隐函数的导数
3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
解
视 y y( x ) , 方程两边对 x 求导, 得 3 x 2 3 y 2 y 3 y 3 xy,
y
3 3 ( , ) 2 2
y x2 2 y x
3 3 ( , ) 2 2
1.
3 3 于是，所求切线方程为 y ( x ) , 即 x y 3 0 . 2 2
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例7 解
设 y x
sin x
( x 0), 求y.
ln y sin x ln x
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
例1 求 由 方 程 xy e x e y 0 所 确 定 的 隐 函 数y y( x )
dy dy 的导数 , x 0 . dx dx 解 视 y y( x), 方程两边对 x 求导 , 得
2 2 3 12x 2 y xy 12 y ( y ) 4 y y 0, 2
代入 x 0、 y 1 及
y x 0
y 1
1 得 4
y x 0
y 1
1 . 16
四、对数求导法
观察函数 方法:
( x 1)3 x 1 y , 2 x ( x 4) e
注意 y = y (x)
解得
dy 1 dy x cos y 0 dx 2 dx dy 2 dx 2 cos y
上式两边在对 x 求导，得
隐函数的导数(一个方程)
隐函数的导数（一）),(.1=y x F 由一个方程确定的隐函数隐函数存在定理1 设函数),(y x F 在点的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，0),(00≠y x F y ，则方程0),(=y x F 在点的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 yxF F dx dy -=.000P ()x y ，000P ()x y ，隐函数的求导公式(,)0()F x y y y x =−−→=则[],()0F x y x ≡x 等式两边同时对求导隐函数存在性的证明细微而复杂（从略）隐函数我们仅在隐函数存在的前提下推导导数公式0=⋅+=dxdyF F dx dF y x Fxy x（0）y F ≠.yx F F dx dy-=利用复合函数微分法例１ 验证方程0122=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导 数在0=x 的值.解令1),(22-+=y x y x F 则,2x F x =,2y F y =,0)1,0(=F ,02)1,0(≠=y F 依定理知方程0122=-+y x 在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且0=x 时1=y 的函数)(x f y =．函数的一阶和二阶导数为yxF F dx dy -=,y x -=,00==x dx dy222y y x y dx y d '--=2yy x x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛---=,13y-=.1022-==x dx yd例2 已知x yy x a r c t a n ln 22=+，求dxdy .解令则,arctan ln ),(22xyy x y x F -+=,),(22y x y x y x F x ++=,),(22y x xy y x F y +-=yxF F dx dy -=.x y y x -+-=隐函数存在定理2 设函数),,(z y x F 在点,(0x P ),00z y 的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0x F 0),00=z y ，0),,(000≠z y x F z ，则方程,,(y x F 0)=z 在点),,(000z y x P 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(y x f z =，它满足条件),(000y x f z =，并有 zxF F x z -=∂∂， z y F F y z -=∂∂.),,(.2=z y x F设F(x,y,z)=0确定z 是x,y 的函数=∂∂⋅+xzF F z x 0=∂∂⋅+yzF F z y 0)(≠z F .,zy z x F F y zF F x z-=∂∂-=∂∂Fx yzx y例3 设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解令则,4),,(222z z y x z y x F -++=,2x F x =,42-=z F z ,2zx F F x z z x -=-=∂∂22x z ∂∂2)2()2(z x z x z -∂∂+-=2)2(2)2(z z x x z --⋅+-=.)2()2(322z xz -+-=例4 设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy∂∂.思路：把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得x z∂∂，把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得y x∂∂，把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得zy∂∂.