。

( 1)观察法:适合于常见的基本函数。

例 1.已知函数 f (x)e x1,g( x)x 24x3 ,若 a 、bR ,且存在有f (a)g(b) ,则b 的取值范围为()A. [22, 22]B. (22, 22)C.[1,3]D.(1,3)kx bdx 2exf的分式函数, 适用条件须函( 2)判别式法:适合于形如y或 yax2bx cax 2 bx c数的定义域应为 R ,即 ax 2bx c0 ,所以b 2 4ac0 。

例 2. 求函数 y2x 2 x3x 2的值域。

x 1( 3)双勾函数法:适合于高中阶段所有的分式函数,比判别式法具有更广泛的应用。

2例 3. 求函数 y2x11x7(0 x 1) 的值域。

x 3( 4)换元法:适合于含有根式的函数。

例 4.求函数 y2x 4 1 x 的值域。

( 5)平方法:适合于平方变形后具有简化效果的函数。

例 5.求函数 yx 3 5 x 的值域。

学习必备欢迎下载( 6)数形结合法:利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域。

例 6.(2014 湖北 )已知函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数,当 x ≥ 0 时, f(x)= 1(|x - a 2|+ |x - 2a 2|- 3a 2),若对于任意 x ∈ R , f( x -1)≤ f(x)恒成立,2则实数 a 的取值范围为( ) A. -1,1 B.- 6, 6 C. -1,1 D.-3, 36 6 6 6 3 3 3 3( 7)单调性法:确定函数在定义域上的单调性,求出函数的值域。

函数值域的常见求法8大题型(解析版)

函数值域的常见求法8大题型(解析版)

函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一,是高考中的必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终。

在高考试卷中的形式千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求,考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法,其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。

满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法:对于简单函数的值域问题,可通过基本初等函数的图象、性质直接求解;2.逐层法:求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域,利用一些基本初等函数的值域,从内向外逐层求函数的值域;3.配方法:配方法是二次型函数值域的基本方法,即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域;4.换元法:利用换元法将函数转化为易求值域的函数,常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构,可用“cx +d =t ”换元;(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数,a ≠0,c ≠0),可用“cx +d =t ”换元;(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数,可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元;5.分离常数法:形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数,应用分离常数法求值域,即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ,然后求值域;6.基本不等式法:形如y =ax +bx(ab >0)的函数,可用基本不等式法求值域,利用基本不等式法求函数的值域时,要注意条件“一正、二定、三相等”,即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时,应满足三个条件:①a >0,b >0;②a +b (或ab )为定值;③取等号的条件为a =b ,三个条件缺一不可;7.函数单调性法:确定函数在定义域上的单调性,根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域;(2)形如y =ax +bx的函数,当ab >0时,若利用基本不等式等号不能成立时,可考虑利用对勾函数求解;公众号:高中数学最新试题当ab <0时,y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数,可直接利用单调性求解。

函数值域求法大全

函数值域求法大全

函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

本文介绍了十一种函数值域求法。

首先是直接观察法,对于一些简单的函数,可以通过观察得到其值域。

例如,对于函数y=1/x,由于x不等于0,因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。

再比如,对于函数y=3-x,由于x的取值范围为(-∞,+∞),因此函数的值域为(-∞,3]。

其次是配方法,这是求二次函数值域最基本的方法之一。

例如,对于函数y=x^2-2x+5,将其配方得到y=(x-1)^2+4,由此可得出函数的值域为[4.+∞)。

还有判别式法,例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2),可以将其化为关于x的一元二次方程,然后根据判别式的值来确定函数的值域。

除此之外,还有其他的函数值域求法,如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。

这些方法各有特点,应根据具体情况选择合适的方法来求解。

总之,确定函数的值域是研究函数的重要一环,掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程,事半功倍。

换元法是一种数学方法,可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。

其中,函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。

换元法不仅在求函数的值域中发挥作用,也是数学方法中几种最主要方法之一。

例如,对于函数 $y=x+x^{-1}$,我们可以令 $x-1=t$,则$x=t+1$。

代入原函数,得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。

由于 $t\geq 0$,根据二次函数的性质,当 $t=0$ 时,$y$ 取得最小值 $1$,当 $t$ 趋近于正无穷时,$y$ 也趋近于正无穷。

因此,函数的值域为 $[1,+\infty)$。

又如,对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$,我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$,然后令 $x+1=\cos\beta$,则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。

函数值域12种求法

函数值域12种求法

函数值域的12种求法在函数的三要素中,定义域和对应法则起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。

研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。

确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。

对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。

本文就函数值域求法归纳如下,供参考。

一、函数值域的12种求法1. 观察法对于一些比较简单的函数,其值域可通过直接观察即可得到。

例1. 求函数 x 1y =的值域。

解:∵0x ≠ ∴0x 1≠显然函数的值域是:),0()0,(+∞-∞例2. 求函数 x 3y -=的值域。

解:∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是:]3,[-∞2. 函数单调性法:根据函数单调性及定义域求函数值域例9. 求函数 )10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。

