机械能守恒定律
机械能的守恒定律
机械能的守恒定律机械能的守恒定律是物理学中一个非常重要的定律，它描述了在某些条件下，物体的机械能将会保持不变。
这个定律可以帮助我们理解能量在物体之间的转换和传递过程。
首先，我们来了解一下什么是机械能。
机械能是指物体所具有的动能和势能的总和。
动能是指物体由于运动而具有的能量，它与物体的质量和速度有关，可以用公式：动能=1/2mv²来表示，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
势能是指物体由于位置或者形状而具有的能量，常见的有重力势能和弹性势能。
重力势能可以用公式：重力势能=mgh来表示，其中m是物体的质量，g是地球的重力加速度，h是物体的高度。
弹性势能可以用公式：弹性势能=1/2kx²来表示，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的伸长或者压缩距离。
机械能的守恒定律是说在某些条件下，物体的机械能保持不变。
这些条件包括没有外力做功以及没有能量的转换和损失。
换句话说，如果物体只受到保守力做功，且没有摩擦、空气阻力等影响能量转换和损失的因素存在，那么物体的机械能将保持不变。
举个例子来说明机械能守恒定律。
假设有一个小球从A点滑下来，经过B点，最终到达C点。
在A点，小球的动能为0，势能最大；到达B点时，物体的势能为0，动能最大；最终到达C点时，小球的动能和势能均为零。
根据机械能守恒定律，A点到B点，由于小球获得动能，势能减少；而从B点到C点，小球失去动能，而势能增加。
但是，整个过程中，物体的机械能保持不变。
机械能守恒定律在日常生活中有很多应用。
比如，我们在玩跷跷板时，当一个人下落时，他的势能减少，动能增加，而另一个人上升时，势能增加，动能减少，但两人的机械能保持不变。
再比如，我们在乘坐过山车时，当车辆从最高点下落时，势能减少，动能增加，而当车辆升到最高点时，势能增加，动能减少，但车辆的机械能保持不变。
但需要注意的是，机械能守恒定律只适用于没有外力做功，且没有能量转换和损失的情况。
在实际应用中，往往存在一些能量转换和损失的因素，比如摩擦力、空气阻力等，这些因素会导致能量的转换和损失，使机械能不再保持不变。
机械能守恒定律：机械能=动能 重力势能 弹性势能(条件系统只有内部的重力或弹力做功)
机械能守恒定律：机械能=动能+重力势能+弹性势能(条件:系统只有内部的重力或弹力做功). 守恒条件：(功角度)只有重力,弹力做功；(能转化角度)只发生动能与势能之间的相互转化。
“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。
在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。
列式形式：E 1=E 2(先要确定零势面) P 减(或增)=E 增(或减) E A 减(或增)=E B 增(或减)mgh 1 +121212222mV mgh mV =+ 或者 ∆E p 减 = ∆E k 增5. 如图所示在一根细棒的中点C 和端点B ，分别固定两个质量、体积完全相同的小球，棒可以绕另一端A 在竖直平面内无摩擦地转动. 若从水平位置由静止释放，求两球到达最低位置时线速度的大小. 小球的质量为m ，棒的质量不计. 某同学对此题的解法是:设AB=L ，AC=L2，到最低位置时B 球和C 球的速度大小分别为v 1、v 2.运动过程中只有重力对小球做功，所以每个球的机械能都守恒.：C 球有21122Lmv mg =，1v (m/s) B 球有 2212m v m g L =,2v =(m/s) 你同意上述解法吗？若不同意，请简述理由并求出你认为正确的结果. 5. (10分)解： 不同意，因为在此过程中，细棒分别对小球做功，所以每个小球的机械能不守恒. 说出“不同意”得3分，说出理由得2分 但对棒、小球组成的系统，机械能守恒：mgL+mg L 2=12m 2C v +12m 2B v （2分） 又v B =2vC , （1分）可解得： v C =15gL 5, v B =215gL5（2分） 17．质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m 和2m 的小球A 和B 。
