高三数学8利用向量求点到面、线到面、面到面的距离试题
用向量法求点到面的距离公式
用向量法求点到面的距离公式在咱们学习数学的过程中，向量可是个厉害的“武器”，能帮咱们解决好多难题，今天就来唠唠用向量法求点到面的距离公式。
咱先来说说为啥要学这个。
想象一下，你站在一个大广场上，面前有一堵高高的墙，你想知道自己离这堵墙有多远，这时候向量法就能派上用场啦！要搞清楚这个公式，咱得先把一些基础的东西整明白。
啥是向量？简单说，向量就是既有大小又有方向的量。
比如说力，速度，这些都是向量。
那点到面的距离又是啥呢？假设咱们面前有一张大大的纸，这张纸就是一个平面，然后有一个小点点在纸的外面，这个小点点到纸的最短距离，就是点到面的距离。
好啦，接下来看看怎么用向量法求这个距离。
咱们先得有个平面的方程，比如说 Ax + By + Cz + D = 0 ，这里的 A、B、C 可不是随便的数字哦，它们决定了平面的方向。
然后再有一个点 P(x₀, y₀, z₀) ，咱们要算这个点到平面的距离 d 。
这时候，咱们得找一个从平面上随便一点到点 P 的向量，假设平面上有个点 Q(x₁, y₁, z₁) ，那向量 PQ 就出来啦，它是 (x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀) 。
接下来，咱们再找一个平面的法向量 n ，法向量就是和平面垂直的向量。
这个法向量 n 可以表示成 (A, B, C) 。
然后呢，点到面的距离公式就是 d = | (Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D) | /√(A² + B² + C²) 。
可能有的同学会问啦，这公式咋来的呀？别着急，咱们来详细讲讲。
咱先把向量 PQ 投影到法向量 n 上，这个投影的长度就是点 P 到平面的距离 d 。
那投影的长度咋算呢？就用向量 PQ 和法向量 n 的点积除以法向量n 的模长。
向量 PQ 和法向量 n 的点积是 (x₁ - x₀)A + (y₁ - y₀)B + (z₁ -z₀)C ，也就是 Ax₀ + By₀ + Cz₀ - (Ax₁ + By₁ + Cz₁) 。
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知，向量与垂直，则实数的值为（）A．B．3C．D．【答案】A【解析】因为所以又向量与垂直，所以，，即，解得：故选A．【考点】向量的数量积的应用．2.已知向量＝(5，－3)，＝(－6，4)，则＝( )A．(1，1)B．(－1，－1)C．(1，－1)D．(－1，1)【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则，＝(5，－3)＋(－6，4)＝(－1，1)，选D【考点】平面向量坐标运算.3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.5.若平面向量满足,垂直于轴，，则____【答案】或【解析】设，所以，因为垂直于轴；所以，解得，或.故答案为或【考点】向量的坐标表示；向量垂直.6.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．7.已知=（3，4），=（2，3），=（5，0），则||•（）=（）A．（12，3）B．（7，3）C．（35，15）D．（6，2）【答案】C【解析】∵=（3，4），=（2，3），=（5，0），∴||=5，+=（7，3），∴||•（）=5（7，3）=（35，15）故选C．8.已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25【答案】C【解析】∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．9.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．10.已知平面向量，，那么等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B.【考点】平面向量的坐标运算11.已知外接圆的半径为1，圆心为O．若，且，则等于（）A．B．C．D．3【答案】D.【解析】因为，所以，所以，为的中点，故是直角三角形，角为直角.又，故有为正三角形，，，与的夹角为，由数量积公式可得选D.【考点】平面向量的线性运算，平面向量的数量积、模及夹角.12.在复平面内为坐标原点，复数与分别对应向量和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由复数的几何意义知，，，则，所以，故选B.【考点】1.复数的几何意义；2.平面向量的坐标运算；3.平面向量的模13.已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算14.在平面直角坐标平面上，，且与在直线上的射影长度相等，直线的倾斜角为锐角，则的斜率为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设直线l的斜率为k，得直线l的方向向量为，再设与的夹角分别为θ1、θ2，则,因为与在直线上的射影长度相等，所以·=·，即|1+4k|=|-3+k|解之得，k＝,故选C.【考点】1.向量在几何中的应用；2.平面向量的坐标运算；3.直线的斜率．15.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( )A．－2B．0C．1D．2【答案】D【解析】由已知得，，因为与平行，则有，解得.【考点】向量共线的坐标表示16.在中，，，，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即，而，，解得，，，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积17.设平面向量，，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模18.已知正边长等于，点在其外接圆上运动，则的最大值是 .【答案】【解析】可以考虑建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以，显然，所以的最大值是.【考点】平面向量综合运算.19.已知向量，，且//，则等于 ( )A．B．2C．D．【答案】A【解析】因为，向量，，且//，所以，，解得，，即，故选A.【考点】平面向量的坐标运算，共线向量，向量的模.20.已知，且与共线，则y= .【答案】【解析】因为与共线，所以，解得.【考点】平面向量共线的坐标运算21.已知A（-1,1），B(1，2),C(-2，-1),D(3，4),则向量在方向上的投影为__________.【答案】【解析】,,向量在方向上的投影为==.【考点】1、向量的坐标表示；2、向量的投影.22.设平面向量，，则 .【答案】.【解析】，，，.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的模的计算23.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，u=a+2b,v=2a-b,且 u//v，则实数x的值是______.【答案】【解析】由，，又，所以，即.【考点】向量的坐标运算.24.已知平面向量，，且，则向量( )A．B．C．D．【答案】A【解析】先用向量的乘积展开，再代入求的坐标，即.【考点】向量的乘积运算.25.已知向量，下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，由于，那么可知，故选项B 正确，对于C，由于成立，根据向量的几何意义可知，垂直向量的和向量与差向量长度相等，故D成立，因此选A.【考点】向量的概念和垂直的运用点评：解决的关键是利用向量的数量积以及向量的共线来得到结论，属于基础题。
高三数学利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题试题答案及解析
高三数学利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题试题答案及解析1.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是()．A．B．C．D．【答案】C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，∴PQ＝＝，当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值.2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．【答案】【解析】以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，则＝(－1,1，－2)，＝(－1,0,0)，cos〈，〉＝＝＝.3.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱与底面所成角为60°，M为PA中点，连接DM，则DM与平面PAC所成角的大小是________．【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示空间直角坐标系，则平面PAC的法向量为n＝(1,0,0)，D，A0，－a,0，P，M，＝，所以cos 〈，n〉＝＝，所以DM与平面PAC所成角为45°.4.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点．那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于 ()．A．B．C．D．【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则O(1,1,0)，E(0,2,1)，D1(0,0,2)，F(1,0,0)，＝(－1,1,1)，＝(－1,0,2)，∴·＝3，||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝.即OE与FD1所成的角的余弦值为.5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为________．【答案】【解析】如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，∴＝(0,2,0)，设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，由得，令y＝1，得n＝(2,1,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.6.平行四边形中，且以为折线，把折起，使平面平面，连接（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）参考解析；（2）【解析】（1）直线与直线垂直的证明通过转化为证明直线与平面垂直，由于通过翻折为两个垂直的平面所以只需证明直线AB垂直与两个平面的交线BD即可，通过已知条件利用余弦定理即可得到直角.