求函数值域的几种方法
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法
1、通过定义域的极限来求函数值域：由于函数表示法中的变量x的取值范围是定义域，而函数值f(x)的取值范围则可以通过定义域极限的方法来求得。
2、通过函数定义关系来求函数值域：由于函数在定义域内有一定的定义关系，所以可以根据函数定义关系来求函数值域。
3、由于函数在定义域内有一定的性质，所以可以根据函数性质来求函数值域。
4、由于函数在定义域内有一定的对称性，所以可以根据函数的对称性来求函数值域。
5、由于函数在定义域内有一定的单调性，所以可以根据函数的单调性来求函数值域。
6、根据函数的奇偶性来求函数值域：如果函数在定义域内具有奇偶性，则可以根据函数的奇偶性来求函数值域。
7、由于函数在定义域内有一定的常数性，所以可以根据函数的常数性来求函数值域。
8、根据函数增减性来求函数值域：如果函数在定义域内具有增减性，则可以根据函数的增减性来求函数值域。
9、由于函数在定义域内有一定的循环性，所以可以根据函数的循环性来求函数值域。
10、根据函数的图像形状来求函数值域：如果函数在定义域内具有特定的图像形状，则可以根据函数的图像形状来求函数值域。
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法函数值域是一种数学概念，它描述了一个函数的结果范围，是数学研究的基础。
求函数值域的方法有多种，每种方法都有不同的优劣。
本文介绍了求函数值域的十种方法，及其优势和劣势，以供参考。
一、定义法定义法是求取函数值域最为简单的方法，只要将函数的定义式扩大至所有可能被求出的范围即可。
定义法最大的优势在于可以精确求出函数值域，大大减少误差，使得函数值域的求解更有可靠性。
但是，定义法也有其缺点，即求解过程会很繁琐，在有多个参数的函数中，会消耗大量的计算时间。
二、图像法图像法是一种简单易行的求函数值域的方法，它只需要将函数的图像表示出来，然后从图像中观察出函数值域的范围即可。
图像法的优势在于求解速度快，只需要对函数的图像做一次有限次的绘制，就可以直观了解函数的值域，而无需进行耗时的计算。
但是，图像法本身并不能精确求出函数值域，无法判断一些细微的函数特征，从而可能导致求得的函数值域不够准确。
三、五行式五行式是一种常见的求函数值域的方法，它将参数组合为五个不同的行，分别代表不同的极限情况，然后从五行式中求取函数值域。
五行式的最大优势就在于可以根据函数本身的特征，从而排除掉一些不必要的计算，减少运算量，大大提高求解的效率。
但是，五行式也存在一定的局限性，它无法正确处理复杂的函数，也不能处理参数过多的函数。
四、三角形法三角形法是一种求函数值域的经典方法，它将参数抽象出来，将参数空间细分为多个三角形，并将每个三角形中的值域分别求取出来。
三角形法的最大优势在于可以将参数空间剖分为有结构的模块，并在不同模块之间建立联系，从而大大减少计算量。
但是，三角形法也有其不足，即它只能处理二元函数的值域求解，而且在一些复杂函数的情况下，其求解精度也无法保证。
五、基于函数本质的求法基于函数本质的求法是一种综合的求值域的方法，它的原理是从函数的定义本质出发，抽象出函数的特征，并对参数和函数值域之间的联系进行分析，最后求解出函数值域。
高考数学复习函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域，对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-=∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max =故函数的值域是：[4，8]评注：配方法往往需结合函数图象求值域．3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 对于形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简如:.112..22222222b a y 型：直接用不等式性质k+xbx b. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx nx mx n d. y 型 x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1 例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆ 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
函数值域求法大全
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。
换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。
代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。
因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
求值域的10种方法
求值域的10种方法值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围，并且在数学和计算中都是非常重要的。
以下是求值域的10种方法：1.列举法列举法是最简单直接的方法。
通过观察函数的定义，给出一组有序的输出值，并将这些值组成一个集合。
这些值将构成函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过进行一系列的替换运算，然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。
2.图像法在图像法中，我们首先绘制函数的图像，然后找到图像上所有纵坐标的值。
这些纵坐标的集合构成了函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以绘制一个抛物线形状的图像，然后观察所有纵坐标的值。
3.解析法解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。
然后通过解这个方程，我们可以得到y可能的取值范围，即函数的值域。
4.图像逼近法在图像逼近法中，我们通过绘制函数的图像，并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。
这些纵坐标的集合构成函数的值域。
5.猜测法猜测法是一种直觉方法，凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。
这种方法通常需要一定的数学背景和经验，并且在实践中被广泛应用。
6.极值法在极值法中，我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。
极大值是函数图像的局部最高点，极小值是函数图像的局部最低点。
函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。
7.夹逼法夹逼法是通过使用两个已知函数（夹逼函数）来夹住待求函数，然后确定待求函数的值域。
待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。
8.对数法对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。
求函数的对数在一些问题中很有用，因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。
9.差集法差集法是通过找到函数定义域的补集，然后从全体实数集中去除差集的元素，得到函数的值域。
函数求值域的15种方法
函数求值域的15种方法求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。
它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。
求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。
1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。
2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。
3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。
4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。
5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。
6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。
7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。
8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。
9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。
10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。
11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。
12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。
13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。
14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。
15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。
以上就是15种求解函数域的方法。
上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。
根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。
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解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 –1 -1 . 1 1 2 y 2 x 2 x , 1 1 . y y x 2x
y 1 1 1 0 , 即 0. y y
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
1 1 应有 y 1 . 2 2 1 y x 1 2x 的值域应为 ( , ] , 这 说 明 2 “ 方 法1” 中 所 说 的 “ ( x) 0有 实 根 ” 是 必 要 的 . 1 1 (t 1)2 , 2 2
• •
3. 利用 (x) 的值域求 f [ (x) ] 的值域 如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解 出 (x) ，而后由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .
