隐函数的导数
大学数学(高数微积分)隐函数的导数(课堂讲解)
则复合函数 y f { [ ( x )]}的导数为 dy dy du dv . dx du dv dx
一般地，不必要求写出具体的复合关系，只 要记住哪些是中间变量，将中间变量的表达 式看成一个整体，由外向内，逐层求导即可。
y x2 y 3 3 2 1. ( , ) y x 22 3 3 所求切线方程为 y ( x ) 即 x y 3 0. 2 2 3 3 法线方程为 y x 即 y x , 显然通过原点. 2 2
3 3 ( , ) 2 2
例3：求由下列方程所确定的函数的二阶导数 y 2 x ( x y) ln( x y)
1 y '' 3 ( x y )[2 ln( x y )]
求隐函数的二阶导数时，在得到的一阶导数的 表达式后，再进一步求二阶导数的表达式，此 时，要注意将一阶导数的表达式代入其中．
二、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e y x
练习：设y arcsin( x ), 求y '
2
练习：设y arcsin( x e ), 求y '
2 x
练习：设y e
tan
31
x
, 求y '
2.5 隐函数的导数
一、隐函数的导数
定义:如果变量x,y之间的函数关系由一个方程
F ( x , y ) 0 确定，那么这种函数叫做隐函数． y f ( x ) 形式称为显函数 .
F ( x, y) 0 y f ( x)
隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数的求导公式法
隐函数的求导公式法隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它用于在给定一个方程时，求解出其中的变量关系，并对其进行求导。
隐函数求导可以通过求导公式法来进行，该方法适用于一些特定类型的隐函数。
首先我们来看一下隐函数的一阶导数的求导公式。
设有一个隐函数F(x, y) = 0，其中y = f(x) 是其隐函数形式，则根据链式法则有:dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0其中dF/dx表示对F(x, y)关于x求偏导，dF/dy表示对F(x, y)关于y求偏导，dy/dx表示f(x)对x的导数，即f'(x)。
根据上述公式，我们可以通过求导公式法来求解隐函数的导数。
下面我们通过一个例子来说明该方法的具体应用。
假设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们要求解出y对x的导数。
首先，我们对隐函数方程两边同时求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0然后，将dy/dx表示出来，得到：dy/dx = -2x / 2y = -x / y通过这个例子，我们可以看到隐函数的导数可以通过求导公式法来求解。
当然，在实际应用中，我们可能会遇到更复杂的隐函数，需要运用多次求导公式法或者其他方法来求解。
除了一阶导数的求导公式法，我们还可以推广到二阶导数的求导公式法。
设有一个隐函数F(x, y) = 0，其中y = f(x) 是其隐函数形式。
根据求导公式法，我们可以得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0对该式两边再次求导，得到：d^2F/dx^2 + d^2F/dy^2 * dy/dx + (dF/dx * dy/dx + dF/dy *d^2y/dx^2) = 0化简上述方程，可以得到二阶导数的求导公式：d^2y/dx^2 = - (dF/dx * dy/dx + dF/dy * d^2y/dx^2) / (d^2F/dy^2) 通过这个公式，我们可以求解出隐函数的二阶导数。
总结一下，隐函数的求导公式法是求解隐函数导数的一种常用方法。
隐函数的导数
dy dx
x0
6x y 5 x
x0 y 2
2 . 5
求隐函数在某一 点处的导数时应 特别注意什么？
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y e 例2 求方程 xy e 0所确定的隐函数 y f ( x ) 的导数．
解 方程两边同时对 x求导数，利用复合函数的求导法则
（注意，这里 y 是 x的函数），得
解 将方程的两边取对数，得
ln y x ln x,
由这个方程能说 y 隐函数！ 是 x 的函数吗？
上式两边对 x求导，注意到 y 是 x的函数 y( x ) ，得
1 1 y ln x x ln x 1, y x
对数 求导法
于是
y y ln x 1 x x ln x 1 .
