函数值域的求法PPT课件
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2.3 函数的值域与.最值课件(北师大版必修一)
(2)由
⇒ab>0.
①0<a<b时，由(1)可知：x∈(0，＋∞)时，
f(x)max＝f(1)＝2，所以
≤2⇒a≥1，
即1≤a<b，由(1)可知：x∈[a，b]时f(x)递 减，
3x－x3＝ ⇒x4－3x2＋2＝0⇒x1＝1；x2 ＝ ，所以a＝1，b＝ .
②a<b<0时，由(1)可知：x∈(－∞，0)时 f(x)递增，
5 2
使用此法求解，该函数的值域为[ , ＋
∞) ．
8．求导法——当一个函数在定义域上可 导时，可根据其导数求最值，如y＝x3－
x，x∈[0,2]的值域为
．
9．数形结合法——当一个函数图象可作 [0，＋∞)
时，通过图象可求其值域和最值；或利 用函数所表示的几何意义，借助于几何
解析：本小题主要考 查正六棱柱的概念与 性质，以及函数的相 关知识，考查考生运 用导数知识解决实际 问题的能力． 设被切去的全等四边 形的一边为x，如图 所示，则正六棱柱的 底面边长为1－2x， 高为 x，
所以正六棱柱的体积
V＝6×
(1－2x)2×
x(0<x<
)，
化简得V＝ (4x3－4x2＋x)． 又V′＝ (12x2－8x＋1)， 或 x＝ .
3．当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数 的值域由函数的定义域及其对应法则唯 一确定． 4．当函数由实际问题给出时，函数的值 域由问题的实际意义确定．
四、求函数的值域是高中数学的难点， 它没有固定的方法和模式．常用的方法 有： [2，＋∞) 1．直接法——从自变量x的范围出发，推 出y＝f(x)的取值范围，如y＝(x≥3)的值域 为 ． (0，＋∞) 2．配方法——配方法是求“二次函数类” 值域的基本方法，形如F(x)＝af 2(x)＋ bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配 方法，如y＝4x＋2x的值域为 ．
求函数的最大(小)值与值域课件
D．(0,4)
解 析 ： 由 已 知 得 0≤16 － 4x ＜ 16,0≤ 16－4x＜ 16＝4，即函数 y＝
16－4x的值域是[0,4)．
答案：C
二、利用配方法和均值不等式 求函数的最值
例
2，求
y
x2
1 x2
9(x
0)
的最小值
解析： ； y x2 1 9(x 0) x2
2 (2)当函数 f(x)在(1，2)上单调时，求 a 的取值范围．
2
＝－
＝－
，
考点突 x 四 利用x 导数求最值
破 令 f′(x)＝0，解得 x＝1或 1. 2
当 x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上单调递
2
2
减；当 x∈(1，1)时，f′(x)>0， 2
四、 用换元法求最值
（2）求函数 y 2 4x x2
②解：令 t=4x x2 0 得 0x4 在此区间内 (4x x2) max =4 ，(4x x2 )min =0 ∴函数 y 2 4x x2 的值域是{ y| 0 y 2}
五、利用函数的单调性求最值
例 5、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f(x)满足
(ⅱ)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)min ＝f(b)，f(x)max＝f(a)；
(ⅲ)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上递增(减)，在区间[b， c]上递减(增)，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值为 f(b)．
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《新课程标准》中函数 求最值与值域的要求
.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替
高考数学复习考点知识讲解课件6 函数的定义域与值域
知识梳理 1．函数的定义域 (1)求定义域的步骤 ①写出使函数式有意义的不等式(组)． ②解不等式(组)． ③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
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(2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母_不___等__于__0__. ③偶次根式函数被开方式__大__于__或__等__于___0___. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)＝x0 的定义域为__{_x_|x_≠__0_}__． ⑥指数函数的定义域为____R______. ⑦对数函数的定义域为_(_0_，__＋__∞__)_．
0<2－x<1， ⇒x≠32
1<x<2， ⇒x≠32.
所以函数的定义域为1，32∪32，2.
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角度 2：求抽象函数的定义域 【例 2】 已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则 f(x)的定义域是___(1_,_3_)__． [思路引导] 由已知得 x∈(0,1)→求 2x＋1 的范围→得 f(x)的定义域．
2
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[解析] (1)要使原函数有意义，
－x2＋9x＋10≥0， 则x－1>0，
x－1≠1，
解得 1<x≤10 且 x≠2，所以函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－
lnx2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选 D．
(2)要使函数有意义，则log12 2－x>0， 2x－3≠0
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(2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母_不___等__于__0__. ③偶次根式函数被开方式__大__于__或__等__于___0___. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)＝x0 的定义域为__{_x_|x_≠__0_}__． ⑥指数函数的定义域为____R______. ⑦对数函数的定义域为_(_0_，__＋__∞__)_．
0<2－x<1， ⇒x≠32
1<x<2， ⇒x≠32.
