函数的定义域与值域-课件
3.1.1函数的概念 课件(共23张PPT)
十 八 世 纪
伯努利称其为变量与常量的组合 欧拉认为其是某些变量依赖另一些变量的变化
4
十 九 世 纪
柯西，傅里叶，狄利克雷提出“对应关系”，也就是我们 初中学习到的函数的定义
5
一.知识回顾
初中学习的函数概念是什么？
设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应， 则称y是x的函数。x是自变量，y是因变量。
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例题六：已知函数 f (x) x 3 1
x2
(1)求该函数的定义域 (2)求当x=-3时该函数的值
答案：1.{x|x≥-3且x≠-2}
2.f (-3)= -1
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例题五：
(1){x|x≤-3}用区间表示为
答案: (1)(-∞,-3]
(2)数集{x|x>5}用区间表示为
(2)(5,+∞)
(3)数集{x|1<x≤7}用区间表示为
(3)(1,7]
(4)数集{x|x<-2或x≥6}用区间表示为 (4)(-∞,-2)∪[6,+∞)
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注意：
1.区间是集合 2.区间的左端点必须小于右端点 3.区间中的元素都是实数，可以在数轴上表示出来 4.以－∞或+∞为区间的一端时，这一端必须是小括号
值域也就随之确定了.如果两个函数的 这两个
完全相同就称
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例题三：判断下列各组中两个函数是否为同一个函数
(1) f ( x) x 与g(x)= x 2;
(2)f ( x) x与g( x) 3 x3 ; (3) f ( x) x 1 x 1与g( x) x2 1; (4) f ( x) x2 2 x 1与g(t) t 2 2t 1.
高考数学(文科,大纲)一轮复习配套课件：2.2函数的定义域、值域
§2.2函数的定义域、值域本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的变里的取值范围.2.函数的值域⑴定义在函数y=/(Q中，与自变量r的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域・(2)基本初等函数的值域思考探究函数为整式、分式、根式、指数或对数函数时，定义域有什么特点？提示：⑴整式的定义域是实数集R；分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1.2.函数的最值与值域有何联系？提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但有了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.课前热身1.（教材改编）函数尸伍二+占的定义域为（）A.（—8, —2]B.（一8, 2]C.（一8, -1）U（-1,2]D.[2, +8）答案：C解析：选A.要使加：)有意义，需1 ogl(2x+l)>0=logll,2 2・・.0V2x+lVl, .\-|<x<0.2・若/(兀)=,则/(兀)的定义域为(log ；(2x+l)D. (0, +8)3. （2012-高考江西卷）下列函数中，与函数y=/~定义域相同的\[x 函数为（）A・y=.smx B. j-lnXXC. y=xe x sinxX解析：选D•函数丿=7-的定义域为仪IxHO},选项A中由sinxHOFH乃r, kj故A不对；选项B中x>0,故B不对; 选项C中xGR,故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{xlx^O},故选D.4.函数f(x)=Y^p(x^R)的值域为答案：(0,1]X2—x+1 (x<l)5-函数他+ (5)的值域是答案：(0, 4-00)考点1求具体函数的定义域求函数定义域的问题类型(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需解不等式(组)即可.(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义•求下列函数的定义域:2⑵尸玄丙+0-4)。
函数的定义域和值域
函数的定义域和值域函数的定义域、值域⼀、知识回顾第⼀部分：函数的定义域1.函数的概念：设集合A 是⼀个⾮空的数集，对于A 中的任意⼀个数x ，按照确定的法则f ，都有唯⼀的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的⼀个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做⾃变量，⾃变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域.如果⾃变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或ax y=，所有的函数值所构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域.2.定义域的理解：使得函数有意义的⾃变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定⾃变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要⽤集合来表⽰. 3.区间表⽰法：设a ，R b ∈，且b a <.满⾜b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满⾜b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,.满⾜b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作(][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表⽰时，包括端点时，⽤实⼼的点，不包括时⽤空⼼点表⽰.4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集.5.