环形道路上的行程问题
环形路上的行程问题
广东省育苗杯专题-张观生手录环形路上的行程问题1、一片草坪边有一条环形路，甲、乙二人在一条环形路上练习跑步，甲每分钟跑210米，乙每分钟跑180米，二人同时同地出发，背向而跑，4分钟相遇。
如果二人同时同地出发，同向而跑，甲多少分钟第一次追上乙？2、甲、乙、丙三人在长2970米的环形路上的同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而走，甲每分钟走90米，乙每分钟走80米，丙在距离乙180米处遇见甲。
丙每分钟走多少米？3、甲、乙二人在400米环形跑道上的同一点同时出发，背向而跑，两人相遇后，乙立即回头跑，并把速度提高到原速的1.4倍，甲、乙二人同时回到出发点之后甲立即回头跑，并把速度提高到原速的1.5倍。
问甲从出发到二人再次相遇，一共跑了多少米？4、一个湖的湖边有一条小路环绕，小志从小路的A点，小华从小路的B点同时出发，背向而行走（如图）经9分钟二人相遇，再过6分钟，小志走到B点，再过12分钟，二人再次相遇，小志在这条小路绕湖这走一圈要多少分钟？5、一个游泳池长50米，甲、乙二人在两端同时开始往返游泳，甲每秒钟游1.6米，乙每秒钟游1.4米，游了10分钟，两人迎面相遇多少次？练习：1、甲、乙二人在一个环形道路上练习跑步，甲每分钟跑195米，乙每分钟跑225米，两人同时同地出发，同向而跑，乙跑28分钟追上甲；如果两人同时同地出发，背向而跑，多少分钟相遇？2、甲、乙、丙三人在一条环形路上的同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而走，丙走12分钟遇见甲再过1.2分钟遇见乙。
已知甲每分钟走75米，乙每分钟走60米，那么这条环形路长多少米？3、甲、乙、丙三人在一环形公路上进行自行车的练习，三人同时在同一地点出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而行，丙遇见乙1.6分钟后遇见甲。
已知甲每分钟行195米，乙每分钟行225米，丙每分钟行180米。
这一环形公路一圈有多少米？4、甲、乙二人在450米的环形跑道的同一点同时出发，背向而走，相遇后乙立即回头走，并把速度提高到原来的1.5倍，二人同时回到出发点，此后甲立即回头跑，并把速度提高到原来的1.25倍。
五年级奥数之《环形道路上的行程问题》+配套练习题 覆盖面广,条理性好,针对性强,提升效果快
五年级奥数
环形道路上的行程问题
在环形道路上的行程问题，本质上讲就是追及问题或相遇问题。
当两人（或物）同向运动时就是追及问题，追及距离就是两人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当两人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是两人从出发到相遇所行路程和。
例1：
如图,两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑.甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米.两人同时同向同地出发,45分钟后甲追上了乙.如果两人同时同地反向而跑,经过多少分钟后两人相遇？
例2：
如图，是一个圆形的中央花园,A、B是直径的两端.小军在A点,小勇在B点，同时出发相向而行.他俩第1次在C点相遇,C点离A点有50米;第2次在D点相遇，D点离B点有30米.这个花园一周长多少米？
随堂练习1
1、甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上同向竞走.已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍,甲在乙前面100米处.几分钟后,甲第一次追上乙？
2、如图，A、B是圆直径的两端点,亮亮在点A,明明在点B,相向而行.他们在C点第一次相。
五年级奥数-环形道路上的行程问题
第五讲环形道路上的行程问题一、知识要点和基本方法1．行程问题中的基本数量关系式： 速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度； 路程÷速度＝时间． 2．相遇问题中的数量关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程； 相遇路程÷速度和＝相遇时间； 相遇路程÷相遇时间＝速度和． 3．追及问题中的数量关系式：速度差×追及时间＝追及距离； 追及距离÷速度差＝追及时间； 追及距离÷追及时间＝速度差． 4．流水问题中的数量关系式：顺水速度＝船速十水速； 逆水速度＝船速一水速；船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2； 水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2． 5．应该注意到：（1）顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似； （2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似，因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．二、例题精讲例1 李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林每分钟所跑路程的89．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇？分析 由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差＝追及时间”． 解 追及距离＝400米；返及时的速度差＝200÷89－200．由公式列出追及时间＝400÷（200÷89－200）＝400 ÷（225－200） ＝400 ÷ 25 ＝16（分）．答 至少经过16分钟两人才能相遇．例2 如图5－1，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D 点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．图5-1分析第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，也就是每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以从A到D（A→C→B→D）的距离应该是从A到C（A直接到C）的距离的3倍．