函数三要素求法小结PPT演示文稿
第8讲函数的三要素
第8讲函数的三要素函数的三要素是指函数的定义、函数的参数和函数的返回值。
这三个要素是函数的基本组成部分，决定了函数的行为和功能。
1.函数的定义：函数是一段封装了特定功能的代码块，用于实现特定的任务。
函数的定义包括函数名、参数列表、返回类型和函数体。
函数名是用来唯一标识函数的名称，可以根据函数的功能来命名函数名，通常使用驼峰命名法。
参数列表是函数用来接收外部传入数据的部分。
参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。
返回类型是函数执行完任务后返回的数据类型。
返回类型可以是任意有效数据类型，可以是基本数据类型、数组、结构体等。
函数体是函数的具体实现逻辑。
函数体中包含了一组语句，用来实现函数的功能。
函数的定义示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例定义了一个函数名为add的函数，该函数有两个参数a和b，返回类型为int。
函数的功能是计算a和b的和，并将结果返回。
2.函数的参数：函数的参数是函数定义中的一部分，用来接收外部传入的数据。
函数的参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。
函数可以通过参数来获取外部传入的数据，并在函数体中使用这些数据进行计算或逻辑操作。
函数的参数可以分为两种类型：值传递和引用传递。
值传递是指将参数的值复制给函数内部的局部变量，函数内部对参数的修改不会影响外部变量的值。
引用传递是指将参数的地址传递给函数内部的指针变量，函数内部可以通过指针修改外部变量的值。
函数的参数示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例中的add函数有两个参数a和b，都是int类型的。
在函数体内，使用a和b进行计算，并将结果返回。
3.函数的返回值：函数的返回值是函数执行完任务后返回的数据。
函数可以根据实际需要选择是否返回值，以及返回的数据类型。
函数三要素的确定(1) PPT教学课件(高一数学人教A版 必修一册)
（3）当 a 0 时，求 f a , f a 1 的值.
高中数学
1
.
例1.已知函数 f x x 3
x2
（1）求函数的定义域；
高中数学
1
.
例1.已知函数 f x x 3
x2
（1）求函数的定义域；
解： （1）使根式 x 3 有意义的实数 x 的集合是 x∣x 3，使分
高中数学
一、对应法则
【问】（1）从函数三要素角度如何理解 f x x2 x 1 ？
（2）计算 f 1，并解释计算过程；
（3）计算 f 2 x 1，并解释计算过程.
高中数学
一、对应法则
【问】（1）从函数三要素角度如何理解 f x x2 x 1 ？
疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是
8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那
么他全年应缴纳多少综合所得个税？
个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．①
应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除 －专项附加扣除－
依法确定的其他扣除． ②
③
31920,300000 t 420000,
52920, 420000 t 660000,
85920, 660000 t 960000,
0.45t 181920, t 960000.
高中数学
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医
疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是
x2
（3）当 a 0 时，求 f a , f a 1 的值.
函数三要素的确定(2)-课件
（2）当1t 3时，路程 S 所对应的集合为
S 260 S 760.
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域.
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域. (1) x R;
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
例 4：求函数 f x x2 2x 1 的值域.
解：
f
x
x2
2x
1
x2
x2
2x 2x
1,x 1, x
1 2 1 2
, .
当
x
1 2
时，
y
0；
例 4：求函数 f x x2 2x 1 的值域.
解：
f
x
x2
2x
1
x
2
x2
2x 2x
1,x 1, x
1 2 1 2
, .
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域.
(1) x R; (2) x 2,4; (3) x 1,4.
解：画出二次函数 f x x2 2x 3的图象，在
不同条件下求出值域
（1） y 2,; （2） y 3,11;
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
为S 260,385,760.
解：高铁所行驶的路程S 与时间t的对应关系为
S 250t 10，
（1） 当t 1,t 1.5,t 3时，路程S 所对应的集合
为S 260,385,760.