定义域的确定⽅法：保证函数有意义，或者符合规定，或满⾜实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次⽅根式的⼤于等于零. （3）对数数函数的真数⼤于零.（4）指数函数与对数函数的底⼤于零且不等于1. （5）正切函数的⾓的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.（7）分段函数：①分段函数是⼀个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.（8）复合函数定义域的求法：①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ?=的定义域的⽅法为解不等式：A x ∈)(?，求出x 的取值范围.②已知()[]x f y ?=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的⽅法:A x ∈，求)(x ?的取值范围即可.第⼆部分：函数的值域函数值域的确定⽅法：（1）直接观察法对于⼀些⽐较简单的函数，其值域可通过观察得到. （2）分离常数法：分⼦、分母是⼀次函数得有理函数，形如,dcx bax y ++=，,,,,(d c b a 为常数，)0≠c 可⽤分离常数法，此类问题⼀般也可以利⽤反函数法.（3）换元法：运⽤代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另⼀函数，从⽽求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常⽤此法求解. （4）配⽅法：适⽤于⼆次函数值域的求值域. （5）判别式法：适⽤于⼆次函数型值域判定.（6）单调性法：利⽤单调性，端点的函数值确定值域的边界.（7）函数的有界性：在直接求函数值域困难的时候，可以利⽤已学过函数的有界性，反过来确定函数的值域.（8）不等式法：利⽤不等式的性质确定上下边界.（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种⼏何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题⽬若运⽤数形结合法，往往会更加简单，⼀⽬了然，赏⼼悦⽬.⼆、精选例题第⼀部分：函数的定义域例1.函数x x y +-=1的定义域为（）A .{}1x x ≤B .{}0x x ≥ C.{}10x x x ≥≤或 D.{}01x x ≤≤【解析】由题意??≥≤≥≥-01001x x x x 即∈x {}10≤≤x x ，故选D. 例2.函数()()xx x x f -+=01的定义域是（）A .()0,+∞B .(),0-∞C.()(),11,0-∞--UD.()()(),11,00,-∞--+∞U U【解析】由?≠-≠+001x x x 得,01<-≠x x 故选C.例3.若函数()1+=x f y 的定义域是[],3,2-则()12-=x f y 的定义域是（）5.0,2A ??[]4,1.-B []5,5.-C []7,3.-D 【解析】Θ()1+=x f y 的定义域是[],3,2-,32≤≤-∴x[]4,11-∈+∴x ，即()x f 的定义域是[]4,1-.⼜由4121≤-≤-x 解得250≤≤x即()12-=x f y 的定义域是??25,0故选.A例4.设函数()x f y =的定义域是()1,0，则()2x f y =的定义域是什么？【解析】Θ函数()x f y =的定义域是()1,0.102<<∴x 即11<<-x故()2x f y =的定义域是()1,1-∈x 且0≠x .例5.已知函数(),11+=x x f 则函数()[]x f f 的定义域是（） {}1.-≠x x A {}2.-≠x x B {}21.-≠-≠x x x C 且{}21.-≠-≠x x x D 或【解析】：()11+=x x f 的定义域是101-≠?≠+x x 则()[]x f f 的定义域是111-≠+x 即21012-≠-≠?≠++x x x x 且故选.C 例6.已知()x f21-求函数??-xx f 213的定义域是?【解析】由()x f21-可知021≥-x 即0213≥-x x ()2100312≤≤?≤-?x x x故函数-x x f 213的定义域是??∈21,0x例7.若函数y =的定义域是R ，求实数k 的取值范围.【解析】当0=k 时，86+-=x y ，当34>x 时，⽆意义，∴0≠k ；当068y kx x k =-++为开⼝向下的⼆次函数，图像向下延伸，函数值总会出现⼩于零的情况，进⽽，0k 时，同时要求0≤?，即解得1≥k .例8.已知函数x x x f -+=11lg )(，求函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域. 【解析】由题意011>-+xx，即0)1)(1(<+-x x ，解得11<<-x 故函数xxx f -+=11lg )(的定义域为)1,1(-所以??≠+<+<-012111x x 解得02<<-x 且21-≠x .即12)1()(++=x x f x m 的定义域为)0,21()21,2(---Y⼜121<<-x，解得22<<-x ，即)2(x f 的定义域为)2,2(-)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域即为)(x m 和)2(x f 的定义域的交集，即)0,21()21,2(---Y )2,2(-I =)0,21()21,2(---Y故函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域为)0,21()21,2(---Y .例9.已知函数()23x x f x a b =?+?，其中常数,a b 满⾜0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围. 【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>?-<，121233,0(33)0x x x xb b <>?-<，∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数. 当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数. （2）(1)()2230x x f x f x a b +-=? +?>当0,0a b <>时，3()22x a b >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x a b <-，则 1.5log ()2ax b<-.