2013年天津市高考数学试卷(理科)及解析
2013年天津理科数学试题及全解析
2013年天津卷理科数学试题一、选择题【1】（A ，天津，文理1）已知集合{}{}2,1,A x R x B x R x =∈≤=∈≤则AB =错误！未找到引用源。
A. (],2-∞B. []1,2C. []2,2-D. []2,1-考点名称：【1】集合【1】（A ，天津，文理1）D 集合[](]2,2,,1A B =-=-∞，所以[]2,1AB =-【2】（A ，天津，文理2）设变量x,y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数z=y-2x 的最小值为错误！未找到引用源。
A. -7B. -4C.1D. 2考点名称：简单的线性规划【2】（A ，天津，文理2）A 如图，当目标函数经过可行域内点A(5，3)时，z 的最小值为-7.【3】（B ，天津，理3）阅读右边的程序框图，运行相应程序，若输入x 的值为1，则输出的S 的值为错误！未找到引用源。
A. 64B. 73C.512D. 585考点名称：【24】算法初步与框图【3】（B ，天津，理3）B 根据程序框图，列表如下错误！未找到引用源。
【4】（B ，天津，理4）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线10x y ++=与圆2212x y +=相切， 其中真命题的序号是A. ① ② ③B. ① ②C. ① ③D. ② ③考点名称：【2】常用逻辑用语——命题【4】（B ，天津，理4）C ①设球的半径为R ，则体积343R V π=；若球的半径为2R ，体积为34()1238R V π=，所以①为真命题②A 组数据:1,2,3 ，平均数2，标准差为1；B 组数据：2，2，2，平均数2，标准差0. 所以②为假命题 ③圆心(0,0)半径r =，圆心到直线的距离d r ==，直线与圆相切.所以③为真命题 【5】（B ，天津，理5）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)y px p =>的准线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，AOB ∆p = 错误！未找到引用源。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y－2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭。
2013年全国高考理科数学试题及答案-天津卷
3
的线段长为 4 3 . 3
(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若
AC·DB AD·CB 8 , 求 k 的值.
(19) (本小题满分 14 分)
已知首项为
3 2
的等比数列
{an} 不是递减数列,
(Ⅲ) 设点 M 在线段 C1E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为 2 , 求线段 AM 的长. 6
(18) (本小题满分 13 分)
设椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的左焦点为 F, 离心率为 3 , 过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得
a2 b2
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用 条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本 试卷和答题卡一并交回.
时, 1 | a | 取得最小值. 2|a| b
三．解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分 13 分)
已知函数 f (x)
2
sin
2x
4
6 sin
x
cos
x
2 cos2
x
1,
x
2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动, 用橡皮擦干净后，再选凃其他答案标号.2.本卷共8小题, 每小题5分，共40分.参考公式：·如果事件A，B互斥，那么·棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面积, h表示棱柱的高。
·如果事件A, B相互独立，那么·球的体积公式其中R表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A = {x∈R｜|x｜≤2}，A = {x∈R| x≤1｝，则（A）(B）[1，2] (C) [－2，2］（D) ［－2，1］（2）设变量x，y满足约束条件则目标函数z = y－2x的最小值为（A）－7 (B) －4(C）1 （D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为(A) 64 （B）73(C) 512 （D）585（4) 已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的;②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x + y + 1 = 0与圆相切。
其中真命题的序号是：(A) ①②③(B）①②（C）②③（D）②③（5）已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为, 则p =(A）1 （B）(C）2 （D) 3（6）在△ABC中, 则=（A）（B) （C）（D)（7）函数的零点个数为(A) 1 (B）2 （C）3 （D) 4（8) 已知函数。
2013年天津高考数学理试题（含答案）