所以函数的定义域为1，32∪32，2.
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角度 2：求抽象函数的定义域 【例 2】 已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则 f(x)的定义域是___(1_,_3_)__． [思路引导] 由已知得 x∈(0,1)→求 2x＋1 的范围→得 f(x)的定义域．
2
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[解析] (1)要使原函数有意义，
－x2＋9x＋10≥0， 则x－1>0，
x－1≠1，
解得 1<x≤10 且 x≠2，所以函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－
lnx2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选 D．
(2)要使函数有意义，则log12 2－x>0， 2x－3≠0
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第二讲 函数的定义域和值域的求解方法
第二讲 函数的定义域和值域的求解方法一、定义域的求解方法：(1)若()x f 为整式，则定义域为R ；(2)若()x f 是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合；(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合；(4)指数函数的定义域（也就是指数部分）为R ；（5）对数函数的定义域（真数部分）为R +；（6）幂函数的定义域要视指数的情况而定，如：2()f x x =与12()f x x =；(7)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合；（*）实际问题中，确定定义域要考虑实际问题例：1、求下列函数的定义域： （1）2322---=x x x y ； （2）x x y -⋅-=11； （3）x y --=113；（4）2253x x y -+-=； （5）()⎪⎩⎪⎨⎧--=x x x x f 23412、已知函数()x f 的定义域是[-3,0],求函数()1+x f 的定义域。
3、若函数()3123++-=mx mx x x f 的定义域是R ，求m 的取值范围。
练习：1.求下列函数的定义域：（1）()142--=x x f ； （2）()21432-+--=x x x x f（3）()x x f 11111++=； （4）()()x x x x f -+=01已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛++=342x f xf y 的定义域。
二、值域的求解方法：1、直接法：直接根据函数表达式来求值域。
例：4y x =， (2,3)x ∈2、单调性法：利用函数的单调性来求值域。
例：2y x =3、图象法：利用函数图象来求值域。
例：2y x =，2(2,5)y x x =∈-4、配方法：把函数化简成二次函数的形式，利用二次函数的性质来求。
例：221x x y x x -=-+5、判别式法：把式子化成一元二次方程的形式，利用判别式法来求。
《函数的定义域和值域》中职数学拓展模块5.1ppt课件2【语文版】
温馨提醒：函数表达式有意义的准则一般有：①分式中 的 分
母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；
④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R____． (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：
4ac－b2
【解析】(1)函数有意义需满足2x－ －x1＞ ＞00， ， 即 1＜x＜2，所以，函数的定义域为(1，2)．
0≤x2≤2
(2)由x＋1>0
，得
1＋lg（x＋1）≠0
－ 2≤x≤ x>－1 x≠－190
2 ，∴－1<x<－190或
－190<x≤ 2.故函数 g(x)的定义域为(－1，－190)∪(－190， 2]．
【解析】由 22xx－ －－＋xx11>≠≠≥1000，， ，，得xxx≥≠<－ 12，，1，
则－ x≠11≤，x<2，所以定义域是{x|－1≤x<1 或 1<x<2}．
2．(2014·山东济南模拟)若函数 y＝ax2＋ax2＋ax1＋3的定义域为
R，则实数 a 的取值范围是__[0_，__3_)__．
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
【解析】因为函数 y＝ax2＋ax2＋ax1＋3的定义域为 R， 所以 ax2＋2ax＋3＝0 无实数解， 即函数 y＝ax2＋2ax＋3 的图象与 x 轴无交点． 当 a＝0 时，函数 y＝3 的图象与 x 轴无交点； 当 a≠0 时，则 Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得 0<a<3. 综上所述，a 的取值范围是[0，3)．
高中数学课件 第2章 第2节 《函数的定义域和值域》
