以不变应万变滚动圆问题方法研究初探
教师《圆的周长》教学设计（通用15篇）
教师《圆的周长》教学设计教师《圆的周长》教学设计（通用15篇）教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。
以下是小编整理的圆的周长教学设计，希望对大家有帮助！教师《圆的周长》教学设计篇1教学目标：1、经历圆周率的形成过程，探索圆周长的计算公式，能正确计算圆的周长。
2、运用圆的周长的知识解决现实生活中的问题，体验数学的价值。
3、培养学生的操作试验、分析问题解决问题的能力。
使学生掌握一些数学方法。
4、通过介绍我国古代数学家对圆周率研究的贡献，对学生进行爱国主义和辩证唯物主义观点的启蒙教育、增强民族自豪感。
教学重点：推导圆的周长的计算公式，准确计算圆的周长。
教学难点：理解圆周率的意义。
教具准备：圆片、铁圈、绳子、直尺。
教学方法：观察、演示、小组合作交流教学过程：一、把准认知冲突，激发学习愿望。
1、问题从情境中引入：花花和亮亮进行赛跑比赛，花花绕着长方形地跑，亮亮绕着圆形跑。
花花跑的路程是长方形的什么？亮亮呢？同桌互相指一指学具中圆片的周长，说说圆的周长与长方形或正方形等图形的周长有什么不同？谁能说说什么是圆的周长？如果两人用相同速度，都跑一周，你认为花花和亮亮谁获胜的可能性大些？（引导揭示课题：圆的周长）2、化曲为直，测量周长。
（1）（出示铁环）直尺是直的，而圆是由曲线组成的，怎样测量圆的周长？讨论：把铁环拉直后测量——“剪开拉直”。
（2）出示易拉罐（指底面），这是一个什么圆形？你能将它“剪开拉直”测量出它的周长吗？你还能想出什么办法，将它化曲为直，测量出周长呢？讨论：方法1：可以用带子绕圆一周，剪去多余的部分，测出周长；方法2：将圆在直尺上滚动一周，测出周长。
(板书：“先绕后量”和“滚动测量”)（3）教师拿一根绳子拴着一个物体，将它旋转几周，指出物体旋转的轨迹是一个圆，你能用“化曲为直”的方法测量出圆的周长吗？（不能）教师再指出黑板上所画的圆，你还能用“化曲为直”的方法，测量它的周长吗？(不能)指出：化曲为直在测量圆的周长时存在一定局限性，必须要寻找一种普遍的方法来计算圆周长的方法。
六年级《圆周长》教学设计
六年级《圆周长》教学设计六年级《圆周长》教学设计1教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》六年级上册第三单元《圆》62-64页的内容。
教学目标1、使学生认识圆的周长，掌握圆周率的意义和近似值，初步理解和掌握圆周长的计算公式，能正确计算圆的周长。
2、通过动手操作、实践探究的活动，培养和发展学生的空间观念，提高学生的抽象概括能力，渗透“化曲为直”的数学思想方法；通过小组合作学习，培养学生的合作意识。
3、通过渗透数学文化，培养学生的爱国情怀，激发学生的民族自豪感。
教材分析：《圆的周长》是六年级数学上册第三单元62至64页的内容。
这部分内容是在三年级上册学习了周长的一般概念以及长方形和正方形周长的计算的基础上进一步学习圆的周长的，同时它又是学生初步研究曲线图形的开始，为以后学习圆柱、圆锥等知识打好基础，因而它起着承前启后的作用，是小学几何初步知识教学中的一项重要内容。
学情分析：因为六年级学生正在经历从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的时期，所以在教学中，我注重从学生已有的知识和生活经验出发，通过自主探究、猜测验证、推导圆的周长计算公式，从而使学生理解公式中的固定值“π”是如何得来的。
