高数第十章线面积分习题和答案
同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分
第十章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长地曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程x =x t L ：y =y tx = x(t ) L:<y = y(t )"z(t )Lf x,y,z ds - 注意：上限一定要大于下限1.计算下列对弧长地曲线积分<1) \(x 2y 2)2ds ,其中 L 为圆周 x 2y 2=a 2； 解：法一：Q|jx2+y 2)2ds = |J L (a 2)2ds二玄仁 ds =a 4(2二a) =2二a 5法二：_L x =acosv L: 0 心：:2二,匸(x 2 y 2)2ds2二 2 2 2 2 2[a cos ： a si n ] -asi na cos d ：2二 5 . 5ad^ - 2「a<2) \e x yds ,其中L 为圆周x 2■ y 2=a 2,直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成地扇形ba 兰t 兰b ,则(f (x, y ps= f a f(x (t ), y(tddbafxt ,y t ,zt解：忆e 拧%s = ( & +廟+ J BO 卅“ ds ,其中故口 e^iyds=e a(2+ — a) -2匕 4<3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2-1上介于x =0与x=1之间地一段弧;「X =x解：由 L:20<x<1，得、y=2x -1l xds 二 ° x 1亠〔4x 2dx2 3_2(1+16x)2o_17用-1 -32-48<4) L y 2ds ,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 — t — 2二)； 解: .L y 2ds = ：0〔a(1-cost)『」a 1-cost ]2a si nt^dt2TI 5=V2a 3「(1 —cost)2dtx = x x = a cos—— x = x 、2 OA: ,0_x_a ,AB:,0, BO: 0_x a y =0 y =as in 4 y = x 2f e x 旳 ds =『少尺 J 12 +02 dxoA-0aoa二ABey ds 二ABe ds二 e ABds4<或]e x 七ds■AB=[4 e ' 严"巧塔“巧 J (一 a sin 盯 + (acos日 j d 日JI4 e a ad ) 4a 二 BO-a-2-2匸2a 一2 2 -------- ■ 2 e x 2 x 2,12 12dx 0-1 a二5二 迈a 3 ： (2sin 2*)2dt =8a 3J6a 3siJI353= 32a 2sin 如-32a」0x 2+y 2+z 2=22 2]x = cosT解：由」 丫，得2X 2+Z2=2,令 < 厂 0兰日兰2兀y = xz = \ 2 sin 71x= cos 日sin 5 -dt <令—-v4 2 256 3a5 3 15<5) “L xyds ，其中L 为圆周x 2 y 2 =a 2 ； 解：利用对称性J |xyds = 4jJxyds ,其中 Lix = a cos 日 0<6y = a sinJI< 一2[xy ds = 4『xy ds = 4 fxyds迟,=4 02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv"a 3jcosrsin=2a 3sin =-2a 3<6)-x 2y 22ds ,其中-为曲线 z 2X =e t cost ,y =e t si nt ,z =e t 上相应于 t 从 0 变到 2 地------ 2 -- 1 ---- 2 ---- cost )]2 +[(£ sin t )]2 +e 2t dte tcost ]亠[d sin t ]亠[d =—fe^dt =^(1 —e‘) 2 02<7)广yds ,其中-为空间圆周:x 2 + y 2 + z 2 =2』=x弧段; 解：故丫: * y = cos日0兰日乞2兀.故z = J2s in。
高数第10章经典类型题参考答案
第十章 经典类型题一、二重积分的计算（1）直角坐标系1.画出积分区域，并计算二重积分2+1x D e dxdy ⎰⎰（），其中D 是由x 轴，x y =及1x =所围成的闭区域。
解：2+1x D e dxdy ⎰⎰（）1=.2e 2.计算二重积分D σ⎰⎰，其中D 是由2与1y x y ==所围成区域。
解：D σ⎰⎰4=-.153.计算二重积分2Dx dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线2,3,y x y x ===所围成的闭区域. 解：83.12D xdxdy =⎰⎰ 4. 计算二重积分sin d d ,D x x y x ⎰⎰其中D 是直线2,y x x π==及x 轴所围成的闭区域. 解:sin d d =4.D x x y x ⎰⎰5.计算二重积分22D x dxdy y⎰⎰，其中D 是直线12,,2y y x x x ===所围成的闭区域。
解： 22=3.D x dxdy y⎰⎰ （2）极坐标系6.计算二重积分22x y D e dxdy +⎰⎰,其中D 是由中心在原点,半径为a 的圆周所围成的闭区域. 解：222+(1).x y a D edxdy e π-=-⎰⎰7. 计算二重积分Dx σ⎰⎰2d ，其中D 是圆x y +=221所围成的闭区域。
解: 1.4D x σπ⎰⎰2d =22arctan,1D y dxdy D x y x+=⎰⎰8. 计算其中是由直线y=x,x 轴和围成的在圆周第一象限的闭区域。
. 解：2arctan .64Dy dxdy x π=⎰⎰ 9.计算二重积分cos()D x σ⎰⎰22+y d ，其中D是由直线,y x =轴和圆4x y +=22所围成的在第一象限的闭区域。
解: 2cos(D x σ⎰⎰2+y )d sin 4π6=. 二、三重积分的计算10.计算()⎰⎰⎰++V dxdydz z y x sin ，其中V 是平面2π=++z y x 和三个坐标平面所围成的区域。
(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)
于是所求的曲面积分为
.