（2）求二面角的问题通常就是建立空间直角坐标系，根据BD与DC垂直来建立.通过写出相应点的坐标，以及相应的平面内的向量，确定两平面的法向量，并求出法向量的夹角，再判断法向量的夹角与二面角的大小是相等还是互补，即可得到结论.试题解析：（1）在中，所以所以，因为平面平面，所以平面，所以；…3分（2）在四面体ABCD中，以D为原点，DB为轴，DC为轴，过D垂直于平面BDC的射线为轴，建立如图的空间直角坐标系.则D（0，0，0），B（，0，0），C（0，1，0），A（，0，1）设平面ABC的法向量为，而由得：取再设平面DAC的法向量为而由得：取所以即二面角B-AC-D的余弦值是【考点】1.线线垂直的判定.2.面面垂直性质.3.二面角的求法.4.空间坐标系的应用.5.法向量的求法.7.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，异面直线PA和CD所成角等于60°.(1)求证：面PCD⊥面PBD；(2)求直线PC和平面PAD所成角的正弦值的大小；(3)在棱PA上是否存在一点E，使得二面角A-BE-D的余弦值为？若存在，指出点E在棱PA上的位置，若不存在，说明理由．【答案】（1）见解析（2）存在【解析】(1)证明:PB⊥底面ABCD，∴PD⊥CD，又∵CD⊥PD，PD∩PB＝P，PD，PB⊂平面PBD.∴CD⊥平面PBD，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBD.(2)如图，以B为原点，BA，BC，BP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设BC＝a，BP＝b，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0，a,0)，D(2,2,0)，P(0,0，b)．∵＝(2,2，－b)，＝(2,2－a,0)，CD⊥PD，∴·＝0，∴4＋4－2a＝0，a＝4，又＝(2,0，－b)，＝(2，－2,0)，异面直线PA和CD所成角等于60°，∴＝，即＝，解得b＝2，＝(0,4，－2)，＝(0,2,0)，＝(2,0，－2)．设平面PAD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则由得取n1＝(1,0,1)，∵sin θ＝＝＝，∴直线PC和平面PAD所成角的正弦值为.(3)解假设存在，设＝λ，且E(x，y，z)，则(x，y，z－2)＝λ(2,0，－2)，E(2λ，0,2－2λ)，设平面DEB的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则由得取n2＝(λ－1,1－λ，λ)，又平面ABE的法向量n3＝(0,1,0)，由cos θ＝＝，得＝，解得λ＝或λ＝2(不合题意)．∴存在这样的E点，E为棱PA上的靠近A的三等分点．8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．(1)证明：平面EAC⊥平面PBD；(2)若PD∥平面EAC，并且二面角B-AE-C的大小为45°，求PD∶AD的值．【答案】（1）见解析（2）∶2【解析】(1)证明因为PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩PD＝D，故AC⊥平面PBD，又AC⊂平面EAC.所以平面EAC⊥平面PBD.(2)解连接OE，因为PD∥平面EAC，所以PD∥OE，所以OE⊥平面ABCD，又O是BD的中点，故此时E为PB的中点，以点O为坐标原点，射线OA，OB，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.设OB＝m，OE＝h，则OA＝m，A，B(0，m,0)，E(0,0，h)，＝(－m，m,0)，＝(0，－m，h)，向量n1＝(0,1,0)为平面AEC的一个法向量，设平面ABE的一个法向量n2＝(x，y，z)则n2·＝0，且n2·＝0，即－mx＋my＝0且－my＋hz＝0.取x＝1，则y＝，z＝，则n2＝，∴cos 45°＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，解得＝，故PD∶AD＝2h∶2m＝h∶m＝∶2.9.如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AD＝PD.(1)求证：平面PQC⊥平面DCQ；(2)若二面角Q-BP-C的余弦值为－，求的值．【答案】（1）见解析（2）1【解析】(1)证明:设AD＝1，则DQ＝，DP＝2，又∵PD∥QA，∴∠PDQ＝∠AQD＝45°，在△DPQ中，由余弦定理可得PQ＝.∴DQ2＋PQ2＝DP2，∴PQ⊥DQ，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵CD⊥DA，DA∩PD＝D，∴CD⊥平面ADPQ.∵PQ⊂平面ADPQ，∴CD⊥PQ，又∵CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.(2)解如图，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz.设AD＝1，AB＝m(m>0)．依题意有D(0,0,0)，C(0,0，m)，P(0,2,0)，Q(1,1,0)，B(1,0，m)，则＝(1,0,0)，＝(－1,2，－m)，＝(1，－1,0)，设n1＝(x1，y1，z1)是平面PBC的法向量，则即因此可取n1＝(0，m,2)．设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBQ的法向量，则即可取n2＝(m，m,1)．又∵二面角Q-BP-C的余弦值为－，∴|cos 〈n1，n2〉|＝|－|.∴＝，整理得m4＋7m2－8＝0.又∵m>0，解得m＝1.因此，所求的值为110.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝60°，N是BC的中点，将梯形ABCD绕AB旋转90°，得到梯形ABC′D′(如图)．(1)求证：AC⊥平面ABC′；(2)求证：C′N∥平面ADD′；(3)求二面角A-C′N-C的余弦值．【答案】(1)见解析(2)见解析（3）-【解析】(1)证明∵AD＝BC，N是BC的中点，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四边形ANCD 是平行四边形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，∴AB＝BN＝AD，∴四边形ANCD是菱形，∴∠ACB＝∠DCB＝30°，∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，平面C′BA∩平面ABC＝AB，∴AC⊥平面ABC′.(2)证明:∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N⊂平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′.(3)解:∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC.如图建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B(1,0,0)，C(0，，0)，C′(0,0，)，N，∴′＝(－1,0，)，′＝(0，－，)，设平面C′NC的法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝1，则x＝，y＝1，∴n＝(，1,1)．∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD与AN交于点O，O则为AN的中点，O，∴平面C′AN的法向量＝.∴cos〈n，〉＝＝，由图形可知二面角A-C′N-C为钝角，所以二面角A-C′N-C的余弦值为－11.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是 ()．A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A-BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】D【解析】∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1，D1D.∴AC⊥BE，故A正确．∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，∴EF∥平面ABCD，故B正确．C中由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为，故VA-BEF为定值．当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F，∴＝(0，－1,1)，＝，∴·＝.又||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝. ∴此时异面直线AE与BF成30°角．②当点E为D1B1的中点，点F在B1处时，此时E，F(0,1,1)，∴＝，＝(0,0,1)，∴·＝1，||＝，∴cos〈，〉＝＝＝≠，故选D.12.已知正方体的棱长为，，点N为的中点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0,0，a），N（a，0，），(a,a，0)，设M（x，y，z），因为，所以（x-0，y-0，z-a）=（a-x，a-y，0-z）即，解得，即M（,,），所以=，故选A.【考点】空间向量的坐标运算和向量的模.13.如图所示,四棱锥S ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD;(2)若SD⊥平面PAC,求二面角P AC D的大小;(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,试说明理由.【答案】（1）证明详见解析；（2）30°；（3）存在 SE∶EC=2∶1【解析】（1）设AC交BD于O,以、、分别为S,D,C,x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系，则S,D,C,求出，的坐标，并计算得到·=0，从而AC⊥SD.（2）为平面PAC的一个法向量，为平面DAC的一个法向量，向量与的夹角等于二面角P AC D的平面角，根据向量的夹角公式计算出与的夹角即可.（3）假设存在一点E使BE∥平面PAC，设=t(0≤t≤1),则= +=+t,因为·=0，可建立关于t的等式，解之即可.试题解析：(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,由题意知SO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.设底面边长为a,，则高SO= a.于是S,D,C,=,=,·=0,故OC⊥SD,从而AC⊥SD. 4分(2)解:由题设知,平面PAC的一个法向量为=,平面DAC的一个法向量为=,则cos<,>==,故所求二面角的大小为30°. 