2013年(天津卷)理 科 数 学第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么那么)()()(B P A P A P B È=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R p = 其中R 表示球的半径. 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B Ç=(A) (,2]-¥ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ³--£+-ì-£ïíïî则目标函数z = y －2x 的最小值为的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 (3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等②若两组数据的平均数相等, , , 则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等; ;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③①②③ (B) ①②①②(C) ②③②③ (D) ②③②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p = 2,p 1010310515-13,0-1513+-51ö- = . x 的二项展开式中的常数项为的二项展开式中的常数项为 . | = . 的长为的长为 . 的长为的长为 . = 时2sin23 2243。
2013年高考理数真题试卷(天津卷)及解析
第1页，总16页………○…………装…………○………学校:___________姓名：___________班级：_____………○…………装…………○………2013年高考理数真题试卷（天津卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1.已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（ ） A.（﹣∞，2] B.[1，2] C.[﹣2，2] D.[﹣2，1]2.设变量x ，y 满足约束条件 {3x +y −6≥0x −y −2≤0y −3≤0，则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为（ ）A.﹣7B.﹣4C.1D.23.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为（ ）A.64B.73C.512D.5854.已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的 12 ，则其体积缩小到原来的 18 ； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x+y+1=0与圆 x 2+y 2=12 相切． 其中真命题的序号是（ ） A.①②③ B.①②答案第2页，总16页C.①③D.②③5.在△ABC 中， ∠ABC =π4,AB =√2,BC =3 ，则sin∠B AC=（ ）A.√1010 B.√105C.3√1010D.√556.函数f （x ）=2x |log 0.5x|﹣1的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.47.已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若 [−12,12]⊆A 则实数a 的取值范围是（ ） A.(1−√52,0) B.(1−√32,0) C.(1−√52,0)∪(0,1+√32)D.(−∞,1−√52)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）8. (x −√x)6的二项展开式中的常数项为 ．9.已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C ，点P 的极坐标为 (4,π3) ，则|CP|= ． 10.在平行四边形ABCD 中，AD=1，∠BAD=60°，E 为CD 的中点．若 AC →⋅BE →=1 ，则AB 的长为 ．第3页，总16页…………装…………○…………订……线…………○…校:___________姓名：___________班级：___________考…………装…………○…………订……线…………○…11.如图，△ABC 为圆的内接三角形，BD 为圆的弦，且BD∥AC．过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ．若AB=AC ，AE=6，BD=5，则线段CF 的长为 ．12.设a+b=2，b ＞0，则当a= 时， 12|a|+|a|b取得最小值． 三、解答题（题型注释）13.已知函数 f(x)=−√2sin(2x +π4)+6sinxcosx −2cos 2x +1,x ∈R ．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在区间 [0,π2] 上的最大值和最小值．14.如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A⊥底面ABCD ，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA 1=AB=2，E 为棱AA 1的中点．（1）证明B 1C 1⊥CE；（2）求二面角B 1﹣CE ﹣C 1的正弦值．（3）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为 √26 ，求线段AM 的长．15.设椭圆 x 2a 2+y 2b2 =1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，离心率为 √33 ，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4√33． （1）求椭圆的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →⋅DB →+AD →⋅CB →=8，求k 的值．16.已知首项为 32 的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n（n∈N *），且S 3+a 3 ， S 5+a 5 ， S 4+a 4成等差数列．答案第4页，总16页（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设 T n =S n −1S n(n ∈N ∗) ，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．17.已知函数f （x ）=x 2lnx ．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）证明：对任意的t ＞0，存在唯一的s ，使t=f （s ）．