（2） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧。
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面 上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（3） ，其中 为 ， 的上侧；
解 在 面上的投影为半圆域 ， ，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（4） ，其中 是由平面 ， ， ， 所围成的四面体的表面的外侧。
，
其中 为上半球面 ， ， ，故
，
其中 是 在 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得
= ，
是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得
，
故
。
解法2设球面方程为 ，定直径在 轴上，依题意得球面上点 的密度为 ，从而得球面的质量为 ，由轮换对称性可知： ，故有
．
2设某流体的流速为 ，求单位时间内从圆柱 ： （ ）的内部流向外侧的流量（通量）。
，其中 从 变到 ，
故
。
解法2作有向线段 ，其方程为
，其中 从 变到 ，
则有向曲线 与有向线段 构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为 ，由格林公式，有
，
即
，
而
，
故
。
3．计算 ,其中 为平面 在第一卦限中的部分；
解 将曲面 投影到 面上，得投影区域为 ，此时曲面方程可表示为
，
于是
，
。
4. 计算 ,其中 是球面 的上半部分并取外侧；
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以 取下侧， 取后侧， 取左侧， 取上侧。于是
高数 厦门理工高数作业答案线面积分
厦门理工高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分系 专业 班 姓名 陈 跃 强 学号 0806012243第一节 对弧长的曲线积分一．选择题1．设L 是连接)0,1(-A ，)1,0(B ，)0,1(C 的折线，则()Lx y ds +=⎰[ B ]（A ）0 （B ）2 （C ）22 （D ）22．设L 为椭圆13422=+y x ，并且其周长为S ，则22(3412)L x y ds ++⎰ = [ D ] （A ）S （B ）6S （C ）12S （D ）24S二．填空题1．设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则曲线积分22()Lx y ds +=⎰2．设L 是由点O(0,0)经过点A(1,0) 到点B(0,1)的折线，则曲线积分()Lx y ds +=⎰三．计算题 1．22()n Lx y ds +⎰，其中L 为圆周t a x cos =，t a y sin =（π20≤≤t ）.解：原式122012202222)()(++⋅=='+'=⎰⎰n n n a dt a dt y x a πππ2．L⎰，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解：设圆周与x 轴和直线x y =的交点分别为A 和B ，于是原式{}=++⎰⎰⎰OAABBO在直线OA 上dx ds y ==,0得1022-==⎰⎰+a ax OAy x e dx e ds e；在圆周AB 上令40,s i n ,c o s πθθθ≤≤==a y a x 得πθπ4)()(402222aaABy x e a d y x eds e⋅='+'=⎰⎰+在直线BO 上dx ds x y 2,==得12220222-==⎰⎰+a a xBOy x e dx eds e所以原式2)42(-+=a e aπ 3．2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=（π20≤≤t ）.解：原式2221(cos )at π=-⎰53221(c o st d π=-⎰ 325615a =高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分系 专业 班 姓名 学号第二节 对坐标的曲线积分一．选择题1．设L 以)1,1(，)1,1(-，)1,1(--，)1,1(-为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则22Lx dy y dx +=⎰[ D ]（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）0 2．设L 是抛物线)11(2≤≤-=x x y ,x 增加的方向为正向，则Lxds ⎰和Lxdy ydx -=⎰[ A ]（A ）32,0 （B ）0,0 （C ）32,85 （D ）0,85 二．填空题1．设设L 是由原点O 沿2x y =到点A )1,1(，则曲线积分()Lx y dy -=⎰2．设L 是由点)1,1(-A 到)1,1(B 的线段，则22(2)(2)Lx xy dx y xy dy -+-⎰= 三．计算题1．设L 为取正向圆周222a y x =+，求曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰.解：将圆周写成参数形式)20(,sin ,cos πθθθ≤≤==a y a x ，于是原式θθθθθθθθπd a a a a a a }cos )cos 4cos ()sin ()sin 2sin cos 2{(20222⎰⋅-+-⋅-=2322233220224a a a a d πθθθθθθ=-++-⎰{(cos sin sin )(cos cos )}π22a -=2．设L 是由原点O 沿2x y =到点A )1,1(，再由点A 沿直线x y =到原点的闭曲线，求arctanLydy dx x-⎰解：11021OA yI dy dx x x dx x=-=-⎰⎰arctan (arctan ) 210[arctan arctan ]22x x x x x π=-+-=-41)11(arctan arctan 012π-=-=-=⎰⎰dx dx dy xyI AO所以原式12211244I I πππ=+=-+-=-3．