安徽省五校2021届高三12月联考理科数学试题及答案

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专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)

专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一求无参函数的单调区间万能模板内容使用场景知函数()f x 的解析式判断函数的单调性解题模板第一步计算函数()f x 的定义域；第二步求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二判定含参数的函数的单调性万能模板内容使用场景函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0；第三步根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三由函数单调性求参数取值范围万能模板内容使用场景由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步根据题意转化为相应的恒成立问题；第三步得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+．（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间；（2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性；（2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性；（2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（）（1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数．（1）若，证明：在单调递增；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数．（1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数．（1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证有三个零点．【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。

河北省“五个一”名校联盟2022-2023学年高三上学期12月期末联考数学答案

河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级联考（2022.12）数学试卷命题单位：石家庄市第一中学（满分：150分，测试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}122,xA x x R =-<<∈，集合{}21log 2,B x x x R =-<<∈，则集合A B = （）A.{}01x x << B.{}1x x < C.112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D.{}4x x <答案：C.2.已知(3)4i z i +=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（）A.1310B.110-C.1310i D.110i -答案：B.3.已知:3p x ≠或7y ≠，:21q xy ≠，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B.4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，左、右焦点分别为12F F 、，O 为坐标原点，P 为右支上一点,且OP ,O 到直线2PF 的距离为b ，则双曲线C 的离心率为（）A.2 C.D.答案：B.5.已知0,0x y >>，且1xy =，则33241x y x y+++的最小值为（）A.2+ B.4C.4+D.4+答案：D.6.设异面直线,a b 所成的角为50，经过空间一定点O 有且只有四条直线与直线,a b 所成的角均为θ，则θ可以是下列选项中的（）A.6πB.3π C.512π D.2π答案：C.7.设1213a =，7ln 4b =，4sin 3c =，那么以下正确的是（）A.a b c >> B.c a b >> C.a c b >> D.c b a>>答案：B.8.已知点列n P 在△ABC 内部，△n ABP 的面积与△n ACP 的面积比为13，在数列{}n a 中，11a =，若存在数列{}n λ使得对*n N ∀∈，13(43)n n n n n n AP a AB a AC λλλ-=++ 都成立，那么4a =（）A.15 B.31C.63D.127答案：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.甲乙丙丁四个人排队，事件A ：甲不在排头，事件B ：乙不在排尾，那么7()9P B A =；B.若随机变量ξ服从二项分布(100,0.6)B ，则(0)P ξ==1000.6；C.若随机变量ξ服从正态分布(100,64)N ，则100,8E D ξξ==；D.(41)4()1E X E X +=+，(41)16()1D X D X +=+.答案：BCD10.已知函数()2sin(2)1(0)f x x θθπ=++<<，其一个对称中心为点(,1)6π，那么以下正确的是（）A.函数()f x 的图像向右平移12π个单位后，关于y 轴对称；B.函数()f x 的最小正周期为2π；C.不等式()0f x ≤的解集是7,412x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；D.当,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，36()0f x x π+≥恒成立.答案：ACD.11.已知,,x y z 均为正数，a =b =，c =，则三元数组(,,)a b c 可以是以下（）A.(1,2,3) B.(3,4,9)C.(5,6,10)D.(7,8,13)答案：CD.12.已知等腰三角形ABC ，3AC BC ==，AB =D 为边AB 上一点，且AD =沿CD 把△ADC 向上折起，A 到达点P 位置，使得二面角P CD B --的大小为23π，在几何体PBCD 中，若其外接球半径为R ，其外接球表面积为S ，那么以下正确的是（）A.CD =B.2PB =C.3R =D.39S π=答案：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分.13.在921()x x-的展开式中，常数项是第项.答案：4.14.已知函数2()lg(65)f x ax x =-+的值域为R ，那么a 的取值范围是.答案：90,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.已知椭圆221105x y +=上有不同的三点,,A B C ，那么△ABC 面积最大值是.答案：4.16.对(0,)x ∀∈+∞，都有32()(2)(ln 1)0xf x x e m x x e e x =+-++-+≥恒成立，那么m 的取值范围是.答案：(,1]2e-∞+四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a ，其前n 项和261n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .解析：（1）由题意可知，261n S n n =-+，21(1)6(1)1(2)n S n n n -=---+≥................................................................................2分两式作差，可得27(2)n a n n =-≥，当1n =时，114a S ==-，所以27(2)4(1)n n n a n -≥⎧=⎨-=⎩..............................................................................................4分（2）由题意可知，(27)2(2)nn n a b n n =-⋅≥，118(1)a b n =-=那么22338......n n n T a b a b a b =-++++，......................................................................6分可知：232(5)2(3)2(1)2......(27)2n n T n -=-⋅+-⋅+-⋅++-⋅，两边乘以2，可得：23412(2)(5)2(3)2(1)2......(27)2n n T n +-=-⋅+-⋅+-⋅++-⋅，......................8分两式作差可得：所以21(2)1028(27)2n n n T n ++--=-+---⋅，即：1(29)220n n T n +=-⋅+....................................................................................10分18.已知在如图所示的三棱锥A BCD -中，4,BD BA BC ===2BAD BCD π∠=∠=，面BAD ⊥面BCD ，（1）求棱AC 的长度；（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值.解析：由题意，取BD 中点设为O ，在面BAD 内做Oz BD ⊥，以O 为坐标原点，,,OC OD Oz 分别为,,x y z 轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系，...........................................1分（1）在直角三角形ABD 内，过A 做AE BD ⊥于E ，可求2AD =，那么AB ADAE BD⋅==21AD DE BD ==，...................2分所以1OE =，那么A ，(2,0,0)C ，所以AC =.....................................................................4分（2）由题意，(0,2,0)B -，(0,2,0)D ，那么BA = ，(2,2,0)BC =，...........................................................................6分设平面ABC 的法向量为(,,)m x y z =，那么：BA m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，整理可得30220y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令y=1，那么(1,1,m =-，......................................................................................8分而(2,2,0)CD =-，...........................................................................................................9分直线CD 与平面ABC 所成角的正弦即为CD 与m所成角的余弦，所以cos ,5CD m CD m CD m⋅<>==⋅所以直线CD 与平面ABC所成角的正弦为5.........................................................12分19.