函数的定义域与值域-课件

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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
9
易错警示
【例】已知函数f(x2－3)＝lg
x
x2 2
4
，求f(x)的定义域．
错解1
只需lg
x
x2 2
4
有意义，∴
x
x2 2
4
＞0，
∴x2－4＞0，∴x＞2或x＜－2. ∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
错解2 令x2－3＝t，则x2＝t＋3，
∴f(t)＝lg t 3 ，∴f(x)＝lg x 3 ，
.2
2
(4)不等式法 利用基本不等式：a＋b≥2 a b ，用此法求函数 值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”． 如利用a＋b≥2 a b 求某些函数值域(或最值)时 应满足三个条件： ①a>0，b>0；②a＋b(或ab)为定值； ③取等号条件a＝b， 三个条件缺一不可．
(5)函数的单调性法 确定函数在定义域(或某个定义域的子集) 上的单调性求出函数的值域，例如，
解： (1)∵f(x)的定义域是[0,1]， ∴要使f(x2)有意义，则必有0≤x2≤1，
解得－1≤x≤1， ∴f(x2)的定义域为[－1,1]．
(2)由0≤ x －1≤1，得1≤ x≤2. ∴1≤x≤4， ∴函数f(x －1)的定义域为[1,4]．
变式2－1
设f(x)＝lg 2
2
x x
，则f
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
解析：
①错，定义域为非空数集；
②错，值域为{y|y≠0}；③正确；
4ac b2
④错，a＞0时，ymin＝
4a
，
a＜0时，ymax＝ 4 a c b 2；
⑤错，因为定义域为[2,4]，所4 a 以值域为[0,8]．
4. 函数y＝ kx26xk8的定义域为R，
则k的取值范围是( B )
A. k≥0或k≤－9
链接高考
(2010·山东)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( A ) A. (0，＋∞) B. [0，＋∞) C. (1，＋∞) D. [1，＋∞)
知识准备： 1. 知道y＝3x的值域为(0，＋∞); 2. 知道y＝log2x是单调递增，并会画出它的图象； 3. 会利用单调性求值域．
解析： ∵3x＞0，∴3x+1＞1，令U=3x+1，则U＞1，
1 ≤1，
1 x2
经典例题
题型一 函数的定义域
【例1】(2010·湖北)函数y
1
的定义
域为( )
log0.54x 3
A.
3 4
,1
C. (1，＋∞)
B.
3 4
,
D.
3 4
,1
∪(1，＋∞)
解：
l4oxg0.53(4x,0解3得) 0＜x＜1，
3 4
故选A.
变式1－1
函数f(x)＝
B. k≥1
C. －9≤k≤1
D. 0<k≤1
解析：∵kx2－6x＋k＋8≥0恒成立，k≤0 显然不符，
∴
解得k≥1.
k0 364k(k8)0
5. 函数f(x)＝
1
1 x
2
(x∈R)的值域是(
C
)
A. [0,1] B. [0,1) C. (0,1] D. (0,1)
解析：∵1＋x2≥1，∴0＜ ∴y∈(0,1]．
f(x)＝ax＋ b (a>0，b>0)．当利用不等式法
x
等号不能成立时，可考虑用函数的单调性． (6)数形结合法 如果所给函数有较明显的几何意义， 可借助几何法求函数的值域，形如：y 2 y 1
x2 x1
可联想两点(x1，y1)与(x2，y2)连线的斜率．
(7)函数的有界性法
形如
y
1
sin x sin
t1
x1
∴f(x)的定义域只需lg x 3 有意义．
x1
∴
x x
3 1
＞0，∴x＜－3或x＞1.
∴f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
正解
要使f(x2－3)有意义应有
x
x2 2
＞0，即x2＞4，
4
令x2－3＝t，有f(t)＝lg t 3 . t1
∵x2＝t＋3＞4，∴t＞1.
∴函数f(x)＝lg x 3 的定义域是{x|x＞1}． x1
(4)零次幂的底数 不为零 ； (5)三角函数中的正切函数y=tan
x
{x
xk ,kZ}
2
；
(6)已知函数f(x)定义域为D,求函数f[g(x)]的定义域,只 需 g(x)∈D ；
(7)已知函数f[g(x)]定义域为D,求函数f(x)的定义域,只需要
求 g(x)的值域(x∈D) .
3. 求函数值域（最值）的常用方法： （1）基本函数法 对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解. （2）配方法 对于形如y=ax2+bx+c(a≠0)或 F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c](a≠0)类的函数的值域问题，均 可用配方法求解.
值，即ymax＝26，∴函数的值域为
2 1
3 2
,
2
6
.
.
(2)方法一：令 1 2 x ＝t(t≥0)，则x＝ 1 t 2 .