于是有解法如下．解 A 到D（A→C→B→D）的距离：100 × 3＝300（米）．半个圆圈长：300－80＝220（米）．整个圆圈长：220 × 2＝440（米）．答这个圆的周长是440米．例3 一个圆的周长为1．44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．l分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5．5厘米和3．5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？分析半圆的周长是÷．．（米）=72（厘米）．1442=072先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为÷（．．）=8（分）．7255+35再考虑往返的情况，则有表5－1．表5－1经过时间（分） 1 3 5 7 9 11 13 15 16在上半圆爬行时间 1 3 5 7 8在下半圆爬行时间 2 4 6 8此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间．解由题意可知它们从出发到初次相遇经过时间＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（分）．第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同），爬行在上半圆的时间应为9（＝17－8）分钟，但在上半圆（相向）爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16（＝8＋8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟（从总时间计算则为64＋16＝80（分））．此时，相遇位置在上半圆．答它们经过时分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇，例4 一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？图5－2分析根据题意画出示意图5－2．观察示意图可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需时间是40÷4＝10（秒）．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37．5（厘米），由此可求出乙原来的速度．解（70－30）÷4＝40 ÷ 4＝10（秒），［（30＋15）÷2＋15］÷ 10．÷10＝375?．（厘米/秒）．＝375?答爬虫乙原来的速度是每秒爬3．75厘米例5 如图5-3，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？图5-3分析这是环形追及问题．这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环形”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上．解设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3 × 90＝270（米），故有72x ＝65x ＋ 270， 解得x ＝2707在这段时间内乙走了72×2707＝277717由于正方形边长为90米，共四条边，所以由277717＝3 0× 90＋7717＝（4× 7＋2）×90＋7717，可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD 边上．答 当乙第一次追上甲时在正方形的AD 边上．例6 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘50人．请你设计一种乘车及步行的方案，能使这150人在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．解 显然，只有人、车不停地向目标前进，车一直不停地往返载人，最后使150人与车同时到达目的地时，所用的时间才会最短．由于这辆车只能乘坐50人，因此将150分为3组，每组50人来安排乘车与步行．图5－4中，实线表示汽车往返路线（AE →EC →CF →FD →DB ），虚线表示步行路段．显然每组乘车、步行的路程都应一样多．所以图5-4AE ＝CF ＝DB ，且AC ＝CD ＝EF ＝FB ． 若没AE ＝CF ＝DB ＝x ，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y ，则290x y +=．且因为汽车在AE 十EC 上所用的时间与步行AC 所用时间相同，所以 ()7010x x y y+-= 解方程组290x y +=()7010x x y y+-=得60,15x y ==．则150人全部从A 到B 最短时间为602156370107⨯+=小时 答 方案是50人一组，共分3组，先后分别乘60千米车，先后分段步行30千米，由A 同时出发，最后同时到B ，最短时间是637小时．例7 甲、乙二人沿椭圆形跑道作变速跑训练：他们从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。
环形路上的行程问题
环形路上的行程问题例9小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.（1）小张和小王同时从同一个地方出发，朝相反的方向跑去。
75秒后，他们第一次见面。
小张的速度是多少？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？例10如图所示，a和B是圆直径的两端。
小张从a点出发，小王在B点朝相反的方向走。
他们第一次在距离a点80米的C点相遇；在距离B点6米的D点第二次相遇，找出圆的周长小张和小王各自以一定的速度在周长为500米的环形跑道上跑步。
小王每分跑180米。
（1）小张和小王同时从一个地点出发，反向跑步，75秒后两人相遇，求小张的速度。
（2）小张和小王从同一个地方出发，同时朝同一个方向跑。