因此， 因此，g(x)min＝g(2)＝1－2a， ＝ － ， 而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a， － ＝ － － － ＝ － ， 故当0≤a≤ 故当 当 时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a； ＝ － ， ＝ － ；
＜a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a， 时 ＝ － ， ＝ ，
3.不等式法：借助于基本不等式a＋b≥2 不等式法：借助于基本不等式 ＋ 不等式法
(a>0，b>0)求数 ， 求数
的值域.用不等式法求值域时， 的值域 用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用 用不等式法求值域时 条件“一正、二定、三相等”. 条件 一正、二定、三相等 一正 4.单调性法：首先确定函数的定义域， 4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调 单调性法 性求函数的值域，常用到函数 ＝ ＋ 性求函数的值域，常用到函数y＝x＋ 增区间为(－ ，－ 增区间为 －∞，－ (0， ). ， ]和[ 和 (p>0)的单调性： 的单调性： 的单调性
＋∞)，减区间为 － ,0)和 ，减区间为(－ 和
[特别警示 (1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变 特别警示] 用换元法求值域时， 特别警示 用换元法求值域时 量的范围变化；用判别式求函数值域时， 量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变 量x是否属于 是否属于R. 是否属于 (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析，再取并集 分段函数的值域应分段分析，再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义 不论用哪种方法求函数的值域， 不论用哪种方法求函数的值域 域，这是求值域的重要环节. 这是求值域的重要环节
函数值域的求解方法
值域解法：
例1：求函数y=-x2+1在区间[-1,1]上的值域。
解：
（1）函数是闭区间上的连续函数，值域为闭区间[m,M]； （2）驻点为0，则最大值M=f(1)=1 （3）驻点左边区间递增，则f(-1)最小，驻点右边区间递减，
f(1)最小，则函数最小值m=min(f(-1),f(1))=0
函数值域的求解方式
小y主讲 2016年1月6日10:20:46
值域的定义：f(x)是定义在区间I上的函数，则集合{y|y=f(x),x∈I}就 是函数的值域。
值域解法：
求函数值域的方式很多，但无外乎三种情况。
1.闭区间上的连续函数，可以根据最大最小值定理，知道该函数的值域 是一个闭区间，求出闭区间的端点即可，可以用的方法有驻点（导数为0） 法求解。 2.开区间上的连续函数，与上述方式基本一样，但是需要求出区间两端 的收敛性，然后求得其值域。 3.如果函数的定义域有多个区间，可在每个区间上求出区间值域，然后 求各区间值域的并集求得函数的值域
所以，其值域为[0,1]
值域解法：
例2：求函数y=1/x在区间（的连续函数； （2）无驻点，函数在区间上递减，则值域是开区间（m,M）； （3）x
→ -1时，y → -1,则M=-1;x→0时，y→-∞，m=-∞；
所以，值域为（-∞，-1）
以上方法是求函数值域的一般方法，对特殊函数的值域还可以用： 1）换元法（复杂问题简单化）； 2）反解法（用y表示x反解含有y的不等式） 3）不等式法（用不等式的性质，是一种函数思想）； 4）图像法（代数问题几何化）； 5）分解转化法（是以上方法的综合）等途径解决。
求函数值域的方法 课件
例3.求函数 y x 2x 1 的值域.
练习3：求函数 f (x) x 1 2x的值域.
4.分离常数法：
例4.求函数 y 2x 3 的值域 x 1
练习4：求下列函数的值域
(1) y x 3 (2) y 2x 1
2x 5
x 1
5.反解法：当函数表达式中自变量易于解出时， 反解函数所示方程，进而得到值域.
求函数的值域的方法
例1.求下列函数的值域.
(1) y 4 9x2 , x [0, 2]
(2)
y
3x2 x2
5 1
3
1．不等式法.根据函数表达式特征，从函数自变
量的变化范围出发，充分利用不等式的运算性
质进行运算，直接得出函数值域的一种简单方
法.
练习1： 求函数 y 2 x 4 的值域。
例5.求函数
y
x2 x21 1来自的值域练习5：函数 y | x | 2 的值域 | x | 3
6．判别式法：它是反解法的一种特殊情形.当函 数可化为关于自变量的一元二次方程形式时，不 解出方程，而直接利用判别式来求解值域。
例6：求函数
y
x2 x2
x 1 x 1
的值域.
练习6：求函数 y
x 3
2.图象法：对于简单的函数可以画出函数的图 象，再根据图象观察得出函数的取值范围
例2.求下列函数的值域. (1)y=x2-2x-3 (2) y=x2-2x-3,x∈[-1，4]
(3) y x2 x 2 (4) y | x 1| | x 2 |
练习2：分别由下列条件求y=x2+2x-3的值域 (1)x∈R; (2) x∈[0,+∞); (3)x∈[-2,2] 3.换元法.
练习3：求函数 f (x) x 1 2x的值域.