支架的两直角边长度分别为2l 和l ，支架可绕固定轴O 在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。
开始时OA 边处于水平位置，由静止释放，则 （ ） A ．A 球的最大速度为gl )12(632- B ．A 球的速度最大时，两小球的总重力势能为零C ．A 球的速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°D ．A 、B 两球的最大速度之比v 1∶v 2=2∶116．质量不计的轻质弹性杆P 插在桌面上，杆端套有一个质量为m 的小球，今使小球沿水平方向做半径为R 的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为（C ）A. R m 2ωB. 24222R m g m ω-C.24222R m g m ω+D ．不能确定22．如图所示，轻杆长为3L ，在杆的A 、B 两端分别固定质量均为m 的球A 和球B ，杆上距球A 为L 处的点O 装在光滑的水平转动轴上，杆和球在竖直面内转动，已知球B 运动到最高点时，球B 对杆恰好无作用力．求：(1)球B 在最高点时，杆对水平轴的作用力大小．(2）球B 转到最低点时，球A 和球B 对杆的作用力分别是多大？方向如何？ 解：(1)球B 在最高点时速度为v 0，有Lvm mg 220=，得gL v 20=.此时球A 的速度为gL v 221210=，设此时杆对球A 的作用力为F A ，则 ,5.1,)2/(20mg F Lv mmg F A A ==-, A 球对杆的作用力为,5.1mg F A ='.水平轴对杆的作用力与A 球对杆的作用力平衡，再据牛顿第三定律知，杆对水平轴的作用力大小为F 0=1. 5 mg.(2)设球B 在最低点时的速度为B v ，取O 点为参考平面，据机械能守恒定律有222020)2(21212)2(21212B B v m m g L m v L m g v m m gL m v L m g +++⋅-=+-+⋅解得gL v B 526=。
机械能量守恒定律公式
机械能量守恒定律公式
1. 机械能量守恒定律内容。
- 在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2. 公式表达。
- 设物体的动能为E_k，重力势能为E_p，弹性势能为E_弹。
- 初始状态的机械能E_1=E_k1 + E_p1+E_弹1，末状态的机械能
E_2=E_k2+E_p2+E_弹2。
- 根据机械能守恒定律E_1 = E_2，即
E_k1+E_p1+E_弹1=E_k2+E_p2+E_弹2。
- 在只有重力做功的情况下（不涉及弹性势能），公式可简化为
E_k1+E_p1=E_k2+E_p2，进一步展开：(1)/(2)mv_1^2+mgh_1=(1)/(2)mv_2^2+mgh_2（其中m为物体质量，v为速度，h为物体相对参考平面的高度）。
- 在只有弹簧弹力做功的系统中（不考虑重力势能变化），设弹簧的劲度系数为k，弹簧形变量为x，初始弹性势能E_弹1=(1)/(2)kx_1^2，末态弹性势能
E_弹2=(1)/(2)kx_2^2，如果系统动能分别为E_k1和E_k2，根据机械能守恒定律
E_k1+(1)/(2)kx_1^2=E_k2+(1)/(2)kx_2^2。
什么是机械能守恒定律
什么是机械能守恒定律机械能守恒定律是物理学中的基本原理之一，在许多物理问题的分析中都起着重要的作用。
机械能守恒定律指的是在没有外力做功和没有非保守力存在的情况下，物体的机械能保持不变。
机械能守恒定律可以分为动能守恒和势能守恒两个方面。
动能是物体运动时由于速度而具有的能量，势能则是物体由于位置而具有的能量。
根据能量守恒定律，动能和势能之间可以相互转化，但总的机械能保持不变。
机械能守恒定律可以用数学公式来表示。
对于一个质量为m的物体，其动能E_k和势能E_p之和即为机械能E。
数学表达式为：E = E_k + E_p其中，动能E_k可以用以下公式计算：E_k = 1/2 * m * v^2其中，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
