中考数学总复习专题六圆的有关证明与计算试题新人教版
中考数学专题二 题型六 与圆有关的证明与计算
1. 已知切线 例2 (2020·菏泽)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC 相交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E. (1)求证：DE⊥AC； (2)若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长． 【分析】(1)连接AD，OD.先证明∠ADB＝90°，∠EDO＝90°，从而可证明 ∠EDA＝∠ODB，由OD＝OB可得到∠EDA＝∠OBD，由等腰三角形的性质 可知∠CAD＝∠BAD，故此∠EAD＋∠EDA＝90°，于是可得到DE⊥AC； (2)由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角 形的面积得出答案．
8. (2020·北京)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为 BA 延长线上一点， CD 是⊙O 的切线，D 为切点，OF⊥AD 于点 E，交 CD 于点 F. (1)求证：∠ADC＝∠AOF；
(2)若 sin C＝13 ，BD＝8，求 EF 的长．
(1)证明：连接OD，如解图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD， ∵OF⊥AD，∴OF∥BD， ∴∠AOF＝∠B，∵CD是⊙O的切线，D为切点， ∴ ∠ CDO ＝ 90° ， ∴ ∠ CDA ＋ ∠ ADO ＝ ∠ ADO ＋ ∠ BDO ＝ 90° ， ∴∠CDA＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOF＝∠ADC；
1. 如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD， 交AD于点E，连接BC. (1)求证：AE＝ED； (2)若AB＝6，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积． (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD， ∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE＝ED；
3. (2019·孝感)如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的 外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD，BA相交于点F， ∠ADF的平分线交AF于点G. (1)求证：DG∥CA； (2)求证：AD＝ID； (3)若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
人教版2020年中考数学一轮复习《与圆有关的证明和计算》大题专项练习含答案解析
中考专题——与圆有关的证明和计算纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；一般在10分－15分左右，以后发展中利用圆的知识与其他知识点如函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位。
考查的类型：（1）线段、角以及切线的证明；（2）利用勾股定理、相似以及锐角三角函数进行线段，比值和阴影面积的求解.例题精讲：1、如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC 交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．2、如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若∠PAC=90°，AB=2，求PD的长．3、如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，（1）求证：DE=DB；（2）若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径．4、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF是⊙O的切线．（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．补充练习：1、如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC于点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若∠C＝60°，⊙O的半径为2，求由弧DE，线段DF，EF围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．3、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE=7，BC=6，求AC的长．4、如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（2）若DA=DF=6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）5、如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A=∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E．（1）判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠DBA=30°，CG=8，求BE的长.6、如图，AB为⊙O的直径，C，E为⊙O上的两点，若AC平分∠EAB，CD⊥AE于点D.（1）求证：DC是⊙O的切线；3，求DE的长；（2）若AO=6，DC=33，求图中阴影部分面积.（3）过点C作CF⊥AB于F，如图2，若AD-OA=1.5，AC=3答案解析例题精讲：1、（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴∠AEO是等边三角形，∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=A0=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD==．2、（1）证明：∵∵ABC=∵APC，∵BAC=∵BPC，∵APC=∵CPB=60°，∵∵ABC=∵BAC=60°，∵∵ABC是等边三角形．（2）解：∵∵ABC是等边三角形，AB=2，∵AC=BC=AB=2，∵ACB=60°．在Rt∵PAC中，∵PAC=90°，∵APC=60°，AC=2，∵AP=AC•cot∵APC=2．在Rt∵DAC中，∵DAC=90°，AC=2，∵ACD=60°，∵AD=AC•tan∵ACD=6．∵PD=AD﹣AP=6﹣2=4．3、（1）证明：∵BE平分∠BAC，AD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，∴，∴∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAE，∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAE，∴∠DBE=∠DEB，∴DE=DB；（2）解：连接CD，如图所示：由（1）得：，∴CD=BD=4，∵∠BAC=90°，∴BC是直径，∴∠BDC=90°，∴BC==4，∴△ABC外接圆的半径=×4=2．4、（1）证明：连接OD，作OF⊥AC于F，如图，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵OF⊥AC，∴OF=OD，∴AC是⊙O的切线；（2）解：在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，∴r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt△AOD中，AD=OD=，∴阴影部分的面积=2S△AOD﹣S扇形DOF=2××1×﹣=﹣．5、（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°，∵点F 是ED 的中点，∴CF ＝EF ＝DF ，∴∠AEO ＝∠FEC ＝∠FCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OD ⊥AB ，∴∠OAC+∠AEO ＝90°， ∴∠OCA+∠FCE ＝90°，即OC ⊥FC ，∴CF 与⊙O 相切；（2）解：∵OD ⊥AB ，AC ⊥BD ，∴∠AOE ＝∠ACD ＝90°，∵∠AEO ＝∠DEC ，∴∠OAE ＝∠CDE ＝22.5°， ∵AO ＝BO ，∴AD ＝BD ，∴∠ADO ＝∠BDO ＝22.5°，∴∠ADB ＝45°，∴∠CAD ＝∠ADC ＝45°，∴AC ＝CD ．补充练习：1、（1）如图，连接OD ∵AB 为⊙O 的直径∴AD ⊥BC ∵AB=AC ∴BD=CD ，D 为BC 中点∵O 为AB 中点∴OD ∥AC ∵DF ⊥AC ∴DF ⊥OD ∴DF 为⊙O 的切线（2）如图，连接OE 、OD ∵AB=AC ，∠C=60°∴△ABC 为等边三角形∴∠B=∠A=60°，AB=AC=BC=2⨯2=4∵OA=OB=OD=OE ∴△OAE ，△OBD 都是等边三角形∴∠ODB=∠BOD=∠AOE -∠OEA=∠C=60° ∴∠DOE=180°-2⨯60°=60°，OD ∥AC ，OE ∥BC ∴四边形ODCE 是平行四边形∴OD=CE=BD=CD=2∴DF=CDsin60°=3232=⨯，CF=CDcos60°=1212=⨯ ∴ππ32-323360260-3121-32--2=⨯⨯⨯⨯==∆ODE CDF S S S S 扇形平行四边形阴影2、（1）证明：连接DE 、OD ∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠CDA=∠AED ∵AE 为直径∴∠ADE=90°∵AC ⊥BC ∴∠ACD=90°∴∠DAO=∠CAD ∴AD 平分∠BAC（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC ∴∠B=∠BAC=45°∵BC 相切⊙O 于点D ∴∠ODB=90°∴OD=BD ，∠BOD=45°设BD=x ，则OD=OA=x ，0B=3x ∴BC=AC=x+1∵AC 2+BC 2=AB 2∴22)2()12x x x +=+（ 所以x=2∴BD=OD=2 ∴()4-1360245-22212ππ=⨯⨯=-∆=DOE S BOD S S 扇形阴影3、（1）证明：连接OD ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C 。
中考数学专题复习《圆的证明与计算》检测题(含答案)
专题二 圆的证明与计算类型一 圆基本性质的证明与计算1.如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． (1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．第1题图2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接P A ，PB ，PC .(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠P AB 的值．第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝32. (1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；(2)如图②，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为BC ︵上一点，BF ︵＝BD ︵，且CF ＝7，求AC 的长．第3题图4.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE .(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若 DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．第4题图5.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．第5题图 备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sin C＝35时，求⊙O的半径．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若sin ∠P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．第2题图3. 如图①，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，点P 在BA 的延长线上，且满足∠PDA ＝∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②)，当M 恰为BC ︵的中点时，试求DE BE 的值；(3)若P A ＝2，tan ∠PDA ＝12，求⊙O 的半径．第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE . (1)求证：△ABC ∽△CBD ； (2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连接DF .(1)求证：CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35，求EF 的长．第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．第3题图4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．第4题图5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD ＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长．第6题图7.如图①，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E (BE ＞EC )，且BD ＝2 3.过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积；(3)若AB AC ＝43，DF ＋BF ＝8，如图②，求BF 的长．第7题图三、与全等三角形结合1.如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点． (1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC ＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．第1题图2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第2题图3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求证：AE与⊙O相切；(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tan B的值．第3题图4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O 交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线P A为⊙O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．第4题图5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD ，交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证：PD ∥AB ； (2)求证：DE ＝BF ；(3)若AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，求线段PC 的长．第5题图6.如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D . (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163，AC ＝8，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第6题图7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG 相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GD＝GA；(2)求证：△DEF是等腰三角形；(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△P AD ∽△PCB ， ∴P A PD ＝PC PB ， ∴P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)解：如解图，连接OD ，过O 点作OE ⊥DC 于点E ， ∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝P A ＋AB ＝16，PC ＝PD ＋DC ＝2DC ＋2， ∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)， 解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)， ∴DE ＝12DC ＝4， ∵OD ＝5，∴在Rt △ODE 中，OE ＝OD 2－DE 2＝3， 即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明：∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°， 又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∵点P 是AB ︵的中点， ∴P A ︵＝PB ︵，∴∠ACP ＝∠BCP ＝12∠ACB ＝30°，而∠APC ＝∠ABC ＝60°， ∴△APC 为直角三角形， ∴tan ∠APC ＝AC AP ， ∴AC ＝AP tan60°＝3AP ；(2)解：连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC ，BO ，如解图，∵AB ＝AC ， ∴AF ⊥BC ， ∴BF ＝CF ， ∵点P 是AB ︵中点， ∴∠ACP ＝∠PCB ， ∴EG ＝EF .∵∠BPC ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝∠FOC ， ∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425， 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，∴OF ＝OC 2－FC 2＝7a ，AF ＝25a ＋7a ＝32a ， 在Rt △AFC 中，∵AC 2＝AF 2＋FC 2， ∴AC ＝（32a ）2＋（24a ）2＝40a ， ∵∠EAG ＝∠CAF ， ∴△AEG ∽△ACF ， ∴EG CF ＝AE AC ，又∵EG ＝EF ，AE ＝AF －EF ，第2题解图∴EG 24a ＝32a －EG 40a ， 解得EG ＝12a ，在Rt △CEF 中，tan ∠ECF ＝EF FC ＝12a 24a ＝12， ∵∠P AB ＝∠PCB ，∴tan ∠P AB ＝tan ∠PCB ＝tan ∠ECF ＝12. 3. 解：(1)如解图①，连接BD ， ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ， ∴CE ＝DE ，∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角， ∴∠ACD ＝∠ABD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝32， ∴ED EB ＝AE CE ＝32，即ED 8＝32， ∴ED ＝12， ∴CE ＝ED ＝12， 又∵AE ＝32CE ＝18， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝613；(2)连接CB ，过B 作BG ⊥CF 于G ，如解图②， ∵BF ︵＝BD ︵， ∴∠BCE ＝∠BCG ， 在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE ＝∠BCG ∠BEC ＝∠BGC BC ＝BC， ∴△CEB ≌△CGB (AAS)， ∴BE ＝BG ＝4，∵四边形ACFB 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠CFB ＝180°， 又∵∠CFB ＋∠BFG ＝180°， ∴∠BFG ＝∠A ， ∵∠FGB ＝∠AEC ＝90°， ∴△BFG ∽△CAE ， ∴FG BG ＝AE CE ＝32， ∴FG ＝32BG ＝6， ∴CE ＝CG ＝13， ∴AE ＝32CE ＝392，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝13213. 4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， 即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴等腰△ABC ，AD 为BC 边上的垂线， ∴BD ＝DC ， ∴D 是BC 的中点； (2)解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠AED ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴CD ＝DE ＝3， ∴BD ＝CD ＝3， ∵BD －AD ＝2， ∴AD ＝1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋12＝10， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径＝12AB ＝102； (3)解：如解图，连接BE ， ∵AB ＝10， ∴AC ＝10，∵∠ADC ＝∠BEA ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴AC BC ＝CD CE ，由(2)知BC ＝2BD ＝6，CD ＝3， ∴106＝3CE ， ∴CE ＝9510，∴AE ＝CE －AC ＝9510－10＝4510. 5. 解：(1)等边三角形．第4题解图【解法提示】∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角，∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ＝60°，∠ABC ＝∠APC ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∴AC ＝BC ，又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC 是等边三角形． (2)P A ＋PB ＝PC .证明如下：如解图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD ， ∵∠APC ＝60°， ∴△P AD 是等边三角形， ∴P A ＝AD ＝PD ，∠P AD ＝60°， 又∵∠BAC ＝60°， ∴∠P AB ＝∠DAC ， 在△P AB 和△DAC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AD ∠P AB ＝∠DAC ，AB ＝AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS)， ∴PB ＝DC ， ∵PD ＋DC ＝PC ， ∴P A ＋PB ＝PC ，(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大． 理由如下：如解图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， ∵S △P AB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径， 此时四边形APBC 的面积最大， 又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3 ， ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3＝ 3 . 类型二 与切线有关的证明与计算 一、与三角函数结合 针对演练1. (1)证明：连接OE ，如解图， ∵AB ＝BC 且D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ， ∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，第1题解图∵BD ⊥AC ， ∴OE ⊥AC ， ∵OE 为⊙O 半径， ∴AC 与⊙O 相切；(2)解：∵BD ＝6，sin C ＝35，BD ⊥AC ， ∴BC ＝BDsin C ＝10， ∴AB ＝BC ＝10.设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10－r ， ∵AB ＝BC ， ∴∠C ＝∠A ， ∴sin A ＝sin C ＝35， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ，∴sin A ＝OE OA ＝r 10－r ＝35，∴r ＝154， 即⊙O 的半径是154.2. (1)证明：连接OC ，如解图， ∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ， ∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径，第2题解图∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°， ∵OC ＝OA ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠PCA ＝∠ABC ； (2)解：∵AE ∥PC ， ∴∠PCA ＝∠CAF ， ∵AB ⊥CG ， ∴AC ︵＝AG ︵， ∴∠ACF ＝∠ABC ， ∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∴CF ＝AF ， ∵CF ＝5， ∴AF ＝5， ∵AE ∥PC ， ∴∠F AD ＝∠P ， ∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠F AD ＝35，在Rt △AFD 中，AF ＝5，sin ∠F AD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4， ∴CD ＝CF ＋FD ＝8， 在Rt △OCD 中，设OC ＝r ， ∴r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10， ∴AB ＝2r ＝20， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，sin ∠EAD ＝35， ∴BE AB ＝35， ∵AB ＝20， ∴BE ＝12.3. 