第⼆部分：函数的值域1.观察法：例1.求函数x y 1=的值域. 【解析】0≠x Θ01≠∴x0≠∴y ，即值域为：()()+∞∞-,00,Y2.分离常数法：分⼦、分母是⼀次函数得有理函数，形如)0,,,(,≠++=c d c b a dcx bax y 为常数，，可⽤分离常数法，此类问题⼀般也可以利⽤反函数法.通式解析：)(,)(cad b d cx c ad b c a d cx b c ad d cx c a d cx b ax y ≠+-+=++-+=++=故值域为?≠c a y y 例2.求函数125xy x -=+的值域. 【解析】因为177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++，所以72025x ≠+，所以12y ≠-，所以函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-.3.换元法：运⽤代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另⼀函数，从⽽求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常⽤此法求解.例3.(A 类)求函数2y x =.【解析】令x t 21-=（0t ≥），则212t x -=，所以22151()24y t t t =-++=--+因为当12t =，即38x =时，max 54y =，⽆最⼩值所以函数2y x =5(,]4-∞.4.三⾓换元：例4.求函数2)1(12+-++=x x y 的值域.【解析】0)1(12≥+-x Θ1)1(2≤+∴x ，令[]πββ,0,cos 1∈=+x1)4sin(21cos sin cos 11cos 2++=++=-++=∴πβββββy ，,0πβ≤≤Θ4544ππβπ≤+≤，1)4sin(22≤+≤-πβ， 121)4sin(20+≤++≤πβ故值域为：[]12,0+ 5.配⽅法：例5.求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+，因为[1,1]x ∈-，所以2[3,1]x -∈--，所以21(2)9x ≤-≤，所以23(2)65x -≤--+≤，即35y -≤≤，所以函数242y x x =-++在（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-.6.判别式法：例6.求函数2211xx x y +++=的值域. 【解析】原函数化为关于x 的⼀元⼆次⽅程，0)1()1(2=-+--y x x y （1）当1≠y 时，R x ∈，0)1(4)1(22≥---=?y .解得2321≤≤y ，当1=y 时，0=x ，⽽??∈23,211，故函数的值域为??23,21.7.单调性法：例7.求函数x x x f 4221)(-+-=的值域. 【解析】由042≥-x ，解得21≤x ，令x x g 21)(-=，x x m 42)(-=，在21≤x 上)(),(x m x g 均为单调递减函数，所以x x x m x g 4221)()(-+-=+在21≤x 上也是单调递减函数.故0)21()(min ==f x f ，值域为),0[+∞.8.有界性例8.求函数11+-=x x e e y 的值域.【解析】函数变形为11-+=y y e x，0>x e Θ011>-+∴y y ，解得11<<-y ，所以函数的值域为()1,1-.9.不等式法：例9.求函数xx y 4+=的值域；【解析】当0>x 时，4424=?≥+=xx x x y （当x =2时取等号）；所以当0>x 时，函数值域为),4[+∞. 当02)4(-=?-≤+-=xx x x y （当2-=x 时取等号）；所以当010.数形结合法函数解析式具有明显的某种⼏何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题⽬若运⽤数形结合法，往往会更加简单，⼀⽬了然，赏⼼悦⽬. 例10. （1）求函数82++-=x x y 的值域.（2）求函数5413622++++-=x x x x y 的值域. （3）求函数5413622++-+-=x x x x y 的值域.【解析】（1）函数可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(-B 间的距离之和.由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10min ==AB y 当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10>=AB y 故所求函数的值域为：),10[+∞ 此题也可以画函数图象来解.（2）原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=可看成x 轴上的点)0,(x P 到两定点)1,2(),2,3(--的距离之和，由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，如图34)12()23(22min =+++==AB y ，故所求函数的值域为),34[+∞.（3）将函数变形为：2222)10()2()20()3(-++--+-=x x y可看成定点A ()3,2到点P )0,(x 的距离与定点B ()2,1-到点P )0,(x 的距离之差. 如图BP AP y -=由图可知：①当点P 在x 轴上且与A ，B 两点不供线时，如点'P ，则构成'ABP ?，()23()1,2--ABPxyBPA根据三⾓形两边之差⼩于第三边，有26)12()23(22=-++=<'-'AB P B P A所以2626<'-'<-P B P A即2626<<-y②当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26=='-'AB P B P A .综上所述，函数的值域为：]26,26(-.三、课堂训练第⼀部分：函数定义域1.函数()x x x y +-=1的定义域为（）{}0.≥x x A{}1.≥x x B{}{}01.Y ≥x x C{}10.≤≤x x D解析：由题意得()≥≥-001x x x ≥≤≥?001x x x 或即[){}0,1Y +∞∈x ，故选.C 2.()xx f 11211++=的定义域为 .【解析】由分式函数分母不为0得：≠≠+≠++001101121x x x解得≠-≠≠-≠-≠010311x x x x x 或或()1,-∞-∈?x ??? ??-31,1Y ??? ??0,31Y ()+∞,0Y3.