势能E_p则可以分为重力势能和弹性势能两种情况。
对于重力势能，可以使用以下公式计算：E_p = m * g * h其中，g为重力加速度，h为物体的高度。
对于弹性势能，可以使用以下公式计算：E_p = 1/2 * k * x^2其中，k为弹性系数，x为物体的变形量。
机械能守恒定律可以通过以下实例进行说明：假设有一个小球从高处自由落下，当小球初始速度为零时，其势能最大，动能为零。
随着小球下落，势能逐渐减小，而动能逐渐增大。
当小球到达最低点时，势能为零，动能最大。
在整个过程中，小球的机械能保持不变。
另一个实例是弹簧的压缩和释放。
当力施加在弹簧上时，弹簧会发生形变，这时弹簧具有弹性势能。
当施加力的物体离开弹簧时，弹簧会恢复原状，弹性势能转化为动能或其他形式的能量。
在这个过程中，机械能守恒定律依然成立。
机械能守恒定律的应用十分广泛。
许多物理问题，如摩擦力、碰撞等，都可以通过机械能守恒定律进行解决。
了解和掌握机械能守恒定律可以帮助我们更好地理解物体的运动和相互作用，对于物理学的学习和应用具有重要意义。
总结：机械能守恒定律是物理学中的重要原理之一，指出在没有外力做功和非保守力存在的情况下，物体的机械能保持不变。
机械能守恒定律
机械能守恒定律机械能守恒定律是物理学中的基本定律之一，它描述了一个物体在没有外力做功的情况下，机械能守恒的原理。
本文将详细介绍机械能守恒定律的概念、表达式以及应用。
一、机械能守恒定律的概念机械能守恒定律是指在一个封闭的系统中，如果只受到重力势能和动能变化的影响，那么系统的机械能将保持不变。
即它将具备一个能量守恒的特性。
机械能守恒定律可以用下式表示：E = K + U其中，E是系统的机械能，K是系统的动能，U是系统的重力势能。
根据机械能守恒定律，当系统中没有其他能量形式的转化时，系统的机械能始终保持恒定。
二、机械能守恒定律的表达式1. 动能的表达式动能是描述物体运动状态的物理量，它与物体的质量和速度有关。
根据牛顿第二定律可以得到动能的表达式：K = 1/2 mv²其中，K是动能，m是物体的质量，v是物体的速度。
2. 重力势能的表达式重力势能是物体在重力场中具有的势能，它与物体的质量和高度有关。
根据重力势能的定义可以得到重力势能的表达式：U = mgh其中，U是重力势能，m是物体的质量，g是重力加速度，h是物体的高度。
三、机械能守恒定律的应用机械能守恒定律在日常生活和工程中有着广泛的应用。
1. 自由落体运动当物体在自由落体运动过程中，只受到重力做功，不考虑空气阻力时，根据机械能守恒定律可以得到以下结论：在自由落体运动开始时，物体具有较高的重力势能和较低的动能；当物体落地时，重力势能减少为零，动能增加为最大值。
整个过程中，重力势能的减少等于动能的增加，符合机械能守恒定律的要求。
2. 弹簧振子在弹簧振子的运动过程中，弹簧的势能和物体的动能不断地相互转化，但总的机械能保持不变。
当物体在最大位移处速度为零时，动能减为零，而弹簧的势能达到最大值；当物体通过平衡位置时，动能增加为最大值，而弹簧的势能减为零。
整个过程中，动能的减少等于势能的增加，符合机械能守恒定律的要求。
结语机械能守恒定律是物理学中重要的基本定律之一，它描述了一个物体在没有外力做功的情况下，机械能守恒的原理。
机械能守恒定律
常见形式：轻绳连接、轻杆连接、弹簧连接（物体+弹
簧或物体+弹簧+物体）、叠加。
4、机械能是否守恒的判断方法
（1）用做功来判断：只有重力或系统内弹力做功
（2）用能量转化来判断：对单个物体或者物体系：
只有动能和势能的相互转化而无其他形式能的转化，
则物体系机械能守恒。
5、机械能不守恒的情况：
（1）、除重力和弹力之外的力对物体做功，（如滑动摩
擦力、空气阻力做功做功）物体的机械能不守恒。除重力
和弹力之外的那些力做正功，机械能要增加；除重力和弹
力之外的那些力做负功，机械能要减少，而且增加或减少
的数值，等于除重力和弹力之外的那些力做功的数值，
（2）、绳子在被绷紧的瞬间，物体的机械能不守恒。
物体沿绳子方向的速度突变为零。
机械能守恒定律
机
械
能
动能
+
= 重力势能
+
弹性势能
机械能守恒定律
1、内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与
势能可以互相转化,而总的机械能保持不变.