计算()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是：（1）抛物线x y =2上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段； （3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线. 解：（1）原式22212{()()}y y y y y dy =+⋅+-⎰23212()y y y dy =++⎰343=（2）过（1，1），（4，2）的直线方程为dy dx y x 3,23=-=所以 原式2134222{()()}y y dy =-+-⎰21104()y dy =-⎰11=（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为21,0,1≤≤==y dx x所以 21)1(211=-=⎰dy y I （3）过（1，2），（4，2）的直线方程为41,0,2≤≤==x dy y所以 227)2(412=+=⎰dx x I 于是 原式1421=+=I I 4．求222()2,Ly z dx yzdy x dz -+-⎰其中L 为曲线)10(,,32≤≤===t t z t y t x 按参数增加的方向进行.解：由题意，原式14664043{()}tt t t dt =-+-⎰164032()tt dt =-⎰135=高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分系 专业 班 姓名 学号第三节 格林公式及其应用一．选择题 1．设曲线积分4124(4)(65)p p Lx xy dx x y y dy -++-⎰与路径无关，则=p [ C ]（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．已知2)()(y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a [ D ] （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）23．设L 为从)21,1(A 沿曲线22x y =到点)2,2(B 的弧段，则曲线积分222L x x dx dy y y-⎰= [ D ]（A ）3- （B ）23（C ）3 （D ）0 二．填空题1． 设L 是由点)0,0(O 到点)1,1(A 的任意一段 光滑曲线，则曲线积分⎰=+---Ldy y x dx y xy 22)()21(2． 设曲线L 为圆周922=+y x ，顺时针方向，则2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-=⎰三．计算题 1． 3222(2cos )(12sin 3)LI xy y x dx y x x y dy =-+-+⎰，其中L 为在抛物线22π=x y 上从点)0,0(到)1,2(π的一段弧。
曲线与曲面积分习题参考答案
十 曲线积分及曲面积分习题(一) 对弧长的曲线积分1. 计算ds y x L ⎰+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解 32032222202222222cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x L πππ==++=+⎰⎰⎰.2. 计算ds x L ⎰，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.解 )12655(12141210210-+=++=⎰⎰⎰dx x x dx x ds x L . 3．计算⎰L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解⎰L yds ＝dy y y dy y y ⎰⎰+=+202202421)2(1 4．计算⎰+L ds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ⎰+L ds y x )(＝23211)(10=++⎰x x . 5．计算⎰L xyzds ，其中L 是曲线2321,232,t z t y t x ===)10(≤≤t 的一段. 解 ⎰L xyzds ＝⎰⎰+=++13102223)1(232)2(121232dt t t t dt t t t t t6．计算22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界. 解22x y Leds +⎰＝⎰1L ＋⎰2L ＋⎰3L7．设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点(),x y 处它的线密度为(),x y μ,试用对弧长的曲线积分分别表达(1)这条曲线弧对x 轴,y 轴的转动惯量,x y I I ； (2) 这条曲线弧的质心坐标,x y .解 〔1〕⎰=L x dS y I 2μ ⎰=L y dS x I 2μ〔2〕⎰⎰=LL dSy x dS y x x x ),(),(μμ ⎰⎰=LL dSy x dS y x y y ),(),(μμ (二) 对坐标的曲线积分1．计算⎰+L xdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2π的一段弧. 解⎰+Lxdy ydx ＝0]cos cos )sin (sin [20=+-⎰dt t tR R t R t R π2．计算⎰+L ydx xdy ，其中L 分别为〔1〕沿抛物线22x y =从)0,0(O 到)2,1(B 的一段； 〔2〕沿从)0,0(O 到)2,1(B 的直线段.； 〔3〕沿封闭曲线OABO ，其中)0,1(A ,)2,1(B . 解 〔1〕⎰=+=1022)24(dx x x x I .〔2〕2)22(1=+=⎰dx x x I .〔3〕⎰+L ydx xdy ＝⎰⎰⎰++BO AB OA3．