北京交通大学信号与系统第四章典型例题
信号与系统课后答案第四章作业答案_第一次
2 Tnω1
j3nω1
e2
sin
⎛ ⎜⎝
nω1 2
⎞ ⎟⎠
−
2 Tnω1
− j3nω1
e2
sin
⎛ ⎜⎝
nω1 2
⎞ ⎟⎠
=
1 T
j3nω1
e2
Sa
⎛ ⎜⎝
nω1 2
⎞ ⎟⎠
−
1 T
− j3nω1
e2
Sa
⎛ ⎜⎝
nω1 2
⎞ ⎟⎠
4-5 设 x (t ) 是基本周期为 T0 的周期信号，其傅里叶系数为 ak 。求下列各信号的傅里叶级数
d dt
e jkω1t
∞
=
ak ⋅ jkω1 e jkω1t
k =−∞
故
bk = ak ⋅ jkω1
=
∞
bk e jkω1t
k =−∞
=
x(t )*
=
⎡ ⎢⎣
k
∞ =−∞
ak
e
jkω1t
⎤ ⎥⎦
∗
=
∞
a e∗ − jkω1t k k =−∞
∞
∞
∞
( ) ∑ ∑ ∑ 由于 k 从 −∞ 到 ∞ ，故 y t =
b e jkω1t k
=
a e∗ − jkω1t k
=
a e ∗ jkω1t −k
，所以
k =−∞
2
( ) ( ) = 1 ⋅
1
e− jnω1t − 1 ⋅
1
e− jnω1t
T − jnω1
−2 T − jnω1
1
( ) ( ) = 1
e − e j2nω1
jnω1
信号与系统_北京交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
信号与系统_北京交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.某连续周期信号如题1图所示，该信号的频谱成分有( )【图片】参考答案:直流、奇次谐波的余弦分量2.已知描述某连续时间LTI系统的状态方程的矩阵分别为【图片】【图片】【图片】【图片】则该系统的系统函数【图片】为参考答案:3行3列矩阵3.关于连续非周期信号的频域表示，正确的说法是( )参考答案:将信号表示为不同频率正弦信号的线性组合4.连续非周期信号频谱的特点是( )参考答案:连续、非周期5.已知某线性连续时间系统，其在初始状态为【图片】、输入激励为【图片】作用下产生的完全响应为【图片】【图片】；该系统在初始状态为【图片】、输入激励为【图片】作用下产生的完全响应为【图片】【图片】试求初始状态为【图片】，激励为【图片】时系统的完全响应【图片】=( ）。
参考答案:,6.连续非周期信号频谱的特点是参考答案:连续、非周期7.已知信号【图片】，其频谱【图片】在【图片】的值【图片】参考答案:88.连续周期信号【图片】是功率信号，其傅里叶变换【图片】都不存在。
参考答案:错误9.已知信号【图片】的最高频率分量为【图片】 Hz，若抽样频率【图片】，则抽样后信号的频谱一定混叠。
参考答案:错误10.连续时间周期信号【图片】的平均功率为( )参考答案:1111.利用状态变量分析法分析连续时间LTI系统时，输出方程【图片】可能与哪些因素有关参考答案:与输入和状态变量有关12.关于连续周期信号频谱的特性，正确的说法是( )参考答案:同时具有离散特性和幅度衰减特性。
13.若描述离散时间系统的差分方程为【图片】，该系统为( )。
参考答案:因果、线性时不变系统14.连续周期信号在有效带宽内各谐波分量的平均功率之和占整个信号平均功率的很大一部分。
参考答案:正确15.连续时间信号在时域展宽后，其对应的频谱中高频分量将增加。
参考答案:错误16.信号时域时移，其对应的幅度频谱不变，相位频谱将发生相移。
北京交通大学信号与系统第四章典型例题
分析：
周期信号 可以看成例4-1-1周期矩形信号右移0.5，利用Fourier级数的时移特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier级数表示即可求解本题。
解：
周期信号 可以表示为 。令例4-1-1中周期矩形信号的 ， ，0=2T0，可得 的Fourier系数为
令 的Fourier系数为Dn，利用Fourier级数的时移特性可得
(2)信号在时域中持续时间有限，则在频域中其频谱将延续到无限。
(3)信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点之间，工程中往往将此宽度作为信号的有效带宽。非周期矩形信号的有效带宽为2/(rad/s)或1/Hz)，在时域的宽度为。即
【例4-2-2】试求单位冲激信号x(t)=(t)的频谱。
分析：
非周期矩形脉冲信号x(t)满足Dirichlet条件，由Fourier变换的定义直接求得其频谱。
解：
周期信号的Fourier级数表示式为
，
利用虚指数信号的Fourier变换，对上式两边进行Fourier变换，可得
结论：
连续周期信号的频谱密度函数X(j)是冲激串函数，冲激串前的系数为2Cn。因此，连续周期信号的Fourier系数Cn与其频谱密度函数X(j)是一致的。
【例4-2-10】试求周期冲激串 的频谱X(j)。
解：
利用冲激信号的抽样特性，可由Fourier变换的定义直接求得其频谱
下图画出了冲激信号(t)及其频谱。
单位冲激信号及其频谱
结论：
(1)冲激信号的频谱为一常数。