解令,z y x u ++=,xyz v =则),,(v u f z =把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得 x z ∂∂)1(xz f u ∂∂+⋅=),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得x z ∂∂,1vu v u xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y x yz xz f v ∂∂+⋅+整理得,v u v u yzf f xzf f ++-=yx ∂∂把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=zy f u ),(z y xz xy f v ∂∂+⋅+整理得zy ∂∂.1v u v u xzf f xyf f +--=小结一个方程确定的隐函数的导数0),,(.2=z y x F 0),(.1=y x F。
隐函数的导数
例如,
求 y′
例1. 求由方程 的导数 y′
例2. 求由方程
确定的隐函数
确定的隐函数
x2 y2 3 3 ) 处的切线方程。 1 在(2, 例 3．求椭圆 2 16 9
例4. 求由方程
的二阶导数 y ″
确定的函数
二、对数求导法
例5．求yx sin x (x>0)的导数。
例 6．求函数 y
例如
x 2t , 2 y t ,
2
x t 2
消去参数 t
x 2 x 1 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
2
x ( t ) 在方程 中, y ( t )
设函数x (t )具有单调连续的反函数t 1 ( x ), y [ 1 ( x )]
再设函数 x (t ), y (t )都可导 , 且(t ) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
dy (t ) 若 y(t)，x(t)，则 dx (t )
结束
小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;
第五节、隐函数的导数 由参数方程所确定函数的导数
隐函数的导数
对数求导法
由参数方程所确定函数的导数
一、隐函数的导数
定义: 设在方程 F ( x , y ) 0 中 , 当 x 取某区
间内的任意值时, 相应地总有满足这方程的 唯一 y 的值存在, 那么就说方程F ( x , y ) 0在 该区间内确定了一个隐函数y f ( x ) .
隐函数的导数
§2.６隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率一.隐函数的导数1.显函数；y=f(x)等号左端是因变量的符号，右端是只含自变量的式子能确定函数值。
隐函数：Ｆ(x,Y)=0也表示函数，确定了y=y(x). 显化——化隐函数为显函数。
有时不容易，甚至不可能。
但实际中需求其导数。
2.隐函数的求导方法由于F(x,y)=0确定了y=y(x),故在F(x,y)=0中，把y 看成x 的函数，则将F(X,Y)=0的两边同时对X 求导后再解出.y '如：122=+y x 两边对x 求导有yx y y y x -='∴='⋅+022例1：y=cos(x+y)求x y '()()()()y x y x y y y x y +++-='∴'++-='sin 1sin 1sin例2：y y x yx x yx y xy y x xyarctg'+⋅+=-'⋅++=221)(11ln 222222yx yx y x -+='ex:='=--='=-++y e xy xe ye y ex y y x xyxy xy,11,0例3：求曲线x 2+y 4=17在x=4处的切线方程。
()()())4(214211,41,41,42042213-=+--=-∴-∴±==-='='+x y x y P P y x yxy y y x 又 例4：求由方程0sin 21==-y y x ，确定的隐函数的二阶导数xd yd 22。
ydx dy y y y cos 220cos 211-=='⋅+'- ()()()()32222cos 2sin 4cos 2cos 22sin 2cos 2cos 2cos 22y y y yy y y y dx d dx y d -=--⋅=-'⋅'--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3.对数求导法先在y=f(x)两边取对数，然后用隐函数求导法求出导数——对为幂指函数及连 积。
隐函数的导数
例9
求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t )
在t
2
处的切线
方程
.
解
dy
dy dx
dt dx
a
a
sin t a cos
t
sin t dy 1 cos t dx
t os
1.
dt
当 t 时,
x a(
1),
y a.
2
2 所求切线方程为
2 ya
x a(
y的导数 y, y x0 .
x 0, y 0
解 设想把xy e x e y 0所确定的函数y y( x)
代入方程, 则得恒等式
xy e x e y 0
恒等式两边同时对x求导,得
( xy)x (e x )x (e y )x (0)
因为y是x的函数,
所以 e y是x的复合函数,
用复合函数求导法,
如
y
( x 1) 3 x 1 ( x 4)2 e x ,
y
x sin x .
方 法 先在方程两边取对数,
然后利用隐函数的
求导法求出导数.
--------对数求导法
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
例7 解
设
y
(
x (
x
1) 3 x 4)2 e
x
1
,
求y.