（2）当1 t 3时，
解：高铁所行驶的路程 S 与时间t 的对应关系为 S 250t 10， （1） 当t 1,t 1.5,t 3时，路程S 所对应的集合
函数三要素及分段函数
函数的三要素函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x 和y 之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定一．定义域一．定义域1.具体函数：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；的实数集合； ④若f(x)是对数型函数，则函数的定义域是使真数大于0的实数集合；的实数集合；⑤若f(x)是零次幂函数，则函数的定义域是使零次幂的底数不为零的实数集合；是零次幂函数，则函数的定义域是使零次幂的底数不为零的实数集合； ⑥三角函数:（必修4） 2.抽象函数：抽象函数：①已知函数f(x)的定义域为D ，求函数f 【g （x ）】的定义域，只需g （x ）∈D; ②已知函数f 【g （x ）】的定义域为D, 求函数f(x)的定义域, 只需求出g （x ）的值域。
）的值域。
练习：1.求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x xx x f③=)(x f x11111++④x x x x f -+=)1()( ⑤373132+++-=x x y⑥()()1log 143++--=x x x x f ⑦⑦221()1(3234)f x n x x x x x =-++--+ ⑧221()log (1)x f x x --=-⑨若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是（ ） 2. 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-×x f 的定义域3．设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域4. 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 5. 设a ÎR ，函数)22lg(2a x ax y --=的定义为A ，不等式0342<+-x x的解集为B ，若¹ÇB A f ，求实数a 的取值范围．的取值范围．6.已知函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f ，(1)若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值.二．函数解析式二．函数解析式1.已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 2．若x x x f 21(+=+）,求f(x)3. 已知：)(x f =x 2-x+3 求：求： f(x+1), f(x1) 4. 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]. 5. 若xxx f -=1)1( 求f(x) 6. 已知f(x)满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f7.设二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f -=+且)(x f =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求)(x f 的解析式. 8.8. 已知ｆ（ｘ＋x 1）＝ｘ３＋31xx ，求ｆ(ｘ)的解析式的解析式三．值域三．值域1．直接法：利用常见函数的值域来求利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a ¹0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(¹=k xky 的定义域为{x|x ¹0}，值域为{y|y ¹0}；二次函数)0()(2¹++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-³}；当a<0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-£}. 2.分离常数法（反函数法）： 例：1+=x x y3．换元法：例：求函数x x y -+=142的值域的值域4. 判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例：求函数66522++-=x x x y 的值域的值域 5. 数形结合法：数形结合法：例1：求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 例2：求函数xx y 1+=的值域6. 二次函数比区间上的值域(最值)：①142+-=x x y ； ②]4,3[,142Î+-=x x x y ；③]1,0[,142Î+-=x x x y ； ④]5,0[,142Î+-=x x x y ；练习：①x x y -+=2； ②242xx y --=③ 34252+-=x x y④④)0(9122¹++=x x x y ⑤若函数12)(22+--+=x x ax x x f 的值域为[－2，2]，则a 的值为的值为 （ ）⑥ 设函数41)(2-+=x x x f . （Ⅰ）若定义域限制为[0，3]，求)(x f 的值域；的值域； （Ⅱ）若定义域限制为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]161,21[-，求a 的值⑦的值域求2)2(|1|-++=x x y⑧的值域，试求函数的值域是已知)(21)()(]94,83[)(x f x f x g y x f -+== ⑨已知函数y=f(x)=x 2+ax+3在区间x ∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a 的值．