(2)信号在时域中持续时间有限，则在频域中其频谱将延续到无限。
【例4-2-3】试求直流信号x(t)=1(t)的频谱。
分析：
直流信号不满足绝对可积，但其Fourier变换X(j)存在，可借助(t)的Fourier反变换计算。
信号与系统第四章习题解答
得E(s) =
L
⎡⎣e(t )⎤⎦
=
1 s +1
rzs
(t)
=
r
(t)
=
1 2
e−t
−
e−2t
+
2e−3t
Rzs ( s) =
L
⎡⎣rzs
(t
)⎤⎦
=
1
2(s +1)
−
s
1 +
2
+
s
2 −
3
故
H
(s)
=
Rzs ( s) E(s)
=
⎡ ⎢ ⎣
2
(
1
s +1)
−
s
1 +
2
+
s
2 −
3
⎤ ⎥ ⎦
⋅
(
s
+
1)
= 1 − s +1 + 2(s +1)
2 s+2 s−3
=3+ 1 − 8 2 s+2 s−3
( ) 所以
h(s) =
L
−1
⎡⎣ H
(
s )⎤⎦
=
3 2
δ
(t
)
+
e−2t + 8e3t
u (t )
4-35 解题过程：
k
∏(s − zi )
( ) H (s) = K
i =1 l
∏ s− pj
j =1
− 3e−2t
（7）
L
−1
⎡ ⎢⎣
s
1 2+
1
+
1⎤⎥⎦
= sin t + δ (t)
[工学]4第四章_波形估计_OK
![[工学]4第四章_波形估计_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/a2ef38296f1aff00bfd51eea.png)
（4.3） （4.4）
——正交性原理 要使估计的均方差最小，滤波器的参数估计应使输出误差
向量与观察向量正交
11
4.1 线性变换与正交原理
• 4.1.2 正交性原理
同时有
E{y(n)e(n)} E{k (n k)e(n)} k 0
k E{(n k)e(n)} 0 k 0
即 E{yopt (n)e(n)} 0
输出估计值
S t
t f
ti
ht,
X
d
et
S
t
S
t
均方意义下最小。由正交原理知，对所有的 ti ,t f 应有
S
t
S t
X
22
4.2 平稳随机过程的估计 ——维纳滤波
• 章节概述
即
E
S
t
t
ti
f
ht,X d X 0
过程平稳，在滤波器为时不变情况下，上式为：
RSX t
tf ti
17
4.1 线性变换与正交原理
• 4.1.2 正交性原理
据正交投影定理，可得 X 的线性最小均方方差估计为
n
X X ,Yi Yi
i 1
2) 一般任意数据
若 X1, X2,..., Xn 是任意的，但可知 E Xi , X j
则由Gram-Schmidt正交化
Y1 b11 X1
Y2 b12 X1 b22 X 2
sx xx
w w
——广义平稳条件的线性时不变因果维纳滤波器。
注：估值均方误差为：
I
第四章 波形估计
裘正定
北京交通大学 信息科学研究所1
第四章 波形估计
• 波形估计概述 • §4.1 线性变换与正交原理 • §4.2 平稳随机过程的估计
(仅供参考)信号与系统第四章习题答案
t→∞
t→∞
a −σ < 0
即收敛域为σ > a,σ 0 = a 。
[ ] ∫ ∫ ( ) ( ) （4） F s = L e − a t ε t = 0 e at e − st dt + ∞ e − at e − st dt
−∞
0
∫ ∫ = 0 e (a−s )t dt + ∞ e −(a +s )t dt = 1 + 1
T
T 2 T
= 2 tε (t) − 4 t − T ε t − T + 2 (t − T )ε (t − T )
T
T 2 2 T
因 ε (t ) ↔ 1 ， tε (t ) ↔ 1 ，根据拉普拉斯变换时延特性，有
s
s2
( ) X s
=
2 Ts 2
−
4 Ts 2
− sT
e2
+
2 Ts 2
t→∞
t→∞ 2
t→∞ 2
由此可得其收敛域为：σ > 3 同理，对于对于图 4.2（b）来说，其收敛域为：σ > 5
209
对于图 4.2（c）来说，其收敛域为：α > 1 （3）（4）情况下，收敛域均为： − ∞ < α < ∞
4.4 针对图 4.3 所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定： （1）拉氏变换式； （2）零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征。
cos 2
ϕ
−
sin ϕ 2j
∞ eω0tj e−st dt
0
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
∞ e−ω0tje −st dt
信号与系统第四章部分习题解答
第四章部分习题解答4-7求下列各序列的DFT ，已知N=4。