他们在路上第一次见面有多少分钟？例11甲村、乙村相距6千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后40分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？解决方案：原理图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的3倍，因此所需时间是40×3÷60=2（小时）从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了6×2-2＝10（千米）.小王已走了6＋2=8（千米）.因此，他们的速度分别是小张10÷2＝5（千米/小时），小王8÷2=4（千米/小时）.A:小张和小王的速度分别是5公里/小时和4公里/小时例12小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？解：画示意图如下.第二次见面时，他们走的距离是a村和B村的三倍，所以张离开了3.5×3＝10.5（千米）.从图中可以看出，第二次会议距离B村2公里，因此a村和B村之间的距离为10.5-2＝8.5（千米）.每次他们再次见面，他们必须走两倍于a村和B村之间的距离。
五年级数学—环形路上的行程问题
五年级奥数——环形路上的行程问题1、环形运动问题：环形周长=（大速度+小速度）×相遇的时间环形周长=（大速度-小速度）×相遇的时间环形运动的追及问题和相遇问题：同时同向起点运动，第一次相遇，速度快的比速度慢的多跑一圈。
在环形跑道上同时同向，速度快的在前，慢的在后。
不是封闭的跑道追及问题，速度慢的在前，快的在后。
1.两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑，甲分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙，如果两人同时同地反向而跑，经过多少钟后两人相遇？2.甲，乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处，问几分钟后，甲第1次追上乙？3.如图，A、B是圆的直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行，他俩第1次在C点相遇，C离A点50米；第2次在D点相遇，D点离B点3O米.求这个圆的周长是多少米？4.在一个长800米的环行湖边上，小明，小张两人同时从同一点出发，反向跑步，5分钟两人第一次相遇，小明每分钟跑100米，张静每分钟跑多少米？如果两人同时从同一点出发，同向跑步，多少分钟后小明能追上张静？(湘麓P29)5.有一条长400米的环形跑道，甲乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇，若二人同时同地出发，同向而行，则10钟后第一次相遇，若甲比乙快，那第甲乙二人的速度分别是多少米？(湘麓P29)6.跑马场一周之长为1080。
甲乙两人骑自行车从同一地点同时出发，朝同一方向行驶，经过45分钟，甲追上乙，如果甲的速度分钟减少50米，乙的速度每分钟增加30米，从同一地点同时背向而行，则经过3分钟两人相遇。
求原来甲，乙两人每分钟各行多少米？(湘麓P30)※7.在300米的环形跑道上，甲，乙两从同时从起跑线出发反向而跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，当他们第一次相遇在起跑点时，他们已在途中想遇多少次？(湘麓P30)8.小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分。
第五讲环形道路上的行程问题
第五讲环形道路上的行程问题一、知识要点和基本方法1．行程问题中的基本数量关系式：速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间．2．相遇问题中的数量关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程；相遇路程÷速度和＝相遇时间；相遇路程÷相遇时间＝速度和．3．追及问题中的数量关系式：速度差×追及时间＝追及距离；追及距离÷速度差＝追及时间；追及距离÷追及时间＝速度差．4．流水问题中的数量关系式：顺水速度＝船速十水速；逆水速度＝船速一水速；船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2．5．应该注意到：（1）顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；（2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似，因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．二、例题精讲例1 李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林每分钟所跑路程的89．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇？分析 由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差＝追及时间”．解 追及距离＝400米；返及时的速度差＝200÷89－200． 由公式列出追及时间＝400÷（200÷89－200） ＝400 ÷（225－200）＝400 ÷ 25＝16（分）．答 至少经过16分钟两人才能相遇．例2 如图5－1，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D 点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．图5-1分析第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，也就是每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以从A到D（A→C→B→D）的距离应该是从A到C（A直接到C）的距离的3倍．于是有解法如下．解 A 到D（A→C→B→D）的距离：100 × 3＝300（米）．半个圆圈长：300－80＝220（米）．整个圆圈长：220 × 2＝440（米）．答这个圆的周长是440米．例3 一个圆的周长为1．44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．l分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5．5厘米和3．5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？