在三角形ABC中，若222sin sin sin sin sin A B C A B C ++=，（1）求角A 的大小；（2）如图所示，若2DB =，4DC =，求DA 长度的最大值.解析：由题意可知，由正弦定理可得：222sin a b c A ++=，再由余弦定理可得：22222cos sin b c bc A b c A +-++=，.......................................................................................................2分即：22sin cos b c A bc A +=+，整理可得：cos 2sin()6b c A A A c b π+=+=+， (3)分可知左边2b cc b+≥，当且仅当b c =时，cos 2sin()26A A A π+=+≤，当且仅当3A π=，左右相等只有两边都等于2时，即同时取得等号，所以，3A π=.............................................................................................................5分（2）由（1）可知：b c =,所以三角形ABC 是正三角形.设BDC θ∠=，BCD α∠=，那么由余弦定理可得：2416224cos 2016cos BC θθ=+-⋅⋅=-，即：BC =，同样CA =...........................................7分在三角形BDC 中，由正弦定理可得：2sin sin θα=，整理得：sinα=，.............................................................................................9分因为BD CD <，所以α为锐角，那么cosα=，........................10分那么1cos()cos322πααα+=-=2162016cos 8(2cos )2016sin()366DA πθθθθ=+----=+-≤，当且仅当23πθ=时取得等号，所以DA 最大值为6............................................12分20.甲、乙两人进行一次乒乓球比赛，约定先胜4局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局比赛中，甲、乙获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立，已知前两局比赛均为甲获胜，（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望.解析：用i A 表示事件：第i 局甲获胜（3,4,5,6,7i =），用i B 表示事件：第i 局乙获胜（3,4,5,6,7i =），.............................................................1分（1）记A 表示事件：甲获得这次比赛的胜利，记B 表示事件：乙获得这次比赛的胜利，那么34563456734567()1()1()()()P A P B P B B B B P A B B B B P B A B B B =-=---4143456734567411113()()1()()22216P B B A B B P B B B A B C --=--=.......................4分（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由题意ξ可取2，3，4，5，那么23411(2)()()24P P A A ξ====，123453452111(3)()()()224P P B A A P A B A C ξ==+==，.......................7分234345634563456345631111(4)()()()()()()2224P P B B B B P A B B A P B A B A P B B A A C ξ==+++=+=1(5)1(2)(3)(4)4P P P P ξξξξ==-=-=-==.......................................................10分所以11117234544442E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.....................................................12分21.已知函数()e xf x =，2()g x x =-.（1）若()1f x ax ≥+恒成立，求a .（2）若直线l 与函数()f x 的图像切于11(,)A x y ，与函数()g x 的图像切于22(,)B x y ，求证：1214x x +<.解：（1）设函数01)(≥--=ax e x h x ，发现0)0(=h ，所以)0(1)(h ax e x h x ≥--=恒成立，那么0=x 是函数)(x h 的最小值点，也就是极小值点，所以0)0('=h ，求导：a e x h x -=)('，把0=x 代入得：1=a .....................................................................2分证明：当1=a 时，1)(--=x e x h x ，求导：1)('-=x e x h ，当0<x 时，0)('<x h ，)(x h 单调递减；当0>x ，0)('>x h ，)(x h 单调递增.所以0)0()(=≥h x h .所以1=a ..................................................................................................................................4分（2）由题意可知：x x f e )('=，x x g 2)('-=，那么：21222)(211x x x e x e x x ---=-=..........................................................................................6分解之可得：212222)(22x x x x x ----=-，即2212-=x x ，所以1x 满足)22(211--=x e x ，即044)22(21111=-+=-+x e x e x x ..............................8分令44)(-+=x e x m x，可知)(x m 单调递增，且02)21(<-=e m ，0143(43>-=e m ，所以43211<<x ，..........................................................................................................10分而212212-<-=x x ，所以4121<+x x ，命题得证.........................................................................................12分22.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，左、右顶点分别为B A 、，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为3π，点P 在直线4=x 上，直线P A 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中N M 、不与左右顶点重合.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）从点A 向直线MN 做垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.解：（1）由题意可得：1c =，设11PF r =，22PF r =，那么22222111211212124()24cos 22r r c r r r r c FTF r r r r +-+--∠==2211212424122b r r b r r r r -==-，....................................................................................................1分可知2212122r r r r a +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =取得等号，所以上式222242112b b a a ≥-=-，即12cos FTF ∠的最小值为2221b a -，又12FTF ∠的最大值为3π，所以2212cos 132b a π==-，...........................................2分所以2234b a =，又1c =，所以解得2,a b ==，所以椭圆C 的标准方程为13422=+y x ............................................................................................................................................4分（2）由题意可知，直线MN 斜率为0时，显然不成立；设直线:MN x my t =+，点),(),,(2211y x N y x M ，联立直线MN 与椭圆C ：⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x tmy x ，整理可得：01236)43(222=-+++t mty y m ，43123,4362221221+-=+-=+m t y y m mt y y ，...........................................5分由上，设直线)2(2:11++=x x y y MA ，直线22:(2)2y NB y x x =--，两直线联立可知交点为P ，解之：)24(2)24(22211--=++x y x y ，所以：31)2()2(1221=+-x y x y ，即：31)2()2(122221=+-x y x y y ..........................................7分而)2)(2(43)41(3222222+--=-=x x x y ，代入上式，31)2)(2(342121=++-x x y y ，高三年级五校联考数学试卷第11页（共11页）即：31)2)(2(342121=++++-t my t my y y ，..........................................................9分然后韦达定理代入可得:31)2(41233422=+--t t ，解之可得：1t =或2-（舍）...........................................11分可知直线MN 过定点)0,1(E ，又由条件：EQ AQ ⊥，所以Q 在以AE 为直径的圆上，圆心即为)0,21(-D ，DQ 为定值23.....................................................................12分。