教学重点：正确计算圆的周长。
教学难点：理解圆周率的意义，推导圆的周长的计算公式。
教学准备：一套多媒体课件、若干大小不同的圆片、一把直尺、一根绳子、一个计算器教学过程：（一）创设情境，提出问题。
师：同学们，是中国人扬眉吐气的一年，因为上海世博会的成功举办让我们有足够的理由为之骄傲和自豪。
虽然世博会已经于10月31日完美落幕，但是，这场规模空前的盛会却创造了7308万人次参观的新纪录。
其中，中国馆是众多展馆中的一朵奇葩，深受游客们的喜爱，它的外观好像古代的一顶帽子，因此又被称为“东方之冠”。
此外，城市地球馆也得到了中小学生的青睐。
同学们，瞧，这是地球馆中的地球模型，它叫“蓝色星球”。
如果杨老师绕着它的最大横截面走一圈，大约走多少米呢？（板书课题：圆的周长）【设计意图：上海世博会这个情境的创设是为了突破教材，以学生的兴趣作为出发点，使学生对新知识的学习充满了热情和渴望，激发学生的探索欲望，为后面的学习做好铺垫。
浅谈数学变化问题中的不变的方法不变问题中的可变的方法——以一
网
３
图
４
究解 法 的过 程 中 体验 几何 问题 的通 性 通 法 ．
方法 四
如图 ４ ， 连 接 Ｃ， 作 Ｅ Ｍ 上Ａ Ｃ于点 Ｍ， Ｅ ， ｖ 上Ｆ Ｃ，
（ 一） 点动 （ 点 在 线段 上动 改为 点 在 直线 ＿ 卜 动． 结论 不变 ）
点动 １ 将原 题 中的“ 点 Ｅ 在 边 Ｃ上 ” 改 为“ 点 Ｅ在 边
浅 谈 数 学 变 化 问 题 中 的 不 变 的 方 法 ， 不 变 问 题 中 的 可 变 的 方 法
— —
以一 道 老题 为例
１ １ ６ １ ０ ０ ）
Ｃ＝ Ｌ０． 证 出 Ｏ＝ Ｆ． 从 而 ＯＥ＝Ｅ Ｆ，
◎谢 玉玲 试题 如 图． 正方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中。 Ａ
图
１
图 ２
ＡＣ Ｂ ＝４ ５ ｏ ． 从 而 可 证 ＡＥ＝Ｅ 通 过 对 一 道 不 变 试 题 变 化 的方 法 的 探 究 ． 既 可ｉ Ｊ ： 学 生 经
方法二
方 法三
如图 ２ ， 在
上 取 一 点 ０， 使 Ａ０ ＝Ｅ Ｃ， 连 接
ＯＥ． 不 难 证 明 △ＡＥ ０ ＡＥＦ Ｃ ．
浅谈数学变化问题中的不变的方法不变问题中的可变的方法二利用类比思想方法研究变化问题的不变的方法动态变化是几何学习的又一亮点通过点动形成的不同问题既能让学生充分体验几何变化之美又能让学生在研究解法的过程中体验几何问题的通性通法
解题 技巧 与 方法
辑 Ｊ Ｉ ＥＴＩ Ｊ Ｉ ＱＩ ＡＯ ＹＵ Ｆ ＡＮＧＦ Ａ
如图 ３ ， 作 Ｅ Ｏ上Ｂ Ｃ， 交 Ｆ Ｃ 的延 长 线 于 点 ０， 连
中， 体 会 几 何 变 换 的重 要 性 ： 又 能 在 突 出 图形 性 质 的 探 索 过
幼儿园大班科学活动《有趣的滚动》教案（精选6篇）
幼儿园大班科学活动《有趣的滚动》教案（精选6篇）幼儿园大班科学活动《有趣的滚动》篇1活动目标：1、初步了解不同物体有不同的滚动路线。
2、自主探索出三类物体的滚动路线，并尝试记录。
3、在游戏中体验合作探索的乐趣，产生进一步探索物体滚动路线的兴趣。
活动准备：1、收集各种物品：罐头、杯子、球、纸盒、积木等。
2、小棒8根。
（为游戏《赶小猪》而备的赶“猪”棒。
）3、大记录纸一张，记号笔一支。
活动过程：一、第一次探索：哪些物体会滚动？在活动室里散放着纸杯、茶叶筒、球、塑料盒、积木等各种物品。
