数学：1.2.1《集合之间的关系》课件(新人教b版必修1)

解：∵A＝{x|－2≤x≤a，a≥－2}， ∴B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a ＋3}． (1)当a≥2时，C＝{z|0≤z≤a2}， ∵C⊆B，∴a2≤2a＋3，解得2≤a≤3. (2)当－2≤a<2时，C＝{z|0≤z≤4}． ∵C⊆B，∴4≤2a＋3，解得 ≤a<2. 综合(1)(2)得 ≤a≤3.
【例6】 同时满足：①M⊆{1,2,3,4,5}， ②若a∈M，则6－a∈M的非空集合M有多少 个？写出这些集合． 解：由题意知，a∈M,6－a∈M，且 M⊆{1,2,3,4,5}，故以M中元素的个数进行分 类． ①M中含1个元素时，若3∈M，则6－ 3∈M， ∴M＝{3}； ②M中含2个元素时，M为{1,5}，{2,4}； ③M中含3个元素时，M为{1,3,5}， {2,3,4}；
答案：1.任意 包含于 包含 ⊆ ⊇ 子集 2． 3．集合A是集合B的子集 B中至少有一 个元素不属于A A 意 等于 A＝B A＝B
名师解答
我们知道，两个实数之间有相等、大于、 小于等关系，那么元素与集合、集合与集合 之间是否也有类似的关系？集合间的基本关 系与实数间的关系可否比较？ (1)从属关系(∈)只能用在元素与集合之 间；包含关系(⊆ )只能用在集合与集合 之间．在使用以上符号的时候先要弄清楚是 元素与集合还是集合与集合之间的关系．比 如表示元素与集合之间的关系有：1∈N，－ 1∉N,1∈{1},0∈{0}等，但不能写成0＝{0}或 0⊆{0}；表示集合与集合之间的关系有： N⊆R，{1,2,3}⊆{1,2,3}，{1,2,3} {1,2,3,4} 等．

k 1 M＝x|x＝2＋4，
k 1 ，N＝x|x＝4＋2，k∈Z ，则
( A．M＝N C．M N B．M N D．M∩N＝Ø
)
答案：B
解法一：可利用特殊值法，令 k＝－2，－1,0,1,2，可 得
3 1 1 3 5 …，－ ，－ ， ， ， ，…， M＝ 4 4 4 4 4 1 1 3 N＝…，0，4，2，4，1，… ，∴M
③当B≠Ø时，2≤m≤3；当B＝Ø时，m<2. 怎么最终结果变成了m≤3？这是因为2≤m≤3 时和m<2时，都有B⊆A.将这两个不等式标在 数轴上，如下图，可以发现，这两部分连接 成一体了，因此，只要写出m≤3就可以．
④在集合问题中，常常需要分类讨论， 当A⊆B时，A可以是Ø，但常常由于解题时忽 略这一点而致错．
变式训练 2 已知集合A＝{x|x>2或x<－ 1}，B＝{x|a<x<a＋1}，若B⊆A，求实数a的 取值范围． 解：将集合A中的元素，即适合x>2或x< －1的实数在数轴上表示出来．如下图①②.
∵B⊆A，∴a≥2或a＋1≤－1.解得a≥2或a≤－2.即所求a的取值范围
题型三 集合相等关系的应用 【例3】 已知三元素集合A＝{x，xy，x －y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的 值． 分析：依据“相等”的定义和集合中元 素的互异性，构造x、y的方程．
题型二 子集关系的应用 【例2】 满足条件{1,2} 的集合M的个数是
M⊆{1,2,3,4,5} ( )
A．3 B．6 C．7 D．9 分析：根据已知条件确定M中元素的组 成情况，进而求解． 答案：C
解法一：由已知得集合M必含有元素1和 2，且至少有一个不同于1和2的元素，故符 合条件的集合M为{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、 {1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,2,3,4,5} 共7个，故选C. 解法二：由已知得集合M必含有元素1和 2，且至少有一个不同于1和2且等于3，或4， 或5的元素，所以集合M的个数为集合{3,4,5} 的非空子集的个数，即23－1＝7，故选C. 评析：本题是利用真子集和子集的定义 解题，可根据元素个数由少到多来分类处 理．
解：(1)∵x2－8x＋15＝0，∴x＝3，或x＝ 5. ∴A＝{3,5}．∵B⊆A， ∴①B＝Ø时，a＝0. ②B≠Ø时，由B⊆A知，3∈B或5∈B.