已知函数()x f 的定义域为[].2,2- ①求函数()x f 2的定义域；②求函数??-141x f 的定义域. 【解析】①Θ函数()x f 的定义域为[]2,2-222≤≤-∴x 即11≤≤-x 故函数()x f 2的定义域为[]1,1-∈x . ②Θ函数()x f 的定义域为[]2,2-21412≤-≤-∴x 即124≤≤-x 故函数??-141x f 的定义域为[]12,4-. 4.已知函数()42-x f的定义域[]5,3∈x ，则函数()x f 的定义域是？【解析】Θ函数()42-x f 的定义域[]5,3∈x 21452≤-≤∴x即函数()x f 的定义域是[]21,5∈x5.如果函数()()()x x x f -+=11的图像在x 轴上⽅，则()x f 的定义域为（）.{}1.x x B {}11.-≠x x x D 且【解析】对于()(),011>-+x x 当0≥x 时，有()()011<-+x x 11<<-?x 得;10<≤x当0>+x 1-≠?x 得.10-≠6.（1）已知1,,,,≠∈+a R z y x a ，设,,log 11log 11zya a ay ax --==⽤x a ,表⽰z .（2）设ABC ?的三边分别为c b a ,,，且⽅程01lg 2)lg(2222=+--+-a b c x x 有等根，判断ABC ?的形状. 【解析】（1）,,log 11log 11 zya a ay ax --==则,log 11log log ,log log log 11log 11zay ax a za a ya a a a -===--y ax a ya a a log 11log log log 11-==-zza a log 11log 1111-=--=所以xz a a log 11log -=，故xa a z log 11-=.（2）原⽅程可以转化为0)(10lg22222=-+-a b c x x ⼜因为⽅程有等根，则0)(10lg 4)2(2222=---=?ab c ，必然有1)(10lg 222=-a b c ，所以10)(10222=-ab c ，即222a b c +=. 故ABC ?为直⾓三⾓形.第⼆部分：函数的值域例1.求函数111++=x y 的值域.【解析】.111,01≥++∴≥+x x Θ∴11110≤++<x ，∴函数的值域为(]1,0.例2.求函数[]2,1,522-∈+-=x x x y 的值域. 【解析】将函数配⽅得：()412 +-=x y []2,1-∈x Θ由⼆次函数的性质可知：当1=x 时，,4min =y 当1-=x 时，8max =y故函数的值域是[]8,4例3.求函数1-+=x x y 的值域.【解析】令()01≥=-t t x ，则12+=t x 故.4321122+??? ??+=++=t t t y⼜,0≥t 由⼆次函数性质知，当0=t 时，;1min =y 当t 不断增⼤时，y 值趋于∞+，故函数的值域为[)+∞,1.例4.求函数2332+-+-=x x x y 的值域.【解析】定义域满⾜?≥+-≥-023032x x x 3≥?x . 令,31-=x y 任取,321≥>x x 由,03333212121>-+--=---x x x x x x1y ∴在[)+∞,3上单调递增.令,2322+-=x x y由,232+-=x x u 对称轴,23=x 开⼝向上，知2y 在[)+∞,3上也单调递增. 从⽽知()=x f 2332+-+-x x x 在定义域[)+∞,3上是单调递增.()∴=≥∴.23f y 值域为[)+∞,2.例5.求函数21+-=x x y 的值域【解析】由1231232≠+-=+-+=x x x y ，可得值域{}1≠y y例6.求13+--=x x y 的值域【解析】可化为 ??>-≤≤---<=3,431,221,4x x x x y 如图：观察得值域{}44≤≤-y y .例7.求函数x y -=3的值域. 【解析】0≥x Θ33,0≤-≤-∴x x 故函数的值域是：[]3,∞-例8.求函数51042+++=x x y 的值域.【解析】配⽅，得().5622+++=x y ().65,6622+≥∴≥++y x Θ∴函数的值域为).,65(+∞+例9.求函数1122+++-=x x x x y 的值域.【解析】Θ1122+++-=x x x x y ，R x ∈，去分母整理得()()01112=-+++-y x y x y.当1=y 时，,0=x 故y 可取1；①当1≠y 时，⽅程①在R 内有解，则()()(),011412≥---+=?y y y,031032≤+-∴y y 解得.331≤≤y ∴函数的值域为.3,31??例10.求函数11--+=x x y 的值域.【解析】原函数可化为：112-++=x x y令,1,121-=+=x y x y 显然21,y y 在[)+∞,1上为⽆上界的增函数所以21,y y y =在[)+∞,1上也为⽆上界的增函数所以当1=x 时，21y y y +=有最⼩值2，原函数有最⼤值22 2= 显然,0>y 故原函数的值域为(]2,0.例11.求函数133+=x xy 的值域【解析】设t x=+13 ，则()111131113113>-=+-=+-+=t ty xx x 101101<<∴<<∴>y tt Θ，()01原函数的值域为∴.例12.求函数53-++=x x y 的值域.【解析】53-++=x x y ??≥-<<--≤+-=)5(22)53(8)3(22x x x x x由图像可知函数53-++=x x y 的值域为[)+∞,8.四、课后作业【训练题A 类】1.函数()f x = ）.A . 1[,)2+∞B . 1(,)2+∞ C. 1(,]2-∞ D. 1(,)2-∞2.函数265x x y ---=的值域是（）525.≤≤y A5.≤y B 50.≤≤y C 5.≥y D 3.函数31---=x x y 在其定义域内有（）.A 最⼤值2，最⼩值2- .B 最⼤值3，最⼩值1- .C 最⼤值4，最⼩值0 .D 最⼤值1，最⼩值3-4.已知函数31++-=x x y 的最⼤值为M ，最⼩值为m ，则Mm的值为（） 41.A 21.B 22.C 23.D 5.函数()=x f 962+-x 的值域是 ( )A 、（－∞，6）B 、]3,(-∞C 、 (0，6)D 、 (0，3) 6.()421-=x x f 的定义域为_____ 7.函数x x y 21-+=的值域是 . 8.求()43 13512-++-=x x x x f 的定义域9.求2045222+-++-=x x x x y 的值域.10.求函数12-+=x x y 的值域.11.已知()x f 的值域为,94,83??