1、找一找：“小朋友，这里有我们平时用过、玩过的东西，请你们把会滚动的东西找出来。
”2、玩一玩：请你们玩一玩，为什么这些东西会滚动呢？3、说一说：为什么这些东西都能滚动？二、第二次探索：物体滚动的路线是怎样的？（活动重点）1、游戏：滚进球门。
老师介绍游戏玩法：小朋友两两一组，一人分开双脚做球门，一人滚动物体进球门，轮流进行。
2、集体交流，并尝试记录物体滚动的路线。
哪些小朋友的东西滚不进球门？”（幼儿回答、交流后，请幼儿把这些滚不进球门的东西都送到前面来，这样可以让大家看得更加清楚。
）为什么这些纸杯、方便面筒、肯德基筒就滚不进球门呢？（教师进行演示）出示大记录纸：谁能来记录一下它们的滚动路线？幼儿园大班科学活动《有趣的滚动》教案篇2活动目标：1、对滚动的物体产生兴趣，发现滚动物体的形状特征。
2、探索滚动轨迹与物体形状之间的关系。
3、尝试运用绘画记录的方式表达、交流物体滚动的轨迹，发展学习的自主性。
活动准备：三角形、梯形、方形积木；海洋球、玩具球；一次性杯子、圆台形的化妆品瓶子；电池、透明胶带等物体；记录卡片16份、小筐8个、PPT。
活动过程：一、引入活动，激发幼儿兴趣。
1、出示一圆形物体，操作滚动。
师：这是什么？幼：球师：老师把它轻轻一推，看它怎样了？幼：向前运动、动了、滚动……师小结：像这个球一样咕噜咕噜往前转动我们叫它滚动。
关于滚圆问题的若干思考
１３滚 动 和纯 滚 动 ．
圆沿着另外一个 圆的内表面滚动， 比较典型 的例子是 １９ 年 山西省的一道竞赛试题 ： ９０ 例 ２ 如 图２ 圆 的半径为 ｒ 圆（ 的半径 ， ， 二 ）
为４ ， 从图中所示位置 出发绕 圆（作无滑动 ｒ圆 ） 滚动． 要使 圆 的圆心返 回到原来位 圆 滚 置，
（） ； Ａ ３
（） ； Ｂ４
（） ； Ｃ５
（） ． Ｄ ６
点评： 这两道题 目在用词上各有特点： ｉ 例 用
不能算作是尘埃落定， 其原 因主要有两个方面： （） １一些概念在表述的时候仍显得相 当模糊；
（） 圆问题的本质还没被大家所知晓． ２滚 鉴于这种状况 ， 笔者结合物理学知识谈谈 自 己对滚 圆问题的一些认识， 供读者参考． Ｉ 有关概念的界定 ．
２ １ 年第 １ 期 ０１ ０
数 学数 学
１ ｌ ｏ三
关于滚圆问题的若干思考
３５ ０ 浙江省慈溪市育才中学初 中部 童浩军 １０ ３
一
个圆沿着其他物体的表面滚动， 它的转数
动的圈数为 ……… … … … … … … … … … （ ）
问题在初中数学 中已被讨论了二十余年 （ 以下简 称“ 圆问题”． 于这 场讨论笔者认为 至今 尚 滚 ）关
现在来具体讨论滚 圆（ 以下没特别说 明， 滚
动均指纯滚动） 自转转数问题． 的 ２ 沿折线型表面滚动 ． ２１沿 直 线型 表 面滚 动 ． 如图 ３ 圆沿直线 ｆ ， 由ｏ《 位置滚动到 ｏ（ 二 ） ＝ ） 位置 （ 半径 ＯＡ相应地移到 《 的位置） 由于滚 二 ） ， 动时没有打滑， 所以（０ ：Ａ 二 Ｂ＝ Ｊ 『 ） Ｅ 的长， ｝ Ｃ 显然
“圆形滚动”的问题探究
的路 径等 于 圆周滚 过 的路 程．
２ 圆在 多 边 形 外 侧 滚 动
问 题 ２ 如 图 ， 个 半 径 为 ｒ的 圆 。 在 折 线 Ｚ上 滚动 一 段 路 程 ， 点 为 Ａ， 起 终 点 为 Ｂ， 圆 心 ０ 经 过 的 问 路 径是 多 少 ？ 探究 结 论 ：圆 心 ０ 所
