山东省烟台市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试卷含解析
【分析】
对 A 选项，对 x 赋值，即可判断其最小正周期不是
小正周期不是 ，问题得解 .
；利用三角函数的周期公式即可判断 B、D 的最
【详解】对 A 选项，令 x
3 ，则 f
3
3 sin
1
2
2
2
3 f
2
3
3
sin
1 ，不满足 f
f
，
2
2
2
所以 y sin x 不是以 为周期的函数，其最小正周期不为
cos 0
cos 0
所以角 是第三象限角 故选： C
【点睛】 本题主要考查了点的坐标与点的位置的关系， 角的终边的关系，属于基础题 .
还考查了等价转化思想及三角函数值的正负与
4.已知点 A 1, 1 ， B 2,3 ， 则与向量 AB 方向相同的单位向量为（
）
34
A.
,
55
34 B. ,
55
43
C.
A. 3 2
B.
3
2
【答案】 B
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式化简得解 .
【详解】 cos5700 cos 3600 2100
1
C.
2 cos2100
1
D.
2
cos 1800 30 0
cos30 0
3
2
故选： B
【点睛】本题主要考查了利用诱导公式化简及特殊角的三角函数值，属于基础题。
2.若某扇形的弧长为 ，圆心角为 ，则该扇形的半径是（
OC xOA yOB ，若点 C 在线段 AB 的延长线上，则（
）
A. x 0 ， y 1
B. y 0 ， x 1
C. 0 x y 1
D. 0 y x 1
【答案】 A 【解析】 【分析】
由题可得： x y 1，将 y 1 x 代入 OC xOA yOB 整理得： BC xBA ，利用点 C 在线段 AB 的延长线上可得： x 0 ，问题得解 . 【详解】由题可得： x y 1 ，
（舍去）
5
5
34
所以与向量 AB 方向相同的单位向量为 a
, 55
故选： A 【点睛】本题主要考查了单位向量的概念及方程思想，还考查了平面向量共线定理的应用，考查计算 能力，属于较易题。
5.函数 y
sin 2x 的图象可由函数 y
sin 2x
的图象（
3
）
A. 向左平移 个单位长度得到 3
B. 向左平移 个单位长度得到 6
）
2
4
1
A.
4
【答案】 D
1
B.
2
C. 1
【解析】 【分析】
由扇形的弧长公式列方程得解 .
【详解】设扇形的半径是 r ，由扇形的弧长公式 l
r 得：
r ，解得： r = 2 24
故选： D
D. 2
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，考查了方程思想，属于基础题。
3.如果点 P sin cos , cos 位于第四象限，则角 是（ ）
A. 第一象限角 【答案】 C 【解析】 【分析】
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
由点 P sin cos , cos 位于第四象限列不等式，即可判断 sin ,cos 的正负，问题得解 .
【详解】因为点 P sin cos , cos 位于第四象限
sin cos 0
sin 0
所以
，所以
又 cosC
2
2
2
abc
2ab
2
2
2
4x
5x
6x
1 0 ，所以 C 角为锐角，所以 B 错误；
2 4x 5x
8
由上可知： a 边最小，所以三角形中 A 角最小，
【答案】 ACD
【解析】
【分析】
由已知可设
a b 9x a c 10x ，求得 a b c 11x
4x, b 5x, c
6x ，利用正弦定理可得
A 正确；利用余弦定理可
得 cosC
0，三角形中的最大 C 角为锐角，可得
B 错误；利用余弦定理可得
cos A
3
，利用二倍
4
角的余弦公式可得： cos2 A cos C ，即可判断 C 正确，利用正弦定理即可判断 D 正确；问题得解 .
由复合函数的单调性规律可得：
, 不是 f x 的一个递增区间；所以 C 错误 . 36
当x
, 时， t 63
0,
， t 2x 在 x 3
y 2cos t 在 t 0, 单调递减，
, 递增， 63
由复合函数的单调性规律可得：
f x 2cos 2x
在x
3
, 递减，所以 D 正确； 63
故选： ABD
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及两角和的余弦公式逆用，还考查了复合函数单调性规律， 考查转化能力，属于中档题。
2
3
3
3
33
此时 f x 取得最小值 2 ，所以 x 是 f x 的一条对称轴，所以 B 正确；
【3
令 t 2x ，则 f x 2cos 2 x
由 y 2cost ， t 2x 复合而成；
3
3
3
当x
, 时， t
2 , ， t 2x 在 x
, 递增，
36
33
3
36
y 2cos t 在 t
2
,
不单调，
33
，利用三角函数性质即可判断 A,B 正
3
确，再利用复合函数的单调性规律即可判断
C 错误， D 正确；问题得解 .
详解】由 f x cos2x 3sin 2x 可得： f x 2cos 2x 3
所以 f x 的周期为 T 2
2
，所以 A 正确；
将 x 代入 f x 2cos 2x
可得： f
2cos 2
11.下列关于平面向量的说法中不正．确．．的是（ ）
A. 已知 a ， b 均为非零向量，则 a / / b 存在唯 - 的实数 ，使得 b a
B. 若向量 AB ， CD 共线，则点 A ， B ， C ， D 必在同一直线上
C. 若 a c b c 且 c 0 ，则 a b
D. 若点 G 为 ABC 的重心，则 GA GB GC 0
了平面向量中三角形重心的推论，属于中档题。
12.已知函数 f x cos2x 3sin 2x ，则下列说法正确的是（
）
A. f x 的周期为
C.
, 是 f x 的一个递增区间
36
【答案】 ABD
B. x 是 f x 的一条对称轴 3
D.
, 是 f x 的一个递减区间
63
【解析】 【分析】
化简 f x cos2x 3sin 2x 可得： f x 2cos 2x
10. 我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之割，以至于 不可割，则与圆合体，而无所失矣”，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近
圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率 . 如果用圆的内接正 n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值记
为 n ，那么用圆的内接正 2n 边形逼近圆，算得圆周率的近似值加
【答案】 BC
【解析】
【分析】 利用向量共线的概念即可判断
A 正确， B 错误； 利用向量垂直的数量积关系即可判断
角形重心的结论即可判断 D 正确，问题得解 .
【详解】对于选项 A，由平面向量平行的推论可得其正确；
C 错误， 利用三
对于选项 B ，向量 AB ， CD 共线，只需两向量方向相同或相反即可，点
2 n 可表示成（
）
n
A. 360 sin n
【答案】 C
【解析】
【分析】
n
B.
360
cos
n
n
C. 180 cos n
n
D.
90
cos
n
设圆的半径为 r ，由内接正 n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
180
180
n n sin
cos
，由
n
n
内接正 2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
180
2n
n sin
，问题得解 .
n
【详解】设圆的半径为 r ，将内接正 n 边形分成 n 个小三角形，
由内接正 n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
r2
1 n
r 2 sin 360 ，整理得：
2
n
1
360
n
sin
，
2
n
此时 n
n
1
360
sin
，即：
n
180 n sin
180 cos
2
n
n
n
同理，由内接正 2n 边形的面积无限接近圆的面积可得：
2018-2019 学年度第二学期期末学业水平诊断
高一数学试题
一、选择题：本大题共 13 小题，每小题 4 分，共 52 分。在每小题给出的四个选项中， 第 1～ 10 题只有一项符合题目要求：第 11~13 题有多项符合题目要求，全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。 1. cos570 0 （ ）
一直线上，故 B 错误；
A ， B ， C ， D 不必在同
对于选项 C， a c b c a b c 0 ，则 a b c ，不一定推出 a b ，故 C 错误；
对于选项 D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确
.