计算⎰-+++L dz y x zdy xdx )1(，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线.解 直线方程为312111-=-=-z y x ，其参数方程为13,12,1+=+=+=t z t y t x ，t 从0变到1.4．计算2()L xydx x y dy x dz +-+⎰，其中L 是螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 从0=t 到π=t 上的一段.解 dt t b a t a t a t a t a t a t a I ⎰+-+-•=π22]cos cos )sin cos ()sin (sin cos [5．设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化成对弧长的曲线积分. 解 由于)3,2,1()3,2,1(),,(2y x t t dt dz dt dy dt dx ==，故229411cos yx ++=α，229412cos yx x ++=β，229413cos yx y ++=γ.(三) 格林公式及应用1．计算⎰-L ydy x dx xy 22，其中L 为圆周222a y x =+，取逆时针方向. 解⎰-Lydy x dx xy 22＝0)22(=--⎰⎰Ddxdy xy xy2．计算⎰+--L dy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周22x x y -=上由点)0,0(到点)1,1( 的一段弧.解 y x P -=2,)sin (2y x Q +-=3. 计算(1)()xxL ye dx x e dy +++⎰，其中L 为椭圆22221x y a b+=的上半周由点(,0)A a 到(,0)B a -的弧段.解 x ye P +=1,x e x Q +=4. 计算3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy -+-+⎰,其中L 为在抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧．解 322cos P xy y x =-，2212sin 3Q y x x y =-+5. 计算⎰+-L y x xdy ydx )(222，其中L 为圆周2)1(22=+-y x ，L 的方向为逆时针方向. 解 )(222y x y P +=，)(222y x x Q +-=，当022≠+y x 时， L 所围区域为D ，由于D ∈)0,0(0>r ，作位于D 内的小圆周222:r y x l =+.记L 及l 所围区域为1D ，在1D 上应用格林公式，得⎰+-L y x xdyydx )(222－⎰+-l y x xdy ydx )(222＝0其中l6. 计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==，)20(π≤≤t 所围成区域的面积.解 ⎰-=L ydx xdy A 21＝2024224283)cos sin 3sin cos 3(a dt t t a t t a ππ=+⎰7. 证明曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内及路径无关，并计算积分值.解 〔1〕42y xy P -=，324xy x Q -=xQ y x y P ∂∂=-=∂∂342在整个xoy 面上成立 故曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内及路径无关.〔2〕⎰⎰+=21L L I ＝8．验证dy x xydx 22+在整个xoy 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求这样的一个),(y x u . 解 〔1〕验证略；〔2〕y x dy x y x u yABOA2020),(=+=+=⎰⎰⎰9．试用曲线积分求dy y x dx y x )cos ()sin 2(++的原函数. 解 y x P sin 2+=，y x Q cos =，xQ y y P ∂∂==∂∂cos 在整个xoy 面上成立 所以 ⎰++=),()0,0()cos ()sin 2(),(y x dy y x dx y x y x u(四) 对面积的曲面积分1．计算⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑是锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 解⎰⎰∑+dS y x )(22＝⎰⎰⎰⎰∑∑+212. 计算⎰⎰∑++dS z y x )223(，其中∑为平面1432=++z y x在第一卦限的局部.解 dxdy y x y x I xyD ⎰⎰-+-+--++=22)34()2(1))321(223(，3．计算⎰⎰∑dS z 2，其中∑为球面2222a z y x =++.解⎰⎰∑dS z 2＝⎰⎰⎰⎰--=++--xyxy D D y x dxdy y x a a dxdy z z y x a 2222222221)(2 4．计算⎰⎰∑++dS z y x )(，∑是球面0,222≥=++z a z y x .有问题解 ⎰⎰----++=xyD dxdy y x a y x a y x I 222222)(5．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=.解 ⎰⎰∑=zdS M ＝dxdy y x y x xyD 22221)(21+++⎰⎰＝2012d d πρ⎰(五) 对坐标的曲面积分1．计算⎰⎰∑zdxdy y x 22，其中∑是球面2222R z y x =++的下半局部的下侧.解⎰⎰∑zdxdy y x 22＝dxdy y x R y x xyD ⎰⎰--2222 2．计算⎰⎰∑++yzdzdxxydydz xzdxdy ，其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.解 4321∑+∑+∑+∑=∑3．