2021届安徽省五校高三上学期12月联考理科综合生物试卷及答案

2021届安徽省五校高三上学期12月联考理科综合生物试卷★祝考试顺利★(含答案)考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分,考试时间90分钟。

2.考生作答时,请将答案答在答题卡上。

第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共25小题,每题2分,共50分。

在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。

）1．2020年9月8日,全国抗击新冠肺炎疫情表彰大会在京举行,隆重表彰了在抗击新冠肺炎疫情斗争中做出杰出贡献的功勋模范人物,授予钟南山“共和国勋章”,授予张伯礼、张定宇、陈薇“人民英雄”国家荣誉称号。

新冠肺炎疫情警示人们要养成良好的生活习惯,提高公共卫生安全意识。

下列相关叙述正确的是（）A．新冠肺炎病毒的元素组成只有C、H、O、NB．病毒能在餐具上增殖,清洗餐具时要彻底C．新冠肺炎病毒不属于生命系统的结构层次D．新冠肺炎病毒依靠自身核糖体合成蛋白质2.下列关于生物体内水和无机盐的叙述,不正确的是（）A.小麦种子燃尽后的灰烬主要成分是无机盐B.血红蛋白的合成伴随着水的生成C.越冬的植物体内自由水与结合水的比值下降D.植物从土壤中吸收的水分主要用于光合作用和呼吸作用3.关于细胞中化合物的叙述,正确的是（）A.组成脱氧核糖核酸和三磷酸腺苷的元素相同B.纤维素和胰岛素的合成都需要供给N源C.血红蛋白和叶绿素分子都含有C、H、O、N,两者都有肽键D.蛋白质分子中的N主要存在于R基中,核酸中的N主要存在于碱基中4.下列有关生物膜的相关叙述,不正确的是（）A.细胞膜上的受体是细胞间进行信息交流的必需结构B.一切细胞均具有以磷脂双分子层为骨架的细胞膜C.大肠杆菌具有生物膜,但无具膜的细胞器D.不同功能的生物膜上的蛋白质的种类和数量不同5.一项来自某大学的研究揭示了体内蛋白分选转运装置的作用机制,即为了将细胞内的废物清除,细胞膜塑形蛋白会促进囊泡（分子垃圾袋）形成,将来自细胞区室表面旧的或受损的蛋白质带到了内部回收利用工厂,在那里将废物降解,使组件获得重新利用。

安徽省怀远一中、蒙城一中等五校2020届高三联考数学(理)试题及参考答案

）
A. 0
B.
1
C.
2
D.
3
12. 锐角 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 sin A C 5
则 ABC 面积的取值范围是
b sin A uuur uuur ， BA BC
uuur uuur AB AC
2 2c ．
a
A.
14 ,
B.
33
3, 2 3
C.
1,2
D.
43 3,
A. 1
B.
3
C.
6
D.
8
7. 已知正项等比数列 an 的公比为 q ，前 n 项和为 Sn ，则“ q 1 ”是“ S10 S12 2 S11 ”的 (
)
五校联考理科数学第 1 页（共 9 页）
A. 充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C. 充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
8. 函数 f ( x)
∵ an+1 -
bn+1
=
3 an -
4
1 bn +1 4
骣琪琪桫34 bn
-
1 an -
4
1
= an - bn + 2 ，
∴数列 an bn 是首项 3、公差为 2 等差数列，
故 an bn 2n 1 . ………………………… 6 分
(2) 由 (1) 可知， an bn
1 2n
1
，
an
bn
2n 1，
22. （ 12 分）
已知函数 f ( x) ex 1 cos x 1 ax( a R) . （ 1）若 f (x) 在 1, 上单调递增，求实数 a 的取值范围；（ 2）当 a 1 时，若实数 x1, x 2 (x1 x2 ) 满足 f (x1) f (x2) 2 ，求证： x1 x2 0 .

安徽省五校2021届高三上学期12月联考化学

怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中2021届高三“五校”联考化学试题考试时间:2020年12月5日试题说明：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷（非选择题）两部分。

全卷满分100分，考试时间90分钟2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并将条形码粘贴在规定区域内。

3.选择题使用2B铅笔填涂；非选择题使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。

请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．、草稿纸上．．．．．．．．．．．．．．．．．；在试题卷的答题无效．．．．．。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，答题卷上不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。

可能用到的相对原子质量：H1O16Cu64Cl35.5第I卷(选择题共45分)一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的）1、化学与生活、生产及环境等密切相关。

下列说法错误的是（）A.木材和织物用水玻璃浸泡后，不易着火B.煤经过气化和液化等化学变化可转化为清洁能源C.K2FeO4可以对饮用水进行消毒和净化D.体积分数为95%的酒精溶液可以更有效地灭活新型冠状病毒2、下列化学用语表达正确的是（）A.明矾的化学式：KAl(SO4)2S2-B.具有16个质子、18个中子和18个电子的单核微粒：3416C.比例模型可以表示CO2或SiO2D.BaSO4的电离方程式：BaSO4Ba2++SO2-43、N A为阿伏伽德罗常数的值，下列说法正确的是（）A.0.1mol H2和0.1mol I2于密闭容器中充分反应后，其分子总数为0.2N AB.11g由3H和16O组成的超重水中，中子数和电子数之和为10N AC.等物质的量的NaN3和Na2O2中所含阴离子数目均为N AD.0.5mol雄黄（As4S4，结构）含有N A个S－S键4、常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是（）A.与Al反应生成H2的溶液中：K+、HCO－3、NO－3、SO2-4B.透明溶液中：Cu2+、Na+、SO2-4、Cl－C.能使甲基橙变黄的溶液中：K+、Al3+、CO2－3、AlO－2D.pH=7的溶液中：Fe3+、NH4+、Cl－、NO－35、下列离子方程式书写正确的是（）A.将2mol Cl2通入含有1mol FeI2的溶液中：2Fe2++2I－+2Cl2=2Fe3++4Cl－+I2B.向NH4HCO3溶液中加入足量石灰水：Ca2++HCO－3+OH－=CaCO3↓+H2OC.“84”消毒液的漂白原理：ClO －+CO 2+H 2O =HClO +HCO －3D.用浓盐酸酸化的KMnO 4溶液与H 2O 2反应，证明H 2O 2具有还原性：2MnO －4+5H 2O 2+6H +=2Mn 2++5O 2↑+8H 2O 6、下列有关实验能达到相应实验目的的是（）甲乙丙丁A.甲装置可用于二氧化锰与浓盐酸反应制备氯气B.乙装置可用于检验SO 2气体中混有的CO 2气体C.丙装置可用于分离烧杯中的I 2和NH 4ClD.丁装置可用于由硫酸铜溶液获得硫酸铜晶体7、科学家合成一种化合物是很多表面涂层的重要成分，其结构如图所示，其中W 、X 、Y 、Z 为原子序数依次增大的短周期主族元素，只有X 、Y 在同一周期。

安徽省高三第二次五校5月联考数学试题(解析版)