2
∴y＝1－t2－t＝－
t
1 2
2＋
5 4
.
∵二次函数对称轴为t＝－ 1 ，
2
∴y＝－
t
1 2
5
2＋ 4
在[0，＋∞)上是减函数，
∴ymax＝1.
∴函数有最大值1，无最小值，其值域为(－∞，1]．
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14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年2月27日星期 六2021/2/272021/2/272021/2/27
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
由y=log2U的单调性可知y＞0，
∴值域为(0，+∞)，故选A.
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 7:47:56 PM
A. (2，＋∞)
B. (1，＋∞)
C. [1，＋∞)
D. [2，＋∞)
B 解析：x－1＞0，得x＞1，故选B.
2. (教材改编题)下面是几个同学分别 画出的满足定义域为{x|－3≤x≤4， 且x≠2}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0} 的一个函数的图象，其中画正确的是
( A)
解析：B项中定义域，值域均不符；C项中定义域 满足，但值域不满足；D项中值域不满足，定义 域也不满足． 只有A项正确．
(3)换元法 利用代数或三角换元，将所给函数转化成易求
值域的函数，形如y＝
f
1 x
的函数，令f(x)＝t；
形如y＝ax＋b± cx d (a，b，c，d均为常数， ac≠0)的函数，令 cx d ＝t；形如 a2 x2 的结
构的函数，可利用三角代换，令x＝acos θ，
θ∈[0，π]或令x＝asin θ，θ∈
3. (教材改编题)下列说法正确有( B ) ①函数的定义域可以为空集；
8 ②函数y＝ x 的值域为R；
③一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域、值域均为R；
④函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值为 4 a c b 2 ；
4a
⑤函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的值域为{y|y≥－1}． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
x 2
＋f
2 x
的定义域为(
)
A. (－4,0)∪(0,4)
B. (－4，－1)∪(1,4)
来自百度文库
C. (－2，－1)∪(1,2) D. (－4，－2)∪(2,4)
B 解析：f(x)＝lg 2 x 的定义域为(－2,2)，
2 x
由
2
x2 2
2
22 x
解得－4＜x＜－1或1＜x＜4.
题型三 函数的值域
【例3】 求下列函数的值域． (1)y＝3x2－x＋2，x∈[－1,3]； (2)y＝2x－ 1 2 x .
解：(1)y＝3x2－x＋2＝3
x
1 6
2
＋23
13
.
∵对称轴x＝ 1 ∈[－1,3]，∴函数在x＝ 1 处
6
6
取得最小值，即ymin＝
2 1
3 2
.
结合函数的单调性知函数在x＝3处取得最大
方法二：∵y＝2x与y＝－ 1 2 x 均为定义域上
的增函数，
∴y＝2x－
1 2x
是定义域为
x
|
x
1 2
上的增函数，
∴ymax＝2×
1 2
－
1 2 1 2
＝1，无最小值．
∴函数的值域为(－∞，1]．
变式3－1
求下列函数的值域．
2x 1
(1)y＝ x ；3 (2)y＝ 1 ；
2 x x2
解析： (1 ) y2 x 12 x 6 727 x 3 x 3 x 3 7 0,y2 x3
∴值域为{y|y∈R且y 2}．
(2)∵2＋x－x2＝－ x
1 2
2＋9
4
≤
9 4
，
∴若2＋x－x2＜0，则y＜0；
若2＋x－x2＝0，则无意义；
若0＜2＋x－x2≤
9 4
，则y≥
4 9
，
∴函数的值域为(－∞，0)∪ ( 4 , ) .
A.
1 3
,
C.
1 3
,1
3x2
＋lg(3x＋1)的定义域是( B )
1 x
B.
1 3
,1
D.
,
1 3
解析：由
1
3
x
x0 1 0
解得－
1 3
< x<1.
题型二 复合函数的定义域
【例2】 已知函数f(x)的定义域为[0,1]， 求下列函数的定义域：
(1)f (x2)；(2)f ( x －1)．
第二节 函数的定义域与值域
基础梳理
1.在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,__集__合__A_ 叫 做函数的定义域, 集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.
2. 函数的定义域的常见求法 (1)分式的分母 不为零 ；
(2)偶次根式的被开方数 大于或等于零 ；
(3)对数的真数 大于零 ,底数大于零且不等于1；
x
，可用y表示出sin x，再根据
－1<sin x≤1，解关于y的不等式，可求y的取值范围． (8)导数法 设y＝f(x)的导数为f′(x)，由f′(x)＝0可求得极值点 坐标，若函数定义域为[a，b]，则最值必定为极值点 和区间端点中函数值的最大值和最小值．
基础达标
1. (2010·广东)函数f(x)＝lg(x－1)的定义域是( )