(1))(0n n -δ 300≤≤n解：044300)()]([kn kn n WWn n n n X =-=-∑=δδ(2))(n G N解：∑∑=====344304)(4)()]([n kn knn N k W Wn G n G X δ （利用正交性）或用矩阵法解 j eW j-==-4214π⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004111111111111111111111111111)]([946434644424342414j j j j W W W W W W W W W n G X N (3))(n G a N n , 1≠a 解：1,111)(1)()(43044444≠--=--==∑=a aW a aW aW Wn G a k X kn k k kn n(4)}3,2,1,0{)(=n nG N解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=2222263210111111111111)]([4j j j j j j n nG X(5))(0n G e N n j ω解：kj j k j k j knn nj W e e W e W e Wn G ek X 444444300000111)(1)()(ωωωωω--=--==∑=4-8有限长序列x(n)如题图4-2所示，若题图 4-2)())3(()(441n G n x n x -= )())3(()(442n G n x n x -=给出)(1n x 和)(2n x 序列图形，并计算)(1n x 和)(2n x 的离散傅里叶变换。
解：由圆周移位特性知：}1,4,3,2{)(1=n x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=j j j j j j k X 22222101432111111111111][1 }1,2,3,4{)(2↑=n x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=j j j j j j k X 22222101234111111111111][2 4-9两有限长序列x(n)和h(n)如题图4-3所示，求)()(n h n x *。
信号与系统课后习题参考答案
1试分别指出以下波形是属于哪种信号？题图1-11-2试写出题1-1图中信号的函数表达式。
1-3已知信号)(1t x 与)(2t x 波形如题图1-3中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-3⑴)2(1-t x ⑵)1(1t x -⑶)22(1+t x⑷)3(2+t x ⑸)22(2-t x ⑹)21(2t x - ⑺)(1t x )(2t x -⑻)1(1t x -)1(2-t x ⑼)22(1t x -)4(2+t x 1-4已知信号)(1n x 与)(2n x 波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-4⑴)12(1+n x ⑵)4(1n x -⑶)2(1n x ⑷)2(2n x -⑸)2(2+n x ⑹)1()2(22--++n x n x⑺)2(1+n x )21(2n x -⑻)1(1n x -)4(2+n x ⑼)1(1-n x )3(2-n x1-5已知信号)25(t x -的波形如题图1-5所示，试作出信号)(t x 的波形图，并加以标注。
题图1-51-6试画出下列信号的波形图：⑴)8sin()sin()(t t t x ΩΩ=⑵)8sin()]sin(211[)(t t t x ΩΩ+= ⑶)8sin()]sin(1[)(t t t x ΩΩ+=⑷)2sin(1)(t tt x = 1-7试画出下列信号的波形图：⑴)(1)(t u e t x t -+=⑵)]2()1([10cos )(---=-t u t u t e t x t π⑶)()2()(t u e t x t --=⑷)()()1(t u e t x t --=⑸)9()(2-=t u t x ⑹)4()(2-=t t x δ1-8试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图。
⑴)1(1)(2Ω-Ω=Ωj e j X ⑵)(1)(Ω-Ω-Ω=Ωj j e e j X ⑶Ω-Ω---=Ωj j e e j X 11)(4⑷21)(+Ω=Ωj j X 1-9已知信号)]()([sin )(π--=t u t u t t x ，求出下列信号，并画出它们的波形图。
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第四章 典型例题【例4-1-1】写出下图所示周期矩形脉冲信号的Fourier 级数。
t周期矩形信号分析：周期矩形信号)(~t x 是实信号，其在一个周期[-T 0/2，T 0/2]内的定义为⎩⎨⎧>≤=2/02/ )(~ττt t A t x满足Dirichlet 条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier 级数表示。