等式两边取对数得
ln
定义 由二元方程 F ( x, y) 0 所确定的函数
y y( x) 称为 隐函数(implicit function).
y f ( x)的形式称为 显函数.
F( x, y) 0
y f ( x) 隐函数的 显化.
第三章第四节隐函数的导数
d y (b sin t ) b cos t b k cot t d x (a cos t ) a sin t a
2 b 2 b 故 k t , x0 a cos a, y0 b sin 4 2 4 4 2 a
所求切线方程为：y ( x
y(t ) x(t ) y(t ) x(t ) 记 y x x y 3 3 ( x(t )) x
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Байду номын сангаас
注意 : 已知
?
对谁求导?
x a(t sin t ) 所确定的函数y ( x)的二阶导数. 例5 计算由摆线的参数方程 y a(1 cos t )
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例1. 求由方程 x3 y 3 6 xy确定的隐函数的导数. 解 方程两边对 x 求导
3x 2 3 y 2 y 6( y xy)
2 y x2 y 2 y 2x
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例2. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
有时像(3)这样的显函数用对数求导法求导很方便 .
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例6 求
的导数 .
解 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 sin x y cos x ln x y x sin x sin x y x (cos x ln x ) x
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结束
d y d dy dt 1 1 dt 1 2 dx dt dx dx f (t ) dx dx dt
举例说明隐函数的导数
隐函数是指将一个变量表示为另一个变量的函数，其中一个变量是显式的，而另一个变量是隐式的。
例如，函数 y=x^2+1 可以表示为 x=y^2-1，其中 y 是显式变量，而 x 是隐式变量。
在求隐函数的导数时，我们需要使用隐函数求导公式。
该公式表示为：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$
该公式的意思是，对于一个隐函数 y=f(x)，其导数可以表示为 $\frac{dy}{dx}$，而对于x=g(y) 这个隐函数，其导数可以表示为 $\frac{dx}{dy}$。
根据这个公式，我们可以将$\frac{dy}{dx}$ 表示为 $\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$。
举个例子，假设我们有一个隐函数 y=x^3+2x，我们要求其导数。
我们可以将其表示为
x=y^\frac{1}{3}-\frac{2}{3}y^\frac{-2}{3}。
根据隐函数求导公式，我们可以得到：
$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{-\frac{2}{3}y^\frac{-2}{3}}=\frac{-
3}{2y^\frac{-2}{3}}$$
这样，我们就求出了 y=x^3+2x 这个隐函数的导数。
2.5隐函数的导数
函数等) 时，在方程两边取对数，按隐函数的求 导法则求导 . 3. 参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数 定义 由方程 F ( x , y ) 0所确定的函数 y y( x ) 称为隐函数.形如 y f ( x )的函数称为显函数. 隐函数的显化 F ( x , y ) 0 存在问题 (1) 通常隐函数不易显化或不能显化; (2) 隐函数的求导方法? 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
1. 隐函数的导数 隐函数即由方程 F ( x , y ) 0 所确定的函数
2.5隐函数的导数
y f ( x ). 直接在方程 F ( x , y ) 0 两边对 x 求导再解出 y, 但应注意 F 对变元 y 求导时，
要利用复合求导法则 . 2. 对数求导法 当函数式较复杂(含乘、除、乘方、开方、幂指
完
例4 解
设 (cos y ) (sin x ) , 求 y'.
x y
在题设等式两边取对数
x ln cos y y ln sin x
等式两边对 x 求导, 得
sin y cos x . ln cos y x y' y' ln sin x y cos y sin x
解得
ln cos y y cot x y' . x tan y ln sin x
2t dy dy dt 1 t 2 2t . 1 dx dx dt 1 t2
的函数 y y( x )的导数.
解
完
x a ( t sin t ) 例 求由摆线的参数方程 y a (1 cos t ) 所表示的函数 y y( x ) 的二阶导数.