蒙城一中涡阳一中淮南一中怀远一中颍上一中2023届高三第二次五校联考数学试题命题学校：怀远一中考试时间：2023年5月12日考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）{},R M x x x x ==∈M =R ðA. B.C.D.(),0∞-(],0-∞()0,∞+[)0,∞+【答案】A 【解析】【分析】解方程得到，从而得到补集.[)0,M =+∞【详解】，故. {}[),R 0,M x x x x ∞==∈=+(),0M =-∞R ð故选：A2. 若复数，实数a ，b 满足，则（） 1i z =-0bz a z+-=a b +=A. 2 B. 4C.D.1-2-【答案】B 【解析】【分析】法一：化简得到，得到，，；102102b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩2a =2b =4a b +=法二：化简得到，由韦达定理进行求解. 20z az b -+=【详解】法一：∵，1i z =-∴， ()1i 1i 1i 11i 01i 222b b b b a a a +⎛⎫-+-=-+-=-++-+= ⎪-⎝⎭∴, 102102b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得，，. 2a =2b =4a b +=法二：∵， 0bz a z+-=∴，20z az b -+=因为，故也满足， 1i z =-1i z =+20z az b -+=由韦达定理可得，， 1i+1+i 2a =-=()()1i 1+i 2b =-=故. 4a b +=故选：B3. 已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角a b c 1a = ()()1a b a b -⋅+=- 1a b ⋅= 2c b =-a c （） A. 45° B. 60°C. 135°D. 150°【答案】C 【解析】【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可.【详解】∵，，()()1a b a b -⋅+=- 221a b -=-∵，1a b ⋅=∴，则，cos ,a b a b a b ⋅===⋅[]0,πθ∈π,4a b = 设向量与的夹角为，与反向,则. a c θ2,c b c =-bπ3ππ44θ=-=故选：C.4. 图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远500m 镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C 的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P 到底部水平线（x 轴）距离为，则点到该抛物线焦点F 的距离为xOy 125m （）A. B. C. D.225m 275m 330m 380m 【答案】A 【解析】【分析】设抛物线为且，根据在抛物线上求p ，利用抛物线定义求P 到该抛22x py =0p >(250,156.25)物线焦点F 的距离.【详解】令抛物线方程为且，22x py =0p >由题设在抛物线上，则，得，(250,156.25)2312.5250p =2250200312.5p ==又且，则P 到该抛物线焦点F 的距离为米. (),P P P x y 125P y =1251002252P py +=+=故选：A5. 已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在()f x R ()g x R ()f x ()g x 上单调递减，则（）[)0,∞+A. B. ()()()()23ff f f >()()()()23f g f g <C. D.()()()()23g g g g >()()()()23g f g f <【答案】D 【解析】【分析】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【详解】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数， ()f x ()g x [)0,∞+()f x ()g x 所以在上单调递减，在上单调递增，()g x R ()f x (],0-∞对于A ，，但无法判断的正负，故A 不正确； ()()23f f >()()2,3f f 对于B ，，但无法判断的正负，故B 不正确；()()23g g >()()2,3g g 对于C ，，在上单调递减，所以，故C 不正确； ()()23g g >()g x R ()()()()23g g g g <对于D ，，在上单调递减，，故D 正确. ()()23f f >()g x R ()()()()23g f g f <故选：D .6. 若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则1l y x m =+2l y x n =+22220x y x y t +--+=（）m n +=A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A 【解析】【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可. 【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形， 12,l l 则可知圆心到两直线的距离相等，由圆的圆心为：，22220x y x y t +--+=()1,1圆心到的距离为：1:l y x m =+1d 圆心到的距离为：2:l y x n =+2d ，m n ⇒=由题意，m n ≠所以， 0m n m n =-⇒+=故选：A.7. 已知事件A ，B ，C 的概率均不为0，则的充要条件是（） ()()P A P C =A. B. ()()()P A C P A P C =+ ()()P AB P BC =C. D.()()P A B P B C = ()()P AC P AC =【答案】D 【解析】【分析】根据和事件的概率公式判断A 、C ，根据积事件的概率公式判断D ，根据相互独立事件的概率公式判断B.【详解】对于A ，因为，由， ()()()()P A C P A P C P A C =+- ()()()P A C P A P C =+ 只能得到，并不能得到，故A 错误；()0PA C ⋂=()()P A P C =对于B ，由于不能确定，，是否相互独立，A B C 若，，相互独立，则，， A B C ()()()P AB P A P B =()()()P BC P B P C =则由可得，()()P AB P BC =()()P A P C =故由无法确定，故B 错误；()()P AC P BC =()()P A P C =对于C ，因为，()()()()P A B P A P B P A B =+- ，()()()()P B C P B P C P B C =+- 由，只能得到， ()()P A B P B C = ()()()()P A P A B P B P B C -⋂=-⋂由于不能确定，，是否相互独立，故无法确定，故C 错误； A B C ()()P A P C =对于D ，因为，， ()()()P AC P A P AC =-()()()P AC P C P AC =-又，所以，故D 正确； ()()P AC P AC =()()P A P C =故选：D.8. 若，对于恒有，则的最大值是m ∃∈R [],x a b ∀∈2π2sin204m x m x ⎛⎫-+⋅+≤ ⎪⎝⎭b a -（） A.B.C.D.3π4π4π32π【答案】B 【解析】【分析】把不等式化简可得m 的范围，求出b-a 最大值即可.【详解】由，得，即2π2sin204m x m x ⎛⎫-+⋅+≤ ⎪⎝⎭()2sin cos sin cos 0m x x m x x -+⋅+⋅≤,()()sin cos 0m x m x --≤由几何意义可知，函数的图像在函数，的图像之间， y m =sin y x =cos y x =如下图所示，， m ≤≤要使达到最大，仅需要或，此时.b a -m =m =π3ππ44b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，，，若（），()()01111122nn n x a a x a x ⎛⎫+=+-++- ⎪⎝⎭3n ≥*n ∈N 3i a a ≥0,1,2,,i n =L则n 的可能值为（） A. 6 B. 8C. 11D. 13【答案】BC 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式以及二项式系数最大值的知识求得正确答案.【详解】依题意，，()11122121n nx x ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎫+ ⎝⎭⎦⎛⎪所以， ()()()111C 1C 122iiii iii nn a x x x ⎡⎤⎛⎫-=⋅-=⋅⋅- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭依题意，，其中， 111111C C 2211C C 22y y y y n n y y y y n n --++⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩1,2,3,,1y n =- 化简得，继续化简得，111C C 21C C 2y y n n y y n n-+⎧⨯≥⎪⎪⎨⎪≥⨯⎪⎩()()()()()()1!!2!!1!1!!1!!!21!1!n n y n y y n y n n y n y y n y ⎧⨯≥⎪⋅--⋅-+⎪⎨⎪≥⨯⎪⋅-+⋅--⎩即，1123,2223n yn y y y n y n y +⎧≥⎪-+≥⎧⎪⎨⎨+≥--⎩⎪≥⎪⎩依题意，，所以，解得.3i a a ≥133233n n +⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩811n ≤≤故选：BC10. 如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，…构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列的第一项和第二项都{}n a 是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（）A. B. 24620222023a a a a a ++++= 135********a a a a a ++++= C.D.2222123202320232024a a a a a a ++++= 132435202120231220222023111111a a a a a a a a a a a a ++++=- 【答案】BCD 【解析】【分析】由已知且，利用及累加法判断A ；利用及11n n n a a a -++=2n ≥22121n n n a a a +-=-21222n n n a a a ++=-累加法判断B ；利用及累加法判断C ；利用及累加法21121n n n n n a a a a a ++++=-2112111n n n n n n a a a a a a ++++=-判断D.【详解】由题设且，11n n n a a a -++=2n ≥由，，，...，， 21a a =453a a a =-675a a a =-22121n n n a a a +-=-所以， 2462132121...1n n n a a a a a a a a ++++++=-+=-则，A 错误；246202220231a a a a a ++++=- 由，，，...