解:令1x l o g y ,2y 325x 1-==-则21y ,y 在[2,10]上都是增函数所以21y y y +=在[2,10]上是增函数当x=2时,8112l o g 2y 33m i n =-+=-当x=10时,339log 2y 35max =+=故所求函数的值域为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数 1x 1x y --+=的值域。

解:原函数可化为:1x 1x 2y -++= 令1x y ,1x y 21-=+=,显然 21y ,y 在 ],1[+∞上为无上界的增函数所以1y y =,2y 在 ],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时,21y y y +=有最小值 2,原函数有最大值 222=显然 0y >,故原函数的值域为 ]2,0(3. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

2022年高考数学判断函数值域的方法_函数值域的判断

2022年高考数学判断函数值域的方法_函数值域的判断

2022年高考数学判断函数值域的方法_函数值域的判断高中数学知识点:常见函数值域y=kx+b(k≠0)的值域为Ry=k/x的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)y=√x的值域为x≥0y=ax?+bx+c当a>0时,值域为[4ac-b?/4a,+∞);当a<0时,值域为(-∞,4ac-b?/4a]高中数学知识点:判断函数值域的方法1、配方法:利用二次函数的配方法求值域,需注意自变量的取值范围。

2、换元法:常用代数或三角代换法,把所给函数代换成值域容易确定的另一函数,从而得到原函数值域,如y=ax+b+_√cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。

3、判别式法:若函数为分式结构,且分母中含有未知数x?,则常用此法。

通常去掉分母转化为一元二次方程,再由判别式△≥0,确定y的范围,即原函数的值域4、不等式法:利用a+b≥2√ab(其中a,b∈R+)求函数值域时,要时刻注意不等式成立的条件,即“一正,二定,三相等”。

5、反函数法:若原函数的值域不易直接求解,则可以考虑其反函数的定义域,根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点,确定原函数的值域,如y=cx+d/ax+b(a≠0)型函数的值域,可采用反函数法,也可用分离常数法。

6、单调性法:首先确定函数的定义域,然后在根据其单调性求函数值域,常用到函数y=x+p/x(p>0)的单调性:增区间为(-∞,-√p)的左开右闭区间和(√p,+∞)的左闭右开区间,减区间为(-√p,0)和(0,√p)7、数形结合法:分析函数解析式表达的集合意义,根据其图像特点确定值域。

高中数学知识点:求函数值域的12种方法一、观察法通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。

例1求函数y=3+√(2-3x)的值域。

点拨:根据算术平方根的性质,先求出√(2-3x)的值域。

解:由算术平方根的性质,知√(2-3x)≥0,故3+√(2-3x)≥3。

【高中数学讲义】函数求值域的十种方法

【高中数学讲义】函数求值域的十种方法

前言:总有人求助如何学好数学,这个问题很宽泛,并非寥寥数语能够厘清。

有一点很明确,学好数学的必要条件是了解数学。

高中数学可以归结为两个“三位一体”:教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。

知识结构的三位一体:数学思想,数学方法,典型习题。

三要素之间的关系:典型习题归纳数学思想,数学思想指导数学方法,数学方法解决典型习题。

数学思想举例:数形结合的思想等。

数学方法举例:配方法、反证法、倍差法等。

典型习题举例:恒成立问题、是否存在问题等。

教学体系的三位一体:教、学、练。

老师教什么:数学思想和数学方法。

熟练掌握各种方法的是优秀学生,深入理解各种思想的是顶尖学生。

学生怎么学:课堂紧跟老师,课下善于提问。

如何做练习:01,选题:中学数学最大的误区就是题海战术,有的老师不学无术只会告诉你多做题。

多做题没用,多做类型才有用。

典型习题,做一顶百。

02,做题:一题多解。

对于选定的习题,运用尽量多的方法去解决,然后比较各个方法的优劣,归纳出某类型题对应的最佳方法。

03,总结:针对错题。

大量统计表明,我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。

通过总结,避免两次踏入同一条水沟。

由上可知,我讲数学的特点是方法论、重总结。

工欲善其事,必先利其器:各种数学方法就是我们解决难题的利器。

总喊看题就没思路的童鞋,回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。

说不出?有思路才怪!言归正传,今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法”(高中数学最重要就是函数,函数之于高中数学好比力学之于高中物理。

高中数学函数的要点无非:三要素,四变换,五常见,六性质。

三要素中的求值域就是本讲的主题)方法一:配方法用于解决二次函数值域问题,考试中几乎不会单独考察配方法(太简单),但常与其他方法综合使用。

y=ax2+bx+c(a≠0)经过配方得到 y=a(x-m)2 +n 的形式,可直接观察出值域。

方法二:函数性质法高中阶段函数六性:奇偶性,单调性,周期性,对称性,凸凹性,有界性(前三为重点)。

怎样求函数值域

怎样求函数值域

怎 样 求 函 数 值 域湖北省兴山一中 万忠国 (443700)函数的值域就是函数值的集合,与定义域一样都是非空数集,在研究函数值域时,既要重视对应法则的作用,又要特别注意定义域对值域的制约作用。