2、机械能守恒定律的三种表达形式：
（1）守恒的观点： Ek 初 EP初 Ek 末 EP末
即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之
和
（2）转化的观点：
Ek EP
即动能（势能）的增加量等于势能（动能）的减少量
（3）转移的观点：
E A增 EB减
即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量
3、机械能守恒的条件
（1）、单个物体：若
时机械能守恒
（2）、对于物体系：若
系统内弹力
，
则物体和轻绳（轻杆、弹簧）组成的系统机械能守恒，
机械能守恒定律
机械能守恒定律机械能守恒定律是力学中的一个基本原理，它描述了在没有外力做功和没有摩擦损失的情况下，系统的机械能保持不变。
机械能包括了物体的动能和势能，它们之间可以相互转化但总和保持恒定。
一、机械能的定义机械能是指物体的动能和势能的总和，即：E = K + U其中，E表示机械能，K表示动能，U表示势能。
动能是物体由于运动而具有的能量，由物体的质量和速度决定；势能则是物体由于位置而具有的能量，它与物体的质量、位置和外力有关。
二、机械能守恒定律的表达形式机械能守恒定律可以通过以下公式表示：E₁ = E₂即在某一过程中，物体的机械能在始末状态保持不变。
这意味着在没有外界做功和能量损失的情况下，物体的机械能始终保持恒定。
三、机械能守恒定律的应用机械能守恒定律可以应用于各种力学问题的求解中，例如弹簧振子、自由落体等。
下面以一个滑块运动的例子来说明机械能守恒定律的应用。
假设有一个质量为m的滑块，沿着光滑的水平面上有一个长度为l的弹簧。
当滑块位于弹簧的伸长端时，弹簧势能为0，机械能仅由滑块的动能组成；当滑块位于弹簧的压缩端时，机械能由滑块的动能和弹簧的势能组成。
根据机械能守恒定律，可以得到以下关系：(1/2)mv₁² = (1/2)kx²其中，v₁表示滑块在伸长端的速度，k表示弹簧的弹性系数，x表示滑块相对平衡位置的位移。
通过这个关系式，我们可以求解出滑块在不同位置的速度和位移。
四、机械能守恒定律的局限性尽管机械能守恒定律在许多力学问题中都适用，但在实际问题中，往往存在着一些能量损失，如摩擦阻力等。
这些能量损失将导致系统的机械能不再保持恒定。
因此，在考虑具体的实际情况时，我们需要考虑这些能量损失，并将其纳入计算中。
五、总结机械能守恒定律是力学中的一个重要原理，它描述了在没有外力做功和没有能量损失的情况下，系统的机械能保持不变。
通过机械能守恒定律，我们可以解决许多力学问题，并得到物体在不同位置和状态下的速度和位移等信息。
大学物理机械能守恒定律
弹性碰撞中，两物体之间的相互作用力是保守力，因此系统机械能守恒。通过分析碰撞前 后的速度、动量等物理量，可以求解碰撞过程中的能量转化和损失情况。
03 弹性碰撞中机械能守恒
Байду номын сангаас
完全弹性碰撞过程描述
碰撞前后动能守恒
在完全弹性碰撞中，两个物体碰撞前后的总动能保持不变。
碰撞前后动量守恒
同时，两个物体碰撞前后的总动量也保持不变。
例题3
一质量为 $m$ 的匀质球体，半径为 $R$， 绕通过其中心且与球面垂直的轴以角速度 $omega$ 转动。若在球面上挖去一个质 量为 $Delta m$ 的小球体，求剩余部分 的动能和势能变化。
06 振动系统中机械能守恒
简谐振动过程中能量转化关系
简谐振动中，动能和势能不断相 互转化，但总机械能保持不变。
在平衡位置，动能最大，势能最 小；在最大位移处，动能最小，
势能最大。
简谐振动的能量与振幅的平方成 正比。
受迫振动和共振现象中能量传递特点
受迫振动中，驱动力的频率接 近系统固有频率时，振幅显著 增大，能量传递效率提高。