故选： BC
山东省烟台市2018-2019学年高一下学期期末考试英语试题+扫描版含答案
2018—2019学年度第二学期期末学业水平诊断高一英语试题参考答案听力：1—5ACACB 6—10CBABA 11—15BCBAC 16—20BABCB阅读理解：21—23 CBB 24—26 ADA 27—30 BDCD 31—35 AGDEC完形填空：36—40 BACAD 41—45 ACBBD 46—50 CABDD 51—55 CACBD语法填空：56. abandoned 57. friends 58. which 59. as 60. an61. faster 62. What 63. are used 64. providing 65. to help应用文写作:Dear John,Knowing you’re crazy about Chinese calligraphy, I’m writing to inform you that a calligraphy course is to be offered specially to exchange students in our school.The course is aimed to help foreign students appreciate the beauty of Chinese calligraphy. The teacher has a good knowledge of calligraphy. Besides, with a high level of fluency in English, he has no trouble communicating with foreigners. If you’re interested, please sign up at the Students’ Union or on the school website before July 15.Yours,Li Hua 读后续写：Paragraph 1When we realized it was time to walk home, we found ourselves lost. It was getting darker and darker. I felt so scared that tears rolled down my face again. David attempted to comfort me. He told me that he once made some marks on the trees in the forest, which might help us find the way home. Therefore, we made efforts to look for the marks but in vain. Having walked anxiously for about an hour in the forest, we failed to find our way out.Paragraph 2It was completely dark when we saw fireworks(烟火) being set off in the distance. We ran excitedly in that direction as fast as possible. Soon we found my aunt’s house, in front of which my cousin Kristy was holding some fireworks and lighting them. Seeing us back safe, Kristycheerfully hugged us. She told us that when noticing we had been away for long, she was concerned about our safety. She set off fireworks to draw our attention and guide us. It was an unforgettable experience. Without David’s comfort and Kristy’s fireworks, I would have lost in the forest forever.附：听力录音材料Text 1W: Mr. Johnson, I’ve been working hard for two months. I really need a break from work. I want a one-week holiday.M: That’s totally OK, Gina. You’ve got a hard job.Text 2M: How much do tickets for the movie cost, please?W: They’re 8 dollars for adults, half price for students.M: Give me three student tickets, please.Text 3W: What happened?M: Sorry, honey. I fell when I was moving the two chairs upstairs.W: Need to see the doctor, darling?M: No, I didn’t get hurt. But look at the chairs. They broke.Text 4M: Excuse me. Are you Mrs. Brown from London?W: That’s it.M: Welcome to the Big Apple, Mrs. Brown. I’m Calvin Smith. My company arranged me to pick you up here. My car is over there.Text 5W: Have you sent an invitation to Laura?M: Rosa?W: No. I said Laura, not Rosa. Laura, Maria’s sis ter.M: Yes. I’ve done that. But should we also invite Maria?Text 6M: Oh, the ink is poured on the desk. I’m terribly sorry.W: Oh, my new book. I bought it just yesterday. I haven’t even read it yet.M: I’m sorry again. Don’t worry about the book. I’ll get you a new one.W: And there is ink all over the desk. The class will begin soon. How can I clean it?M: I’ve an old pair of gloves in my desk. I’ll clean your desk with them. It’s all my fault. I’ll take care of everything.Text 7M: The meeting came to an end at last. So, Mary, what would you like to have for lunch?W: I’d like to go to the Seafood Palace. It’s next to the shopping mall.M: Well, you’ll have some nice ocean views, but we don’t have much time. The movie will begin in forty minutes.W: Oh, you’re right. So what about Jim’s Café?M: Er, it’s also a little far. I think Rose Restaurant is perfect for today, and the steak there is wonderful.W: Sounds great.Text 8M: Good afternoon. Have a seat and tell me what’s wrong.W: I’ve had a stomachache for a long time. It started Friday morning.M: You’ve had a stomachache for four days. Why did you wait so long?W: I didn’t think it was serious.M: And do these stomachaches happen at any particular time?W: Yes, every morning, just before lunchtime.M: Have you changed your morning routine recently?W: Well, I have a new job, and I’ve been skipping breakfast and drinking more coffee.M: That’s probably why your stomach has been bothering you. Let’s order some tests, and I’ll examine you. But you should consider changing your breakfast habits.Text 9W: John, have you watched the film Spies in Disguise?M: No. Is it a new movie?W: Yes. It was expected to be one of the best movies in the year 2019.M: So what’s it about?W: It’s about t wo spies who work together as a team to find dangerous spies. One of them is named Lance Sterling. He’s cool, good-looking and skilled. Saving the world is his job. He’s voiced by Will Smith.M: I love Will Smith’s performance in Men in Black. And I love his voice. So what about the other man?W: The other man is Walter voiced by Tom Holland. Walter has a great mind but he isn’t good at social activities.M: Oh, I love Tom Holland’s performance in Spider-Man: Homecoming. By the way, is there the movie on tonight? I can’t wait to go to watch it.W: Yes, there’s one at 8:00 pm.M: Great. There are still two hours left. I can make it.Text 10M: My name is Jerry Brown. I entered high school last year. I get up around 6:30 am every day. After I get up, I usually do a morning run and do a little exercise. And I go to fetch the papers for my father. Then I take a shower before eating my breakfast prepared by my mother at 7:15 am. It usually takes me 15 minutes to get to school by bike. The class begins at 8:00 am with my favorite class math. All our subjects like physics, science, math, English, Chinese and so on, are covered within eight classes. After the fourth class, we can take a two-hour break. The break ends at 1:30 pm and thereafter we continue for fou r classes. The school ends at 4:55 pm. I usually don’t go back home immediately. Instead I play some outdoor sports games like football and basketball on the playground for about an hour. Students of different classes meet together and make friends with on e another. I usually get home around 6:30 pm. Then it’s time for supper and homework.。
2018年山东省烟台市大学附属中学高一数学文下学期期末试题含解析