1 1 将x＝3，或x＝5代入ax－1＝0，得a＝ ，或 . 3 5 1 1 由①、②可知，由a组成的集合为{0， ， }． 3 5
(2)当B≠Ø时，如下图，
(2)集合与集合的关系有包含关系、相等 关系．其中包含关系有：包含于(⊆)、包含 (⊇)、真包含于( )、真包含( )等．用这些 符号时要注意方向，如A⊆B与B⊇A是相同的， 但A⊆B与B⊆A是不同的．
较：
(3)集合间的基本关系与实数间的关系比
研究对象 关系及符号比较
关系 集合 符号
包含于(被包含)真包含于
题型三 利用集合之间的关系求参数范围 【例3】 设A＝{x|－2≤x≤a，a≥－2}，B ＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}， 且C⊆B，求实数a的取值范围． 分析：B与C分别是函数y＝2x＋3，x∈A 及z＝x2，x∈A的值域，且两个函数定义域均 为A，可借助函数图象分析得a，需以2为界 分两部分进行讨论．
题型四 子集综合问题 【例5】 一特警小组共有5人，上级要 求组长至少带一名特警队员去执行一项特殊 任务．问有多少种不同的分组方案？ 分析：可把这一特警小组的5名队员看做 一个集合．
解：设特警小组组长为a，其他四名特警 队员分别为b，c，d，e.组成含组长a去执行 任务的集合为A，则满足{a} A⊆{a，b，c， d，e}．则A为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a， e}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a， c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{a，b，c， d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，c， d，e}，{a，b，c，d，e}．共计15种不同的 分组方案．
评析：集合与不等式的关系问题主要分两 类：(1)不含参数的一般可直接求解；(2)含参 数问题，往往要等价转换集合的表示或化简 集合，然后依据数形结合进行分类讨论．
【例4】 (1)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}， B＝{x|ax－1＝0}，若B⊆A，求实数a组成的 集合； (2)设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋ 1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范 围． 分析：以上两题，虽然一个是等式，一 个是不等式，但殊途同归，解题方法一 样．由于B可能为空集，且B＝Ø时，仍然有 B⊆A成立，因此，都要分B＝Ø，B≠Ø两种情 况讨论．
(7)空集是任何非空集合的真子集，正确； (8)∵1<5，∴1∈{x|x≤5}． ∴{1} {x|x≤5}，正确． 由以上分析可知： (1)(2)(3)(4)(7)(8)正确，(5)(6)错误．
变式训练 1 已知X＝{x|x＝n2＋1，n∈N 2－4k＋5，k∈N }，试判断 } ， Y ＝ { y | y ＝ k ＋ ＋ 集合X与Y的关系，并给出证明． 解：集合X中，x＝2,5,10,17，…，集合Y 中，y＝(k－2)2＋1＝2,1,2,5,10,17，…，可得 X Y.证明如下： 对于任意的元素x∈X，有 x＝n2＋1＝(n2＋4n＋4)－4(n＋2)＋5 ＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5. 由n∈N＋，知n＋2∈N＋， ∴x具有y＝k2－4k＋5，k∈N＋的形 式．∴x⊆Y.
4．空集是任意一个集合的________，记 作Ø________A；空集又是任意________集合 的________，任意一个集合都是它本身的 ________． 特别警示：若A⊆B，则先考虑A＝Ø的情 形，在解题时容易忽略这一点而导致不必要 的错误．
5．一般地，对于两个集合A与B，如果 集合A的________一个元素都是集合B的元素， 同时，集合B的________一个元素都是集合A 的元素，就说集合A________集合B，记作 ________，对于集合A、B，如果A⊆B，同时 B⊆A，那么________． 经验公式：有限集合的子集的个数： n个元素组成的集合的子集有2n个，真子 集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
解：(1)任何一个集合是它本身的子集， 因此，{a}⊆{a}，正确； (2)两个集合中的元素相同，故用“＝” 号，正确； (3)空集是任何非空集合的真子集，正确； (4){0}中只有一个元素0,0∈{0}，正确； (5)Ø与{0}是两个集合，不能用∈连接； (6)Ø中没有任何元素，而{0}中有一个元 素，二者不相等；
N.故选 B.
k 1 2k＋1 解法二：集合 M 的元素：x＝ ＋ ＝ (k∈Z)，集 2 4 4 k 1 k＋2 合 N 的元素：x＝ ＋ ＝ (k∈Z)，而 2k＋1 为奇数，k 4 2 4 ＋2 为整数，因此 M N.故选 B.
评析：当判定用特征性质描述法表示的两 个集合关系时，一是可用赋值法，二是从两 集合元素的特征性质p(x)入手，通过整理化简， 看是否是一类元素．
2 a＋d＝aq 由 a＋2d＝aq
得d＝aq－aq2，
代入a＋d＝aq2得a＋aq－aq2＝aq2. ∴a(q－2q2＋1)＝0. ∵a≠0，∴q－2q2＋1＝0. 1 ∴q＝1(舍去)或q＝－ . 2 1 综上知q＝－ . 2
整体探究解读
题型一 判定集合的个数 【例1】 满足{a}⊆M {a，b，c，d}的 集合M共有 ( ) A．6个 B．7个 C．8个 D．15个 分析：用子集及真子集的概念来解决．
由B⊆A得
解得2≤m≤3. 当B＝Ø时，m＋1>2m－1，解得m<2. 由以上可得m≤3.
评析：(1)①B⊆A说明集合B的任何一个 元素都属于A. ②集合B可能为Ø，这一点在解题时常常 容易忽视，从而致错．在解题时要特别注意 这个“陷阱”． (2)①画数轴解决不等式问题，形象直观， 提高了正确率和解题速度． ②本题能够加深对空集的理解．空集是 不含任何元素的集合．本题中的集合B在什 么条件下是空集呢？当且仅当不等式m＋ 1≤x≤2m－1不成立时，B＝Ø，这个不等式何 时不成立？当且仅当m＋1>2m－1时，不成