计算⎰⎰∑++=dxdy z h dxdz y g dydz x f I )()()(，其中h g f ,,为连续函数，∑为平行六面体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:外表的外侧. 解 654321∑+∑+∑+∑+∑+∑=∑ 所以321I I I I ++=4．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为半球面222y x a z --=的上侧. 解⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21222dydz x dydz x dydz x同理：02=⎰⎰∑dzdx y故⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222＝42a π.5．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是柱面122=+y x 被0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的局部的前侧. 解⎰⎰∑=0zdxdy同理：π43=⎰⎰∑ydzdx故⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝π23.6．设∑为平面x z a +=在柱面222x y a +=内那一局部的上侧，下面两个积分的解法是否正确？如果不对，给出正确解法. 〔1〕3()()x z dS a dS a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积；〔2〕3()()x z dxdy a dxdy a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积.解 〔1〕正确；〔2〕错误.正确解法是：(六) 高斯公式利用高斯公式计算:1．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333，其中∑为球面2222a z y x =++的内侧.解 2223()I x y z dv Ω=-++⎰⎰⎰ 240003sin Rd d r dr ππθϕϕ=-⎰⎰⎰5125R π=-2．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面22y x z +=在第一卦限中10≤≤z 局部的下侧.解 补充曲面：)0,0,1(,1:221≥≥≤+=∑y x y x z ，取上侧； )1,10(,0:22≤≤≤≤=∑z x x y ，取左侧；)1,10(,0:23≤≤≤≤=∑z y y x ，取后侧.∑，1∑，2∑与3∑构成闭曲面，所围的空间闭区域记为Ω，由高斯公式，得3．计算⎰⎰∑+++-dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，∑为正方体Ω的外表并取外侧,其中解 ()I y x dv Ω=+⎰⎰⎰＝4000)(a dz y x dy dx aa a =+⎰⎰⎰4．计算⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (222γβα，其中∑是由222z y x =+及)0(>=h h z 所围成的闭曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是此曲面的外法线的方向余弦.解 2()2()2I x y z dxdydz x y dxdydz zdxdydz ΩΩΩ=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(七) 斯托克斯公式1．计算⎰-+-++L dz z y dy z x dx z y )()()2(，其中L 为平面1=++z y x 及各坐标面的交线，取逆时针方向为正向. 解 由斯托克斯公式，得 ＝1.2．计算⎰-+-+-L dz x y dy z x dx y z )()()(，其中L 是从)0,0,(a 经)0,,0(a 与),0,0(a 回到)0,0,(a 的三角形.解 由斯托克斯公式，得(八) 曲线积分及曲面积分自测题1．计算曲线积分 (1)ds y x L⎰+22，其中L 为圆周ax y x =+22；解 :cos (-)22L r a ππθθ=≤≤(2) ⎰L zds ，其中Γ为曲线)0(,sin ,cos 0t t t z t t y t t x ≤≤===； 解ds == (3)⎰+-Lxdy dx y a )2(，其中L 为摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=上对应t 从0到π2的一段弧；解⎰+-Lxdy dx y a )2(=20{[(2(1cos ))](1cos )(sin )sin }a a t a t a t t a t dt π---+-⎰(4)⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(，其中Γ是曲线32,,t z t y t x ===上由01=t 到12=t 的一段弧；解⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)((5)⎰-+-Lx xdy y e dx y y e)2cos ()2sin (，其中L 为上半圆周0,)(222≥=+-y a y a x 沿逆时针方向；解 补充积分路径1:0L y =，x从0到2a.sin 2,cos 2x x P e y y Q e yy =-=-2．计算曲面积分 (1)⎰⎰∑++222z y x dS，其中∑是介于平面0=z 及H z =之间的圆柱面222R y x =+；解x =dS ==(2)⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y)()()(222，其中∑为锥面)0(22h z y x z ≤≤+=的外侧；解 11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰(3) ⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑为半球面22y x R z --=的上侧；解11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰(4)⎰⎰∑++++3222)(z y x zdxdyydzdx xdydz ，其中∑为曲面)0(9)1(16)2(5122≥-+-=-z y x z 的上侧； 解 0I = 〔利用高斯公式〕(5) ⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑为球面)0,0(1222≥≥=++y x z y x 外侧. 