般 结 论 ：圆 在 长 方 形 的 外 侧 滚 动 １圈 ， 圆心 所 经历 的路径 等 于正方 形 的周长再 加 上 圆 的 １个 周 长 ． 问题 ４ 如 图 ， 个 半 一 径 为 ｒ的 圆 ０ 在 正 △ ＡＢＣ 的外 侧 自 Ｄ 点 开 始 滚 动 １ 圈 回 到 点 Ｄ， 圆心 Ｏ 经 问 过 的路径 是多 少 ？ 探究 结论 ：圆 心 ０所 经 历 的路 径 Ｌｏ 于 等 正 △ ＡＢＣ 的 周 长 ３ ＡＢ， 加 上 圆 心 ０ 在 三 个 再 顶点 处 旋 转 经 过 的 弧 长 之 和 （ 好 是 一 个 周 刚 长 ） 即 Ｌ 一３ ， ｏ ＡＢ ＋ ２ ｒ 兀． 探究 发现 ：圆心 在各个 顶 点处 旋转 经 过 的 度数 刚 好 是 它 的外 角 ， 过 的度 数 之 和就 等 于 转 多边 形 的外角 之 和 ３ ０． ６。 问题 ５ 一个 半 径为 ｒ的 圆 ０ 在 任意 多 边 形 的外侧 自 Ｐ 点开 始 滚 动 １圈 回到点 Ｐ， 问圆 心 ０经过 的路径 是 多少 ？ 般 结论 ：圆在 任 意 多边 形 的 外 侧 滚动 １ 圈 ， 心 所 经 历 的 路 径 等 于 多 边 形 的 周 长 和 圆 圆 的周 长之 和．
・
４ ・ ０
数 学 教 育 研 究
２０ ０ ６年 第 ２期
Ｌ。 是 以 Ｍ 为 圆 心 ， （ 就 以 Ｒ＋ ｒ 为半 径 的 大 圆 ） 周 长 ， Ｌ ＝２ （ 即 。 ７ Ｒ＋ｒ ． ） 般结论 ：圆在 圆周 的 外 侧 滚 动 １圈 ， 圆 心 所经 历 的路 径 等于这 两个 圆 的周 长之 和． 继 续探索 ：在这个 过程 中圆 Ｏ 自转 了多 少
圆的动点问题方法总结
圆的动点问题方法总结
圆的动点问题涉及圆的运动轨迹和动点的位置变化。
在解决这类问题时，我们
可以采用以下方法：
1. 构建几何模型：首先，我们可以通过绘制几何图形来简化问题。
将圆和动点
在纸上画出来，有助于我们更清楚地理解问题。
2. 利用圆的性质：圆有很多重要的性质，我们可以利用这些性质来解决动点问题。
例如，圆的半径和直径之间的关系，圆的切线和切点的性质等。
3. 使用向量方法：在处理圆的动点问题时，向量方法很有用。
我们可以将动点
的位置表示为向量，并使用向量的运算规则来解决问题。
例如，我们可以用位置向量来表示动点的位置，并使用向量的加法和减法来计算动点的移动方向和距离。
4. 应用三角函数：如果涉及到角度的变化，我们可以使用三角函数来解决问题。
例如，如果动点绕圆心旋转，我们可以使用正弦和余弦函数来描述动点在不同位置的坐标变化。
5. 运用解析几何：解析几何是解决圆的动点问题的常用方法之一。
我们可以使
用坐标系和代数方程来描述圆和动点的运动轨迹。
通过求解方程组，我们可以得到动点的位置和移动方向。
总的来说，解决圆的动点问题需要充分利用圆的性质，运用几何、向量、三角
函数和解析几何等方法。
通过选择合适的方法，我们可以更好地理解问题并求解出准确的结果。
关于刚体无滑滚动的教学探讨
，： ，＝— — Ｆ
３ Ｒ
（ ５） ）
— —
ｆ
／
由 （ ５ ）式可见 ：
—
—
—
—
一
ｒ ， Ｔ
图２
Ｌ— ——
ｒ 『
Ｊ
（ １ ）当２ ｒ — Ｒ＞ ＿ ０ ， 即ｒ ＞ ． 二Ｒ时，静摩擦力方
２
图３
Ｒ 向与外力方向相 同；大小为 厂： — ２ ｒ － Ｆ 。
Ｆｒ＝Ｉ ｃ
（ ２）
（ ３）
方向相 同，表 明刚体受静摩擦力 的作用，且静摩擦 力方 向与 外力 方 向相 反 ；
， ，
（ ２ ）当２ Ｒ一 ５ ｒ ＝ ０ ， 即ｒ ＝ － Ｒ时，口 ＝０ ，表
