(整理)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.2.2)--第二类曲线积分和第二类曲面积分
习题10.21. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.(1) 2d d Cx y x x y -⎰, 其中C 为曲线3y x =上从点(1,1)--到点(1,1)的弧段； (2) d d d LP x Q y R z ++⎰, 其中L 为曲线32===t z t y t x ,,上相应于参数t 从0变到1的弧段.2. 计算曲线积分22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1)：(1) OA 为直线段x y =； (2) OA 为抛物线段2=x y ； (3) OA 为0=y ,1=x 的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：(1)d d ||||C x yx y ++⎰，其中C 为1||y x =-上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)-的折线段；(2) d d C y x x y +⎰, 其中C 为⎩⎨⎧==t a y t a x sin ,cos π:04t ⎛⎫→ ⎪⎝⎭； (3) 222()d 2d d Ly z x yz y x z -+-⎰, 其中L 为⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ,,(:01)t →.(4) ()d ()d ()d L z y x x z y y x z -+-+-⎰, 其中L 为椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正向看去, L 取顺时针方向.4. 计算下列变力F 在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.(1) ),(2xy y x -=F , 沿平面曲线34()(,)t t t =r 从参数0t =到1t =的点. (2) ),,(22z xy x =F , 沿空间曲线2()(sin ,cos ,)t t t t =r 从参数0t =到π2t =的点. 5. 设变力F 在点(,)M x y 处的大小||||||||k =F r ，方向与r 成2π的角, 其中OM =r (图10-38)，试求当质点沿下列曲线从点)0,(a A 移到点),(a B 0时F 所作的功：(1) 圆周222=+a y x 在第一象限内的弧段； (2) 星形线323232=+a y x 在第一象限内的弧段.6. 在过点(0,0)O 和(π,0)A 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线C ，使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)d (2)d Cy x x y y +++⎰的值最小.7. 把第二类曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化为第一类曲面积分：(1) ∑为平面x z a +=被柱面222x y a +=所截下的部分, 并取上侧；图 10-38xyOM (x , y )Fr(2) ∑为抛物面222y x z =+被平面2y =所截下的部分, 并取左侧. 8. 计算下列第二类曲面积分：(1) 2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分, 并取上侧；(2) 22d d xy z x y ∑⎰⎰, 其中∑为球面2222=++R z y x 的下半部分, 并取外侧；(3)2e d d e d d d d yxy z y z x xy x y ∑++⎰⎰, 其中∑为抛物面22z x y =+ (01x ≤≤,1≤≤0y ), 并取上侧；(4)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2221xy z ++=位于第二卦限部分,并取外侧； (5)d d d d d d xy y z yz z x zx x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(6) 2222d d d d x y z z x y x y z ∑+++⎰⎰, 其中∑为圆柱面222x y R +=与平面z R =和z R =- (0)R >所围立体的表面, 并取外侧；(7)d d (1)d d y z x z x y ∑-++⎰⎰, 其中∑为圆柱面4=+22y x被平面2=+z x 和0=z 所截下的部分, 并取外侧； (8)2d d d d d d y y z x z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z v =，(01u ≤≤, 0πv ≤≤), 并取上侧.9. 计算下列流场在单位时间内通过曲面∑流向指定侧的流量：(1) ),(),,(222z y x z y x =v , ∑为球面1=++222z y x 第一卦限部分, 流向上侧； (2) ),,(),,(22y xy x z y x =v , ∑为曲面22+=y x z 和平面1=z 所围立体的表面, 流向外侧.。
高等数学下第十章练习题答案.ppt
简便方法：
M
1 3
x2 y2 dS
y2 z2 dS
z2
x2
dS
2 x2 y2 z2 dS 3
2 3
a2
dS
2 a2 4a2 8 a4 .
3
3
六、计算
xdydz x2
y
z
2
2dxdy z2
,
是由曲面
x2 y2 R2 , z R, z R (R 0) 所围的立体表面的外侧.
