2016-2017学年高中数学 第一章 三角函数 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像课时作业 北师大版必修4
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
高中 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质教学内容1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图 五个特征点的取法：设X =ωx ＋φ，由X 取0，2π，π，23π，π2来求出相应的x 的值，及对应的y 值，再描点作图.如下表所示.x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：[例1] 函数)421sin(2π+=x y 的周期，振幅，初相分别是______________.[巩固1] 函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则ω=______；ϕ=______知识模块1 y ＝A sin(ωx ＋φ)精典例题透析[巩固] 若关于x 的方程01sin sin 2=+-+m x x 有解，则实数m 的取值范围为_____________.[例5] 要得到)21sin(x y -=的图象，只需将)621sin(π--=x y 的图象_______________.[巩固1] 为得到函数)3cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y sin =的图象_____________________.[巩固2] 为得到函数)62sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象_____________________.[例6] 已知函数x x f πsin )(=的图象的一部分如左图，则右图的函数图象所对的函数解析式为_____________.[巩固1] 函数)0,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式为____________.[巩固2] 已知函数),0,)(sin()(πϕπωϕω<<->∈+=R x x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式 是_______________.[例7] 设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)[例]（1）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝_____，φ＝_______.（2）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．[巩固] 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．（1）求其解析式；（2）若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．题型三：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质[例] (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和φ的值；（2）当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．[巩固] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A >0,0<φ<π2)的最大值为2，最小正周期为π，直线x ＝π6是其图象的一条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．1．(2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π42．(2013·浙江)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是__________.3.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是______________.4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是_____________.5．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________________.6．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°， KL ＝1，则f (16)的值为________．，7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6) (x ＝1,2,3，…，12，A >0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值 为________℃.夯实基础训练。
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
第八页，共42页。
2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____． 解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段 如图所示，求此函数的解析式．
第二十七页，共42页。
解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2， 所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
高中数学 第1章 三角函数 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(2)练习 北师大版必修4-
8 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质(2)课时跟踪检测一、选择题1．函数y ＝sin(2x ＋π)是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数解析：y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x ，周期为2π2＝π.∵f (－x )＝－sin2(－x )＝sin2x ＝－f (x )， ∴y ＝sin(2x ＋π)为奇函数． 答案：A2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α的值是( )A ．π6B ．π3C ．π4D ．π2解析：函数f (x )的周期T ＝2π2＝π. ∵f (x ＋α)＝f (x ＋3α)，∴T ＝2α＝π，即α＝π2.答案：D3．已知函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ，则其图像的下列结论中，正确的是( )A ．向左平移π8后得到奇函数B ．向左平移π8后得到偶函数C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，1中心对称 D ．关于直线x ＝π8轴对称答案：A4．若将函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 解析：由题意，将函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π12个单位得y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则平移后函数的对称轴为2x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π6＋k π2，k ∈Z ，故选B ．答案：B5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图像关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：由题意得π3ω＋φ＝k 1π＋π2(k 1∈Z )，π12ω＋φ＝k 2π(k 2∈Z )，∴π4ω＝(k 1－k 2)π＋π2(k 1，k 2∈Z )．∴ω＝4(k 1－k 2)＋2(k 1，k 2∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2.答案：A6．设函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A ．13B ．3C ．6D ．9解析：依题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3ω＝cos ωx ，∴－π3ω＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝－6k .又ω＞0，∴当k ＝－1时，ω有最小值6. 答案：C 二、填空题7．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2的单调递增区间为________．解析：由－π2＋2k π≤12x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－5π3，π3＋4k π，k ∈Z .又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π2，∴单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，π3 8．(2018·某某卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．解析：由题意可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝±1，所以23π＋φ＝π2＋k π，φ＝－π6＋k π(k ∈Z )，因为－π2<φ<π2，所以当k ＝0时，φ＝－π6.答案：－π69．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称； ②图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数． 那么所有正确结论的编号为________． 