的值．分段函数分段函数; ; ; 定义域定义域定义域; ; ; 值域或最值值域或最值值域或最值; ; ; 函数值函数值函数值; ; ; 解析式解析式解析式; ; ; 图像图像图像; ; ; 反函数反函数反函数; ; ; 奇偶性奇偶性奇偶性; ; ; 方程方程方程; ; 不等式不等式. .))12log (12x 1)1x +--）的值为）的值为。
1.2.2 函数的三要素
函数的三要素定义域A值域 { f(x)|x∈A}对应关系f函数的“三要素”（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R 函数定义域25y x x =+-x R ∈（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合25y x =-5x ≠（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合（3）f(x)为偶次根式，函数定义域为使 根号内的式子≥0 的实数的集合5y x =-50x -≥（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合（3）f(x)为偶次根式，函数定义域为使 根号内的式子＞0 的实数的集合（4）f(x)为对数式，函数的定义域为 真数＞0 的实数的集合2log (5)y x =-50x -＞（一）直接函数的定义域求法（1）f(x)为整式，函数的定义域为R函数定义域（2）f(x)为分式，函数定义域为使 分母≠0 的实数的集合（3）f(x)为偶次根式，函数定义域为使 根号内的式子≥0 的实数的集合（4）f(x)为对数式，函数的定义域为 真数＞0 的实数的集合（5）如果f(x) 由几个数学式子构成时，那么函数的定义域为使各部分式子都有意义的实数集合。
235y x x =+--53x x ≠≥且256()2x x f x x -+=-求函数的定义域解：依题有256020x x x -+≥-≠解得:23<≥x x 或:265)(2的定义域是-+-=∴x x x x f }23{<≥x x x 或例322()11f x x x =-+-求函数的定义域()[1,1]()(,1][1,)()[0,1](){1,1}A B C D --∞-+∞- 例4221010x x -≥-≥2111x x x ===-或函数定义域（二）复合函数的定义域求法（1）已知f(x) 的定义域，求f[g(x)]的定义域（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x) 的定义域方法：令z=g(x)，且 f(x)=f(z)（函数与自变量的字母无关）（二）复合函数的定义域求法（1）已知f(x) 的定义域，求f[g(x)]的定义域()[1,3],(21)f x f x-若的定义域是求的定义域例5解：令z=2x-1，且f(x)=f(z)因为f(z)的定义域是[1,3]，所以1≤z≤3因z=2x-1，所以1≤2x-1≤3，所以因此12x≤≤(21){12}f x x x-≤≤的定义域是（二）复合函数的定义域 求法（2）已知 f [g(x)] 的定义域，求 f(x) 的定义域(21)[1,5],()f x f x --若的定义域是求的定义域例6解：令 z=2x-1，且 f(x)=f(z)因为f(2x-1)的定义域是[-1,5]，所以-1≤x≤5，即 -3≤ 2x-1 ≤9因z=2x-1，所以-3≤ z ≤9因此，即(){39}f z z z -≤≤的定义域是(){39}f x x x -≤≤的定义域是()[3,5],(21)f x f x +若的定义域是求的定义域练习12()[1,3],()f x f x -若的定义域是求的定义域练习2答案：[1,2]答案：[0,9]（三）已知函数的定义域，求含参数的取值范围的定义域是一切实数函数为何值时当例347,:2+++=kx kx kx y k 430:,0:0)2(<<<∆≠k K 解得时当304k £< (1)当K =0时, 3≠0成立函数定义域综上所述：函数表达式例7 已知二次函数f(x+1)=4x2-6x+5 ,求f(x) .解：令z=x+1，f(z)=f(x)则x=z-1，代入二次函数f(x+1)=4x2-6x+5 得到f(z)=4(z-1)2-6(z-1)+5=4z2-14z+15所以 f(x)=4x2-14x+15练习3 已知，求函数f(x) 的解析式.函数值域例8 已知 ,求 f(x)的值域 . 解：230由右图可以看出f(x)的值域是(-∞,3)∪(3,+∞)数形结合函数值域函数值域：min ≤ f(x) ≤ max（x1 ≤ x ≤ x2 ）求函数的值域，即求函数在定义域的最大值和最小值.x1x2。
函数概念与图像ppt课件
y
3
2
1
-2 -1
o1
2x
-1
-2
y 3
2
1 -л -л/2
o л/2 л x -1
-2
跳转
前屏
继续
34
单调区间的判断
例2.写出函数的单调增区间及单调减区间
(1)y=x+1
(2)y= -x2+2x
(3)y=
增区间 减区间
(-,+) 无
(-,1] [1,+)
练习：写出下列函数的单调增区间及单调减区间 增区间
9
判断两函数是否为同一函数只要判断它们的定义域和对应关系是否相同 即可.