共振现象是系统固有频率与外 界驱动力频率相等时发生的， 此时能量传递效率最高。
在共振现象中，系统的振幅达 到最大值，能量在驱动力和系 统之间高效传递。
典型例题分析
例题1
一弹簧振子在光滑水平面上做简谐振动，分析其在振动过程中的能 量转化关系。
例题2
一单摆受到周期性驱动力作用，分析其在受迫振动过程中的能量传 递特点。
例题3
一RLC振荡电路在共振状态下工作，分析电路中的能量转化和传递过 程。
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机械能守恒定律一、教法建议抛砖引玉我们建议：本单元的数学采用下述的三个步骤顺序进行第一步：通过演示实验使学生认识到机械能的转化与守恒是客观存在的。
演示的项目可以选用下列一些内容：①将小球竖直上抛——让学生观察动能转化为重力势能的过程；当小球达到最高点后自由落下——让学生观察重力势能转化为动能的过程。
②用细绳拴小球构成“单摆”，使单摆往复摆动——让学生观察摆球在竖直面内沿圆弧线摆动过程中重力势能与动能之间的交替转化。
③旋动“麦克斯韦滚摆”——使学生观察“滚摆”的重力热能与动能之间的交替转化。
在此过程中既有因滚摆重心上下变化的移动动能的变化，也有滚摆绕轴的转动动能的变化，可以开阔学生的眼界，提高学生的兴趣，但不必对其中的转动动能作定量讲述。
（注：在很多中学的物理实验室中都有“麦克斯韦滚摆”这种数学仪器。
如果没有，借一成品进行仿制也不很困难。
）④拨动“弹簧振子”——使学生观察弹性势能与动能之间的相互转化。
不必对弹性势能作定量的讲述。
作这些演示实验的目的是为了使学生认识到：“机械能守恒定律”是在科学实验的基础上总结出来的，是客观存在的，并不是单纯依靠数理推导得出的。
第二步：在“功能原理”的基础上，推导出“机械能守恒定律”的数学表达形式，并说明此定律成立的条件。
在本章第二单元中，我们导出“功能原理“最简单的数学表达形式：W F =ΔE在此基础上，我们就可以导出下面的“机械能守恒定律”的最简单的数学表达形式： 当W F =0时——定律的条件则ΔE=0——定律的结论这种表达形式虽然简单，但是不便于应用，因此我们可以再写出本章第二单元中导出的“功能原理”的展开形式：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-02022121mgh mv mgh mv fs Fs i i 将W F =Fs-fs 代入上式可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=02022121mgh mv mgh mv W i i F 在此基础上，我们就可以导出“机械能守恒定律”的展开形式：当W F =0时——定律的条件则 02022121mgh mv mgh mv t i +=+ （注：关于W F =0的物理意义，我们将在后面“指点迷津”中作专题说明。
）第三步：通过例题和习题，使学生更深入具体地理解定律的物理意义，并能正确灵活地用于解答有关的物理问题。
我们将在后面的“学海导航”中讲述少量的例题，并在“智能显示”中提供大量的习题。
请同学们不要先看答案，而应独立思考，求解以后再进行核对，并从中总结出思维方法来。
指点迷津1．W F =0的物理意义是什么？在W F 中包括什么？不包括什么？首先说明：这个论题有些超过了课本中讲述的内容，但是对于物理基础较好的学生是很有益处的，可以提高他们的理解能力；对于物理基础较差的学生也可作尝试性阅读，若感觉困难，可以不学。
在本章第二单元的推导过程和专题论述中，同学们已经知道：“功能原理”中的W F 是不包含重力做功W G 的。
因此W F =0的意义就有下列两种说法（注意：说法虽不同，但本质相同）：第一种说法是：没有重力以外的其它外力做功。