2018年山东省烟台市大学附属中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 等比数列中, 则的前项和为（）A． B． C． D．参考答案：B2. 设奇函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．参考答案：D3. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B【分析】先由正弦定理得到，再由正弦定理得到进而得到结果.【详解】在中，角、、的对边分别为、、，已知，根据正弦定理得到进而得到，故故答案为：B.【点睛】在解与三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.4. 点P在直线上，直线在平面内可记为 ( )A．P∈， B．P， C．P，∈ D．P∈，∈参考答案：A5. 函数的定义域为（）A．(2,3) B. (3,+∞) C. [1,2)∪(3,+∞) D. (2,3)∪(3,+∞)参考答案：D6. 在2013年至2016年期间，甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若年利率为q保持不变，且每年到期的存款本息自动转为新的一年定期，到2017年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（）A．m（1+q）4元B．m（1+q）5元C．元D．元参考答案：D【分析】2013年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）4，2014年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）3，2015年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）2，2016年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q），由此利用等比数列前n项和公式能求出到2017年6月1日甲去银行将所有存款的本息全部取回，取回的金额．【解答】解：2013年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）4，2014年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）3，2015年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q）2，2016年6月1日到银行存入m元的一年定期储蓄，到2017年6月1日本息和为：m（1+q），∴到2017年6月1日甲去银行将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是：S=m（1+q）（1+q）+m（1+q）2+m（1+q）3+m（1+q）4==．故选：D．7. 一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2012个圆中共有●的个数是（）A．61 B．62 C．63 D．64参考答案：A【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】将圆分组：把每个实心圆和它前面的连续的空心圆看成一组，那么每组圆的总个数就等于2，3，4，…，构成等差数列．根据等差数列的求和公式可以算出第2012个圆在之前有多少个整组，即可得答案．【解答】解：根据题意，将圆分组：第一组：○●，有2个圆；第二组：○○●，有3个圆；第三组：○○○●，有4个圆；…每组的最后为一个实心圆；每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为s n=2+3+4+…+（n+1）==因为=1952＜2011＜=2015则在前2012个圈中包含了61个整组，和第62组的一部分，即有61个黑圆，故选A8. 设f(x)是R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则f(-2),f(3),f(-)的大小顺序是：（）A、 f(-)>f(3)>f(-2)B、f(-) >f(-2)>f(3)C、 f(-2)>f(3)> f(-)D、 f(3)>f(-2)> f(-)参考答案：A略9. 若P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是（）D10. 函数的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B 解析：令，则，对称轴，是函数的递增区间，当时；二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞,0)上时增函数，若，则的解集为参考答案：(－3,0)∪(3,+∞)因为在上是增函数，且，所以当时，，所以满足不等式；由函数是偶函数知，在上是减函数，且，所以当时，，所以满足不等式，综上所述，时，不等式成立.12. 已知函数，那么= ．参考答案：【考点】函数的值．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据所求关系式的形式可先求f（），然后求出f（x）+f（）为定值，最后即可求出所求．【解答】解：∵，∴f（）=∴f（x）+f（）=1∴f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，f（4）+f（）=1，f（1）=∴=故答案为：【点评】本题主要考查了函数的值的求解，找出规律进行解题可简化计算，当项数较少时也可逐一进行求解，属于基础题．13. 函数的定义域 .参考答案：14. 已知函数，则．参考答案：15. 已知为锐角,且,则的值为.参考答案：由为锐角，可得，则，故答案为.16. 已知数列满足，，，则数列的通项公式为________．参考答案：.【分析】由题意得出，可得出数列为等比数列，确定出该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式.【详解】设，整理得，对比可得，，即，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查数列通项的求解，解题时要结合递推式的结构选择合适的方法来求解，同时要注意等差数列和等比数列定义的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17. 在△ABC中，若∶∶∶∶，则_____________。
2018-2019学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷
2018-2019学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合A={（x，y）|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则下列关系正确的是（）A．A=B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B=∅2．下列函数为偶函数的是（）A．f（x）=x B．f（x）=x3C．f（x）=x2，x∈（﹣5，5]D．f（x）=43．已知函数f（x）=，则f（2）=（）A．4 B．0 C．﹣1 D．14．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）5．若函数f（x）的定义域为[2，4]，则函数y=f（log x）的定义域为（）A．[，1]B．[4，16]C．[2，4] D．[，]6．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条条直线和一个点确定一个平面C．梯形确定一个平面D．四边形确定一个平面7．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A． B．C．D．8．已知直线l过点P（3，4），它的倾斜角是直线y=x+1的两倍，则直线l的方程为（）A．y﹣4=0 B．x﹣3=0 C．y﹣4=2（x﹣3） D．y﹣4=x﹣39．若点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．以上均有可能10．设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0 C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）11．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）．14．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．15．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于．16．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、17．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．18．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．19．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？20．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．21．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．22．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．已知集合A={（x，y）|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，则下列关系正确的是（）A．A=B B．A⊆B C．B⊆A D．A∩B=∅【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】由A是点集，B是数集，故A∩B为空集．【解答】解：∵A是点集，B是数集，∴A∩B=∅，故选：D【点评】本题考查的知识点是集合的交集运算，难度不大，属于基础题．2．下列函数为偶函数的是（）A．f（x）=x B．f（x）=x3C．f（x）=x2，x∈（﹣5，5]D．f（x）=4【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据奇函数、偶函数的定义，偶函数和奇函数定义域的特点便可判断每个选项函数的奇偶性，从而找出正确选项．【解答】解：A．f（x）=x为奇函数，∴该选项错误；B．f（x）=x3为奇函数，∴该选项错误；C．f（x）的定义域为（﹣5，5]，不关于原点对称，为非奇非偶函数，∴该选项错误；D．f（x）=4的定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x）；∴该函数为偶函数，∴该选项正确．故选：D．【点评】考查奇函数和偶函数的定义，判断一个函数奇偶性的方法和过程，以及奇函数和偶函数定义域的特点．3．已知函数f（x）=，则f（2）=（）A．4 B．0 C．﹣1 D．1【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；试验法；函数的性质及应用．【分析】判断可得f（2）=22﹣4×2+3=﹣1．【解答】解：∵2＞1，∴f（2）=22﹣4×2+3=﹣1，故选：C．【点评】本题考查了分段函数的计算．4．设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【考点】函数的零点；对数函数的图象与性质．【专题】计算题．【分析】可先构造出函数f（x）=lnx+x﹣4，带入可得f（2）＜0，f （3）＞0，据此解答．【解答】解：设f（x）=lnx+x﹣4，则f（2）=ln2+2﹣4=ln2﹣2＜0，f（3）=ln3+3﹣4=ln3﹣1＞0，所以x0属于区间（2，3）．故选：C．【点评】本小题主要考查简单的构造函数求出函数零点的方法，注意灵活运用，属于基础题．5．若函数f（x）的定义域为[2，4]，则函数y=f（log x）的定义域为（）A．[，1]B．[4，16]C．[2，4] D．[，]【考点】对数函数的单调性与特殊点；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由函数f（x）的定义域可得2≤log x≤4，然后求解对数不等式得答案．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[2，4]，∴由2≤log x≤4，解得，∴函数y=f（log x）的定义域为[]．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题．6．下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条条直线和一个点确定一个平面C．梯形确定一个平面D．四边形确定一个平面【考点】平面的基本性质及推论．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在A中，过共线的三点不能确定一个平面；在B中，经过一条直线和这条直线上一个点不能确定一个平面；在C中，梯形确定一个平面；在D中，空间四边形不一定能确定一个平面．【解答】解：在A中，经过不共线的三点确定一个平面，故A错误；在B中，经过一条直线和这条直线外一个点确定一个平面，故B错误；在C中，由梯形中有一组对边平行，得到梯形确定一个平面，故C 正确；在D中，空间四边形不一定能确定一个平面，如右图的空间四边形就不能确定一个平面，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A． B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积V=×4×=．故选C．【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确判断几何体的形状是解题的关键．8．已知直线l过点P（3，4），它的倾斜角是直线y=x+1的两倍，则直线l的方程为（）A．y﹣4=0 B．x﹣3=0 C．y﹣4=2（x﹣3） D．y﹣4=x﹣3【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；直线与圆．【分析】由已知直线的方程求得其倾斜角，进一步得到直线l的倾斜角为90°，再由直线过点P（3，4）求得直线方程．【解答】解：∵直线y=x+1的斜率为1，∴其倾斜角为45°，则直线l1的倾斜角为90°，又直线l过点P（3，4），∴其方程为x=3，即x+3=0．故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了倾斜角和斜率的关系，是基础题．9．若点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，则直线ax+by+1=0与圆C的位置关系是（）A．相切B．相离C．相交D．以上均有可能【考点】点与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】根据点P在圆C的外部，得出点P到圆心的距离d1＞r，计算圆心到直线ax+by+1=0的距离，判断出直线与圆C的位置关系．【解答】解：∵点P（a，b）在圆C：x2+y2=1的外部，∴点P到圆心的距离d1＞r，即a2+b2＞1；又圆心到直线ax+by+1=0的距离为d2=＜1=r，∴直线与圆C相交．故选：C．