如何用判别式法求函数值域
判别式法求值域
判别式法求值域在数学中，我们经常需要求出某个函数的值域。
值域指的是函数所有可能的输出值的集合。
对于一些简单的函数，我们可以通过手工计算或者画图来确定其值域，但对于复杂的函数，这种方法往往不太可行。
因此，我们需要一些更加高效的方法来求解函数的值域。
判别式法就是一种常用的求解函数值域的方法。
它适用于一些特定类型的函数，例如二次函数和分式函数等。
下面我们就来详细介绍一下判别式法的具体思路和步骤。
一、二次函数的值域二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
我们知道，二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为 ( -b/2a , c - b^2/4a )。
根据抛物线的性质，我们可以得到以下结论：1. 当 a > 0 时，函数的值域为 [ c - b^2/4a , +∞ )。
2. 当 a < 0 时，函数的值域为 ( -∞ , c - b^2/4a ]。
这个结论可以通过以下步骤来证明：1. 当 a > 0 时，函数的图像开口向上，顶点为最小值。
因此，函数的最小值为 c - b^2/4a。
又因为二次函数的值域是连续的，所以函数的值域为 [ c - b^2/4a , +∞ )。
2. 当 a < 0 时，函数的图像开口向下，顶点为最大值。
因此，函数的最大值为 c - b^2/4a。
同理可得函数的值域为 ( -∞ , c - b^2/4a ]。
二、分式函数的值域分式函数是形如 y = f(x) / g(x) 的函数，其中 f(x) 和 g(x) 都是多项式函数，且 g(x) ≠ 0。
分式函数的值域比较复杂，但我们可以通过以下步骤来求解：1. 求出分式函数的零点。
即求出方程 g(x) = 0 的解。
这些解将构成分式函数的不可定义点和间断点。
2. 求出分式函数在不可定义点和间断点附近的极限。
这些极限将决定分式函数的值域的边界。
高一数学判别式法求函数值域之错误面面观
判别式法求函数值域之错误面面观判别式法是求函数值域的重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数的值域问题。
判别式法的理论依据是：任何一个函数的定义域应是非空数集，故将原函数看成关于x 的方程应有实数解，从而求出y 的取值X 围。
判别式法虽然用起来很方便，但如果不加注意，却很容易产生错误，下面就同学们容易出错的地方举例加以说明。
一、忽视对方程的二次项系数是否为零加以讨论致错例1 求函数y=6122++-+x x x x 的值域。
错解： y=6122++-+x x x x , ∴yx2+yx+6y=x2+x-1， ∴(y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ，①因为方程①是关于x 的二次方程，它有实根的充要条件是∆=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)≥0，即(y-1)(23y+5) ≤0, 解得，1235≤≤-y 。
∴原函数的值域为{y|1235≤≤-y }.剖析：事实上，当y-1=0，即y=1时，方程①不再是关于x 的二次方程了，就不能再用判别式了。
正解： y=6122++-+x x x x , ∴(y-1)x2+(y-1)x+6y+1=0 ，①当y-1=0，即y=1时，方程①为7=0，不成立，故y ≠1； 当y-1≠0，即y ≠1时，∆=(y-1)2-4(y-1)(6y+1)≥0，即(y-1)(23y+5) ≤0，解得，1235≤≤-y综上，得原函数的值域为{y|1235<≤-y }.例2．求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。
错解：原式变形为0)13()12()12(2=-+---y x y x y ，①∵R x ∈，∴0)13)(12(4)12(2≥----=∆y y y ，解得21103≤≤y 。
故所求函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21103，。
剖析：把21=y 代入方程①显然无解，因此21=y 不在函数的值域内。
事实上，21=y 时，方程①的二次项系数为0，显然不能用“∆”来判定其根的存在情况。
判别式法求值域32523精编版
关于判别式法求值域增根的研究我们都知道对于形如f ( x ) = 的二次分式函数我们通常使用判别式来求其值域。
但这是在分子分母没有公因式的前提下进行的，若分子分母有公因式时，我们须先约去公因式，化成f(x)=的形式，然后再求出其值域。
但如果我们用判别式法求这类函数的值域时，会出现什么情况呢？让我们比较吧！例：求二次分式函数y = 的值域．方法判别式法化简为一次分式法解题过程∵ y =∴ ( x2 – 1 ) y = x2 – 2x - 3∴ ( y－1 ) x2 + 2x + 3 – y = 0----------*①当y ≠ 1时，△= b2 – 4 a c = 22 – 4 ( y –1 ) ( 3 – y )∵ y = =∴①当x ≠－1时，y = ，即：y ≠ 1②当x = －1时，= 4 y 2 – 16 y + 16= 4 ( y – 2 ) 2≥0 (△= 0时，y = 2 )∴ y ∈ R , 且 y ≠ 1②当y = 1时，代入*式得：2 x +3 – 1 = 0∴ x = －1∵函数的定义域为：{ x ∈ R | x ≠ 1 且 x ≠－1 }∴ y ≠ 1由①②得函数的值域为：y = = = 2∵函数的定义域为：{x∈R | x ≠ 1 且 x ≠－1 } ∴ y ≠ 2由①②得函数的值域为：结果{ y ∈ R | y ≠ 1 } {y∈R | y ≠ 1 且 y ≠ 2 } 通过比较，我们发现用判别式法求值域的结果，比先化成一次分式函数来求解其值域的结果多了一个值y = 2。
这就是说，用判别式法求值域会产生增根。