第二种说法是：只有重力做功。
为了叙述简明，在高三物理课本147页中在讲述“机械能守恒定律”时就是这样叙述的——“在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生互相转化，但机械能的总量保持不变。
由于目前高中物理不对“弹性势能”作定量讲述，所以对弹性势能和动能之间的定量转化关系也暂不要求。
但升入大学以后还是要讲的，那时就会知道：通过弹力做功的过程，弹性势能与动能之间也是会相互转化的。
综上所述：重力做功可使重力势能和动能之间转化；弹力做功可使弹性势能和动能之间转化。
但是重力势能、弹性势能和动能都属于“机械能”，所以当只有重力和弹力做功时，只能引起“系统”内部各种机械能之间的相互转化，而系统的机械能总量保持不变。
通过上述的分析可知，在W F中不包括重力做功（W G），也不包括弹力做功。
在前面推导中我们知道W F= F S -fs，这就表明在W F中包括两种功：一种是除了重力和弹力以外的其它动力所做的功（F S）；另一种是物体克服阻力所做的功（fs）。
W F=0是“机械能守恒定律”的条件，希望同学们读过上述的说明后，能对此条件有正确的理解。
（将来升入大学后，还将学习“保守力”做功的概念。
）2．掌握了“牛顿运动定律”以后，为什么还要学习“机械能守恒定律“？这个问题可以从下列三个方面认识：第一、动量守恒定律、机械能守恒定律、能的转化和守恒定律、以及今后将在热学、电磁学、原子物理学还要学到的一些“守恒定律”是人类对自然界研究的重要成果，它使人们从一个新的角度认识物理世界乃至整个自然界的变化规律。
这些新知识、新观点都不是牛顿运动定律所能包容的，因而我们应当认真地学习这些“守恒”知识。
第二、掌握好机械能守恒定律能为学习下单元的“能的转化和守恒定律”奠定基础。
（阅读过下一单元的“教学建议”后，就会理解到它们之间的关系。
）第三、能够提高解题能力。
在中学阶段运用牛顿运动定律解答在恒力作用下的物体做匀变速直线运动的问题比较容易。
但是遇到一些在变力作用下的物体做非匀变速运动的问题，如果这种问题满足WF=0，使用机械能守恒定律就会迎刃而解。
（通过后面的例题和习题就能体会到）二、学海导航思维基础例题1 一人站在高10米的楼上，以10米/秒的速度倾斜抛出一质量为0.2千克的石头。
求：（1）人对石头做的功W=?（2）石头落到地面时速度的大小v t=?（空气阻力忽略不计：取g=10米/秒2。
）思维基础：1．功和能都是标量，解题时不必考虑方向。
在本题中，虽然没有明确说出倾斜抛出的倾角大小，也未讲是斜上势还是斜下抛，但只要知道抛出的速度v0=10米/秒，即使不知方向，仍可以用“动能定理”求解。
2．在本题中，由于忽略了空气阻力，所以在石头抛出后运动的过程中就只受重力的作用了，这就满足了“机械能守恒定律”的条件。
3．斜向抛出的石头是作曲线运动的，若用牛顿运动定律求解就有困难。
若用机械能守恒定律求解就十分简单例。
4．本题可分为前后两个过程——前一个过程在石头未出手前，此时人手对石头做功使石头产生动能，此过程虽不满足机械能守恒的条件，却可用“动能定理“求解：后一个过程是在石头被抛出以后，此时只有重力对石头做功了，就能够使用“机械能守恒定律”求解了。
解题过程：（1）根据动能定理，人对石头做的功等于石头动能的变化。
石头在人手中时动能为零，则抛出时速度为，即动能为mv 2021，于是可以写出下式并代值求解： )(10102.0212102122020焦=⨯⨯==-=∆=mv mv E W k（2）已知石头的初始高度h 0=10米，抛出时的初始速度v 0=10米/秒，落地时的高度为零，则根根据机械能守恒定律就可通过下式求出石头落地时速度的大小v t ：02022121mgh mv mgh mv i t +=+020221021mgh mv mv t +=+ 消去式中的m 并进行推导可得下式：)/(3.1710102102200秒米≈⨯⨯+=+=gh v v t答案：人对石头做的功W=10焦；石头落到地面时速度的大小v t =17.3米/秒。
