第22讲 任意角的三角函数及诱导公式

第二十二讲 任意角的三角函数及诱导公式一、复习目标要求1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切）。

二、2010年命题预测从近几年的新课程高考考卷来看，试题内容主要考察三角函数的图形与性质，但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式，在处理一些复杂的三角问题时，同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。

预测2010年高考对本讲的考察是：1．题型是1道选择题和解答题中小过程；2．热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用，这也是新课标教材的热点内容。

三、知识精点讲解1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

一条射线由原来的位置O A ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置O B ，就形成角α。

旋转开始时的射线O A 叫做角的始边，O B 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。

为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。

如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

2．终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。

终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。

区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。

3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。

角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。

角α的弧度数的绝对值是：rl =α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。

角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=。

弧度与角度互换公式：1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝180π≈0.01745（rad ）。

弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==。

4．三角函数定义在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段O M 的长度为a ,线段M P 的长度为b .则sin M P b O Prα==；cos O M a O Prα==；tan M P b O Maα==。

利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； （3）y x叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x xα=≠。

5．三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。

利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。

以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。

当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作P M x ⊥轴交x 轴于点M ，根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==。

我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段O M 与x 轴同向时，O M 的方向为正向，且有正值x ；当线段O M 与x 轴反向时，O M 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos O M x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段M P 与y 轴同向时，M P 的方向为正向，且有正值y ；当线段M P 与y 轴反向时，M P 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标。

这样,无论那种情况都有sin MP y α==。

像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。

如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段O A A T 、,我们有tan y A T xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段M P O M A T 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。

6．同角三角函数关系式使用这组公式进行变形时，经常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，这是三角变换非常重要的方法。

几个常用关系式：sin α+cos α，sin α-cos α，sin α·cos α；(三式之间可以互相表示)同理可以由sin α－cos α或sin α·cos α推出其余两式。

②21sin 1sin 2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭． ③当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有sin tan x x x <<。

7．诱导公式可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。

诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+= sin α-； c o s (180)α+=- c o sα 诱导公式三： sin()sin αα-=-； c o s ()c o sαα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-= ； cos(180)cos αα-=-诱导公式五：sin(360)sin αα-=- ； cos(360)cos αα-=（1）要化的角的形式为180k α⋅±（k 为常整数）； （2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；（3）sin(k π+α)=(－1)k sin α；cos(k π+α)=(－1)k cos α(k ∈Z)； （4）sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

四．典例解析题型1：象限角例1．已知角︒=45α；（1）在区间]0,720[︒︒-内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k k x x M ,451802|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈︒+︒⨯==Z k k x x N ,451804|那么两集合的关系是什么？解析：（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈︒⨯+︒，则令 ︒≤︒⨯+︒≤︒-036045720k ， 得 ︒-≤︒⨯≤︒-45360765k 解得 36045360765-≤≤-k从而2-=k 或1-=k代回︒-=675β或︒-=315β（2）因为{}Z k k x x M ∈︒⨯+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合{}Z k k x x N ∈︒⨯+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M N Ø。

点评：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有相同终边的角，然后列出一个关于k 的不等式，找出相应的整数k ，代回求出所求解；（2）可对整数k 的奇、偶数情况展开讨论。

例2．（2001全国理，1）若sin θcos θ＞0，则θ在（ ）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第一、四象限D ．第二、四象限解析：答案：B ；∵sin θcos θ＞0，∴sin θ、cos θ同号。

当sin θ＞0，cos θ＞0时，θ在第一象限，当sin θ＜0，cos θ＜0时，θ在第三象限，因此，选B 。

例3．（2001春季北京、安徽，8）若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B －sin A ，sin B －cos A ）在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B 解析：∵A 、B 是锐角三角形的两个内角，∴A ＋B ＞90°，∴B ＞90°－A ，∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ，故选B 。

例4．已知“α是第三象限角，则3α是第几象限角?解法一：因为α是第三象限角，所以()Z k k k ∈+<<+ππαππ2322，∴()Z k k k ∈+<<+2323332ππαππ，∴当k=3m （m ∈Z ）时，3α为第一象限角； 当k= 3m ＋1（m ∈Z ）时，3α为第三象限角， 当k= 3m ＋2（m ∈Z ）时，3α为第四象限角，故3α为第一、三、四象限角。

解法二：把各象限均分3等份，再从x 轴的正向的上方起依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则α原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为3α的终边所在的区域。

由图可知，3α是第一、三、四象限角。

点评：已知角α的范围或所在的象限，求nα所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n 等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上I 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原来是第几象限的符号所表示的区域即为nα(n ∈N *)的终边所在的区域。

题型2：三角函数定义例5．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。

解析：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =，,2x a y a ==。

当220sin5y a a a rα>====时，；c o s5x a rα==，2tan =α。

当0sin5y a rα<====-时，cos 5x rα===-；2tan =α。

例6．已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4α=，求cos ,sin αα的值。

解析：由题设知x =y m =，所以2222||(r O P m ==+，得r =从而sin4α=m r==解得0m =或21662m m =+⇒=当0m =时，r x == cos 1,tan 0x y rxαα==-==；当m =r x == cos tan 43x y rxαα====当m =r x == cos tan 43x y rxαα==-==题型3：诱导公式例7．（2001全国文，1）tan300°+0405sin 405cos 的值是（ ）A ．1＋3B ．1－3C ．－1－3D ．－1＋3解析：答案：B tan300°＋0405sin 405cos ＝tan(360°－60°)＋)45360sin()45360cos(00++＝－tan60°＋045sin 45cos ＝1－3。