（3）设（2）中所确定的s 关于t 的函数为s=g （t ），证明：当t ＞e 2时，有 25<lng(t)lnt<12 ．第5页，总16页…………装…………○…………订……………………线……校:___________姓名：___________班级：___________考号：_________…………装…………○…………订……………………线……参数答案1.D【解析】1.解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1} 故选D ． 【考点精析】根据题目的已知条件，利用集合的交集运算的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握交集的性质：（1）A∩B A ，A∩BB ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则A B ，反之也成立． 2.A【解析】2.解：设变量x 、y 满足约束条件 {3x +y −6≥0x −y −2≤0y −3≤0，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y ﹣2x=0经过点A （5，3）时，y ﹣2x 最小，最小值为：﹣7， 则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为﹣7． 故选A ．3.B【解析】3.解：经过第一次循环得到S=0+13 ， 不满足S≥50，x=2， 执行第二次循环得到S=13+23 ， 不满足S≥50，x=4， 执行第三次循环得到S=13+23+43=73，满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出S=73． 故选B ．答案第6页，总16页…………○…………线…………○※※答※※题※※…………○…………线…………○【考点精析】本题主要考查了程序框图的相关知识点，需要掌握程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明才能正确解答此题． 4.C【解析】4.解：①由球的体积公式V= 43πR 3 可知，若一个球的半径缩小到原来的 12 ，则其体积缩小到原来的 18 ；故①正确；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错； ③圆 x 2+y 2=12 的圆心到直线x+y+1=0的距离d=√2=√22=半径r ，故直线x+y+1=0与圆x 2+y 2=12 相切，③正确．故选C ．【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5.C【解析】5.解：∵∠ABC= π4 ，AB= √2 ，BC=3，∴由余弦定理得：AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5， ∴AC= √5 ，则由正弦定理 AC sin∠ABC = BC sin∠BAC 得：sin∠BAC= 3×√22√5 = 3√1010 ．故选C【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:第7页，总16页订…………○…………线…………○…__考号：___________订…………○…………线…………○…)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．6.B【解析】6.解：函数f （x ）=2x |log 0.5x|﹣1，令f （x ）=0， 在同一坐标系中作出y=（ 12 ）x ． 与y=|log 0.5x|，如图， 由图可得零点的个数为2． 故选B ．7.A【解析】7.解：取a=﹣ 12 时，f （x ）=﹣ 12 x|x|+x ， ∵f（x+a ）＜f （x ），∴（x ﹣ 12）|x ﹣ 12|+1＞x|x|， （1）x ＜0时，解得﹣ 34 ＜x ＜0； （2）0≤x≤ 12 时，解得0 ≤x ≤12；（3）x ＞ 12 时，解得 12<x <54 ，综上知，a=﹣ 12 时，A=（﹣ 34 ， 54 ），符合题意，排除B 、D ；取a=1时，f （x ）=x|x|+x ，∵f（x+a ）＜f （x ），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|， （1）x ＜﹣1时，解得x ＞0，矛盾； （2）﹣1≤x≤0，解得x ＜0，矛盾； （3）x ＞0时，解得x ＜﹣1，矛盾； 综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C ， 故选A ．【考点精析】本题主要考查了函数单调性的性质的相关知识点，需要掌握函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能正确解答此题． 8.15答案第8页，总16页…………○…………装…………○……※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※…………○…………装…………○……【解析】8.解；设 (x−√x )6的二项展开式中的通项为T r+1 ， 则T r+1= C 6r•（﹣1）r• x6−32r，由6﹣ 32 r=0得：r=4． ∴ (x −√x)6 的二项展开式中的常数项为 C 64•（﹣1）4= C 62=15．所以答案是：15． 9.2√3【解析】9.解：圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x 2+y 2=4x ，圆心为C （2，0），点P 的极坐标为 (4,π3) ，所以P 的直角坐标（2，2 √3 ），所以|CP|= √(2−2)2+(2√3−0)2 =2 √3 ．所以答案是：2 √3． 10.12【解析】10.解：∵ BC →=AD →， EC →=12AB → ． ∴ AC →⋅BE →= == AD →2+ 12AB →⋅AD →﹣ 12AB →2 ==1，化为，∵ |AB →|≠0 ，∴ |AB →|=12． 所以答案是 12 ．11.83【解析】11.解：如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC ，所以∠EAB=∠ABC， 所以直线AE∥直线BC ，又因为AC∥BE，所以是平行四边形． 因为AB=AC ，AE=6，BD=5，∴AC=AB=4，BC=6． △AFC∽△DFB，第9页，总16页………○…………线…………○…__________………○…………线…………○…AC BD=CFFB即： 45=CF6−CF ， CF= 83 ，所以答案是： 83 ．