解：根据Fourier 级数系数C n 的计算公式，有t t x T C t n T T n d e )(~1000j 2/2/0ω--⎰===--⎰t A T t n d e 10j 2/2/0ωττ 2/2/j 000e )j (ττωω=-=--t t t n n T A 2/)2/sin(00τωτωτTn n A =)2(Sa 00τωτn T A =故周期矩形信号)(~t x 的指数形式Fourier 级数表示式为t n n t n n n n T A C t x 00j 00j e )2(Sa )(e )(~ωωτωτ∑∑∞-∞=∞-∞===利用欧拉公式2e e )cos(00j j 0tn t n t n ωωω-+=可由指数形式Fourier 级数写出三角形式的Fourier 级数，其为()t n n T A T A t x n 00010cos )2(Sa )2()(~ωτωττ∑∞=+=结论：实偶对称的周期矩形信号)(~t x 中只含有余弦信号分量。
【例4-1-2】写出下图所示周期三角波信号的Fourier 级数。
t周期三角波信号分析：周期矩形信号)(~t x 是实信号，其在一个周期 [-1/2，3/2]的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=2321 )1(221 2)(~t t A t At t x满足Dirichlet 条件，可分别用指数形式和三角形式Fourier 级数表示。
解：由于该三角波信号)(~t x 的周期T 0=2，所以ππ200==T ω。
根据Fourier 级数系数的计算公式，有t t x T C t n T T n d e )(~1000j 2/2/0ω--⎰=t t A t At t n tn d e )1(221d e 221πj 2/32/1πj 2/12/1----+=⎰⎰计算上式积分可得三角波信号的频谱C n 为⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00),2πsin(πj422n n n n A C n 所以周期三角波信号的Fourier 级数表示式为tn n n n n A t x πj 220,e )2πsin(πj 4)(~-=∑∞≠-∞= 利用欧拉公式j2e e )sin(00j j 0tn t n t n ωωω--=可由指数形式Fourier 级数写出三角形式的Fourier 级数，其为==∑∞=t n n n A t x n πsin )2πsin(π8)(~221⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+- t t t t A π7sin 491π5sin 251π3sin 91πsin π82 结论：(1) 实奇对称的周期三角波信号)(~t x 中只含有正弦信号分量。
(2) 例4-1-1的周期矩形信号和例4-1-2的周期三角波信号均可用Fourier 级数tn nn C t x 0j e)(~ω∑∞-∞==表示，所不同的是两者的Fourier 系数不同。
因此，研究Fourier 系数也可获得信号的某些特性。
【例4-1-3】判断下图所示周期矩形信号和周期三角波信号的Fourier 系数的特性。
t(a)周期矩形信号t(b)周期三角波信号分析：首先判断信号时域的对称关系，再利用周期信号的对称特性和Fourier 系数的关系，即可得出相应信号Fourier 系数的特性。
解：(a)信号为实偶对称，满足)(~)(~t x t x -=，故Fourier 系数C n 实偶对称，其三角形式Fourier 级数表示式中只含有直流项和余弦项。
(b) 信号既满足)(~)(~t x t x --=，又满足)2/(~)(~0T t x t x ±=，为实奇对称半波镜像信号，其三角形式Fourier 级数表示式中只含有奇次谐波的正弦信号分量。
结论：利用周期信号的对称特性和Fourier 系数的关系可以建立信号时频的对应关系，定性地判断信号的频谱成份。
【例4-1-4】判断下图所示周期信号)(~t x 的Fourier 系数的特性。
t分析：从信号)(~t x 的波形来看，其不具有任何对称关系。
在这种情况下可以去掉信号的直流分量，再观察波形的对称性。
解：信号的直流分量为A t t x T C T 4.0d )(~10000==⎰)(~t x 去掉直流分量后的波形如下图所示，是半波镜像信号，故只含有奇次谐波分量。
t综合上面的分析，)(~t x 的三角形式Fourier 级数表示式中含有直流项、奇次谐波（正弦和余弦）分量。
结论：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性。
【例4-1-5】利用连续时间Fourier 级数的性质，写出下图所示周期矩形信号)(~t x 的Fourier 级数表示式。
t分析：周期信号)(~t x 可以看成直流分量与例4-1-1周期矩形信号之差，利用Fourier 级数的线性特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier 级数表示即可求解本题。