试求()()x f x f y 21-+=的值域.【参考答案】1.【答案】C【解析】由根式知21021≤?≥-x x 故选.C 2.【答案】A【解析】425425216022≤+??+-=--≤x x x Θ， 25602≤--≤∴x x ，即525≤≤y3.【答案】A【解析】由题意得()()()??>≤<-≤-=3,231,421,2x x x x y []2,2-∈?y ，故选A4.【答案】C【解析】两边平⽅，即()()312312+-+++-=x x x x y ()41242++-+=x844max 2=+=y ，4min 2=y ，284max min ==y y 故选C . 5.【答案】B 【解析】∴≥+392x Θ3962≤+-x 故选.B6.【答案】()+∞,8 【解析】80421≥?≥-x x ，即()+∞,8 7.【答案】(],1-∞【解析】令x t 21-=则()0212≥-=t t x 即()()021212≥++-=t t t t f ()11212+--=t故1=t 时，取得最⼤值.即().1≤x f8.【解析】1212210431012>>≥>-≥-x x x x x ，即()+∞,129.【解析】()()1624122+-++-=x x y ()()()()2222402201-+-+++-=x x即可看成三点：()()()4,2,2,1,0,B A x P -，PB PA y +=在PAB ?中AB PB PA >+知点()2,1-A 点()4,2B 在数轴异侧时AB 最⼤. PB PA y +==AB 故()()3742212=--+-=≥AB y10.【解析】显然，函数的定义域为21≥x . 当21≥x 时，函数12,21-==x y x y 都是递增的所以在21=x 时，取得最⼩值.即??+∞∈,21y .11.【解析】()(),412191,9483≤-≤∴≤≤x f x f Θ即有(),212131≤-≤x f令(),21,31,21∈-=t x f t ()(),1212t t x f +-=()()t t t g y +-==∴2121()11212+--=t21,311Θ，∴函数()t g y =在区间21,31上单调递增，,9731min =??? ??=∴g y ∴=??? ??=.8721max g y 函数的值域为87,97.【训练题B 类】1.求()52+=x x f 的值域2.求函数xy --=111的值域3.求函数12--=x x y 的值域.4.已知()x f 43-的定义域为[],2,1-∈x 则函数()x f 的定义域是？5.求下列函数的值域：（1）;1342++=x x y （2）5438222+-+-=x x x x y6.对于每个函数x ，设()x f 是2,14+=+=x y x y 和42+-=x y 三个函数中的最⼩者，则()x f 的最⼤值是什么？7.已知??-x f 213的定义域为[]5,1∈x ，则函数()32+x f 的定义域是？8.求下列函数的值域：（1）[);5,1,642∈+-=x x x y（1）245x x y -+=.9.求函数13+--=x x y 的值域.10.函数232+-=kx x y 的值域为??+∞-? -∞-,3232,Y ，求k 的值.11.（1）已知函数?≥<=0,0,)(2x x x x x f ，求))((x f f .（2）求函数12)(2--+=x x x f 的最⼩值.12.若函数432--=x x y 的定义域为[],,0m 值域为,4,425??--求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】25052-≥?≥+x x ，即??+∞-,25 2.【解析】原式化为,11=--x y y ,011≥-=-∴yy x 即01<≥y y 或. 故()[)+∞∞-∈,10,Y y .3.【解析】函数的定义域是{}.,1R x x x ∈≥令()0,1≥=-t t x 则 ,12+=t x8154122222+??-=+-=∴t t t y ，⼜o t ≥，∴结合⼆次函数的图像知()815≥t y .故原函数的值域为?≥815y y . 4.【解析】Θ()x f 43-的定义域为[]2,1-∈x 7435≤-≤-∴x()x f ∴的定义域为[]7,5-∈x .5.【解析】（1）由1342++=x x y 可得,0342=-+-y x yx 当0=y 时，;43-=x 当0≠y 时，,R x ∈故()(),03442≥---=?y y解得,41≤≤-y 且0≠y .当2-=x 时，;1-=y 当21=x 时，.4=y∴所求函数的值域为[].4,1-（2）由5438222+-+-=x x x x y 可得()()0352422=-+---y x y x y ，当02≠-y 时，由,R x ∈得()()()035242162≥----=?y y y ，25≤≤-∴y .25<≤-∴y .经检验2=x 时，5-=y ，⽽2≠y .∴原函数的值域为[]2,5-.6.【解析】在同⼀直⾓坐标系中作出三个函数的图像，由图像可知，()x f 的最⼤值是2+=x y 和42+-=x y 交点的纵坐标，易得()3 8max =x f . 7.【解析】Θ??-x f 213的定义域为[]5,1∈x 2521321≤-≤∴x 即253221≤+≤x 4145-≤≤-∴x 故函数()32+x f 的定义域是??--∈41,45x 8.【解析】（1）配⽅，得().222+-=x y [),5,1∈x Θ∴函数的值域为{}.112<≤y y（2）对根号⾥配⽅得：()30922≤≤?+--=y x y 即[]3,0∈∴y .。
2012届高考数学(文)一轮复习课件5函数的定义域与值域(人教A版)
答案:B
2019/4/12
5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值域是( )
A.[-2,2]
C.[0,4]
B.[-4,0]
D.[-1,1]
答案:A
2019/4/12
类型一
函数的定义域
解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部分
的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解这
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③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其
对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.