解析：∵2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)， 又∵f (x )关于x ＝π12对称，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π12＋φ＝±1， ∴π6＋φ＝k π＋π2， ∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴令k ＝0得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 令f (x )＝0得2x ＋π3＝k π，∴x ＝k π2－π6，k ∈Z ， 令k ＝1得一个对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0， 令－π2≤2x ＋π3≤π2，－512π≤x ≤π12， ∴f (x )的一个增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12，又∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12，∴②④正确． 答案：②④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54.(1)求f (x )的最大值、最小值，及相应x 的值； (2)求f (x )的最小正周期、对称轴和对称中心；(3)函数f (x )的图像至少向左平移多少个单位长度时才为偶函数？解：(1)当2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )有最大值74，即当x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f (x )max ＝74，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )有最小值34，即当x ＝k π－π3(k ∈Z )时，f (x )min ＝34.(2)由T ＝2π|ω|知函数f (x )的最小正周期为T ＝π.令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴对称轴为直线x ＝k π2＋π6(k ∈Z )， 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π12(k ∈Z )，∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，54(k ∈Z )．(3)由函数性质知若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 为偶函数，φ＞0，则φ至少为π2，即y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋54＝12cos2x ＋54为偶函数．∴应将函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像平移至函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋54的图像处．由函数图像平移方法知：y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋54的图像――→向左平移π6个单位长度y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋54的图像，∴函数f (x )的图像至少向左平移π6个单位长度才为偶函数．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的值域．解：(1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得T 2＝π2，即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上知，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1. 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )． 又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6.当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)－b (ω＞0,0＜φ＜π)的图像两相邻对称轴之间的距离是π2，若将f (x )的图像先向右平移π6个单位，再向上平移3个单位，所得函数g (x )为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的对称轴及单调区间．解：(1)∵2πω＝2×π2，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)－b .又∵g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ－b ＋3为奇函数，且0＜φ＜π，则φ＝π3，b ＝3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－ 3. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3，其对称轴由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )．由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，由2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12(k ∈Z )．∴函数f (x )的对称轴为x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )， 减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )．13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)与对数函数y ＝g (x )在同一坐标系中的图像如图所示．(1)分别写出两个函数的解析式； (2)方程f (x )＝g (x )共有多少个解？ 解：(1)由图像知A ＝2，φ＝0，T ＝2， 故ω＝π，f (x )＝2sinπx .设g (x )＝log a x ，由图像知log a 4＝－1， 故a ＝14，g (x )＝log 14x .(2)因g (x )为减函数，f (x )最小值为－2.故当g (x )≥－2时，可能有交点，由log 14x ≥－2，得0＜x ≤16.当2≤x ≤16时，f (x )与g (x )在f (x )的每一个周期上的图像均有两个交点，共14个交点；当0＜x ＜2时，由图像知有3个交点；当x＞16时，图像无交点．综上可知f(x)＝g(x)共有17个解．。
函数y=Asin(ωx+φ)的性质-三角函数
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高效课时作业
自主通道
填一填
函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
定义域
R
值域
1 __[_－___A__，___A__]_____
周期
T＝2ωπ
第3 页
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高效课时作业
第4 页
奇偶性 φ＝ 2 kπ，k∈Z 时，y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；φ＝ 3 kπ＋π2，k∈Z
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ห้องสมุดไป่ตู้
探究通道
巩固通道
高效课时作业
第 12 页
类型 二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用(自主探究) 1．若函数 y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，则 φ＝( C )
A．0
π B.4
π C.2
D．π
解析 因为函数 y＝sin(ωx＋φ)在 φ＝kπ±2π(k∈Z)时为偶函数，且 0≤φ≤π，所以
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高效课时作业
第 20 页
类型 三 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 【例】 函数 h(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．若把函 数 h(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 f(x)的图 象． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)若函数 y＝f(x＋φ′)0<φ′<2π是奇函数，求函数 g(x)＝cos(2x－φ′)在[0,2π]上的单调递减区间．
高中数学第1章三角函数8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像课件北师大版
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)A 的大小决定了函数的振幅．( ) (2)ω 的大小与函数的周期有关．( ) (3)φ 的大小决定了函数与 y＝sin x 的相对位置．( ) (4)b 的大小决定了函数图像偏离平衡位置的幅度．( ) 【解析】 由 A，ω，φ，b 的几何意义知全对． 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点．
第三步：用光滑的曲线把它们连接起来．
三角函数的图像变换
写出由 y＝sin x 的图像变化到 y＝3sin12x－π4的图像的不同方法步骤. 【导学号：66470026】
【精彩点拨】 变换过程可以先伸缩后平移，也可以先平移后伸缩．
由 y＝sin x 的图像，通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，可以先相位变换， 后周期变换，也可以先周期变换，后相位变换．两种变换的顺序不同，变换的量 也有所不同，前者平移|φ|个单位，而后者则平移|ωφ|个单位．不论哪一种变换，都是 对字母 x 而言的，即看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少．
0
π 2
π
3π 2
2π
y 0 2 0 －2 0
描点作图，如图．
1．利用“五点法”作图像时，确定 x 的值是本题的关键．
2．用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一般步骤：
第一步：列表． ωx＋φ 0
π 2
π
3π 2
2π
x －ωφ 2πω－ωφ ωπ－ωφ 23ωπ －ωφ 2ωπ－ωφ
人教版(新教材)高中数学第一册 匀速圆周运动的数学模型 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
解析 ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标 不变.