【点评】本题考查了点与圆以及直线与圆的位置关系的应用问题，是基础题目．10．设f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，若x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则（）A．f（x1）+f（x2）+f（x3）＞0 B．f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0 C．f（x1）+f（x2）+f（x3）=0 D．f（x1）+f（x2）＞f（x3）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想．【分析】对题设中的条件进行变化，利用函数的性质得到不等式关系，再由不等式的运算性质整理变形成结果，与四个选项比对即可得出正确选项．【解答】解：∵x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，∴x1＞﹣x2，x2＞﹣x3，x3＞﹣x1，又f（x）是定义在R上单调递减的奇函数，∴f（x1）＜f（﹣x2）=﹣f（x2），f（x2）＜f（﹣x3）=﹣f（x3），f （x3）＜f（﹣x1）=﹣f（x1），∴f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，∴三式相加整理得f（x1）+f（x2）+f（x3）＜0故选B【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，解题的关键是根据函数的性质得到f（x1）+f（x2）＜0，f（x2）+f（x3）＜0，f（x3）+f（x1）＜0，再由不等式的性质即可得到结论．11．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：①OC∩平面PAC；②MO∥平面PAC；③平面PAC∥平面MON，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可．【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，∴MO∥PA，ON∥AC，OM∩ON=O，∴MO∥平面PAC；平面PAC∥平面MON，②③故正确；故选：C．【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握．12．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标．作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x天 4 10 36市场价y元90 51 90根据上表数据，当a≠0时，下列函数：①y=ax+k；②y=ax2+bx+c；③y=alog m x中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）②．【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alog m x显然都是单调函数，不满足题意，∴y=ax2+bx+c．故答案为：②．【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键．14．如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件AC⊥BD或四边形ABCD为菱形时，有A1C ⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）．【分析】由假设A1C⊥B1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一．【解答】解：若A1C⊥B1D1，由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，AA1⊥B1D1，易得B1D1⊥平面AA1BB1，则A1C1⊥B1D1，即AC⊥BD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：AC⊥BD或四边形ABCD为菱形．【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题．15．若直线m被两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：2x﹣2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于135°．【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90°．再根据两条平行线的倾斜角为45°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90°．由于两条平行线的倾斜角为45°，故直线m的倾斜角为135°，故答案为：135°．【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题．16．如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：①异面直线AB与SC所成角为60°；②BC与平面SAB所成角的余弦值为；③二面角S﹣BC﹣A的余弦值为，其中所有正确命题的序号为②③．【分析】①根据线面垂直性质可判断；②根据公式cosθ=cosθ1cosθ2求解即可；③找出二面角的平面角，利用余弦定理求解．【解答】解：①取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直SC，故错误；②易知BC在平面上的射影为∠ABC的角平分线，∴cos60°=cosθcos30°，∴cosθ=，故正确；③取BC中点N，∴二面角为∠ANC，不妨设棱长为1，∴cos∠ANC==，故正确，故答案为：②③．【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法．属于基础题型．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、17．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…（6分）（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以．…（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1﹣ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点．（1）求证：A1C∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣A的正切值．【分析】（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，则A1C∥EO，由此能证明A1C∥平面BDE．（2）由BD⊥AC，BD⊥EO，得∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BD﹣A的正切值．【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，∵E是AA1的中点，O是BD的中点，∴A1C∥EO，又EO⊂面BDE，AA1⊄面BDE，所以A1C∥平面BDE．…（6分）解：（2）由（1）知，BD⊥AC，BD⊥EO，∴∠AOE是二面角E﹣BD﹣A的平面角，在Rt△AOE中，tan∠AOE==．∴二面角E﹣BD﹣A的正切值为．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x．由，f（x）=R（x）﹣G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式．（2）当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围．（3）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）=3.2（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x．…（2分）∵，…（3分）∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…（4分）（2）∵f（x）=，∴当0≤x≤5时，由f（x）=﹣0.4x2+3.2x﹣2.8＞0，得1＜x≤5；．…（7分）当x＞5时，由f（x）=8.2﹣x＞0，得5＜x＜8.2．∴要使工厂有盈利，求产量x的范围是（1，8.2）．．…（6分）（3）∵f（x）=，∴当x＞5时，函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…（8分）当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…（10分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．…（12分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．20．在△ABC中，A（2，﹣1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0．角B的平分线所在直线BT的方程为x﹣y+2=0．（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程．【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的中点M，代入直线CM．又点B在直线BT上，联立即可得出．（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，利用对称的性质即可得出．【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 ①…（2分）又点B在直线BT上，所以x0﹣y0+2=0 ②…（4分）由①②得：x0=﹣2，y0=0，即顶点B（﹣2，0）．…（6分）（2）设点A（2，﹣1）关于直线BT的对称点的坐标为A′（a，b），则点A′在直线BC上，由题意知，，解得a=﹣3，b=4，即A′（﹣3，4）．…（9分）因为k BC===﹣4，…（11分）所以直线BC的方程为y=﹣4（x+2），即4x+y+8=0．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．（1）设FC的中点为M，求证：OM∥面DAF；（2）求证：AF⊥面CBF．【分析】（1）先证明OM∥AN，根据线面平行的判定定理即可证明OM∥面DAF；（2）由题意可先证明AF⊥CB，由AB为圆O的直径，可证明AF ⊥BF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF ⊥面CBF．【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MN∥CD，MN=CD，又∵AO∥CD，AO=CD，∴MN∥AO，MN=AO，∴MNAO为平行四边形，∴OM∥AN．又∵AN⊂面DAF，OM⊄面DAF，∴OM∥面DAF．（2）∵面ABCD⊥面ABEF，CB⊥AB，CB⊂面ABCD，面ABCD∩面ABEF=AB，∴CB⊥面ABEF．∵AF⊂面ABEF，∴AF⊥CB．又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，又∵CB∩BF=B，CB，BF⊂面CBF．∴AF⊥面CBF．【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．22．设直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求△AOB（O为坐标原点）面积的最小值．【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a范围；令y=0，解得x=＞0，解得a范围．求交集可得：a＜﹣1．利用S△AOB= [﹣（a﹣2）]×，变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）若2﹣a=0，解得a=2，化为3x+y=0．若a+1=0，解得a=﹣1，化为y+3=0，舍去．若a≠﹣1，2，化为： +=1，令=a﹣2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0．（2）y=﹣（a+1）x+a﹣2，∵l不经过第二象限，∴，解得：a≤﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（3）令x=0，解得y=a﹣2＜0，解得a＜2；令y=0，解得x=＞0，解得a＞2或a＜﹣1．因此，解得a＜﹣1．∴S△AOB=|a﹣2|||==3+≥3+=6，当且仅当a=﹣4时取等号．∴△AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6．【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．。
山东省烟台市2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
故选:C.
【点睛】本题考查直线系方程的应用,考查直线过定点,考查直线与圆的位置关系,考查转化
思想,属于基础题,难度较易.
5.若角 满足 sin | sin | cos | cos | 1，则 是( )
A. 第一象限的角
B. 第二象限的角
C. 第三象限的角
D. 第四象限的角
【答案】C
【解析】
【分析】
17 11.设 MP 、 OM 和 AT 分别是角 18 的正弦、余弦和正切线，则以下不等式正确的是( )
A. MP AT OM
B. OM AT MP
C. OM AT 0
D. AT OM 0
【答案】BC 【解析】 【分析】
17 作出角 18 的正弦、余弦和正切线,根据三角函数线定义,即可得出结果.
【详解】因为角 的终边经过点 (1,2 2 ) ,
sin = 2 2 , cos = 1
所以
3
3,
所以
f (cos )
f
(
1)= 3
log3
1 3
1
,
f (sin )
f
(
2
3
2
)=
log3
2
2 3
0
,
所以
f
(f
(cos ))
f
(-1)=2-1= 1 2,
f
(f
22
(sin )) 2log3 3
【详解】根据表中数据计算得：
4
4
4，
x,
将
y 代入
yˆ
12 t 0.8x 0.5 ，可得 4
0.8 5 0.5 ，解得 t
6.
