函数的三要素 3

2．3 映 射 课时目标 1.了解映射的概念.2.了解一一映射满足的条件.3.了解函数与映射的区别与联系．
1．映射的概念
如果两个非空集合A 与B 间存在着对应关系f ，而且对于A 中的每一个元素x ，B 中总有__________元素y 与它对应，则称f 是集合A 到集合B 的________．A 中的元素称为________，B 中的对应元素y 称为x 的像．
2．一一映射
在实际中，我们经常使用一种特殊的映射，通常叫作一一映射，它满足：(1)A 中每一个元素在B 中都有______的像与之对应；(2)A 中的不同元素的____也不同；(3)B 中的每一个元素都有______；有时，我们把集合A ，B 之间的一一映射也叫作________．
3．映射与函数
由映射的定义可以看出，映射是______概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A ，B 必须是__________．
一、选择题
1．设f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，则下面说法正确的是( )
A ．A 中的每一个元素在
B 中必有像
B ．B 中每一个元素在A 中必有原像
C ．A 中的一个元素在B 中可以有多个像
D ．A 中不同元素的像必不同
2．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列不能表示从P 到Q 的映射的是( )
A ．f ：x →y ＝12x
B ．f ：x →y ＝13
x C ．f ：x →y ＝23
x D ．f ：x →y ＝x 3．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )
4．下列集合A ，B 及对应关系不能构成函数的是( )
A ．A ＝
B ＝R ，f (x )＝|x |
B ．A ＝B ＝R ，f (x )＝1x
C ．A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5,6,7}，f (x )＝x ＋3
D ．A ＝{x |x >0}，B ＝{1}，f (x )＝x 0
5．给出下列两个集合之间的对应关系，回答问题：
①A ＝{你们班的同学}，B ＝{体重}，f ：每个同学对应自己的体重；
②M ＝{1,2,3,4}，N ＝{2,4,6,8}，f ：n ＝2m ，n ∈N ，m ∈M ；
③M ＝R ，N ＝{x |x ≥0}，f ：y ＝x 4；
④A ＝{中国，日本，美国，英国}，B ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦}，f ：对于集合A 中的每一个国家，在集合B 中都有一个首都与它对应．
上述四个对应中是映射的有____，是函数的有____，是一一映射的有________．( )
A ．3个 2个 1个
B ．3个 3个 2个
C ．4个 2个 2个
D ．2个 2个 1个
6．集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有( )
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
二、填空题
7．设A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，C ＝R ，且从A 到B 的映射是x →2x －1，从B 到C 的映射是y →12y ＋1
，则经过两次映射，A 中元素1在C 中的像为________．
8．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应关系如下表：
映射f 的对应关系如下：
映射g 的对应关系如下：
则f [g (1)]的值为________．
9．已知f 是从集合M 到N 的映射，其中M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－3,0,3}，则满足f (a )＋f (b )＋f (c )＝0的映射f 的个数是________．
三、解答题
10．设f ：A →B 是集合A 到集合B 的映射，其中A ＝{正实数}，B ＝R ，f ：x →x 2－2x －1，求A 中元素1＋2的像和B 中元素－1的原像．
11．已知A ＝{1,2,3，m }，B ＝{4,7，n 4，n 2＋3n }，其中m ，n ∈N ＋.若x ∈A ，y ∈B ，有对应关系f ：x →y ＝px ＋q 是从集合A 到集合B 的一个映射，且f (1)＝4，f (2)＝7，试求p ，q ，m ，n 的值．
12．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A
中元素2在B 中的像和B 中元素⎝⎛⎭⎫32，54在A 中的原像．
13．在下列对应关系中，哪些对应关系是集合A 到集合B 的映射？哪些不是；若是映射，是否是一一映射？
(1)A ＝{0,1,2,3}，B ＝{1,2,3,4}，对应关系f ：“加1”；
(2)A ＝(0，＋∞)，B ＝R ，对应关系f ：“求平方根”；
(3)A ＝N ，B ＝N ，对应关系f ：“3倍”；
(4)A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：“求绝对值”；
(5)A ＝R ，B ＝R ，对应关系f ：“求倒数”．
1．映射中的两个集合A 和B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等，映射是有方向的，A 到B 的
映射与B 到A 的映射往往是不一样的．
2．对应、映射、函数三个概念既有区别又有联系，在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的映射，而映射又是一种特殊的对应．
3．判断一个对应是否是映射，主要看第一个集合A 中的每一个元素在对应关系下是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一，至于B 中的每一个元素是否都有原像，不做要求．
2．3 映 射
知识梳理
1．唯一的一个 映射 原像 2.(1)唯一 (2)像 (3)原像 一一对应
3．函数 非空数集
作业设计
1．A
2．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q
中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83
∉Q ，故选C.] 3．D [选项A 、B 中的元素2没有像；选项C 中1的像有两个；只有D 满足映射的定义，故选D.]