，，12a a =342a a a =-564a a a =-21222n n n a a a ++=-所以，则，B 正确；1352122n n a a a a a ++++++= 135********a a a a a ++++= 由，则，12n n n a a a ++=-21121n n n n n a a a a a ++++=-所以222221232023123123423()()a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+-++ ，C 正确；202320242022202320232024()a a a a a a -=由， 1221212112111n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-===-所以132435202120231111a a a a a a a a ++++ 122323342021202220222023111111a a a a a a a a a a a a =-+-++-，D 正确. 122022202311a a a a =-故选：BCD.11. 如图，正三棱锥和正三棱锥，.若将正三棱锥E PBD -C PBD -2BD =E PBD -绕旋转，使得点E ，P 分别旋转至点A ，处，且A ，B ，C ，D四点共面，点A ，C 分别位于BD 两BD 1A 侧，则（）A.B.PA BD ⊥1PA BD ∥C. 多面体D. 点P 与点E1PA ABCD 【答案】AD 【解析】【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理结合正三棱锥的性质可判断A ，B ；由已知可得，正三棱锥侧棱两两互相垂直，放到正方体中，借助正方体研究线面位置关系和外接球表面积可判断C ；由题意转E 动的半径长为，转动的半径长为可判断D .1EM =P PM =【详解】取的中点为，连接， BD M ,EM PM 由，所以，,EB ED CB CD ==,PM BD EM BD ⊥⊥又，平面，所以平面， = EM PM M ,EM PM ⊂EMP BD ⊥EMP 将正三棱锥绕旋转，使得点E ，P 分别旋转至点A ，处， E PBD -BD 1A 所以平面，所以，故A 正确； PA ⊂EMP BDPA ⊥因为平面，所以，故B 不正确；1PA ⊂EMP 1BD PA ⊥因为A ，B ，C ，D 四点共面，，1112AD AA AB A D A B =====可得：，，22211AA AB BA +=22211AA AD DA +=所以平面， 11,,,,AA AB AA AD AB AD A AB AD ⊥⊥⋂=⊂ABCD 所以平面，同理平面，由已知为正方形，1AA ⊥ABCD PC⊥ABCD ABCD所以可将多面体的正方体，1PA ABCD则多面体 1PA ABCD 表面积为，选项C 不正确；6π由题意转动的半径长为，转动的半径长为，E 1EM =P PM =所以点P 与点E ，故D 正确. 故选：AD. 12. 已知，则（）11ln e e 10βαγαβγ-+-==>A. B.C.D.αγ…βγ…2βαγ-…2βαγ+…【答案】AB 【解析】【分析】分别绘制函数，通过三个函数的图像彼此之间的位()()()11ln e e 1,,x x x f x g x h x x x x-+-===置关系逐项分析.【详解】设， ()()()11ln e e 1,,x x x f x g x h x x x x-+-===则，当时，单调递减，当时，单调递增，()'2ln x fx x-=1x ＞()()'0,f x f x ＜01x ＜＜()()'0,f x f x ＞，∴()()()1max 11,e 0f x f f -===，当时，单调递减，； ()()1'21e x x g x x -+=-x ＞0()()'0,g x g x ＜()11g =单调递增，并且，； ()()'210,h x h x x=＞()1e 0h -=()1e 11h =-＞的大致图像如下：()()(),,f x g x h x又，并且，是减函数，，是增函11ln e e 10t βαγαβγ-+-===＞1ln 1αα+≤()g x ()11,1g β=∴≥()h x 数，，， 11e 1h ⎛⎫=⎪-⎝⎭∴11e e 1γ-≤-＜不是单调的函数，对于，对应和，并且，()f x 01t ＜≤1α2α1201,1αα≤≥＜又设， ()()()11ln ln 2e e x x k x h x f x x x x++=-=--=-，当时，单调递增，时，单调递减，()'21ln x k x x +=1e x -＞()()'0,k x k x ＞10ex -＜＜()()'0,k x k x ＜，()()1min e 0k x k -==即当时，，，AB 正确；1e x -＞()()h x f x ＞1γαβ∴＜＜对于选项CD ，由于不能确定对应的自变量是还是，所以不能确定其正确性. ()f x t =1α2α故选：AB.【点睛】画出函数图像，大致确定三条曲线彼此之间的位置是解题的关键三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在某地A 、B 、C 三个县区爆发了流感，这三个地区分别3%，2%，4%的人患了流感.若A 、B 、C 三个县区的人数比分别为4：3：3，先从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是______. 【答案】0.03 【解析】【分析】患流感的人可能来自三个地方，利用条件概率公式求解.【详解】设事件D 为此人患流感，，，分别代表此人来自A 、B 、C 三个地区，根据题意可知：1A 2A 3A ，，，()1410P A =()2310P A =()3310P A =，，， ()13100P D A =()22100P D A =()34100P D A =()()()()()()()112233P D P A P D A P A P D A P A P D A =++. 4332343030.031010010100101001000100=⨯+⨯+⨯===故答案为：0.0314. 如图，一个棱长6分米的正方体形封闭容器中盛有V 升的水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值：______.【答案】37（答案不唯一）【解析】【分析】如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形， ABCD EFGH -则平面EHD 平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC , 据此计算即可得解.【详解】如图，在正方体中，ABCD EFGH -若要使液面形状不可能为三角形，则平面EHD 平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ,若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，设正方体内水的体积为V ，而， G EHD B AFC V V V V --<<-正方体而（升）， 26=1166332G EHD B AFC V V --=⨯⨯⨯=（升）3636180B AFC V V --=-=正方体所以V 的取值范围是. ()36,180故答案为： ()36,18015. 已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，点P 在双()1,0F c ()2,0F c -τ22221x ya b -=0a >0b >曲线上，，圆：，直线与圆O 相交于A ，C 两点，直线与圆O 相交12PF PF ⊥O 2223x y c +=1PF 2PF于B ，D 两点.若四边形，则的离心率为______. ABCD 2τ【解析】【分析】由弦长公式可得，AB ==CD ==的面积为，再由勾股定理结合双曲线的定义解得，可求双曲线的离心率. ABCD 12AB CD ⋅44425c b =【详解】因为四边形，因为，所以， ABCD 212PF PF ⊥AC BD ⊥设分别为到直线的距离，12,d d O ,AB CD所以，AB ==CD ==所以，212ABCD S AB CD =⋅==∴①，()422222121293c c d d d d -++⋅41514b=∵，，且，122PF d =212PF d =12PF PF ⊥∴，由双曲线的定义可得：，22212d d c +=1221222PF PF d d a -=-=平方可得：，所以代入①，22212214484d d d d a +-⋅=2122b d d =可得：，44425c b =即，令，则，，，2225c b =22b =25c =23a =223b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭双曲线的离心率为. c e a ===16. 完美数（Perfectnumber ）是一类特殊的自然数，它的所有真因数（除自身之外的正因数）的和恰好等于它本身，寻找“完美数”用到函数，为n 的所有真因数之和，如()*:n n σ∈N ()n σ，28是一个“完美数”，则再写出一个“完美数”为______；()2812471428σ=++++=()2160σ=______. 【答案】 ①. 6（或496，8128，33550336等）②. 5280【解析】【分析】根据为n 的所有真因数之和，第一空直接计算即可，分析的正因素的特点，求解即()n σ()n σ可.【详解】，()61236σ=++=，2160的所有真因数的个数为，432160235=⨯⨯542139⨯⨯-=，()()()()012340123012160222223333552160744021605280σ=++++++++-=-=故答案为：6；5280四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，ABC 2DF =. sin BAD ∠=（1）求； sin CAF ∠（2）求的面积. ABC【答案】（1（2【解析】【分析】（1）在中，由及求得；ACF △sin ACF ∠AFC ∠sin CAF ∠（2）在中，设（），则，由正弦定理求得，然后利用余ABD △AF DB t ==0t >2AD t =+73AB t =弦定理即可求解. 【小问1详解】由知，，为正三角形，ACF ABD BCE △≌△≌△ACF BAD ∠=∠DEF ，120120AFC ADB ∠=∠= ，∵. sin BAD ∠=∴，，sin ACF ∠=13cos 14ACF ∠=.()131sin sin 60142CAF ACF ∠=-∠=-=【小问2详解】设（），则，AF DB t ==0t >2AD t =+由正弦定理：，则，sin sin BD ABBAD ADB=∠∠=73AB t =中，，ABD △2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠即，则，， ()222491(2)2292t t t t t ⎛⎫=++-+⨯- ⎪⎝⎭3t =7AB =所以. 177sin 602ABC S =⨯⨯=18. 已知棱长为2的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点.1111ABCD A B C D -BC 1CC（1）求多面体的体积；1CEFADD （2）求直线和平面所成角的正弦值.1BD 1AEFD【答案】（1）73（2【解析】【分析】（1）运用棱台体积公式计算；（2）建立空间直角坐标系，运用数量积计算. 