解：(1)直线PD 与⊙O 相切， 理由如下：如解图①，连接DO ，CO ， ∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDC ＝2∠ADC ， ∵∠AOC ＝2∠ADC ， ∴∠PDC ＝∠AOC ， ∵直径AB ⊥CD 于点E ， ∴∠AOD ＝∠AOC ， ∴∠PDC ＝∠AOD ， ∵∠AOD ＋∠ODE ＝90°， ∴∠PDC ＋∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥PD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线PD 与⊙O 相切； (2)如解图②，连接BD ， ∵M 恰为BC ︵的中点，第3题解图①∴∠CDM ＝∠BDM ， ∵OD ＝OB ， ∴∠BDM ＝∠DBA ， ∴∠CDM ＝∠DBA ， ∵直线PD 与⊙O 相切， ∴∠PDA ＋∠ADO ＝90°， 又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO ＋∠BDM ＝90°， ∴∠PDA ＝∠BDM ， ∴∠PDA ＝∠DBA ＝∠CDM ， 又∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDM ＝3∠CDM ＝90°， ∴∠CDM ＝30°， ∴∠DBA ＝30°， ∴DE BE ＝tan30°＝33； (3)如解图③，∵tan ∠PDA ＝12，∠PDA ＝∠ADC ， ∴AE DE ＝12，即DE ＝2AE ，在Rt △DEO 中，设⊙O 的半径为r ， DE 2＋EO 2＝DO 2， ∴(2AE )2＋(r －AE )2＝r 2， 解得r ＝52AE ，在Rt △PDE 中，DE 2＋PE 2＝PD 2，第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝PD 2， ∵直线PD 与⊙O 相切，连接BD ， 由(2)知∠PDA ＝∠DBA ，∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PDB ， ∴PD PB ＝P A PD ，∴PD 2＝P A ·PB ，即PD 2＝2×(2＋2r )， ∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝2×(2＋2r )， 化简得5AE 2＋4AE ＝4r ， ∵r ＝52AE ， 解得r ＝3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合 针对演练1. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CDB ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ， 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBD ； (2)连接DO ，如解图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，第1题解图又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．2. (1)证明：连接CE ，如解图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠CED ＝90°， ∵∠BCA ＝90°， ∴∠CED ＝∠BCO ， ∵BO ∥DE ， ∴∠BOC ＝∠CDE ， ∴△CBO ∽△ECD ， ∴CO DE ＝BO CD ， ∴CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)解：∵∠DFE ＝∠ECO ，CD ＝2·OC ＝10，∴在Rt △CDE 中，ED ＝CD ·sin ∠ECO ＝CD ·sin ∠DFE ＝ 10×35＝6，∴CE ＝CD 2－ED 2＝102－62＝8， 在Rt △CEG 中，EG CE ＝sin ∠ECG ＝35， ∴EG ＝35×8＝245，第2题解图根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485. 3. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，即DC ＝DB ， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠DAC ＝∠DAB ，且∠AED ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE ＝sin ∠ABD ＝AD AB ＝45，而AB ＝10， ∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ＝AE AD ＝45， ∴AE ＝325， ∵OD ∥AE ， ∴△FDO ∽△FEA ，∴OD AE ＝FO F A ，即5325＝BF ＋5BF ＋10，第3题解图∴BF ＝907.4. (1)证明：如解图①，连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°， ∵OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形， ∴AE ＝AO ＝OD ，∴四边形AODE 是平行四边行， ∵OA ＝OD ，∴平行四边形AODE 是菱形； (2)解：设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC ， ∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )． 解得r ＝154， ∴⊙O 的半径为154.如解图②，连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC ， ∴∠DAC ＝∠ADO ，第4题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠DAC ＝∠DAO ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°＝∠C ， ∴△ADC ∽△AFD ， ∴AD AC ＝AF AD ， ∴AD 2＝AC ·AF ，∵AC ＝6，AF ＝154×2＝152， ∴AD 2＝152×6＝45，∴AD ＝45＝3 5.(9分) 5. 解：(1)存在，AE ＝CE . 理由如下：如解图①，连接AE ，ED ， ∵AC 是△ABC 的斜边， ∴∠ABC ＝90°， ∴AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， 又∵D 是AC 的中点， ∴ED 为AC 的中垂线， ∴AE ＝CE ；(2)①如解图②，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠AEF ＝90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴ADED＝EDFD，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝ADAE＝13＝33.②sin∠CAB＝a＋2 a＋2.【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin ∠CAB ＝sin ∠AED ＝ADAE ＝1a ＋2＝a ＋2a ＋2. 6. (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°， 即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：连接AC ，如解图①所示： ∵OF ⊥BC ， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠ECH ＝∠CAE ， ∵∠HEC ＝∠CEA ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EA CE ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：连接BE ，如解图②所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，第6题解图①第6题解图②∴AB ＝10，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝10×35＝6， 在Rt △AEB 中，EA ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8， ∵BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH ·EA ， ∴EH ＝CE 2EA ＝628＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝62＋（92）2＝152.7. (1)证明：连接OD ，如解图①， ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴OD ⊥BC ， ∵BC ∥DF ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 为⊙O 的切线；(2)解：连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如解图①，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°， 又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，第7题解图①∴∠BDF ＝30°， ∵BC ∥DF ， ∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3， 在Rt △DEP 中， ∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP ⊥BC ， ∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝CP －PE ＝3－2＝1， 易证得△BDE ∽△ACE ， ∴BE AE ＝DE CE ，即5AE ＝71， ∴AE ＝577. ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3， ∴S 阴影＝S △BDF －S 弓形BD ＝S △BDF －(S 扇形BOD －S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋34·(23)2＝93－2π；(7分)(3)解：连接CD ，如解图②，由AB AC ＝43可设AB ＝4x ，AC ＝3x ，BF ＝y ， ∵BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝23， ∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ， ∴△BFD ∽△CDA ， ∴BD AC ＝BF CD ，即233x ＝y 23，∴xy ＝4，∵∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ＝∠F AD ， 而∠DFB ＝∠AFD ， ∴△FDB ∽△F AD ， ∴DF AF ＝BF DF ， ∵DF ＋BF ＝8， ∴DF ＝8－BF ＝8－y ， ∴8－y y ＋4x ＝y 8－y ， 整理得：16－4y ＝xy ， ∴16－4y ＝4，解得y ＝3， 即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明：连接OE ，过点O 作OF ⊥PN ，如解图所示， ∵PM 与⊙O 相切， ∴OE ⊥PM ，∴∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∵PC 平分∠MPN ， ∴∠EPO ＝∠FPO ， 在△PEO 和△PFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO ＝∠FPO ∠OEP ＝∠OFP OP ＝OP， ∴△PEO ≌△PFO (AAS)， ∴OF ＝OE ，∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切；(2)解：在Rt △EPO 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23， ∴∠EOP ＝60°，OE ＝PE ·tan30°＝2， ∴∠EOB ＝120°，则劣弧BE ︵的长为120π×2180＝4π3.2. (1)证明：如解图①，连接BO 并延长交⊙O 于点N ，连接CN ， ∵∠BMC ＝60°， ∴∠BNC ＝60°， ∵∠BNC ＋∠NBC ＝90°， ∴∠NBC ＝30°，又∵△ABC 为等边三角形，第1题解图∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABN ＝30°＋60°＝90°， ∴AB ⊥BO ，即AB 为⊙O 的切线．(2)解：BE ＋CF ＝3，是定值． 理由如下：如解图②，连接D 与AC 的中点P ， ∵D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴PD ＝PC ＝12AC ， 又∵∠ACB ＝60°，∴PD ＝PC ＝CD ＝BD ＝12AC ， ∴∠DPF ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PDF ＋∠FDC ＝60°， 又∵∠EDF ＝120°， ∴∠BDE ＋∠FDC ＝60°， ∴∠PDF ＝∠BDE ， 在△BDE 和△PDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠DPF BD ＝PD∠BDE ＝∠PDF， ∴△BDE ≌△PDF (ASA)， ∴BE ＝PF ，∴BE ＋CF ＝PF ＋CF ＝CP ＝BD ， ∵OB ⊥AB ，∠ABC ＝60°，第2题解图②∴∠OBC ＝30°， 又∵OB ＝2，∴BD ＝OB ·cos30°＝2×32＝3， 即BE ＋CF ＝ 3.3. (1)证明：连接OC ，如解图①， ∵OD ⊥AC ，OC ＝OA ， ∴∠AOD ＝∠COD . 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOE ＝∠COE OE ＝OE， ∴△AOE ≌△COE (SAS)， ∴∠EAO ＝∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线， ∴∠ECO ＝90°， ∴∠EAO ＝90°. ∴AE 与⊙O 相切；(2)解：设DO ＝t ，则DE ＝3t ，EO ＝4t ， 在△EAO 和△ADO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA ＝∠AOD ∠EAO ＝∠ADO， ∴△EAO ∽△ADO ， ∴AO DO ＝EO AO ，即9t ＝4t 9， ∴t ＝92，即EO ＝18.第3题解图①∴AE ＝EO 2－AO 2＝182－92＝93；延长BD 交AE 于点F ，过O 作OG ∥AE 交BD 于点G ， 如解图②， ∵OG ∥AE ， ∴∠FED ＝∠GOD 又∵∠EDF ＝∠ODG ， ∴△EFD ∽△OGD ， ∴EF OG ＝ED OD ＝31，即EF ＝3GO . 又∵O 是AB 的中点， ∴AF ＝2GO ，∴AE ＝AF ＋FE ＝5GO ， ∴5GO ＝93， ∴GO ＝935， ∴AF ＝1835， ∴tan B ＝AF AB ＝35.4. (1)证明：如解图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ， 又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO (SAS)， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)解：线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2＝4OD ·OP . 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝FD －OD ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32，解之得，x 1＝4，x 2＝0(不合题意，舍去)，∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5，∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°，又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴ cos ∠ACB ＝610＝35.∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103.5. (1)证明：连接OD ，如解图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∴△DAB 为等腰直角三角形，∴DO ⊥AB ，∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ，∴PD ∥AB ；(2)证明：∵AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴AE ∥BF ，∴∠FBO ＝∠EAO ，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴∠EDA ＋∠FDB ＝90°，∵∠FBD ＋∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＝∠EDA ，在△FBD 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠DEA ∠FBD ＝∠EDA BD ＝DA， ∴△FBD ≌△EDA (AAS)，∴DE ＝BF ；第5题解图(3)解：在Rt △ACB 中，∵AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，∴BC ＝6×43＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴AD ＝AB 2＝52， ∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝AC 2＝62＝32， 在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝（52）2－（32）2＝42，∴CD ＝CE ＋DE ＝32＋42＝72，∵AB ∥PD ，∴∠PDA ＝∠DAB ＝45°，∴∠PDA ＝∠PCD ，又∵∠DP A ＝∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ，∴PD PC ＝P A PD ＝AD DC ＝5272＝57， ∴P A ＝57PD ，PC ＝75PD ，又∵PC ＝P A ＋AC ，∴57PD ＋6＝75PD ，解得PD ＝354，∴PC ＝57PD ＋6＝57×354＋6＝254＋6＝494.6. (1)证明：如解图①，连接OC ，∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO ＝90°，∵BC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OBC ，∠COP ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠AOP ＝∠COP ，在△P AO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOP ＝∠COP OP ＝OP， ∴△P AO ≌△PCO (SAS)，∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)解：由(1)得P A ，PC 都为圆的切线，∴P A ＝PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO ＝∠P AO ＝90°， ∴∠P AD ＋∠DAO ＝∠DAO ＋∠AOD ，又∵∠ADP ＝∠ADO ，∴∠P AD ＝∠AOD ，∴△ADP ∽△ODA ，∴AD PD ＝DO AD ，第6题解图①∴AD 2＝PD ·DO ，∵AC ＝8，PD ＝163， ∴AD ＝12AC ＝4，OD ＝3，在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋OD 2＝5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC ＝6，AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴S 阴影＝12S ⊙O －S △ABC ＝12·π·52－12×6×8＝25π2－24；(3)解：如解图②，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于点M ， ∴∠CMB ＝∠EMB ＝∠AEB ＝90°，∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝45°，∴∠ECB ＝∠CBM ＝∠ABE ＝45°，CM ＝MB ＝BC ·sin45°＝32，BE ＝AB ·cos45°＝52，∴EM ＝BE 2－BM 2＝42，则CE ＝CM ＋EM ＝7 2.7. (1)证明：连接OD ，如解图①所示，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵OG ∥BD ，∴∠AOG ＝∠OBD ，∠GOD ＝∠ODB ，∴∠DOG ＝∠AOG ，在△DOG 和△AOG 中，第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ∠DOG ＝∠AOG OG ＝OG， ∴△DOG ≌△AOG (SAS)，∴GD ＝GA ；(2)证明：∵AG 切⊙O 于点A ，∴AG ⊥OA ，∴∠OAG ＝90°，∵△DOG ≌△AOG ，∴∠OAG ＝∠ODG ＝90°，∴∠ODE ＝180°－∠ODG ＝90°，∴∠ODC ＋∠FDE ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∴∠OCD ＋∠OFC ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠FDE ＝∠OFC ，∵∠OFC ＝∠EFD ，∴∠EFD ＝∠EDF ，∴EF ＝ED ，∴△DEF 是等腰三角形；(3)解：过点B 作BK ⊥OD 于点K ，如解图②所示： 则∠OKB ＝∠BKD ＝∠ODE ＝90°，∴BK ∥DE ，∴∠OBK ＝∠E ，∵BH ⊥GE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°， ∴四边形KDHB 为矩形， ∴KD ＝BH ＝9，∴OK ＝OD －KD ＝72，在Rt △OKB 中，∵OK 2＋KB 2＝OB 2，OB ＝252， ∴KB ＝12，∴tan ∠E ＝tan ∠OBK ＝OK KB ＝724，sin ∠E ＝sin ∠OBK ＝OK OB ＝725，∵tan ∠E ＝OD DE ＝724，∴DE ＝3007，∴EF ＝3007，∵sin ∠E ＝BH BE ＝725，∴BE ＝2257，∴BF ＝EF －BE ＝757，∴OF ＝OB －BF ＝2514，在Rt △COF 中，∠COB ＝90°， ∴OC 2＋OF 2＝FC 2，∴FC ＝125214，在Rt △COB 中，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，OC ＝OB ＝252， ∴BC ＝2522，∴BC ＋CF ＋BF ＝1502＋757， ∴△CBF 的周长＝1502＋757.。
人教版中考数学考点系统复习 第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系
【分层分析】第一步，连接 OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠∠CACD，
进而得到B︵D＝BC︵DC；第二步：根据垂径定理得到
AD OD⊥BBCC；第三步：根据
平行线的性质得到 OD⊥DDFF，即可得到 DF 与⊙O 相切．
证明：连接 OD.∵∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，∴∠BAD＝∠CAD，∴B︵D＝
求线段长的问题时，因题图中多含直角三角形，因此可以考虑从以下方 面来找突破口：(1)勾股定理；(2)锐角三角函数；(3)相似三角形． 若题中含有 30°，45°，60°或者三角函数值时，常考虑用三角函数求 解，若不含，常考虑用相似三角形求解．
解：∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△AEC， ∴AABE＝BEDC，∴126 3＝4BD7，∴BD＝2 321.
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1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F. 求证：EF 是⊙O 的切线．
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AED，∴∠ADE＝∠PAE.
(2)若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE；
证明：由(1)知∠ADE＝∠PAE＝30°， ∵∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°－∠ADE＝60°. ∵∠AED＝∠PAE＋∠APE， ∴∠APE＝∠PAE＝30°，∴AE＝PE.