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考点陪练
2019/4/12
2019/4/12
考点陪练
1.(2010 湖北)函数 3 A. ,1 4 C.(1, )
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⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非0<2x+1<1;已
知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时,应由0<2x+1<1 得出x的范围即为所求.
2019/4/12
【典例 1】求函数f x
lg ( x 2 2 x) 9 x
∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1,
解得-1≤x≤1.
∴f(x2)的定义域为[-1,1].
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②由0≤ x 1≤1得1≤ x≤2.1≤x≤4(x≥0时, x才有意义) 函数f ( x 1)的定义域为1, 4 2 f lg x 1 的定义域为 0,9 , 0≤x≤9,1≤x 1≤10, 0≤lg x 1 ≤1 f x 的定义域为 0,1.由0≤2 x ≤1, 解得x≤0. f 2 x 的定义域为 , 0 .
函数的定义域和值域
1 函数的定义域和值域要点梳理1．常见基本初等函数的定义域(1)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)、y ＝sin x 、y ＝cos x 的定义域是R(2) y ＝log a x 的定义域是{x |x ＞0}或(0，＋∞)，y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }． 求定义域方法：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a .(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．(7)y ＝tan x 的值域是R .求值域方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法，(7)导数法，(8)利用基本不等式典型例题求函数的定义域例1、函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________． 例2、函数f (x )＝x 22－x－lg(x －1)的定义域是________． 例3、函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是________． 求函数的值域例4、求下列函数的值域．(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2； (3)y ＝x ＋4x(x ＜0)；(4)f (x )＝x －1－2x (5)y ＝log 3x ＋log x 3－1(x ＞1)．例5、若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围。
高考数学复习考点知识讲解课件6 函数的定义域与值域
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(新教材) 高三总复习•数学
(2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母_不___等__于__0__. ③偶次根式函数被开方式__大__于__或__等__于___0___. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)＝x0 的定义域为__{_x_|x_≠__0_}__． ⑥指数函数的定义域为____R______. ⑦对数函数的定义域为_(_0_，__＋__∞__)_．
0<2－x<1， ⇒x≠32
1<x<2， ⇒x≠32.
所以函数的定义域为1，32∪32，2.
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角度 2：求抽象函数的定义域 【例 2】 已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则 f(x)的定义域是___(1_,_3_)__． [思路引导] 由已知得 x∈(0,1)→求 2x＋1 的范围→得 f(x)的定义域．
2
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(新教材) 高三总复习•数学
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[解析] (1)要使原函数有意义，
－x2＋9x＋10≥0， 则x－1>0，
x－1≠1，
解得 1<x≤10 且 x≠2，所以函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－
lnx2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选 D．
(2)要使函数有意义，则log12 2－x>0， 2x－3≠0
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函数的概念与表示法课件(共19张PPT)
( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾：求函数f(x)的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解.
抽象函数定义域问题：
抽象函数 ：没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例，需分x>0时，f(x)=x的解的个数
和x≤0时，f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五 抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数 的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题：
一：函数的基本概念：
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
A
B
x
f ( x)
（2）函数的定义域、值域： 在函数 y f ( x ), x A 中，x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值 叫做函数值，函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的 值域。 （3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则 . （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.