直接用格林公式
D
C
ydx (e y2 x)dy L
D
Q x
P y
dxdy
oA B
x
2 dxdy 212 2
D
4 ．
(e x sin y y 1)dx (e x cos y x)dy,
L
L
是以点
A(1,0), B(5,0) 为直径的两端点的下半圆周，且从 A
到 B 为正方向.
y
高等数学第十章自测题解答
一、计算下列曲线积分
1． L (3 y x)ds, L 是连接点 A(3,3) 和点 B(3,1)
的直线段.
直线方程： y 3 1 ( x 3) 3
ds 1 y2 dx 1 1 2 dx 10 dx,
3
3
原式
3
(9 ( x 3) x)
10 dx 12 10.
2 24 16
又 x2z2dxdy x2dxdy
1
1
Dxy
4
2 d
1 r 3 cos 2 dr 4 1 1 ,
0
0
22 4 4
原式 5 9 .
1 1
16 4 16
(第六部分)曲面积分习题解答
第十章 曲线积分与曲面积分(第六部分)曲面积分习题解答一、对面积的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑++dS y x z )342(，其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分． 分析 因为∑：1432=++z y x ，可恒等变形为∑：y x z 3424--=，又因被积函数y x z 342++与∑形式相同，故可利用曲面方程来简化被积函数，即将4342=++y x z 代入，从而简化计算。
解 平面∑方程的为)321(4yx z --=（如图）， ∑在xoy 面上的投影区域xy D ：0,0,132≥≥≤+y x yx ；34,2-=∂∂-=∂∂y z x z ，面积元素 dxdy dxdy y z x z dS 361122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 从而 ⎰⎰⎰⎰⋅=++∑xyD dxdy dS y x z 3614)342( 61432213614=⋅⋅⋅=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x |)|(，其中∑为1||||||=++z y x .解 由对称性可知，=⎰⎰∑xdS ，由轮换对称性和代入技巧知，⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑=++=dS dS z y x dS y 31|)||||(|31||，再由曲面积分的几何意义知，34238=⋅=⎰⎰∑dS ，所以，334|)|(=+⎰⎰∑dS y x.y二、对坐标的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑dydz x 2．其中∑为球面2222R z y x =++在第一卦限部分的上侧。
分析 由于∑不是封闭曲面，且只是对坐标z y ,的曲面积分，故直接计算即可。
解 因∑：222z y R x --=取前侧，且∑在yoz 面上的投影区域为0 ,0 , :222≥≥≤+z y R z y D yz .于是得 ⎰⎰∑dydz x 2dydz z y R yzD ⎰⎰--=)(222⎰⎰⋅-θ=πRrdr r R d 02220 )( 402228141212R r r R Rπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑++=ydzdx xdydz zdxdy I ．其中∑是柱面122=+y x 被平面0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。
第10章 曲线积分与曲面积分 习题 10- (7)
dxdy ∂ ∂z x− y
a
a
y
x
图 10.50
= ∫∫ −2dydz − 2dzdx − 2dxdy
∑
(化为非组合曲面积分)
1
b 2(a + b) = −2∫∫ ( + 0 + 1)dxdy = − ∫∫ dxdy a a ∑ ∑
=−
2(a + b) 2(a + b) 2 ∫∫ dxdy = − a ⋅ πa = −2πa(a + b). a D
如图 10.55 所示, 取 ∑ 为平面 z = 0 上被 Γ 所围的部分, 取上侧, 则 Γ 是 ∑ 的正向边 界. 利用斯托克斯公式, 可得
3
∫ Γ ( x − z )dx+(x
= ∫∫
∑
3
+yz )dy − 3 xy 2 dz dxdy ∂ ∂z
z
2
dydz ∂ ∂x
dzdx ∂ ∂y
z = 2 − x2 + y 2
3 3 3
∑
z3
x3
y3 O
z = 2( x 2 + y 2 )
1
= ∫∫ 3 y 2 dydz + 3z 2 dzdx + 3x 2 dxdy
∑
y
x
图 10.54
= ∫∫ 3x 2 dxdy =
∑
Dxy
∫∫ 3x dxdy
2
= 3∫ cos 2θ dθ ∫ ρ 3dρ =
0 0
2π
1
3 π. 4
2. (1)
rot r ;
i
(2)
j
rot[ f (r ) r ].