8分(3)解:在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.，由(2)知是平面PAC的一个法向量,且=,=, 设=t(0≤t≤1),=+=+t=,而·=0t=,即当SE∶EC=2∶1时,BE∥平面PAC. 12分【考点】1.空间两向量垂直的充要条件；2.二面角；3.直线与平面平行判定.14.如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且．(1)求证：面平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）.【解析】本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，法一，先利用面面垂直的性质判断出，从而平面，所以垂直于面内的任意的线，由，判断是等腰直角三角形，所以且，所以面，利用面面垂直的判定定理得面面垂直，法二，利用空间向量法，通过证明，其它过程与法一相同；第二问，由第一问得到平面的法向量为，而平面的法向量需要计算求出，，所以，最后用夹角公式求夹角余弦值.试题解析：(1)解法一：因为面面平面面为正方形，，平面所以平面∴ 2分又，所以是等腰直角三角形，且，即，，且、面，面又面，∴面面. 6分解法二：如图,取的中点, 连结,.∵, ∴.∵侧面底面,平面平面,∴平面,而分别为的中点,∴,又是正方形,故.∵,∴,.以为原点,向量为轴建立空间直线坐标系,则有,,,,,.∵为的中点, ∴ 2分(1)∵，，∴，∴,从而,又,,∴平面，而平面，∴平面平面． 6分（2）由（1）知平面的法向量为，设平面的法向量为，∵，∴由，，可得取，则故.∴,即二面角的余弦值为, 12分【考点】1.线面垂直；2.空间向量法；3.面面垂直；4.夹角公式.15.斜三棱柱，其中向量,三个向量之间的夹角均为，点分别在上且，=4，如图（Ⅰ）把向量用向量表示出来，并求；（Ⅱ）把向量用表示；（Ⅲ）求与所成角的余弦值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）；（Ⅲ）与所成的角的余弦值．【解析】（Ⅰ）把向量用向量表示出来，像这一类题，先找以Ａ为始点，以Ｍ为终点的封闭图形，因为向量是用向量表示出来，而，可在平面找，然后转化为与共线的向量，可求得，求，求向量的模，往往转化为模的平方来解，由，故，利用数量积展开，由，之间的夹角均为，可求得的值；（Ⅱ）把向量用表示，和（Ⅰ）解题思想一样，只是他在空间中找；（Ⅲ）求与所成角的余弦值，利用,分别求出,即可.试题解析：（Ⅰ），所以，因为，所以（Ⅱ）,（Ⅲ）,,,COS=即为与所成的角的余弦值．【考点】向量加法与减法的几何意义，向量的夹角．16.已知：四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，且AB∥CD，∠DAB＝90o，DC＝2AD＝2AB，侧面PAD与底面垂直，PA＝PD，点M为侧棱PC上一点．（1）若PA＝AD，求PB与平面PAD的所成角大小；（2）问多大时，AM⊥平面PDB可能成立？【答案】（1）（2）AM⊥平面PDB不可能成立.【解析】解：（1）以AD中点O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2则 2分平面PAD的法向量就是4分设所求夹角为，则 5分（2）设， 7分若AM⊥平面PDB，则 8分得不可能同时成立，AM⊥平面PDB不可能成立. 10分【考点】空间中垂直问题以及线面角点评：主要是考查了线面角的求解，以及线面垂直的证明，属于中档题。
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析
高三数学平面向量的几何应用试题答案及解析1.已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝．【答案】5【解析】因为(a＋λb)⊥a，所以【考点】向量数量积2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则的最大值是．【答案】8【解析】设AB中点为M，则.因为圆C：，AB＝2，所以，因此的最大值是8.【考点】直线与圆位置关系3.设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴P为AC的中点，∴.【考点】向量的运算.4.已知、是两个单位向量，那么下列结论正确的是（）A．=B．•=0C．•＜1D．2=2【答案】D【解析】A不正确，、的方向不确定．B不正确，当、垂直时，．C不正确，尽管、的长度都是1，但它们的方向不确定，，当两向量的方向相同时，．由于单位向量的模都等于1，但它们的方向不确定，故一定有，从而2=2，故D正确．故选 D．5.设，是平面内两个不共线的向量，=（a﹣1）+，=b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴存在实数λ，使得可解得，b=2﹣2a∵a＞0，b＞0∴0＜a＜1∴==当a=时，取最小值为4故选：B．6.已知直角△ABC中,AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为。
【答案】【解析】在上的投影为.【考点】向量的射影问题.7.在△ABC所在的平面上有一点P满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．【答案】【解析】因为＋＋＝，所以＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的靠近A点的一个三等分点，故.8.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝1，AB＝2，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆上或圆内移动，设＝λ＋μ (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ()．A．(1,2)B．(0,3)C．[1,2]D．[1,2)【答案】C【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，即令z＝λ＋μ＝＋y.由圆C与直线BD相切可得圆C的半径为.由于直线y＝－＋z与圆C有公共点，所以，解得1≤z≤2.9.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.10.已知点，点，向量，若，则实数的值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C【解析】由已知得，又,所以存在实数，使，即，解得，所以正确答案为C.【考点】平行向量11.已知向量a，若向量与垂直，则的值为（）A．B．7C．D．【答案】A【解析】由已知得，，又这两个向量垂直，所以，解得，所以正确答案为A.【考点】向量的运算与垂直关系12.直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，记，其中为抛物线的顶点.（1）当与平行时，________；（2）给出下列命题：①，不是等边三角形；②且，使得与垂直；③无论点在准线上如何运动，总成立.其中，所有正确命题的序号是___.【答案】;①②③【解析】由抛物线方程知，焦点，准线为。
高中高三数学下册期末测试试题习题大全
高中高三数学下册期末测试试题习题大全平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．（B）．直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：（1）掌握平面的基本性质。
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题答案及解析1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（1）设所求的椭圆方程为：由题意：所求椭圆方程为：．（2）若过点的斜率不存在，则．若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以①设由已知，则②③将③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．综上可得，实数的取值范围为：．2.（2013•湖北）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选A．3.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量．【答案】【解析】以为原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为，则设 .又向量所以，∴，∴，∴．由题意得∴当时，同时，时，取最小值为.【考点】平面向量的坐标运算，三角函数的性质.4.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，，则的取值范围是．【答案】【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，则因为，所以所以，, 所以， 故答案应填.【考点】1、平面向量基本定理；2、向量的坐标表示；3、向量的数量积；4、一元二次函数的最值.5. 如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，G 为AD 的中点，过点G 任作一直线MN 分别交AB 、AC 于M 、N 两点．若＝x ，＝y ，求的值．【答案】4 【解析】设＝a ，＝b ，则＝x a ，＝y b ，＝＝ (＋)＝ (a ＋b )．∴＝－＝ (a ＋b )－x a ＝a ＋b ，＝－＝y b －x a ＝－x a ＋y b . ∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.∴a ＋b ＝λ(－x a ＋y b )＝－λx a ＋λy b .∵a 与b 不共线，∴消去λ，得＝4.6. 已知点O (0,0)，A 0(0,1)，A n (6,7)，点A 1，A 2，…，A n －1(n ∈N ，n ≥2)是线段A 0A n 的n 等分点，则| ＋＋…＋OA n －1＋|等于( ) A ．5n B ．10n C ．5(n ＋1) D ．10(n ＋1)【答案】C【解析】取n ＝2，，则＋＋＝(0,1)＋(3,4)＋(6,7)＝(9,12)，所以| ＋＋|＝＝15，把n ＝2代入选项中，只有5(n ＋1)＝15，故排除A 、B 、D ，选C.7. 已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(,-1),则|2a-b|的最大值为( ) A ．4 B ．4 C ．16D ．8【答案】B【解析】∵2a-b=(2cosθ-,2sinθ+1), ∴|2a-b|===故最大值为4.8. 已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a ∥b,那么2a-b=( )A．(4,0)B．(0,4)C．(4,-8)D．