(3)若 PE＝4，CD＝6，求 CE 的长．
以点 B 为圆心，BA 长为半径作⊙B，交 BD 于点 E. (1)试判断 CD 与⊙B 的位置关系，并说明理由； 【分层分析】过点 B 作 BF⊥CD 于点 F，由 AD∥BC 可得∠ADB＝∠∠CCBBDD， 由 CB＝CD 可得∠CDB＝∠∠CCBBDD，∴∠ADB＝∠∠C CDDB，B 因而利用角平分线性 质可得证，也可证△BDA≌△BDF 得出结论．
最新中考数学总复习-专题六-圆的有关证明与计算试题-新人教版
专题六 圆的有关证明与计算圆的切线的判定与性质【例1】 (2016·临夏州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在BC 上，BD ＝DC ，过点D 作DE⊥AC，垂足为E ，⊙O 经过A ，B ，D 三点．(1)求证：AB 是⊙O 的直径；(2)判断DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O 的半径为3，∠BAC ＝60°，求DE 的长．分析：(1)连接AD ，证AD ⊥BC 可得；(2)连接OD ，利用中位线定理得到OD 与AC 平行，可证∠ODE 为直角，由OD 为半径，可证DE 与圆O 相切；(3)连接BF ，先证三角形ABC 为等边三角形，再求出BF 的长，由DE 为三角形CBF 中位线，即可求出DE 的长．解：(1)连接AD ，∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴AB 为圆O 的直径 (2)DE 与圆O 相切，证明：连接OD ，∵O ，D 分别为AB ，BC 的中点，∴OD 为△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∵OD 为圆的半径，∴DE 与圆O 相切(3)∵AB＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝6，连接BF ，∵AB 为圆O 的直径，∴∠AFB ＝∠DEC＝90°，∴AF ＝CF ＝3，DE ∥BF ，∵D 为BC 的中点，∴E 为CF 的中点，即DE 为△BCF 中位线，在Rt △ABF 中，AB ＝6，AF ＝3，根据勾股定理得BF＝62－32＝33，则DE ＝12BF ＝332圆与相似【例2】 (2016·泸州)如图，△ABC 内接于⊙O，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且∠A＝∠EBC.(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)已知CG∥EB，且CG 与BD ，BA 分别相交于点F ，G ，若BG·BA＝48，FG ＝2，DF ＝2BF ，求AH 的值．分析：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG 得BC BG ＝ABBC，可求出BC ，再由△BFC∽△BCD 得BC 2＝BF·BD，可求出BF ，再求出CF ，CG ，GB ，通过计算发现CG ＝AG ，可证CH ＝CB ，即可求出AC.解：(1)连接CD ，∵BD 是直径，∴∠BCD ＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A ＝∠D，∠A ＝∠EBC，∴∠CBD ＋∠EBC＝90°，∴BE ⊥BD ，∴BE 是⊙O 切线(2)∵CG∥EB，∴∠BCG ＝∠EBC，∴∠A ＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC ∽△CBG ，∴BC BG ＝AB BC，即BC 2＝BG·BA＝48，∴BC ＝43，∵CG ∥EB ，∴CF ⊥BD ，∴△BFC ∽△BCD ，∴BC 2＝BF·BD，∵DF ＝2BF ，∴BF ＝4，在Rt △BCF 中，CF ＝BC 2－FB 2＝42，∴CG ＝CF ＋FG＝52，在Rt △BFG 中，BG ＝BF 2＋FG 2＝32，∵BG ·BA ＝48，∴BA ＝82，∴AG ＝52，∴CG ＝AG ，∴∠A ＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH ＝∠CFB＝90°，∴∠CHF ＝∠CBF，∴CH ＝CB ＝43，∵△ABC ∽△CBG ，∴AC CG ＝BC BG ，∴AC ＝CB·CG BG ＝2033，∴AH ＝AC －CH ＝8331．(2016·长沙)如图，四边形ABCD 内接于⊙O，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF.(1)求∠CDE 的度数；(2)求证：DF 是⊙O 的切线；(3)若AC ＝25DE ，求tan ∠ABD 的值．解：(1)∵对角线AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°，∴∠EDC ＝90°(2)连接DO ，∵∠EDC ＝90°，F 是EC 的中点，∴DF ＝FC ，∴∠FDC ＝∠FCD，∵OD ＝OC ，∴∠OCD ＝∠ODC，∵∠OCF ＝90°，∴∠ODF ＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF 是⊙O 的切线(3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA ＋∠DCE＝90°，∴∠DCA ＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE ∽△ADC ，∴DC AD ＝DE DC ，∴DC 2＝AD·DE.设DE ＝x ，则AC ＝25x ，AC 2－AD 2＝DC2＝AD·DE，即(25x)2－AD 2＝AD·x，整理得AD 2＋AD·x－20x 2＝0，解得AD ＝4x 或AD ＝－5x(舍去)，则DC ＝（25x ）2－（4x ）2＝2x ，故tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝AD DC ＝4x 2x＝22．(2016·安顺)如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与AD ，AC 分别交于点E ，F ，且∠ACB＝∠DCE.(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan ∠ACB ＝22，BC ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)直线CE 与⊙O 相切. 理由如下：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD ，∴∠ACB ＝∠DAC，又∵∠ACB ＝∠DCE，∴∠DAC ＝∠DCE，连接OE ，有OA ＝OE ，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO ＋∠DEC＝90°，∴∠OEC ＝90°，即OE⊥CE.又OE是⊙O 的半径，∴直线CE 与⊙O 相切 (2)∵tan ∠ACB ＝AB BC ＝22，BC ＝2，∴AB ＝BC·tan ∠ACB ＝2，∴AC ＝ 6.又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan ∠DCE ＝tan ∠ACB ＝22，∴DE ＝DC·tan ∠DCE ＝1.在Rt △CDE 中，CE ＝CD 2＋DE 2＝3，设⊙O 的半径为r ，则在Rt △COE 中，CO 2＝OE2＋CE 2，即(6－r)2＝r 2＋3，解得r ＝641．(2016·百色)如图，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于点E.(1)求证：∠1＝∠CAD；(2)若AE ＝EC ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ADO ＋∠BDO＝90°，∵AC 为⊙O 的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD ＋∠CAD＝90°，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD(2)∵∠1＝∠CAD，∠C ＝∠C，∴△CAD ∽△CDE ，∴CD ∶CA ＝CE∶CD，∴CD 2＝CA·CE，∵AE ＝EC ＝2，∴AC ＝AE ＋EC ＝4，∴CD ＝22，设⊙O 的半径为x ，则OA ＝OD ＝x ，在Rt △AOC 中，OA 2＋AC 2＝OC 2，∴x 2＋42＝(22＋x)2，解得x ＝2，∴⊙O 的半径为 22．(导学号 59042296)(2016·常德)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且BD ＝BC ，延长AD 到E ，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)若BC ＝3，AC ＝5，求圆的直径AD 及切线BE 的长．解：(1)连接OB ，∵BD ＝BC ，∴∠CAB ＝∠BAD，∵∠EBD ＝∠CAB，∴∠BAD ＝∠EBD，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，OA ＝OB ，∴∠BAD ＝∠ABO，∴∠EBD ＝∠ABO，∴∠OBE ＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切线(2)设圆的半径为R ，连接CD ，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∵BC ＝BD ，∴OB⊥CD ，∴OB ∥AC ，∵OA ＝OD ，∴OF ＝12AC ＝52，∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴∠BDE ＝∠ACB，∵∠DB E ＝∠CAB，∴△DBE ∽△CAB ，∴DB CA ＝DE CB ，∴35＝DE 3，∴DE ＝35，∵∠OBE ＝∠OFD＝90°，∴DF ∥BE ，∴OF OB ＝OD OE ，∴52R ＝R R ＋35，∵R ＞0，∴R ＝3，∴AB ＝AD 2－BD 2＝33，∵AC AB＝BD BE ，∴BE ＝31153．(导学号 59042297)(2016·天门)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为G ，OG ∶OC ＝3∶5，AB ＝8.(1)求⊙O 的半径；(2)点E 为圆上一点，∠ECD ＝15°，将CE ︵沿弦CE翻折，交CD 于点F ，求图中阴影部分的面积．解：(1)连接AO ，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，AB ＝8，∴AG ＝4，∵OG ∶OC ＝3∶5，∴设⊙O 的半径为5k ，则OG ＝3k ，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)，∴5k ＝5，即⊙O 的半径是5(2)将阴影部分沿CE 翻折，点F 的对应点为M ，∵∠ECD ＝15°，由对称性可知，∠DCM ＝30°，S 阴影＝S 弓形CBM ，连接OM ，则∠MOD＝60°，∴∠MOC ＝120°，过点M 作MN⊥CD 于点N ，∴MN ＝MO·sin 60°＝5×32＝532，∴S 阴影＝S 扇形OMC －S △OMC ＝120×π×52360－12×5×532＝25π3－2534，即图中阴影部分的面积是25π3－25344．(导学号 59042298)(2016·包头)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB 边上一点(点E 不与点A ，B 重合)，DE 的延长线交⊙O 于点G ，DF ⊥DG ，且交BC 于点F.(1)求证：AE ＝BF ；(2)连接GB ，EF ，求证：GB∥EF； (3)若AE ＝1，EB ＝2，求DG 的长．解：(1)连接BD ，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C＝45°，∵AB 为圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即BD⊥AC，∴AD ＝DC ＝BD ＝12AC ，∠CBD ＝∠C＝45°，∴∠A＝∠FBD，∵DF ⊥DG ，∴∠FDG ＝90°，∴∠FDB ＋∠BDG＝90°，又∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA ＝∠FDB，可证△AED≌△BFD(ASA )，∴AE ＝BF(2)连接EF ，BG ，∵△AED ≌△BFD ，∴DE ＝DF ，∵∠EDF ＝90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DEF ＝45°，∵∠G ＝∠A＝45°，∴∠G ＝∠DEF，∴GB ∥EF(3)∵AE＝BF ，AE ＝1，∴BF ＝1，在Rt △EBF 中，∠EBF ＝90°，∴根据勾股定理得EF 2＝EB 2＋BF 2，∵EB ＝2，BF ＝1，∴EF ＝22＋12＝5，∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF ＝90°，∴cos ∠DEF ＝DE EF ＝22，∵EF ＝5，∴DE ＝5×22＝102，∵∠G ＝∠A，∠GEB ＝∠AED ，∴△GEB ∽△AED ，∴GE AE ＝EB ED ，即GE·ED＝AE·EB，∴102·GE＝2，∴GE ＝2105，则GD ＝GE ＋ED ＝91010。
2023年中考数学专题训练——圆的计算和证明(附答案)
2023年中考专题训练——圆的计算和证明1．AB为⊙O直径，BC为⊙O切线，切点为B，CO平行于弦AD，作直线DC．(1)求证：DC为⊙O切线；(2) 若AD·OC=8，求⊙O半径．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD =90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED =∠BAC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）BA与CD的延长线交于点F，若DE∥AC，AB=4，AD =2，求AF的长．3．如图，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC＝8，BC＝6．（1）求⊙O的面积；（2）若D为⊙O上一点，且△ABD为等腰三角形，直接写出CD的长为．4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°，且AB＝6，过O点作OE⊥AC，垂足为E．（1）求OE的长；（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积．（结果精确到0．01）5．如图，△AB ．C 内接于⊙0，点D 在半径OB 的延长线上，∠BCD=∠A=30°．（1）判断直线CD 与⊙0的位置关系，并说明理由（2）若⊙0的半径为1，求阴影部分面积．6．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，E 为AB 上一点，以AE 为直径作O 与BC 相切于点D ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ．（1）求证：AE AF =；（2）若5,4AE AC ==，求BE 的长．7．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC 交⊙O 于点F ．（1）AB 与AC 的大小有什么关系？请说明理由；（2）若AB =8，∠BAC =45°，求：图中阴影部分的面积．8．如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点D 、E ，BC 的延长线于⊙O 的切线AF 交于点F ．（1）求证：∠ABC ＝2∠CAF ；（2）若AC ＝10，CE ：EB ＝1：4，求CE 的长．9．如图，在⊙O 中，半径OA 与弦BD 垂直，点C 在⊙O 上，∠AOB ＝80°(1) 若点C 在优弧BD 上，求∠ACD 的大小(2) 若点C 在劣弧BD 上，直接写出∠ACD 的大小10．如图，在等腰ABC 中，120BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，且6AD =，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧EF ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，（1）求由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF ，将扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，AE 与AF 正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h ．11．如图，四边形是平行四边形，以AB 为直径的O 经过点D, E 是O 上一点,且45AED ∠=︒．(1)判断CD与O的位置关系，并说明理由;(2) 若BC=2 .求阴影部分的面积.(结果保留π 的形式)．12．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O外一点，AB＝AD，BD交⊙O于点C，AD交⊙O于点E，点P是AC的延长线上一点，连接PB、PD，且PD⊥AD(1)判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)连接CE，若CE＝3，AE＝7，求⊙O的半径．13．如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F．（1）求证：PC＝PF；（2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝tan P＝34，求FB的长．14．已知，P A、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，AC是⊙O的直径．（1）如图1，若∠BAC＝25°，求∠P的度数；（2）如图2，延长PB、AC相交于点D．若AP＝AC，求cos D的值．15．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为3，BC＝4，求CE的长．16．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A＝28°．(1)求∠ACM的度数；(2)在MN上是否存在一点D，使AB•CD＝AC•BC，为什么？17．如图，在⊙O上依次有A、B、C三点，BO的延长线交⊙O于E，AE CE，过点C作CD∥AB 交BE的延长线于D，AD交⊙O于点F．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）连接OA、OF，若∠AOF＝3∠FOE且AF＝3，求CF的长．18．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，D是AC上一点，AD与BC交于E，AF⊥DB，垂足为F．（1）求证：∠ADB＝∠CDE；（2）若AF＝DC＝6，AB＝10，求△DBC的面积．19．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD＝∠BDC；（2）若sin∠BDC，BC＝2，求⊙O的半径．20．同学们都学习过《几何》课本第三册第199页的第11题，它是这样的：如图，A为⊙O 的直径EF上的一点，OB是和这条直径垂直的半径，BA和⊙O相交于另一点C，过点C的切线和EF的延长线相交于点D，求证：DA＝DC．（1）现将图1中的直径EF所在直线进行平行移动到图2所示的位置，此时OB与EF垂直相交于H，其它条件不变．①求证：DA＝DC；②当DF：EF＝1：8，且DF AB•AC的值．（2）将图2中的EF所在直线继续向上平行移动到图3所示的位置，使EF与OB的延长线垂直相交于H，A为EF上异于H的一点，且AH小于⊙O的切线交EF于D，试猜想：DA＝DC是否仍然成立？证明你的结论．参考答案：1．（1证明见解析；（2）2.【分析】（1）连接OD ，要证明DC 是 O 的切线，只要证明∠ODC=90°即可．根据题意，可证△OCD ≌△OCB ，即可得∠CDO=∠CBO=90°，由此可证DC 是 O 的切线；（2）连接BD ，OD ．先根据两角对应相等的两三角形相似证明△ADB ∽△ODC ，再根据相似三角形对应边成比例即可得到r 的值．【解析】解：（1）证明：连接OD.∵OA=OD ，∴∠A=∠ADO.∵AD ∥OC ，∴∠A=∠BOC ，∠ADO=∠COD ，∴∠BOC=∠COD.