答案 B
2.把函数y＝2sin 3x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3倍，得到________的图象. 答案 y＝6sin32x
3.将函数 y＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象对应的解析式为 ________.
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ) 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 5.6.2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
课标要求
素养要求
1.会用“五点法”画出y＝Asin(ωx＋φ)的
图象.
通过整体代换和图象的变换提
2.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋ 升学生的直观想象、逻辑推理
【训练 1】 请用“五点法”画出函数 y＝12sin(2x－π6)的图象. 解 函数 y＝12sin2x－π6的周期 T＝22π＝π，先用“五点法”作它在长度为一个周
期上的图象，令 X＝2x－π6，则 x 变化时，y 的值如下表：
X
0
π 2
π
3π 2
2π
x
π 12
π 3
7π 12
5π 6
13π 12
解析 答案
由题意得所得图象对应的解析式为 y＝cos 2(x－π3)＝cos(2x－23π). y＝cos(2x－23π)
[微思考] 1.由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？
提示 ∵y＝sin(ωx＋φ)＝sin ωx＋ωφ， ∴由 y＝sin ωx 的图象向左(右)平移ωφ个单位.
y
2017-2018版高中数学 第一章 三角函数 8 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二) 北师大版必修4
φ的值.
(1)一般可由图像上的最大值、最小值来确定|A|. (的2)交因点为从T＝而2ω确π，定所T，以即往相往邻通的过最求高得点周与期最T来低确点定之ω间，的可距通离过为已T2知；曲相线邻与的x轴两 个最高点(或最低点)之间的距离为T.
答案
梳理
用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ) 的图像的步骤：
第一步：列表：
ωx＋φ 0
π 2
πห้องสมุดไป่ตู้
3π 2
2π
x
－ωφ 2πω－ωφ ωπ －ωφ 23ωπ－ωφ 2ωπ－ωφ
y
0
A
0
－A
0
第二步：在同一坐标系中描出各点. 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像.
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的性质
4.已知函数f(x)＝sinωx＋π3 (ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像
√A.关于点π3，0对称
B.关于直线 x＝π4对称
C.关于点π4，0对称
D.关于直线 x＝π3对称
解析 ω＝2ππ＝2，所以 f(x)＝sin(2x＋π3). 将 x＝π3代入 f(x)＝sin2x＋π3，
解答
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值.