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dy dx
x0
6x y 5 x
x0 y 2
2 . 5
求隐函数在某一 点处的导数时应 特别注意什么？
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y e 例2 求方程 xy e 0所确定的隐函数 y f ( x ) 的导数．
解 方程两边同时对 x求导数，利用复合函数的求导法则
（注意，这里 y 是 x的函数），得
解 将方程的两边取对数，得
ln y x ln x,
由这个方程能说 y 隐函数！ 是 x 的函数吗？
上式两边对 x求导，注意到 y 是 x的函数 y( x ) ，得
1 1 y ln x x ln x 1, y x
对数 求导法
于是
y y ln x 1 x x ln x 1 .
解 由隐函数的求导法，得 于是
1 y cos y y 0,
下面应怎 么办？
1 y , 1 cos y
上式两边再对 x求导，得
(1 cos y )x 1 sin y y y ( )x , 2 2 1 cos y (1 cos y ) (1 cos y )
(a 0, b 0)
解
dy [3(sin cos )] 3 sin 3 tan . dx [2(cos sin )] 2 cos 2
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x 4cos t , 例8 已知椭圆的参数方程为 y 6sin t , 求它在 t 相应的点处的切线方程． 4
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求一般幂指函数 y u( x ) v ( x ) ( u( x ) 0) 的导数时，同样可以用 y e v ( x ) ln u( x ) ，也可以利用复 上述 “对数求导法”．但注意到 合函数求导法则求导．如
y ( x sin x ) (e sin xln x ) e sin xln x (sinx ln x)
e y y y xy 0, ( x e y ) y y,
y y . y xe
整理得 于是有
1. 方程左右两边对x求 导(注意y是x的函数, 因 此对y的函数求导时要用 复合函数求导法则). 2. 解方程，求出y’ (注意
总结一下求隐 函数的一阶导 数可分哪几步？
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由一阶微分形式的不变性，有
dy (t )dt ,
再由 t 1 ( x ) ，利用反函数求导法则得
1 dt dx , ( t )
代入 dy ( t )dt 得
( t ) dy dx , ( t )
于是
dy ( t ) . dx ( t )
于是
y
y 1 1 1 1 2 x 1 x 2 x 3 x 5
1 1 1 1 1 ( x 1)( x 2) . 2 x 1 x 2 x 3 x 5 ( x 3)( x 5)
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2 xy 3 x 5 y 10 0确定的隐函数 y f ( x ) 在 x 0 例1 求方程
点的导数． 解 用 y f ( x )替换 xy 3 x 2 5 y 10 0 中的 y，得
xf ( x) 3 x 2 5 f ( x) 10 0,
4 4Βιβλιοθήκη t43 . 2
由直线的点斜式方程，可得所求的切线方程为
3 y 3 2 ( x 2 2), 2
即
3 x y 6 2 0. 2
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例9 根据前面所给的抛射体的运动轨迹方程
y
v2
v
v1
O
x
其中g为重力加速度，t为时间. 某时刻 t 时，炮弹在铅垂平面内所在位置的横坐标 x 与纵 坐标 y，它们都与 t 存在函数关系. 如果把对应于同一个 t 的 x,y 的值看作对应的，这样就得到 x 与 y 之间的函数关系． 利用代入消元法，消去参数 t 得到 y
v2 g x 2 x2 . v1 2v1
则称方程 一的y与之对应， 因此我们说这条曲线 (或者方程x2+y3+siny=2) 在区间 确定了一个函数y=f(x)， 称其为由该方程确定的隐函数 .
y
x 2 y 3 sin y 2
y
O
x
x
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一、隐函数的导数
一般地 如果在一定条件下，对于某区间I上的任意一个值x， 通过方程 F ( x , y ) 0, 相应地总有满足这个方程的唯一的实数y 则称方程 F ( x, y ) 0 在区间I上确定了一个隐函数. 存在， 相应的，诸如
？
？
将上边求得 y 的结果代入，得
1 sin y 1 cos y y . 2 3 (1 cos y ) (1 cos y ) sin y
下面又应 怎么办？
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您看求隐函数的二阶导 数的步骤可分几步？其 中需要特别注意什么？
1. 方程左右两边对x求导(注意y是x的函数). 2. 解方程，求出y’的表达式.
y’表达式中即含有x，也 含有 y).