2 x 4 例3 求 函 数 y 的值域 . x 3
解：由原函数， 得
x y 3y 2 x 4,
3y 4 解得 x . y2 3y 4 4 由于 x 0, 0. y 2 . y2 3
4 函数的值域为[ ， 2 ) . 3
1 例 4 求函数 y 2 的值域 . x 2x
又因 f (1) 2 , 函数定义域为 2 ， .
•
6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数 的值域
例8
x2 2 求函数 y 的 值 域 . 2x2 2 3 x 1
解：去分母得2 y x 2 2 3 y x y x 2 2 ,
(2 y 1) x 2 2 3 y x ( y 2) 0
y1.
函数的值域为（- ∞，1 ] .
注：若把函数改为y x 1 2 x , 仍令 t 1 2 x (t 0), 1 t2 1 得 y t (t 1)2 1 2 2 这时若得 y 1，则是错误的 . 事实上，因为 t 0，所以 (t + 1)2 1 .
求函数值域的几种方法
•
求函数值域的问题，也是高中数学中常见的题型， 下面举例说明求函数值域的几种常用的方法. • 1. 利用配方法求函数的值域 • 对函数 y = f (x)，如果 f (x) = a [ (x)]2 + b，并且 (x) = 0 有实根，则当 a > 0 时，f (x) 的值域是 [ b， +∞）；当 a < 0 时，它的值域是（- ∞，b ] . 例1 求 y = 2x2 - 4x + 5 (x R) 的值域 .
• •
4. 利用反函数的定义域求函数的值域 若一个函数有反函数，则它的反函数的定义域就 是原函数的值域 . 2x 3 例5 求函数 y 的值域. 3x 1 2x 3 解：由 y 3 xy y 2 x 3 3x 1 2 y3 y . x , 3 3y 2 2 所以函数的值域为 y y R , 且 y 3. 注：对于分式函数，如果它的分子和分母都 是 x 的一次式，一般用这种方法求值域比较方便 .
因函数的定义域非空集，故上述关于 x 的一元二 次方程一定有实根 .
所以判别式 (2 3 y)2 4(2 y 1)( y 2) 0 .
整理得 y 2 3 y 2 0 y 1 或 y 2 .
函数的值域为 y y 1 , 或 y 2 .
•
注 ： 若一个函数是分式函数，且其分子分母 都是不超过二次的多项式函数，且其中至少有一 个是二次多项式，则这样的函数就可以用上述方 法求值域 . • 另外，等我们学习了不等式一章之后，还可 以用基本不等式求函数的值域 .
• •
5. 利用函数单调性求值域 设函数 y = f (x) 在某一区间上是单调的，且函数 在两个端点处的函数值（或左、右极限）为 a、b， 则 a、b 就是这个函数的最大、最小值（或上、下确 界，a，b也可能是 ∞）.
例6 求函数 y x 1 x 1 的值域.
解：显然此函数的定义域为 [1，+∞）. 当 x 1 时，函数单调递增 .
解：y = 2( x –1 )2 + 3，
由于 2( x –1 )2 0 ， y 3 .
函数的值域为 [ 3，+ ∞）. 注：对于二次函数，都可以用这种配方的方法 求函数的值域 .
•
2. 利用换元法求函数的值域
例2 求函数 y x 1 2 x 的值域.
解：令 1 2 x t，则 1 2 x t 2 ,
1 t2 x ( t 0) . 2 1 t2 1 2 1 y x 1 2x t t t 2 2 2 1 2 1 1 (t 2t ) (t 1)2 1 . 2 2 2 (t 1)2 0, 且当 t 1 时， (t 1)2 0,