［ 收稿 日期 ］ ２ ｏ １ ２ — ０ ８ — ２ １
［ 作者简介］ 封素芹 （ １ ９ ６ ５ 一 ）， 女， 河北平山人， 毕业于河北师范大学物理系， 主要从事物理学教学与研究
—
对置于粗糙斜面上作无滑滚动的圆柱体来讲，圆 柱体上 Ｐ点 （ 如图 ３ 所示 ） 所受静摩擦力 尹与斜面
所 受静摩擦力 （ 图中未画出 ）是一对作用力与 反作用力，对斜面而言，由于斜面固定不动，静摩 （ ２ ）当２ ｒ — Ｒ＝ ０ ， 即ｒ ＝ 二Ｒ时，刚体 不受静 擦力 对斜面不做功。对圆柱体 而言 ，由于圆柱
两部分组成，其合速度等于零 ，即 ＝ ＋ ，显 绝对切向加速度相等 ） 。这也就是通常的约束方程。 然，静摩擦力方向与 方 向相反 ，与 方 向相 同， 比如最为典型和重要的约束方程就是圆柱体和球体
．
是使 圆柱体 转动 的静摩 擦力 的瞬 时功率 ，
．
在 固定平面上的无滑滚动约束方程：ａ ＝Ｉ 。 综上所述，刚体作无滑滚动时，静摩擦力的方 向和大小与外力作用点及作用线的位置有关，由于 刚体 转动时，物体 间相对运动的趋势不象平动那样 直观，静摩擦力的方向就不象平动时那样容易判断。 刚体作平面平行运动时，其动能包括平动动能和转 动动能两部分 ，相 比质 点力学，从功 、能角度分析 问题难度也提高不少；此外，无滑滚动 问题通常还 需要写出约束方程。 因此，无滑滚动问题是一个 既 十分重要，难度又大，又非常容易 出错的问题。如 果掌握 了分析 问题的基本方法，再加 以认真练习，
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“以不变应万变”——滚动圆问题规律初探
祁斌
（江苏省盐城市明达中学 224002）
近年来在中学数学教科书和竞赛中我们经常会遇到与圆的滚动有关的问题，如北师大版九年级（下）130页试一试提到的问题：取两枚大小相同的硬币，将其中一枚固定在桌上，另一枚沿着固定硬币的边缘无滑动滚动一周，那么滚动的硬币自身转了多少圈？浙江教育出版社出版的九年义务教育初中数学第六册97页有如下一题： ⊙O 与⊙O ′内切，两圆的半径分别为3cm 和1cm ，令⊙O ′沿着⊙O 顺时针方向滚动。
已知滚动时⊙O ′绕⊙O 转动了3周，求随之运动所经过的路程。
诸如此类的问题学生感到难以理解，教师不知如何解释，笔者深入研究了一下,发现这类问题其实是有规律可寻的。
首先，必须搞清楚滚动和普通意义上的转动并不是同一回事。
滚动其实是一种复合运动，至少包括两种运动：一是滚动圆本身的自转（自转是指一个圆绕着自己的圆心转动）；另外还有滚动圆沿另一个几何图形的平移或旋转。
由于在滚动过程中动圆除圆心外，其余各点相对于另一几何图形的运动轨迹是变化的，因此很难把握其规律，而圆心相对于另一几何图形的运动轨迹很容易确定，故解决圆的滚动问题的关键在于抓住滚动前后的动圆圆心轨迹，其类型大体有以下几种，现举例说明： 一、圆沿直线滚动的问题
例1如图1，一个半径为 r 米的圆沿直线方向从A 地滚动到B 地，若线段AB 长m 米，则该圆在滚动过程中自转了几圈？
图1
简析
圆在沿直线方向从A 地滚动到B 地的过程中，圆心到直线AB 的距离始终保持不变，易证得四边形ABO ′O 是矩形，所以AB ＝OO ′＝m,此时圆心轨迹是与直线AB 平行且到直线AB 距离等于r 的一条线段OO ′，其长为m ，而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr, 因此圆在滚动过程中自转了