解 由隐函数的求导法，得 于是
1 y cos y y 0,
下面应怎 么办？
1 y , 1 cos y
上式两边再对 x求导，得
(1 cos y )x 1 sin y y y ( )x , 2 2 1 cos y (1 cos y ) (1 cos y )
(a 0, b 0)
解
dy [3(sin cos )] 3 sin 3 tan . dx [2(cos sin )] 2 cos 2
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x 4cos t , 例8 已知椭圆的参数方程为 y 6sin t , 求它在 t 相应的点处的切线方程． 4
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求一般幂指函数 y u( x ) v ( x ) ( u( x ) 0) 的导数时，同样可以用 y e v ( x ) ln u( x ) ，也可以利用复 上述 “对数求导法”．但注意到 合函数求导法则求导．如
隐函数的导数
例如,
求 y′
例1. 求由方程 的导数 y′
例2. 求由方程
确定的隐函数
确定的隐函数
x2 y2 3 3 ) 处的切线方程。 1 在(2, 例 3．求椭圆 2 16 9
例4. 求由方程
的二阶导数 y ″
确定的函数
二、对数求导法
例5．求yx sin x (x>0)的导数。
例 6．求函数 y
例如
x 2t , 2 y t ,
2
x t 2
消去参数 t
x 2 x 1 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
2
x ( t ) 在方程 中, y ( t )
设函数x (t )具有单调连续的反函数t 1 ( x ), y [ 1 ( x )]
再设函数 x (t ), y (t )都可导 , 且(t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
dy (t ) 若 y(t)，x(t)，则 dx (t )
结束
小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
第五节、隐函数的导数 由参数方程所确定函数的导数
隐函数的导数
对数求导法
由参数方程所确定函数的导数
一、隐函数的导数
定义: 设在方程 F ( x , y ) 0 中 , 当 x 取某区
间内的任意值时, 相应地总有满足这方程的 唯一 y 的值存在, 那么就说方程F ( x , y ) 0在 该区间内确定了一个隐函数y f ( x ) .
高等数学上24隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
结束
若函数 xy ((tt))二阶可 , 导
d2 y dx2
d (dy) dx dx
d ((t)) dt dt (t) dx
d2y dx 2
d dt
(t ) ( t )
dx
dt
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
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x a(t sint) y a(1cost)
x a cos3 t
y
a
sin 3
t
2
2
2
x3 y3 a3
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x2 y2 axa x2 y2
a(1cost)
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结束
ea
a
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例8 一汽球从离5开 0m 0处 观离 察地 员面铅
上升 ,其速率 14m 0为 /mi.当 n 气球高 50m 度 0时,为
观察员视线的 率仰 是角 多 ? 增 少加
解 设t时 刻 ,气球上升h高 ,观度 察为 员 视 线
的 仰 角 ,则 为
tan h （相关方程）
500
四、隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定函数的导数
隐函数的导数 对数求导法由参数 方程所确定函数的导数
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1、隐函数的导数 P102
定义: 设在方程 F(x, y) 0中,当x取某区 间内的任意值 , 相时应地总有满足这的方程 唯一y的值存,在 那么就说方F程 (x, y) 0在 该区间内确定了一函个数y隐 f (x).
隐函数的导数
例9
求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t )
在t
2
处的切线
方程
.
解
dy
dy dx
dt dx
a
a
sin t a cos
t
sin t dy 1 cos t dx
t os
1.
dt
当 t 时,
x a(
1),
y a.
2
2 所求切线方程为
2 ya
x a(
y的导数 y, y x0 .
x 0, y 0
解 设想把xy e x e y 0所确定的函数y y( x)
代入方程, 则得恒等式
xy e x e y 0
恒等式两边同时对x求导,得
( xy)x (e x )x (e y )x (0)
因为y是x的函数,
所以 e y是x的复合函数,
用复合函数求导法,
如
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2 e x ,
y
x sin x .
方 法 先在方程两边取对数,
然后利用隐函数的
求导法求出导数.
--------对数求导法
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例7 解
设
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2 e
x
1
,
求y.
等式两边取对数得
ln
定义 由二元方程 F ( x, y) 0 所确定的函数
y y( x) 称为 隐函数(implicit function).
y f ( x)的形式称为 显函数.
F( x, y) 0
y f ( x) 隐函数的 显化.