【小问1详解】∴，，∴，∴A ，E ，F ，四点共面， 1//EF BC 11//BC AD 1//EF AD 1D 易知多面体是一个三棱台，1CEFADD (11-13CEF DAD CEF DAD V S S CD =++⋅△△；11722323⎛=++⨯=⎝【小问2详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，为z 轴建立空间直角坐标系如上图， 1DD 则，()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2A B C E D ，()()()111,2,0,2,0,2,2,2,2AE D A D B =-=-=-设平面的一个法向量为，则有，即， 1AEFD (),,m x y z = 1·0·0m D A m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩22020x z x y -=⎧⎨-+=⎩令，则，1y =()2,2,2,1,2x z m ==∴=设直线与平面的夹角为，则；1BD 1AEFDθ11sin m D B m D Bθ== 综上，多面体的体积为，直线与平面1CEFADD 731BD 1AEFD 19. 甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第（）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，在丙手中的方法数n *N n ∈n a 为.n b （1）求证：数列为等比数列，并求出的通项； {}1n n a a ++{}n a （2）求证：当n 为偶数时，.n n a b >【答案】（1）证明见解析， 22(1)3n nn a +-=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）首先确定第n 次抛沙包后的抛沙包方法数为，再结合条件列出关于数列的递推公2n {}n a 式，即可证明数列是等比数列，并且变形后，利用累加求{}1n n a a ++()()()111112n n n n n a a ------=-和，即可求解数列的通项公式；（2）首先由条件确定，再根据（1）的结果，确定数列的通项公式，再比较大小.22nn n a b +={}n b 【小问1详解】由题意知：第n 次抛沙包后的抛沙包方法数为，2n 第次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，若第n 次抛沙包后沙包在甲手中，则第次抛沙包1n +1n a +1n +后，沙包不可能在甲手里，只有第n 次抛沙包后沙包在乙或丙手中，故，且()10212nnn n n n a a a a +=⨯+-⨯=-10a =故，12nn n a a ++=，()1122n n n na a n a a +-+=≥+所以数列为等比数列，{}1n n a a ++由，得，112n n n a a --+=()()()111112n n n n n a a ------=-， ()()()12112112a a ---=-， ()()()23223112a a ---=-，()()()34334112a a ---=-……………，()()()111112n n n n n a a ------=-以上各式相加， ()()()1112121112n n na a -⎡⎤---⎣⎦---=+可得；22(1)3n nn a +-=【小问2详解】由题意知：第n 次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为， n b 则，22nn n a b +=∵当n 为偶数时，，22(1)222333n n n nn a +-+==>2223n n n n a b -=<∴.n n a b >20. 为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积花分为400个区块，从中随机抽取40个区块，得到样本数据（），部分数据如下： (),i i x y 1,2,,40i = x … 2.7 3.6 3.2 3.9 … y…50.663.752.154.3…经计算得：，，，.401160==∑ii x4012400==∑i i y ()4021160=-=∑i i x x ()()4011280=--=∑i i i x x y y （1）利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；（2）该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致.设前者与后者的斜率分别为1k ，，比较，的大小关系，并证明.2k 1k 2k 附：y 关于x 的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，y abx =+ 1221ˆni ii niix y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-$$nnx yr =【答案】（1）828y x =+（2），证明见解析 12k k <【解析】【分析】（1）根据最小二乘法计算公式求解；（2）根据相关系数证明. 1r ≤【小问1详解】，，，， 160440x ==24006040y ==12808160b == 603228a =-=故回归方程为； 828y x =+【小问2详解】x 关于y 的线性回归方程为，11x a b y =+ ()()()1121ˆniii nii x x y y b y y ==--=-∑∑，，()()()40114021iii ii x x y y k bx x ==--==-∑∑ ()()()2401240111ii iii y y k b x x y y ==-==--∑∑ 则，r 为y 与x 的相关系数， ()()()()240121402221i i i i ii x x y y k r k x x y y ==⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==--∑∑又，，，故，即， 1r ≤1k 20k >121k k ≤12k k ≤下证：， 12k k ≠若，则，即恒成立，12k k =1r =()8281,2,,40i i y x i =+= 代入表格中的一组数据得：，矛盾， 50.68 2.728≠⨯+故.12k k <综上，y 关于x 的回归方程为.828y x =+21. 已知椭圆C ：（）的左焦点与圆的圆心重合，过右焦22221xy a b+=0a b >>1F 220x y ++=点的直线与C 交于A ，B 两点，的周长为8. 2F 1ABF （1）求椭圆C 的方程；（2）若C 上存在M ，N 两点关于直线l ：对称，且（O 为坐标原点），求k 2230kx y -+=OM ON ⊥的值.【答案】（1）2214x y +=（2） 2k =±【解析】【分析】（1）根据圆心求出焦点坐标再根据定义求出a ，可得标准方程；（2）先由M ，N 两点关于直线l ：对称设出直线方程，再由垂直得出2230kx y -+=最后结合点差法求值即可.12120,0,OM ON x x y y ⋅=+=【小问1详解】由，得，∴220x y ++=()1F c =根据椭圆定义，又因的周长为8，∴，，1ABF 48a =2a =∴，椭圆C 的方程为；2221b a c =-=2214x y +=【小问2详解】设线段的中点，，，MN ()00,Q x y ()11,M x y ()22,N x y由直线，且， 3:02l kx y -+=l MN ⊥设，则联立 MN :l x ky m =-+22,44,x ky m x y =-+⎧⎨+=⎩得()2224240k y kmy m +-+-=()()()()22222Δ2444164km k m k m =-+-=+-， 12224km y y k +=+212244m y y k -=+()22121212x x m km y y k y y =-++∵OM ON ⊥∴，即12120,0,OM ON x x y y ⋅=+= ()()22121210m km y y k y y -+++=∴ ①()22541m k =+得， 221122221,41,4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2222121204x x y y -+-=即，∴， 12121212104y y y y x x x x -++⋅=-+1212114y y k x x +⋅=+∵，，∴，得， 00132x k y =-012120y y y x x x +=+001342y y =-021y =-∴②2214kmk =-+联立①②，消去m 得，，421124800k k --=∴，，∴或 24k =2k =±2,2,k m =⎧⎨=-⎩2,2,k m =-⎧⎨=⎩经验证，满足，∴. Δ0>2k =±22. 已知正实数，函数，，为的导函数. 1012a b <≤≤<()1x x f x a b -=+[]0,1x ∈()g x ()fx （1）若，求证：；1a b +=()0g b ≤（2）求证；对任意正实数m ，n ，，有.1m n +=n m m n m n m n +≤≤+【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）化简要证明的不等式后构造结合函数的单调性求出最值证()()()ln 1ln 1h x x x x x =---明即可；（2）由（1）知，应用单调性证明可得. 【小问1详解】， ()1ln (1)ln e e x x x a x b f x a b --=+=+ ()()ln (1)ln e ln e ln x a x b f x g x a b --'==()ln 2(1)ln 2e ln e ln 0x a x b g x a b -=+>'∴在上单调递增，得()g x []0,1()()1ln ln bbg x g b a a bb -≤=-要证：()0g b ≤只需证：.即1ln ln b b a a b b -≤11ln ln a b a a b b --≤即证：ln ln a b a b a b a b≤令，， ()ln x x x ϕ=()0,1x ∈()21ln 0xx x ϕ'-=>∴在上单调递增()x ϕ()0,1故证，即a b a b ≤()()ln ln 1ln 1a a b b a a ≤=--令，， ()()()ln 1ln 1h x x x x x =---10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()22ln e h x x x '⎡⎤=-⎣⎦，，在上单调递增 21e ln 024h ⎛⎫=> ⎪'⎝⎭219e ln 010100h ⎛⎫='< ⎪⎝⎭()h x '10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭∴存在唯一使， 010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x '=在上单调递减，在上单调递增 ()h x ()00,x 01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()()(){}max 0,10h x h h ≤=∴，故原不等式成立，即；a b a b ≤()0g b ≤【小问2详解】由（1）知，在上单调递减 ()f x []0,1∴，即 ()()12f b f f a ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭b a a b a b a b +≤≤+由于，且m ，n 为正实数，不妨令 1m n +=1012m n <≤≤<∴.n m m n m n m n +≤+≤+。