分析半圆的周长是÷．．（米）=72（厘米）．1442=072先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为÷（．．）=8（分）．7255+35再考虑往返的情况，则有表5－1．表5－1经过时间（分） 1 3 5 7 9 11 13 15 16在上半圆爬行时间 1 3 5 7 8在下半圆爬行时间 2 4 6 8此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间．解由题意可知它们从出发到初次相遇经过时间＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（分）．第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同），爬行在上半圆的时间应为9（＝17－8）分钟，但在上半圆（相向）爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16（＝8＋8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟（从总时间计算则为64＋16＝80（分））．此时，相遇位置在上半圆．答它们经过时分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇，例4 一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？图5－2分析根据题意画出示意图5－2．观察示意图可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需时间是40÷4＝10（秒）．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37．5（厘米），由此可求出乙原来的速度．解（70－30）÷4＝40 ÷ 4＝10（秒），［（30＋15）÷2＋15］÷ 10．÷10＝375?．（厘米/秒）．＝375?答爬虫乙原来的速度是每秒爬3．75厘米例5 如图5-3，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？图5-3分析这是环形追及问题．这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环形”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上．解设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3 × 90＝270（米），故有72x ＝65x ＋ 270，解得x ＝2707 在这段时间内乙走了72×2707＝277717 由于正方形边长为90米，共四条边，所以由277717＝3 0× 90＋7717＝（4× 7＋2）×90＋7717， 可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD 边上．答 当乙第一次追上甲时在正方形的AD 边上．例6 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘50人．请你设计一种乘车及步行的方案，能使这150人在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．解 显然，只有人、车不停地向目标前进，车一直不停地往返载人，最后使150人与车同时到达目的地时，所用的时间才会最短．由于这辆车只能乘坐50人，因此将150分为3组，每组50人来安排乘车与步行．图5－4中，实线表示汽车往返路线（AE →EC →CF →FD →DB ），虚线表示步行路段．显然每组乘车、步行的路程都应一样多．所以图5-4AE ＝CF ＝DB ，且AC ＝CD ＝EF ＝FB ．若没AE ＝CF ＝DB ＝x ，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y ，则290x y +=．且因为汽车在AE 十EC 上所用的时间与步行AC 所用时间相同，所以()7010x x y y +-= 解方程组290x y += ()7010x x y y +-=得60,15x y ==．则150人全部从A 到B 最短时间为602156370107⨯+=小时 答 方案是50人一组，共分3组，先后分别乘60千米车，先后分段步行30千米，由A 同时出发，最后同时到B ，最短时间是637小时． 例7 甲、乙二人沿椭圆形跑道作变速跑训练：他们从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。
小升初培优专题五环形线路问题行程问题篇
小升初培优专题五环形线路问题行程问题篇在小学奥数的行程问题中，环形线路问题是一个比较有挑战性的专题。
今天，我们就来深入探讨一下环形线路中的行程问题。
首先，我们来了解一下环形线路的基本概念。
环形线路，简单来说，就是一个封闭的曲线形状的道路，比如圆形跑道、环形公园小路等。
在环形线路上运动，物体的运动方向可以是同向的，也可以是反向的。
我们先来看同向运动的情况。
假设甲和乙在环形跑道上同时同地出发，甲的速度比乙快。
由于甲的速度快，所以甲会逐渐追上乙。
当甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了一圈。
举个例子，环形跑道的周长是 400 米，甲的速度是每分钟 250 米，乙的速度是每分钟 200 米。
那么甲每分钟比乙多跑 250 200 ＝ 50 米。
甲第一次追上乙所用的时间就是跑道的周长除以甲每分钟比乙多跑的距离，即 400 ÷ 50 ＝ 8 分钟。
接下来，我们再看反向运动的情况。
还是在同样的环形跑道上，甲和乙同时同地出发，方向相反。
那么两人相遇时，他们所跑的路程之和就是跑道的周长。
比如说，跑道周长依然是 400 米，甲的速度是每分钟 250 米，乙的速度是每分钟 200 米。
两人的速度之和就是 250 ＋ 200 ＝ 450 米/分钟。
所以他们相遇所用的时间就是 400 ÷ 450 ＝ 8/9 分钟。
下面我们来看一些稍微复杂一点的环形线路行程问题。
例 1：在一个周长为 600 米的环形跑道上，甲、乙两人同时从同一地点按顺时针方向跑步，甲的速度是每分钟 300 米，乙的速度是每分钟 250 米。
问经过多少分钟甲第一次追上乙？思路：甲要追上乙，就要比乙多跑一圈，也就是 600 米。
