求函数的值域PPT
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2.3函数的值域公开课一等奖课件省赛课获奖课件
考生应重视通过建立函数求值域解决变量 的取值范围的问题.
3
一、基本函数的值域
1. 一次函数y=kx+b (k≠0)的值域为① R .
2. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的值域：当a
＞0时，值域为②
［
4ac 4a
b
2
，
;当) a＜0时，
值域为③
(，4ac 4a
b2
.
］
4
3. 反比例函数y=kx (x≠0，k≠0)的值域为 ④ {y|y≠0，y∈R} .
因此当x=-2时，［f(x)］max=f(-2)=3，
当x=-1时，［f(x)］min=f(-1)=-1，
因此函数的值域是［-1，3］.
23
(因2)此由当f (xx) (12，(1x)x3时2 1，) f
0，可得x=1. ′(x)＜0，
2
因此f(x)在区间 (1，1) 上是减函数，
2
同理可得f(x)在区间(1，2)上是增函数.
C
)
C. [1，1)?
D. [13， )
3
3
0
1 x2 1
1
1
1 3
1 x2 1
1， 3
故选C.
9
3.函数y=f(x)的值域是［-π,10］，则函数 y=f(x-10)+π的值域是( B )
A. ［-π,10］
B. ［0,π+10］
C. ［-π-10,0］ D. ［-10,π］ 由于y=f(x) 向右平移10个单位长度 向上平移π个单位长度
s2in(α+
).4
由于α∈［0,π］，
因此 ［ , 5 ］, 因此sin( )［ 2 ,1］，
3
一、基本函数的值域
1. 一次函数y=kx+b (k≠0)的值域为① R .
2. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的值域：当a
＞0时，值域为②
［
4ac 4a
b
2
，
;当) a＜0时，
值域为③
(，4ac 4a
b2
.
］
4
3. 反比例函数y=kx (x≠0，k≠0)的值域为 ④ {y|y≠0，y∈R} .
因此当x=-2时，［f(x)］max=f(-2)=3，
当x=-1时，［f(x)］min=f(-1)=-1，
因此函数的值域是［-1，3］.
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(因2)此由当f (xx) (12，(1x)x3时2 1，) f
0，可得x=1. ′(x)＜0，
2
因此f(x)在区间 (1，1) 上是减函数，
2
同理可得f(x)在区间(1，2)上是增函数.
C
)
C. [1，1)?
D. [13， )
3
3
0
1 x2 1
1
1
1 3
1 x2 1
1， 3
故选C.
9
3.函数y=f(x)的值域是［-π,10］，则函数 y=f(x-10)+π的值域是( B )
A. ［-π,10］
B. ［0,π+10］
C. ［-π-10,0］ D. ［-10,π］ 由于y=f(x) 向右平移10个单位长度 向上平移π个单位长度
s2in(α+
).4
由于α∈［0,π］，
因此 ［ , 5 ］, 因此sin( )［ 2 ,1］，
求函数的最大(小)值与值域课件
D．(0,4)
解 析 ： 由 已 知 得 0≤16 － 4x ＜ 16,0≤ 16－4x＜ 16＝4，即函数 y＝
16－4x的值域是[0,4)．
答案：C
二、利用配方法和均值不等式 求函数的最值
例
2，求
y
x2
1 x2
9(x
0)
的最小值
解析： ； y x2 1 9(x 0) x2
2 (2)当函数 f(x)在(1，2)上单调时，求 a 的取值范围．
2
＝－
＝－
，
考点突 x 四 利用x 导数求最值
破 令 f′(x)＝0，解得 x＝1或 1. 2
当 x∈(0，1)∪(1，＋∞)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0，1)和(1，＋∞)上单调递
2
2
减；当 x∈(1，1)时，f′(x)>0， 2
四、 用换元法求最值
（2）求函数 y 2 4x x2
②解：令 t=4x x2 0 得 0x4 在此区间内 (4x x2) max =4 ，(4x x2 )min =0 ∴函数 y 2 4x x2 的值域是{ y| 0 y 2}
五、利用函数的单调性求最值
例 5、已知定义在区间(0，＋∞)上的函数 f(x)满足
(ⅱ)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)min ＝f(b)，f(x)max＝f(a)；
(ⅲ)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上递增(减)，在区间[b， c]上递减(增)，则函数y＝f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值为 f(b)．
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《新课程标准》中函数 求最值与值域的要求
.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替
函数值域的求法ok
求函数值域的常用方法
★直接法 ★配方法 ★常数分离法 ★反函数法 ★换元法 ★判别式法 方法还有很多，如不等式法、函数单调性 法等··· ···
求下列函数的值域：
2x 1 （1）y = 3x 3 1 4x （2）y = 2x 3
（3）y = x2+4x+3 （4）y =3-2x-x2
0
反函数法
3、求下列函数的值域： （1）y = x +
解：设 t =
1 x 1 x
则x=1－t2且 t≥0 y = 1 － t2 + t
1 2 5 ( t ) 2 4
y 1 o x
故函数的值域为 ( , 5 ]
4
5 由图知： y 4
换元法
4、求函数 y =
x2 2x 3 的值域 2 2x 2x 1
2
1 1 7 当y 时, x 有解 y 2 2 6
2
故函数的值域为 [－4，1 ]
判别式法
练习．求下列函数的值域
x 1 (2) y x （3）y = 2x －3 +