安徽省2021届高三12月联考试题数学(文) Word版含答案

2021届高三联考文科数学试题考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，．在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．。

3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用，三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列，不等式。

第I 卷(选择题共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ＝{x|2≤x ≤4}，B ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，则A ∩B ＝A.{x|<x<4}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|<x ≤4}2.已知复数z 满足i ·z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为A.－1＋iB.－1－iC.1＋iD.1－i3.设p ：|x ＋1|<1，q ：－2<x<2，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知a ＝20.2，b ＝log 20.2，c ＝log 0.20.3，则a ，b ，c 的大小关系为A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用。

明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图1所示)。

假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，简车转动的角速度ω为12rad/s ，如图2所示，盛水桶M 在P 0处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为A.3.2mB.3.4mC.3.6mD.3.8m6.在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AB ＝2，则|AM BN +|＝A.2B.10C.4D.257.函数f(x)＝21log x的部分图象可能是8.若正实数x ，y 满足x ＋y ＝l ，则下列不等式恒成立的是 1x y ≤ 12xy C 2212x y +≥ D.1114x y +≤ 9.已知数列{a n }为单调递增的等差数列，且a 1＝1，若a ，1＋a 3，a 6成等比数列，则a 20＝A.18B.28C.38D.5810.已知函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x ≥1时，f(x)＝2x －1＋x 2－2x ＋1，，则不等式f(2x －1)<f(x ＋1)的解集为 A.(23，2) B.(23，1)∪(1，2) C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，23)∪(2，＋∞) 11.在边长为3的等边△ABC 中，D 为△ABC 内一点，∠ADC ＝120°。

安徽皖北五校2022-2023学年高三上学期第一次联考试题+地理+Word版含答案

蒙城一中涡阳一中淮南一中，怀远一中颍上一中2023届高三第一次五校联考地理试题命题学校：怀远一中考试时间：2022年12月16日考生注意：1.本试卷满分100分，考试时间90分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

第I卷（选择题共44分）一、选择题（本大题共22小题，每小题2分，共计44分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）图1中是我国北方某小镇的太阳能路灯景观图。

该镇中学课外实践小组对路灯的能源装置太阳能集热板进行了长时间的观测研究，并提出了改进的设想。

下表为该小组观测记录简表，夏至日集热板倾角为16°34′。

如图1中b所示。

据此完成1～2题。

注：表中时间为北京时间。

1.该小镇的位置在A.118°E，40°NB.118°E，36°34′NC.122°E，40°ND.122°E，36°34′N2.该小组拟设计一自动调控装置，通过电脑调控使集热板每天正午正对太阳，以获得更多的太阳辐射能。

设计小组设计的集热板在该小镇一年中调整角度为A.90°B.46°52′C.23°26′D.40°马达加斯加岛的Q地（如图2）为丘陵地形，年降水量约为900mm，季节变化明显。