这是为什么呢？下面让我们首先来研究一下用判别式法来求值域的原理吧！函数是定义域到值域的映射，在定义域内任何一个x值，在值域内都有唯一一个y值与之对应。
反过来，值域内每一个y值，都会有一个或多个x值与之对应。
将某一函数化为关于x 的方程（将y看作是x的系数），只是将x和y的对应关系用另一种形式表示出来，其对应实质并未改变。
如何用判别式法求函数值域
如何用判别式法求函数值域如何用判别式法求函数值域用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。
一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。
下面我谈谈对本内容的一点体会。
一、判别式法求值域的理论依据x2x例1、求函数y2的值域 x x1象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。
x2x解：由y2得： x x1（y－1）x2+(1－y)x+y=0 ①上式中显然y≠1,故①式是关于x的一元二次方程(1y)24y(y1)1y1,又y 1 31x2x y2的值域为,1x x13令0, 解得为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y的范围就是原函数的值域？我们可以设计以下问题让学生回答：1、当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）22当x=2时，y=? () 当y=时，x=?（2） 33以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？2（因为将y=0和y=代入方程①，方程的△≥0） 32、当y=－1时，x=?当y=2时，x=?以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？（因为将y的值代入方程①式中△3、当y在什么范围内，可以求出对应的x值？x2x4、函数y2的值域怎样求？ x x1若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。
二、判别式法求值域的适用范围前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。
是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？3x22x1例2、求y的值域 2x1从表面上看，此题可以用判别式法求值域。
由原函数得：（y－3）x2+2x+(1－y)=0△ =4－4（y－3）(1－y)≥0即（y－2）2≥0 ∴y∈R但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。
问题出在哪里呢？我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x－1）,因此3x1(x1)，原函数可以化简为y用反函数法可求得y3，又x≠1代入可得x1y≠2，故可求得原函数的值域为yy R,y2,且y3。
用判别式法求函数值域的方法
用判别式法求函数值域的方法例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解:∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21>0 ∴函数的定义域为R,将原函数等价变形为(2y-1)x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上:关于．．x ．的方程．．．(2．．y ．-．1．)．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．根不为．．．2．且不为．．．-．3．例1及例2也需要作此修正,本人认为,这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．,同时也暴露出作者的思维过程,不能略去。
思考之二:对于形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法就是要验证△=0时对应的y 值,该文中就是这样的说明的:由于函数变形为方程时不就是等价转化,故在考虑判别式的同时,还需对△=0进行检验,若对应的自变量在函数的定义域内,则y 值在值域内,否则舍去。
但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验,得出正确结果,这就使读者很困惑,究竟什么情况要检验,什么情况不进行检验呢？我认为有关形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法,这已经不就是判别式法的范围之内,不在讨论之列,第二种处理方法仍然用判别式法,只不过在例1的解法基础上稍加改动即可,例3求函数求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解:由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R,x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得:(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上:关于．．x ．的方程．．．(．y ．-．1．)．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少有一．．．．．．．．．根不为．．．2．且不为．．．-．3．