(1)x （5）y = 2x 3
（4） y =x2-4x+3
原函数的值域
1 x y 1 x 2 xy 5 y 2x 5 x(1 2 y ) 1 5 y 1 5y 1 2 y
1 x 2x 5
原函数的反函数为 ：x
1 ∵反函数的定义域为1+2y ∴ y2 ∴函数 y 1 x 的值域为 y ( , 1 ) ( 1 , ) 2x 5 2 2
x x3 y （6） 2 x x 1
2
解:(1) ∵-1≤x≤1 ∴-1≤3x+2≤5 解:(2)
高考数学复习考点知识讲解课件6 函数的定义域与值域
知识梳理 1．函数的定义域 (1)求定义域的步骤 ①写出使函数式有意义的不等式(组)． ②解不等式(组)． ③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
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— 4—
(新教材) 高三总复习•数学
(2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母_不___等__于__0__. ③偶次根式函数被开方式__大__于__或__等__于___0___. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)＝x0 的定义域为__{_x_|x_≠__0_}__． ⑥指数函数的定义域为____R______. ⑦对数函数的定义域为_(_0_，__＋__∞__)_．
0<2－x<1， ⇒x≠32
1<x<2， ⇒x≠32.
所以函数的定义域为1，32∪32，2.
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角度 2：求抽象函数的定义域 【例 2】 已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则 f(x)的定义域是___(1_,_3_)__． [思路引导] 由已知得 x∈(0,1)→求 2x＋1 的范围→得 f(x)的定义域．
2
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[解析] (1)要使原函数有意义，
－x2＋9x＋10≥0， 则x－1>0，
x－1≠1，
解得 1<x≤10 且 x≠2，所以函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－
lnx2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选 D．
(2)要使函数有意义，则log12 2－x>0， 2x－3≠0
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(2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母_不___等__于__0__. ③偶次根式函数被开方式__大__于__或__等__于___0___. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)＝x0 的定义域为__{_x_|x_≠__0_}__． ⑥指数函数的定义域为____R______. ⑦对数函数的定义域为_(_0_，__＋__∞__)_．
0<2－x<1， ⇒x≠32
1<x<2， ⇒x≠32.
所以函数的定义域为1，32∪32，2.
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角度 2：求抽象函数的定义域 【例 2】 已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则 f(x)的定义域是___(1_,_3_)__． [思路引导] 由已知得 x∈(0,1)→求 2x＋1 的范围→得 f(x)的定义域．
2
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[解析] (1)要使原函数有意义，
－x2＋9x＋10≥0， 则x－1>0，
x－1≠1，
解得 1<x≤10 且 x≠2，所以函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－
lnx2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选 D．
(2)要使函数有意义，则log12 2－x>0， 2x－3≠0
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《函数的定义域和值域》中职数学拓展模块5.1ppt课件2【语文版】
温馨提醒：函数表达式有意义的准则一般有：①分式中 的 分
母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0；
④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2．基本初等函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R____． (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：
4ac－b2
【解析】(1)函数有意义需满足2x－ －x1＞ ＞00， ， 即 1＜x＜2，所以，函数的定义域为(1，2)．
0≤x2≤2
(2)由x＋1>0
，得
1＋lg（x＋1）≠0
－ 2≤x≤ x>－1 x≠－190
2 ，∴－1<x<－190或
－190<x≤ 2.故函数 g(x)的定义域为(－1，－190)∪(－190， 2]．
【解析】由 22xx－ －－＋xx11>≠≠≥1000，， ，，得xxx≥≠<－ 12，，1，
则－ x≠11≤，x<2，所以定义域是{x|－1≤x<1 或 1<x<2}．
2．(2014·山东济南模拟)若函数 y＝ax2＋ax2＋ax1＋3的定义域为
R，则实数 a 的取值范围是__[0_，__3_)__．