在Q地这片落叶林地上，过去以传统的刀耕火种方式种植玉米为主，因土壤贫瘠而单产很低。

近年来，在我国农业科技工作者指导下实施蔬菜（雨季）和水稻（干季）轮作。

右表阴影部分示意马达加斯加Q地过去传统种植的农事活动月份分布。

据此完成3～5题。

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13 题. 7
14 题. 1
15 题. 6
16 题.①③
15.【解析】
由复数的几何意义可知，复数 z1 在复平面内对应的点 P 在以原点为圆心的单位圆上，
z2 对应的点为定点 Q(3, 4) ，则 z1 z2 表示 P ， Q 两点间距离，由解析几何知识得最大值
1
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2
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由 2k 2x 2k , k Z
2
42
解得 3π kπ x π kπ, k Z
8
8Байду номын сангаас
………4 分 ………5 分
所以，函数
f
(x)
的单调递增区间为
3π 8
kπ,
π 8
kπ
,
k
Z
.………6
2021 届高三“五校”联考理数答案
2020 年 12 月 4 日
一、选择题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
选项 B
C
A
D
D
C
B
D
C
A
C
B
11.【解析】
由对称轴和零点可知
π 4
(
π) 4
2k 1T 4
k
N ,T
2
，得到
2k
1, k N
①
由
f
(x) 在区间 ( π ，π ) 上单调可知
A，B
是圆
O
上两点，
AOB
2
π
，
AOB
的平分线交圆
O
于点
C
，则 OC
3
A．
1
OA
1
OB
22
B．
3
OA
3
OB
C．
2
OA
2
OB
D． OA OB
2
2
33
5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科
学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图 1 所示）.假定在水流量稳定的情况
理科数学试题第 2 页（共 4 页）
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三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17 题满分为 10 分，第 18~22
题每题满分为 12 分.
17.（10 分）
已知函数
f
(x)
(x2
（1） f (x) cos4 x cos x sin x sin x cos x sin 4 x
(cos2 x sin2 x)(cos2 x sin2 x) 2sin x cos x
cos 2x sin 2x
2
sin
2x
π 4
周期 T 2π π 2
………2 分 ………3 分
为 32 42 1 6 .
16.【解析】
S4 lnS3 , S3 0, S4 lnS3 S3 1 ，进而得 a4 1. 又 a1 1, q 0. 若q 1，则q q 2 0,1 q q 2 1, a1 1,a1(1 q q2) 1,即 S3 1, S4 lnS3 0, S4 a1(1 q q 2 q 3) 0, 1 q q 2 q 3 0, (1 q) q2 (1 q) 0,(1 q)(1 q2 ) 0,这与q 1相矛盾.
分
（2）由方程
f
(x)
m
0
在
0,
π 2
上有两个不同的实数解
可得 m
f
(x) 在 0,
π 2
上有两个不同的实数解
即函数 y m 与函数 y f (x), 0 x π 的图象有两个交点 2
………8 分
令 t 2x π ，则 π t 5π
44
42
π 2
π 4
T 2
π
，得到
4
②
由①②可知可能取 3.
当
3 时，可得
4
，
f
x
sin 3x
4
满足在
4
， 2
上单调，所以
3 满足
题意，故的最大值为 3.
12.【解析】
解法一：易知 x2 x ln x 0 在 x (0, ) 时恒成立，从而可知 a 0 满足题意；
当
a
0
时，原不等式可化为
1 a
x2
x ln ex
x
.记
g(x)
x2
x ln ex
x
，则
1 a
gmax (x)
.
而
g(x)
(x
1)(ln x ex
x
1)
， ln
x
x
1
0
，
因此， x (0,1) 时 g(x) 0 ； x (1, ) 时 g(x) 0 ；
所以，
g max
(x)
g (1)
1 e
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
8.已知 a 20.2 ， b log2 0.2 ， c log0.2 2 ，则 a,b, c 的大小关系为
A． a b c
B． b a c
C． c b a
D． b c a
9.已知 △ABC 是边长为 3 的等边三角形，点 D 为△ABC 内一点，且 ADC 120 ， AD 1 ，则 BD
（2）求数列{3ann1} 的前 n 项和 Sn .
20.（12 分）
△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c .设 sin 2A sin C .
a
b
（1）判断 △ABC 的形状；（2）若 △ABC 的外接圆半径为1，求 △ABC 周长的最大值.
理科数学试题第 3 页（共 4 页）
.
15.已知复数 z1, z2 满足 | z1 | 1 ， z2 3 4i ，其中 i 为虚数单位，则 | z1 z2 | 的最大值为
.
16.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和， q 为{an}的公比且 S4 ln S3 .若 S1 1 ，则下列命题中所有正
确的序号是
.
① 1 q 0 ；② a4 0 ；③ S1 S2 S3 ；④ S1 S2 S3 .
22.（12 分）
已知函数 f (x) aex ln x ， g(x) xf (x) x . x
（1）若曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线过点 (2,1) ，求实数 a 的值；
（2）当 a
1 e2
时，证明：
g(x)
2
.
理科数学试题第 4 页（共 4 页）
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（1）求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于 x 的方程 f (x) m 0 在[0, π ] 上有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围.
2
19.（12 分）
设数列 an满足 a1 3 ， an1 2an 3n 3 .
（1）计算 a2 ， a3 ，猜想{an}的通项公式并加以证明；
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21.（12 分）第二届阜阳花博会 2020 年 9 月 28 日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调
研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉 30 余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预
算，投入展销费 x 万元时，销售量为 m 万个单位，且 m 2x 1 （ 0 x a2 a ， a 为正实数）．假定 x 1
11.已知函数 f (x) sin(x ), ( 0,| | π ) ，x π 是 f (x) 的零点，直线 x π 是 f (x) 图象的
2
4
4
对称轴，且 f (x) 在 ( π ，π) 上单调，则的最大值为 42
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
12.若关于 x 的不等式 ex a(x2 x ln x) 对任意 x (0, +) 恒成立，则实数 a 的取值范围为
下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心 O 到水面的距离 h 为1.5 m ，
筒车的半径
r
为
2.5
m
，筒车转动的角速度
为π 12
rad
/
s
，如图
2
所示，盛水桶
M
在
P0
处距水面的
距离为 3 m ，则 2 s 后盛水桶 M 到水面的距离近似为
A． 3.2 m
B． 3.4 m
C． 3.6 m
销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育 m 万个单位还需要投入成本 (2m 1) 万元（不含展销费），花卉的销售价定为 (11 4 ) 万元/万个单位．
m （1）写出该花卉基地的销售利润 y 万元与展销费 x 万元的函数关系；（2）展销费 x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？（注：利润 = 销售价销售量投入成本展销费）
2.已知复数 z 满足 i z 1 i ，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数为
A． 1 i
B． 1 i
C．1 i
3.设 p : | x 1| 1 , q : 2 x 2 ,则 p 是 q 的