第五节隐函数的求导公式
第五节隐函数的求导公式隐函数是指在一些方程中以一个变量表示另一个变量的函数，其中一个变量通常被称为自变量，另一个变量被称为因变量。
求解隐函数的导数是微积分中的重要内容，因为它可以帮助我们找到函数的变化率和切线方程等信息。
本文将介绍隐函数的求导公式。
隐函数求导的关键在于使用链式法则。
链式法则是微积分中的一个基本原理，它描述了复合函数的导数与原函数导数的关系。
在隐函数的情况下，我们可以将因变量视为自变量的函数，并运用链式法则进行导数的计算。
设有一个隐函数方程F(x, y) = 0，其中y是x的函数。
我们希望求解dy/dx，即隐函数的导数。
首先我们将隐函数方程两边对x求导，得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0由于我们求解的是dy/dx，我们可以将这个方程改写为：dy/dx = -dF/dx / dF/dy这就是隐函数的求导公式，它告诉我们如何通过对隐函数方程进行求导来获得隐函数的导数。
这个求导公式的推导并不复杂，但需要注意一些细节。
首先，我们要确保F(x, y)在求导过程中对x和y都是可导的。
换句话说，F(x, y)的偏导数存在且连续。
其次，我们要注意分母dF/dy不能为零，否则求导公式将无法成立。
以下是几个例子，以帮助理解隐函数的求导公式：例子1：设有一个隐函数方程x^2 + y^2 = 1，我们希望求解dy/dx。
首先对这个方程两边求导，得到：2x + 2y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -2x / (2y) = -x / y这个例子告诉我们，对于圆的方程，求得的导数是-x/y。
例子2：设有一个隐函数方程e^x + ln(y) = 1，我们希望求解dy/dx。
e^x + 1/y * dy/dx = 0于是，dy/dx = -e^x / (1/y) = -y * e^x这个例子告诉我们，对于指数和对数的方程，求得的导数是-y*e^x。
例子3：设有一个隐函数方程x^3 + 2y^2 = 5，我们希望求解dy/dx。
第三章第四节隐函数的导数
d y (b sin t ) b cos t b k cot t d x (a cos t ) a sin t a
2 b 2 b 故 k t , x0 a cos a, y0 b sin 4 2 4 4 2 a
所求切线方程为：y ( x
y(t ) x(t ) y(t ) x(t ) 记 y x x y 3 3 ( x(t )) x
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Байду номын сангаас
注意 : 已知
?
对谁求导?
x a(t sin t ) 所确定的函数y ( x)的二阶导数. 例5 计算由摆线的参数方程 y a(1 cos t )
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例1. 求由方程 x3 y 3 6 xy确定的隐函数的导数. 解 方程两边对 x 求导
3x 2 3 y 2 y 6( y xy)
2 y x2 y 2 y 2x
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例2. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
有时像(3)这样的显函数用对数求导法求导很方便 .
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例6 求
的导数 .
解 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
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d y d dy dt 1 1 dt 1 2 dx dt dx dx f (t ) dx dx dt
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- 50 -§2.６隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一.隐函数的导数1.显函数；y=f(x)等号左端是因变量的符号，右端是只含自变量的式子能确定函数值。
隐函数：Ｆ(x,Y)=0也表示函数，确定了y=y(x). 显化——化隐函数为显函数。
有时不容易，甚至不可能。
但实际中需求其导数。
2.隐函数的求导方法由于F(x,y)=0确定了y=y(x),故在F(x,y)=0中，把y 看成x 的函数，则将F(X,Y)=0的两边同时对X 求导后再解出.y '如：122=+y x 两边对x 求导有yx y y y x -='∴='⋅+022例1：y=cos(x+y)求x y ' ()()()()y x y x y y y x y +++-='∴'++-='sin 1sin 1sin 例2： y y x yx x yx y xy y x xy arctg '+⋅+=-'⋅++=221)(11ln222222yx yx y x-+='- 51 -ex:='=--='=-++y e xy xe ye y ex y y x xyxy xy,11,0例3：求曲线x 2+y 4=17在x=4处的切线方程。
()()())4(214211,41,41,42042213-=+--=-∴-∴±==-='='+x y x y P P y x yxy y y x 又 例4：求由方程0sin 21==-y y x ，确定的隐函数的二阶导数xd yd 22。
ydx dy y y y cos 220cos 211-=='⋅+'-()()()()32222cos 2sin 4cos 2cos 22sin 2cos 2cos 2cos 22y y y yy y y y dx d dx y d -=--⋅=-'⋅'--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3.对数求导法先在y=f(x)两边取对数，然后用隐函数求导法求出导数——对为幂指函数及连 积。
例1：x x y =即不是幂指函数，又不是指数函数，称为幂指函数。
