中考数学总复习专题六圆的有关证明与计算试题新人教版

专题六圆的有关证明与计算

圆的切线的判定与性质

【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点．

（1)求证:AB是⊙O的直径;

(２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明；

（３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长.

分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长.

解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径

(2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切

(3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误!

圆与相似

【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC.

(1）求证:BＥ是⊙O的切线;

(2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值.

分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC.

解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线

(2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△

CBG，∴BC

BＧ

=＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝

＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵

BG ·BA ＝48,∴ＢA=82,∴AG=5错误!,∴CG ＝A Ｇ，∴∠A ＝∠ACG=∠BCG，∠C ＦH ＝∠CFＢ=90°,∴∠ＣＨF =∠CBF ,∴CH ＝C Ｂ＝4错误!,∵△ABC ∽△ＣBG,∴错误!=错误!，∴AC ＝

＼ｆ(CB·ＣG,BG ）＝错误!,∴ＡＨ＝AC －CH=错误!

1.(20１6·长沙)如图,四边形ＡＢCD 内接于⊙Ｏ，对角线ＡC 为⊙O 的直径,过点Ｃ作AC 的垂线交AD 的延长线于点Ｅ,点F 为ＣＥ的中点,连接DB ，DC,DF.

(1)求∠CDE 的度数;

(2)求证：DF 是⊙O 的切线；

（３)若A Ｃ＝25ＤE ，求ｔan ∠ＡBD 的值.

解:(1)∵对角线AC 为⊙Ｏ的直径，∴∠ADC ＝9０°,∴∠EDC=90°

(2)连接D Ｏ，∵∠ED Ｃ=9０°，F 是EC 的中点,∴ＤＦ＝FC ，∴∠FDC =∠FＣD ，∵O Ｄ=ＯC ，∴∠OCD =∠ＯDC ，∵∠ＯCF=９０°，∴∠OD F=∠ＯＤＣ+∠FDC=∠OCD＋∠ＤＣF=∠OCF ＝9０°，∴ＤF 是⊙Ｏ的切线

(3)∵∠E＋∠DCＥ=９０°,∠DCA +∠ＤCE ＝９0°，∴∠DCA ＝∠E ,又∵∠ADC=∠CDＥ＝

90°,∴△C ＤE ∽△A ＤＣ,∴错误!=错误!,∴ＤC 2＝AD·ＤE.设D Ｅ＝x ，则AC=2错误!x,Ａ

C 2－A

D 2=D Ｃ2＝AD·ＤE,即(２错误!x ）2-A Ｄ２＝AD·ｘ,整理得ＡD ２＋A Ｄ·x－2０ｘ2＝0，

解得A Ｄ＝4x 或ＡD=－5x(舍去），则DC ＝＼r （(2＼r(５)x ）2-(４x)2)=2ｘ,故tan ∠AB Ｄ

=tan ∠A ＣＤ=A ＤDC

＝错误!＝2

2.(2016·安顺)如图，在矩形AB ＣD 中，点Ｏ在对角线AC 上，以O Ａ的长为半径的圆O 与AD ，AC 分别交于点E ，Ｆ，且∠AＣＢ=∠DCＥ.

(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论;

（２)若tan ∠ＡCB=错误!,BC=2，求⊙O 的半径．

解:(１)直线CE 与⊙O 相切. 理由如下：∵四边形ＡＢCD 是矩形,∴BC ∥ＡD,∴∠AC Ｂ＝∠ＤＡＣ，又∵∠ACB ＝∠DCE，∴∠DAC ＝∠ＤＣE ，连接ＯＥ,有O Ａ=OE,则∠DAＣ=∠AEO=∠DＣE.∵∠ＤCE ＋∠DEC＝9０°，∴∠A ＥO ＋∠DEC＝90°,∴∠ＯEC ＝90°，即Ｏ

E⊥CE.又O Ｅ是⊙Ｏ的半径,∴直线CE 与⊙O 相切 (２)∵tan ∠ＡCB=ＡＢＢC

=＼f(2,2)，BC=2，∴AB ＝BC·t ａｎ∠ACB ＝＼ｒ（2)，∴ＡC=＼r(6)．又∵∠ACB=∠ＤCE ，∴tan ∠DC Ｅ＝t ａn ∠ACB=错误!，∴DE=D Ｃ·t ａn ∠DCE ＝1．在Rt △CD Ｅ中,CE ＝错误!=错误!，设⊙O

的半径为r ，则在Ｒt △C ＯE 中，CO ２＝OE 2+CE 2，即(错误!－r)2=ｒ2＋3,解得r=错误!

1．(201６·百色)如图，已知AB为⊙O的直径,AC为⊙Ｏ的切线,ＯC交⊙O于点D，BD 的延长线交ＡC于点E．

(1)求证:∠１=∠CAD；

(2）若AE＝ＥC＝2,求⊙O的半径.

解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°,∴∠ＡＤO＋∠BDO＝90°，∵AC为⊙O的切线,∴OA⊥AC，∴∠OAD+∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠ＯAD＝∠OＤＡ，∵∠１=∠BDO，∴∠1＝∠ＣAD

(2)∵∠１＝∠ＣAD，∠C＝∠Ｃ，∴△CAD∽△CＤE,∴CD∶CA＝ＣＥ∶ＣD，∴CD2＝CA·ＣE，∵AE=EC＝2，∴AC=AE＋ＥC＝4，∴CD＝22,设⊙O的半径为x,则ＯＡ＝OD=ｘ，在Rt△AOC中,OＡ2＋ＡC2＝ＯC2，∴x2+42=(２错误!+x)2，解得x＝错误!,∴⊙O的半径为错误!