∵在△OBC 与△ODC 中，{OB ODBOC DOC OC OC=∠=∠=，∴△OBC ≌△ODC(SAS)，∴∠OBC=∠ODC ，又∵BC 是O 的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴DC 是O 的切线；（2）连接BD.∵在△ADB 与△ODC 中,{90A COD ADB ODC ∠=∠∠=∠=︒∴△ADB ∽△ODC ，∴AD:OD=AB:OC ，∴AD ⋅OC=OD ⋅AB=r ⋅2r=2r²,即2r²=8，故r=2．2．（1）DE与⊙O相切，证明见解析；（2）83 AF .【分析】（1）连接BD，先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，证明∠BDC+∠CDE=90°，即BD⊥DE，即可得出DE与⊙O相切；（2）先根据平行线的性质得∠BHC=∠BDE=90°，由垂径定理得AH=CH，由垂直平分线的性质得BC=AB=4，CD=AD=2，证明△FAD∽△FCB，列比例式得CF=2AF，设 AF=x，则DF=CF-CD=2x-2，根据勾股定理列方程可解答．【解析】解：（1）DE与⊙O相切，理由是：连接BD，如下图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上，∴∠BCD=90°，∴∠CED+∠CDE=90°．∵∠CED=∠BAC，又∵∠BAC=∠BDC，∴∠CED=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，即∠BDE=90°，∴DE⊥BD于点D，∴DE与⊙O相切．（2）如下图，BD与AC交于点H，∵DE ∥AC ，∴∠BHC=∠BDE=90°．∴BD ⊥AC ．∴AH=CH ．∴BC=AB=4，CD=AD=2．∵∠FAD=∠FCB=90°，∠F=∠F ，∴△FAD ∽△FCB ，2=4AF AD CF CB ∴=， ∴CF=2AF ，设 AF=x ，则DF=CF-CD=2x-2．在Rt △ADF 中，DF 2=AD 2+AF 2，∴（2x-2）2=22+x 2．解得： 128,03x x ==（舍去）， 83AF ∴=． 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，垂直平分线的性质定理，相似三角形的性质和判定，切线的判定，勾股定理．（1）证明切线最常用的办法，即如果直线与圆有交点，则连接交点与圆心的半径，只有证明这条半径与该直线垂直即可，此问中能依据90°圆周角所对的弦是直径证明BD 是⊙O 的直径是解题关键；（2）中能通过证明△FAD ∽△FCB ，得出CF=2AF 是解题关键．3．（1）25π；（2272【分析】（1）先利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒．再利用勾股定理计算出AB ，然后利用圆的面积公式计算；（2）作直径DD AB '⊥，BH CD ⊥于H ，如图，利用垂径定理得到AD BD =，再证明ADB ∆为等腰直角三角形得到252DB AB =，利用BCH ∆为等腰直角三角形得到232CH BH ==42DH =72CD =股定理计算CD '即可．【解析】解：（1）AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒．8AC ∴=，6BC =，10AB ∴=．O ∴的面积2525ππ=⨯=；（2）作直径DD AB '⊥，BH CD ⊥于H ，如图，则AD BD =，AD BD ∴=，45ACD BCD ∠=∠=︒， AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，ADB ∴∆为等腰直角三角形，DB AB ∴== 又∵45BCD BAD ∠=∠=︒，∴BCH ∆为等腰直角三角形，CH BH ∴===在Rt BDH ∆中，DHCD CH DH ∴=+=DD '是O 的直径，90DCD ∴∠'=︒，CD ∴'=综上所述，CD【点评】本题考查了与圆有关的计算，涉及了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．解题关键是正确画出图形得出ADB ∆为等腰直角三角形，并用勾股定理求解．4．（1）OE=32；（2）32π． 【分析】（1）根据∠D=60°，可得出∠B=60°，继而求出BC ，判断出OE 是△ABC 的中位线，就可得出OE 的长；（2）连接OC ，将阴影部分的面积转化为扇形FOC 的面积．【解析】解：（1）∵∠D=60°，∴∠B=60°（圆周角定理），又∵AB=6，∴BC=3，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵OE ⊥AC ，∴OE ∥BC ，又∵点O 是AB 中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE=1232BC =；（2）连接OC ，则易得△COE ≌△AFE ，故阴影部分的面积=扇形FOC 的面积，S 扇形FOC =260333260π⨯=π． 即可得阴影部分的面积为32π． 【点评】此题考查扇形的面积，含30°角的直角三角形的计算及圆周角定理等，解题关键在于将不规则图形转化为规则图形进行求解．5．（1）相切，理由见解析；（236π 【分析】（1）根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”求出∠O 的度数，再根据半径相等求出△OCB 为等边三角形，即可得出答案；（2）根据∠O 的度数和半径求出CD 的长度，进而求出△COD 的面积，利用扇形面积公式求出扇形OCB 的面积，三角形的面积减去扇形的面积即可得出答案.【解析】解：（1）∵∠A=30°∴∠O=2∠A=60°又OB=OC∴△OBC 为等边三角形，∠OCB=60°又∠BCD=30°∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°∴CD 与⊙O 相切（2）由（1）可知△OCD 为直角三角形，∠O=60°又半径为1，即OC=1∴CD OC tan O ∠==∴12OCD S CO CD =⨯⨯=2OCB 601S 3606ππ⨯⨯==扇形∴OCB S S 6OCD S π=-=阴影扇形 【点评】本题考查的是圆的综合，难度适中，牢记圆中的相关定理和性质是解决本题的关键. 6．（1）见解析；（2）53BE =. 【分析】（1）连接OD ，根据切线的性质得到OD ⊥BC ，根据平行线的判定定理得到OD ∥AC ，求得∠ODE=∠F ，根据等腰三角形的性质得到∠OED=∠ODE ，等量代换得到∠OED=∠F ，于是得到结论；（2）根据平行得出BOD BAC ∆∆∽，再由BO OD AB AC=可得到关于BE 的方程，从而得出结论． 【解析】（1）证明：连接OD ，∵BC 切O 于点D ，∴OD BC ⊥．∴90ODC ︒∠=．又90ACB ︒∠=，∴//OD AC ，∴ODE F ∠=∠．∵OE OD ，∴OED ODE ∠=∠，∴OED F ∠=∠．∴AE AF =．（2）解：∵//OD AC ，∴BOD BAC ∆∆∽，∴BO OD AB AC=． ∵5,4AE AC ==，∴ 2.5OE OD ==， ∴ 2.5 2.554BE BE +=+， ∴53BE =． 【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．7．（1）AB =AC ；（2）242π-【分析】（1）连接AD ，根据圆周角定理可以证得AD 垂直且平分BC ，然后根据垂直平分线的性质证得AB ＝AC ；（2）连接OD 、过D 作DH ⊥AB ，根据扇形的面积公式解答即可．【解析】（1）AB =AC ．理由是：连接AD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，即AD ⊥BC ，又∵DC =BD ，∴AB =AC ；（2）连接OD 、过D 作DH ⊥AB ．∵AB =8，∠BAC =45°，∴∠BOD =45°，OB =OD =4，∴DH 2∴△OBD 的面积=1422422⨯⨯扇形OBD 的面积=24542360ππ⋅⋅=， 阴影部分面积=242π-【点评】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，理解弧的度数和对应 圆心角的度数的关系是关键．8．（1）见解析；（2）CE ＝2．【分析】（1）首先连接BD ，由AB 为直径，可得∠ADB=90°，又由AF 是⊙O 的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（）2=x2+（3x）2求得答案．【解析】（1）证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，即∠DAB+∠CAF＝90°．∴∠CAF＝∠ABD．∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD．∴∠ABC＝2∠CAF．（2）解：如图，连接AE，∴∠AEB＝90°，设CE＝x，∵CE：EB＝1：4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，即（2＝x2+（3x）2，∴x＝2．∴CE＝2．【点评】此题考查了切线的性质，三角函数以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键．9．（1）∠ACD=40°；（2）∠ACD=40°或140°．【分析】（1）由AO⊥BD，根据垂径定理可得AD AB，再利用等弧对等角，以及圆周角定理即可求出结果；（2）如图所示，点C 有两个位置，分别利用圆周角定理的推论和圆周角定理求出即可.【解析】解：（1）∵AO ⊥BD ，∴AD AB =，∴∠AOB =2∠ACD ，∵∠AOB =80°，∴∠ACD =40°；（2）如图，①当点C 1在AB 上时，∠AC 1D =∠ACD =40°；②当点C 2在AD 上时，∵∠AC 2D +∠ACD =180°，∴∠AC 2D =140°. 综上所述，∠ACD =40°或140°．【点评】本题考查了圆周角定理及其推论和垂径定理等知识，熟练掌握上述知识、正确分类是解本题的关键.10．（1）312π；（2）42h =【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD BC ⊥，BD CD =，则可计算出BD 63=后利用扇形的面积公式，利用由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积ABC EAF =S S -扇形进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为r ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到120π62πr 180⋅⋅=，解得r 2=，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h ． 【解析】∵在等腰ABC 中，BAC 120∠=︒，∴B 30∠=︒，∵AD 是BAC ∠的角平分线，∴AD BC ⊥，BD CD =， ∴BD 3AD 63== ∴BC 2BD 3==∴由弧EF 及线段FC 、CB 、BE 围成图形（图中阴影部分）的面积2ABC EAF 1120π6=S S 6123312π2360⋅⋅-=⨯⨯=扇形. （2）设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得120π62πr180⋅⋅=，解得r2=，这个圆锥的高h【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．11．（1）相切，证明见解析（2）3-23π.【分析】(1)连接BD，OD求出∠ABD=∠AED=45°，根据DC∥AB推出∠CDB=45°求出∠ODC=90°根据切线的判定推出即可(2)求出∠AOD=∠BOD=90°，求出AO，OD分别求出△AOD扇形DOB，平行四边形ABCD 的面积相减即可求出答案【解析】(1)解CD与⊙O的位置关系是相切理由是连接BD，OD∵∠AED=45°∴∠ABD=∠AED=45°∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB,∴∠CDB=45°∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD=45°∴∠ODC=45°+45°=90°∵OD为半径,∴CD与⊙O的位置关系是相切;(2)解AB∥CD,∠ODC=90°∴∠DOB=90°=∠DOA,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=2,在△AOD中由勾股定理得:2AO2=222∴S △AOD=12 OA×OD=12×2×2S 扇形BOD=26022=3603⨯ππ S 平行四边形ABCD=AB×2×2∴阴影部分的面积是:4-1-23π=3-23π.【点评】此题考查切线的判定，勾股定理，扇形面积，平行四边形的性质，解题关键在于作辅助线12．(1)PB 与⊙O 相切，理由见解析；(2)⊙O 的半径为4.5．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得PB =PD ，通过证明△ABP 与△ADP 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABP =∠ADP =90°，再根据切线的判定定理即可得证；（2）根据全等三角形的性质得∠BAC =∠DAC ，得到BC =CE =3，然后证明△DCE 与△DAB 相似，然后根据相似三角形的对应边成比可推导得出DC •DB ＝DE •DA ，代入相关数据即可求得答案．【解析】(1)PB 与⊙O 相切，理由如下：∵AB 是⊙O 的直径，∴AC ⊥BD ，又AB ＝AD ，∴AP 是线段BD 的垂直平分线，∴PB ＝PD ，在△ABP 和△ADP 中， AB AD PB PD AP AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△ADP (SSS)，∴∠ABP ＝∠ADP ＝90°，∴PB 与⊙O 相切；(2)连接CE ，∵△ABP≌△ADP，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC CE=，∴BC＝CE＝3，∵AB＝AD，AC⊥BD，∴BC＝CD＝3，∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠DBA+∠CEA=180°，∵∠DEC+∠CEA=180°，∴∠DBA=∠DEC，又∵∠CDE=∠ADB，∴△DCE∽△DAB，∴DC：DA=DE：DB，∴DC•DB＝DE•DA，即3×6＝DE×(DE+7)，解得，DE＝2，∴DA＝2+7＝9，∴AB＝AD＝9，∴⊙O的半径为4.5．【点评】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键．13．（1）证明见解析；（2）FB＝2【分析】（1）连接OC，根据切线的性质以及OE⊥AB，可知∠E+∠EF A＝∠OCE+∠FCP＝90°，从而可得∠EF A＝∠FCP，继而可推得∠CFP＝∠FCP，再根据等角对等边即可证得；（2）过点B作BG⊥PC于点G，由OB∥PC，OB＝OC，BC＝，从而求得OB＝3，继而证得四边形OBGC是正方形，从而有OB＝CG＝BG＝3，从而有34BGPG=，求得PG＝4，再利用勾股定理可求得PB长，继而可求出FB长．【解析】解：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵OE⊥AB，∴∠E+∠EF A＝∠OCE+∠FCP＝90°，∴∠EF A＝∠FCP，∵∠EF A＝∠CFP，∴∠CFP＝∠FCP，∴PC＝PF；（2）过点B作BG⊥PC于点G，∵OB∥PC，∴∠COB＝90°，∵OB＝OC，BC＝2∴OB＝3，∵BG⊥PC，∴四边形OBGC是正方形，∴OB＝CG＝BG＝3，∵tan P＝34，∴34 BGPG，∴PG＝4，∴由勾股定理可知：PB＝5，∵PF＝PC＝7，∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的判定，锐角三角函数的定义等，解题的关键是正确添加辅助线，灵活运用相关知识求解．14．（1）50°；（2）cosD＝45．【分析】（1）连接OB．根据平行的想得到PA⊥AO，PB⊥OB，根据四边形的内角和即可得到结论；（2）连结OP交AB于点E，再连OB、BC，根据切线的性质得到∠PAC=∠PBO=90°，推出OP是AB的垂直平分线，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：如图1，连接OB．∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∴PA⊥AO，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°．∵∠BAC＝25°，OB＝OA，∴∠BOA＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°；（2）解：如图2，连结OP交AB于点E，再连OB、BC，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠PAC＝∠PBO＝90°，∵AP＝AC，AC是⊙O的直径，∴12OAPA=，∵PB＝PA，OB＝OA，∴OP是AB的垂直平分线，∵∠OAP＝90°，AE⊥OP，∴△OEA∽△AEP∽△OAP，∴OA OE OP OA=，设OE＝a，可得AE＝BE＝BC＝2a，PE＝4a，∴OP＝5a，∴OA，PA＝PB＝，∵∠ABC＝∠AEO＝90°，∴OP∥BC，∴△DBC∽△DPO，∴CDOD＝BDOD＝BCOP＝25．∴BD 45，OD＝535，∴cos D＝BDOD＝45．【点评】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．15．（1）DE与⊙O相切，证明详见解析；（2）EC＝1.【分析】（1）连接OD，由题意可得∠CBD=∠ODB=∠DBO，可得OD∥BE，可证DE⊥OD，即可证DE与⊙O相切；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接DC，由题意可证Rt△DF A≌Rt△DEC，Rt△DBF≌Rt△DBE，可得AF=EC，BF=BE，即可求EC的长．【解析】解：（1）DE与⊙O相切理由如下：连接OD∵OB＝OD∴∠OBD＝∠ODB∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠ABD＝∠CBD∴∠CBD＝∠ODB∴OD∥BE∵DE⊥BC于点E．∴DE⊥OD∴DE与⊙O相切（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接DC，∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥BE，DF⊥AB∴DF＝DE，AD DC=∴AD＝CD∵AD＝CD，DF＝DE∴Rt△DF A≌Rt△DEC（HL）∴AF＝EC∵DF＝DE，DB＝DB∴Rt△DBF≌Rt△DBE（HL）∴BF＝BE∵BA＝BF+AF＝BE+AF＝BC+EC+CE＝6∴4+2CE＝6∴EC＝1【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，全等三角形判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．16．(1)∠ACM＝62°；(2)存在符合条件的点D，使AB•CD＝AC•BC，理由见解析.【分析】(1)求∠ACM的度数,需求出∠B的度数;在Rt ABC∆中,已知∠A的度数,即可求出∠B、∠ACM的度数;(2)乘积的形式通常可以转化为比例的形式:①AB BCAC CD=,此时需证Rt ABC Rt CBD∆~∆,那么过B作MN的垂线,那么垂足即为符合条件的D点;②AB ACBC CD=,此时需证Rt ABC Rt ACD∆~∆,则过A作MN的垂线,垂足也符合D点的条件.两者的证明过程一致,都是通过弦切角得出一组对应角相等,再加上一组直角得出三角形相似.【解析】(1)∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝62°，∵直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∴∠ACM＝∠B＝62°；(2)存在符合条件的点D，使AB•CD＝AC•BC，①过A作AD⊥MN于D，则AB•CD＝AC•BC，证明：∵MN是半圆的切线，且切点为C，∴∠ACD＝∠B，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ABC∽△ACD，∴AB AC BC CD=，即AB•CD＝AC•BC；②过B作BD⊥MN于D，则AB•CD＝AC•BC，证明过程同①，因此MN上存在至少一点D，使AB•CD＝AC•B C．【点评】本题考查了弦切角定理及相似三角形的判定和性质,要求学生能够熟练掌握相似的判断和性质并应用.17．