故选 B.
山东省烟台市2018-2019学年高一数学下学期期末学业水平诊断试题
C. ( 4 , 3) 55
D. ( 4 , 3) 55
5.函数 y sin 2x 的图象可由函数 y sin(2x ) 的图象 3
A.向左平移 个单位长度得到
3
B.向左平移 个单位长度得到
6
C.向右平移 个单位长度得到
3
D.向右平移 个单位长度得到
6
6.设 e1, e2 是平面内一组基底，若 1e1+e2 sin 2 0 ， 1, 2 R ，则以下不正确的是
7
sin
14.若
cos
1 3
，则 sin
2
15.已知 a (,1) ， b (2, 3) ，若 a b ，则实数
16.已知函数 f (x) sin(x )( 0, ) 的部分图象 2
如图所示，则
17.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处
(k Z) .
23
3
……………12 分
所以 g(x) 的对称中心为 (2k 2 , 0) (k Z) . 3
22.解：（1） f (x) 2sin(x A) cos x sin A 2sin(x A) cos x sin[x (x A)]
……………13 分
即 A 2k , k Z . 因为 A (0, ) ，所以 A ，
3
3
所以 f (x) sin(2x ) . 3
………………………………………5 分
因为 x (0, ) ，所以 2x ( , 2 )
形逼近圆，算得圆周率的近似值记为 n ，那么用圆的内接正 2n 边形逼近圆，算得圆周率 的近似值 2n 可表示成
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
2018-2019学年人教A版高中数学必修二：空间几何体的表面积和体积(知识讲解+例题演练)
空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。
山东省烟台市2018-2019学年高一下学期期中数学测试卷-附标准答案
2018-2019学年山东省烟台市高一（下）期中数学测试卷一、选择题1．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、142．圆x2+y2﹣8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是（）A．相交 B．内切 C．相离 D．外切3．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2 D．4．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300 B．150 C．30 D．155．若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．6．过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x+4）2+（y+2）2=207．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．8．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A ．i ＜3B ．i ＜4C ．i ＜5D ．i ＜69．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）A ．1﹣B ．1﹣C ．D ．10．已知直线l 过点（0，﹣4），P 是l 上的一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2+y 2﹣2y=0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则直线的斜率为（ ）A ．B ．±C ．±2D ．±2二、填空题11．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P （A ∪B ）= ．（结果用最简分数表示）12．已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=4与圆C 2：x 2+（y ﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为 ．13．一束光线从点A （﹣1，1）出发，经x 轴反射到圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1上的最短路径的长度是 ．14．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为多少 ．15．对任意非零实数a 、b ，若a ⊙b 的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是 ．三、解答题16．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x﹣y﹣3=0上的圆的方程．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．18．甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率．19．已知圆x2+y2﹣x﹣6y+m=0与直线2x+y﹣3=0交于M、N两点，O为坐标原点，文是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．21．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．2018-2019学年山东省烟台市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20 B．2、6、10、14 C．2、4、6、8 D．5、8、11、14【考点】系统抽样方法．【分析】系统抽样，要求编号后，平均分租，每一组只抽一个样本，两个相邻的样本的编号间距相等【解答】解：从20人中用系统抽样抽4个人，须把20人平均分成4组，每一组只抽1人，且所抽取的号码成等差数列只有A选项满足故选A2．圆x2+y2﹣8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是（）A．相交 B．内切 C．相离 D．外切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把第一个圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r，再由第二个圆的方程找出圆心B的坐标和半径R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，发现d=R﹣r，从而判断出两圆位置关系是内切【解答】解：把圆x2+y2﹣8x+6y+16=0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y+3）2=9，∴圆心A的坐标为（4，﹣3），半径r=3，由圆x2+y2=64，得到圆心B坐标为（0，0），半径R=8，两圆心间的距离d=|AB|=5，∵8﹣3=5，即d=R﹣r，则两圆的位置关系是内切．故选：B．3．样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2 D．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据已知中数据，代入平均数公式，计算出a值，进而代入标准差计算公式，可得答案．【解答】解：∵样本a，0，1，2，3的平均值为1，∴=1解得a=﹣1则样本的标准差s==故选D4．某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300 B．150 C．30 D．15【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【分析】根据频率分布直方图得出该校学生优秀等级的频率，即可求出该校学生优秀等级的人数是多少．【解答】解：根据频率分布直方图得，该校学生优秀等级的频率是0.015×=0.15；∴该校学生优秀等级的人数是1000×0.15=150．故选：B．5．若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，由此利用对立事件概率计算公式能求出取出的两球中至少有一个白球的概率．【解答】解：∵一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，∴基本事件总数=21，∵取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，∴取出的两球中至少有一个白球的概率为：p=1﹣=．故选：C．6．过点P（4，2）作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5 B．（x﹣4）2+（y﹣2）2=20 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x+4）2+（y+2）2=20【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意知OA⊥PA，BO⊥PB，四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，△AOB 外接圆就是四边形AOBP的外接圆．【解答】解：由题意知，OA⊥PA，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，∵OP的中点为（2，1），OP=2，∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，∴△AOB外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：A7．从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【分析】所有的取法有C92=36种，两数积是完全平方数的取法只有4种，故两数积是完全平方数的概率为．【解答】解：所有的取法有C92=36种，当取出的两个数是1和4，1和9，2和8，4和9时，两数积是完全平方数．故两数积是完全平方数的概率为=，故选A．8．阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜6【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加变量i 的值到S并输出S，根据流程图所示，将程序运行过程中各变量的值列表如下：【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S i循环前/2 1第一圈是 1 3第二圈是﹣2 5第三圈是﹣7 7第四圈否所以判断框内可填写“i＜6”，故选D．9．一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．【考点】几何概型．【分析】求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率．【解答】解：三角形ABC的面积为，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S=，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=1﹣，故选：B10．已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±2【考点】圆的切线方程．【分析】由圆的方程为求得圆心C，半径r，由“若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB最小”，最后利用点到直线的距离求出直线的斜率即可．