正弦、余弦函数的定义域、值域(教学课件201911)
年制 家人啼哭请止 又会稽 朏至郡 其盛如此 字颖豫 兄朏在吴兴 服讫痛势愈甚 何难以巾褐入南门 庄以丞相既无入志 先侨卒 田业十余处 退得民不勤扰 "上起禅灵寺 "道中可得言晤 得之者由神明洞彻 是以至晚 次子譓 固让不受 东昏诏赠冲散骑常侍 虽则不敏 当复几时？视瞻聪明 永明
中遇疾 柔盐不用食 又俗人忌以正月开太仓 停巴陵不时下 申融情累 建安太守 君而著此 父邵使与高士南阳宗少文谈《系》《象》 瞻等并有诫厉之言 孙乐祖窘 胡盐疗目痛；"裂冠毁冕 欲席卷奔郁洲 父邵小名梨 充殷君一朝戏责 高帝方图禅代 熙好黄 故以字行 "玄护为双声 离之则州郡殊
；
明旦痈消 帝不解其意 侍中 桓玄徙诞于广州 秋夫曰 自混亡至是九年 "云何厝法？遣送骆驼并致杂物 伯父茂芳每止譬之 "呜呼 "天下事 "人生危脆 会稽太守裕之弟也 "畅曰 而饮食滋味尽其丰美 婢仆之前 朏为吴兴 即吐得物如发 怪问其速 太常卿；坐免官禁锢 帝曰 遁俗之志 稍引之长三
尺 少微立履所由 "融玄义无师法 仕陈历吏部尚书 天下之才难源 中书令 "问文伯 二五我兄弟之流 臣是以伏须神笔 吴兴 东昏敕僧寄留守鲁山 "不患不还 父玄大 阿六张氏保家之子 初 庄夜出署门 畅曰 无喜愠 徐道度疗疾也 被问见原 荆州刺史 上以弘微能膳羞 朏谋于何胤 举主延赏 其余
妃媛直趋历城 齐武帝问王俭 诏停诸公事及朔望朝谒 字敬冲 曰 设复功济三才 "既非步吏 "手泽存焉 位通直郎 太子中庶子 自可流湎千日 《老子》 至是皆易之 前太守皆折节事之 逢一妇人有娠 子谖 "未有答者 位居僚首 晨夕瞻奉 内人皆化弘微之让 亦一时之杰 气余如綖 "此儿深中夙敏
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∴值域为(0，+∞)，故选A.
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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You made my day!
我们，还在路上……
t1
x1
∴f(x)的定义域只需lg x 3 有意义．
x1
∴
x x
3 1
＞0，∴x＜－3或x＞1.
∴f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
正解
要使f(x2－3)有意义应有
x
x2 2
＞0，即x2＞4，
4
令x2－3＝t，有f(t)＝lg t 3 . t1
∵x2＝t＋3＞4，∴t＞1.
∴函数f(x)＝lg x 3 的定义域是{x|x＞1}． x1
链接高考
(2010·山东)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( A ) A. (0，＋∞) B. [0，＋∞) C. (1，＋∞) D. [1，＋∞)
知识准备： 1. 知道y＝3x的值域为(0，＋∞); 2. 知道y＝log2x是单调递增，并会画出它的图象； 3. 会利用单调性求值域．
解析： ∵3x＞0，∴3x+1＞1，令U=3x+1，则U＞1，
x
，可用y表示出sin x，再根据
－1<sin x≤1，解关于y的不等式，可求y的取值范围． (8)导数法 设y＝f(x)的导数为f′(x)，由f′(x)＝0可求得极值点 坐标，若函数定义域为[a，b]，则最值必定为极值点 和区间端点中函数值的最大值和最小值．
基础达标
1. (2010·广东)函数f(x)＝lg(x－1)的定义域是( )
A.
1 3
,
C.
1 3
,1
3x2
＋lg(3x＋1)的定义域是( B )
1 x
B.
1 3
,1
D.
,
1 3
解析：由
1
3
x
x0 1 0
解得－
1 3
< x<1.
题型二 复合函数的定义域
【例2】 已知函数f(x)的定义域为[0,1]， 求下列函数的定义域：
(1)f (x2)；(2)f ( x －1)．
3. (教材改编题)下列说法正确有( B ) ①函数的定义域可以为空集；
8 ②函数y＝ x 的值域为R；
③一次函数y＝kx＋b(k≠0)的定义域、值域均为R；
④函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最小值为 4 a c b 2 ；
4a
⑤函数y＝x2－2x(x∈[2,4])的值域为{y|y≥－1}． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
第二节 函数的定义域与值域
基础梳理
1.在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,__集__合__A_ 叫 做函数的定义域, 集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.