（1）证明见解析；（2）53π【分析】（1）先根据圆的性质得：∠CBD=∠ABD，由平行线的性质得：∠ABD=∠CDB，根据直径和等式的性质得：，AB BC=，由一组对边平行且相等可得四边形ABCD是平行四边形，由AB=BC可得结论；（2）先设∠FOE=x，则∠AOF=3x，根据∠ABC+∠BAD=180°，列方程得：4x+2x+12（180-3x）=180，求出x的值，接着求CF所对的圆心角和半径的长，根据弧长公式可得结论．【解析】（1）证明：∵AE CE=，∴∠CBD＝∠ABD，∵CD∥AB，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD，∵BE是⊙O的直径，∴AB BC=，∴AB＝BC＝CD，∵CD∥AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠AOF＝3∠FOE，设∠FOE＝x，则∠AOF＝3x，∠AOD＝∠FOE+∠AOF＝4x，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A＝12（180﹣3x）°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠ABC＝4x，∵BC∥AD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴4x+2x+12（180﹣3x）＝180，x＝20°，∴∠AOF＝3x＝60°，∠AOE＝80°，∴∠COF＝80°×2﹣60°＝100°，∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴OF＝AF＝3，∴CF的长＝1003180π⨯＝53π．【点评】本题考查平行四边形和菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式，平行线的性质等知识，解题的关键是学会设未知数，列方程求角的度数，证明三角形是等边三角形是解题的突破点，属于中考常考题型．18．（1）证明见解析（2）18【分析】（1）根据AB=AC，可得出∠ABC=∠BCA，再根据圆内接四边形的性质可得出∠CDE=∠ABC，从而得出答案；（2）作AM⊥CD于点M，根据题意可得出BF，还可证明△ACM≌△ABF，从而可得出△DBC 的面积．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCA＝∠ADB，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CDE＝∠ABC，∴∠ADB＝∠CDE；（2）解：作AM⊥CD于点M，∵AB＝10，AF＝6，∴BF＝8，∵AD平分∠BDM，AM＝AF＝6，∴△ACM≌△ABF，∴CM＝BF＝8，∴DF＝DM＝CM﹣CD＝2．∴BD＝BF+DF＝10＝AB．∴∠BAD＝∠ADB＝∠ADM，∴AB∥CD，∴S△DBC＝S△ADC＝12CD×AM＝18．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及圆周角定理，熟练掌握这些性质是解题的关键.19．（1）证明见解析（2）3【分析】（1）连接OD，如图，先由切线的性质得∠ODB+∠BDC=90°，再由圆周角定理得到∠ODB+∠ODA=90°，则∠BDC=∠ODA，加上∠ODA=∠BAD，然后等量代换即可得到结论；（2）利用正弦定义得sin∠A=sin∠BDC=5BDAB设5，AB=5x，则5，然后证明△CBD∽△CDA，则利用相似比可计算出CD和AB，从而得到圆的半径．【解析】（1）证明：连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠BDA＝90°，即∠ODB+∠ODA＝90°，∴∠BDC＝∠ODA，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠BAD ，∴∠BAD ＝∠BDC ；（2）解：∵sin ∠A ＝sin ∠BDC∴BD AB =设BD ，AB ＝5x ，则AD ，∵∠BAD ＝∠BDC ，∠BCD ＝∠DCA ，∴△CBD ∽△CDA ，∴12BC CD BD CD AC AD ====， 而BC ＝2，∴CD ＝4，AC ＝8，∴AB ＝AC ﹣BC ＝6，∴⊙O 的半径位3．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决（2）小题的关键是构建△CBD 与△CDA 相似．20．（1）①见解析②24（2）结论DA ＝DC 仍然成立【分析】（1）①连接OC ，利用切线的性质则可得到OC ⊥DC ，然后得到∠DCA=90°-∠ACO=90°-∠B=∠DAC ，利用等角对等边得到DA=DC 即可；②利用DF ：EF=1：8，然后利用切线长定理求得DC 的长，进而得到DC 、AD 的长，然后利用切线长定理得：AB•AC=AE•AF=24；（2）结论仍然成立，延长BO 交⊙O 于K ，连CK ，利用切线的性质可以得到∠DCA=∠CKB=90°-∠CBK ，从而得到∠DCA=∠BAH ，问题得证.【解析】（1）①证明：连OC ，则OC ⊥DC ，∴∠DCA＝90°﹣∠ACO＝90°﹣∠B，又∠DAC＝∠BAE＝90°﹣∠B，∴∠DAC＝∠DCA∴DA＝DC，②∵DF：EF＝1：8，DF2∴EF＝8DF＝2，又DC为切线，∴DC2＝DF•DE22＝18，∴DC＝2∴AD＝DC＝2∴AF＝AD﹣DF＝2∴AE＝EF﹣AF＝2，∴AB•AC＝AE•AF＝24；（2）结论DA＝DC仍然成立，理由如下：延长BO交⊙O于K，连CK，则∠KCB＝90°，又DC为⊙O的切线，∴∠DCA＝∠CKB＝90°﹣∠CBK，又∠BAH＝90°﹣∠HBA，而∠CBK＝∠HBA，∴∠DCA＝∠BAH，∴DA＝DC．【点评】本题考查了切线的性质、垂径定理及切割线定理的内容，是一道比较复杂的切线的性质的综合题，难度较大．。
中考数学专题复习演练：圆的有关计算与证明(含答案)
中考数学习题精选：圆的有关计算与证明解答题1.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D、E、F，且AB=11cm，BC=16cm，CA=15cm，求AF、BD、CE的长？2.如图，在4×4 的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，求扇形OAB 的弧长，周长和面积．（结果保留根号及π）．3.如图,直线y=与x轴、y 轴分别相交于A,B两点,圆心P的坐标为(1,0),圆P 与y轴相切于点O.若将圆P沿x 轴向左移动,当圆P与该直线相交时,求横坐标为整数的点P的个数.4.如图所示，已知F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任一点，A是弧BF 的中点，AD⊥BC于点D，求证：AD= BF．5.如图，△在ABC中，BE 是它的角平分线，∠C=90°，点D 在AB边上，以DB为直径的半圆O 经过点E，交BC于点F（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知sinA=，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积6.如图，已知是△的外角的平分线，交的延长线于点，延长交△的外接圆于点，连接，．（1）求证：．（2）已知，若△是外接圆的直径，，求的长．7.已知：如图，△在ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．（1）求证：AD=DE；（2）若CE=2，求线段CD 的长；（3）在（2）的条件下，△求DPE的面积．8.如图，AB是半圆O的直径，AD 为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是半圆O 的切线；（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD 的长．9.如图1，在正方形ABCD 中，以BC为直径的正方形内，作半圆O，AE切半圆于点F交CD 于点E，连接OA、OE．（1）求证：AO⊥EO；（2）如图2，连接DF 并延长交BC于点M，求的值．10.如图，AD 是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O 于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD 于点D．连接AO并延长交BC 于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．（1）判断直线PC 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6．求PC的长．11.如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP 交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O 于点B，连接PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PC=9，AB=6，①求图中阴影部分的面积；12.如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC 于E，连接AD．（1）求证△：CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=2，求AE的长．13.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O是一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OE//BC 交⊙O 于点E，连接BE 交AC于点H．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长．14.如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（2，8），且与x 轴相切于点B.图①图②（1）当x＞0，y=5时，求x的值；（2）当x =6 时，求⊙P的半径；（3）求y关于x的函数表达式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象（不必列表，画草图即可）.15.如图△，OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若D为OA 的中点，阴影部分的面积为，求⊙O的半径r．16.如图，△在ABC中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交AC于点E，过点E 作BE的垂线交AB 于点F，⊙O△是BEF 的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）若CD=1，EH=3，求BF 及AF长．17.如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．（1）求AB 的长；（2）求⊙O的半径．18.如图，△在ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA 为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．（1）判断DE 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若cos∠BAD=，BE=，求OE 的长．19.如图，AB 为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点D，已知∠D＝30°.（1）求∠A的度数；（2）若点F在⊙O 上，CF⊥AB，垂足为E，CF＝，求图中阴影部分的面积.20.如图，在 △R t ABC 中，∠C=90°，点 D ，E ，F 分别在 AC ，BC ，AB 边上，以 AF 为直径的⊙O 恰好经过 D ， E ，且 DE=EF ．（1）求证：BC 为⊙O 的切线；（2）若∠B=40°，求∠CDE 的度数；（3）若 CD=2，CE=4，求⊙O 的半径及线段 BE 的长．21.如图，⊙的圆心在反比例函数的图像上，且与轴、轴相切于点、 ，一次函数的图像经过点 ，且与轴交于点，与⊙的另一个交点为点.（1）求（2）求的值及点长及的坐标；的大小；（3）若将⊙沿轴上下平移，使其与轴及直线均相切，求平移的方向及平移的距离.参考答案解答题1.解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC ，CA ，AB 分别相切于点 D 、E 、F ， ∴AF=AE ，BF=BD ，CD=CE ．设 AF=AE=x ，则 BF=BD=11﹣x ，EC=DC=15﹣x ．根据题意得 11﹣x+15﹣x=16．解得；x=5cm ．∴AF=5cm ．BD=11﹣x=11﹣5=6cm ，EC=15﹣x=10cm ．∴AF=5cm ，BD=6cm ，EC=10cm ．2.解：由图形可知，∠AOB=90°，∴OA=OB==2，∴= =，扇形 OAB 的面积= =2π．弧 AB 的长是：= π∴周长=弧 AB 的长+2OA=π+4综上所述，扇形 OAB 的弧长是．π，周长是π+4，面积是 2π．3.解:∵直线 y=与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点,∴A 点的坐标为(-3,0),B 点的坐标为(0,),∴AB=2.如图,将圆 P 沿 x 轴向左移动,当圆 P 与该直线相切于 C 时,连结 P C ,则 P C =1,易 △知AP C ∽△ABO,∴=,∴AP =2,∴P 的坐标为(-1,0),同理可得 P 的坐标为(-5,0).-5 与-1 之间的整数(不含-5 和-1)有:-4,-3,-2,故满足题意的点 P 的个数是 31 1 1 1 1 1 1 1 1 24.证明：连接OA，交BF 于点E，∵A是弧BF 的中点，O为圆心，∴OA⊥BF，∴BE=BF，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADO=∠BEO=90°，在△OAD△与OBE中，∴△OAD≌△OBE（AAS），∴AD=BE，∴AD=BF5. （1）证明：连结OE，[MISSING IMAGE:,]∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠ABE，∴∠ABC=∠AOE，又∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠A+∠AOE=90°，∵∠AEO=90°，即OE⊥AC，∴AC为⊙O 的切线.，（2）解：连结 OF ， ∵sinA= ,∴∠A=30°，由（1）知 OE ⊥AC ，∴∠AOE=∠ABC=60°， ∵⊙O 半径为 3，∴OD=OE=OF=OB=BF=3，∴∠BOF=∠EOF=∠ABC=60°, ∴S= 扇形在 △R t AOE 中，，∴AO=6，AE=3在 △R tACB 中，，∴AB=9，BC= ， AC=∴CE=AC-AE=-3，， CF=BC-BF= -3= ，∴S= ==梯形，∴S =S-S=阴梯形扇形6.（1）解：∵四边形 ∴∵-.内接于圆，，，∴∵△是，的外角平分线，∴∴又∵∴，，，，（2）解：由（ ）得，OEFOFCEOFCE OEF又∵，∴△∴∽△，，∴，∴又∵∴∵，，，是直径，，∴，∴BD=又∵∠D=∠D，∴△DBF∽△DAC，，∴∴，CD=24，解得：CD=.7.（1）解：∵AB 是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC∵AB=BC，∴△ABD≌CBD∴∠ABD=∠CBD在⊙O 中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD 所对的弦∴AD=DE；（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，，∴CD=；（3）解：延长EF交⊙O于M，在 △R tABD 中，AD=，AB=10，∴BD=3，∵EM ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴ ，∴∠BEP=∠EDB ，∴△BPE ∽△BED ，∴ ∴BP=，，∴DP=BD-BP=，∴ ： =DP ：BP=13：32，∵ △S BCD= × ×3 =15， ：=BE ：BC=4：5，∴ △S BDE=12，∴ △S DPE=．8.（1）证明：∵AB 是半圆 O 的直径∴∠D=90°∴∠A+∠DBA=90°∵∠DBC=∠A∴∠DBC+∠DBA=90°∴BC ⊥AB∴BC 是半圆 O 的切线（2）解：∠BEC=∠D=90∘，∵BD ⊥AD ，BD=6，∴BE=DE=3， △S DPE △S BPE△S BDE △S BCD∵∠DBC=∠A，∴△BCE∽△BAD，∴，即∴AD=4.59.（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，∴AB和CD 为⊙O的切线，∵AE切半圆于点F，∴OA平分∠BAE，OE平分∠AEC，而AB∥CD，∴∠BAE+∠AEC=180°，∴∠OAE+∠OEA=90°，∴∠AOE=90°，∴OA⊥OE（2）解：作FH⊥CD于H，如图，设正方形ABCD的边长为4a，则AF=AB=4a，OB=OC=2a，∵∠AOE=90°，∴∠AOB+∠COE=90°，∵∠AOB+∠OAB=90°，∴∠OAB=∠EOC，∴△R tABO∽△R t OCE，∴AB：OC=OB：CE，即4a：2a=2a：CE，解得CE=a，∴EF=EC=a，∴EA=5a，ED=3a，∵FH∥AD，∴△EFH∽△EAD，∴==，即==，∴FH=a，EH=a，∴DH=3a﹣∴CH=4a﹣∵FH∥CM，a=a，a=a，∴==．10.（1）解：PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC，∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP，∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=BC=3，∴AC=AB=9，在△R tAMC 中，AM==6，设⊙O 的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6﹣r，在△R t OCM中，2，即32+（6﹣r）2=r2，解得r=，OM2+CM2=OC∴CE=2r=，OM=6﹣=，∴BE=2OM=，∵∠E=∠MCP，∴△R t PCM∽△R t CEB，∴=，即=，∴PC=．11.（1）证明：如图1，连接OB，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴AC=BC，∴OP垂直平分AB，∴AP=BP，∵OA=OB，OP=OP，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PAO=∠PBO，∵PA切⊙O于点A，∴AP⊥OA，∴∠PAO=90°，∴∠PBO=∠PAO=90°，∴OB⊥BP，又∵点B在⊙O 上，∴PB与⊙O相切于点B；（2）解：如图1，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，∴BC=AB=3，∵∠PBO=∠BCO=90°，∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，∴∠PBC=∠BOC，∴△PBC∽△BOC，∴∴OC===3，∴在△R t OCB中，OB=∴∠COB=60°，==6，tan∠COB==，∴△SOPB=×OP×BC=×=18，S扇DOB==6π，∴S阴影△=SOPB﹣S扇DOB=18﹣6π；②若点E 是⊙O上一点，连接AE，BE，当AE=6时，BE=．3﹣3或3 +312.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O 的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD（2）解：∵AB=2，∴OA=1，在△R t AOC 中，AC=2∴OC=，=3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴，即=．∴CE=∴AE=AC﹣CE=2﹣==，．13.（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OE//BC，∴OE⊥AC，∴=，∴∠1=∠2，∴BE平分∠ABC（2）解：∵BD 是⊙O的切线，∴∠ABD=90°，∵∠ACB=90°，BH=BD=2，∴∠CBD=∠2，∴∠1=∠2=∠CBD，∴∠CBD=30°，∠ADB=60°，∵∠ABD=90°，∴AB=2，OB=，∵OD2=OB2+BD．∴OD=2，14.