12.﹣2【解析】12.解：∵a+b=2，b ＞0， ∴ 12|a|+|a|b= 12|a|+|a|2−a ，（a ＜2）设f （a ）= 12|a|+|a|2−a ，（a ＜2），画出此函数的图象，如图所示． 利用导数研究其单调性得， 当a ＜0时，f （a ）=﹣ 12a + a2−a， f′（a ）= 12a 2−2(a−2)2 =−(3a−2)(a+2)2a 2(a−2)2，当a ＜﹣2时，f′（a ）＜0，当﹣2＜a ＜0时，f′（a ）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数， ∴当a=﹣2时， 12|a|+|a|b 取得最小值 34． 同样地，当0＜a ＜2时，得到当a= 23 时， 12|a|+|a|b 取得最小值 54． 综合，则当a=﹣2时， 12|a|+|a|b取得最小值． 所以答案是：﹣2．答案第10页，总16页…………订…………○…………线…………○订※※线※※内※※答※※题※※…………订…………○…………线…………○【考点精析】通过灵活运用基本不等式，掌握基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）；变形公式：即可以解答此题．13.（1）解：∵sinxcosx= 12 sin2x ，cos 2x= 12 （1+cos2x ）∴f （x ）=﹣ √2 sin （2x+ π4 ）+6sinxcosx ﹣2cos 2x+1=﹣sin2x ﹣cos2x+3sin2x ﹣（1+cos2x ）+1=2sin2x ﹣2cos2x=2 √2 sin （2x ﹣ π4 ） 因此，f （x ）的最小正周期T= 2π2 =π；（2）解：∵0≤x≤ π2 ，∴﹣ π4 ≤2x﹣ π4 ≤ 3π4∴当x=0时，sin （2x ﹣ π4 ）取得最小值﹣ √22 ；当x= 3π8 时，sin （2x ﹣ π4 ）取得最大值1由此可得，f （x ）在区间 [0,π2] 上的最大值为f （ 3π8 ）=2 √2 ；最小值为f （0）=﹣2．【解析】13.（1）利用两角和的正弦公式将sin （2x+ π4 ）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f （x ）=2sin2x ﹣2cos2x ，再利用辅助角公式化简得f （x ）=2 √2 sin （2x…………线…………○……………线…………○…﹣ π4 ），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f （x ）的最小正周期；（2）根据x∈ [0,π2] ，得﹣ π4 ≤2x﹣ π4 ≤ 3π4 ．再由正弦函数在区间[﹣ π4 ， 3π4 ]上的图象与性质，可得f （x ）在区间 [0,π2] 上的最大值为与最小值．【考点精析】利用两角和与差的正弦公式和二倍角的正弦公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两角和与差的正弦公式：；二倍角的正弦公式：．14.（1）证明：以点A 为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A （0，0，0），B （0，0，2），C （1，0，1），B 1（0，2，2），C 1（1，2，1），E （0，1，0）．则 B 1C 1→=(1,0,−1),CE →=(−1,1,−1) ， 而 B 1C 1→⋅CE →=(1,0,−1)⋅(−1,1,−1) =0． 所以B 1C 1⊥CE；（2）解： B 1C →=(1,−2,−1) ， 设平面B 1CE 的法向量为 m →=(x,y,z) ， 则 {m →⋅B 1C →=0m →⋅CE →=0，即 {x −2y −z =0−x +y −z =0，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以 m →=(−3,−2,1) ．由（1）知B 1C 1⊥CE，又CC 1⊥B 1C 1，所以B 1C 1⊥平面CEC 1， 故 B 1C 1→=(1,0,−1) 为平面CEC 1的一个法向量， 于是 cos〈m →,B 1C 1→〉=m →⋅B 1C 1→|m →|⋅|B 1C 1→|= √14×√2=−2√77． 从而 sin〈m →,B 1C 1→〉 = √1−(−2√77)2= √217 ．所以二面角B 1﹣CE ﹣C 1的正弦值为 √217．（3）解： AE →=(0,1,0),EC 1→=(1,1,1) ， 设 EM →=λEC 1→=(λ,λ,λ) 0≤λ≤1，答案第12页，总16页…○…………外…………○……………………○…………※※请※※不※要※※在※※装※※订※※线※※…○…………内…………○……………………○…………有 AM →=AE →+EM →=(λ,λ+1,λ) ．取 AB →=(0,0,2) 为平面ADD 1A 1的一个法向量， 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角， 则 sinθ=|cos〈AM →,AB →〉| = AM →⋅AB→|AM →|⋅|AB →|=√λ+(λ+1)+λ×2=√3λ2+2λ+1．于是√3λ2+2λ+1=√26．解得 λ=13．所以 AM →=|AM →|=√(13)2+(43)2+(13)2=√2 ．所以线段AM 的长为 √2 ．【解析】14.（1）由题意可知，AD ，AB ，AA 1两两互相垂直，以a 为坐标原点建立空间直角坐标系，标出点的坐标后，求出 B 1C 1→ 和 CE → ，由 B 1C 1→⋅CE →=0 得到B 1C 1⊥CE；（2）求出平面B 1CE 和平面CEC 1的一个法向量，先求出两法向量所成角的余弦值，利用同角三角函数基本关系求出其正弦值，则二面角B 1﹣CE ﹣C 1的正弦值可求；（3）利用共线向量基本定理把M 的坐标用E 和C 1的坐标及待求系数λ表示，求出平面ADD 1A 1的一个法向量，利用向量求线面角的公式求出直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值，代入 √26 求出λ的值，则线段AM 的长可求．【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的性质和空间角的异面直线所成的角，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行；已知为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．