(完整版)曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
高等数学曲线积分与曲面积分试卷及答案解析
一、选择题1. 设有曲线222:r y x C =+，0≥y ，其中0>r 为常数，则对弧长的曲线积分()⎰+Cds y x22的值为（ ）A. 2r π； B. 3r π； C. 4r π； D. 32r π.2. 简单闭曲线L 所围成的区域的面积为S ，L 取逆时针方向，则S 为 （ ） A.⎰-L ydy xdx 21； B. ⎰-L xdx ydy 21； C. ⎰-L xdy ydx 21； D. ⎰-Lydx xdy 21. 3. 设平面曲线C 是从点)1,1(到点)3,2(的直线段，则对坐标的曲线积分()⎰=-+Cdy x y xdx 2（ ）A. 4-；B. 4；C. 2；D. 6.4. 设有平面闭区域},|),{(a y x a x a y x D ≤≤≤≤-=，},0|),{(1a y x a x y x D ≤≤≤≤=，则 =+⎰⎰dxdy y x xy D)sin cos (（ ） A. ydxdy x D sin cos 21⎰⎰； B. xydxdy D 12⎰⎰； C. ydxdy x D sin cos 41⎰⎰；D. 0.5. 设封闭曲线L 由直线0=x ，0=y ，2=x 4=y 所围成，取逆时针方向，则曲线积分()⎰=-+-Ldy xy y dx xy x 2)2(22 （ ）A. 3816+-； B. 31616--； C. 32-； D. 16-. 6. 若L 为由点)0,0(O 到点(,0)B π的曲线弧sin ,y x =则L=ydx xdy +⎰（ ）A. 4ab π；B. 0；C. 3ab π； D. ab π.二、判断题1. 设开区域是D 是一个单连通域，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数，则在D内xQ y P ∂∂=∂∂的充要条件是曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在D 内与路径相关. （ ）2. 在D 上，1),(=y x f ，S 为D 的面积，则S d y x f D=⎰⎰σ),(. （ ）3. 格林公式是斯托克斯公式的推广.（ ）《 高等数学 》 曲线积分与曲面积分测试题14. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分⎰⎰⎰⎰=∑xyD d y x f dS z y x f σ)0,,(),,(.（ ）5. 第一类曲线积分只与曲线的起点和终点有关.（ ）6. 曲线积分cydx xdy -⎰与路径无关。
最新10曲线积分和曲面积分习题与答案汇总
10曲线积分和曲面积分习题与答案第十章曲线积分和曲面积分（A）1、计算下列对弧长的曲线积分1）«Skip Record If...»，其中：«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»3）«Skip Record If...»其中T为折线ABCD，这里A，B，C，D依次为点（0，0，0），（0，0，2），（1，0，2），（1，3，2）4）«Skip Record If...»其中L：«Skip Record If...»2 、计算下列对坐标的曲线积分1）«Skip Record If...»其中L是«Skip Record If...»上从（0，0）到（2，4）的一段弧2）«Skip Record If...»其中L是«Skip Record If...»及x轴围成的在第一象限内的区域的整个边界（逆时针向）3）«Skip Record If...»其中T为有向闭折线ABCA，这里A，B，C依次为点（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1）4）«Skip Record If...»，其中L是«Skip Record If...»上从点（-1，1）到（1，1）的一段弧3、利用格林公式，计算下列曲线积分1）«Skip Record If...»其中L为三顶点分别为（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形正向边界2）«Skip Record If...»其中L为正向星形线«Skip Record If...»3）«Skip Record If...»其中L为抛物线«Skip Record If...»上由（0，0）到（«Skip Record If...»的一段弧4、验证下列«Skip Record If...»在整个«Skip Record If...»面内是某个«Skip Record If...»的全微分，并求这样的«Skip Record If...»1）«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»5 、计算下列对面积的曲面积分1）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为平面«Skip Record If...»在第一卦限中的部分2）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为锥面«Skip Record If...»被柱面«Skip Record If...»所截得的有限部分6 、计算下列对坐标的曲面积分1）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»是球面«Skip Record If...»的下半部分的下侧2）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»是平面«Skip Record If...»