（1）解: 由y=5，得到P（x，5），连接AP，PB，∵圆P与x 轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=5，由AP=PB，由勾股定理得，x=2+=2+4=6，∴x=6（2）解: 由x=6，得到P（6，y），连接AP，PB，∵圆P 与x 轴相切，∴PB⊥x轴，即PB=y，由AP=PB，得到=y，解得：y=5，则圆P的半径为5（3）解:同（2），由AP=PB，得到（x﹣2）2+（8﹣y）2=y2 ，整理得：=，即图象为抛物线，画出函数图象，如图②所示；15.（1）证明：连OC，如图，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵D为OA的中点，OD=OC=r，∴OA=2OC=2r，∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC=∴∠AOB=120°，AB=2r ，r ，∴S 阴影部分 △=S OAB﹣S 扇形 ODE •OC •AB ﹣=﹣ ， ∴•r •2 r ﹣ r 2=﹣ ， ∴r=1，即⊙O 的半径 r 为 116. （1）证明：如图，连接OE ． ∵BE ⊥EF ，∴∠BEF=90°，∴BF 是圆 O 的直径．∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE=∠OBE ，∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ，∴∠OEB=∠CBE ，∴OE ∥BC ，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线；（2）证明：如图，连结 DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于 C ，EH ⊥AB 于 H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ． =在△CDE△与HFE中，，∴△CDE≌△HFE（AAS），∴CD=HF（3）由（2）得CD=HF，又CD=1，∴HF=1，在△R t HFE 中，EF=∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∴∠EHF=∠BEF=90°，∵∠EFH=∠BFE，∴△EHF∽△BEF，=，∴=，即=，∴BF=10，∴OE=BF=5，OH=5﹣1=4，∴△R tOHE中，cos∠EOA=∴△R t EOA 中，cos∠EOA=，=，∴∴OA=∴AF==，，﹣5=17.（1）解：∵∴，在中∴∴∵,∴∵是∴∴（2）解：∵∴∵,∴∵的直径，是,.，的半径，,∴又∵∴∴即的半径是18.（1）证明：连接OD，BD，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，在△R tBDC中，E为斜边BC的中点，∴CE=DE=BE=∴∠C=∠CDE，BC，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD 为圆的半径，∴DE为圆O的切线；（2）证明：∵E是BC的中点，O点是AB 的中点，∴OE△是ABC的中位线，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，∴，即BC2=AC•CD．∴BC2=2CD•OE（3）解：∵cos∠BAD=∴sin∠BAC==，，又∵BE=∴AC=，E是BC的中点，即BC=．，又∵AC=2OE，∴OE=AC=19.（1）解：连接OC，∵CD切⊙O于点C∴∠OCD=90°∵∠D=30°∴∠COD=60°∵OA=OC∴∠A=∠ACO=30°；（2）解：∵CF ⊥直径 AB ，CF=4∴CE=2∴在 △R t OCE 中，tan ∠COE=，OE=∴OC=2OE=4=2，∴S =扇形， △S EOC ×2×2 =2 ∴S =S 阴影 扇形 BOC △-S EOC-2 ．20.（1）证明：连接 OD 、OE 、DF ，如图，∵AF 为直径，∴∠ADF=90°，而∠C=90°，∴DF ∥BC ，∵DE=EF ，∴=∴OE ⊥DF ，∴OE ⊥BC ，∴BC 为⊙O 的切线（2）解：∵∠OEB=90°，∠B=40°，∴∠BOE=90°﹣40°=50°，BOC = =∴∠OFE=（180°﹣50°）=65°，∴∠CDE=∠AFE=65°（3）解：易得四边形CDHE为矩形，∴HE=CD=2，DH=CE=4，设⊙O 的半径为r，则OH=OE﹣HE=r﹣2，OD=r，在△R tOHD中，（r﹣2）2，解得r=5，2+42=r∵OH⊥DF，∴HF=DH=4，∵HF∥BE，∴△OHF∽△OEB，∴HF：BE=OH：OE，即4：BE=3：5，∴BE=21.（1）解：如图1中，连接AC、AB．∵⊙A 与x轴、y轴相切于点B、C，∴AC⊥OC，AB⊥OB，AC=AB，四边形ABOC是正方形，设A（m，m），∵点A在y=上，∴m2=3，∵m＞0，∴点A坐标（，），∴OC=，∴点C坐标（0，），∵一次函数y=x+b的图象经过点C，∴b=，∴一次函数的解析式为y=，令y=0得x=-3，∴D（-3，0），b=（2）解：如图2中，连接BC、BE，作AM⊥CE于M．在△R t DOC 中，∵tan∠CDO=，∴∠CDO=30°，∵AC∥BD，∴∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，∵AM⊥CE，∴∠CAM=∠EAM=60°，∴∠CAE=120°，在△R tAMC 中，CM=AC•cos30°=（3）解：如图3中，，∴CE=2CM=3，∴∠CBE=∠CAE=60°①当⊙A″与直线y=∵AB∥OC，相切于点E，AB与直线CD交于点K，∴∠A″KE=∠DKB=∠DCO=60°，在△R tA″EK中，A″E= AK=CA•tan30°=1，∴AA″=A″K+AK=1+2=3，∴⊙A 向上平移3的单位⊙A与y轴及直线y=，A″K=A″E÷cos30°=2，在△R tCKA中，均相切．②同理可得⊙A 向下平移1个单位⊙A与y轴及直线y=均相切。
圆的有关计算与证明(共50题)(解析版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
圆的有关计算与证明(50题)一、单选题1.(2023·新疆·统考中考真题)如图，在⊙O 中，若∠ACB =30°，OA =6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()A.12πB.6πC.4πD.2π【答案】B【分析】根据圆周角定理求得∠AOB =60°，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB=AB，∠ACB =30°，∴∠AOB =60°，∴S =60360π×62=6π．故选：B .【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．2.(2023·江苏连云港·统考中考真题)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB =4,BC =5，则阴影部分的面积是()A.414π-20 B.412π-20 C.20πD.20【答案】D【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为AB ,BC 的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线长的圆的面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接AC ，∵矩形ABCD 内接于⊙O ，AB =4,BC =5∴AC 2=AB 2+BC 2∴阴影部分的面积是S 矩形ABCD +π×AB 2 2+π×BC22-πAC22S 矩形ABCD +π×14AB 2+BC 2-AC 2=S 矩形ABCD=4×5=20，故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3.(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC)，点O 是这段弧所在圆的圆心，B 为AC上一点，OB ⊥AC 于D ．若AC =3003m ，BD =150m ，则AC 的长为()A.300πmB.200πmC.150πmD.1003πm【答案】B【分析】根据垂径定理求出AD 长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.【详解】解：∵OB ⊥AC ，点O 是这段弧所在圆的圆心，∴AD =CD ，，∵OD =OD ，OA =OC ，∴△ADO ≌△CDO ，∴∠AOD =∠COD .∵AC =3003m ，AD =CD ，∴AD =CD =1503m .设OA =OC =OB =x ，则DO =x -150，在Rt △ADO 中，x 2=x -150 2+1503 2，∴x =300m ，∴sin ∠AOD =AD AO=1503300=32.∴∠AOD =60°，∴∠AOC =120°，∴AC =n πR 180=120×π×300180=200πm .故选：B .【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数.4.(2023·山东滨州·统考中考真题)如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm 的三个等圆构成，且三个等圆⊙O 1,⊙O 2,⊙O 3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为()A.14πcm 2 B.13πcm 2 C.12πcm 2 D.πcm 2【答案】C 【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积，据此即可解答.【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；如图，连接AO 1,AO 2,O 1O 2，则AO 1=AO 2=O 1O 2，△AO 1O 2是等边三角形，∴∠AO 1O 2=60°，弓形AO 1,AO 2,O 1O 2的面积相等，∴阴影AO 1O 2的面积=扇形AO 1O 2的面积=60π×12360=16πcm 2，∴图中三个阴影部分的面积之和=3×16π=12πcm 2；故选：C .【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.5.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由多段90°的圆心角的圆心为C ，半径为CB 1；C 1D 1 的圆心为D ，半径为DC 1⋯,DA 1 、A 1B 1 、B 1C 1、C 1D 1⋯的圆心依次为A 、B 、C 、D 循环，则A 2023B 2023�的长是()A.4045π2B.2023πC.2023π4D.2022π【答案】A【分析】曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，得到AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，得出半径，再计算弧长即可．【详解】解：由图可知，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2⋯是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+12，∴AD =AA 1=12，BA 1=BB 1=1，CB 1=CC 1=32，DC 1=DD 1=2，AD 1=AA 2=2+12，BA 2=BB 2=2+1，CB 2=CC 2=2+32，DC 2=DD 2=2+2，⋯⋯，AD n -1=AA n =4×12(n -1)+12，BA n =BB n =4×12(n -1)+1，故A 2023B 2023 的半径为BA 2023=BB 2023=4×12×2023-1 +1=4045，∴A 2023B 2023 的弧长=90180×4045π=40452π．故选：A .【点睛】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：l =n πr180，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．6.(2023·四川广安·统考中考真题)如图，在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC =22，以点A 为圆心，AC 为半径画弧，交AB 于点E ，以点B 为圆心，BC 为半径画弧，交AB 于点F ，则图中阴影部分的面积是()A.π-2B.2π-2C.2π-4D.4π-4【答案】C【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形ACE 和扇形BCF 的面积，再减去△ABC 的面积即可得．【详解】解：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A =∠B =45°，∵AC =BC =22，∴图中阴影部分的面积是S 扇形ACE +S 扇形BCF -S Rt △ABC =45π×22 2360+45π×22 2360-12×22 ×22=2π-4，故选：C ．【点睛】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．7.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C ,D 在半圆上，CD=DB，连接OC ,CA ,OD ，过点B 作EB ⊥AB ，交OD 的延长线于点E ．设△OAC 的面积为S 1,△OBE 的面积为S 2，若S 1S 2=23，则tan ∠ACO 的值为()A.2B.223C.75D.32【答案】A【分析】如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，证明∠COD =∠BOE =∠CAO ，由S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，可得CH BE =23，证明tan ∠A =tan ∠BOE ，可得CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，可得OH =3m -2m =m ，CH =9m 2-m 2=22m ，再利用正切的定义可得答案．【详解】解：如图，过C 作CH ⊥AO 于H ，∵CD=BD，∴∠COD =∠BOE =∠CAO ，∵S 1S 2=23，即12OA ∙CH 12OB ∙BE =23，∴CH BE=23，∵∠A =∠BOE ，∴tan ∠A =tan ∠BOE ，∴CH AH=BE OB ，即CH BE =AH OB =23，设AH =2m ，则BO =3m =AO =CO ，∴OH =3m -2m =m ，∴CH =9m 2-m 2=22m ，∴tan ∠A =CH AH=22m2m =2，∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ，∴tan ∠ACO =2；故选：A .【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．二、填空题8.(2023·重庆·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】4-π【分析】利用矩形的性质求得AB =CD =2,BE =CE =2，进而可得∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，然后根据S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM 解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AB =2，BC =4，E 为BC 的中点，∴AB =CD =2,BE =CE =12BC =2，∠ABC =∠DCB =90°，∴∠BAE =∠AEB =∠DEC =∠CDE =45°，∴S 阴影=2S △ABE -S 扇形BEM =2×12×2×2-45π×22360 =2×2-12π=4-π；故答案为：4-π．【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为45°的扇形面积是解题关键．9.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，⊙O 的半径为2cm ，AB 为⊙O 的弦，点C 为AB上的一点，将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则阴影部分的面积为．(结果保留π与根号)【答案】23π-3cm 2【分析】根据折叠的性质得出△AOC 是等边三角形，则∠AOC =60°，OD =CD =1，根据阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC 即可求解．【详解】解：如图所示，连接OA ,OC ，设AB ,CO 交于点D∵将AB沿弦AB 翻折，使点C 与圆心O 重合，∴AC =AO ，OC ⊥AB 又OA =OC ∴OA =OC =AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC =60°，OD =CD =1，∴AD =AO 2-CD 2=3,∴阴影部分面积=S 扇形AOC -S △AOC =60360π×22-12×2×3=23π-3cm 2 故答案为：23π-3cm 2．10.(2023·重庆·统考中考真题)如图，⊙O 是矩形ABCD 的外接圆，若AB =4,AD =3，则图中阴影部分的面积为．(结果保留π)【答案】254π-12【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到BD =5，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．【详解】解：连接BD ，∵四边形ABCD 是矩形，∴BD 是⊙O 的直径，∵AB =4,AD =3，∴BD =AB 2+AD 2=5，∴⊙O 的半径为52，∴⊙O 的面积为254π，矩形的面积为3×4=12，∴阴影部分的面积为254π-12；故答案为：254π-12.【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．11.(2023·江苏扬州·统考中考真题)用半径为24cm ，面积为120πcm 2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm ．【答案】5【分析】应为圆锥侧面母线的长就是侧面展开扇形的半径，利用圆锥侧面面积公式：S =π⋅r ⋅l ，就可以求出圆锥的底面圆的半径．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ，l =24，由扇形的面积：S =π⋅r ⋅l =120π，得：r =5故答案为：5.【点睛】本题考查了圆锥侧面面积的相关计算，熟练掌握圆锥侧面面积的计算公式是解题的关键，注意用扇形围成的圆锥，扇形的半径就是圆锥的母线．12.(2023·浙江温州·统考中考真题)若扇形的圆心角为40°，半径为18，则它的弧长为．【答案】4π【分析】根据弧长公式l =n πr180即可求解．【详解】解：扇形的圆心角为40°，半径为18，∴它的弧长为40180×18π=4π，故答案为：4π．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．13.(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为cm2．(结果保留π)【答案】1500π【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式S=12lr代值求解即可得到答案．【详解】解：∵圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，∴烟囱帽的侧面积S=12lr=12×2π×30×50=1500π(cm2)，故答案为：1500π．【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式S=12lr，熟记扇形面积公式是解决问题的关键．14.(2023·天津·统考中考真题)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形ABC内接于圆，且顶点A，B均在格点上．(1)线段AB的长为；(2)若点D在圆上，AB与CD相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使△CPQ为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的(不要求证明)．