甲每分钟比乙多跑 300 250 ＝ 50 米，所以追上乙所用的时间就是 600 ÷ 50 ＝ 12 分钟。
例 2：在周长为 400 米的圆形操场上，小明和小红同时从 A 点出发，小明逆时针跑步，速度是每分钟 200 米，小红顺时针跑步，速度是每分钟 150 米。
行程问题——环形路(教师版)
行程问题——环形路（教师版）一、【本讲知识点】在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。
当二人（或物）同向运动就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。
二、【本讲经典例题】【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为2250米的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第1次追上乙？若两人同时同地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇？分析与解答：2250÷（250-200）=2250÷50=45（分钟），即45分钟后甲第1次追上乙；2250÷（250+200）=2250÷450=5（分钟），即5分钟后甲、乙第1次相遇. 【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。
如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？（1）（2）分析与解答：根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长。
（250-200）×45=2250（米）。
同理，在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长。
如图（2），2250÷（250+200）=5（分钟）即经过5分钟两人相遇。
【随堂练习1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，54分钟后甲追上乙。
如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？一问分析与解答：具体分析见例题。
环形跑道周长：（250-200）×54=2700（米），两人相遇时间：2700÷（250+200）=2700÷450=6（分钟），即经过6分钟后两人相遇。
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行程问题专题训练（环形道路上的行程问题）
一、知识梳理
1．行程问题中的基本数量关系式：
速度×时间=路程；路程÷时间=速度；
路程÷速度=时间．
2．相遇问题中的数量关系式：
速度和×相遇时间=相遇路程；
相遇路程÷速度和=相遇时间；
相遇路程÷相遇时间=速度和．
3．追及问题中的数量关系式：
速度差×追及时间=追及距离；
追及距离÷速度差=追及时间；
追及距离÷追及时间=速度差．
4．流水问题中的数量关系式：
顺水速度=船速+水速；
逆水速度=船速-水速；
船速=(顺水速度+逆水速度)÷2；
水速=(顺水速度-逆水速度)÷2．
5．应该注意到：
(1)顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；
(2)在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似。
因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．
二、例题精讲
例1、李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林
每分钟所跑路程的．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇?
分析：由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差=追及时间”．
解：追及距离=400米；
追及时的速度差．由公式列出
追及时间
（分）．
答：至少经过16分钟两人才能相遇．
例2、如图所示，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B 点80米．求这个圆的周长．
分析：第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．可知，第二次相遇时两人合起来的行程是第一次相遇时合起来的行程的3倍，可知，每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以第二次相遇时亮亮走的行程(A→c→B→D)应该是第一次相遇时走的行程(A直接到C)的3倍。
解：第二次相遇时亮亮走的距离：100×3=300(米)．
半个圆圈长：300-80=220(米)．
整个圆圈长：220×2=440(米)．
答：这个圆的周长是440米．
例3、如图所示，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？
解：设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3×90=270（米），故有
，
解得
在这段时间内乙走了
（米）．
由于正方形边长为90米，共四条边，所以由
，可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD边上。
答：当乙第一次追上甲时在正方形的AD边上。
三、专题特训
1．甲用40秒可绕一环形跑道跑一圈，乙反方向跑，每隔15秒与甲相遇一次．问乙跑完一圈用多少秒?
2．甲、乙从360米长的环形跑道上的同一地点向相同方向跑步．甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米．两人起跑后，问第一次相遇在离起点多少米处?
3．有一条长500米的环形跑道．甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇；如果两人同向而跑，则10分钟后相遇．已知甲跑得比乙快，问甲、乙两人每分钟各跑多少米?
4．甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A点相遇?
5．小明在360米长的环形跑道上跑了一圈．已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒?
