北师大数学选修22新素养应用案巩固提升：第五章 1.1 数的概念的扩展 含解析

[A 基础达标]
1.复数－2i ＋3的实部为( ) A ．－2 B ．3 C ．2
D ．－3
解析：选B.复数－2i ＋3就是3－2i ，故实部为3.
2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2
D ．－1
解析：选B.根据复数的分类知，需满足
⎩⎪⎨
⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，
a －1≠0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a ＝2.
3．以π＋3i 的实部为虚部，以2＋ei 的虚部为实部的复数为( ) A ．π＋ei B ．e ＋2i C ．π＋2i
D ．e ＋πi
解析：选D.π＋3i 的实部为π，2＋ei 的虚部为e ，则所求的复数为e ＋πi . 4．复数z ＝2－b 5－2b ＋45i 的实部与虚部互为相反数，则实数b 等于( )
A. 2
B.2
3 C ．2
D ．－23
解析：选D.由b ∈R ，知复数z 的实部为2－b 5，虚部为－2b ＋45，所以2－b 5＝2b ＋4
5，解
得b ＝－2
3
，故选D.
5.已知下列命题： ①复数a ＋b i 不是实数；
②若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ③若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数． 其中正确的命题有( ) A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：选A.①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数；②是假命题，因为由
纯虚数的条件得⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，
x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应复数为实数；③是假命题，
因为没强调a ，b ∈R .
6.“a ＝－3”是“复数z ＝(a 2－9)＋(a ＋1)i(a ，b ∈R )为纯虚数”的________条件． 解析：当a ＝－3时，z ＝－2i 为纯虚数．
但z ＝(a 2－9)＋(a ＋1)i(a ，b ∈R )为纯虚数时，a ＝±3，故“a ＝－3”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
7．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为________．
解析：由z 1
＞z 2
，得⎩⎪⎨⎪
⎧2a 2＋3a ＝0，
a 2
＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎨⎧a ＝0或a ＝－3
2
，
a ＝0或a ＝－1，a ＜16
.
解得a ＝0. 答案：0
8.设z ＝(m 2－5m －6)＋(m 2－2m －3)i(m ∈R )．当m ＝______时，z 为实数，当m ＝______时，z 为纯虚数．
解析：由z ∈R 知m 2－2m －3＝0得m ＝－1或3.
由z 为纯虚数知⎩
⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≠0，m 2－5m －6＝0得m ＝6.
答案：－1或3 6
9.已知复数z ＝x 2－2x －3＋3[(log 12
x )2－log 12
x －2]i 是虚部为正数的非纯虚数，试求实数x
的取值范围．
解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≠0，
（log 12x ）2－log 12
x －2>0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1且x ≠3，log 12x <－1或log 12x >2 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1且x ≠3，x >2或0<x <14
⇒0<x <1
4
或x >2且x ≠3，
故实数x 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫0，1
4∪(2，3)∪(3，＋∞)． 10.若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，求实数x 的取值范围．
解：由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2－3x －2）>1，
log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4>0，
x 2＋2x ＝0.
所以⎩
⎪⎨⎪⎧x >4或x <－1，x ＝0或x ＝－2，所以x ＝－2.
所以x 的取值范围为{x |x ＝－2}．
[B 能力提升]
11．已知M ＝{1，2，m 2－3m －1＋(m 2＋7m ＋6)i}，N ＝{－1，3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )
A ．－1或6
B ．－1或4
C ．－1
D ．4
解析：选C.若M ∩N ＝{3}，则 m 2－3m －1＋(m 2＋7m ＋6)i ＝3，
所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2
＋7m ＋6＝0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝4或m ＝－1，m ＝－6或m ＝－1.
所以m ＝－1. 12．给出下列说法： ①若a ∈R ，则a i 是纯虚数；
②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；
③若z 21＋z 2
2＝0，则z 1＝z 2＝0；
④两个虚数不能比较大小． 其中说法正确的序号是________．
解析：对于①，当a ＝0时不是纯虚数，故①错；对于②，两个虚数不能比较大小，故
②错；对于③，当z 1＝1，z 2＝i 时，z 21＋z 22＝0，故③错；④显然正确．
答案：④
13．已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围． 解：因为x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋3＋(y 2－1)i ， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧y ＋1＝0，
y 2－1＝0，x 2
－1>2x ＋3，
所以y ＝－1，x <1－
5或x >1＋5，
即x ，y 的取值范围分别是{x |x <1－5或x >1＋5}，{y |y ＝－1}． 14．(选做题)求实数m 为何值时，复数z ＝m 2－4m －5m ＋3＋(m 2－2m －15)i ，
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是零．
解：(1)当z 是实数时，⎩
⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，
m ≠－3，
即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5或m ＝－3，
m ≠－3，
所以当m ＝5时，z 为实数．
(2)当z 是虚数时，⎩
⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m ≠－3，
即⎩
⎪⎨⎪⎧m ≠5且m ≠－3，
m ≠－3， 所以当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数． (3)当z 是纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m －5
m ＋3＝0，①
m 2
－2m －15≠0，②
由①得m ＝5或m ＝－1且m ≠－3， 由②得m ≠5且m ≠－3.
所以当m ＝－1时，z 为纯虚数． (4)当z ＝0时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m －5
m ＋3＝0，①
m 2
－2m －15＝0，②
由①得m ＝5或m ＝－1，且m ≠－3， 由②得m ＝5或m ＝－3. 所以当m ＝5时，z 为零．。