【答案】(1)29(2)画图见解析；如图，取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点G；连接DB与网格线相交于点H，连接HF并延长与网格线相交于点I，连接AI并延长与圆相交于点K，连接CK并延长与GB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求【分析】(1)在网格中用勾股定理求解即可；(2)取AC,AB与网格线的交点E，F，连接EF并延长与网格线相交于点M，连接MB；连接DB与网格线相交于点G，连接GF并延长与网格线相交于点H，连接AH并延长与圆相交于点I，连接CI并延长与MB的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接PQ，AD,BK，过点E作ET⊥网格线，过点G作GS ⊥网格线，由图可得Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，根据全等三角形的性质可得Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA 和△AIF ≌△BHF SAS ，根据同弧所对圆周角相等可得AD=BK，进而得到∠1=∠2和∠PCQ =60°，再通过证明△CAP ≌△CBQ ASA 即可得到结论．【详解】(1)解：AB =22+52=29；故答案为：29．(2)解：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求；连接PQ ，AD ,BK ，过点E 作ET ⊥网格线，过点G 作GS ⊥网格线，由图可得：∵∠AJF =∠BLF ，∠AFJ =∠BFL ，AJ =BL ，∴Rt △AJF ≌Rt △BLF AAS ，∴FJ =FL ，AF =BF ，∵MJ =NL ，∴FJ -MJ =FL -NL ，即FM =FN ，∵∠IMF =∠HNF ，∠IFM =∠HFN ，∴Rt △IMF ≌Rt △HNF ASA ，∴FI =FH ，∵∠AFI =∠BFH ，AF =BF ，∴△AIF ≌△BHF SAS ，∴∠FAI =∠FBH ，∴AD=BK，∴∠1=∠2，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，即∠1+∠PCB =60°，∴∠2+∠PCB =60°，即∠PCQ =60°，∵ET =GS ，∠ETF =∠GSF ，∠EFT =∠GFS ，∴Rt △ETF ≌Rt △GSF AAS ，∴EF =GF ，∵AF =BF ，∠AFE =∠BFG ，∴△AFE ≌△BFG SAS ，∴∠EAF =∠GBF ，∴∠GBF =∠EAF =∠CBA =60°，∴∠CBQ =180°-∠CBA -∠GBF =60°，∴∠CBQ =∠CAB ，∵CA =CB ，∴△CAP ≌△CBQ ASA ，∴CQ =CP ，∵∠PCQ =60°，∴△PCQ 是等边三角形，此时点Q 即为所求；故答案为：如图，取AC ,AB 与网格线的交点E ，F ，连接EF 并延长与网格线相交于点G ；连接DB 与网格线相交于点H ，连接HF 并延长与网格线相交于点I ，连接AI 并延长与圆相交于点K ，连接CK 并延长与GB 的延长线相交于点Q ，则点Q 即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．15.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，垂足为H ,AH =3．以点A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB ,AC ,AD 分别交于点E ,F ,G ．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 1；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 2，则r 1-r 2=．(结果保留根号)【答案】324【分析】由▱ABCD ，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，AD =BC =2，DH =22-3 2=1，cos DAH =AH AD=32，AB =CD =3+1，AB ∥CD ，求解∠DAH =30°，CH =3=AH ，证明∠ACH =∠CAH =45°，可得∠BAC =45°，再分别计算圆锥的底面半径即可．【详解】解：∵在▱ABCD 中，AB =3+1,BC =2,AH ⊥CD ，AH =3，∴AD =BC =2，DH =22-3 2=1，∵cos ∠DAH =AHAD=32，AB =CD =3+1，∴∠DAH =30°，CH =3=AH ，∴∠ACH =∠CAH =45°，∵AB ∥CD ，∴∠BAC =45°，∴45π×3180=2πr 1，30π×3180=2πr 2，解得：r 1=38，r 2=312，∴r 1-r 2=3324-2324=324；故答案为：324【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键．16.(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是cm 2．【答案】169π【分析】由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，则扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8，计算求解即可．【详解】解：由题意知，底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4πcm ，扇形弧长为100π×8180=409πcm ，∴扇形中未组成圆锥底面的弧长l =409π-4π=49πcm ，∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，∴圆锥上粘贴部分的面积为12lr =12×49π×8=169πcm 2，故答案为：169π．【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握S 扇形=12lr ，l 扇形=n πr180，其中n 为扇形的圆心角，r 为扇形的半径．三、解答题17.(2023·四川南充·统考中考真题)如图，AB 与⊙O 相切于点A ，半径OC ∥AB ，BC 与⊙O 相交于点D ，连接AD ．(1)求证：∠OCA =∠ADC ；(2)若AD =2,tan B =13，求OC 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)连接OA ，根据切线的性质得出∠OAB =90°，再由平行线的性质得出∠AOC =90°，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 的延长线于点F ，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出AH =DH =2，再由正切函数确定BH =32，AB =25，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】(1)证明：连接OA ，如图所示：∵AB 与⊙O 相切于点A ，∴∠OAB =90°，∵OC ∥AB ，∴∠AOC =90°，∴∠ADC =45°，∵OC =OA ，∴∠OCA =45°，∴∠OCA =∠ADC ；(2)过点A 作AH ⊥BC ，过点C 作CF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ，如图所示：由(1)得∠OCA =∠ADC =45°，∴ΔAHD 为等腰直角三角形，∵AD =2，∴AH =DH =2，∵tan B =13，∴BH =32，AB =AH 2+BH 2=25，由(1)得∠AOC =∠OAF =90°，∵CF ⊥BA ，∴四边形OCFA 为矩形，∵OA =OC ，∴四边形OCFA 为正方形，∴CF =FA =OC =r ，∵∠B =∠B ,∠AHB =∠CFB =90°，∴△ABH ∽△CBF ,∴BH BF =AH CF 即3225+r=2r ，解得：r =5，∴OC =5．【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．18.(2023·四川成都·统考中考真题)如图，以△ABC 的边AC 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE ∥AB 交⊙O 于点E ，连接AD ，DE ，∠B =∠ADE ．(1)求证：AC=BC；(2)若tan B=2，CD=3，求AB和DE的长．【答案】(1)见解析(2)AB=25，DE=25【分析】(1)根据CE∥AB，得到∠ACE=∠BAC，再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ACE=∠ADE=∠B，可证明△ABC是等腰三角形，即可解答；(2)根据直径所对的圆周角为直角，得到tan B=2=ADBD，设BD=x，根据勾股定理列方程，解得x 的值，即可求出AB；解法一：过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，证明∠B=∠ECF，求出EF,DF的长，根据勾股定理即可解出DE的长；解法二：连接AE,得到角相等，进而证得△ABC∽△ADE，根据对应边成比例即可解出DE的长．【详解】(1)证明：∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE，∴∠BAC=∠ACE=∠ADE，∵∠B=∠ADE，∴∠B=∠BAC，∴AC=BC；(2)解：设BD=x，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵tan B=2，=2，即AD=2x，∴ADBD根据(1)中的结论，可得AC=BC=BD+DC=x+3，根据勾股定理，可得AD2+DC2=AC2，即2x2，2+32=x+3解得x1=2，x2=0(舍去)，∴BD=2，AD=4,根据勾股定理，可得AB=AD2+BD2=25；解法一：如图，过点E作DC的垂线段，交DC的延长线于点F，∵CE∥AB，∴∠ECF=∠B，∵EF⊥CF，∴tan∠ECF=tan∠B=2，即EF=2，CF∵∠B+∠BAD=90°，∠ADE+∠EDF=90°，∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠EDF，∴∠DEF =90°-∠EDF =90°-∠BAD =∠B ，∴DF EF=2，设CF =a ，则DF =DC +CF =a +3，∴EF =2a ，可得方程a +32a=2，解得a =1，∴EF =2，DF =4，根据勾股定理，可得DE =DF 2+EF 2=25．解法二：如图，连接AE ,∵∠B =∠ADE ，∠ACB =∠AED ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AB AD=BC DE ，又∵BC =5，AD =4，AB =25，∴254=5DE ，∴DE =25．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理，正切，利用等量代换证明相关角相等是解题的关键．19.(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是AC上一点，P 是AB 延长线上一点，连接AD ,DC ,CP ．(1)求证：∠ADC -∠BAC =90°；(请用两种证法解答)(2)若∠ACP =∠ADC ，⊙O 的半径为3，CP =4，求AP 的长．【答案】(1)证明见解析(2)8【分析】(1)证法一：连接BD ，得到∠ADB =90°，因为∠BAC =∠BDC ，所以∠ADC -∠BAC =90°；证法二：连接BC ，可得∠ADC +∠ABC =180°，则∠ABC =180°-∠ADC ，根据∠ACB =90°，可得∠BAC +∠ABC =90°，即可得到结果；(2)连接OC ，根据角度间的关系可以证得△OCP 为直角三角形，根据勾股定理可得边OP 的长，进而求得结果．【详解】(1)证法一：如图，连接BD ，∵BC=BC，∴∠BDC=∠BAC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADC=∠ADB+∠BDC∵∠BAC=∠BDC，∴∠ADC=90°+∠BAC，∴∠ADC-∠BAC=90°，证法二：如图，连接BC，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°-∠ADC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴∠BAC+180°-∠ADC=90°，∴∠ADC-∠BAC=90°，(2)解：如图，连接OC，∵∠ACP=∠ADC，∠ADC-∠BAC=90°，∴∠ACP-∠BAC=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠ACP-∠ACO=90°，∴∠OCP=90°．∵⊙O的半径为3，∴AO=OC=3，在Rt△OCP中，OP2=OC2+CP2，∵CP=4，∴OP2=32+42=25，∴OP=5，∴AP=AO+OP=8，【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的关系是解题的关键．20.(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E．(1)求∠BED 的度数；(2)如图2，过点A 作⊙O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG ∥AF 交AB 于点G ．若AD =235,DE =4，求DG 的长．【答案】(1)90°(2)210【分析】(1)根据圆周角定理证明两直线平行，再利用平行线的性质证明角度相等即可；(2)由勾股定理找到边的关系，求出线段长，再利用等面积法求解即可．【详解】(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AD 平分∠CAB ，∴∠BAD =12∠BAC ，即∠BAC =2∠BAD ，∵OA =OD ，∴∠BAD =∠ODA ，∴∠BOD =∠BAD +∠ODA =2∠BAD ，∴∠BOD =∠BAC ，∴OD ∥AC ，∴∠OEB =∠ACB =90°，∴∠BED =90°，(2)如图，连接BD ，设OA =OB =OD =r ，则OE =r -4，AC =2OE =2r -8，AB =2r ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，在Rt △ADB 中，有勾股定理得：BD 2=AB 2-AD 2由(1)得：∠BED =90°，∴∠BED =∠BEO =90°，由勾股定理得：BE 2=OB 2-OE 2，BE 2=BD 2-DE 2，∴BD 2=AB 2-AD 2=BE 2+DE 2=OB 2-OE 2+DE 2，∴2r 2-235 2=r 2-r -4 2+42，整理得：r 2-2r -35=0，解得：r =7或r =-5(舍去)，∴AB =2r =14，∴BD =AB 2-AD 2=142-235 2=214，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AB，∵DG∥AF，∴DG⊥AB，∴S△ABD=12AD·BD=12AB·DG，∴DG=AD·BDAB =235×21414=210．【点睛】此题考查了圆周角定理和勾股定理，三角形中位线定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．21.(2023·浙江杭州·统考中考真题)在边长为1的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A，D重合)，射线BE与射线CD交于点F．(1)若ED=13，求DF的长．(2)求证：AE⋅CF=1．(3)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G．若EG=ED，求ED的长．【答案】(1)1 2(2)见解析(3)14【分析】(1)证明△AEB∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例求解；(2)证明△AEB∽△CBF，利用相似三角形的对应边成比例证明；(3)设EG=ED=x，则AE=1-x，BE=1+x，在Rt△ABE中，利用勾股定理求解．【详解】(1)解：由题知，AB=BC=CD=DA=1，若ED=13，则AE=AD-ED=23．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠FDE=90°，又∵∠AEB=∠FED，∴△AEB∽△DEF，∴AB DF =AE ED，即1DF=2313，∴DF=12．(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠C=90°，AB∥CD，∴∠ABE=∠F，∴△ABE∽△CFB，∴AB CF =AE BC，∴AE⋅CF=AB⋅BC=1×1=1．(3)解：设EG=ED=x，则AE=AD-AE=1-x，BE=BG+GE=BC+GE=1+x．在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即12+(1-x)2=(1+x)2，解得x=1 4．∴ED=14．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．22.(2023·河北·统考中考真题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．(1)求OC的长．操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．探究：在图2中(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 与EQ的长度，并比较大小．【答案】(1)7cm (2)112cm(3)EF =2533cm ，EQ =25π6cm ，EF >EQ ．【分析】(1)连接OM ，利用垂径定理计算即可；(2)由切线的性质证明OE ⊥GH 进而得到OE ⊥MN ，利用锐角三角函数求OD ，再与(1)中OC 相减即可；(3)由半圆的中点为Q 得到∠QOB =90°，得到∠QOE =30°分别求出线段EF 与EQ的长度，再相减比较即可．【详解】解：(1)连接OM ，∵O 为圆心，OC ⊥MN 于点C ，MN =48cm ，∴MC =12MN =24cm ，∵AB =50cm ，∴OM =12AB =25cm ，∴在Rt △OMC 中，OC =OM 2-MC 2=252-242=7cm ．(2)∵GH 与半圆的切点为E ，∴OE ⊥GH ∵MN ∥GH∴OE ⊥MN 于点D ，∵∠ANM =30°，ON =25cm ，∴OD =12ON =252cm ，∴操作后水面高度下降高度为：252-7=112cm ．(3)∵OE ⊥MN 于点D ，∠ANM =30°∴∠DOB =60°，∵半圆的中点为Q ，∴AQ=QB，∴∠QOB =90°，∴∠QOE =30°，∴EF =tan ∠QOE ⋅OE =2533cm ，EQ =30×π×25180=25π6cm ，∵2533-25π6=503-25π6=2523-π 6>0，∴EF >EQ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．23.(2023·湖北武汉·统考中考真题)如图，OA ,OB ,OC 都是⊙O 的半径，∠ACB =2∠BAC ．(1)求证：∠AOB =2∠BOC ；(2)若AB =4,BC =5，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)52【分析】(1)由圆周角定理得出，∠ACB =12∠AOB ,∠BAC =12∠BOC ，再根据∠ACB =2∠BAC ，即可得出结论；(2)过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，根据垂径定理得出∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，证明∠DOB =∠BOC ，得出BD =BC ，在Rt △BDE 中根据勾股定理得出DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，根据勾股定理得出OB 2=(OB -1)2+22，求出OB 即可．【详解】(1)证明：∵AB=AB，∴∠ACB =12∠AOB ，∵BC =BC ，∴∠BAC =12∠BOC ，∵∠ACB =2∠BAC ，∴∠AOB =2∠BOC ．(2)解：过点O 作半径OD ⊥AB 于点E ，则∠DOB =12∠AOB ,AE =BE ，∵∠AOB =2∠BOC ，∴∠DOB =∠BOC ，∴BD =BC ，∵AB =4,BC =5，∴BE =2,DB =5，在Rt △BDE 中，∵∠DEB =90°∴DE =BD 2-BE 2=1，在Rt △BOE 中，∵∠OEB =90°，∴OB 2=(OB -1)2+22，∴OB =52，即⊙O 的半径是52．【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理．