(-4,8)【答案】C【解析】由a∥b,得4=-2m,∴m=-2,∴b=(-2,4),∴2a-b=2(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).9.已知向量a=(cosα,-2),b=(sinα,1)且a∥b,则tan(α-)等于()A．3B．-3C．D．-【答案】B【解析】选B.∵a=(cosα,-2), b=(sinα,1)且a∥b,∴=(经分析知cosα≠0),∴tanα=-.∴tan(α-)===-3,故选B.【方法技巧】解决向量与三角函数的综合题的方法向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目,解答此类题目的关键是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题,然后借助三角恒等变换再根据三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决.10.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.11.设向量，，若满足，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为,所以, ,解得：，故选D.【考点】向量共线的条件.12.在所在的平面内，点满足，，且对于任意实数，恒有，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点作，交于，是边上任意一点，设在的左侧，如图，则是在上的投影，即，即在上的投影，，令，，，，故需要，，即，为的中点，又是边上的高，是等腰三角形，故有,选C.【考点】共线向量，向量的数量积.13.已知向量，若,则的最小值为．【答案】4【解析】,所以.【考点】1、向量的平行关系；2、向量的模；3、重要不等式14.已知向量，向量，且，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】，，即得．【考点】向量的坐标运算.15.已知点，，则与共线的单位向量为（）A．或B．C．或D．【答案】C【解析】因为点，，所以，，与共线的单位向量为.【考点】向量共线.16.已知向量，，若，则实数等于．【答案】.【解析】，两边平方得，则有，化简得，即，解得.【考点】平面向量的模、平面向量的坐标运算17.在中,已知,且,则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，所以，，，故选A。
高三数学空间向量试题答案及解析
高三数学空间向量试题答案及解析1.如图，长方体中，分别为中点，（1）求证：．（2）求二面角的正切值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）由长方体及E、F分别为AB、C1D1的中点知，AE平行且等于C1F，所以AEC1F是平行四边形，所以C1E∥AF，由线面平行的判定定理知，C1E∥面ACF；（2）易证FG⊥面ABCD，过F作FH⊥AC于H，连结HG，因为FG⊥面ABCD，则FG⊥AC，所以∠FHG为二面角F—AC—G的平面角，然后通过解三角形，求出FG、GH的长，即可求出∠FHG的正切值，即为二面角F-AC-G的正切值.试题解析：(1)证明：在长方体中，分别为中点，且四边形是平行四边形3分，5分(2)．长方体中，分别为中点，7分过做于，又就是二面角的平面角 9分，在中， 11分直角三角形中 13分二面角的正切值为 14分考点:线面平行的判定定理；二面角的计算；逻辑推理能力2.如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，∴＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．∵cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，∵＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，∴n1·＝0，n 1·＝0，即x＋y＝0且2y＋4z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，∴n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1夹角的大小为θ.由cosθ＝＝＝，得sinθ＝.因此，平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为.3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，则x、y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝1【答案】C【解析】如图，＝＋＝＋＝＋ (＋)．4.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：(1)·；(2)·；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．【答案】（1）（2）－（3）（4）【解析】解：设＝a，＝b，＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.＝BD＝c－a，＝－a，＝b－c，(1)·＝(c－a)·(－a)＝a2－a·c＝；(2)·＝ (c－a)·(b－c)＝ (b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋ c.||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝.即||＝，所以EG的长为.(4)设、的夹角为θ.＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cosθ＝＝－，由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.5.在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②【答案】D【解析】设，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.【考点】空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题.6.如图，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】(1);（2）证明见解析.【解析】（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,,异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，， 10分，.又，平面. 12分【考点】（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.7.（2013•天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】（1）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（2）解：，设平面B1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（1）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（3）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．8.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F.（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）因为△DAB ≌△DCB，EA=EB=AB=1，所以△ECB是等边，,（2）建立空间坐标系如图，取向观点的坐标为, 向量设平面PBC的法向量平面PDC的法向量则【考点】本题主要考查空间垂直关系的证明、平行关系的运用，考查空间角的求解方法，考查空间想象能力、推理论证能力、计算能力.9.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
2023届辽宁省协作校高三上学期期末考试数学试题(解析版)
2023届辽宁省协作校高三上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{}230A x x x =-≤，142B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．102x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．132x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}34x x ≤<D ．{}04x x ≤<【答案】B【分析】解不等式求得A ，再根据交集的定义可得结果． 【详解】集合2{|30}{|03}A x x x x x =-≤=≤≤，1{|4}2B x x =<<， 1{|3}2A B x x ∴=<≤． 故选：B ．2．已知复数z 满足()1243z i i +=- (其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．2- B ．2i -C ．1D ．i【答案】A【分析】由题目条件可得()12435z i i +=-=，即512z i=+，然后利用复数的运算法则化简. 【详解】因为435i -=，所以()12435z i i +=-=，则()()()5125510121212125i i z i i i i --====-++- 故复数z 的虚部为2-. 故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单. 3．下表是某校在2022年高考中各班的最高分，则这组数据从小到大的第80百分位数是（ ）5班681 11班673 6班66612班638A ．694B ．681C ．689D ．691【答案】D【分析】将数据由小到大进行排列，利用百分位数的定义可求得结果.【详解】将数据由小到大进行排列为：638、642、656、658、666、673、677、681、689、691、694、701，因为120.89.6⨯=，因此，该组数据的第80百分位数是691. 故选：D.4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）A 3B 3C ．12sin θD ．12cos θ【答案】A【解析】首先画出正六棱锥的底面和侧面，利用几何图形中边长的关系，求侧棱与底面内切圆半径的比.【详解】如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱SA SB b ==，底面边长AB a ，底面内切圆半径OC r =，2ASB θ∠=, 则OAB 是等边三角形，3sin 602r a ==，侧面SAB △中，2sin a b θ=， 3sin r b θ∴=，即33sin b r θ==故选：A5．