【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2=1，∴圆心C（0，1），半径r=1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长PA，PB最小，切线长为2，∴PA=PB=2．∴圆心到直线l的距离为d=，直线方程为y+4=kx，即kx﹣y﹣4=0，∴=，解得k=±2．则所求直线的斜率为：±2．故选：D．二、填空题11．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）=．（结果用最简分数表示）【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，分别求两个事件的概率是我们熟悉的古典概型，这两个事件是不能同时发生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型和互斥事件，∵事件A为“抽得红桃K”，∴事件A的概率P=，∵事件B为“抽得为黑桃”，∴事件B的概率是P=，∴由互斥事件概率公式P（A∪B）=．故答案为：．12．已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，则交点连成的直线的方程为x+2y ﹣1=0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】对两圆的方程作差即可得出交点连成的直线的方程．【解答】解：由题意，∵圆C1：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4与圆C2：x2+（y﹣2）2=9相交，∴两圆的方程作差得2x﹣y﹣3=0，即交点连成的直线的方程为x+2y﹣1=0．故答案为：x+2y﹣1=0．13．一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路径的长度是4．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】求出点A关于x轴的对称点A′，则要求的最短路径的长为A′C﹣r（圆的半径），计算求得结果．【解答】解：由题意可得圆心C（2，3），半径为r=1，点A关于x轴的对称点A′（﹣1，﹣1），求得A′C==5，则要求的最短路径的长为A′C﹣r=5﹣1=4，故答案为：4．14．两艘轮船都要停靠同一泊位，它们能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为1小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为多少．【考点】几何概型．【分析】利用几何概率公式求解．【解答】解：以甲船到达泊位的时刻x，乙船到达泊位的时刻y分别为坐标轴，则由题意知：0≤x，y≤24．设事件A={有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件B={甲船停靠泊位时必须等待一段时间}，事件C={乙船停靠泊位时必须等待一段时间}．则A=B+C，并且事件B与事件C是互斥事件．∴P（A）=P（B+C）=P（B）+P（C）．甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0＜x﹣y≤2，乙船停靠泊位时必须等待一段时间需满足的条件是0＜y﹣x≤1，在如图所示的平面直角坐标系下，点（x，y）的所有可能结果是边长为24的正方形，事件A的可能结果由图中的阴影部分表示，=242=576．则S正方形=69.5，∴由几何概率公式得P（A）==．∴有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为．故答案为：．15．对任意非零实数a、b，若a⊙b的运算原理如程序框图所示，则（3⊙2）⊙4的值是．【考点】程序框图．【分析】根据a⊗b的运算原理知a=3，b=2，通过程序框图知须执行，故把值代入求解，类似地即可求得（3⊙2）⊙4的值．【解答】解：由题意知，a=3，b=2；再由程序框图得，3≤2不成立，故执行，得到3⊗2==2．同样：2⊙4=故答案为：．三、解答题16．求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x﹣y﹣3=0上的圆的方程．【考点】圆的标准方程．【分析】由A和B的坐标求出直线AB的斜率，根据两直线垂直斜率的乘积为﹣1求出直线AB垂直平分线的斜率，根据垂径定理得到圆心在弦AB的垂直平分线上，又圆心在已知直线上，联立两直线方程组成方程组，求出方程组的解集，得到圆心M的坐标，再利用两点间的距离公式求出|AM|的长，即为圆的半径，由圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：∵A（5，2），B（3，2），∴直线AB的斜率为=0，∴直线AB垂直平分线与x轴垂直，其方程为：x==4，与直线2x﹣y﹣3=0联立解得：x=4，y=5，即所求圆的圆心M坐标为（4，5），又所求圆的半径r=|AM|==，则所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2=10．17．济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm）．若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高精灵”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176cm，B大学志愿者的身高的中位数为168cm．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法；茎叶图．【分析】（I）根据求平均数及中位数的方法，即可求解x，y．（II）根据分层抽样方法求得抽到的“高精灵”和“帅精灵”的志愿者人数，再分类求得至少有1人是“高精灵”的抽法种数与从这5人中选2人的种数，代入古典概型概率公式计算．【解答】解：（I）由茎叶图得：，解得，x=5，y=7（II）由题意可得，高精灵有8人，帅精灵有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：，=3记抽取的高精灵分别为b1，b2，帅精灵为c1，c2，c3，从已经抽取的5人中任选2人的所有可能为：（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共10种结果记从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”为事件A，则A包括，（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3）共7种∴因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人，至少有一人为“高精灵的概率为18．甲、乙两人在2015年1月至5月的纯收入（单位：千元）的数据如下表：（2）求y关于x的线性回归方程，并预测甲在6月份的纯收入；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月，求恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率．【考点】线性回归方程．【分析】（1）由表中数据的分散程度可得结论；（2）由表中数据可得，，进而可得和，可得回归方程，令x=6可得预测值；（3）列举可得总的基本事件有10个，符合题意的有6个，由概率公式可得．【解答】解：（1）由表中数据可知，甲的纯收入比乙的纯收入集中，故甲的纯收入较稳定；（2）∵=（1+2+3+4+5）=3，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8）=3.8，（x i﹣）2=（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2=10，同理可得（x i﹣）（y i﹣）=4.9，∴==0.49，=3.8﹣0.49×3=2.33，∴所求回归方程为=0.49x+2.33，令x=6可得=0.49×6+2.33=5.27，∴预测甲在6月份的纯收入为5.27千元；（3）现从乙这5个月的纯收入中，随机抽取两个月的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，记“恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中”为事件A，则A包括的基本事件有：（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5）共6种，∴恰有1个月的纯收入在区间（3，3.5）中的概率为P（A）==19．已知圆x2+y2﹣x﹣6y+m=0与直线2x+y﹣3=0交于M、N两点，O为坐标原点，文是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出M，N的坐标，根据OM⊥ON可推断出•=0，把M，N坐标代入求得关系式，把直线方程与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x M+x N和x M•x N，利用直线方程求得y M•y NN的表达式，最后联立方程求得m，利用判别式验证成立，答案可得．【解答】解：设点M（x M，y M），N（x N，y N）当OM⊥OM时，K oM•K ON=﹣1⇒x M x N+y M y N=0（1）又直线与圆相交于P、Q⇒的根是M、N坐标⇒是方程5x2﹣x+m﹣9=0的两根有：x M+x N=，x M•x N=，又M、N在直线2x+y﹣3=0上，则y M•y N=（3﹣2x M）•（3﹣2x N）=9﹣6（x M+x N）+4x M•x N，∴+﹣6×+9=0，解得：m=，且检验△＞O成立，故存在m=，使OM⊥ON．20．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．【考点】众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A 的人数．（Ⅱ）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（Ⅲ）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．21．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由已知中直线l1过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l1的方程；（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．【解答】解：（1）由题意，可设直线l1的方程为y=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k=0…又点O（0，0）到直线l1的距离为，解得，所以直线l1的方程为，即或…（2）对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．又直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为．解方程组，得，同理可得：．…所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为，半径长．所以圆C的方程为，…即=0即，又s2+t2=1故圆C的方程为，令y=0，则（x﹣3）2=8，所以圆C经过定点，y=0，则x=，所以圆C经过定点且定点坐标为。
2018-2019学年山东省烟台市理科数学期末试题(含详细答案)
