章建跃--把握数学核心概念,提高课堂教学有效性

四、提高概念教学的水平
• 概念教学的核心——概括：将凝结在数 学概念中的数学家的思维打开，以典型 丰富的实例为载体，引导学生展开观察、 分析各事例的属性、抽象概括共同本质 属性，归纳得出数学概念；
概念教学的基本环节
• 典型丰富的具体例证——属性的分析、比较、 综合； • 概括共同本质特征得到概念的本质属性； • 下定义（准确的数学语言描述）； • 概念的辨析——以实例（正例、反例）为载体 分析关键词的含义； • 用概念作判断的具体事例——形成用概念作判 断的具体步骤； • 概念的“精致”——建立与相关概念的联系。
为什么这样设计
• （在没有引领的情况下很难“悟”出思 想）； • 要正确理解“给学生留出思维空间”— —以往教学在技能方面空间太小，思想 方面空间太大。
例4 四边形的“先行组织者”
• 概括三角形中研究的问题、线索和基本方法：定 义（组成元素、分类）—三角形的性质（变化中 的不变性、规律性，从度量关系和位置关系入 手）—三角形的全等（确定三角形的条件）—特 殊三角形的研究（角特殊—直角三角形、边特 殊—等腰三角形，性质、判定）—相似三角形 （性质、判定）——…… • 目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究的 “基本套路”。
例7
关于“配方法”
• 概念：把二次（三项）式配成一个含二 项式的完全平方的式子 ax2+bx+c=a(x+b/2a) 2+(4ac－b2)/4a • 依据：(a+b) 2=a 2+2ab+b2 • 步骤：（1）二次项系数变1；（2）加上 并减去一次项系数一半的平方。
一元二次方程的求根公式
• 从最简单的开始：x 2=a；变式：(x－p) 2=q ，并分析“能解”的原因（可以通过开方 将方程“降次”）。 • 对于ax2+bx+c=0，通过与“变式”的比较 ，得到化归为(x－p) 2=q就能解的思想方法 ，追问“如何化归”，获得“配方法”。
• 技术上，充分利用单位圆研究三角函数 的图像与性质，其中特别是与圆的对称 性相关的性质。
• 提高课堂教学的立意，是落实“教育中 的科学发展观”，全面关注学生的发展。 • 当前，社会功利化、各级政府的教育行 政主管部门等以升学率为主要考核标准 的不良导向，导致教育的短期行为愈演 愈烈，“全面关注”变成了“只关注分 数”，而且为了分数可以不择手段—— 竭泽而渔。
• 回到从“基本事实”到“基本性质”的 推理过程，得出性质，给出证明； • 引导学生用不同语言表述“基本性质”； • 从实例中概括基本不等式的作用——明 确概括出思想方法。 • 核心：将等式与不等式纳入数及其运算 的系统中，成为用运算律推导出的“性 质”。 • 既要讲逻辑，更要讲思想，加快学生领 悟思想的进程。
• 例题——用概念作判断的“操作步骤”， 强调“自变量x与相应的函数值y是否成反 比例关系”，还可以用反例让学生分析， 另外还要让学生明确“求反比例函数”的 含义； • 通过与正比例函数、一般函数概念等比较， 进一步明确反比例函数反映了“一类事物” 的变化规律，使学生逐步学会用反比例函 数刻画事物的变化规律。
把握数学核心概念 提高课堂教学有效性
人民教育出版社 章建跃 zhangjy@
一、提高“理解数学”的水平
• 老师理解好数学是提高教学质量的前提。 • 理解数学概念的几个方面：从表面到本质—把 握概念的深层结构上的进步；从பைடு நூலகம்象到具体— 对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更 多的典型、精彩的例子；从孤立到系统—对概 念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体 化的认识；等。 • 提高解读概念所反映的数学思想方法的能力是 重点 。
“配方法”的灵活应用
• “配方”—— “完全平方式”——非负性 • 例：（1）无论m取何值，2x 2+(m－1)x+(m－ 4)=0都有两个不等实根。——判别式是不等于 0的“完全平方式”。 • （2）已知x2+4y2－2x+4y+2=0，求x，y的值。 ——一个方程两个未知量，一般是不定的，但 特殊情况下可以，即实质是“方程组”，化归 的方法是“配方得到完全平方式”。 • ……
如何改变？
• 要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要 性——无知者无能； • 不断回到概念去，养成从基本概念出发思考问 题、解决问题的习惯； • 加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决 问题的新思路。 • 应追求解决问题的“根本大法”——基本概念 所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。
例6 向量加法运算及几何意义的教学设计 • 先行组织者：类比数及其运算，引进一 个量就要研究运算，引进一种运算就要 研究运算律。 • 位移、力的合成、速度的合成等物理原 理的回顾。 • 学生带着问题看书：向量的加法法则的 关键词是什么？你如何理解？
• 从“剪”的过程看到，等腰三角形的哪些 元素是重合的？你可以得到哪些性质的猜 想？ • “剪”的关键步骤是什么？数学含义是什 么？ • 上述猜想是从一个等腰三角形得到的，是 否对所有等腰三角形都有这些性质呢？如 何证明？——通过全等三角形，注意从操 作中获得证明思路的启发。 • 对特殊的等腰三角形——等边三角形，有 什么相应的特殊结论？