解答
当堂训练
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，0<φ<π)的图像的一段如图所示，它的解析式 可以是
√A.y＝23sin(2x＋23π)
B.y＝23sin(2x＋π3) C.y＝23sin(2x－π3) D.y＝23sin(2x＋π4)
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解析：由3x－ ＝ ，x＝ 知，应填( ，－2)．
8．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图像如下，此函数的解析式为__________________________．
答案：y＝2sin(2x＋ )
解析：A＝2，T＝2( －(－ ))＝π，∴ω＝2.由最高点的坐标可知，2×(－ )＋φ＝ ＋2kπ(k∈Z)，所以y＝2sin(2x＋ π)．
11．已知函数y＝ sin(2x＋ )，借助“五点作图法”画出函数f(x)在[0， ]上的简图，并且依图写出函数f(x)在[0， ]上的递增区间．
解：可先画出区间[－ ， ]的图像，再截取所需．
列表
μ＝2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
0
－
0
图像略，注意f(0)＝1，由图像可知函数在区间[0， ]上的单调递增区间是[0， ]，[ ， ]．
(2)由－1<f(x)－m<1⇔－1＋f(x)<m<1＋f(x)对x∈[ ， ]恒成立．
即－1<f(x)－m<1⇔－1＋f(x)max<m<1＋f(x)min(x∈[ ， ])．
当x∈[ ， ]时， ≤2x－ ≤ .
故当2x－ ＝ 时，即x＝ 时，f(x)取得最大值0；
当2x－ ＝ 时，即x＝ 时，f(x)取得最小值－ .
解析：振幅为3，周期为 ＝4π，初相为－ .
2．把函数y＝sinx的图像上所有点向左平移 个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到的图像所对应的函数是()
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案：C
解析：把函数y＝sinx的图像上所有点向左平行移动 个单位长度后得到函数y＝sin 的图像，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到函数y＝sin 的图像．
12．已知函数f(x)＝sin(2x－ )－1.
(1)写出函数f(x)的单调递增区间；
(2)若不等式－1<f(x)－m<1在x∈[ ， ]恒成立，求实数m的取值范围.
解：(1)因为f(x)＝sin(2x－ )－1
由－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ(k∈Z)得：－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间是[－ ＋kπ， ＋kπ](k∈Z)．
3．函数y＝2sin(x＋ )的一条对称轴为()
A．x＝－ B．x＝0
C. D．－
答案：C
解析：因为y＝2sin(x＋ )，其对称轴可由x＋ ＝kπ＋ ，(k∈Z)求得，解得x＝kπ＋ ，k∈Z，选项中只有C符合．
4．函数y＝1－2cos x(x∈[0， ])的最小值、最大值分别是()
A．－1,3 B．－1,2
三、解答题：(共35分，11＋12＋12)
10．把函数y＝f(x)的图像上各点向右平移 个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的 倍，所得到图像的解析式是y＝2sin( x＋ )，求f(x)的解析式．
解：y＝2sin( x＋ )的图像纵坐标伸长到原来的 倍，得y＝3sin( x＋ )的图像，横坐标缩短到原来的 倍得到y＝3sin(x＋ )的图像，再向左平移 个单位得到y＝3sin[(x＋ )＋ ]＝3cosx的图像．故f(x)＝3cosx.
9．将函数y＝2sinx的图像向左平移 个单位，再将得到的图像上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数y＝f(x)的图像，若x∈[0， ]，则函数y＝f(x)的值域为________．
答案：[－1,2]
解析：由y＝sinx→y＝2sin(x－ )→y＝2sin(2x－ )知，f(x)＝2sin(2x－ )．由x∈[0， ]得2x－ ∈[－ ， ]，所以函数y＝f(x)的值域为[－1,2]．
故m的取值范围为(－1， )．
8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
时间：45分钟 满分：80分
班级________姓名________分数________
一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分)
1．函数y＝3sin( x－ )的振幅、周期、初相分别为()
A．－3,4π， B．3,4π，－
C．3，π，－ D．－3，π，
答案：B
C．0,3 D．0,2
答案：B
解析：因为0≤ x≤ ，所以－ ≤cos x≤1，所以得函数y＝1－2cos x的最小值、最大值分别是－间是()
A．(－ ， ) B．(－ ， )
C．[－ ，0) D．(－ ， )
答案：B
解析：由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)，解得kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)，选项中只有B符合．
6．如果函数y＝sin(2x＋φ)的图像关于点( ，0)中心对称，那么φ的值可以是()
A．－ B．－
C. D.
答案：D
解析：由题意得sin(2× ＋φ)＝0，φ的值可以是 .
二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分)
7．用五点法画函数y＝2sin(3x－ )的图像，这五个点可以分别是( ，0)( ，2)，( ，0)，__________，( ，0)．