15.（1）解：根据椭圆方程为 x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0） ．∵过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为 4√33， ∴当x=﹣c时， a 2−b 2a 2+y 2b 2=1 ，得y=± b 2a ，∴ 2b 2a = 4√33 ，∵离心率为 √33 ，∴ c a = √33 ， 解得b= √2，c=1，a= √3 ．∴椭圆的方程为 x 23+y 22=1 ；（2）解：直线CD ：y=k （x+1）， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 由 {y =k(x +1)x 23+y 22=1消去y 得，（2+3k 2）x 2+6k 2x+3k 2﹣6=0，∴x 1+x 2=﹣6k 22+3k 2，x 1x 2=3k 2−62+3k 2，又A （﹣ √3 ，0），B （ √3 ，0），∴ AC →⋅DB →+AD →⋅CB →=（x 1+ √3 ，y 1）•（ √3 ﹣x 2．﹣y 2）+（x 2+ √3 ，y 2）•（ √3 ﹣x 1．﹣y 1）， =6﹣（2+2k 2）x 1x 2﹣2k 2（x 1+x 2）﹣2k 2， =6+ 2k 2+122+3k 2=8，解得k= ±√2 ．【解析】15.（1）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c 代入求出弦长使其等于4√33，再由离心率为 √33 ，可求出a ，b ，c 的关系，进而得到椭圆的方程．（2）直线CD ：y=k （x+1），设C （x 1 ， y 1），D （x 2 ， y 2），由 {y =k(x +1)x 23+y 22=1消去y 得，（2+3k 2）x 2+6k 2x+3k 2﹣6=0，再由韦达定理进行求解．求得 AC →⋅DB →+AD →⋅CB →，利用 AC →⋅DB →+AD →⋅CB →=8，即可求得k 的值．【考点精析】利用一般式方程和椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知答案第14页，总16页…………○线…………○直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）；椭圆标准方程焦点在x 轴：，焦点在y 轴：．16.（1）解：设等比数列的公比为q ， ∵S 3+a 3，S 5+a 5，S 4+a 4成等差数列． ∴S 5+a 5﹣（S 3+a 3）=S 4+a 4﹣（S 5+a 5） 即4a 5=a 3， 故q 2= a 5a 3= 14又∵数列{a n }不是递减数列，且等比数列的首项为 32 ∴q=﹣ 12∴数列{a n }的通项公式a n = 32 ×（﹣ 12 ）n ﹣1=（﹣1）n ﹣1• 32n（2）解：由（1）得S n =1﹣（﹣ 12 ）n = {1+12n ,n 为奇数1−12n，n 为偶数当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1= 32 故0＜ S n −1S n≤ S 1−1S 1= 32 ﹣ 23 = 56当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以1＞S n ≥S 2= 34 故0＞ S n −1S n≥ S 2−1S 2= 34 ﹣ 43 = −712综上，对于n∈N *，总有 −712 ≤ S n −1S n≤ 56故数列{T n }的最大项的值为 56 ，最小项的值为 −712【解析】16.（1）设等比数列的公比为q ，由S 3+a 3 ， S 5+a 5 ， S 4+a 4成等差数列，可构造关于q 的方程，结合首项为 32 的等比数列{a n }不是递减数列，求出q 值，可得答案．（2）由（1）可得S n 的表达式，由于数列为摆动数列，故可分类讨论求出 S n −1S n在n 为奇数和偶数时的范围，综合讨论结果，可得答案．【考点精析】根据题目的已知条件，利用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n…………○……………○…项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：；数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系．17.（1）解：由题意可知函数的定义域为（0，+∞）， 求导数可得f′（x ）=2xlnx+x 2• 1x =2xlnx+x=x （2lnx+1）， 令f′（x ）=0，可解得x= √e ，所以函数f （x ）的单调递减区间为（0， √e ），单调递增区间为（ √e ，+∞）（2）证明：当0＜x≤1时，f （x ）≤0，设t ＞0，令h （x ）=f （x ）﹣t ，x∈[1，+∞）， 由（1）可知，h （x ）在区间（1，+∞）单调递增，h （1）=﹣t ＜0，h （e t ）=e 2t lne t ﹣t=t （e 2t ﹣1）＞0，故存在唯一的s∈（1，+∞），使得t=f （s ）成立；（3）证明：因为s=g （t ），由（2）知，t=f （s ），且s ＞1， 从而lng(t)lnt = lns lnf(s) = lns ln(s 2lns) = lns 2lns+lnlns = u2u+lnu ，其中u=lns ，要使 25<lng(t)lnt <12 成立，只需 25<u 2u+lnu <12 ，即2＜ u2u+lnu <25，即2＜2+ lnu u <25， 只需 0<lnu u<12，变形可得只需0＜lnu ＜ u2 ，当t ＞e 2时，若s=g （t ）≤e，则由f （s ）的单调性，有t=f （s ）≤f（e ）=e 2，矛盾，所以s ＞e ，即u ＞1，从而lnu ＞0成立，另一方面，令F （u ）=lnu ﹣ u2 ，u ＞1，F′（u ）= 1u −12 ，令F′（u ）=0，可解得u=2，当1＜u ＜2时，F′（u ）＞0，当u ＞2时，F′（u ）＜0，故函数F （u ）在u=2处取到极大值，也是最大值F （2）=ln2﹣1＜0， 故有F （u ）=lnu ﹣ u2 ＜0，即lnu ＜ u2 ， 综上可证：当t ＞e 2时，有 25<lng(t)lnt<12 成立．