(1)当y=1时,代入方程求得x= -3,而x ≠-3,因此y ≠1(2)当y ≠1时关于x 的方程(y-1)x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程,可以验证x=-3为该方程的根,x=2不就是该方程的根,因此只有两个根都为-3时不满足题意,其余都符合题意,因此只需△≠0,即可得出即可得出y ≠52 由上可知:原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠52} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况,例4 求函数y=32122--+-x x x x 的值域 解:由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3与-1(1)当y=1时,x= -4,∴y 可以取1(2)当y ≠1时,关于x 的方程(y-1)x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程,显然可以验证x=3与x= -1不就是该方程的解因此只需△≥0即可,以下过程略思考之三:该方法的适用范围不仅适用于分式形式,对于二次函数．．．．同样适用, 如:求函数y=x 2-3x+5的值域解:由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即(-3)2-4(5-y)≥0∴y ≥411 ∴所求函数的值域为{y| y ≥411} 练习: 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。
高中数学：求函数值域的方法十三种(二)
高中数学：求函数值域的方法十三种（二）五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x ++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x 的一元二次方程,由于x 取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x =+的值域。
【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
解法二：2(2)1(x 1)y x x x x =+-=+--]2,2[sin 1ππθθ-∈=-x )4sin(21cos sin 1πθθθ++=++=y 4344ππθπ≤+≤-14sin(22≤+≤-πθ原函数的值域为：【例3】已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
【解析】2221x ax by x ++=+22(2)04(y 2)(y b)0y x ax y b a ⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
求函数的值域、最值的13种方法
⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部
用判别式法求函数值域的方法
用判别式法求函数值域的方法例1求函数y=1223222++--x x x x 的值域 解：∵2x 2+2x+1=2(x+21)2+21>0 ∴函数的定义域为R ，将原函数等价变形为（2y-1）x 2+(2y+2)x+y+3=0,我认为在此后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．2．y ．-．1．）．x ．2．+(2y+2)x+y+3=0．．．．．．．．．．．．．．有实数解．．．．例2求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．．有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3．例1及例2也需要作此修正，本人认为，这些文字说明对于整个题目的解题过程起着统帅作用．．．．，同时也暴露出作者的思维过程，不能略去。
思考之二：对于形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法 中处理方法是要验证△=0时对应的y 值，该文中是这样的说明的：由于函数变形为方程时不是等价转化，故在考虑判别式的同时，还需对△=0进行检验，若对应的自变量在函数的定义域内，则y 值在值域内，否则舍去。
但在文2中例2中第2小题并没有对△=0进行检验，得出正确结果，这就使读者很困惑，究竟什么情况要检验，什么情况不进行检验呢？我认为有关形如y=fex dx c bx ax ++++22中分子分母都有公因式的处理方法第一种可以按例2中约去公因式的方法，这已经不是判别式法的范围之内，不在讨论之列，第二种处理方法仍然用判别式法，只不过在例1的解法基础上稍加改动即可，例3 求函数求函数y=63422-+++x x x x 的值域 解：由x 2+x-6≠0得x ≠2,x ≠-3∴函数的定义域为{x|x ∈R ，x ≠2,x ≠-3}由原函数变形得：（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0我认为在此之后应加上：关于．．x ．的方程（．．．．y ．-．1．）．x ．2．+(y ．．．-．4)x ．．．-．6y ．．-．3=0．．．有实数根且至少．．．．．．．有一根不为．．．．．2．且不为．．．-．3．（1）当y=1时，代入方程求得x= -3,而x ≠-3，因此y ≠1（2）当y ≠1时关于x 的方程（y-1）x 2+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程，可以验证x=-3为该方程的根，x=2不是该方程的根，因此只有两个根都为-3时不满足题意，其余都符合题意，因此只需△≠0，即可得出即可得出y ≠52 由上可知：原函数的值域为{y|y ≠1, y ≠52} 上述作题步骤也适用于分子分母没有公因式的情况，例4 求函数y=32122--+-x x x x 的值域 解：由已知得x ≠-1且x ≠3,将原函数化为（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0由题意得关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0有解且至少有一解不为3和-1（1）当y=1时，x= -4，∴y 可以取1（2）当y ≠1时，关于x 的方程（y-1）x 2-(2y-1)x-3y-1=0为一元二次方程， 显然可以验证x=3和x= -1不是该方程的解因此只需△≥0即可，以下过程略思考之三：该方法的适用范围不仅适用于分式形式，对于二次函数．．．．同样适用， 如：求函数y=x 2-3x+5的值域解：由已知得关于x 的方程x 2-3x+5-y=0有实数解,因此△≥0即（-3）2-4（5-y ）≥0∴y ≥411 ∴所求函数的值域为{y| y ≥411} 练习： 求函数322122+-+-=x x x x y 的值域。