2018—2019学年山东省烟台市高三期末模拟题（理科数学）一．选择题（共12小题）1．集合A={x|x2﹣1＞0}，B={y|y=3x，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．若，，则sinα的值为（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数的图象f'（x）如图所示，则的值为（）A．B．2C．D．44．已知双曲线两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．5．在三棱锥A﹣BCD中，△BCD是等边三角形，平面ABC⊥平面BCD．若该三棱锥外接球的表面积为60π，且球心到平面BCD的距离为，则三棱锥A﹣BCD 的体积的最大值为（）A．3B．9C．27D．816．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为（）A．3B．3C．D．7．某海上油田A到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M．已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A 处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为（）A．5海里B．海里C．5海里D．10海里8．已知不等式组表示的平面区域恰好被圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2所覆盖，则实数k的值是（）A．3B．4C．5D．69．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B．C．D．10．在三棱锥P﹣ABC中，点P在底面的正投影恰好落在等边△ABC的边AB上，点P到底面ABC的距离等于底面边长．设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tann（α+β）的最小值为（）A．B．C．D．11．已知x0是方程2x2e2x+lnx=0的实根，则关于实数x0的判断正确的是（）A．x0≥ln2B．C．2x0+lnx0=0D．12．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．二．填空题（共4小题）13．过双曲线的右支上一点P分别向圆C1：（x+3）2+y2=4和圆C2：（x ﹣3）2+y2=1作切线，切点分别为A，B，则|PA|2﹣|PB|2的最小值为．14．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=k（x+3）与D有公共点，则实数k的取值范围是．15．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°．则线段AC1与平面ABC所成角的正弦值为．16．函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有三个交点，设三个交点中横坐标的最大值为θ，则=．三．解答题（共6小题）17．设S n为数列{a n}的前n项和，且a1=1，na n+1=（n+2）S n+n（n+1），n∈N*．（1）证明：数列为等比数列；（2）求T n=S1+S2+…+S n．18．如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB=2a，∠ABC=120°，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，，平面BDEF⊥底面ABCD．（1）证明：平面AEF⊥平面AFC；（2）求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．19．已知椭圆的长轴长为6，且椭圆C与圆的公共弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．20．如图，已知椭圆的左焦点F为抛物线y2=﹣4x的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且满足，问直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=（a﹣1）lnx+﹣ax（a∈R）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=lnx+f（x），若g（x）有两个极值点x1，x2，且不等式g（x1）+g （x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．22．已知曲线C：ρ=，直线l：（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点（A在第一象限），当+3=时，求α的值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．集合A={x|x2﹣1＞0}，B={y|y=3x，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，﹣1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：集合A={x|x2﹣1＞0}={x|x＜﹣1或x＞1}=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），B={y|y=3x，x∈R}={y|y＞0}=（0，+∞），则A∩B=（1，+∞）．故选：C．2．若，，则sinα的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，，可得：sinα＞0，∴cosα+sinα=，可得：cosα=+sinα，又∵sin2α+cos2α=1，可得：sin2α+（+sinα）2=1，整理可得：2sin2α+sinα﹣=0，∴解得：sinα=，或﹣（舍去）．故选：A．3．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数的图象f'（x）如图所示，则的值为（）A．B．2C．D．4【解答】解：函数的导函数f′（x）=ωAcos（ωx+φ），由图象可知f′（x）的周期为4π．所以ω=．又因为Aω=2．所以A=4．函数经过（，﹣2），所以﹣2=2cos（×+φ），0＜φ＜π，所以×+φ=π，即φ=．所以f（x）=4sin（x+）．所以f（）=4sin（×+）=4．故选：D．4．已知双曲线两焦点之间的距离为4，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线两焦点之间的距离为4，∴2c=4，解得c=2；∴c2=a2+1=4，∴a=；∴双曲线的渐近线方程是y=±x，即y=±x．故选：A．5．在三棱锥A﹣BCD中，△BCD是等边三角形，平面ABC⊥平面BCD．若该三棱锥外接球的表面积为60π，且球心到平面BCD的距离为，则三棱锥A﹣BCD 的体积的最大值为（）A．3B．9C．27D．81【解答】解：如图，取等边三角形BCD的中心G，过G作三角形BCD的垂线GO，截去GO=．则O为三棱锥外接球的球心，设外接球半径为R，由4πR2=60π，得R2=15．即OD=，∴DG=．则DE=3，可得BC=6，过O作OF⊥平面ABC，则F为三角形ABC的外心，连接DG并延长，角BC于E，则E为BC的中点，要使三棱锥A﹣BCD的体积最大，则AFE共线，即△ABC为等边三角形，此时三棱锥A﹣BCD的高为．∴三棱锥A﹣BCD的体积的最大值为V=．故选：C．6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为（）A．3B．3C．D．【解答】解：根据几何体的三视图：该几何体是由一个半圆柱截取一个底面是直角三角形的直棱柱，所以：该几何体的高为2，直角三角形的直角边长为，则：几何体的表面积为：S=+，=3，故选：A．7．某海上油田A到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为B，海岸线上距离B处100海里有一原油厂C，现计划在BC之间建一石油管道中转站M．已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田A 处到原油厂C修建管道的费用最低，则中转站M到B处的距离应为（）A．5海里B．海里C．5海里D．10海里【解答】解：设MB=x海里，在陆地上修建管道没海里费用为a，修建总费用为y，则y=a（100﹣x）+3a=a（100﹣x+3），令f（x）=100﹣x+3（0＜x≤100），则f′（x）=﹣1+=﹣1+，∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，当＜x＜100时，f′（x）＞0，∴当x=时，f（x）取得最小值，故而y取得最小值．故选：B．8．已知不等式组表示的平面区域恰好被圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2所覆盖，则实数k的值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：由题意作出其平面区域，由平面区域恰好被圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2所覆盖可知，平面区域所构成的三角形的三个顶点都在圆上，又∵三角形为直角三角形，∴（0，﹣6）关于（3，3）的对称点（6，12）在x﹣y+k=0上，解得k=6，故选：D．9．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．10．在三棱锥P﹣ABC中，点P在底面的正投影恰好落在等边△ABC的边AB上，点P到底面ABC的距离等于底面边长．设△PAC与底面所成的二面角的大小为α，△PBC与底面所成的二面角的大小为β，则tann（α+β）的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，点P在底面的正投影恰好落在等边△ABC 的边AB上点P到底面ABC的距离等于底面边长，∴如图，以△ABC为底面，构建底面边长与侧棱长相等的正三棱柱ABC﹣A′B′C′，记P在AB=1上的投影为P′，设AB=1，AP=t，则B′P=1﹣t，由图形得tanα==，tanβ=，∴tan（α+β）===≥﹣．∴tan（α+β）的最小值是﹣．故选：C．11．已知x0是方程2x2e2x+lnx=0的实根，则关于实数x0的判断正确的是（）A．x0≥ln2B．C．2x0+lnx0=0D．【解答】解：令2x2e2x+lnx=0，得2x2e2x=﹣lnx，其中x＞0，在等式两边同时除以x得，，即，构造函数f（x）=xe x，其中x＞0，则f′（x）=（x+1）e x＞0，所以，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且f（lnx）=（lnx）e lnx=xlnx，根据题意，若x0是方程2x2e2x+lnx=0的实根，则，即，所以，，因此，2x0+lnx0=0，故选：C．12．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设M（x0，y0），x0＞0，y0＞0．∵四边形OFMN为平行四边形，∴，∵四边形OFMN的面积为bc，∴|y0|c=bc，即|y0|=b，∴，代入双曲线方程得，∵e＞1，∴．故选：B．二．填空题（共4小题）13．过双曲线的右支上一点P分别向圆C1：（x+3）2+y2=4和圆C2：（x﹣3）2+y2=1作切线，切点分别为A，B，则|PA|2﹣|PB|2的最小值为9．【解答】9解：圆C1：（x+3）2+y2=4的圆心为（﹣3，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣3）2+y2=1的圆心为（3，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），连接PF1，PF2，F1A，F2B，可得|PA|2﹣|PB|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•6﹣3=9．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值9．故答案为：914．