数学必修平面向量综合练习题

、选择题【共12道小题】 1、卜列说法中止确的是()A.两个单位向量的数量积为1B.若 a • b=a •c 且 a * 0,则 b=cC. AS = 0A — 0BD.若 b 丄 c,则(a+c) • b=a •b 参考答案与解析：解析：A 中两向量的夹角不确定；B 中若a 丄b,a 丄c,b 与c 反方向则不成立；C 中应为-亠 _ 一丄， ;D 中 b lc = b • c=0,所以(a+c) • b=a • b+c • b=a • b.答案：D主要考察知识点：向量、向量的运算2、设e 是单位向量，二L=2e, -二=-2e,|」丄|=2,则四边形ABCD 是()又因为|上」|=| H 丄1=2,所以四边形 ABCD 是菱形• 答案：B主要考察知识点：向量、向量的运算 3、已知|a|=|b|=1 , a 与b 的夹角为90° ,且c=2a+3b , d=ka-4b,若c ±d,则实数k 的值为()A.6B.-6C.3D.-3参考答案与解析：解析：I c 丄d, ••• c • d=(2a+3b) • (ka -4b)=0,即 2k- 12=0, A k=6. 答案：A主要考察知识点：向量、向量的运算 4、设 O WBv 2 n ,已知两个向量 '■ - =(cos 0, sin 0 ), ' - =(2+sin 0, 2-cos 0 )，则向量-二 长度的最大值是( )B. /参考答案与解析：解析：-」 亠 -=(2+sin 0 - cos 0 ,2 - cos 0 - sin 0), 所以〔丽 $ J 【2 +拠即斗(2-皿。

-血册=-区血日三屈鼻伍 答案：C主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示 5、设向量 a=(1,-3), b=(-2,4) , c=(-1,-2)，若表示向量 4a 、4b-2c 、2(a-c)、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量 d 为( )A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)参考答案与解析：解析：依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以 d=-6a+4b-4c=(-2 , -6).答案：DA.梯形 形B.菱形C.矩D.正方形参考答案与解析 :解析：儿- -- ,所以|亠厶|=||,且AB// CD 所以四边形ABCD 是平行四边形A.主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示6、已知向量a=(3 , 4), b=(-3 , 1) , a 与b 的夹角为0 ,则tan 0等于(1 B.-二参考答案与解析：解析：由已知得 a • b=3x(-3)+4 x 仁-5 , |a|=5 , |b|^,a^b -51所以 COS 0= ■'丨■ I ■'.由于 0€[ 0 ,n],Jl — m B所以 sin 0='.sin /?所以 tan 0= L ; =-3.答案：D 主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示7、向量a 与b 不共线，人-=a+kb,=la+b(k 、丨€ R),且 与亠-共线，贝卩k 、丨应满足( )A.k+l=0B.k-l=OC.kl+1=0D.kl-1=0参考答案与解析：解析： ■ -- ■■ ---- i --- k---- «因为二二与共线，所以设=入(入€ R),即 la+b=入(a+kb)=入 a+入 kb,所以(l-入)a+(1 -入 k)b=0.因为a 与b 不共线,所以l-入=0且1-入k=0,消去 入得1-lk=0,即kl-仁0. 答案：D主要考察知识点：向量、向量的运算&已知平面内三点 A(-1,0),B(5,6),P(3,4), 且AP=X PB,则 入的值为()2丄A.3B.2C.二D.2参考答案与解析：解析：因为丄=入儿，所以(4 , 4)=入(2 , 2).所以入=. 答案：C主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示9、设平面向量 a1, a2, a3的和a1+a2+a3=0,如果平面向量 b1, b2, b3满足|bi|=2|ai| ，且ai 顺 时针旋转30°后与bi 同向，其中i=1 , 2, 3，则( )A.-b1+b2+b3=0B.b1-b2+b3=0D.b1+b2+b3=0参考答案与解析：解析：根据题意，由向量的物理意义，共点的向量模伸长为原来的 2倍,三个向量都顺时针旋转30°后合力为原来的 2倍,原来的合力为零，所以由a1+a2+a3=0,可得b1+b2+b3=0.答案：DC.3D.