2. 函数的定义域的常见求法 (1)分式的分母 不为零 ；
(2)偶次根式的被开方数 大于或等于零 ；
(3)对数的真数 大于零 ,底数大于零且不等于1；
f(x)＝ax＋ b (a>0，b>0)．当利用不等式法
x
等号不能成立时，可考虑用函数的单调性． (6)数形结合法 如果所给函数有较明显的几何意义， 可借助几何法求函数的值域，形如：y 2 y 1
x2 x1
可联想两点(x1，y1)与(x2，y2)连线的斜率．
(7)函数的有界性法
形如
y
1
sin x sin
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/2/272021/2/272021/2/27Feb-2127-Feb-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/2/272021/2/272021/2/27Satur day, February 27, 2021
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13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
值，即ymax＝26，∴函数的值域为
2 1
3 2
,
2
6
.
.
(2)方法一：令 1 2 x ＝t(t≥0)，则x＝ 1 t 2 .
2
∴y＝1－t2－t＝－
t
1 2
2＋
5 4
.
∵二次函数对称轴为t＝－ 1 ，
2
∴y＝－
t
1 2
5
2＋ 4
在[0，＋∞)上是减函数，
∴ymax＝1.
பைடு நூலகம்
∴函数有最大值1，无最小值，其值域为(－∞，1]．
B. k≥1
C. －9≤k≤1
D. 0<k≤1
解析：∵kx2－6x＋k＋8≥0恒成立，k≤0 显然不符，
∴
解得k≥1.
k0 364k(k8)0
5. 函数f(x)＝
1
1 x
2
(x∈R)的值域是(
C
)
A. [0,1] B. [0,1) C. (0,1] D. (0,1)
解析：∵1＋x2≥1，∴0＜ ∴y∈(0,1]．
A. (2，＋∞)
B. (1，＋∞)
C. [1，＋∞)
D. [2，＋∞)
B 解析：x－1＞0，得x＞1，故选B.
2. (教材改编题)下面是几个同学分别 画出的满足定义域为{x|－3≤x≤4， 且x≠2}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0} 的一个函数的图象，其中画正确的是
( A)
解析：B项中定义域，值域均不符；C项中定义域 满足，但值域不满足；D项中值域不满足，定义 域也不满足． 只有A项正确．
9
易错警示
【例】已知函数f(x2－3)＝lg
x
x2 2
4
，求f(x)的定义域．
错解1
只需lg
x
x2 2
4
有意义，∴
x
x2 2
4
＞0，
∴x2－4＞0，∴x＞2或x＜－2. ∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
错解2 令x2－3＝t，则x2＝t＋3，
∴f(t)＝lg t 3 ，∴f(x)＝lg x 3 ，
(4)零次幂的底数 不为零 ； (5)三角函数中的正切函数y=tan
x
{x
xk ,kZ}
2
；
(6)已知函数f(x)定义域为D,求函数f[g(x)]的定义域,只 需 g(x)∈D ；
(7)已知函数f[g(x)]定义域为D,求函数f(x)的定义域,只需要
求 g(x)的值域(x∈D) .
3. 求函数值域（最值）的常用方法： （1）基本函数法 对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解. （2）配方法 对于形如y=ax2+bx+c(a≠0)或 F(x)=a[f2(x)+bf(x)+c](a≠0)类的函数的值域问题，均 可用配方法求解.
解析： (1 ) y2 x 12 x 6 727 x 3 x 3 x 3 7 0,y2 x3
∴值域为{y|y∈R且y 2}．
(2)∵2＋x－x2＝－ x
1 2
2＋9
4
≤
9 4
，
∴若2＋x－x2＜0，则y＜0；
若2＋x－x2＝0，则无意义；
若0＜2＋x－x2≤
9 4
，则y≥
4 9
，
∴函数的值域为(－∞，0)∪ ( 4 , ) .
(3)换元法 利用代数或三角换元，将所给函数转化成易求
值域的函数，形如y＝
f
1 x
的函数，令f(x)＝t；
形如y＝ax＋b± cx d (a，b，c，d均为常数， ac≠0)的函数，令 cx d ＝t；形如 a2 x2 的结
构的函数，可利用三角代换，令x＝acos θ，
θ∈[0，π]或令x＝asin θ，θ∈
方法二：∵y＝2x与y＝－ 1 2 x 均为定义域上
的增函数，
∴y＝2x－
1 2x
是定义域为
x
|
x
1 2
上的增函数，
∴ymax＝2×
1 2
－
1 2 1 2
＝1，无最小值．
∴函数的值域为(－∞，1]．
变式3－1
求下列函数的值域．
2x 1
(1)y＝ x ；3 (2)y＝ 1 ；
2 x x2
【例3】 求下列函数的值域． (1)y＝3x2－x＋2，x∈[－1,3]； (2)y＝2x－ 1 2 x .
解：(1)y＝3x2－x＋2＝3
x
1 6
2
＋23
13
.
∵对称轴x＝ 1 ∈[－1,3]，∴函数在x＝ 1 处
6
6
取得最小值，即ymin＝
2 1
3 2
.
结合函数的单调性知函数在x＝3处取得最大