解⎰⎰∑xyzdxdy =12xyzdxdy xyzdxdy ∑∑+⎰⎰⎰⎰3．证明：22yx ydyxdx ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数. 解 在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G G 内， 所以存在(,)u x y ，使22xdx ydydu x y+=+. 取积分路径：(1,0)(,0)(,)x x y →→ 4．计算其中Γ为平面1=++z y x 及各坐标面的交线，从z 轴正向看取逆时针方向.解 由斯托克斯公式，得 ＝1.5．求均匀曲面222y x a z --=的质心的坐标. 解 设面密度为ρ，重心(,,)x y z 由对称性：0x y == 故重心的坐标为(0,0,)2a.。
线面积分复习JD.docx
高数下册第十章-曲线积分与曲面积分练习题（一）・复2填1・设曲线L:x2 +y2 =4 ,则曲线积分j（x- y + V）^x2 + y2ds = 8兀・2 2复3填1・设椭圆厶：—1的周长为Q,且椭圆厶上任意一点处的质量密度为3 4厂（兀,刃=4兀2+3尸+2心，则该椭圆构件的质量M = \2a・2 21 •设椭圆厶:—+ ^- = 1的周长为°,则L（1+4兀2 + 3y2 + 3兀2y）ds = 13a・3.设曲线厶：，+）/=]上任意一点处的质量密度p（x,y） = （x+y）2,则该曲线构件的质量M = 27V ・复5填1・设曲线厶：/+）'二]上任意一点处的质量密度。
（兀，刃=X2 4- y2 + 2 ,则该曲线构件的质量M= _______________ ・(二)・复1选1・设有向曲线厶为y = x2,从点(1,1)到点(0,0),则J /(x, y)dy = ( C )・J厶A . f(x,x2)clx; B. ^2xf(x,x2)clx ;C. J：/(V7，y)dy；D. 芳・复2选1.设有向曲线厶为『=仮，从点(1,1)到点(0,0),则\L y)dx = ( B ).A. [/（兀仮）如D.复1三、（5分〉计算曲线积分J/Fyh,其中厶为连接两点（1,0）及（0,1）的直线段.解：厶的方程为y = \-x（ 0 < x < 1 ）, y = -1 （1分）『厶x2yds = J。
%2（1 - x）y[2 dx（3 分）复2三、（6分）设曲线L:y = 2x+l （0<x<l ）上任意一点处的质量密度为p （x, y ） = xy ,求 该曲线构件的质量M. 解：_/ = 2 , ds = yfidx ,M = j xy ds= 7A /5 复5三•计算曲线积分£ y(l - x)ds , 三角形的整个边界.解：OA:y = 0 （0 < x< 1）AB \ y = \- x (0 < x < 1) , ds - 4^dx ,L y(1 一 x)d$ = J ； (1 一 x) 2 y[2dx = ¥ ' OB : x = 0 (0 < y < 1) , ds = dy, \oB y(\-x)ds = \\)y dy=^1 J? 所以 $ y(l - x)ds =——i--—・2 3复3三、计算曲线积分削xds,其中厶为由及所围成区域的边界. 解：厶：y =兀(0 井 x 1) , ds -4^dx,（3分）L 2 : y= x 2 (01) , ds = Jl + 4x 2 dx,12（5分）（1分）J （）x （2x+1）亦心（5分） （6分）其中厶为0（0,0）,A （1,0）,B （0,1）三点所^xds=xj 1 + 4x 2 dxo=J1+ 4才 d(l+ 4x 2)（3分）1 2 护+4“5A /5- 1 12y(l - x)ds = 0 ,所以 51 xds =竺5—I +. （1 分）5 1226. 计算\L Jyds,其中厶是抛物线y = X 2上点0（0,0）与点B （l,l ）之间的一段弧.解厶的方程y = x 2（0 < x < 1）,ds = y]l + (x 2 )fl dx = 71 + 4x 2 dx. 因此J y[yds = j V? • J1 + 4” dx=J xy) 1 + 4x 2 dx= ±(575-1).0丄厶7.设曲线厶是y = 2x, y = 2和x = 0所围三角形区域的边界，求线积分7 =xyds .解令厶=/j + /2 + /3 ,其中厶为 y = 2%, 0 < x < 1 , ds = y[5dx ；厶为 = 2, 0 < x < 1, ds - dx ； 厶为 x = 0, 1 < y < 2 , ds - dy /二 J x2x>/5dx + j 2xdx + 0 二—V5 +0 0（三）・复2四、（6分）求质点在平面力场F （x, y ） =y7 + 2xy 作用下沿抛物线L : y = \-x 2从点（1,0）移 动到点（0,1）所做的功W 的值.=|] [1 - x 2 + 2^(-2x)]t/x =j (l-5x 2)rfx（6分）复1四、（7分〉验证平面力场F （x,y ） =cosxsin y ~i + sinxcosy;所做的功与路径无关，并求质所以解:W = ^yclx + lxdy（2分） （4分） （5分）点在力戸的作用下沿直线厶从点(。
(整理)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。
解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。
证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。
解 :45Lxydx =⎰。
（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。