4．B [在B 项中f (0)无意义，即A 中的数0在B 中找不到和它的对应的数．]
5．C [①、②、③、④都是映射；②、③是函数；②、④是一一映射，对于①由于有的同学体重可能相等，故①不是一一映射．]
6．B [由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的像的问题，总共有如图所示的4种可能．]
7.13
解析 A 中元素1在B 中象为2×1－1＝1，
而1在C 中象为12×1＋1＝13
. 8．1
解析 ∵g (1)＝4，∴f [g (1)]＝f (4)＝1.
9．7
解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝3，f (b )＝0，
f (c )＝－3，
⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－3，f (b )＝0，f (c )＝3， ⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝3，f (b )＝－3，f (c )＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－3，f (b )＝3，
f (c )＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝0，f (b )＝3，f (c )＝－3， ⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝0，f (b )＝－3，f (c )＝3，
f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.
10．解 当x ＝1＋2时，x 2－2x －1＝(1＋2)2－2×(1＋2)－1＝0，所以1＋2的像是0. 当x 2－2x －1＝－1时，x ＝0或x ＝2.
因为0∉A ，所以－1的原像是2.
11．解 由f (1)＝4，f (2)＝7，列方程组：
⎩⎪⎨⎪⎧ p ＋q ＝42p ＋q ＝7⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
p ＝3q ＝1. 故对应关系为f ：x →y ＝3x ＋1.由此判断出A 中元素3的象是n 4或n 2＋3n .若n 4＝10，因为n ∈N ＋，不可能成立，所以n 2＋3n ＝10，解得n ＝2(舍去不满足要求的负值)．又当集合A 中的元素m 的像是n 4时，即3m ＋1＝16，解得m ＝5.当集合A 中的元素m 的像是n 2＋3n 时，即3m ＋1＝10，解得m ＝3.
由元素互异性知，舍去m ＝3.故p ＝3，q ＝1，m ＝5，n ＝2.
12．解 将x ＝2代入对应关系，
可求出其在B 中的对应元素(2＋1,3)．
由⎩⎨⎧
x ＋1＝32，x 2＋1＝54
， 得x ＝12. 所以2在B 中的像为(2＋1,3)，⎝⎛⎭⎫32，54在A 中对应的原像为12
. 13．解 (1)中集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，显然，对应关系f 是A 到B 的映射，又B 中的每一个元素在A 中都有唯一的原像与之对应，故f ：A →B 也是一一映射．
(2)中集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有两个元素与之对应，显然对应关系f 不是A 到B 的映射，故不是一一映射．
(3)中集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故对应关系f 是从A 到B 的映射，又B 中某些元素1、2、4、5……在A 中没有原像与之对应，故f ：A →B 不是一一映射．
(4)中集合A 中的每一个元素通过关系f 作用后，在集合B 中都有唯一的元素与之对应，故关系f 是从A 到B 的映射，但对于B 中某些元素在A 中可能有两个元素与之对应甚至没有原像，故f ：A →B 不是一一映射．
(5)当x ＝0∈A ，1x 无意义，故关系f 不是从A 到B 的映射．。