二、高立意与低起点
• 立意不高是普遍问题，许多教师的“匠 气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥 漫着“功利”，缺少思想、精神的追求， 严重影响数学育人。 • 数学的“育人”功能如何体现？——挖 掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学 中将知识教学与价值观影响融为一体。 • 关键：提高思想性。
例3不等式基本性质“立意”比较
五、探究式教学的天时地利人和
• 天时：建设创新型社会，教育“以培养 学生的创新精神和实践能力为重点”； • 地利：教学内容是否适合于“探究”— —有的内容不适宜，如公理、定义名称、 规定等；但更多的内容可采用探究式教 学；
例10
直线与平面垂直的定义
• 先“直观感受”、举例，再给出定义， 并把主要精力放在对“合理性”的认识 上，通过正、反例理解定义的关键词。 • 提示学生：用“说得清道得明”的几何 关系（即“直线与直线垂直”）来定义 “无法说清”的几何关系（即“直线与 平面垂直”）是一种公理化思想，学生 则只要采用接受式学习方式即可。
• 引导学生类比，思考“四边形”研究的问题、线 索和方法等： • 一般四边形：组成元素、度量（内角和、外角 和）； • 特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手； • 边的特殊性——平行四边形：性质和判定；“性 质”研究的是在“平行四边形”的条件下，它的 组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内 角的关系、对角线的关系等；“判定”研究的是 具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度 量问题；
例1 几个数学概念的解读
• 如何理解诱导公式？ • 推导等差数列前n项求和公式的思想方法 是什么？ • 如何理解两个变量的线性相关问题？
例2 如何理解“乘法公式”
• 代数——以符号(不定元)代表数； • 代数学的根源在于代数运算； • 代数运算有一系列普遍成立的运算律： 交换律、结合律、分配律、指数法则； • 代数学的基本思想：有效、有系统地运 用运算律去解答各种各样的代数问题。
多项式运算
• 多项式运算就是含有字母符号的算式之 间的运算（字母代表数，数满足运算律 ，所以字母也满足运算律）； • 两个多项式的乘积就是用分配律把它归 于单项式的乘积之和来计算，单项式的 乘积是用乘法的交换律、结合律和指数 法则来计算。
乘法公式蕴含的思想方法
• 乘法公式是研究一般多项式乘法基础上 对“特例”的考察： • (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，字母a，b， c，d有某些特殊关系时的特殊形式，即 （1）a=c，b=－d时有平方差公式； （2）a=c，b=d时有完全平方和公式；等。 从一般到特殊，归纳的思想，“考察特例 ”是数学研究的“基本套路”。
• 汇报对定义和三角形法则、平行四边形 法则的理解，其中特别要注意对“关键 词”的理解，要求用自己的语言描述。 • 向量a，b不共线，作出a+b，要求说明作 法。 • 如果向量a，b共线，如何作a+b？与有理 数加法运算有什么关系？ • 从三角形法则我们有 AB BC AC ，变 形有 AB BC AC 0，你怎么看变形？ • 平行四边形法则的代数意义是什么？
例11 两个平面平行的判定问题
• 指导思想：类比两条直线平行的判定， 提出两个平面平行的判定的猜想，再给 出证明。 • 问题1 回顾已经得到的两个平面平行的 判定定理，你能说说得到这些判定定理 的思想方法吗？——定义法（原始，不 容易说清楚），化归为线面平行（用已 知想未知，与平面三公理联系等）。
• 问题1 你认为可以研究等腰三角形的哪些 问题？——性质与判定 • 问题2 等腰三角形的性质可以从哪些角度 入手？——角的关系（两底角相等）、高 、中线、角平分线的特性；特殊等腰三角 形的特殊性；等。 • 问题3 前面学习过轴对称图形，知道角是 以角平分线为对称轴的轴对称图形。根据 这些经验，请动手剪一个等腰三角形，并 说明你得到的一定是等腰三角形。
• 特殊的平行四边形：角的特殊——矩形， 边的特殊——菱形，边角都特殊——正方 形，都要研究性质和判定。 • 研究的方法：化归为三角形、平行线的性 质等已有知识； • 特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三 角形的知识：矩形——直角三角形；菱形 ——等腰三角形； • 梯形……
例5
三角函数的核心
• 三角函数是刻画周期变化现象的数学模型 ，是匀速圆周运动的本质表现。 • 角是“转”出来的，与单位圆上的点（x， y）可以建立一种对应关系。 • 研究匀速旋转最重要的是研究单位圆上的 点（x，y）随旋转角的变化而变化的规律 ，即研究x和y作为角 θ（弧度制）的函数— —三角函数是圆的几何性质的代数表示。
• 以往做法：数轴上点的顺序定义数的大 小关系，再到“基本事实”（考察两个 实数的大小，只要考察它们的差），再 由“利用比较实数大小的方法，可以推 出下列不等式的性质”： • 性质1，2，3„„——证明——例题—— 练习、习题