围成区域的整个边界曲面的外侧7 、利用高斯公式计算曲面积分1）«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为球面«Skip Record If...»的外侧2）«Skip Record If...»«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为界于«Skip Record If...»之间的圆柱体«Skip Record If...»的整个表面的外侧8 、求下列向量的散度1）«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»9、求下列向量场A的旋度1）«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»(B)1、一段铁丝成半圆形«Skip Record If...»，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量.2、把«Skip Record If...»化为对弧长的曲线积分，其中L为«Skip Record If...»从点A（-1，1）到B（1，1）的弧段.3、把«Skip Record If...»化成对弧长的曲线积分，其中«Skip Record If...»为曲线«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»一段弧.4、求心形线«Skip Record If...»所围图形的面积.5、求«Skip Record If...»，其中：«Skip Record If...»为«Skip RecordIf...»从A（1，0）到B（0，1）.6、把«Skip Record If...»化为对面积的曲面积分，其中1）«Skip Record If...»是平面«Skip Record If...»在第二卦限部分上侧2）«Skip Record If...»是«Skip Record If...»上侧7 、«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为锥面«Skip Rec ord If...»的上侧.8、«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为柱面«Skip RecordIf...»与平面«Skip Record If...»的交线，从z轴正向看«Skip Record If...»为逆时针方向.（C）1、计算«Skip Record If...»其中：L：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»从X轴正向看去L为逆时针.2、已知曲线积分«Skip Record If...»其中L为«Skip Record If...»正向，求（1） R为何值时«Skip Record If...»;（2）求«Skip Record If...»的最大值.3 、计算«Skip Record If...»«Skip Record If...»,其中：«Skip Record If...»连续，«Skip Record If...»为«Skip Record If...»在第Ⅳ卦限部分的上侧.第十章曲线积分和曲面积分习题答案（A）1、1）«Skip Record If...» 2)«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»2、1）«Skip Record If...» 2）«Skip Record If...» 3）«Skip Record If...» 4）«Skip Record If...»3、 «Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»4、«Skip Record If...» «Skip Record If...»5 、«Skip Record If...» «Skip Record If...»6 、«Skip Record If...» «Skip Record If...» 7、 «Skip Record If...» «Skip Record If...»8、 «Skip Record If...» «Skip Record If...»9、«Skip Record If...» «Skip Record If...»（B）1、提示：«Skip Record If...»，上半圆«Skip Record If...»2、提示：«Skip Record If...»«Skip Record If...»3、提示：«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»4、«Skip Record If...»5、连OA，OB，（O（0，0）），使OA，OB，L构成«Skip Record If...»圆周，«Skip Record If...»于是«Skip Record If...»=0而«Skip Record If...»6、«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
十章(部分)曲面积分习题
1 / 1 第十章 曲线积分与曲面积分(第六部分)曲面积分习题解答一、对面积的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑++dS y x z )342(，其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限中的部分． 2. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x |)|(，其中∑为1||||||=++z y x .二、对坐标的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑dydz x 2．其中∑为球面2222R z y x =++在第一卦限部分的上侧。