答案第16页，总16页…订…………○…………线………※※内※※答※※题※※…订…………○…………线………【解析】17.（1）函数的定义域为（0，+∞），求导数令f′（x ）=0，可解得x= √e ，由导数在（0， √e ），和（ √e，+∞）的正负可得单调性；（2）当0＜x≤1时，f （x ）≤0，设t ＞0，令h （x ）=f （x ）﹣t ，x∈[1，+∞），由（Ⅰ）可得函数h （x ）的单调性，可得结论；（3）令u=lns ，原命题转化为0＜lnu ＜ u2 ，一方面由f （s ）的单调性，可得u ＞1，从而lnu ＞0成立，另一方面，令F （u ）=lnu ﹣ u 2 ，u ＞1，通过函数的单调性可得极值最值，进而得证． 【考点精析】认真审题，首先需要了解基本求导法则(若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导)，还要掌握利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)的相关知识才是答题的关键．。
2013年天津市高考数学试卷(理科)及解析
2013年天津市高考数学试卷（理科）及解析 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]解析：本题主要考察不等式的解法，和集合的简单应用，属于简单题。
(2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y －2x 的最小值为(A) －7 (B) －4(C) 1 (D) 2解析：本题主要考查不等式中的线性规划，属于简单题。
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585解析：本题主要考察程序框图，属于简单题。
2013年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：(每题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的，3．（5分）（2013•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为（）4．（5分）（2013•天津）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x+y+1=0与圆相切．V=V=可知，若一个球的半径缩小到原来的；故的圆心到直线=相切，5．（5分）（2013•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px （p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB求出双曲线的渐近线方程与抛物线的面积为，±x，±，双曲线的离心率为，所以则±=的面积为，，得6．（5分）（2013•天津）在△ABC中，，则sin∠BAC=（）BABC=AB=，=得：BAC=x（8．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）．﹣﹣|+1≤讨论，可得时，﹣﹣＜时，解得0＞时，解得，时，（﹣）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）=bi，则a+bi=1+2i．，解得10．（5分）（2013•天津）的二项展开式中的常数项为15．=解；设•r=0的二项展开式中的常数项为=1511．（5分）（2013•天津）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=．的极坐标为|CP|==2．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．，=+﹣，，∴故答案为13．（5分）（2013•天津）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则当a=﹣2时，取得最小值．=﹣，=，当取得最小值时，取得最小值三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2013•天津）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．2x+）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合=2）∈，得﹣﹣≤﹣，）在区间sinxcosx=x=2x+2cos2x=2﹣T==≤，∴﹣≤≤﹣）取得最小值﹣时，﹣）在区间上的最大值为）=216．（13分）（2013•天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4．从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率．（Ⅱ）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．张的所有可能结果数有=的卡片的概率为====17．（13分）（2013•天津）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．标系，标出点的坐标后，求出和，由求出（Ⅱ）解：，，即．=．=．的正弦值为（Ⅲ）解：=．所以．的长为．18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．代入求出弦长使其等于，由，再由韦达定理进行求解．求得（Ⅰ）根据椭圆方程为，得±，=∵离心率为，∴=b=；﹣（﹣（，，（k=19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}不是递减数列，其前n项和为S n（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{T n}的最大项的值与最小项的值．的方程，结合首项为的等比数列=不是递减数列，且等比数列的首项为﹣（﹣）﹣（﹣）=≤﹣==≥﹣=，总有≤，最小项的值为20．（14分）（2013•天津）已知函数f（x）=x2lnx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：对任意的t＞0，存在唯一的s，使t=f（s）．（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为s=g（t），证明：当t＞e2时，有．，由导数在（，，一方面由﹣•，，（，，===成立，只需，2+，＜，＜，时，有成立．。