r
m
2圈。
二、圆沿凸多边形边缘滚动的问题
例2如图2，一个半径为 r 圆沿着某一凸五边形ABCDE 外侧边缘（圆和边相切）作无滑动滚动一周回到原来位置已知五边形周长为m,问圆自转了几圈？
A B
图２
简析 如图2，圆在绕凸五边形ABCDE 滚动过程中，其圆心到多边形各边（包括顶点）的距离保持不变，始终等于r ，圆心绕多边形边缘滚动的路径由两部分组成：五边形周长加上在多边形各顶点处所经过的弧线长。
易证，所有弧线长和刚好等于圆周长，圆自身所转的圈数是圆心经过的路径长除以圆自身周长，故圆转动了
r
r
m ππ22+周.设想一下，如果把图2中的五边形ABCDE 沿点A 处剪开并展开，仿造上面的第一种情形，圆的运动路径可以转化为沿直线运动且圆心所经过的路径长为OO ′的长，见图3 , 即OO ′＝m+2πr . 而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr, 因此圆在滚动过程中自转了
r
r
m ππ22+圈.类似的对于一般的凸n 边形,上面的结论同样成立。
图3
三、动圆绕定圆滚动的问题
例3 如图4 ⊙O 与⊙O ′外切于点A ，已知 ⊙O 和⊙O ′的半径分别为 R 、r ，若⊙O ′绕着⊙O 边缘滚动一周回到初始位置，问⊙O ′自转了几圈？
图4
简析 ⊙O ′绕着⊙O 边缘滚动的一周回到初始位置过程中圆心O ′到O 点的距离始终保持不变，长为R ＋r ，此时滚动圆圆心O ′的运动轨迹是以O 为圆心，R ＋r 长为半径的圆，其周长为2π（R ＋r ），⊙O ′自身所转的圈数是圆心经过的路径长除以⊙O ′的自身周长，故圆转动了
r
r R ππ2)
(2+圈。
如果把图4中的⊙O 沿切点A 处剪开并展开，仿造上面的第一种情
形，圆的运动路径可以转化为沿直线运动，见图5, 即O ′//
o ＝2π（R+r ），而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr, 因此圆在滚动过程中自转了
r
r R ππ2)
(2+圈.
图5
例4 如图6,⊙O 与⊙O ′内切于点A ，已知 ⊙O 和⊙O ′的半径分别为 R 、r （R ≥r ），若⊙O ′绕着⊙O 边缘滚动一周回到初始位置，问⊙O ′自转了几圈？
简析 ⊙O ′绕着⊙O 边缘滚动的一周回到初始位置过程中圆心O ′到O 点的距离始终保持不变，长为 R －r ，此时滚动圆圆心O ′的运动轨迹是以O 为圆心，R －r 长为半径的圆，其周长为2π（R －r ），⊙O ′自身所转的圈数是圆心经过的路径长除以⊙O ′的自身周长，故圆转动了
r
r R ππ2)
(2-圈。
如果把图6中的⊙O 沿切点A 处剪开并展开，仿造上面的第一种情
A
形，圆的运动路径可以转化为沿直线运动，见图7, 即O ′//
o ＝2π（R －r ），而圆自转一圈，圆心向前移动距离为2πr, 因此圆在滚动过程中自转了
r
r R ππ2)
(2-圈.
图7
综上所述，滚动圆相关问题的关键在于确定滚动圆圆心的运动路径，假设滚动圆圆心的运动路径为m,其半径为r ，自转圈数为n ，我们不难得出如下关系：n=
r
m
π2.由此本文开头提到的两个问题就很容易解决了:设硬币的半径为r, 滚动的硬币的圆心经过的路径长为2π（r+r ）=4πr ，故滚动的硬币自身转了
224=r
r
ππ圈。
而另一问题中⊙O ′绕⊙O 转动了3周，其圆心经过的路径长为3×2π（3－1）=12π，故⊙O ′运动所经过的路程为12π.。