2. 计算曲面积分⎰⎰∑++=ydzdx xdydz zdxdy I ．其中∑是柱面122=+y x 被平面0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。
3. 计算曲面积分⎰⎰∑++-+=dxdy z y dzdx z y x dydz xzI )2()(2222．其中∑为上半球体222a y x ≤+，2220y x a z --≤≤的表面外侧。
4. 计算曲面积分⎰⎰∑+++++=dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f I ]),,([]),,(2[]),,([ 其中) , ,(z y x f 为连续函数，∑是平面1=+-z y x 在第四卦限部分的上侧。
5． 设)(u f 具有连续导数，计算曲面积分dxdy z z y f y dzdx y z y f z dydz x I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∑33311 其中∑为由22y x z +=和2=z 所围成区域的外侧。
6.计算曲面积分⎰⎰∑++++=23222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz I ，其中∑为曲面911625122)()(-+-=-y x z )(0≥z 的上侧。
7． 求力k x j z i y F ++=沿有向闭曲线Γ所作的功，其中Γ为平面1=++z y x 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，从z 轴正向看去，沿顺时针方向。
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第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。
解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。
解 :45Lxydx =⎰。
（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。
（6）()()()L I z y dx x z dy x y dz =-+-+-⎰，L 为椭圆周22 1 ,2 ,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正方向看去，L 取顺时针方向。
解: 2π=-。
习题10—31. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:(1) 星形线33cos ,sin ,x a t y a t ⎧=⎨=⎩ (02t π≤≤)；） 解: 238a π=。
(2) 圆222x y by +=，（0b >）； 解: 2b π=。
2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1) ()(3)Ly x dx x y dy -++⎰，其中L 是圆9)4()1(22=-+-y x ，方向是逆时针方向；解: 18π=。
(2))Lydx x dy +⎰，其中L 是依次连接(1,0),A -(2,1),B (1,0)C 三点的折线段，方向是顺时针方向。
解 :2 . (3)(sin )(cos )x x Le y my dx e y m dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为圆222x y ax+=上从点(,0)A a 到点(0,0)O 的一段有向弧； 解 : 212m a π=0-212m a π=。
(4) 22L xdy ydx x y -+⎰，其中L 为椭圆2241x y +=，取逆时针方向；解 202d πθπ==⎰．(5)L u ds n ∂∂⎰，其中22(,)u x y x y =+，L 为圆周226x y x +=取逆时针方向，u n∂∂是u 沿L 的外法线方向导数。
解 36L uds nπ∂=∂⎰。
3 证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值: (1)(2,1)(0,0)(2)(2)x y dx x y dy ++-⎰；解 令2P x y =+，2Q x y =-，则1P y ∂=∂Q x∂=∂在整个yo0(0,0)(2,0)A a xxOy 面内恒成立，因此，曲线积分(2,1)(0,0)(2)(2)x y dx x y dy ++-⎰在整个xOy 面内与路径无关。
为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有(2,1)(0,0)(2)(2)x y dx x y dy ++-⎰41=+5=。
(2)(,)22(0,0)(2cos sin )(2cos sin )x y x y y x dx y x x y dy -+-⎰；解 令22cos sin P x y y x =-，22cos sin Q y x x y =-，则2(sin sin )P y x x y y ∂=-+∂Q x∂=∂在整个xOy 面内恒成立，因此，(,)22(0,0)(2cos sin )(2cos sin )x y x y y x dx y x x y dy -+-⎰在整个xOy 面内与路径无关。
为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有(,)22(0,0)(2cos sin )(2cos sin )x y x y y x dx y x x y dy -+-⎰22cos cos x y y x =+。