-3C.b1+b2-b3=0又••• OQ -=1,(- x,y)-(-xA,yB)=1,•••(-x,y) •(二 x,3y)=1,即二 x2+3y2=1(x > 0,y > 0). 答案：D主要考察知识点：向量、向量的运算------------- B-------------- 重--------------«------------- b-------------- 111、已知△ ABC 中，点D 在BC 边上，且,若-'—-丄二,贝U r+s 的值是(2A. B.0C.3.-32 2 2-------------- 1------- ---------------- k ---------------- ---------------------- <*-------------- «-------参考答案与解析：解析：△ ABC 中，-二"=」-一=」(一一・-I -)=」—」-」丄一_，故r+s=0. 答案：B主要考察知识点：向量、向量的运算 12、定义玄※b=|a||b|sin0, 0是向量a 和b 的夹角，|a|、|b|分别为a 、b 的模，已知点A(-3,2)B(2,3),O 是坐标原点U 〔上※［丄等于( )A.-2B.0D.13C.6.5参考答案与解析：解析：由题意可知-1" =(-3,2),［匸’=(2,3),主要考察知识点：向量、向量的运算10、设过点P(x , y)的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若.L,且二•」1J=1,则P 点的轨迹方程是()参考答案与解析：解析：设 P(x,y),则 Q(-x,y).设 A(xA),xA,B(0,yByB0,上-=(x,y-yB)上上 =(xAx,-y).•.•一丄’一 ——'-=2PA,「.x=2(xA,x),y -yB=2y,xA=二 x,yB=3y(x >0,y >0).A.3x2+ 二 y2=1(x > 0,y > 0)B.3x2 二 y2=1(x > 0,y > 0)C. 二 x2-3y2=1(x > 0,y > 0)D. 二 x2+3y2=1(x > 0,y > 0)计算得一上•［二'=-3X 2+2X 3=0,另一方面〔上•'丄'=| -二||丄‘ |cos 0,••• cos 0 =0,又0€ (0, n)，从而sin 0 =1 ,•※-丄1=| -11 || 1」|sin 0 =13.答案：D主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示二、填空题【共4道小题】1、已知a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7, 则向量a与b的夹角是_____________________ .参考答案与解析：解析：由已知得a+b=-c,两边平方得a2+2a - b+b2=c2,所以2a • b=72 -32-52=15.设a与b的夹角为0 ,则cos0二=1 「=二，所以0 =60°.答案：60°主要考察知识点：向量、向量的运算--- ■ ' * --------------------------------- >2、若虫占=2e1+e2,占C=e1-3e2,丿门=5e1 +入e2,且B C、D三点共线,则实数入= ________________ 参考答案与解析：解析：由已知可得 ---- ---=(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2, (5e1+ 入e2) -(e1- 3e2)=4e1+(入+3)e2.由于B C D三点共线,所以存在实数m使得〔」-」上丄-，即-e1-4e2=m :4e1+(入+3)e2:.所以-1=4m 且-4=m(入+3),消去m得入=13.答案：13主要考察知识点：向量、向量的运算3、已知e1、e2是夹角为60°的两个单位向量，则a=2e1+e2和b=2e2-3e1的夹角是 ________________参考答案与解析：解析：运用夹角公式COS0二，代入数据即可得到结果•答案：120°主要考察知识点：向量、向量的运算4、如图2-1所示，两射线OA与OB交于O,则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是图2-11、如图 2-2 所示，在△ ABC 中，丄=c,=a,-二=b,且 a • b=b • c=c • a ,试判断△ ABC 的形状.参考答案与解析：解：T a • b=b • c, ••• b • (a -c)=0. 又 b=-(a+c), • - - (a+c) • (a -c)=0,即 c2-a2=0. •••|c|=|a|.同理，|b|=|a|, 故|a|=|b|=|c|,所以△ ABC 为等边三角形.