对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是 A ．a b a b ⋅≤ B ．||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B【详解】因为cos ,a b a b a b a b ⋅=〈〉≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b-≤-不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()22a b a b a b +-=-，所以选项D 正确．故选B ．【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．6．P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2D 6【答案】B【分析】结合正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义，求得3c a =，由此求得双曲线的离心率. 【详解】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =， 因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =， 因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos a OF Pc，在12F F P 中，22212223cos cos 22a caa F F POF Pa cc.化简可得c =，所以C 的离心率=ce a故选：B7．已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（ ） A ．lg lg b a a b < B ．lg lg b a a b = C ．lg lg b a a b > D ．不确定【答案】C【分析】令()()2,3x xf x xg x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令()()2,3x xf x xg x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <； 由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b == 考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<， b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg b aa b >，即lg lg b a a b > 故选：C8．已知)(111,P a b 与)(222,P a b 是直线2y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于111:20l a x b y +-=和222:20l a x b y +-=的交点情况是（ ） A ．无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一交点 B ．存在k ，1P ，2P 使之有无穷多个交点 C ．无论k ，1P ，2P 如何，总是无交点 D ．存在k ，1P ，2P 使之无交点【答案】A【分析】根据1,P 2P 在直线2y kx =+可得()21,2i i b ka i =+=，从而可得12,l l 有唯一交点，从而可得正确的选项.【详解】因为)(111,P a b 与)(222,Pa b 是直线2y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，所以()21,2i i b ka i =+=即()()1201,2i i a k b i ⨯-+⨯-==， 故(),1k -既在直线1l 上，也在直线2l 上.因为)(111,P a b 与)(222,P a b 是两个不同的点，故1l 、2l 不重合， 故无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一交点(),1k -. 故选：A.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．“0x ∀>，e 1x x >+”的否定形式是“0x ∃≤，e 1≤+x x ”B ．“1sin 2x =”的一个充分不必要条件是“5π6x =” C ．两个非零向量a ，b ，“a b =，且a b ∥”是“a b =”的充分不必要条件D ．若随机变量()23,X N σ-，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于0.6【答案】BD【分析】根据全称量词命题的否定判断A ；结合三角函数知识以及向量相等的概念，根据命题间的逻辑推理关系，判断B,D ；根据正态分布曲线的对称性求得概率，判断D.【详解】对于A ，“0x ∀>，e 1x x >+”的否定形式是“0x ∃>，e 1≤+x x ”，A 错误； 对于B,当5π6x =时，1sin 2x =成立； 当1sin 2x =时，π2π,Z 6x k k =+∈或5π2π,Z 6x k k =+∈， 比如可能是π6x =，不一定是5π6x =， 故“1sin 2x =”的一个充分不必要条件是“5π6x =”，B 正确； 对于C, 两个非零向量a ，b ，“a b =，且a b ∥”,那么a ，b 可能是方向相反向量， 故推不出a b =成立，当a b =时，一定有a b =，且a b ∥，故“a b =，且a b ∥”是“a b =”的必要不充分条件，C 错误；对于D, 随机变量()23,X N σ-，且()50.2P X ≥=,则()()510.2P X P X ≥=≤=，则()()()()15151125P X P X P X P X ≤≤=-≥-≤=-≥ 120.20.6=-⨯=，故D 正确，故选：BD10．已知函数()()sin cos f x a x x x =-∈R 关于π6x =对称，则下列结论正确的是（ ）A ．a =B ．()f x 在ππ-,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．把()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AC【分析】根据题意，可知π6x =是对称轴，可解得a =，然后根据三角函数的性质，即可求出单调性，对称中心.【详解】因为()f x ≤,函数()()sin cos f x a x x x =-∈R 关于π6x =对称，可知2π1()31062f a a =++=，所以解得：a =，故A 对.()πcos )3f x x x x =-=+,当ππ-,312x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π5ππ0,0,3122x ⎡⎤⎡⎤+∈⊇⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故B 不对.πππ)663f x x x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，故C 对.()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到πππ5π)1212312f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当3π4x =时，3π5πsin 0412⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以D 错. 故选：AC11．已知直线():100,0l ax by a b ++=>>与圆22:1C x y +=相切，则下列说法正确的是（ ）A ．1a b +>B ．22114a b+≥C ．2122a b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．11a b+≤【答案】ABC【分析】根据给定条件，求出a 与b 的关系式，再利用均值不等式逐项判断作答. 【详解】因为直线:10l ax by ++=与圆22:1C x y +=相切，1=，即221a b +=，0,0a b >>，对于A ，因为22222()()()10ab a b a b a b =+-+=+->，解得1a b +>，A 正确；对于B ，222222222222221111()()2224b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=，当且仅当22a b ==时取等号，B 正确；对于C ，22222()()()0222142a b a b a b a b ++--==--≤+，当且仅当22a b ==时取等号，C 正确； 对于D ，因为221022a b ab +<≤=，当且仅当22a b ==时取等号，则12ab ≥， 因此1111222a b a b +≥⋅=，当且仅当22a b ==时取等号，D 不正确.故选：ABC12．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为线段11D C 的中点，N 为1CC 上的点，且12CN NC =，过1A ，M ，N 的平面截该正方体的截面记为S ，则下列命题正确的有（ ）A ．S 为五边形B ．三棱锥1A BCD -外接球的体积为43πC ．三棱锥1A BNM -的体积为29D ．BM 与平面1A BC 2【答案】BC【分析】利用面面平行的性质判断A ；确定三棱锥外接球半径计算判断B ；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算距离及线面角判断CD 作答.