（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。
《高数》第十章习题课-线面积分的计算
12
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周 提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
L
L
2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy
a a
(1 cos sin t
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
P185 10. 求力
沿有向闭曲线 所作的
功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
3
16
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
17
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算 重心公式
20
例4. 设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
(常向量)
则 cos( n ,a ) d S n a 0 dS
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第十章曲线积分曲面积分练习题A 组一.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则⎰Lydy e 2=2.设⋂MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分⎰⋂+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则⎰++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x 至点2,0(B )的曲线段，则⎰+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则⎰+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则⎰++L bdy adx )( =7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-⎰dy y x dx y x L，则L 所围成的平面区域D 的面积等于8. 常数 k = 时， 曲线积分⎰+Ldy x kxydx 2与路径无关。
9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分⎰⎰∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分⎰Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则⎰-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+LdS y x 322)(=13. 设为曲面2222a z y x =++， 则⎰⎰∑dS z y x222=二、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）A ．若⎰+LQdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有yPx Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰⋅Lds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。
D ．若对D 内每一闭曲线C ，恒有⎰+CQdy Pdx ，则⎰+LQdy Pdx 与路径无关。
2．已知2)()(y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，又为与路径无关的曲线积分被积函数，则a 等于（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 3、设曲线积分()dx x y dx xyLφ+⎰2与路径无关，其中()x φ具有连续导数，且()00=φ，则()()()dy x y dx xy φ+⎰1,10,02=（ ）A ．3/8B ．1/2C ．3/4D ．14．设S 是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分⎰⎰Syds 的值是（ ）A ．0 ;B ．343; C ． 34; D ．5.设空间区域Ω由曲面222y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正的常数，记Ω的表面外侧为S ，Ω的体积为V ，则()dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz xS++-⎰⎰12222= （ ）A ．0B ．VC ．2VD ．3V 6. 已知曲线C ：122=+y x 逆时针方向一周，则⎰+-Cy x ydxxdy 22=（ ）A. 0；B. π2；C. π2-；D. π7. 已知∑为平面1=++z y x 在第一卦限内的下侧曲面，则⎰⎰∑++dxdy z y x)(22=（ ）A. ⎰⎰-+--+-xdy y x y x dx 10221)1(； B. ⎰⎰-+--+xdy y x y x dx 102210)1(C.⎰⎰-+--+xdx y x y x dy 10221)1(； D. ⎰⎰-++-xdy z y x dx 102210)(8. 单连通区域G 内),(y x P ，),(y x Q 具有连续的一阶偏导数，则曲线积分⎰+LQdy Pdx 与路径无关的充要条件是（ ） A 在G 内有一闭曲线，使⎰=+γ0Qdy Pdx ； B 在G 内有恒有xy Qy x P ∂∂∂=∂∂∂22 C. 在G 内有另一曲线C ，使⎰⎰+=+LCQdy Pdx Qdy Pdx ；D. 在G 内有恒有yPx Q ∂∂=∂∂ 9. 设为平面1432=++zy x 在第一卦限内的部分，则⎰⎰∑++dS y x z )342(=（ ） A⎰⎰-)1(30224x dy dx ； B.⎰⎰⋅20304361dy dx ； C.⎰⎰⋅30204361dy dx ； D. ⎰⎰-)1(302023614x dy dx 10. 设L ：12222=+by a x ，则⎰+-L y x ydx xdy 22（ ） A. 与L 取向无关，与b a ,大小有关； B. 与L 取向无关，与b a ,大小无关； C. 与L 取向有关，与b a ,大小有关； D. 与L 取向有关，与b a ,大小无关； 三、计算题1. 计算曲线积分⎰++Ldy x y xdx )(2，其中L 是圆周122=+y x 在第一象限中的部分，依逆时针方向。