主要考察知识点：向量、向量的运算|■卽*-fabbi2、如图2-3所示,已知| -^|=|丄’|=1 的夹角为120°,--」与-X 的夹角为45° ,| --■ ■ ■参考答案与解析：解：设」」=入】上+卩 上_ j.贝U - - •-=（入丄-+ 卩-匸'）•-丄-=入+ 卩-二 •上-=入 + cos120° =入 一 卩.572 又- - ■-[-=「_ - || 丄 |cos45 ° =5cos45°= 二②-一二 + »③「U :一丄, 丄「④一一二 +「H ⑤「1上-J参考答案与解析 答案：①②主要考察知识点 三、解答题:解析：由向量减法法则可知③⑤不符合条件 ,①②显然满足，④不满足:向量、向量的运算 【共6道小题】-,/6i -4）cos75°=•••入-[i=二「「「「「「「_ _2-•】二'=(入-二+ 卩一一’)•】匸■=入-二• 1二'+ 卩'】丄=入cos120° + 卩= 2 入+ 卩. 「「一「也更②又--•-丄’=| 1「| |cos(120 ° -45° )=5cos75 °=■,1 孔丽-血)• 一入+□= f .5^/6+375) 岂愿• •入=5^/6+372) 5丿？• 0C= 6 鬲+ 丁亦.主要考察知识点：向量、向量的运算-------- r ■■ -------- r 3、在四边形ABCD中(A、B、C、D顺时针排列)，人-=(6 , 1)，亠=(-2 , -3).若有//丄;二,又有…丄_：丄：,求的坐标=(x-2,y-3).又-'-■ / 及丄丄所以x(2-y)-(-x-4)y=0, (6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0.x = -6T K= 2,解得b"或b•- =(-6,3)或(2,-1).主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示丄历4、已知平面向量a=( \ ' ,-1),b=(二，-).(1)证明a丄b;⑵若存在不同时为零的实数k、t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb, 且x丄y,求函数关系式k=f(t).参考答案与解析:(1)证明：因为a • b=(小，-1)•(,二)=- +(- 1) x二=0,所以a丄b.参考答案与解析:解：设-'-■ =(x,y),则亠-=(6+x,1+y),亠扛-=(4+x,y-2), -討=(-x-4,2-y), BD又•••&€[ 0 ,n]主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示6、如图2-4 所示,已知△ AOB 其中-■-：=a^-' =b,而MN 分别是△ AOB 的两边OAOB 上的点，且 =入a(0 v 入v 1),-二=卩b(0 v^v 1),设BM 与AN 相交于P,试将向量二 =p 用a 、b 表示出来.(2)解：由已知得|a|= •厂亠'-广=2, |b|= 「：由于 x 丄y,所以 x • y=0,即]a+(t2-3)b ]•( -ka+tb)=O. 所以-ka2+ta •b -k(t2- 3)b • a+t(t2 -3)b2=0. 由于 a • b=0,所以-4k+t(t2-3)=0.:=1,丄所以 k=「t(t2-3).丄由已知k , t 不同时为零得k="t(t2- 3)(t 丰0).主要考察知识点：向量与向量运算的坐标表示5、已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量 ，其中a=(1,2). (1)若|c|=」-,且c / a,求c 的坐标；⑵ 若|b|= 二,且a+2b 与2a-b 垂直，求a 与b 的夹角 0.参考答案与解析 :解:(1)设 c=(x ,y), 一 ° ',即 x2+y2=20,■/ c // a,a=(1 y=2x.2), ••• 2x -y=0,藍=2y = -4联立①②得 • c=(2,4)或(-2,-4).⑵••• (a+2b)丄(2a - b), • (a+2b) • (2a -b)=0,即 2a2+3a- • 2|a|2+3a b -2b2=0. -b -2|b|2=0.•- |a|2=5 ,5 5___________________|b|2=〜，代入①式得 a • b=二• cos 0 =a「「I0M即p=-八戸 1 …;主要考察知识点：向量、向量的运算参考答案与解析：解：由题图可知 p='-P 」■ 或p=-— ■ ,而=入a ,_ 一_ -,：一：二 =m (_ _■ '.-.1/)=m(b-入 a). 又 v -A =卩 b ,设匚'丄一n （【二 ）=n（a- 卩b),=_血丄=入 a+m(b-入 a)=入(1 -m)a+mb , p=_「丨「一 =口 b+n(a -(1 b)=na+口 (1 -n)b. v a 、b 不共线，且表示方法唯一, 1-^1 做1 - Q 1 — JljU• I p=入Mi一丄.丄］ a+。