【详解】对于A ，显然S 与正方形11CDD C 的交线为线段MN ，而S 与正方形11ABB A 有公共点1A ， 则S 与正方形11ABB A 有交线，又面11//ABB A 面11CDD C ，因此该交线与MN 平行，交1BB 于点O ，如图，即有S 与正方形11BCC B 交线为线段ON ，与正方形1111D C B A 交线为线段1A M ， 从而S 与正方体的四个面相交，即S 是四边形，A 不正确；对于B ，三棱锥1A BCD -与正方体1111ABCD A B C D -有相同的外接球，而正方体1111ABCD A B C D -的外接球直径为体对角线长123AC =3R 此球的体积3344(3)4333V R πππ===，B 正确； 对于C ，以点D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，则14(2,0,2),(2,2,0),(0,1,2),(0,2,)3A B M N ，112(0,1,),(0,2,2),(2,1,0)3NM A B A M =-=-=-，令平面1A MN 的法向量为(,,)n x y z =，则1122020n A B y z n A M x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得(1,2,2)n =，点N 到平面1A MN 的距离2||2339||n NM d n ⋅===，而115,22,3AM A B BM ==， 1A BM △中，由余弦定理得22211111cos 210A B A M BM BA M A B A M +-∠==⋅，1sin 10BA M ∠=111111sin 22532210A BMSA B A M BA M =⋅∠=⨯=， 因此三棱锥1A BNM -的体积111239A BNM A BMV Sd -=⋅=，C 正确； 对于D ，由选项C 知，(0,2,0),(2,0,0),(2,1,2)C BC BM =-=--，设平面1A BC 的法向量111(,,)m x y z =，则111122020n A B y z n BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11y =，得(0,1,1)m =，设BM 与平面1A BC 所成的角为θ，则||12sin |cos ,|||||32m BM m BM m BM θ⋅=〈〉===⨯，234cos 1sin θθ=-=sin 17tan cos θθθ==D 不正确. 故选：BC【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题13．已知数列{}n a 的通项公式为210n a n =-，n S 为{}n a 前n 项和，则n S 最小值时，n =______. 【答案】4或5【分析】求出0n a ≤时n 的范围即可得答案. 【详解】令2100n a n =-≤得5n ≤， 即当4n ≤时，0n a <， 当5n =时，0n a = 当6n ≥时，0n a > n S ∴最小值时，n =4或5故答案为：4或5.14．若多项式()()()91021001910111x x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则3a =______【答案】120-【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】210210210(11)(11)(1)2(1)1(11)x x x x x x x +=+-++-=+-++++-， 二项式10(11)x +-的通项公式为：10110(1)(1)rrr r T C x -+=⋅+⋅-，因为()()()91021001910111x x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，所以令1037r r -=⇒=，因此77310(1)120a C =⋅-=-，故答案为：120-15．已知O 为坐标原点，过抛物线()2:20C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(),0M p ，若AF AM =，则直线AB 的斜率为______.【答案】【分析】由条件可得2M FA x x x +=，然后求出点A 的坐标，然后由AB AF k k =可得答案.【详解】因为AF AM =，(),0M p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以324M F A x x x p +==，所以22322A A y px p ==，A y p =，所以02342AB AFp k k p p -===-故答案为：四、双空题16．定义在R 上的函数()f x 满足()()()21212022f x f x f ++-=，()()11f x f x +=-+，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2022f =______，200112k kf k =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑______.【答案】 0 -100【分析】根据()()()21212022f x f x f ++-=得到()()()22022f x f x f ++=，()()()422022f x f x f +++=，从而得到()()4f x f x +=，即()f x 的一个正周期为4，故()()20222f f =，用赋值法得到()00f =，求出()()202220f f ==，再求出()f x 关于1x =对称，关于3x =对称，结合1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，571222f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数的正周期，求出200112k kf k =⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的值. 【详解】由()()()21212022f x f x f ++-=可得：()()()112022f x f x f ++-=， 即()()()22022f x f x f ++=，将x 替换为2x +得：()()()422022f x f x f +++=，两式相减得：()()4f x f x +=，即()f x 的一个正周期为4，因为202245052=⨯+，所以()()20222f f =，又()()()112022f x f x f ++-=中令1x =得：()()()202022f f f +=， 所以()00f =，()()110f x f x -++=中令1x =得：()()020f f +=，故()20f =，故()()202220f f ==；由()()11f x f x +=-+知：()f x 关于1x =对称，因为()f x 的最小正周期为4，所以()()51f x x f -+=-+， 故()()51f f x x +=-+，即()f x 关于3x =对称，因为1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以311222f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，537222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由()()2=-+f x f x 知：331122222f f f ⎛⎫⎛-⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则571222f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为4， 所以200111357399234200222222k kf k f ff f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()1123456781971981992002=+--++--+++--⎡⎤⎣⎦()()()()1144445010022=⨯-+-++-=⨯-⨯=-⎡⎤⎣⎦.故答案为：0，-100【点睛】设函数()y f x =，x ∈R ，0a >，ab ．（1）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （2）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （3）若()()1f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （4）若()()1f x a f x +=，则函数()f x 的周期为2a ； （5）若()()f x a f x b +=+，则函数()f x 的周期为a b -；（6）若函数()f x 的图象关于直线x a =与x b =对称，则函数()f x 的周期为2b a -；（7）若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2b a -； （8）若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4b a -； （9）若函数()f x 是偶函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a ； （10）若函数()f x 是奇函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为4a ．五、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-. (1)求A ；(2)若ABC 为锐角三角形，且3a =，求ABC 面积的取值范围. 【答案】(1)π3A =(2)⎝⎦【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理得到1cos 2A =，结合()0,πA ∈，求出π3A =；（2）由正弦定理得到,b B c C ==，表达出π26ABCSB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用ABC 为锐角三角形，求出ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而得到π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，ABC S∈⎝⎦. 【详解】（1）()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-变形为222sin 2sin sin sin sin sin sin B B C C A B C -+=-，由正弦定理得：222b c a bc +-=，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为()0,πA ∈，所以π3A =；（2）由正弦定理得：3πsin sin sin sin 3b c a B C A ====故,b B c C ==，故12πsin sin sin 23ABCSbc A B C B B ⎛⎫===- ⎪⎝⎭219sin sin cos 22B B B B B B ⎫=+=⎪⎪⎝⎭9πsin 22246B B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2π0,32πC B ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， 解得：ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则π26ABCSB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎝⎦. 18．已知数列{}n a 的首项127a =，且满足12(31n n na a n a +=∈+N*）．