学法指要例题2 一个质量为m 的小球被拴在一条细绳的一端，现手执绳的另一端抡动，使小球在竖直平面内做圆周运动。
则小球过最低点时绳子的张力T 1和小球过最高点时绳子的张力T 2的数值之差T 1- T 2 =?（细绳的质量、空气的阻力皆忽略不计）启发性问题：1．小球的运动过程中都受到什么力的作用？这些力是否都对小球做功？2．在解答本题时要运用哪些规律？3．你能预言出本题答案的基本形式吗？分析与说明：1．小球在运动过程中受到重力和细绳的张力的作用。
重力对小球做功（有时是做正功，有时是做负功，请读者分析思考），使小球的重力势能与动能之间交替转化，满足机械能守恒定律的条件。
细绳的张力（其属性为弹力）是指向圆心的，与小球运动的圆周切线方向是垂直的，因此这个力不做功。
2．本题是一个变速圆周运动问题，在解题时主要运用圆周运动的向心力规律和机械能守恒定律。
此外，“受力分析”在解题中也很重要。
3．本题给出的已知量只有一个——小球的质量m ，因此可以预言出本题的答案的基本形式应当是T 1- T 2 =nmg 。
至于n 是整数还是分数？n 的具体数值是多少？那就需要通过求解才能获得答案。
（题中虽未给出重力加速度g ，但这公认是已知的）求解过程：如图5-25所示：小球过最低点时，细绳的张力T 1方向向上（它与重力之差T 1-mg 是供小球运动的向心力），设此时小球速度的大小为v 1；小球过最高点时，细绳的张力T 2方向向下（绳是软的，只可能有向下的拉力，不可能有向上的支撑力。
它与重力之和T 2+mg 是供小球运动的向心力），设此时小球速度的大小为v 2。
设小球做圆周运动的半径为R 。
根据上面的受力分析，运用圆周运动的向心力公式可以写出下列二式：图5-25R v m mg T 211=- ① R v m mg T 222=-② 将①、②两式相减可得 R v m R v m mg T T 2221212-=--上式可以变化为：R v v m mg T T 2221212-+=- ③若以小球运动通过的最低点处定为重力势能的零点，则小球过最高点时的重力势能mgh=mg ·2R ，则据机械能守恒定律可以列出下式：R mg v m v m 2210212221⋅+=+ ④消去 式中的m ，并在等式两边乘2，则可以写出下式：gR v v 42221+= 由上式可以导出：g R v v 42221=+ ⑤ 将式代入式：T 1-T 2=2mg +m ·4g=6mg答案：T 1-T 2=6mg解题后的思考：1．若不附加其它条件，你能求出T 1和T 2单独的数值吗？（提示：T 1、T 2的大小与v 1、v 2的大小有关。
）2．若本题中给出：当小球通过最高点时绳子的张力T 2=0。
则小球通过最低点时绳子的张力T 1=？（提示：T 1=6mg 。
建议：不要据T 1-T 2=6mg 直接得出答案，最好通过受力分析再列出一个新的②式，然后求出T 2，这样有益于复习和提高。
）思维体操例题3 如图5-26所示：一条均匀的绳子，上端用手拉住放在光滑的水平桌面上，绳子的全长为l ，在桌边下垂的长度为a ，（桌面上的长度为l-a ）。
若由此状态松手，让绳子自由滑下，求绳子全部离开桌面瞬间的即时速度v=?（注：不计空气阻力和摩擦力。
桌腿较长，当绳子全部离开桌面的瞬间，绳子的下端尚未触地。
）“准备活动”（解题所需的知识与技能）：1．本题中绳子滑下的过程也不垂段连续增长的过程，而下垂段所受的重力又是使全绳加速的动力，因此这是一个在变力作用下的非匀变速运动问题，不宜采用牛顿定律求解。