两边取对数 x x y ln ln = 两边对x 求导()()1ln 1ln 1ln 1+=+='⋅+='⋅x x x y y xx x y yx*()⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'=''+'='=>=u u v u v u u u v u v y y u uv u v y y uv y u u y v v ln ln 1ln 1ln ln 0ex: 22ln ln x x xy y y xy y yxxy--='=- 52 -例2：()()()()()()[]2ln 1ln 1ln 231ln 21132----+=--+=x x x y x x x y 假设x>4()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--+='⎪⎭⎫ ⎝⎛----+='2111122113121111231132x x x x x x y x x x y y讨论其它情形时可得同样的结果。
ex: ()()x baxtgx y x b x a b a y y x b a a x x b b a y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-='>>>⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ln 0,0,0二．由参数方程所确定的函数的导数 抛射体的运动轨迹方程：⎩⎨⎧-==22121gtt v y t v x x,y都是t 的函数，消去t ，得y 与x 之间的函数关系221221x v gx v v y -=，即为参数方程所确定的显式表示。
1．def:若参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ (1)确定y 与x 间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程(1)所确定的函数。
为求导数，有时消去参数很困难，希望能直接由参数方程算出它所确定函数的导数。
2.求导法则在(1)中，如果()t x ϕ=具有单调连续反函数()x t ϕ=，- 53 -且此反函数能与[]t y ψ=复合成复合函数，则由(1)所确定的函数可看成是由()()x t t y ϕψ==,复合而成的函数()[]x y ϕψ=,假若()t x ϕ=,[]t y ψ=都可导,且()0≠'t ϕ,由复合函数求导法则与反函数的导数公式,有()()t t dt dy dx dt dt dy dx dy dx ϕψ''=⋅=⋅=1 (2)此式即为求导公式。
也可写成dtdxdtdydx dy=若()t x ϕ=,[]t y ψ=二阶可导，则有二阶导数公式：()()()()()()()()()()()()()t t t t t t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d 32221ϕϕψϕψϕϕϕψϕψϕψ''''-'''='⋅''''-'''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=例1：求椭圆4sin cos π=⎩⎨⎧==t tb y t a x 在处的切线方程和法线方程。
()()224002122:0222:,sin cos ,2,2,,4b a by ax a x b a b y ab ay bx a x a b by a b dx dyt a t b dx dy b a y x t t -=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+⎪⎭⎫⎝⎛--=-∴-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛===法线方程切线方程ππex: tt tt dx dy te y t e x ttsin cos sin cos sin cos -+=⎪⎩⎪⎨⎧== 例2：求抛射体在时刻t 的运动速度的大小和方向。
由于速度的水平分量gt v dtdy v dtdx -==21,铅直分量,所以- 54 -速度的大小为()222122gt v v dt dy dt dx v -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=速度的方向即轨道的切线方向。
设切线倾角为α，则12v gt v dxdy tg -==α所以，在刚射出（t=0）时, 1200v v dx dy tg t t ====α;当gv t 2=时,02==gv t tg α,这时运动方向是水平的,抛射体达到最高点。
例3．设()()()⎩⎨⎧-'='=t f t f t y t f x ，其中f(t)为三阶可导且()22,0dx yd t f 求≠''()()()()()t f dx dt dx dy dt d dxy d t t f t f t f t t f dtdx dt dy dx dy ''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=='''-''+'==1,22 三.相关变化率设x=x(t),y=y(t)都可导，由于变量x,y 存在某种关系，从而变化率dtdy dtdx 与间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。
相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从一个求另一个。
例1：一气体储存器装有10003cm 的气体，其压力是5kg/cm 2，若压力以每小时0.05kg/cm 2的速率减少,试求其体积的增大率.- 55 -解:在等温状态下,P ·V=C (C 为常量),而V=1000时,P=5,从而C=5000即有时当,05.0,5000,500022h cm kg dtdP dtdP PdPdV PV ⋅-=∴-==()()h m c dt dV 31005.0255000=--=,即体积以10cm 3/h 的速率啬增加。
Ex:线段AB 长5cm ，其两端分别在x 轴，y 轴上，已知端点A 的滑动速度是2m/s ，问A 与坐标原点相距3m 时，端点B 的滑动速度是多少？（见图） 解：设滑动中点B 的纵坐标y=y(t)，点A 的横坐标x=x(t)，且假定t=0时，A 在原点。
()()()()()()()()()s m y B t x t x t x t x t x t y t x t y 23,2,32525222-='∴='=-'⋅-='∴-=的滑动速度为此时点已知。