(1)求证：数列13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n a 为等比数列；(2)若1231111na a a a +++⋯+＜100，求满足条件的最大正整数n ． 【答案】(1)证明见解析 (2)33n =【分析】（1）由已知递推公式得1111332+⎫⎛-=-⎪ ⎝⎭n n a a ，由此可得证； （2）由（1）得1132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据等比数列的求和公式可求得1231111n a a a a +++⋯+，再令1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得函数()f x 的单调性和(33)0,(34)0f f <>可得答案.【详解】（1）解：112311,312n n n n n na a a a a a +++=∴=+， 11113111,33222n n n n a a a a ++⎛⎫∴=+∴-=- ⎪⎝⎭， 又112171,3722a a =∴=-=，∴数列13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n a 是以12为首项，12为公比的等比数列．（2）解：由（1）可知，11111113,32222n n nn n a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-==∴=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2123111111113132222nnn n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若1231111100na a a a ++++<，则1113100,39922n nn n ⎛⎫⎛⎫-+<∴-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 在R 上单调递增，且333411(33)99990,(34)10299022f f ⎛⎫⎛⎫=--<=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以满足条件的最大正整数33n =．19．2022年某省社科院发布了本年度“城市居民幸福指数排行榜”，某市成为了本年度城市居民最“幸福城”，随后，某机构组织人员进行社会调查，用“10分制”随机调查“明月”社区人们的幸福指数.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）.若幸福指数不低于9.0分，则称该人的幸福度为“超级幸福”.(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“超级幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选4人，记ξ表示抽到“超级幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望. 【答案】(1)众数：8.6；中位数：8.75 . (2)19140. (3)分布列见解析；1.【分析】（1）根据茎叶图即可求得众数和中位数；（2）根据互斥事件的概率加法公式以及古典概型的概率公式，即可求得答案; （3）确定ξ的可能取值，确定幸福度为“超级幸福”的概率为P ，由题意可知1(4,)4B ξ，根据二项分布的概率计算可求得ξ的每个值对应的概率，可得分布列，继而求得二项分布的数学期望. 【详解】（1）由茎叶图可知众数：8.6；中位数：8.78.88.752+=. （2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“超级幸福”事件， 至少有2人是“超级幸福”记为事件A ，则213412423331616C C C 7619()()()C C 560140P A P A P A =+=+== . （3）由题意可知,ξ的可能取值为0,1,2,3,4, 任选一人，该人的幸福度为“超级幸福”的概率为 41164P ==， 故1(4,)4B ξ，则04113443811327(0)C (),(1)C ()()42564464P P ξξ======， 22241327(2)C ()()44128P ξ=== ,3314133(3)C ()()4464P ξ===， 44411(4)C ()4256P ξ===， 所以ξ的分布列为；ξ0 1 2 3 4 P812562764271283641256因为1(4,)4B ξ,所以1()414E ξ=⨯= .20．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，CE DE =，//EF DB ，2DB EF =，平面CDE ⊥平面ABCD .(1)求证：平面BCF ⊥平面ABCD ； (2)若直线BE 与平面ABCD 310C 与平面AEF 的距离. 【答案】(1)证明见解析； 415【分析】（1）分别取,CD BC 中点O ，G ，证明//FG EO ，再结合面面垂直性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）求出EO 长，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点C 与平面AEF 的距离作答. 【详解】（1）分别取,CD BC 中点O ，G ，连接,,EO OG GF ，如图，于是得1//,2OG BD OG BD =，而//EF DB ，2DB EF =，则//,EF OG EF OG =， 即四边形OGFE 为平行四边形，//FG EO ，又CE DE =，有EO CD ⊥， 因为平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE ⋂平面ABCD CD =，EO ⊂平面CDE ， 因此EO ⊥平面ABCD ，即有FG ⊥平面ABCD ，而FG ⊂平面BCF ， 所以平面BCF ⊥平面ABCD .（2）连接OB ，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，则BCD △为正三角形，有OB CD ⊥， 由（1）知EO ⊥平面ABCD ，即有EBO ∠为直线BE 与平面ABCD 所成的角，即sin 10EBO ∠=， cos tan 310EBO EBO ∠=∠=，而2BD =，则3,33OB OE == 显然,,OB OC OE 两两垂直，以点O 为原点，射线,,OB OC OE 分别为,,x y z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，则(3,2,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,33)A B C D E --， 131(0,1,33),(3,2,33),(,,0)222CE AE EF DB =-=-==， 设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，则3233031022n AE x y z n EF x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得(1,3,1)n =-， 所以点C 与平面AEF 的距离||43415||5CE n d n ⋅===.21．已知椭圆22:14x C y +=，过点10,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭直线1l ，2l 的斜率为1k ，2k ，1l 与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，2l 与椭圆交于()33,C x y ，()44,D x y 两点，且A ，B ，C ，D 任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线12y =-交直线AC ，BD 于P ，Q .(1)求证：1122341234k x x k x xx x x x =++； (2)PM QM的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)PM QM为定值1【分析】（1）依题意可得直线111:2l y k x =-，直线221:2l y k x =-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出11212k x x x x +、23434k x x x x +的值，即可得证；（2）设1,2P P x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2Q Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，依题意可得A 、P 、C 三点共线，则11313112Py y y x x x x +-=--，即可求出P x ，同理可得Q x ，再结合（1）的结论得到0P Q x x +=，即可得到PM QM =，从而得证. 【详解】（1）证明：依题意直线111:2l y k x =-，直线221:2l y k x =-，由1221214y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得()221114430k x k x +--=， 显然0∆>，所以11221414k x x k +=+，1221314x x k -+=+， 所以1111212212134314414k k x x x x k k k -⋅++==-+，由2221214y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得()222214430k x k x +--=， 显然0∆>，所以23422414k x x k +=+，3422314x x k -+=+， 所以2234342222243144143k k x x x x k k k -⋅++==-+， 所以1122341234k x x k x x x x x x =++. （2）解：PM QM为定值1，设1,2P P x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2Q Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由已知可得13y y ≠，24y y ≠，即1224k x k x ≠，1123k x k x ≠，因为A 、P 、C 三点共线，所以11313112P y y y x x x x +-=--，即112311131********Pk x k x k x x x x x ⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--， 解得()21132311P k k x x x k x k x -=-，同理可得()21242412Q k k x x x k x k x -=-，由（1）知1122341234k x x k x xx x x x =++，可得()()1123423412k x x x x k x x x x +=+， 整理得()()114242322311x x k x k x x x k x k x -=-，即112421331224x x x x k x k x k x k x =--，所以()()2124211324122311P Q k k x x k k x x x x k x k x k x k x --+=+=--，所以P Q x x =，所以P Q PM x x QM ===，即1PM QM=.22．