函数三要素求法小结.ppt

已知f
(x

1) x

x2

1 x2

6, 求f
(x)
解： f (x 1 ) (x 1 )2 8
x
x
f (x） x2 8
已知f
(1) x

x 1 x2
, 求f
(x)
（４）换元的方法
已知f (x 6) x2 3x 2， 求f (x)
解：令x 6 t, x t 6,代入上式 得：f(t)=(t-6)2+3(t 6)-2
函数定义域的求法：
（１）分母不能为０
（２）２次根号下大于等于０
（３） a0 1(a 0)
（４）如果f(x)的定义域为［a,b]那么
f[g(x)]的定义域由 a g(x) b 解出来
的x的范围． （５）定义域用集合表示
例１．已知函数 y mx2 6mx m 8 的定
义域为Ｒ，求m的范围
2
44
函数的定义域R，原式可化为
y( x2 x 1) x2 x 1
整理得 ( y 1) x2 ( y 1) x y 1 0
若y=1,即2x=0,则x=0
若y 1， x R,即有 0
(y 1)2 -4(y -1)2 0解的 1 y 3且y 1 3
综上：函数的值域是y 1 y 3
3
解析式f(x)的求法
（１）代入法
已知f (x) x2 4, 求f (x2 1)
f (x2 1) (x2 x)2 4
已知f(x)=x2 +2x,求f(x+6)
（２）待定系数的方法
例如：已知f (x)是一次函数，且f ( f (x)) 9x 8,
（２）反表示的方法：
如：求函数 y x 1 (x 4) 的值域．
x2
解：由 y x 1 (x 4) 解出：
x2
x 2 y 1 , 而x 4 1 y
2 y 1 4,即 2 y Fra Baidu bibliotek 0
1 y
y 1
y 5 或y<1 2
故所求的值域为（-， 1） [ 5 ，+） 2
=t2 -9t+16
f(x)=x2-9x+16
已知f
(
1 x
)

x2 1 1 x2
,
求f
(x)
（5）方程组的方法
已知f (x) 2 f (1) 3x 2,求f (x)
解：用
1
x
换x，得f
(1)

2
f
( x)

3
1

2
x
x
x



f f
( 1 ) 2 f (x) x
5
的值域。
(4)配方法：
例： 求函数f (x) x 2 x 3的值域。
解： f (x) ( x 1)2 2 2 所求的函数的值域为[2，+）
想一想：y x2 1 9(x 0)的值域。
x2
解： x 0, y x2 1 9 (x 1)2 11
，
x2
x
y 11，故函数的值域为[11， ）
（５）换元法
求函数的值域
① y x 2 x ② y 2 4x x2
解：令 u= 2-x 0，则x=2-u2(u 0)
原式可化为y=2-u2
+u=-(u-
1 2
)2

9 4
u 0, y 9 函数的值域为（ ，9]
求f (x).
解：设f(x)=ax+b，则f ( f (x)) a(ax b) b

a2x

ab
b

9x
a2 8

9
ab b 8
解的
a=3 b=2
或
a=-3 b=-4
故所求的解析式为：
f (x) 3x 2或 f (x) 3x 4
（３）拼凑法
解：函数的定义域为Ｒ，即对于任意的 x R
mx2 6mx m 8 0 恒成立．
（１）m=0时, y 8 其定义域为Ｒ
（２）m 0时，要使 mx2 6mx m 8 0 恒成立
只要
m
0 36m2

4m(m

8)

0

0

m

1
综上所述：的取值范围：0 m 1
例２已知函数f(x)的定义域为［－１，５］ 那么f(3x+4)的定义域为：{x 5 x 1}
33
变式：已知函数f(2x-1)的定义域为（１，４） 那么函数f(x)的定义域为：（１，７）
值域的求法：
定义域和f(x)确定了y的取值范围． （１）观察法： 如：①
y x34
②
y 9 x2
（３）分离常数的方法
如： 求函数y 2x 1(1 x 2)的值域。
x 1
解： y 2 3 又1 x 2 x 1
2 x 1 31 3 3 x 1 2
1 y 1,故所求的值域为[1 ，1]
2
2
练一练：求y=
2x2 2x x2 +x+1
4
4
② 解：令t 4x x2 0,得0 x 4 在此区间内（4x-x2）max 4, （4x-x2）min 0,
函数y 2 4x x2的值域是[0，2]
(6)判别式的方法
例：求函数y= x2 x 1的值域。
x2 x 1
解： x2 x 1 ( x 1 )2 3 3 0
(x) 2 f ( 1) x

31 2 x
3x 2
解的：
f (x) x 2 2 x