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
【解析】因为函数 y＝ax2＋ax2＋ax1＋3的定义域为 R， 所以 ax2＋2ax＋3＝0 无实数解， 即函数 y＝ax2＋2ax＋3 的图象与 x 轴无交点． 当 a＝0 时，函数 y＝3 的图象与 x 轴无交点； 当 a≠0 时，则 Δ＝(2a)2－4·3a<0，解得 0<a<3. 综上所述，a 的取值范围是[0，3)．
高中数学课件 第2章 第2节 《函数的定义域和值域》
因此， 因此，g(x)min＝g(2)＝1－2a， ＝ － ， 而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a， － ＝ － － － ＝ － ， 故当0≤a≤ 故当 当 时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a； ＝ － ， ＝ － ；
＜a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a， 时 ＝ － ， ＝ ，
3.不等式法：借助于基本不等式a＋b≥2 不等式法：借助于基本不等式 ＋ 不等式法
(a>0，b>0)求数 ， 求数
的值域.用不等式法求值域时， 的值域 用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用 用不等式法求值域时 条件“一正、二定、三相等”. 条件 一正、二定、三相等 一正 4.单调性法：首先确定函数的定义域， 4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调 单调性法 性求函数的值域，常用到函数 ＝ ＋ 性求函数的值域，常用到函数y＝x＋ 增区间为(－ ，－ 增区间为 －∞，－ (0， ). ， ]和[ 和 (p>0)的单调性： 的单调性： 的单调性
＋∞)，减区间为 － ,0)和 ，减区间为(－ 和
[特别警示 (1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变 特别警示] 用换元法求值域时， 特别警示 用换元法求值域时 量的范围变化；用判别式求函数值域时， 量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变 量x是否属于 是否属于R. 是否属于 (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立； 用不等式法求函数值域时 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键 利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析，再取并集 分段函数的值域应分段分析，再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义 不论用哪种方法求函数的值域， 不论用哪种方法求函数的值域 域，这是求值域的重要环节. 这是求值域的重要环节
函数的值域与最值复习PPT优秀课件
达式有明显的几何意义.
26
走进高考
学例1 (2009·湖 南 卷 ) 函 数
y=2tanx+tan( -x)(0<x< )的
最小值是 2
2
2.
2
因为0<x< 2 ，所以tanx>0,
所以y=2tanx+ 1 ≥
tan x
2 ,当2 且仅当
tanx= 时2 “=”成立.
2
27
学例2 (2009·海南/宁夏卷)用min{a,b,c}表
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
12
不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)， 可知D={-3,0,3,6,9}，M=9，N=-3，可 知，A、B、C错误，选D.
点评 1. 函 数 的 值 域 是 函 数 值 的 集 合 ，
函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数
时 ， D=[N ， M] ， 其 中 N=f(x)min ， M=f(x)max.
件的实数a、b.
综合①②③可得,满足条件的实数a、b不存在.
25
方法提炼
1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元 技巧转化为二次函数，要特别注意自变量 和新变量的范围.
求函数值域的方法 课件
例3.求函数 y x 2x 1 的值域.
练习3：求函数 f (x) x 1 2x的值域.
4.分离常数法：
例4.求函数 y 2x 3 的值域 x 1
练习4：求下列函数的值域
(1) y x 3 (2) y 2x 1
2x 5
x 1
5.反解法：当函数表达式中自变量易于解出时， 反解函数所示方程，进而得到值域.
求函数的值域的方法
例1.求下列函数的值域.
(1) y 4 9x2 , x [0, 2]
(2)
y
3x2 x2
5 1
3
1．不等式法.根据函数表达式特征，从函数自变
量的变化范围出发，充分利用不等式的运算性
质进行运算，直接得出函数值域的一种简单方
法.
练习1： 求函数 y 2 x 4 的值域。
例5.求函数
y
x2 x21 1来自的值域练习5：函数 y | x | 2 的值域 | x | 3
6．判别式法：它是反解法的一种特殊情形.当函 数可化为关于自变量的一元二次方程形式时，不 解出方程，而直接利用判别式来求解值域。
例6：求函数
y
x2 x2
x 1 x 1
的值域.
练习6：求函数 y
x 3
2.图象法：对于简单的函数可以画出函数的图 象，再根据图象观察得出函数的取值范围
例2.求下列函数的值域. (1)y=x2-2x-3 (2) y=x2-2x-3,x∈[-1，4]
(3) y x2 x 2 (4) y | x 1| | x 2 |
练习2：分别由下列条件求y=x2+2x-3的值域 (1)x∈R; (2) x∈[0,+∞); (3)x∈[-2,2] 3.换元法.
练习3：求函数 f (x) x 1 2x的值域.