练习3 判断下列各组函数是否同一函数？
(1)f(x)1,与 g(x)x0 (2)f(x)x1,与 g(x)x21
x (3 )f(x ) x 1 ,与 g (x ) |x 1 |
答案：
（1）定义域相同且对应关系相同，是同一函数
所以，f(x)= 在（01x，）上是减函数 例：证明f（x）=x³在（-∞，+∞）上是增函数
且 (1)设数 (2)作差 (3)因式分解 (4)判断符号 (5)对比定义 (6)得出结论
38
单调性的证明
思考：怎样证明函数的增减性？ 练习
1 判断函数f(x)= - x2+1在（0，）是增函数还是减 函数，并证明你的结论
15
函数图象的变换 小结（平移变换）： 1. 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k>0时向左，
k<0向右）得y=f(x+k)的图象。
2. 将函数y=f(x)的图象向下（或向上）平移|k|个单位（k>0时向下， k<0向上）得y +k =f(x) 的图象。
函数的概念及表示法ppt课件
(1)对于x的每一个值，y都满足有唯一的值与之对应吗？
不满足
(2)y是x的函数吗？为什么？
不是，因为y的值不是唯一的.
26
26
随堂练习
演练
1. 下面四个关系式：① y ＝ ；② ＝ x ；
③2 x2－ y ＝0；④ y ＝ ( x ＞0).
其中 y 是 x 的函数的是(
D )
27
随堂练习
报酬按16元/时计算. 设小明的哥哥这个月工作的时间为t
小时，应得报酬为m元，填写下表：
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
对于这个函数，当t=5时，把它代入函数表达式，得
m = 16t=16×5=80（元）.
m = 80是当自变量t=5时的函数值.
代入法
19
19
探究新知
函数与函数值
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函
判断一个关系是否是函数关系，根据函数定义，主
要从以下3个方面分析：
(1) 是否在一个变化过程中；
(2) 在该过程中是否有两个变量；
(3) 对于一个变量每取一个确定的值，另一个变量
是否有唯一确定的值与其对应.
13
13
探究新知
知识点
函数的三种表示法
合作探究
m = 16t
这几个函数用等式来表示，
这种表示函数关系的等式，
16
80
160
240
320
…
t
…
16t
怎样用关于t的代数式表示m？ m = 16t
5
5
探究新知
合作探究
2.跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s
（米）与助跑的速度v（米/秒）有关. 根据经验，跳
函数的概念与表示法课件(共19张PPT)
( x 1) 1 x 的定义域为_____ (2)函数 y ( x 1)
解题回顾：求函数f(x)的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解.
抽象函数定义域问题：
抽象函数 ：没有给出具体解析式的函数 2. (1)已知函数 y
1 y f ( x 1) 的定义域为______ 2
探究提高: 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题，
关键要抓住在不同的段内研究问题.
如本例，需分x>0时，f(x)=x的解的个数
和x≤0时，f(x)=x的解的个数.
“分段函数分段考察”
五 抽象函数
定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( C ) A.2 B.3 C.6
推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数 的两个集合A、B必须是非空数集.
典型例题：
一：函数的基本概念：
1.设集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面 的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有 ( )
A.①②③④
B.①②③
C.②③
D.②
解析：由函数的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个x对应着一个y，据此排除①④，选C.
A
B
x
f ( x)
（2）函数的定义域、值域： 在函数 y f ( x ), x A 中，x叫做自变量,x的取 值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值 叫做函数值，函数值的集合f ( x) x A 叫做函数的 值域。 （3）函数的三要素：定义域、值域和对应法则 . （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据.