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例3
3 x2 y2 求椭圆 1 上点 (1, ) 处的切线方程． 2 4 3
讨论：要求切线方程，关键要找到什么？ 解 由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为该方程所确定 的隐函数在点 (1, 3 ) 处的导数.
x2 y2 2 x 2 yy 原方程两边分别对 x 求导，得 ( ) (1) 0. 4 3 4 3 3x 解得 y . 4y
若 x (t ), y (t ) 在区间 ( , ) 内可导，并且 (t ) 0, 则有
dy ( t ) . dx ( t )
（参数方程求导计算公式）
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例7 求由参数方程
x 2(cos sin ), y 3(sin cos ), dy 所确定的函数 y y( x ) 的微商 . dx
y ln( x 1) e x , y sin x .
y
x 2 y 3 sin y 2
等由自变量x的解析式表示的函数称作显函数．
y
O
x
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x
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把一个隐函数化为显函数，就称隐函数显化. 例如： x 2 y 3 1 0 隐函数显化
y 3 1 x2
由方程 x 2 y 3 sin y 2 x 2 y 3 sin y 2 隐函数 不能解出y来，因此该 能化为显函数吗？ 隐函数不能显化. 并不是任意一个隐函数都能显化的. 我们关心的是，若 方程在某区间内确定了一个可导的隐函数，能否不对它进行 显化而直接由方程求出它的导数呢？
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一般地，若参数方程
x ( t ), y ( t ),
t
确定了y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表达的 函数为由上述参数方程所确定的函数． 下面我们来研究求参数方程所确定的函数的导数: 如果在上述参数方程中函数 x ( t ) 具有单调连续的 反函数 t 1 ( x ) ， 并且 t 1 ( x )与函数 y ( t ) 可以构成 复合函数，其中t 为中间变量．
3. y’的表达式(或求导后方程)左右再对x求导(注意y和y’都 是x的函数).
4. 将y’代入到上面求出的y’’中(注意y’’表达式中即含有x， 也含有 y).
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x 例5 求 y x ( x 0, x 1) 的导数.
讨论: 这是一个幂指函数, 既不能按照幂函数求导, 也不能按照 指数函数求导. 你想怎么解决这个矛盾？若方程左右两边同时 取对数, 能解决问题吗？
2
3x 因此，所求切线斜率 k 4y
x 1 3 y 2
3 1 从而，所求的切线方程为 y ( x 1) x 2 y 4. 2 2
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31 1 . 3 2 4 2
d2y 例4 求由方程 x y sin y 0 所确定的隐函数的二阶导数 2 . dx
方程两边同时对 x 求导数，得
f ( x ) xf ( x ) 6 x 5 f ( x ) 0,
解方程即可求得
f ( x ) 6 x f ( x) 6 x y . 5 x 5 x
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注意到 y 是 x 的函数这一事实，我们可以不必像上边那
样去作代换，而直接将方程两边同时对 x 求导数，有
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例6 求 y
( x 1)( x 2) 的导数. ( x 3)( x 5)
解 :将方程的两边取对数（假定 讨论 这个题目复杂吗？原因是什么？如果能“积化和差”好 x 5 ），得 ( x 1)( 求导吗？怎么能“积化和差” ? x 2)
ln y ln ( x 3)( x 5) ,
第二章 导数与微分
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第五节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
四、数学建模的实例
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一、隐函数的导数
函数y=f(x)表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关 系的表示形式是多种多样的。 例如：从下图中可以看到，对每一个x通过这条曲线都能有唯
( xy 3 x 2 5 y 10) 0,
即
y x
dy 解这个关于 的方程，得 dx dy 6 x y , dx 5 x