4.分离常数法：
例4.求函数 y 2x 3 的值域 x 1
练习4：求下列函数的值域
(1) y x 3 (2) y 2x 1
2x 5
x 1
5.反解法：当函数表达式中自变量易于解出时， 反解函数所示方程，进而得到值域.
求函数的值域的方法
例1.求下列函数的值域.
(1) y 4 9x2 , x [0, 2]
(2)
y
3x2 x2
5 1
3
1．不等式法.根据函数表达式特征，从函数自变
量的变化范围出发，充分利用不等式的运算性
质进行运算，直接得出函数值域的一种简单方
法.
练习1： 求函数 y 2 x 4 的值域。
例5.求函数
y
x2 x21 1来自的值域练习5：函数 y | x | 2 的值域 | x | 3
6．判别式法：它是反解法的一种特殊情形.当函 数可化为关于自变量的一元二次方程形式时，不 解出方程，而直接利用判别式来求解值域。
例6：求函数
y
x2 x2
x 1 x 1
的值域.
练习6：求函数 y
x 3
2.图象法：对于简单的函数可以画出函数的图 象，再根据图象观察得出函数的取值范围
例2.求下列函数的值域. (1)y=x2-2x-3 (2) y=x2-2x-3,x∈[-1，4]
(3) y x2 x 2 (4) y | x 1| | x 2 |
练习2：分别由下列条件求y=x2+2x-3的值域 (1)x∈R; (2) x∈[0,+∞); (3)x∈[-2,2] 3.换元法.
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2x2+4x-7 练习：求函数y=x2+2x+3
的值域。
方法五：换元法(变形)：
例6：求下列函数的值域 y 5 x 3x 1
解 ： 令t 3x 1,则x 1（t 2 1) 3
且t 0,
y 5 1 (t 2 1) t 1 (t 3)2 65
例8：求函数 f x 1 x 1 x
的值域。
练习：1、求函数y=
4x x2+4
的值域
方法七、分段函数图象法
2x2 (0 x 1)
例9、函数f (x) 2 (1 x 2) 的值
A. R B. 0, C. 0,3 D. 0,2 3
方法二、分式分离常数法(或解x法)
例2 : 求函数 y 2x 1 的值域 x3
方法归纳：形如y=
cx+d ax+b
(a≠0)函数
的值域：
y
y
c a
,
且y
R
练习：求下列函数的值域：y 3x 5 2x 3
方法三、配方法(结合图像、单调性)：
例4：求函数y=x2+2x+5的值域。
练习：求函数 f (x) | x 1 | (x - 2)2 的值域。
值域逆向问题举例
1.函数
y
x2
3x
4
的定义域为
0,
m
,
值域为
25 4
,4,
求m的取值范围
解 :
y
x2
3x
4
x
3 2
2
25 4
25 4
m 3 2
又 ymax 4 f 0
万能的。要顺利解答求函数值域的问题，
必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点
选择求值域的方法，下面就常见问题进 行总结。
方法一、直接法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1.已知函数f(x)=2x－3, x∈{0,1,2,3,5}, 求f(x)的值域
练习1. 求函数
y
1 x
的值域。
2. 求函数 y 3 x 的值域。
函数值域的求法
明确：
函数的值域是由全体函数值所构成
函数的值域取决于定义域和对应关系, 不论用什么方法求函数的值域应先考虑 其定义域.
• 求函数值域方法很多，常用配方法、换 元法、判别式法、不等式法、反函数法、
图像法（数形结合法）、函数的单调性
法以及均值不等式法等。这些方法分别
具有极强的针对性，每一种方法又不是
方法归纳：形如y=ax2+bx+c（a≠0)的值域，
均可用此方法求。
练习（1）求y=-x2-2x+3(-5≤x ≤ -2)的值域。
（2）求 y= -x2+x+2 的值域。
方法四、判别式法：
例5：求函数y=
x2-x+3 x2-x+1
的值域。
方法归纳：形如y= aa12xx22++bb12xx++cc1（2 a1≠0或a2 ≠0) 的值域的求法。一般可用判别式△≥0求得。
注意逆向思 维
m 3
m的取值范围是
m
3, 2
3
3
3 2 12
3 2
0,
ymax
65 12
值 域 为( ，65] 12
归纳总结：形如y=ax+b± cx+d (a≠0,c ≠0)均可用代数换元法。
练习：求函数y=2x+ 1-2x 的值域。
方法六、函数单调性法 例7．求函数 y x 1 在区间 x 0,
x
上的值域。