解：周期信号)(~t x 可以看成下图所示直流分量)(~1t x 和周期矩形信号)(~2t x 之差，即 )(~2)(~)(~)(~221t x t x t x t x -=-= 令例4-1-1中周期矩形信号的A =1，2=τ，40=T ，可得)(~2t x 的Fourier 级数表示式为()t n n T A T A t x n 000102cos )2(Sa )2()(~ωτωττ∑∞=+=)2πcos()2π(Sa 5.01tn n n ∑∞=+= 因此)(~t x 的Fourier 级数表示式为)(~2)(~2t x t x -=)2πcos()2π(Sa 5.11tn n n ∑∞=-=tt结论：利用常用周期信号的Fourier 系数和Fourier 级数的性质，可计算其它周期信号的Fourier 系数。
【例4-1-6】利用连续时间Fourier 级数的性质，写出下图所示周期矩形信号)(~t g的Fourier 级数表示式。
周期信号g (t )分析：周期信号)(~t g可以看成例4-1-1周期矩形信号右移0.5，利用Fourier 级数的时移特性和例4-1-1周期矩形信号Fourier 级数表示即可求解本题。
解：周期信号)(~t g 可以表示为)5.0(~)(~-=t x t g 。
令例4-1-1中周期矩形信号的1=τ，20=T ， ω0=2π/ T 0=π，可得)(~t x 的Fourier 系数为)2(Sa 00τωτn T A C n =)2π(Sa 2n A =令)(~t g的Fourier 系数为D n ，利用Fourier 级数的时移特性可得 n n n C D 05.0j e ω-=2/πj e )2π(Sa 2n n A -=因此，周期信号)(~t g的Fourier 级数表示式为 ==∑∞-∞=n tn nC t g0j e)(~ωt n n n n A πj π/2j e e )2/π(/2)Sa (-∞-∞=∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++= t t t A A π5sin 51π3sin 31πsin π22/t结论：)(~t g 与)(~t x 具有)5.0(~)(~-=t x t g 的关系，两者Fourier 级数的模相等，即n n D C =，但相位不同。
这充分体现了周期信号Fourier 级数时移特性的物理含义，即信号在时域的时移对应其在频域的相移。
【例4-1-7】画出例4-1-1以原点为中心对称的周期矩形信号)(~t x 的频谱。
t周期矩形信号分析：周期信号的Fourier 系数就是该信号的频谱。
解：由例4-1-1的计算结果，以原点为中心对称的周期矩形信号)(~t x 的频谱为)2(Sa 00τωτn T A C n =， 2,1,0±±=n由于C n 为实数，因而各谐波分量的相位或为零(C n 为正)或为±π(C n 为负)，因此不需分别画出幅度频谱| C n |与相位频谱φ n 。
可以直接画出Fourier 系数C n 的分布图。
根据抽样函数Sa( t )的曲线便可得信号)(~t x 的频谱图。
ω00周期矩形信号的频谱结论：周期矩形脉冲的频谱具有以下特性：(1)离散频谱特性：频谱是以基频ω0为间隔分布的离散频谱。
由于谱线的间隔ω0=2π/T 0，故信号的周期T 0越大，其基频ω0就越小，谱线越密。
频谱都是由间隔为ω0的谱线组成的离散谱。
不同的周期信号其频谱分布的形状不同，但都 (2)幅度衰减特性：随着谐波n ω0增大，幅度频谱|C n |不断衰减，并最终趋于零。
不同的周期信号对应的频谱不同，但上述特性是周期信号频谱的普遍性质。
【例4-1-8】画出周期信号)(~t x =1+cos(ω0t -π/2)+0.5 cos(2ω0t +π/3)的频谱。
分析：根据周期信号的频谱基本概念，将)(~t x 表示为虚指数信号t n 0j e ω的线性组合（指数形式Fourier 级数），虚指数信号t n 0j e ω的系数就是该信号的频谱。
解：由Euler 公式，周期信号)(~t x 可表示为)e e e e (41)e e e e (211)(~00002j 3j π2j 3/j πj 2/j πj 2/j πt /t t t t x ωωωω----++++=与∑∞-∞==n tn nC t x 0j e)(~ω比较，可得3j π23/j π22/j π12/j π10e 41,e 41,e 21,e 21,1/C C C C C ----=====所以周期信号)(~t x 的频谱C n 如下图所示。
ω周期信号)(~t x 的幅度频谱和相位频谱结论：根据周期信号)(~t x 的幅度频谱和相位频谱，可以清楚看到周期信号中各谐波分量分布情况。
如果已知周期信号的频谱C n ，则可由式∑∞-∞==n tn nC t x 0j e)(~ω重建信号)(~t x 。
信号的时域描述和频域描述是深入分析和研究信号的理论基础。
【例4-2-1】试求图(a )所示非周期矩形脉冲信号x (t )的频谱函数X (j ω)。
tω(a ) 非周期矩形脉冲信号 (b ) 信号频谱函数分析：非周期矩形脉冲信号x (t )满足Dirichlet 条件，其Fourier 变换X (j ω)存在。