求函数值域在中学阶段既是重点又是难点。

掌握求值域的一些基本方法对于解决问题有帮助的。

求值域的常用方法有①配方法②换元法③单调性法④判别式法⑤逆求法⑥数形结合法。

下面结合一些例题讲解各种方法的具体应用。

一、配方法 主要用于二次函数求值域。

例1、求函数y=x 2-2x+3在下列区间上的值域⑴、[0,+∞] ⑵、[2,+∞] ⑶、[2,3] ⑷、[0,3] ⑸、(-∞,3] ⑹、[-1,2] 解:y=x 2-2x+3=(x-1)2+2在各区间上的值域分别为⑴、[1,+∞] ⑵、[3,+∞] ⑶、[3,6] ⑷、[1,6] ⑸、〔1,+∞) ⑹、[1,6] 例2、求函数y=245x x -+的值域解:y=245x x -+=9)2(2+--x ≤3 , 又 y≥0 ∴0≤y ≤3 故值域为[0,3]二、换元法 分为代数换元和三角换元。

主要用于含二次根式的函数,通过换元转化为二次函数求值域(注意:换元必须换范围)。

例3、求函数y=2x+4x -1的值域解:令t=x -1 则x=1-t 2 且t≥0 ∴函数y=2(1-t 2)+4t=-2(t-1)2+4 ∴y ≤4。

故值域为(-∞,4] 例4、求函数y=|x|21x -的值域解:方法一:∵y=|x|21x -的定义域是[-1,1],且为偶函数。

∴只需在[0,1]上求y 的值域。

令x=cosθ, θ∈[0,2π] 。

则y= cosθsinθ=21sin2θ, ∴0≤y ≤21, 故值域为[0,21] 方法二:利用均值不等式有:0≤y=|x|21x -≤2)1(||222x x -+=21 即0≤y ≤21 。

故值域为[0,21] 例5、求函数y= cosxsinx+sinx+cosx 的值域解:令t=sinx+cosx 则t 2=1+2sinxcosx ∴sinxcosx=212-t ,由t 2=1+2sin2x ≤2 得 -2≤t ≤2 ∴原函数y=212-t +t=21(t+1)2-2 ∴-2≤y ≤21+2,故值域为[-2,21+2]三、单调性法:主要用于在定义域单调性一致的函数。

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四类换元法
1、一般换元;
2、双换元;
2、三角换元; 4、整体换元。

一、一般换元
例1、求函数
1--=x x y 的值域。

二、三角换元
两个重要公式 1cos sin 22=+x x
x x 22cos 1tan 1=
+(常出现在竞赛中) 例2、求函数
22x x y -+=
例3、(2011高中联赛)函数1
1)(2-+=x x x f 的值域为_____________
三、双换元
例4、求函数
31++-=x x y 的值域
例5、求函数
x x y -+-=363的值域。

四、整体换元
例6、求函数
5)4)(3)(2)(1(+++++=x x x x y 的值域。

判别式法/万能K 法原理:
方程有解:
一、分式型的值域
形如f
ex dx c bx ax y ++++=22(d a ,不同时为零)的二次分式函数,可转化成如0)()()(2=++y c x y B x y A 的形式,视为关于x 的一元二次方程,对y 使用判别式0≥∆,可得y 的取值范围。

例1、求函数12222
++-=x x x y 的值域。

例2、求函数122+++=x x x
x y 的值域
例3、求函数x
x x x y ++-=2222在)2,2(-上的值域/最大、最小值。

例4、若函数1
8log )(223+++=x n x mx x f 的定义域为R ,值域为]2,0[,求n m ,的值。

二、可化为分式型的值域 形如222
2fy
exy dx cy bxy ax M ++++=(d a ,不同时为零)的式子,分子分母同除2y 齐次化后得到f y
x e y x d c y x b y x a M ++++=)()()()(22,令t y x =,则化为一元的二次型分式f et dt c bt at M ++++=22。

例5、设+
∈R y x ,,则代数式y x y y x x 222+++的最大值为______________.
例6、若对任意非零实数
y x ,不等式xy x y x a 4)5(222+≤+恒成立,则a 的最大值为___________
(两种方法)
例7、若R y x ∈,,求
561045),(22++-+-=y x y xy x y x f 最小值。

例8、(2016清华自招)已知12=+
y x ,求22y x x ++的最小值。

三、换元之后设K 带入型
例9、已知123222=++y xy x
,求xy y x ++的最小值。

判别式法/万能K 法五种适用类型
1、分式型
2、可化为分式型
3、整式型
4、设K 带入型
5、换元设K 带入型
总之: 得到某个字母的一元二次方程,对别的字母都可以使用判别式。

课后作业:
1、对于任意实数x ,)(2
b a
c bx ax y <++=恒为负数,求a b c b a -++的最小值。

2、(杭州二模)设R y x ∈,,y x y xy x M
+-+-=2232,则求M 的最小值。

3、若
24ππ<<x ,则函数x x y 2tan 2tan •=的最大值为_____________
4、求函数
)5)(3)(1)(1(+++-=x x x x y 的最大值。

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