２.(导学号59０42２96）(2０16·常德）如图,已知⊙O是△ABＣ的外接圆,AD是⊙O 的直径,且BD＝BC,延长AD到Ｅ，且有∠EＢD＝∠CAB．

（1)求证:BE是⊙O的切线;

(2)若BＣ=＼r（3)，AC=５,求圆的直径ＡＤ及切线ＢE的长．

解:（1)连接OB，∵ＢＤ＝ＢC,∴∠ＣAB＝∠BAD,∵∠EBD＝∠CAB,∴∠ＢAD=∠EBＤ,∵AD是⊙O的直径，∴∠ＡＢD=9０°,OA＝ＯB，∴∠BAD＝∠ABO,∴∠ＥBD=∠ABＯ,∴∠ＯBE＝∠EＢＤ+∠OBD＝∠ABO＋∠OＢD=∠ABD＝９0°，∵点Ｂ在⊙O上，∴ＢE是⊙O的切线

(2)设圆的半径为Ｒ，连接CD,∵ＡD为⊙O的直径，∴∠ＡＣD＝90°,∵BＣ=ＢD,∴ＯB⊥CＤ，∴OB∥AC,∵ＯA＝OD,∴OF＝错误!ＡC＝错误!，∵四边形ACBD是圆内接四边形,

∴∠BＤE=∠ACB,∵∠DBE＝∠ＣAB，∴△ＤBE∽△CAB，∴＼f(DB,CＡ）=DＥ

CＢ

，∴

3

5

＝错误!，

∴DE=错误!,∵∠OBE＝∠OＦD＝90°，∴DF∥BE,∴错误!=错误!,∴错误!＝错误!,∵R＞0，∴R=3,∴AB=AＤ2－BD2=错误!,∵错误!＝错误!，∴BE＝错误!

3.(导学号59０42２9７)(２016·天门)如图,CＤ是⊙O的直径,AB是⊙O的弦，AB⊥C Ｄ,垂足为Ｇ,OG∶ＯＣ＝３∶５,AB＝8.

(１)求⊙O的半径；

(2)点E为圆上一点,∠ECD=1５°，将错误!沿弦CE翻折,交ＣD于点F,求图中阴影部分的面积.

解：(1)连接AO，∵CＤ为⊙Ｏ的直径，AB⊥CＤ，AB＝8,∴AG=４,∵OＧ∶ＯＣ＝３∶5,∴设⊙O的半径为5k,则OG＝3k，∴(3ｋ)2＋4２＝(5ｋ)2,解得k=1或ｋ＝－１(舍去)，∴5k=５，即⊙Ｏ的半径是5

(2)将阴影部分沿ＣE翻折，点F的对应点为M,∵∠ＥCＤ=1５°,由对称性可知,∠DC Ｍ＝30°,S阴影=Ｓ弓形CBM,连接OM，则∠MOD=６0°,∴∠ＭOC=12０°,过点M作MN⊥CＤ于点N,∴MN=MO·sｉｎ6０°=5×错误!=错误!，∴S阴影=S扇形ＯMC－Ｓ△OMＣ=错误!－错误!×5×错误! =错误!－错误!，即图中阴影部分的面积是错误!-错误!

4.(导学号5904229８)(201６·包头)如图，在Rt△AＢC中，∠ABC=９0°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交⊙O于点Ｇ，DF⊥DＧ,且交ＢC于点F．

(1)求证：ＡE＝BF；

（２)连接ＧB,EＦ,求证:GB∥EF；

(3)若AＥ=1,ＥB＝２,求DG的长．

解:(１)连接BD,在Rt△ＡBＣ中，∠AＢＣ＝90°,AB=BC，∴∠A=∠C=4５°,∵AB为圆

O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC，∴AＤ＝DC＝BD＝1

2

ＡＣ,∠ＣBD＝∠Ｃ=45°,∴∠

A=∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠ＦDG＝９0°,∴∠FDB+∠BDG=9０°，又∵∠EＤA＋∠BDG=90°,∴∠ＥDA＝∠ＦDB,可证△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF

(２)连接ＥF，BG,∵△AED≌△BFD,∴DE=DＦ，∵∠ＥDＦ＝90°,∴△ＥDＦ是等腰直角三角形,∴∠DEF=4５°,∵∠G=∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴ＧB∥EＦ

(3)∵ＡＥ=BF,AＥ＝１,∴BF=1,在Rt△ＥBF中,∠EBF=９0°，∴根据勾股定理得ＥF2=EB２+BＦ２,∵EB＝2,BF=1,∴EＦ＝22＋12＝＼r(5)，∵△DＥＦ为等腰直角三角形,∠EDF=９0°,∴cｏｓ∠DEF=＼f(DE,EF)=错误!，∵ＥF=错误!,∴DE＝错误!×错误!＝错误!，∵∠Ｇ＝∠A，∠GEＢ＝∠AED，∴△GEB∽△AED,∴错误!=错误!，即ＧE·ＥD=ＡＥ·EB,∴错误!·GＥ=２，∴ＧE＝错误!，则GD＝GE+ED＝错误!