2. 计算⎰⎰∑++dxdy ydzdx xdydz 2，其中∑是上半球面222y x a z --=上侧3. 设L 是由63232=++y xy x 所表示的正向椭圆，计算 I = ⎰+++Ldyy xy dx y x )32()3(2224．计算⎰-L y x ds，L 是点)2,0(-A 与)0,4(B 直线段5．计算()ds y x L⎰+，L 是以)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B ，为顶点的三角形闭回路。
6．计算ds y x L⎰+22，L 为圆周Rx y x =+22 7．计算ds xy L⎰，L 是圆周222R y x =+的闭路8.计算⎰+Ldy x xydx 22，L 分别为下列三种情形。
1）从点)0,0(O 经x y =到)1,1(A 2）从点)0,0(O 经2x y =到)1,1(A 3）从点)0,0(O 经3x y =到)1,1(A9．计算()dyy xL⎰+22，L 是由直线1=x ,1=y ,3=x ,5=y 围成的逆时针闭路。
10．计算⎰→L dSF ，其中→→→+-=j x i y F ,L 是由x y =,1=x 及0=y 所围成的三角形逆时针闭路。
11．计算xydy dx x y L 21++⎰，L 是由2x y =与x y =，所围成的逆时针闭路。
12.计算()()dy y x dx y xL2222+-+⎰，L 是以)0,0(,)0,1(,)1,0(为顶点的三角形正向闭路。
13.计算()()dy y x dx y x L 22--+⎰，L 是沿椭圆12222=+by a x 的正向闭路。
14.计算()22x y z ds ++⎰⎰∑，∑：平面1=++z y x15.计算⎰⎰∑++ds z y x )342(，：1432=++zy x 在第一卦限 16计算ds x ⎰⎰∑，∑：2222R z y x =++在第一卦限部分。
四．应用题1.利用曲线积分，求曲线所围图形的面积。
椭圆t x cos 34+=,t y sin 42+=2.设半径为r 的球面∑的球心在定球面2222a z y x =++ (0>a )上, 问当r 取何值时, 球面∑在定球面内部的哪部分面积最大?3．在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族x a y sin = ,(0>a )中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分()()⎰+++Ldy y x dx y 213的值最小4.求⎰⋂-+-ANCx x dy m y e dx my y e )cos ()sin (，式中⋂ANC 为由)0,(a A 至)0,0(O 的ax y x =+22 ()0>a设)(x f 连续可导，求dy xy f y yxdx y xy f y C ]1)([)(1222-++⎰，式中C 是从)32,3(A 到)2,1(B 的直线段。
五 证明题1. 设函数f(x)在( -,+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，终点为),(d c ，记dy xy f y y x dx xy f y y I C ]1)([)]([1222-++=⎰ （1） 证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当cd ab =时，求I 的值2. 设L 2是包含坐标原点在内的任意光滑无重点闭回路，对于它所围成的区域来说取正向，试证：⎰=+-2222L yx ydxxdy π。
A 组答案一、1. 0；2. 0；3. 0提示：)(xy d xdy ydx =+ ；4.0,提示：)2(222y x d ydy xdx +=+；5. 3/10；6. 0；7.3/2；8. 2；9. π4；10. 22+；11.25；12. 72a π；13.0； 二、 1.C 2、D 3、B 4、A 5、B 6. B ；7. A ；8. D ；9. D ；10. D三、1、32a π 3、0 452 5、12 6、2R 2 7、32R8、1 9、32 10、1 11、4130-+2ln 2 12、-1 13、2ab π- 145315、461 16、34R π四、1、12π 2、2432327S a a π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 3、sin y x = ()0x π≤≤是使曲线积分的为最小的曲线。
4、218a m π 5、-4 B 组一、填空题：1、设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ,其周长为l ,则=++⎰L dS y x xy )4(22 . 2、设曲线C 为R z x R z y x =+=++与2222的交线，从原点看去C 的方向为顺时针方向，则=++⎰Cxdz zdy ydx .3、计算⎰C dS x 2，其中⎩⎨⎧=++=++0:2222z y x R z y x C .4、设r =()div gradr = .5、设S 为曲面2221x y z ++=的外侧，则222sI x dydz y dxdz z dxdy =++⎰⎰= .二、解答题： 6、计算⎰+-Cyx ydx xdy 22，C 为逆时针方向绕圆周122=+y x 一圈的路径。