4.分离常数法：
例4.求函数 y 2x 3 的值域 x 1
练习4：求下列函数的值域
(1) y x 3 (2) y 2x 1
2x 5
x 1
5.反解法：当函数表达式中自变量易于解出时， 反解函数所示方程，进而得到值域.
求函数的值域的方法
例1.求下列函数的值域.
(1) y 4 9x2 , x [0, 2]
(2)
y
3x2 x2
5 1
3
1．不等式法.根据函数表达式特征，从函数自变
量的变化范围出发，充分利用不等式的运算性
质进行运算，直接得出函数值域的一种简单方
法.
练习1： 求函数 y 2 x 4 的值域。
例5.求函数
y
x2 x21 1来自的值域练习5：函数 y | x | 2 的值域 | x | 3
6．判别式法：它是反解法的一种特殊情形.当函 数可化为关于自变量的一元二次方程形式时，不 解出方程，而直接利用判别式来求解值域。
例6：求函数
y
x2 x2
x 1 x 1
的值域.
练习6：求函数 y
x 3
2.图象法：对于简单的函数可以画出函数的图 象，再根据图象观察得出函数的取值范围
例2.求下列函数的值域. (1)y=x2-2x-3 (2) y=x2-2x-3,x∈[-1，4]
(3) y x2 x 2 (4) y | x 1| | x 2 |
练习2：分别由下列条件求y=x2+2x-3的值域 (1)x∈R; (2) x∈[0,+∞); (3)x∈[-2,2] 3.换元法.
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综合（2004江苏）
设函数 f (x)
x
(x R)
，区间
1 x
M=[a，b](a<b)，集合N={ y y f (x), x M }
则使M=N成立的实数对(a，b)有 （ ） (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个
练习：求下列函数的值域
1、y = 2x +1 1- 2x
3、y = 1 x2 - 4
mx 2 x2
8x 1
n
的定义域为R，值域为
［0,2］，求m、n的值。
求下列函数的值域 y=-x+cosx x∈[0,π]
y x x2 1
四、单调法
五换元法
求y 2x 1 2x 的函数值域
练习：求下列函数的值域 y= x- x- 2
y = x + 1- x2
y 1 sin x cos x sin x cos x
值域
1、y=-x2+4x+1求满足下列条件 的值域
①x∈R
②x∈[0,3]
③x∈[-1,1]
一、直接法：常见函数及给定 函数定义域求值域最佳方法：
数形结合
综合1
已知函数
f(x)＝x2－4ax+2a+6(x∈R).⑴若 函数的值域为［0，＋∞），求a的 值；⑵若函数的值均为非负值， 求函数g(a)=2－a|a+3|的值域。
求下列函数的值域
y = 2- x2 - 2x+ 3
y=
log (- x2 - 2x+ 3) 3
六、复合函数（化归）
已知函数y=log3[ax2+(2a+1)x+3]的 值域是Ｒ，求实数a的取值范围．
运用三角 （辅助角）
七：结构分析 1、公式结构 2、几何图形
y sin x 1 2 cosx
函数的值域
研究函数的值域： 抓牢法则和定义域 两者清楚值域明白 回归基础理之当然
常见函数类型：
①y=kx+b ②y=ax2+bx+c
③y=k/x
④y=ax
⑤y=logax ⑥y=sinx ⑦y=conx ⑧y=tanx
⑨y=x3
⑩y=x+a/x(a>0)
注：分段函数段段清 务必掌握
1、定义域 2、图象 3、
综合2
y 1 x2 x 在[m,n]的值域 2
为[2m,2n],求m,n=?
求y x 的值域 x 1
适用于一 次分式
二、反函法：适用于便于解出x(用y表示)
化代分式回归基础
分母除以分子
y 1 1 x 1
图象法： y 1 如何平移 y 1 1
x
x 1
界线法： x≠-1 , y≠1
2、y = sinx +1 1- sinx
y x 4 ,求满足下列条件的函数值域 x
①x≠0
三、Δ法(适用于二次分式) 其它：图象法
重要不等式
分类讨论
单调性
②x∈（0,+∞） ③x∈[1，5]
引申：
x2 3 y
x2 2
练习 求函数的值域：
y
x2
2x x1
综合：
已知函数
f
(x)Βιβλιοθήκη log 3函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间 [-3，0]上的值域及最大值、最小 值。
八、导数法
综合
设函数f(x)=x3―x2/2―2x＋5，当 x∈［1,2］时，f(x)＜m恒成立， 求实数m的取值范围。
求函数值域的方法：
1、数形结合 2、反函法
3、 Δ法
4、单调法
5、换元法 6、复合函数
7、结构分析 8、导数法