（3）(1,2)(2,1)()()x dx y dy ϕψ+⎰，其中()x ϕ和()y ψ为连续函数。
解 令()P x ϕ=，()Q y ψ=，则0P y ∂=∂Qx∂=∂在整个xOy 面内恒成立，因此，曲线积分(1,2)(2,1)()()x dx y dy ϕψ+⎰在整个xOy 面内与路径无关。
为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有(1,2)(2,1)()()x dx y dy ϕψ+⎰12()x dx ϕ=⎰21()y dy ψ+⎰。
4 验证下列(,)(,)P x y dx Q x y dy +在整个xOy 面内为某一函数(,)u x y 的全微分，并求出这样的一个(,)u x y ：（1）ydy x dx y x cos )sin 2(++； 解 令y x P sin 2+=，y x Q cos =y xQcos =∂∂，y y P cos =∂∂ ∴ 原式在全平面上为某一函数的全微分，取)0,0(),(00=y x ，⎰+=),()0,0(),(y x Qdy Pdx y x u =y x x sin 2+（2）2222(2)(2)x xy y dx x xy y dy +-+--；解 因为222P x xy y =+-，222Q x xy y =--，所以Qx∂∂22x y =-P y ∂=∂在整个xOy 面内恒成立，因此，：在整个xOy 面内，2222(2)(2)x xy y dx x xy y dy +-+--是某一函数(,)u x y 的全微分，即有2222(2)(2)x xy y dx x xy y dy du +-+--=。
易知 (,)u x y 32231133x x y xy y C =+--+。
（3）(1sin )(2sin )cos x x e y dx e y ydy +++。
解 令(,)(1sin )x P x y e y =+，(,)(2sin )cos x Q x y e y y =+，则在全平面上有 cos x Q Pe y x y∂∂==∂∂，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上， (1sin )(2sin )cos x x e y dx e y ydy +++是全微分．(,)u x y 21sin sin x x e e y y =-++．5 可微函数(,)f x y 应满足什么条件时，曲线积分(,)()Lf x y ydx xdy +⎰与路径无关？解 令(,)P yf x y =，(,)Q xf x y =，则(,)(,)y P f x y yf x y y ∂=+∂，(,)(,)x Q f x y xf x y x∂=+∂。
当P y ∂∂Qx∂=∂，曲线积分(,)()L f x y ydx xdy +⎰在整个xOy 面内与路径无关。
习题10—41 当∑为xOy 面内的一个闭区域时,曲面积分(,,)f x y z dS ∑⎰⎰与二重积分有什么关系?答 当∑为xOy 面内的一个闭区域D 时，∑在xOy 面上的投影就是D ，于是有 (,,)f x y z dS ∑⎰⎰(,,0)Df x y dxdy ⎰⎰。
2 计算曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是（1）锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面；解 11)2π=。
（2）yOz 面上的直线段0z yx =⎧⎨=⎩(01)z ≤≤绕z 轴旋转一周所得到的旋转曲面。
解。
3 计算下列曲面积分: (1)dS ∑⎰⎰，其中∑是抛物面在xOy 面上方的部分：222()z x y =-+,0z ≥； 解：13π3=.(2)()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑是上半球面2222x y z a ++=,0z ≥； 解： 330ππa a =+=.（3）3()22y z x dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z++=在第一卦限的部分；（4）221dS x y ∑+⎰⎰，其中∑是柱面222x y R +=被平面0z =﹑z H =所截得的部分. 解1221dS x y ∑=+⎰⎰πH R . 同理可求得2221dS x y ∑+⎰⎰πH R =.所以 221dS x y ∑+⎰⎰2πHR =.4 求抛物面壳221()2z x y =+（01z ≤≤）的质量，此壳的密度为z ρ=。
解2π1)15=.习题10—51当∑为xOy 面内的一个闭区域时,曲面积分(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰与二重积分有什么关系?答 当∑为xOy 面内的一个闭区域时, ∑的方程为0z =。
若∑在xOy 面上的投影区域 为xy D ，那么(,,)(,,0)xyD R x y z dxdy R x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰，当∑取上侧时，上式右端取正号; 当∑取下侧时，上式右端取负号。
2 计算下列对坐标的曲面积分:(1) ()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑是以坐标原点为中心，边长为2的立方体整个表面的外侧；解 ：()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰24=.（2）2()z x dydz zdxdy ∑+-⎰⎰，其中∑为旋转抛物面221()2z x y =+介于0,2z z ==之间部分的下侧。
解：2()d d d d zx y z z x y ∑+-⎰⎰8π=。