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如何用判别式法求函数值域
用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。
一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。
本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。
一、判别式法求值域的理论依据
例1、 求函数1
22+--=x x x x y 的值域 象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。
解：由1
22+--=x x x x y 得： （y-1）x 2+(1-y)x+y=0 ①
上式中显然y ≠1,故①式是关于x 的一元二次方程
⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-+--=∴≠≤≤-≥∆---=∆13111,13
10)
1(4)1(222，x x x x y y y ，y y y 的值域为又解得令 为什么可以这样做？即为什么△≥0，解得y 的范围就是原函数的值域？
我们可以设计以下问题让学生回答：
1、 当x=1时，y=? (0) 反过来当y=0时，x=?（1）
当x=2时，y=? (32) 当y=3
2时，x=?（2） 以上y 的取值，对应x 的值都可以取到，为什么？
（因为将y=0和y=3
2代入方程①，方程的△≥0） 2、 当y=-1时，x=? 当y=2时，x=?
以上两个y 的值x 都求不到，为什么求不到？（因为将y 的值代入方程①式中△<0,所以无解）
3、 当y 在什么范围内，可以求出对应的x 值？
4、 函数1
22+--=x x x x y 的值域怎样求？ 若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。
二、判别式法求值域的适用范围
前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。
是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？
例2：求1
12322---=x x x y 的值域 从表面上看，此题可以用判别式法求值域。
由原函数得：（y-3）x 2+2x+(1-y)=0
△ =4-4（y-3）(1-y)≥0
即（y-2）2≥0 ∴y ∈R
但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。
问题出在哪里呢？
我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x-1）,因此原函数可以化简为)1(1
13≠++=x x x y ，用反函数法可求得3≠y ，又x ≠1代入可得y ≠2，故可求得原函数的值域为{}3,2,≠≠∈y y R y y 且。
:因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。
特别值得注意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x ≠1，故y ≠2。
例2、 求函数[])5,3(1
2352∈++-=x x x x y 的值域 此函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？ 由1
2352++-=x x x y 得：3yx 2+(2y-1)x+y+5=0 1）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y 可以取到0
2）当3y ≠0时，令△=(2y-1)2－4×3y (y+5)≥0 解得：4
258142581+-≤≤--y 由1）、2）可得原函数的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+---42581,42581 上面求得的值域对不对呢？显然y=173-在所求得的值域范围内，但当y=17
3-时，可求得x=2[]5,3∉，故了限定了自变量x 的取值范围的函数不能用判别式法求值域。
此题可用导数法求得原函数在区间[3，5]内单调递增，故函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
0,171。
综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：
1） 分子分母的最高次为二次的分式函数；（2）分子分母无公约数；（3）未限定自变量的取值范围。
最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形式，第二步一定要看变形后的二次项（x 2项）系数是否含有y ，若含有y ，则要分二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论。