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（１）分母不能为０
（２）２次根号下大于等于０ 0 （３） a 1(a 0) （４）如果f(x)的定义域为［a,b]那么 f[g(x)]的定义域由 a g ( x) b 解出来 的x的范围． （５）定义域用集合表示
例１．已知函数 义域为Ｒ，求m的范围 解：函数的定义域为Ｒ，即对于任意的
解：令x 6 t , x t 6, 代入上式 得：f(t)=(t-6) +3(t 6)-2
2
=t -9t+16 f(x)=x -9x+16
2
2
1 x2 1 已知f ( ) , 求f ( x) 2 x 1 x
（5）方程组的方法
1 1 1 解：用 换x，得f ( ) 2 f ( x) 3 2 x x x 1 1 f ( ) 2 f ( x) 3 2 x x f ( x) 2 f ( 1 ) 3 x 2 x 2 解的： f ( x) x 2 x
y mx2 6mx m 8 的定
xR
mx 6mx m 8 0 恒成立．
2
（１）m=0时, y 8 其定义域为Ｒ （２） m 0 时，要使 mx2 6mx m 8 0 恒成立
m 0 只要 2 36 m 4m(m 8) 0
2
1 12 解： x 0, y x 2 9 ( x ) 11 x x y 11，故函数的值域为[11， ）
2
，
（５）换元法
求函数的值域 ①
y x 2 x
2
②
y 2 4x x
2
2
解：令 u= 2-x 0，则x=2-u (u 0) 1 2 9 原式可化为y=2-u +u=-(u- ) 2 4 9 9 u 0, y 函数的值域为（ ， ] 4 4
2 2
x2 x 1 例：求函数y= 2 的值域。 x x 1
解析式f(x)的求法
（１）代入法
已知f ( x) x 4, 求f ( x 1)
2
2
f ( x 1) ( x x3;2x,求f(x+6)
（２）待定系数的方法
例如：已知f ( x)是一次函数，且f ( f ( x)) 9 x 8,
（１）观察法： 如：①
y x3 4
②
y 9 x
2
（２）反表示的方法：
如：求函数
解：由
x
x 1 y ( x 4) x2
的值域．
2 y 1 , 而x 4 1 y 2 y 1 2y 5 4, 即 0 1 y y 1 5 y 或y<1 2 5 故所求的值域为（-， 1 ） [ ，+） 2
解：设f(x)=ax+b，则f ( f ( x)) a(ax b) b
2 a 9 2 a x ab b 9 x 8 ab b 8 a=3 a=-3 解的 或 b=2 b=-4
求f ( x).
故所求的解析式为： f ( x) 3x 2或 f ( x) 3x 4
1 已知f ( x) 2 f ( ) 3 x 2, 求f ( x) x
②
解：令t 4 x x 0, 得0 x 4
2
在此区间内（4x-x ） max 4,
2
（4x-x ） min 0,
2
函数y 2 4 x x 的值域是[0， 2]
2
(6)判别式的方法
1 2 3 3 ) 0 2 4 4 函数的定义域R，原式可化为 解： x 2 x 1 ( x y ( x 2 x 1) x 2 x 1 整理得 ( y 1) x 2 ( y 1) x y 1 0 若y=1,即2x=0,则x=0 若y 1， x R,即有 0 1 (y 1) -4(y - 1) 0解的 y 3且y 1 3 1 综上：函数的值域是 y y3 3
0 m 1
综上所述：的取值范围： 0 m 1
例２已知函数f(x)的定义域为［－１，５］ 5 1 那么f(3x+4)的定义域为：{x x }
3 3
变式：已知函数f(2x-1)的定义域为（１，４） （１，７） 那么函数f(x)的定义域为：
值域的求法：
定义域和f(x)确定了y的取值范围．
（３）拼凑法
1 1 2 已知f ( x ) x 2 6, 求f ( x) x x
1 1 2 解： f ( x ) ( x ) 8 x x f ( x） x2 8
1 x 已知f ( ) , 求f ( x) 2 x 1 x
（４）换元的方法
已知f ( x 6) x2 3x 2， 求f ( x)
2x 2 x 5 练一练：求y= 的值域。 2 x +x+1
(4)配方法：
例： 求函数f ( x) x 2 x 3的值域。
解： f ( x) ( x 1) 2 2
2
所求的函数的值域为[2，+）
1 想一想：y x 2 9( x 0)的值域。 x
x 1 y ( x 4) 解出： x2
（３）分离常数的方法
2x 1 如： 求函数y (1 x 2)的值域。 x 1
3 解： y 2 又1 x 2 x 1 3 3 2 x 1 31 x 1 2 1 1 y 1, 故所求的值域为[ ， 1] 2 2 2