已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-. (1)用a 表示出b ，c ；(2)若()ln 0f x x -≥在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； (3)证明：()()()*111111ln 123212n n n n +++⋅⋅⋅++>++∈+N . 【答案】(1)1,12b a c a =-=-.(2)[1,)2+∞(3)证明见解析.【分析】（1）根据导数的结合意义，列出等式，即可求解；（2）由()ln 0f x x -≥在[)1,+∞上恒成立，设函数()()ln g x f x x =-，求得其导数，分类讨论，判断函数单调性，根据不等式恒成立，求得参数范围.（3）利用（2）的结论，可得当1x >时，11()ln 2x x x ->，令1,N k x k k*+=∈ ，则可推得111ln(1)ln (),1,2,3,,21k k k n k k +-<+=+，将这n 个不等式累加,即可证明结论.【详解】（1）由()()0b f x ax c a x=++>可得()2bf x a x -'=，则()10f a b c =++=，且()11f a b '=-=， 则1,12b a c a =-=-. （2）由（1）知，()()112,0a f x ax a a x-=++->， 令()1()ln 12ln ,[1,)a g x f x x ax a x x x-=-=++--∈+∞， 则22221(1)()11(1)(1)0,()aa x x a ax x a a g g x a x x xx -------==--='=，当102a <<时，11a a ->， 若11ax a-<<，则()0g x '<，()g x 是减函数，所以()(1)0g x g <= ，这与题意不符； 当12a ≥时，11aa-≤ ， 若1x ≥，则()0g x '≥，仅当1x =时等号成立，()g x 是增函数， 所以()()10g x g ≥=，即()ln 0f x x -≥恒成立，仅当1x =时等号成立， 综上所述，所求a 的取值范围为1[,)2+∞.（3）由（2）知，当 12a ≥时，有()ln ,(1)f x x x ≥≥ ， 取12a =，有11()()ln ,(1)2f x x x x x =-≥≥，且当1x >时，11()ln 2x x x ->， 令1,N k x k k *+=∈，则 111111()(1)(1)2121ln k k k k k k k k ++⎡⎤<-=+--⎢⎥++⎣⎦， 即111ln(1)ln (),1,2,3,,21k k k n k k +-<+=+，即11ln 2ln1(1)22-<+，111ln 3ln 2()223-<+，，111ln(1)ln ()21n n n n +-<++， 将上述n 个不等式依次相加得11111ln(1)()2232(1)n n n +<++++++ ， 两边加12，整理得()()()*111111ln 1,23212n n n n +++⋅⋅⋅++>++∈+N 【点睛】关键点点睛：证明不等式()()()*111111ln 123212n n n n +++⋅⋅⋅++>++∈+N 时，要利用（2）中结论，即当 12a ≥时，有()ln ,(1)f x x x ≥≥ ，取12a =，有11()()ln ,(1)2f x x x x x=-≥≥，且当1x >时，11()ln 2x x x ->，因此解答的关键点就在于要采用赋值的方法，即令1,N k x k k*+=∈，得到111ln(1)ln (),1,2,3,,21k k k n k k +-<+=+，然后采用累加的方法，即可证明.。
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8利用向量求点到面、线到面 、面到面的距离
【例1】 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则点A 到平面BED 的距离为 ( )
A.2
B. 3
C. 2
D.1
【解析】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,22)，E (0,2，2).设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的法向量.则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·BD →＝2x ＋2y ＝0
n ·DE →＝2y ＋2z ＝0
.
取y ＝1，则n ＝(－1,1，－2)为平面BDE 的一个法向量.
又DA →
＝(2,0,0)，∴点A 到平面BDE 的距离是d ＝|n ·DA →||n |
＝
|－1×2＋0＋0|
－12
＋12
＋－2
2
＝1.
【评注】利用向量法求点面的距离，合理建系寻求平面的法向量和斜线的方向向量，利用
斜线的方向向量在法向量上的投影的绝对值即为点P 到平面α的距离d ＝|PM →
·n |
|n |
(其中n
为α的法向量，M 为α内任一点)．
【变式1】四棱锥中利用向量法求点到面的距离
在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝4，AB ＝2，以AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N ，则点N 到平面ACM 的距离为 1.10627
【解析】分别以AB 、AD 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，
P (0,0,4)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，D (0,4,0)，M (0,2,2)，∴A C →＝(2,4,0)，A M →
＝(0,2,2)，
设平面ACM 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥A C →，n ⊥A M →，可得⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋4y ＝0，
2y ＋2z ＝0，令z ＝
1，则n ＝(2，－1,1)．
由已知得，AN ⊥NC ，在Rt△PAC 中，PA 2
＝PN ·PC ，所以PN ＝83
，
则NC ＝PC －PN ＝103，NC PC ＝59. 所以所求距离为点P 到平面ACM 距离的5
9
，又点P 到平面ACM
的距离为|A P →
·n n |＝263. 所以点N 到平面ACM 的距离为106
27
.
【例2】已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．
（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1CC 到平面1A AB 的距离；
【解析】1CC //平面1A AB ⇒C 到平面1A AB 的距离⇒1CC 到平面1A AB 的距离 （I ）如图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DE AC ⊥，又1A D ⊥
平面ABC ，
以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，
则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，
()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，
知1A C CB ⊥，又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ；
（II ）由1AC ⋅2
130BA t =-+=，得
3t = 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，
()2,2,0AB =，所以130
220
n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨
⋅=+=⎪⎩，设1z =，则(
)
3,3,1n =-
所以点1C 到平面1A AB 的距离1||||
AC n d n ⋅=
=221
． 【评注】 当直线与平面平行，那么直线到平面的距离就可以转化为直线上的点到平面的距
离，可以利用向量法求解点到面的距离.
【变式1】特殊三棱柱中利用向量求线到平面的距离
已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥．则1CC 到平面1A AB 的距离
1.
221
7
【解析】如图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面
ABC ，
以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴
建立空间坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，
()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，
B C A 1B 1C M N z M N
y
z M
()12,1,BA t =--，
由1AC ⋅2
130BA t =-+=，
得
t =．设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =
，(1AA =，()2,2,0AB =，所以
10
220
n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨
⋅=+=⎪⎩，设1z =，
则(
)
3,n =所以点1C 到平面1A AB 的距离
1||||
AC
n d n ⋅=
=,,由1CC 平行于平面1A AB
，则1CC 到平面1A AB . 【例3】正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则平面AB 1D 1与平面BDC 1的距离为( )
A.2a B ．3a C.23a D ．3
3
a
【解析】 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐
标系，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(1，－1,1)，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，BA →
＝(0，－a,0)，
则两平面间的距离d ＝|BA →·n |n ||＝a 3＝3
3
a .
【评注】
AO
x。