24.(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，∠ABD =45°，直线l 与三条线段CD 、CA 、DA 的延长线分别交于点E 、F 、G ．且满足∠CFE =45°．(1)求证：直线l ⊥直线CE ；(2)若AB =DG ；①求证：△ABC ≌△GDE ；②若R =1，CE =32，求四边形ABCD 的周长．【答案】(1)见解析(2)①见解析，②72+2【分析】(1)在⊙O 中，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACD =∠ABD =45°，结合已知在△CFE 中根据三角形内角和定理可求得∠FEC =90°；(2)①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得∠ABC =∠GDE ，由直径所对的圆周角是直角和(1)可得∠ACB =∠GED ，结合已知即可证得△ABC ≌△GDE AAS ；②在⊙O 中由R =1，可得AB =2，结合题意易证DA =DB ，在Rt △ABC 中由勾股定理可求得DA =2，由①可知易得BC +CD =DE +CD =CE ，最后代入计算即可求得周长．【详解】(1)证明：在⊙O 中，∵AD =AD，∴∠ACD =∠ABD =45°，即∠FCE =45°，在△CFE 中，∵∠CFE =45°，∴∠FEC =180°-∠FCD +∠CFE =90°，即直线l ⊥直线CE ；(2)①四边形ABCD 是半径为R 的⊙O 的内接四边形，∴∠ADC +∠ABC =180°，∵∠ADC +∠GDE =180°，∴∠ABC =∠GDE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由(1)可知∠GED =90°，∴∠ACB=∠GED，在△ABC与△GDE中，∠ABC=∠GDE ∠ACB=∠GED AB=DG，∴△ABC≌△GDE AAS，②在⊙O中，R=1，∴AB=2R=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=45°，∴∠BAD=90°-∠ABD=45°，∴DA=DB，在Rt△ABC中，∴DA2+DB2=AB2，即2DA2=22，解得：DA=2，由①可知△ABC≌△GDE，∴BC=DE，∴BC+CD=DE+CD=CE=32，∴四边形ABCD的周长为：DA+AB+BC+CD=DA+AB+CE=2+2+32=72+2．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解．25.(2023·天津·统考中考真题)在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC=60°，E为弦AB所对的优弧上一点．(1)如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；(2)如图②，CE与AB相交于点F，EF=EB，过点E作⊙O的切线，与CO的延长线相交于点G，若OA=3，求EG的长．【答案】(1)∠AOB=120°，∠CEB=30°(2)3【分析】(1)根据半径OC 垂直于弦AB ，可以得到AC =BC，从而得到∠AOC =∠BOC ，结合已知条件∠AOC =60°即可得到∠AOB =2∠AOC =120°，根据∠CEB =12∠AOC 即可求出∠CEB =30°；(2)根据∠CEB =30°，结合EF =EB ，推算出∠EBF =∠EFB =75°，进一步推算出∠GOE =∠AOE-∠AOG =30°，在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，再根据EG =3×tan30°即可得到答案．【详解】(1)解：在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，∴AC =BC ，得∠AOC =∠BOC ．∵∠AOC =60°，∴∠AOB =2∠AOC =120°．∵∠CEB =12∠BOC =12∠AOC ，∴∠CEB =30°．(2)解：如图，连接OE ．同(1)得∠CEB =30°．∵在△BEF 中，EF =EB ，∴∠EBF =∠EFB =75°．∴∠AOE =2∠EBA =150°．又∠AOG =180°-∠AOC =120°，∴∠GOE =∠AOE -∠AOG =30°．∵GE 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥GE ，即∠OEG =90°．在Rt △OEG 中，tan ∠GOE =EG OE,OE =OA =3，∴EG =3×tan30°=3．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识．26.(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，AC =5,BC =25，点F 在AB 上，连接CF 并延长，交⊙O 于点D ，连接BD ，作BE ⊥CD ，垂足为E ．(1)求证：△DBE ∽△ABC ；(2)若AF =2，求ED 的长．【答案】(1)证明见解析(2)355【分析】(1)分别证明∠ACB=90°=∠BED，∠CAB=∠CDB，从而可得结论；(2)求解AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，可得BF=3，证明tan∠ABC=tan∠DBE=DE BE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，证明△ACF∽△DBF，可得ACBD=AFDF=CFBF，可得DF=2x，EF=x=DE，BD=BF=3，从而可得答案．【详解】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，BE⊥CD，∴∠ACB=90°=∠BED，∵∠CAB=∠CDB，∴△DBE∽△ABC．(2)∵AC=5,BC=25，∠ACB=90°，∴AB=AC2+BC2=5，tan∠ABC=ACBC =12，∵AF=2，∴BF=3，∵△DBE∽△ABC，∴∠ABC=∠DBE，∴tan∠ABC=tan∠DBE=DEBE =12，设DE=x，则BE=2x，BD=5x，∵∠AFC=∠BFD，∠CAB=∠CDB，∴△ACF∽△DBF，∴AC BD =AFDF=CFBF，∴55x =2DF，则DF=2x，∴EF=x=DE，∴BD=BF=3，∴DE=355．【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键．27.(2023·四川达州·统考中考真题)如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB=BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB=∠ACB，AC、BD相交于点E．(1)求证：AP 是⊙O 的切线；(2)若BE =2，DE =4，∠P =30°，求AP 的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】(1)由AB =BC ，OB 为半径，可知OB ⊥AC ，∠CAB =∠ACB ，则∠CAB +∠ABO =90°，∠ACB +∠ABO =90°，∠PAB +∠ABO =90°，如图1，连接OA ，由OA =OB ，可得∠OAB =∠ABO ，则∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，进而结论得证；(2)如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，证明△ABO 是等边三角形，则AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，则BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，由OB =OD ，ON ⊥DB ，可得BN =12BD =3，证明△BME ∽△BNO ，则BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，根据AP =OA tan ∠P，计算求解即可．【详解】(1)解：如图，连接OA ,OC ，∵AB =BC ，∴AB �=BC �，∴∠AOB =∠COB ，∴OB ⊥AC ，由等边对等角可得∠CAB =∠ACB ，∴∠CAB +∠ABO =90°，∴∠ACB +∠ABO =90°，∵∠PAB =∠ACB ，∴∠PAB +∠ABO =90°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠ABO ，∴∠PAB +∠OAB =90°，即∠OAP =90°，又∵OA 是半径，∴AP 是⊙O 的切线；(2)解：如图2，记OB 与AC 交点为M ，连接OD ，过O 作ON ⊥DB 于N ，∵∠P =30°，∴∠AOP =60°，∴△ABO 是等边三角形，∴AB =OB =OA ，∠ABM =60°，设⊙O 半径为r ，∵AM ⊥BM ，∴BM =AB ⋅cos ∠ABM =12r ，∵OB =OD ，∴△BOD 是等腰三角形，又∵ON ⊥DB ，∴BN =12BD =BE +DE 2=3，∵∠BME =∠BNO =90°，∠EBM =∠OBN ，∴△BME ∽△BNO ，∴BM BN =BE BO ，即12r 3=2r ，解得r =23或r =-23(舍去)，∴AP =OA tan ∠P =r 33=6，∴AP 的长为6．【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．28.(2023·湖南·统考中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是一条弦，D 是AC的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，交⊙O 于点H ，DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF =DF ．(2)若AF =52,sin ∠ABD =55，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)5【分析】(1)根据D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，得到CD =DA =AH ,得到∠ADH =∠DAC 即可得证．(2)根据sin ∠ABD =55=AD AB，设AD =5x ,AB =5x ，运用勾股定理，得到BD =5x 2-5x 2=25x ，结合sin ∠ABD =55=DE BD ，得到DE =2x ，运用勾股定理，得到BE =25x 2-2x 2=4x ，从而得到AE =x ,EF =ED -DF =DE -AF =2x -52，在Rt △AEF 中，利用勾股定理计算x 即可．【详解】(1)∵D 是AC 的中点，∴CD =DA ，∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴DA =AH ，∴CD =DA =AH，∴∠ADH =∠DAC ，∴AF =DF ．(2)∵DE ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，。
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专题六圆的有关证明与计算圆的切线的判定与性质【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点．（1)求证:AB是⊙O的直径;(２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明；（３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长.分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长.解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径(2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切(3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误!圆与相似【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC.(1）求证:BＥ是⊙O的切线;(2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值.分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC.解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线(2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△CBG，∴BCBＧ=＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵BG ·BA ＝48,∴ＢA=82,∴AG=5错误!,∴CG ＝A Ｇ，∴∠A ＝∠ACG=∠BCG，∠C ＦH ＝∠CFＢ=90°,∴∠ＣＨF =∠CBF ,∴CH ＝C Ｂ＝4错误!,∵△ABC ∽△ＣBG,∴错误!=错误!，∴AC ＝＼ｆ(CB·ＣG,BG ）＝错误!,∴ＡＨ＝AC －CH=错误!1.(20１6·长沙)如图,四边形ＡＢCD 内接于⊙Ｏ，对角线ＡC 为⊙O 的直径,过点Ｃ作AC 的垂线交AD 的延长线于点Ｅ,点F 为ＣＥ的中点,连接DB ，DC,DF.(1)求∠CDE 的度数;(2)求证：DF 是⊙O 的切线；（３)若A Ｃ＝25ＤE ，求ｔan ∠ＡBD 的值.解:(1)∵对角线AC 为⊙Ｏ的直径，∴∠ADC ＝9０°,∴∠EDC=90°(2)连接D Ｏ，∵∠ED Ｃ=9０°，F 是EC 的中点,∴ＤＦ＝FC ，∴∠FDC =∠FＣD ，∵O Ｄ=ＯC ，∴∠OCD =∠ＯDC ，∵∠ＯCF=９０°，∴∠OD F=∠ＯＤＣ+∠FDC=∠OCD＋∠ＤＣF=∠OCF ＝9０°，∴ＤF 是⊙Ｏ的切线(3)∵∠E＋∠DCＥ=９０°,∠DCA +∠ＤCE ＝９0°，∴∠DCA ＝∠E ,又∵∠ADC=∠CDＥ＝90°,∴△C ＤE ∽△A ＤＣ,∴错误!=错误!,∴ＤC 2＝AD·ＤE.设D Ｅ＝x ，则AC=2错误!x,ＡC 2－AD 2=D Ｃ2＝AD·ＤE,即(２错误!x ）2-A Ｄ２＝AD·ｘ,整理得ＡD ２＋A Ｄ·x－2０ｘ2＝0，解得A Ｄ＝4x 或ＡD=－5x(舍去），则DC ＝＼r （(2＼r(５)x ）2-(４x)2)=2ｘ,故tan ∠AB Ｄ=tan ∠A ＣＤ=A ＤDC＝错误!＝22.(2016·安顺)如图，在矩形AB ＣD 中，点Ｏ在对角线AC 上，以O Ａ的长为半径的圆O 与AD ，AC 分别交于点E ，Ｆ，且∠AＣＢ=∠DCＥ.(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论;（２)若tan ∠ＡCB=错误!,BC=2，求⊙O 的半径．解:(１)直线CE 与⊙O 相切. 理由如下：∵四边形ＡＢCD 是矩形,∴BC ∥ＡD,∴∠AC Ｂ＝∠ＤＡＣ，又∵∠ACB ＝∠DCE，∴∠DAC ＝∠ＤＣE ，连接ＯＥ,有O Ａ=OE,则∠DAＣ=∠AEO=∠DＣE.∵∠ＤCE ＋∠DEC＝9０°，∴∠A ＥO ＋∠DEC＝90°,∴∠ＯEC ＝90°，即ＯE⊥CE.又O Ｅ是⊙Ｏ的半径,∴直线CE 与⊙O 相切 (２)∵tan ∠ＡCB=ＡＢＢC=＼f(2,2)，BC=2，∴AB ＝BC·t ａｎ∠ACB ＝＼ｒ（2)，∴ＡC=＼r(6)．又∵∠ACB=∠ＤCE ，∴tan ∠DC Ｅ＝t ａn ∠ACB=错误!，∴DE=D Ｃ·t ａn ∠DCE ＝1．在Rt △CD Ｅ中,CE ＝错误!=错误!，设⊙O的半径为r ，则在Ｒt △C ＯE 中，CO ２＝OE 2+CE 2，即(错误!－r)2=ｒ2＋3,解得r=错误!1．(201６·百色)如图，已知AB为⊙O的直径,AC为⊙Ｏ的切线,ＯC交⊙O于点D，BD 的延长线交ＡC于点E．(1)求证:∠１=∠CAD；(2）若AE＝ＥC＝2,求⊙O的半径.解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°,∴∠ＡＤO＋∠BDO＝90°，∵AC为⊙O的切线,∴OA⊥AC，∴∠OAD+∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠ＯAD＝∠OＤＡ，∵∠１=∠BDO，∴∠1＝∠ＣAD(2)∵∠１＝∠ＣAD，∠C＝∠Ｃ，∴△CAD∽△CＤE,∴CD∶CA＝ＣＥ∶ＣD，∴CD2＝CA·ＣE，∵AE=EC＝2，∴AC=AE＋ＥC＝4，∴CD＝22,设⊙O的半径为x,则ＯＡ＝OD=ｘ，在Rt△AOC中,OＡ2＋ＡC2＝ＯC2，∴x2+42=(２错误!+x)2，解得x＝错误!,∴⊙O的半径为错误!２.(导学号59０42２96）(2０16·常德）如图,已知⊙O是△ABＣ的外接圆,AD是⊙O 的直径,且BD＝BC,延长AD到Ｅ，且有∠EＢD＝∠CAB．（1)求证:BE是⊙O的切线;(2)若BＣ=＼r（3)，AC=５,求圆的直径ＡＤ及切线ＢE的长．解:（1)连接OB，∵ＢＤ＝ＢC,∴∠ＣAB＝∠BAD,∵∠EBD＝∠CAB,∴∠ＢAD=∠EBＤ,∵AD是⊙O的直径，∴∠ＡＢD=9０°,OA＝ＯB，∴∠BAD＝∠ABO,∴∠ＥBD=∠ABＯ,∴∠ＯBE＝∠EＢＤ+∠OBD＝∠ABO＋∠OＢD=∠ABD＝９0°，∵点Ｂ在⊙O上，∴ＢE是⊙O的切线(2)设圆的半径为Ｒ，连接CD,∵ＡD为⊙O的直径，∴∠ＡＣD＝90°,∵BＣ=ＢD,∴ＯB⊥CＤ，∴OB∥AC,∵ＯA＝OD,∴OF＝错误!ＡC＝错误!，∵四边形ACBD是圆内接四边形,∴∠BＤE=∠ACB,∵∠DBE＝∠ＣAB，∴△ＤBE∽△CAB，∴＼f(DB,CＡ）=DＥCＢ，∴35＝错误!，∴DE=错误!,∵∠OBE＝∠OＦD＝90°，∴DF∥BE,∴错误!=错误!,∴错误!＝错误!,∵R＞0，∴R=3,∴AB=AＤ2－BD2=错误!,∵错误!＝错误!，∴BE＝错误!3.(导学号59０42２9７)(２016·天门)如图,CＤ是⊙O的直径,AB是⊙O的弦，AB⊥C Ｄ,垂足为Ｇ,OG∶ＯＣ＝３∶５,AB＝8.(１)求⊙O的半径；(2)点E为圆上一点,∠ECD=1５°，将错误!沿弦CE翻折,交ＣD于点F,求图中阴影部分的面积.解：(1)连接AO，∵CＤ为⊙Ｏ的直径，AB⊥CＤ，AB＝8,∴AG=４,∵OＧ∶ＯＣ＝３∶5,∴设⊙O的半径为5k,则OG＝3k，∴(3ｋ)2＋4２＝(5ｋ)2,解得k=1或ｋ＝－１(舍去)，∴5k=５，即⊙Ｏ的半径是5(2)将阴影部分沿ＣE翻折，点F的对应点为M,∵∠ＥCＤ=1５°,由对称性可知,∠DC Ｍ＝30°,S阴影=Ｓ弓形CBM,连接OM，则∠MOD=６0°,∴∠ＭOC=12０°,过点M作MN⊥CＤ于点N,∴MN=MO·sｉｎ6０°=5×错误!=错误!，∴S阴影=S扇形ＯMC－Ｓ△OMＣ=错误!－错误!×5×错误! =错误!－错误!，即图中阴影部分的面积是错误!-错误!4.(导学号5904229８)(201６·包头)如图，在Rt△AＢC中，∠ABC=９0°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交⊙O于点Ｇ，DF⊥DＧ,且交ＢC于点F．(1)求证：ＡE＝BF；（２)连接ＧB,EＦ,求证:GB∥EF；(3)若AＥ=1,ＥB＝２,求DG的长．解:(１)连接BD,在Rt△ＡBＣ中，∠AＢＣ＝90°,AB=BC，∴∠A=∠C=4５°,∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC，∴AＤ＝DC＝BD＝12ＡＣ,∠ＣBD＝∠Ｃ=45°,∴∠A=∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠ＦDG＝９0°,∴∠FDB+∠BDG=9０°，又∵∠EＤA＋∠BDG=90°,∴∠ＥDA＝∠ＦDB,可证△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF(２)连接ＥF，BG,∵△AED≌△BFD,∴DE=DＦ，∵∠ＥDＦ＝90°,∴△ＥDＦ是等腰直角三角形,∴∠DEF=4５°,∵∠G=∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴ＧB∥EＦ(3)∵ＡＥ=BF,AＥ＝１,∴BF=1,在Rt△ＥBF中,∠EBF=９0°，∴根据勾股定理得ＥF2=EB２+BＦ２,∵EB＝2,BF=1,∴EＦ＝22＋12＝＼r(5)，∵△DＥＦ为等腰直角三角形,∠EDF=９0°,∴cｏｓ∠DEF=＼f(DE,EF)=错误!，∵ＥF=错误!,∴DE＝错误!×错误!＝错误!，∵∠Ｇ＝∠A，∠GEＢ＝∠AED，∴△GEB∽△AED,∴错误!=错误!，即ＧE·ＥD=ＡＥ·EB,∴错误!·GＥ=２，∴ＧE＝错误!，则GD＝GE+ED＝错误!。