6．一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶；由乙至甲是逆水行驶．已知船在静水中的速度为每小时8千米，平时逆行与顺行所用时间的比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度为原来的2倍，这条船往返共用9小时，问甲、乙两港相距多少千米?
7．两只小爬虫甲和乙，从图上A点同时出发，沿长方形ABCD的边，分别按箭头方向爬行，在离C点32厘米的E点它们第一次相遇；在离D点16厘米的F点第二次相遇，在离A点16厘米的G点第三次相遇，问长方形的边AB长多少厘米?
8．周长400米的圆形跑道上，有相距100米的A、B两点(如图所示)．甲、乙两人分别在A、B两点相背而跑，两人相遇后乙立即转身与甲同向而跑，当甲又跑到A地时，乙恰好又跑到B地．如果以后甲、乙跑的方向和速度都不变，那么甲追上乙时，从出发开始，甲共跑了多少米?
9．一个圆的周长为1.44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．1分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…(连续奇数)分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇?再次相遇需要多少时间?
10．一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，甲以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少?
参考答案
1．解：设乙路完一圈用x秒，则，解得（秒）。
2．解：360÷(305-275)=12(分)．305×12=3660(米)．
3660+360=(圈)+10(圈)+60(米)
答：第一次相遇在离起点60米处。
3．解：500÷1=500(米)(速度和)；500÷10=50(米)(速度差)，利用和倍、差倍问题的解题方法可求出两个速度：
(500+50)÷2=275(米／分)；
(500-50)÷2=225(米／分)。
答：甲每分钟跑275米；乙每分钟跑225米．
4．解：甲走完一圈需要400÷80＝5（分钟），乙走完一圈需要400÷50＝5（分钟）.8和5的最小公倍数是40，40分钟后甲和乙在A点处相遇。
5．解：设跑一圈需x秒，
列得方程，解得(秒)。
前一半路程用：180÷5=36(秒)，所以，后一半路程用了80-36=44(秒)
6．解：设甲、乙两港相距x千米，且原来水速为a千米／时
根据题意得
解得．
而，
把代入，得，
解得
答：甲、乙两港相距20千米
7．解：爬虫甲从A→G→B→E所用时间，与从F→D→A→G所用时间相等．如果在AD 上取一点H，使A至H与B至E一样长．
就有F→D→H与G→B一样．所以
GB=FD+DH=FD+CE=16+32=48(厘米)，
AB=AG+GB=16+48=64(厘米)
答：长方形的边AB长64厘米
8．解：设C为相遇点、由题意知，甲从C跑至A的路程为：400÷2=200(米)，乙从C折返跑至B的路程为400÷2-100=100(米)．故甲追及乙的距离为400-100=300(米)．甲、乙速度比为200：100=2：1，所以，甲追上乙时，甲跑600米，乙跑300米，因此，甲从出发开始共跑了400+600=1000(米)
9．解：半圆的周长是1.44÷2=0.72(米)=72(厘米)．先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为72÷(5.5+3.5)=8(分) ．
再考虑往返的情况，则有下表如示．
经过时间（分） 1 3 5 7 9 11 13 15 16
在上半圆爬行时间 1 3 5 7 8
在下半圆爬行时间 2 4 6 8
所以在15分钟的那次爬行中，两只蚂蚁在下半圆爬行刚好都是8分钟．由此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间。
由题意可知，它们从出发到初次相遇经过时
=1+3+5+7+9+11+13+15=64(分)．
第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟(与上次在下半圆爬行时间相同)，爬行在上半圆的时间应为9(=17-8)分钟，但在上半圆(相向)爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16(=8+8)分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟(从总时间计算则为64+16=80(分))．此时，相遇位置在上半圆。
答：它们经过64分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇．
10．解：根据题意画出示意图．
甲共行了70-30=40(厘米)，所需时间是40÷4=10(秒)．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15+30=45(厘米)，假如全按原速走，乙10秒共走15+45÷2=37.5(厘米)，由此可求出乙原来的速度．
(70-30)÷4
=40÷4
=10(秒)，
[(30+15)÷2+15]÷10
=37.5÷10
=3.75(厘米/秒)．
答：爬虫乙原来的速度是每秒爬3.75厘米．。