不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=k（x+3）与D有公共点，则实数k的取值范围是[] ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：y=k（x+3）过定点P（﹣3，0），由图象可知当直线经过点A（0，4）时，直线的斜率最大，此时k=，当直线经过点B时，直线的斜率最小，由，解得B（1，1），此时k=，∴k的取值范围是[]故答案为：[]．15．四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°．则线段AC1与平面ABC所成角的正弦值为．【解答】解：设以顶点 A 为端点的三条棱长都相等为1，∵，且两两夹角为60°．=，∵以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60，∴AC就是AC1在平面ABC内的投影，∴∠C1AC是线段AC1与平面ABC所成角，在△ACC1中，AC1=，CC1=1，AC=，由余弦定理得cos=则线段AC1与平面ABC所成角的正弦值为．故答案为：16．函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有三个交点，设三个交点中横坐标的最大值为θ，则=2．【解答】解：函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有三个交点，设出切点为（θ，﹣sinθ），π＜θ＜，则f（x）=sinx的导函数f′（x）=﹣cosx，∴f′（θ）=﹣cosθ=，可得：θ=tanθ，sin2θ=2sinθcosθ．则===2sin2θ+2cos2θ=2．故答案为2．三．解答题（共6小题）17．设S n为数列{a n}的前n项和，且a1=1，na n+1=（n+2）S n+n（n+1），n∈N*．（1）证明：数列为等比数列；（2）求T n=S1+S2+…+S n．【解答】解：（1）证明：a1=1，na n+1=（n+2）S n+n（n+1），n∈N*，因为a n=S n+1﹣S n，+1﹣S n）=（n+2）S n+n（n+1），所以n（S n+1=2（n+1）S n+n（n+1），即nS n+1则=2•+1，所以+1=2•（+1），又+1=2，故数列是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）知+1=2n，所以S n=n•2n﹣n，故T n=S1+S2+…+S n=（1•2+2•22+…+n•2n）﹣（1+2+…+n）．设M=1•2+2•22+…+n•2n，则2M=1•22+2•23+…+n•2n+1，所以﹣M=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1，所以M=（n﹣1）•2n+1+2，所以T n=（n﹣1）•2n+1+2﹣n（n+1）．18．如图所示的几何体ABCDEF中，底面ABCD为菱形，AB=2a，∠ABC=120°，AC与BD相交于O点，四边形BDEF为直角梯形，DE∥BF，BD⊥DE，，平面BDEF⊥底面ABCD．（1）证明：平面AEF⊥平面AFC；（2）求二面角E﹣AC﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又平面BDEF⊥底面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，∴AC⊥平面BDEF，从而AC⊥EF．又BD⊥DE，∴DE⊥平面ABCD，由AB=2a，DE=2BF=2，∠ABC=120°，∴AF==，BD=2a，EF==a，AE==2a，从而AF2+FE2=AE2，∴EF⊥AF．又AF∩AC=A，∴EF⊥平面AFC．又EF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面AFC．解：（Ⅱ）取EF中点G，由题可知OG∥DE，∴OG⊥平面ABCD，又在菱形ABCD中，OA⊥OB，∴分别以，，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，则O（0，0，0），A（，0，0），C（﹣，0，0），E（0，﹣a，2），F（0，a，），∴=（﹣），=（﹣2，0，0），=（0，2a，﹣a）．由（1）可知EF⊥平面AFC，∴平面AFC的法向量可取为=（0，2a，﹣）．设平面AEC的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=，得=（0，4，）．∴cos＜＞===．∴二面角E﹣AC﹣F的余弦值为．19．已知椭圆的长轴长为6，且椭圆C与圆的公共弦长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P（0，2）作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a=6，所以a=3，由椭圆C与圆的公共弦长为，恰为圆M的直径，可得椭圆C经过点（2，±），所以+=1，解得b=2，所以椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）直线l的解析式设为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为E（x0，y0）．假设存在点D（m，0），使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，则DE⊥AB．联立y=kx+2和8x2+9y2=72，得（8+9k2）x2+36kx﹣36=0，故x1+x2=﹣，所以x0=﹣，y0=kx0+2=，因为DE⊥AB，所以k DE=﹣，即=﹣，所以m==，当k＞0时，9k+≥2=12，所以﹣≤m＜0．综上所述，在x轴上存在满足题目条件的点E，且点D的横坐标的取值范围为﹣≤m＜0．20．如图，已知椭圆的左焦点F为抛物线y2=﹣4x的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且满足，问直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知F（﹣1，0），所以c=1，令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=，∴，∴a2=4，b2=3∴椭圆C的标准方程：．（2）由（1）知A（﹣1，），设，．由得，||cosα=||cosβ，即∠FAM=∠FAN，又因为FA⊥x轴，∴直线AM、AN的倾斜角互补，直线AM、AN的斜率互为相反数．可设直线AM：：y=k（x+1）+，代入得，设M（x M，y M），N（x N，y N），因为A（﹣1，）在椭圆上，，，．∵直线AM、AN的斜率互为相反数，∴用﹣k换k得：．∴直线MN的斜率k MN=．∴直线MN的斜率是否为定值﹣21．已知函数f（x）=（a﹣1）lnx+﹣ax（a∈R）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设g（x）=lnx+f（x），若g（x）有两个极值点x1，x2，且不等式g（x1）+g （x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（1），令h（x）=（x﹣1）（x﹣a+1）=0，得x1=1，x2=a﹣1，当a﹣1＞1，即a＞2时，在（0，1），（a﹣1，+∞）上，f'（x）＞0，在（1，a﹣1）上f'（x）＜0，此时，f（x）的增区间为（0，1），（a﹣1，+∞），减区间为（1，a﹣1）；当a﹣1=1，即a=2时，在（0，+∞）上f'（x）＞0，此时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2时，在（0，a﹣1），（1，+∞）上f'（x）＞0，在（a﹣1，1）上f'（x）＜0，此时，f（x）的增区间为（0，a﹣1），（1，+∞），减区间为（a﹣1，1）；当a﹣1≤0，即a≤1时，在（1，+∞）上f'（x）＞0，在（0，1）f'（x）＜0，此时，f（x）的增区间为（1，+∞）上单增，减区间为（0，1）．（2）∵，∴，∵g（x）有两个极值点x1，x2，∴x1，x2是方程x2﹣ax+a=0（x＞0）的两个不相等实根，∴△=a2﹣4a＞0，且x1+x2=a＞0，x1x2=a＞0，由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2），得，整理得，将x1+x2=a，x1x2=a代入得，因为a＞4，所以于是对∀a＞4恒成立，令，则，所以φ'（a）＜0，在（4，+∞）单减，所以φ（a）＜ln4﹣2﹣1=ln4﹣3，因此λ≥ln4﹣3．22．已知曲线C：ρ=，直线l：（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点（A在第一象限），当+3=时，求α的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ=，即ρ﹣ρsinθ=2，∴ρ=2+ρsinθ，∴x2+y2=（2+y）2，即曲线C的直角坐标方程为x2=4（1+y）；（Ⅱ）直线l：代入x2=4（1+y），可得t2cos2α=4（1+tsinα），即t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，①t1t2=﹣②，∵+3=，∴t1=﹣3t2，③①②③联立可得=，∴tanα=，∵0≤α＜π，∴α=．。
山东省烟台2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题 含解析
2017-2018学年山东省烟台市高一上学期期中考试数学一、选择题：共12题1. 已知集合==则=A。
B。
C.D。
【答案】C【解析】因为==，所以=，则=,故选C.2. 下列各组函数为相等函数的是A。
B.C。
D。
==【答案】C【解析】A。
因为这两个函数的值域不同,所以这两个函数不是相等函数；B。
这两个函数的定义域不同,所以这两个函数不是相等函数；C.这两个函数的定义域、值域与对应关系均相同，所以这两个函数为相等函数；D.这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是相等函数；故选C.点睛：本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系,相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系．要使数与的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可,注意分析各个选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同,通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域.3。
如图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接,根据图象，给出下列结论:①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好;②二班成绩不够稳定,波动程度较大;③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平,但在稳步提升。
其中正确结论的个数为A. 0 B。
1 C. 2 D。
3【答案】D【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.4。
若函数=在区间上是减函数，则实数的取值范围是A. B。
C。
D。
【答案】B5。
若,则的大小关系为A.B。
C.D。
【答案】B【解析】由指数函数与对数函数的性质可知，===,所以，故选B。
6. 函数=是定义在上的偶函数,则=A. B. 0 C. D。
1【答案】C【解析】函数为偶函数,则定义域关于坐标原点对称，即：,结合二次函数的性质可得，其对称轴：，据此可得:。
本题选择C选项。
7. 幂函数=在为增函数,则的值为A. 1或3B. 3 C。
2 D. 1【答案】D【解析】函数为幂函数，则：,解得:，幂函数单调递增，则:,据此可得：.本题选择D选项.8。